市北资优七年级分册 第11章 11.18 a3+b3+c3-3abc的因式分解+张来

11．18 a3＋b3＋c3—3abc的因式分解

试一试

如何对a3＋b3十c3－3abc进行因式分解？

例1分解因式：x3＋y3＋z3—3xyz．

分析这是一个三元三次多项式，根据题目结构的特点并由配方的联想，将原多项式的某些项配成完全立方，并使得配成完全立方的式与其余的项能用分组分解法分解因式．

解原式＝x3＋y3＋z3－3xyz

＝x3＋3xy (x＋y)＋y3—3xy (x＋y)＋z3－3xyz

＝(x＋y)3＋z3－3xy(x＋y＋z)

＝[(x＋y)＋z][(z＋y)2一(x＋y)2＋z2]－3xy(x＋y＋z)

＝(x＋y＋z)(x2＋2xy＋y2－xz－yz＋z2)－3xy (x＋y＋z)

＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx)．

例2 分解因式：(x－1)3＋(z－2)3＋(3－2x)3．

解设a＝x－1，b＝x－2，c＝3－2x，则a＋b＋c＝0，由公式a3＋b3＋c3—3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)知此时a3＋b3 ＋c3＝3abc，所以原式＝3(x－1)(x－2)(3－2x)．

例3 分解因式：(2x＋3y)3—8x3—27y3．

解(2x＋3y)3—8x3—27y3＝(2z＋3y)3＋(一2x)3＋(一3y)3,

因为2x＋3y＋(－2x)＋(－3y)＝0，所以(2x＋3y)3—8x3—27y3＝(2x＋3y)3＋(－2x)3＋(－3y)3＝3(2x＋3y)(一2x)(一3y)＝18xy(2x＋3y)．

练习11．18

1．分解因式：(x2＋y2)3＋(z2－x2)3－(y2＋z2)3．

2．求(b＋c－2a)3＋(c＋a－2b)3＋(a＋b－2c)3—3(b＋c－2a) (c＋a－2b)(a＋b－2c)的值．

3．分解因式：x6＋64y6＋12x2y2—1．

4．设a＋b＋c＝3m，求(m－a)3＋(m－b)3＋(m－c)3—3(m－a)(m－b) (m－c)的值．

5．三个整数a、b、c的和是6的倍数，那么它们的立方和被6除，得到的余数是多少？

参考答案

练习11．18

1．原式＝3(x2＋y2)( y2＋z2)(x＋z)(x—z)

2．由(b＋c－2a)＋(c＋a－2b)＋(a＋b—2c)＝0，得原式＝0

3．x6＋64y6＋12x2y2—1＝(x2)3＋(4y2)3＋(－1)3－3x2·4y·(－1)

＝(x2 ＋4y2－1)(x4＋16 y4＋1－4x2y2＋x2 ＋4y2)

4．令p＝m－a，q＝m－b，r＝m—c，则

p＋q＋r＝(m－a)＋(m－b)＋(m—c)

＝3m－(a＋b＋c)＝0．①

又(m－a)3＋(rn－b)3＋(m－c)3－3(m－a)(m－b)(m－c)

＝p3＋q3＋r3－3pqr

＝(p＋q＋r)(p2＋q2＋c2－pq－qr－rp)．②

由①，②可知

(m－a)3＋(m－b)3＋(m－c)3—3(m－a)(m－b)(m－c)＝0

5．因为a3＋b3＋c3—3abc＝(a＋b＋c) (a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)，所以

a3＋b3＋c3＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＋3abc，又a、b、c为整数且a＋b＋c是6的倍数，所以a、b、c中至少有一个为偶数，否则a＋b＋c为奇数，从而3abc被6整除，因此a3＋b3＋c3被6除昀余数为0

11．18 a3＋b3＋c3－3abc的因式分解、

练习11．18

1．分解因式：x3＋y3＋3xy－1．

2．分解因式：(x—y)3＋(y—x－2)3＋8．

3．分解因式：(ax－by)3＋(by－cz)3一(ax－cz)3．

4．分解因式：(a－b)3＋(b－c)3＋(c—a)3．

5．已知x＋y＋z＝3，x2＋y2 ＋z2＝29，x3＋y3＋z3＝45，求xyz的值．

参考答案

1．原式＝x3＋y3＋(－1)3－3xy(－1)＝(x＋y－1)(x2＋y2＋1＋x＋y－xy)

2．原式＝－6(x－y)(x－y＋2)．提示：由于(x－y)＋(y—z一2)＋2＝0，所以原式＝3(x－y)(y－x－2) ·2＝6(x－y)(y－x－2) ．

3．原式＝－3(ax－by)(by－cz)(ax－cz)．提示：由于(ax－by)＋(by－cz)＋[－(ax－cz)]＝0，所以原式＝3(ax－by)(by－cz)[一(ax－cz)]＝一3(ax－by)(by－cz)(ax—cz)

4．原式＝3(a一b)(b一c)(c一a)

5．由(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz十zx)，

x3＋y3＋z3—3xyz＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx),

32—29＋2(xy＋yz＋zx)，

所以

2

3292(xy yz zx) 4533[29()] xyz xy yz zx

所以xy＋yz＋zx＝－10，从而15－xyz＝29＋10，即xyz＝－24