建立数学模型 解决物理问题

建立数学模型 解决物理问题赖文奇 黄代敏（浙江省永康市明珠学校 浙江 永康 321300）摘 要：通过对物理问题的探索和求解,总结出中学物理问题的基本规律和基本方法:建立与物理问题对应的数学模型,化物理问题为数学问题,从而用中学数学知识和思想方法求出物理问题.关键词：物理教学 数学知识 数学模型随着新课考改的深入及素质教育的全面推开，各学科之间的渗透不断加强，作为对理解能力和演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科，如果能与数学知识灵活整合，将会拓展优化解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。

点到直线的距离公式、均值不等式、二次函数的性质、求导数、因式分解、三角函数、有关圆的知识、数形结合思想等中学数学知识，在高中物理解题中都有广泛的应用。

在求解物理过程中要想能与数学知识进行灵活的整合，充分发挥数学的作用，往往要进行数学建模。

利用数学解决实际问题的一般模式如下：（一） 二次函数性质的应用：例1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s 2的加速度开始行驶。

恰在这时一辆自行车以6m/s 的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。

汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？解：经过时间t 后，自行车做匀速运动，其位移为Vt S =1， 汽车做匀加速运动，其位移为：2221at S = 两车相距为：222123621t t at Vt S S S -=-=-=∆ 这是一个关于t 的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS 有最大值。

当有最大值时S ，s a b t ∆=-⨯-=-=)(2)2/3(262)(6)2/3(4604422m a b ac S m =-⨯-=-=∆。

说明1：对于典型的二次函数c bx ax y ++=2,若0>a ,则当ab x 2-=时,y 有最小值，为a b ac y 442min -=；若0<a ,则当abx 2-=时,y 有最大值，为a b ac y 442max -=。

说明2：对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有解的充要条件是0≥∆；极值为：aac b 442-。

对于例题1，我们可以转化为二次方程求解：将221236t t S S S -=-=∆ 可转化为一元二次方程：021232=∆-+-S t t ， 要使方程有解，必使判别式0)2()3(412422≥∆-⨯-⨯-=-=∆S ac b ， 解不等式得：6≤∆S ，即最大值为6m（二）均值不等式的应用：例2、一轻绳一端固定在O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C 时，重力的功率为： P=mg υcosα=mgυsinθ…………①小球从水平位置到图中C 位置时，机械能守恒有：221cos mv mgL =θ……………② 解①②可得：θθ2sin cos 2gL mg P = 令y=cosθsin θ)sin sin cos 2(21)sin cos 2(21sin cos 222422θθθθθθθ⋅⋅===y2)cos (sin 2sin sin cos 222222=+=++θθθθθ 又由基本不等式abc c b a 3≥++知：当且仅当θθ22sin cos2=，y 有最大值33cos cos 1cos 222=-=θθθ：得由 ∴当33cos =θ时，y 及功率P 有最大值。

说明：1、如果a ，b 为正数，那么有：ab b a 2≥+ ，当且仅当a=b 时，上式取“=”号。

若两个正数的积一定，则两数相等时和最小；若两个正数的和一定，则两数相等时积最大。

说明2、如果a ，b ，c 为正数，则有33abc c b a ≥++，当且仅当a=b=c 时，上式取“=”号。

若三个正数的积则当三数相等时和最小；若三个正数的和一定则三数相等时积最大。

(三)三角函数、平面向量知识的应用例3、如图所示,底边恒定为b,当斜面与底边所成夹角θ为多大时,物体沿此光滑斜面由静止从顶端滑到底端所用时间才最短?此题的关键是找出物体从斜面顶端滑至底端所用时间与夹角的关系式,这是一道运动学和动力学的综合题,应根据运动学和动力学的有关知识列出物理方程。

解：设斜面倾角为θ时，斜面长为S ，物体受力如B图1图所示，由图知θcos bS =…………① 由匀变速运动规律得：221at S =…………②由牛顿第二定律提：mgsin θ=ma …………③ 联立①②③式解得：θθθ2sin 4cos sin 22g bg ba St ===可见，在90°≥θ≥0°内，当2θ=90°时，sin2θ有最大值，t 有最小值。

即θ=45°时，有最短时间为：gb t 4min =。

说明：y=sinx 的值域是[-1，1]，当x=Z k k ∈+,22ππ时有最大值1。

例题4、物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，物体重为G ，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F 为多大？该题的已知量只有µ和G ，说明最小拉力的表达式中最多只含有µ和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F 可由夹角的不同值而有不同的取值。

因此，可根据题意先找到F 与夹角有关的关系式再作分析。

解：设拉力F 与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式， 即0cos =-f F θ……① G F N =+θsin ……②N f μ=…………③ 由联立①②③解得：)sin cos cos (sin 1cos sin 2φθφθμμθθμμ++=+=G G F )sin(12φθμμ++=G, 其中μφ1tan =, ∴G F 2min 1μμ+=说明1：θθcos sin b a y +=的最大值为22b a +。

说明2：对于例题4，我们也可用矢量知识求解： 将摩擦力f 和地面对木块的弹力N 合成一个力F'，如图，F ’与竖直方向的夹角为μφ==Nftan （为一定值）。

这样木块可认为受到三个力:重力G,桌面对木块的作用力F'和拉力F 的作用。

尽管F 大小方向均未确定，F ’方向一定，但大小未定，但三力首尾相连后必构成三角形，如右图所示。

只用当F 与F ’垂直时，即拉力与水平方向成φ角时，拉力F 最小为φsi n G F =，而221tan 1tan sin μμφφφ+=+=，故21sin μμφ+==GG F（四）数学思想“数形结合”在解物理题中的应用例5、从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动Ff G图4图3做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用20秒，前进了50米。

求这过程中汽车达到的最大速度。

解：设最大速度为vm,即加速阶段的末速度为vm ： 画出其速度时间图象如右图所示，图线与t 轴围成的面 积等于位移。

即：m V t S ⨯⨯=21即：s m ：V V mm /5202150=⨯=解得 说明：数形结合是中学数学中最重要的数学思想，在物理解题过程中，恰到好处地运用这一思想，有时能达到事半功倍的效果。

（五）利用数学求导的方法求极值例6、如图所示，相距2L 的A 、B 两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q 。

在它们的中垂线上的C 点，由静止释放一电量为q ，质量为m 的正检验电荷（不计重力） 。

试求检验电荷运动到何处加速度最大，最大加速度为多少？解：由于对称性，在AB 的中点受力为零，在AB 中垂线上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的。

当q 运动到中垂线上的D 点时，由图可知θθθsin )cos /(2sin 221L kQqF F ==合故其加速度为：)sin (sin 2cos sin 23222θθθθ-===m LkQq m L kQq mF a 合 发现加速度是一个关于θ的函数，令θθθ3sin sin )(-=fθθθθθcos sin 3cos )('(2-=f ）f 的导数为则 0cos sin 3cos ,0)('2=-=θθθθ即令f ,33sin =θ：解得，（不合题意有极值,900=θ） 即3923333)(33arcsin 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=有极大值为时θθ，f 所以当33arcsin=θ时，加速度有最大值为：3942mL KQq说明：函数f(x)在点x=x 0的导数是曲线在该点处切线的斜率tan α。

如果f '(x 0) =0, 则在x 0处函数有极值。

以上用数学知识是解高中物理题的常用方法，在使用中，还要注意题目中的条件及“界”的范围。

要求同学们扎实掌握高中物理的基本概念，基本规律，在分析清楚物理过程后，再灵活运用所学的数学知识，要具备较好的运用数学解决问题的能力及抽象成数学数学问题的意识。

参考文献：［1］曹伟达.《高中物理解题中的数学技巧》.农村读物出版社 2001.1图6t图5［2］刘品德.应用数学方法求解物理极值问题.《中学物理》.哈尔宾师范大学.1999年［3］姚勇.极值问题的情景分析法.《物理的教与学》.1998年2月［4］张大同.《走向金牌之路》注：本文发表于《中学生数理化》2007年第四期（教研版）。