光的衍射b

如图所示，Σ为以源点S为中心的球面波面,半径为R；场点P
与Σ面的最短距离为r0。为求得P点的扰动，根据惠更斯——菲涅 耳原理，应该把Σ分割为许多元波面，再把每个元波面对P点光
场的贡献叠加起来。
由对称性的分析，元波面的分割可以采取下列方式：以P点 为中心，取果一小正数l，以r0+l, r0+2l, r0+2l, … , r0+ml, …为半 径作球面，这些球面与Σ相截得到一组交线圆，相邻交线之间形 成—圈圈环带，这些环带称为波带。
的亮暗)依赖于ρ、ZS、ZP各参数。
二、圆屏衍射
若以不透光的圆屏代替圆孔，
则中央部分的m个半波带将被遮掉，于是从第m+1个带开始，所
有其余的波带发的次波都能到达P点。把所有这些波带的次波叠
加起来，可得P点的合振幅。若m为整数，则轴上点P 的合振幅为：
AP

Am1
Am2
Am3
Am4
代入前m个波带所构成的球冠的面积公式 Sm 2Rhm ,
可以求得
d m

Sm

Sm1

2Rl
R r0
[r0
(m
1 )] 2
取第m个波带外缘和内缘到P点距离的平均值作rm，即
rm

1 2
(
r0

ml) [r0

(m
1)l
r0

(m

1 )l 2
由以上两式，可知比值 d m 2Rl
动的复振幅与真实情况相比，总有π/2的相位落后量。此偏差是惠
更斯一菲涅耳原理尚不够精细与严格之一例。
在基尔霍夫理论中，次波相位应比初波超前π/2，即若设初波
在P点相位为零，则O点次波在P的相位应为-π/2，在矢量图中应指
向下方，如图所示之
A0 .
以初始方向向下来画螺线，最后得 到的台矢量AF即为水平向右，与自由传 播时相同。但由于一般只关心光强分布， 合矢量的相位并不影响强度，故后文中 将不再考虑次波的 π/2 相移问题，仍采 用向右画螺线方法。
为：
I P AP2 16IF
图4.2.17示出另一种情况。图(a)中透光孔径为第一半波带的半 侧，相应的矢量在图(b)中画出。 注意：图 (a)中从圆心到半圆 周上任一点相应相移均为π， 该半波带遮住一半并不影响从 中心到边缘的相移量，而只意 味着组成该半波带的每一无限 窄元波带的面积减半，从而P 点的振幅减半（即每一元矢量 方向不变，长度减半), 故合振幅AP=AF，因而P点光强为：IP=IF。
在h 2R时，


2 m

hm


hm (2R hm ) mr0l (1 ml R r0 2r0
)

m
2m l
Rr0
(1
ml )
R r0 2r0
圆孔菲涅耳衍射：轴上点
对半波带 l ,
2
若圆孔的半径不太大，使得
m
2
r0成立，则有：
AP 2
A1 (1)m1 Am
1 2 ( A1 Am )
m为奇数时取正号，
偶数时取负号。
A1 A3
Am AP
A1 A3
A2 A4
m为奇数
Am AP
A2 A4
m为偶数
A奇

1( 2
A1

Am
)，对应光强极大值，场点为亮点；
A偶

1 2
( A1

Am
)，对应光强极小值，场点为暗点；
当圆孔包含的波带数非常大或可分解的波前无限大时，即
m
时，A1

Am ,
AP

1 2
(
A1

Am )

1 2
A1, I
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1 4
A12

I1 4

IF
表明，此时P点的复振幅等于第1个半波带产生的复振幅的一
半，强度为第1个波带产生的强度的1/4。
2 轴外点： 对于轴外点的光强，原则上也可以用同样的方法来分析，此
在P点产生的振幅应为：
Am

d m
rm
F (m )
第m 个波带截面图
设ρm为该波带外缘半径，hm为图示球冠高度， 由关系式
m2 R2 (R hm )2 hm (2R hm )
(r0 ml )2 (r0 hm )2
hm
mr0l (1 ml ) R r0 2r0
从观察平面P0沿径向向外，光强会有亮暗交替。但离P0点较 远的地方，此时没有一个完整的波带，并且奇数带和偶数带受光
屏阻挡的情况差不多，故这时P点将都是暗点。
由于整个装置的轴对称性,在观察屏上离点P0相同的P点都应有同 样的光强. 故:圆孔的菲涅耳衍射图样是一组以P0为中心的亮暗交 替的圆环. 当然其具体分布(如中心点
m
Rr0 m
R r0
令m ，则
1 1 2
m( )
R r0
(1)
(1) 式即为圆孔所露出的半波带数与圆孔半径ρ及系统几何参
量R，r0 的关系式。在圆孔半径显著小于R，r0 (满足傍轴近似条件) 时， R ZS , r0 ZP , 则
1 1 2
m ( ) (2)


A

1 2
Am
1
若m为非整数，采用矢量图解法，将前m个半波带对应的部
分 OM 舍去，从剩余
部分的起点M指向螺
线中心C的矢量
AP
,
则代表轴上点P振动
的复振幅。
上图中(a)，(b)，(c)分别以圆屏挡住了的半个、前两个和前许 多个半波带为例画出了的矢量合成图(图中向中心盘曲的实螺线未 完全画出)。
在矢量图中，从螺线的起始点O指向中 心C的相幅矢量AF 综合了波面上所有波带 的贡献，故它表示自由传播时P点光场的复 振幅，相应的光强为：
IF AF2
从图(b)可以看出，自由传播时的合矢量AF指向上方，其相位 比O点次波在P点的相应落后 π/2，由于自由传播时P点的真实相位
应与O点次波在该点的相位相同，故由矢量图解法所求得的P点振
当l<< λ时，每一波带即可认为是无限窄之波面。这种波带 可称为元波带。
同一元波带上各点到P点的光程可以认为是相同的，而相邻 元波带到P点的光程均相差l。
2. 各波带次波在P点的振幅和相位：
(1) 次波的振幅变化：
如图为第m个波带的截面图，设其
面积为dσm，它与P点的平均距离为
rm，倾斜因子为F(θm)，则该波带
即不论圆屏的大小和位置怎样，圆屏几何影子的中心永远有 光。不过圆屏的面积越小时，被遮蔽的波带的数目就越小，因而 Am+1就越大，到达P点的光就越强。变更圆屏和光源之间或圆屏和 P之间的距离时，m也将因之改变，因而也将影响P点的光强。
如果圆屏足够小，只遮住中心带的一小部分，则光看起来可
完全绕过它，除了圆屏影子中心有亮点外没有其它影子。这个初
如图，从螺线起点O到最高点Ml，切线指向由水平向右变为水平向
左，意味着相位变化π，故 OM相1 应于第一个半波带、其整体贡献 为第振三幅个半波A带1 的O贡M。献1同为理A，3 第N二1个M半2 ，波以带下的依贡次献类为推。A2 M1N1
图中右方示出了自由传播时所有半波带的合成过程。由于螺线逐渐 旋向中心，各半波带相应矢量的振幅也逐渐减小到零，因此所得到 的自由传播时P点振动的相幅矢量AF 仍是从螺线始点O指向螺线中 心，其大小为：
看起来似乎是荒谬的结论，是泊松于1818年在巴黎科学院研究菲
涅耳的论文时把它当作菲涅耳论点谬误的证据提出来的。但阿喇
果做了相应的实验，证实了菲涅耳的理论的正确性。
若圆屏较小，(m+1)为不大的有限值，则轴上点P 的合振幅为:
AP

1 2
A1

AF

IP

1 4
I1

IF
即轴上点P0 （几何阴影的中心）总是亮点→“泊松”亮点。
1 AF 2 A1
相应光强为：
1 IF 4 I1
I1 A12
4.2.2 圆孔、圆屏及某些环扇形孔径的衍射
一、圆孔衍射
利用矢量图解法或半波带法，很容易分析一个无限大屏幕上的 透光圆孔所产生的菲涅耳衍射。如图：
S为单色点光源，Σ为圆孔孔径，ρ为其半径。为简化，设S位于
过圆孔中心且与Σ平面垂直的轴线上，P为所考察场点。 1 轴上点： 首先应确定圆孔中露出的波面对P点而言相当于几 个半波带。
rm R r0
与m无关
原因：从中心向外，各环带面积和与P点的距离均渐次增大，而
且二者增长的速率是相同的。
各波带在P点振幅 ∆Am的变化仅来源于倾斜因子F(θm)的不同。 当θ 从零增大时，F(θ)从l单调下降到零，故ΔAm 随m的增加而单调 减小到零。但是，由于元波带分割极密，相邻元波带之间F(θ)的 差别极小，故ΔAｍ递减的速率相当缓慢，往往要经过成百上亿个 波带才有显著变化。
m 3, AP A1 A2 A3 A1 I P 4IF , 亮
m 4, AP A1 A2 A3 A4 0 IP 0, 暗
m k, AP A1 A2 A3 A4 A5 (1)k1 Ak
1
三、菲涅耳半波带法：
取 l , 则 每两个相邻带之间的光程差为
2
相位差为δ =π，则相应的波带称为半波带。

, 2
半波带法是指在矢量合成时把每一个半波带作为一个整体来 加以考虑，它相当于把螺线上每一个极近似于半圆的弧简化为一 个单矢量。此方法虽不够精确，但可较方便地得出衍射图样的某 些定性特征，故为人们所喜用。
(2) 次波的相位变化： 相邻波带 2 l
若 l ，则
2
综上，可作出自由传播时各
波带在P点产生振动的相幅
矢量的合成图，如图所示。
其中，取O点次波源在P点引起的振动相位为0，并表示为 水平轴正方向。从O点向外每相差一个元波带，相位落后δ，相 应相幅矢量的辐角增加δ，又因各元波带相幅矢量长度由于F(θ) 的作用单调缓慢减小，最后降为0。
轴外点：随着离开P0点距离的增大，也有光强 大小的变化。
圆屏衍射图样是：中心为亮点，周围有一些亮
暗相间的圆环条纹。
三、某些环、扇形孔径的衍射
如果衍射屏上的透光区是一些环带或扇形，而且这些环、扇 形区域对于轴上某点P 恰是一些半波带或半波带的一部分，则
可利用矢量图解法或半波带法求得P点光场的振幅及光强。
时应以考察点P为中心，先设想衍射屏不存在，以SP为轴分割半 波带，然后放上屏，考察圆孔所露出的半波带分布，显然它们已 非中心对称的圆环，因为有些半波带仅露出一部分。如图4.2.11,
图(a)示出对某一位置P圆孔所露出半波带的分布，由于相邻半波 带的贡献大致抵消，故P点光强很弱。对P点之外的某点P′，露出 半波带分布如图(b)，1与2，3与4大致互相抵消，多出新的半波带 5，故P′点光强较大。
故Σ面上所有元波带贡献的矢量合成图形成一个向中心点逐 渐盘曲的极密的螺旋折线。
l 0时，每一元矢量的长度Am 0, 故螺旋折线转化为螺线。 螺线上每点相应的相位由该点切线(指向螺心一方)的辐角来 表示。螺线每转一圈表示r增加λ，相位变化2π，如果无F(θ)之项， 它将与始点相接形成一个圆。正是由于F(θ)的作用使得它每转一 周收缩一点。但这种收缩是极其缓慢的，图中大大夸张了收缩 速度。
m很小时，A奇

1 2 ( A1

Am )
A1 2
2
A1，A偶

1 2 ( A1

Am ) 0
相应的P点分别是强度为极大值的亮点和强度接近零的暗点，
若改变孔径的范围，在P点将可看到明暗交替的变化。
另：对于固定孔径的圆孔和光波波长而言，波带数m取决于P
点的距离ZP，即ZP不同的P点对应不同的波带数m。故， 在轴向移动观察屏时，同样可以看到P点忽明忽暗交替变化。
ZS ZP
一旦求得m，即可视m为整数或非整数分别
用半波带法或矢量图解法来求解合振幅A。
（1） m为非整数 ——矢量图解法
例如：m=1/2， AP 2 AF
则光强为： I P 2IF
（2） m为整数 ——半波带法
m 1, AP A1 2 AF I P A12 4 AF2 4IF，亮 m 2, AP A1 A2 0 IP 0, 暗
§4.2 菲涅耳衍射
4.2.1 菲涅耳衍射的分析方法
若衍射屏只是简单地分为透光部分与不透光部分，而且透光孔径 又具有一定的几何对称性，则往往采用定性和半定量的分析、 估算来解决问题，在方法上一般 有菲涅耳波带法和菲涅耳积分法。
一、矢量图解法 以单色点光源的光场在自
由空间传播为例。
1. 波带分割：
点光源波面的波带分割
图4.2.16(a)中透光孔径（非阴影区）由一个圆孔及一个圆环组
成，图中数字表示相应圆周与轴上场点P 的距离（孔径中心P点距
离为r0可)。见对P点而言，该孔径
露出了第一和第三两个半波带，
在矢量图上把这两个半波带相
应的矢量叠加起来，即得P点
光场的合振幅矢量。因A1≈ A3，
故AP=2 A1=4AF，因而P点光强