韩信点兵

简介：
韩信点兵又称为中国剩余定理，乃由于相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2
人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

韩信点兵是一个很有趣的猜数游戏，随便抓一把蚕豆粒，假若3个一数余1粒，5个一数余2粒，7个一数余2粒，那么所抓的蚕
豆有多少粒?这类题目看起来是很难计算的，可是中国古时却流传着
一种算法，它的名称也很多，宋朝周密叫它「鬼谷算」，又名「隔墙
算」；杨辉叫它「剪管术」；而比较通行的名称是「韩信点兵」。

最初
记述这类算法的是一本名叫「孙子算经」的书，后来在宋朝经过数
学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做「大衍求一术」，流传
到西洋以后，外国化称它是「中国剩余定理」，在数学史上是极有名
的问题。

至于它的算法，在「孙子算经」上就已经有了说明：“凡三
三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩
一，则置十五”，而且还流传着这么一首歌诀：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。

这就是韩信点兵的计算方法，《孙子算经》中给出了其中关键的步骤是：但在《孙子算经》中并没有说明求乘数的方法，直到1247
年宋代数学家秦九韶在《数书九章》中才给出具体求法：70是5与
7最小公倍的2倍，21、15分别是3与7、3与5最小公倍数的1倍。

秦九韶称这2、1、1的倍数为“乘率”，求出乘率，就可知乘数，
意思是说：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70
是5与7的倍数，而又是以3去除余1的），5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的），
7个一数剩下的余数，将它用15去乘（因为15是3与5的倍数，又
是以7去除余1的），最后将70、5、15这些数加起来，若超过105，就再减掉105，所得的数便是原来的数了。

根据这个道理，你就可以
很容易地把前面一个题目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝
142－105＝37。

因此你可以知道，原来这一堆蚕豆最少有37粒。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中
国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国
剩余定理。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象
代数学中占有一席非常重要的地位。

解决问题过程：
QUESTION1：有一群人，3人一数剩1人，5人一数剩1人，7人一数剩1人，全部至少有几人？
仔细观察，我们在数这群人的过程，会发现一个共同点→最后面数完都剩下一人，所以我们可以用下面的式子来表示：
某数÷3＝a………1（a≧0）
某数÷5＝b………1（b≧0）
某数÷7＝c………1（c≧0）
我们可以将上面的式子稍微改写一下，会变成：
某数＝a×3＋1………（1）（a≧0）
某数＝b×5＋1………（2）（b≧0）
某数＝c×7＋1………（3）（c≧0）
从（1）式，我们知道某数可能为1当a=0的时候，当然某数也可能
为4当a=1的时候，依此类推，我们可以知道某数可能为1、4、7、10、…中的任何一个。

从（2）式，我们知道某数可能为1当b=0的时候，当然某数也可能为6当b=1的时候，依此类推，我们可以知道某数可能为1、6、11、16、…中的任何一个。

从（3）式，我们知道某数可能为1当c=0的时候，当然某数也可能为8当c=1的时候，依此类推，我们可以知道某数可能为1、8、15、22、…中的任何一个。

我们综合上面三个式子的发现，将结果表示在下面：
我们由上表发现某数在1与106的地方会发生三个式子都相同的数值，而某数在16、22和36的地方会有两个式子相同的数值，仔细观察，我们将整理后的结果呈现如下:
16＝5×3＋1＝3×5＋1
(1) (2)
22＝7×3＋1＝3×7＋1
(2) (3)
36＝7×5＋1＝5×7＋1
(1)(3)
从上面的算式我们看出其中存在的一些规律：
因为3与5互质，所以[3,5]＝3跟5的乘积
→我们说16是3和5的最小公倍数加1
因为3与7互质，所以[3,7]＝3跟7的乘积
→我们说22是3和7的最小公倍数加1
因为5与7互质，所以[5,7]＝5跟7的乘积
→我们说36是5和7的最小公倍数加1
由此我们试着将106也使用这种方法来列式得到：
（1）106＝35×3＋1
（2）106＝21×5＋1
（3）106＝15×7＋1
上方的三个式子都可用→106＝3×5×7＋1这个式子来表示。

(因为35＝5×7，21＝3×7，15＝3×5)
我们可以说，106是3、5、7中任意2个数的最小公倍数乘上另外一数的乘积加1的结果。

因为3、5、7两两之间互质，所以[3,5,7]＝3、5、7的乘积
所以我们说106是3、5、7的最小公倍数加1
ANSWER: 至少有106人
QUESTION2：有一群人，3人一数剩1人，5人一数剩3人，7人一数剩5人，全部至少有几人？
这题其实也有一个共通点→最后面数完都不足二人，所以我们可以用下面的式子来表示：
某数＝a×3－2………（1）（a≧0）
某数＝b×5－2………（2）（b≧0）
某数＝c×7－2………（3）（c≧0）
从上面各式，我们知道某数在第(1)式可能为1当a=1时候、在(2)式可能为3当b=1时候、在(3)式可能为5当c=1时候，当然某数在(1)式时也可能为4当a=2的时候、在(2)式时也可能为8当b=2的时候、在(3)式时也可能为12当c=12的时候，依此类推。

我们综合上面三个式子的发现，将结果表示在下面：
数在13、19和33的地方会有两个式子相同的数值，仔细观察，我们将整理后的结果呈现如下:
13＝5×3－2＝3×5－2
(1) (2)
19＝7×3－2＝3×7－2
(1) (3)
33＝7×5－2＝5×7－2
(2) (3)
从上面的算式我们看出其中存在的一些规律：
→13是3和5的最小公倍数减2
→19是3和7的最小公倍数减2
→33是5和7的最小公倍数减2
由此我们试着将103也使用这种方法来列式
（1）103＝35×3－2＝7×5×3－2
（2）103＝21×5－2＝3×7×5－2
（3）103＝15×7－2＝3×5×7－2
上方的三个式子都可用→103＝3×5×7－2这个式子来表示。

(因为35＝5×7，21＝3×7，15＝3×5)
我们可以说，103是3、5、7中任意2个数的最小公倍数乘上另外一
数的乘积减2的结果。

ANSWER: 103人
QUESTION3：有一群人，3人一数剩2人，5人一数剩3人，7人一数剩4人，全部至少有几人？
我们从question1与question2的方法中可以发现:
1.除3余2的数有：5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、
38、41、44……。

除5余3的数有：8、13、18、23、28、33、38、43、48、53、……。

所以即除3余2，并除5余3的数有：
8 、23 、38 、53 、68………皆差15
+15 +15 +15 +15
2.同1.，我们也可以得到除5余3、除7余4的数有：
18 、53 、88 、123………皆差35
+35 +35 +35
综合1、2两点，整理后列出下表:
从上表观察出，除3余2、除5余3、除7余4的数有：
53 、158 、263………皆差105
+105 +105
也就是说，从53开始，逐次加105都是答案。

根据上面的描述，我们将其写成公式:
某数＝53＋105‧k k为整数
《我们马上就可看出最小的正整数解为53。

》
※这题我们也可以用孙子算经上的方法来求解:
我们先把3、5、7中任意两个数的最小公倍数算出来，看是否为另一数的倍数加余数，如等式不成立，即把此公倍数依序乘上2、3、4、5……依此类推，直到某数减掉余数后，能被另一数整除为止。

1.35=3×11＋2，35是能被5和7整除，且除3余2的数。

2.21=5×4＋1，21并不是除5余3的数，所以我们将其乘上2
42=5×8＋2，42也不是除5余3的数，所以我们将21乘上3
63=5×12＋3，在63时，某数能被3和7整除，并除5余3。

3.同2.15=7×2＋1、30=7×4＋2、45=7×6＋3、60=7×8＋4，15
并不是除7余4的数，所以我们还是将其依序乘上2、3、4、
5…发现某数在60时，能被3和5整除，并除7余4。

我们将上述整理成一个式子--
35=3×11＋2=5×7
63=5×12＋3=3×7×3
60=7×8 ＋4=3×5×4
最后，把得到的3个数加起来，减去小于自己但最接近自己的公倍数，这样即可求出最小的正整数解:
70＋63＋60－105×1=158－105=53
ANSWER: 53人
＊question1与question2也是可用孙子算经的方法求解的：
question1：70＋21＋15=106
question2：70＋63＋75－105×1=208－105=103
结论
1.韩信点兵问题有无穷多个解答。

2.韩信点兵问题的解决方法不只一种。

3.无论问题的余数是多少，皆可用”中国剩余定理”的公式
x=a×70+b×21+c×15+105×n（n为整数）来算出答案。

参考文献
网络资源--
淡江数学首页
.tw/mathhall/mathinfo/lwy math/HanShin.htm
台南市光华女中资源中心
.tw/junior/math/tn_kh/1.2.1/in 1-3.htm
数学知识--谈韩信点兵问题<蔡聪明>
.tw/articles/sm/sm_ 29_09_1/
图书资源--
林聪源，《数学史─古典篇》，凡异出版社。

张良杰，趣味数学问题集，凡异出版社。

项武义，＜漫谈基础数学的古今中外─从韩信点兵和勾股弦说起＞，《数学传播》第21卷第1期。

李俨、杜石然，《中国古代数学简史》，九章出版社。