高三数学均值不等式
高中数学 均值不等式
高中数学均值不等式均值不等式在高中数学中是非常重要的一个概念，同学们在学习数学课程时，必须掌握和理解这一概念。
今天，我们就来讨论一下均值不等式这一概念。
均值不等式是数学中定义最重要的公式之一，它表示数据的平均值与最大值和最小值之间的关系。
它可以用如下公式表示：$$overline {x}-ageqslantfrac{b-a}{2}$$其中，$overline {x}$代表数据的平均值，a表示数据的最小值，b表示数据的最大值，中间得到的结果就是均值不等式。
均值不等式可以用来描述数据的分布。
它提供了一种描述数据分布的有效方式，常用于统计分析、信息处理、参数估计等一些应用。
均值不等式在数学中有着重要的应用，我们可以用它来计算下面的一些参数，比如标准偏差、熵、波动性等。
其原理可以用如下公式表示：$$sigma^2=frac{1}{m}sum_{i=1}^m{(x_i-overline{x})^2}$$ 其中，$sigma^2$表示标准偏差，m表示样本的个数，$x_i$表示第i个样本，$overline{x}$表示样本的平均值，中间的部分是均值不等式。
均值不等式在我们的生活中也有重要的作用，比如我们在分析一篇文章的价值的时候，就可以用均值不等式来衡量文章的情感倾向性。
如果一篇文章的正面情感值和负面情感值相差很远，那么这篇文章的情感就很明显，而如果均值不等式满足，说明文章的情感就比较均衡，没有明显的情感倾向性。
均值不等式在统计学上也有着重要的应用，它可以用来分析不同数据组之间的差异，比如我们可以使用均值不等式来检验两组数据的分布是否有显著差别。
以上就是关于均值不等式这一高中数学概念的介绍，从上文中我们可以看出，均值不等式在数学领域有着重要的作用，同时也有着广泛的应用，比如分析数据、检验文章情感倾向性等。
希望这篇文章能够帮助同学们更好地理解和掌握均值不等式这一概念，加强数学学习。
均值不等式知识点
均值不等式知识点均值不等式是高等数学中的一种重要的数学不等式，其在解决各类数学问题中起到了重要的作用。
本文将通过逐步思考的方式，详细介绍均值不等式的相关知识点。
1.均值不等式的基本概念均值不等式是指对于一组实数，其算术平均数大于等于几何平均数，即若有n个正实数x1、x2、……、xn，则它们的算术平均数A≥它们的几何平均数G。
这一不等式可表示为：（x1 + x2 + …… + xn）/ n ≥ (x1 * x2 * …… * xn) ^ (1/n)2.均值不等式的证明为了证明均值不等式，可以使用数学归纳法或其他数学方法。
下面以数学归纳法为例，来证明均值不等式。
首先，当n=2时，我们有：（x1 + x2）/ 2 ≥ √(x1 * x2) 化简可得：x1 + x2 ≥2√(x1 * x2) 这是一种常见的数学不等式，称为算术平均数和几何平均数之间的不等式。
接下来，假设当n=k时，均值不等式成立。
即对于任意的k个正实数x1、x2、……、xk，有：（x1 + x2 + …… + xk）/ k ≥ (x1 * x2 * …… * xk) ^ (1/k)然后，我们来证明当n=k+1时，均值不等式也成立。
即对于任意的k+1个正实数x1、x2、……、xk+1，有：（x1 + x2 + …… + xk + xk+1）/ (k+1) ≥ (x1 * x2* …… * xk * xk+1) ^ (1/(k+1))我们可以将左边的式子进行拆分，得到：[(x1 + x2 + …… + xk) + xk+1] / (k+1)≥ [(x1 * x2 * …… * xk) * xk+1] ^ (1/(k+1))根据不等式的性质，我们有：(x1 + x2 + …… + xk) / k ≥ (x1 * x2 * …… * xk) ^(1/k) 即：[(x1 + x2 + …… + xk) / k] * k ≥ [(x1 * x2 * …… * xk) ^ (1/k)] * k将上式代入前面的不等式，得到：[(x1 + x2 + …… + xk) + xk+1] / (k+1) ≥ [(x1 *x2 * …… * xk) * xk+1] ^ (1/(k+1))这样，我们证明了当n=k+1时，均值不等式也成立。
高考数学考点均值不等式全解
高考数学考点均值不等式全解2.平均值不等式名师点拨：1.定理2的常见变形2.利用平均值不等式求最值对两个正实数a,b.(1)若它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积P取得最大值;(2)若它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值.对于三个正数a,b,c.利用平均值不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”,即:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.01利用平均值不等式求最值分析：根据题设条件,合理变形,创造出能应用平均值不等式的条件和形式,然后应用平均值不等式求解.反思感悟平均值不等式的基本功能在于“和与积”的相互转化,利用平均值不等式求最值时,给定的形式不一定能直接应用平均值不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑积或和是定值的形式),构造出平均值不等式的形式再进行求解,求解时一定注意平均值不等式成立的条件:①各项或各因式应为正;②和或积为定值;③各项或各因式能取到使等号成立的值,简记为:“一正、二定、三相等”02利用平均值不等式证明不等式分析：(1)考虑到a+b+c=1,可将不等式左边每个括号中分子上的1替换为a+b+c,化简后再利用平均值不等式,然后根据不等式的性质证明.(2)因为左边有分式,也有整式的形式,所以要两次利用平均值不等式.反思感悟：利用平均值不等式证明不等式的方法与技巧(1)用平均值不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备平均值不等式的结构和条件,然后合理地选择平均值不等式或其变形形式进行证明.(2)对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结论结合起来,找出变形的思路,构造出平均值不等式,切忌两次使用平均值不等式用传递性证明,因为这样有可能导致等号不能取到.03利用平均值不等式解决实际问题【例3】已知26辆货车以相同速度v由A地驶向400 km处的B地,每两辆货车间距离为d km,现知d与速度v的平方成正比,且当v=20 km/h时,d=1 km.(1)写出d关于v的函数关系式;(2)若不计货车的长度,则26辆货车都到达B地最少需要多少小时?此时货车速度为多少?分析：对于(1),可由已知数据代入求得;(2)先列出时间与速度的关系式,再借助平均值不等式求解.反思感悟：利用平均值不等式求解实际问题时的注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用平均值不等式求得函数的最值;(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.均值不等式的解题方法均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。
高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)
高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)第十三讲均值不等式(解析版)在高中数学的学习中，均值不等式是一条非常重要的数学定理。
它能够帮助我们找到一组数的平均值与其他特定的数值之间的关系。
本文将详细解析高中数学人教版必修5中的第十三讲——均值不等式。
一、均值不等式的定义和性质均值不等式实际上是按平均值来衡量一组数与其他数值之间的大小关系。
它包含了算术平均值、几何平均值和平方平均值等不同的形式。
算术平均值是最为熟悉的一种形式，它表示一组数相加后除以元素个数得到的结果。
几何平均值是将一组数相乘后开根号得到的结果。
平方平均值是将一组数的平方相加后除以元素个数再开根号得到的结果。
在不等式的关系中，对于正实数来说，有以下几个性质：1. 当所有元素相等时，算术平均值、几何平均值和平方平均值相等。
2. 当所有元素不相等时，算术平均值大于几何平均值，而几何平均值大于平方平均值。
3. 对于正实数来说，算术平均值大于几何平均值，并且它们都大于平方平均值。
二、均值不等式的应用均值不等式在数学问题的解决中具有广泛的应用。
它可以帮助我们证明和推导其他重要的数学关系。
1. 证明与推导在证明和推导方面，均值不等式可以帮助我们解决一些复杂的不等式问题。
通过运用不同形式的均值不等式，我们可以逐步地推导出更为严格的不等式关系。
例如，在求证某个不等式问题时，我们可以使用算术平均值与几何平均值之间的关系来逐步推导出正确的结论。
2. 理解与比较均值不等式还能够帮助我们理解和比较数列的大小关系。
通过对数列的算术平均值、几何平均值和平方平均值的比较，我们可以得出一些关于数列性质的结论。
例如，当一组数的算术平均值大于几何平均值时，就能够说明这组数存在着某种程度的波动和不均匀性。
三、均值不等式的例题解析下面，我们将通过一些例题来具体解析均值不等式的应用。
例题1：已知a、b、c为正实数，证明(a+b)(a+c)(b+c)≥8abc。
解析：我们可以通过均值不等式来证明这个不等式关系。
高考数学热点问题专题练习——均值不等式知识归纳及典型例题分析
利用均值不等式求最值一、基础知识：1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >= （1）调和平均数：12111n nnH a a a =+++（2）几何平均数：n G =（3）代数平均数：12nn a a a A n+++=（4）平方平均数：2nn a Q ++=2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===特别的，当2n =时，22G A ≤⇒2a b+≤即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：（1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求23y x x=+的最小值。
此时若直接使用均值不等式，则23y x x=+≥，右侧依然含有x ，则无法找到最值。
① 求和的式子→乘积为定值。
例如：上式中24y x x=+为了乘积消掉x ，则要将3x 拆为两个2x ，则22422y x x x x x =+=++≥=② 乘积的式子→和为定值，例如302x <<，求()()32f x x x =-的最大值。
则考虑变积为和后保证x能够消掉，所以()()()2112329322322228x x f x x x x x +-⎛⎫=-=⋅-≤= ⎪⎝⎭（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。
均值不等式公式完全总结归纳
均值不等式公式完全总结归纳均值不等式是数学中常用的一种不等式，它可以用来比较数列或者函数中数值的大小关系。
均值不等式有很多种形式，常用的有算术均值不等式、几何均值不等式、调和均值不等式以及均方根不等式。
下面将逐个进行详细介绍：1.算术均值不等式：算术均值不等式又称为平均不等式，它是最基本的均值不等式。
对于非负实数a和b，算术均值不等式的表达式为：(a+b)/2≥√(a*b)其中，等号成立当且仅当a=b。
2.几何均值不等式：几何均值不等式也是比较常见的一种不等式。
对于非负实数a和b，几何均值不等式的表达式为：√(a*b)≤(a+b)/2其中，等号成立当且仅当a=b。
3.调和均值不等式：调和均值不等式用来比较两个正实数的大小关系。
对于正实数a和b，调和均值不等式的表达式为：2/(1/a+1/b)≤(a+b)/2其中，等号成立当且仅当a=b。
4.均方根不等式：均方根不等式是一种用于比较多个非负实数大小关系的不等式。
对于非负实数a1, a2, ..., an，均方根不等式的表达式为：√((a1^2 + a2^2 +... + an^2)/n) ≥ (a1 + a2 + ... + an)/n 其中，等号成立当且仅当a1=a2=...=an。
以上四种形式的均值不等式都是基于平均值的概念推导出来的。
它们在数学中有广泛的应用，例如在证明其他不等式时常常被用到。
需要注意的是，以上只是四种常见的均值不等式形式，实际上还存在很多种不同形式的均值不等式。
比如幂均值不等式、可重均值不等式等，它们在一些特定的条件下有着重要的应用。
总结起来，均值不等式是数学中非常重要的一类不等式，它包含了算术均值不等式、几何均值不等式、调和均值不等式以及均方根不等式等形式。
这些不等式在数学推导和证明过程中发挥着非常重要的作用。
高考数学中的均值不等式及其他相关不等式
高考数学中的均值不等式及其他相关不等式在高考数学中，不等式是一个重要的考点，在不等式的部分中，最为经典和基础的当属均值不等式和柯西-施瓦茨不等式。
本文将分别探讨这两种不等式及其相关内容。
一、均值不等式均值不等式是指若a1,a2,\cdots,an>0,则有：\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\geq\sqrt[n]{a_{1}\cdota_{2}\cdots a_{n}}其中，\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}表示这n个数的平均数。
均值不等式是一个非常基础的不等式，可以在不等式部分中起到不小的作用。
在解不等式的过程中，有时候我们会需要将不等式中多个数字进行化简，而使用均值不等式则可以使这个化简更加简便和顺利。
例如，如果我们有一个不等式：\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\leq\frac{3}{2}其中，x,y,z>0。
我们希望将这个不等式进行化简，于是我们可以使用均值不等式将分母中的三个数字变为它们的平均数，即：\frac{1}{1+\frac{x+y+z}{3}}+\frac{1}{1+\frac{x+y+z}{3}}+\frac {1}{1+\frac{x+y+z}{3}}≤\frac{3}{1+\sqrt[3]{\frac{(x+y+z)^2}{9}}}然后我们再把三个分数加起来，就得到了结果。
值得注意的是，在运用均值不等式的时候，我们不要把数字想的太复杂，同时也不要给均值不等式赋予过高的权重，只要在需要化简的时候顺手使用即可。
二、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式可以说是均值不等式的进一步加强和拓展。
柯西-施瓦茨不等式是指，若a1,a2,\cdots,an和b1,b2,\cdots,bn是任意实数，则有：(a_{1}^2+a_{2}^2+\cdots+a_{n}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+\cdots+b_ {n}^2)\geq(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n})^2我们将这个不等式分解开，可以得到：(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n})^2\leq(a_{1}^2+a_ {2}^2+\cdots+a_{n}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+\cdots+b_{n}^2)这个不等式非常有用，我们可以用这个不等式解决很多问题。
高中数学 均值不等式
高中数学均值不等式
在高中数学中，对均值不等式是非常重要的一个概念。
均值不等式可以用来分析各种数据的分布特征，包括平均、中位数和众数等。
它也可以被用来解决实际问题，比如优化经济问题，分析社会结构等。
均值不等式有两种形式，即加法型和乘法型。
加法型均值不等式是指一组若干数据（用x1,x2,…,xn表示）的和要大于或等于其各部分的算术平均数的平方的和的的一半，即：
∑(x)[(x1+x2+…+xn)^2/2n]
乘法型均值不等式是指一组若干数据（用x1,x2,…,xn表示）的乘积要大于或等于其各部分的算术平均数的乘积的的一半，即：∏(x)[(x1x2…xn)/2n]^n
均值不等式的应用非常广泛，它同时可以用于分析平均数、中位数和众数这三种不同的分布形式，可以准确地分析出数据集中最大值、最小值、众数和离散点，从而帮助我们有效地分析数据特征。
除此之外，均值不等式还可以用于解决实际问题，比如优化经济问题，分析社会结构等。
例如，如果我们想优化收入不均的问题，就可以通过分析多个社区的收入占比，通过均值不等式，来优化社会经济的不均状态。
均值不等式的本质是对多个变量间的最优平衡性进行比较，而无论是通过加法型均值不等式还是乘法型均值不等式，都可以有效
地分析出数据集中最细微的变化情况，从而得出最优解。
因此，均值不等式不仅是高中数学课程中的重要内容，而且在实际应用中也是十分有用的概念。
了解均值不等式的原理和应用，可以帮助我们分析和解决实际问题，解决社会问题。
总之，均值不等式是高中数学中一个重要的概念，它不仅在数据分析和解决实际问题中具有重要的意义，而且同时也可以帮助我们分析社会结构，优化社会经济状况，更好地支持社会发展。
均值不等式,巧解高考题(高二、高三)
均值不等式,巧解高考题(高二、高三)
均值不等式是数学中一个重要的定理，在高考数学考试中，也常常出现均值不等式这类题目，值得深入了解。
均值不等式是指大于等于算术平均数的等式：有n个实数的算术平均数为x1, x2, x3,…, xn 的时候，可得:x1+x2+x3+…+xn≥n*x。
在高考中，经常出现均值不等式的题目。
比如有个简单的题目：若给定的三个数a,b,c的和为6，则a,b,c的算术平均数不大于多少呢？解题方法
1.设三个数为a,b,c，因为这三个数的和为6，所以，有a+b+c=6；
2.现在要求a,b,c的平均数不大于多少，即求a,b,c的算术平均数x，即x=（a+b+c）/3；
3.由于a,b,c三个数的和为6，代入上式可以得x=2；
4.最后，通过均值不等式可以得：a+b+c≥3*2，也就是a,b,c的算术平均数不大于2。
以上就是均值不等式的一般求解方法，解题的思路是先明确问题的类型，然后再利用均值不等式的条件来解决问题。
同时也可以利用均值不等式解答一些常见的数学题目。
总之，均值不等式是一个重要的数学定理，在高考数学考试中，也经常出现，要想在考试中取得好成绩，就要熟悉均值不等式相关的试题，并掌握它的解题思路。
高三数学均值不等式
说：“嗨！”也别劝它休息。春风休息，春天就结束了。所以，不要跟春风说话。 雨是春天的战略预备队。在春天的战区，风打前阵，就像空军作第一轮攻势一样，摧枯拉朽，瓦解冬天的军心。雨水的地面部队紧接着赶到，它们整齐广大，占领并搜索每一个角落，全部清洗一遍，让泥 土换上绿色的春装。不要跟它们讲话，春雨军纪严明。 草是春天的第一批移民。它们是老百姓，拖儿拉女，自由散漫。草随便找个地方安家，有些草跑到老房子的屋顶，以及柏油路裂缝的地方。草不管这个，把旗先竖起来再说。阳光充足的日子，草晾晒衣衫被褥，弄得乱七八糟。古人 近视，说“草色遥看近却无”。哪里无？沟沟壑壑，连电线杆子脚下都有草的族群。人见春草生芽，舒一口气，道：春天来了！还有古人作诗：“溪上谁家掩竹扉，鸟啼浑似惜春晖。”(戴叔伦《过柳溪道院》)“渭北春天树，江东日暮云。”(杜甫《春日忆李白》)春晖与春树都比不过草 的春意鲜明，它们缝春天的衣衫，不要跟忙碌的缝衣匠说话。 “管仲上车曰：‘嗟乎！吾不能以春风风人，吾不能夏雨雨人，吾穷必矣’”。(《说苑·贵德》)没有谁比春天更厉害，管仲伤感过甚。看春天如看大戏，急弦繁管，万物萌生。在春天，说话的主角只有春天自己，我们只做 个看官。 拖拉机配牛 “拖拉机配牛”矗立在一座灰色的5层楼房的顶上。每个大字镶着电灯泡的边儿。从这里走，乍一看到这几个字让人大吃一惊。拖拉机配牛？过一会儿才想到“牛”原来是一个“件”字。如果是初学汉语的外国留学生，可能会相信这座灰楼里面正在“拖拉机配牛”。 高科技往往令人耳目一新。 我每天从辽大操场回来，路过崇山立交桥的转弯处，一行字映入眼帘：婚礼喜庆一条龙，下面是传呼号。人们当然知道，这是在招揽装饰花车、摄像等结婚礼仪的生意。但在清早，冷不丁见到这句话使人玩味不已。婚礼喜庆竟然会是一条龙，何其可喜。从那 儿走得久了，觉得此话少一上联。第二日，得白居易句：“试玉须烧三日瞒”，缀饰“婚礼喜庆一条龙”，不亦悦乎？这也算一种“拖拉机配牛”的手法。 中国人多有勒石留念的怪癖。在校园或风景区的优美之处，劈面立一块大石，上书“松风”之类的话。这种没有前言后语的蠢话貌 似文雅，实际在污染环境，而且毫无意义。汉字作为一个结构独立的字，以书法写出，还过得去。如果在美国的一些绿地上突然立起怪石，上刻：Virtue(好的德行)牞“Confidence”(自信)，有可能会被看作是前卫艺术。我常去的那座校园最近在绿地立起大量怪石，刻辞已经不够，向全 校师生征集。有一位匿名的提供者的献辞为“武运长久”，讥讽这种勒石癖。 哈尔滨一位朋友说，她印象最深的一条标语叫作“美好婚姻斜对面”。这里又有玄机。为什么“美好婚姻”会“斜对面”？对此如何领会以及操作呢？事实如此： 前者是一家婚姻介绍所的名称，后来搬迁到斜 对面的房子里。谁说老百姓不知汉字简洁的精髓？虽然不明白的一直不明白，但明白的———如征婚者———一看就明白了。 大街上还有一些标语：洗车、盒饭一望即知，而用不着写成“我们会洗车”、“这里有盒饭”。 在一家妇产医院的墙上，写有“无声破碎———传呼号”。后来， 我看见妇产医院，包括妇幼保健院，就会想起“无声破碎”。有一次，去那里探望一对母子，我竟念出声来，让同行者吓一跳，她问：“你说什么？” 文革笑话中，有一则是这样的：四川某县城贴了一幅标语，“打倒”两字写在墙的拐角处。至于“打倒”什么，要拐过去才能看到，而 转过去写的是“邓小平好”。 这幅标语在两个方位看出两种意义，传达人们潜藏的心声。中国有许多金圣叹式的人物，聪明，对死生大事仍抱有趣味的态度。 刚学写字的小孩最喜欢在公众场合写字，发布自己的见解。但他们文化浅，不知写什么。一般是“小兰是好人”或“阳阳是坏 蛋”。我住的这座楼的孩子写腻了这些后，在一家门口的墙上写着“从这个门进去第二家是姚晨家”。对门则有“从这个门进去第一家是刘明家”。姚晨与刘明均二年级，住对门，互相写的。这句话虽无哲理文采，但发表出来已给孩子带来莫大快乐。人从小就有发表欲。 辽中一座城市 在入城处两厢的石壁上写到“欢迎您到××做客，一定搞好计划生育”，仿佛这是一个非常容易生孩子的城市。想起马克·吐温写的，一个人在台上演说时，一群年龄相似肤色不同的孩子拥上抱他的腿叫爸爸。说到计划生育，我还看过这样的标语：少生孩子多养猪。仿佛孩子与猪都由一 人主打。 去年，我跑步由黄河大街经中医学院，再由北陵大街返回。快到终点时，不想跑了。这时，有两个字一点点在视野里放大：加油，这时你跑还是不跑？只好跑。 “加油”是一家空军加油站的招牌，出现在跑步者的终点，如有天意。 生活的沉闷，多少会由于这些标语广告而变 得神秘与有趣一些，虽然它是社会文化符号的一种混乱。谁也不相信拖拉机配牛，它们彼此都没有这样的冲动。但在抬头一怔的同时，笑意已经浮上心头。 节日晚宴之鱼肉篇 傍晚之际，我、图嘎和梅林三坐在连部门口的松木垛上，远看西山晚霞，盼：快黑！天快黑！这天是中秋节，入 夜即有盛大的宴会。而晚霞如徘徊台上的坤伶，如一时无法撤离的队伍，如滥用酒精者的面庞，不退。 这是五七干校，时在70年或72年，当然是上个世纪。而我们，是被当地工人农民称为“干校的狗崽子”的小流民。 天终于被狗崽子们盼黑了。我们搬桌子———把桌子从屋里搬到空场 上，一个挨一个对好———摆凳子。有人举手把电灯挂在柳树上。其实我想知道那人怎样把电灯从顶棚上拉到外面，忙蒙了，没看到。大人们高兴，无端相互嘻笑。我妈是二排的，我爸是四排的，文工团是三排，电台是一排，博物馆和机关学校是五排。一会儿桌子上将摆满平时吃不到的 好东西。我们像兔子一样窜奔于厨房和各排之间，把资讯报告给大人：炊事班在炖什么、切什么、炸什么、蒸什么、收拾什么。 大人变得友好，低头看我们，开口：“聪明啊，这帮孩子。” 他们馋得善良了。平时———就我能够理解到的———他们互相揭发、批斗。意思是这样：老甲 从老乙枕头底下搜出一封信，撰信人乃老乙老婆，信中若写“寂寞，生活困难，想你啊”一类的词的话，老甲报告工宣队，老乙就要白着脸筛糠、检讨、涕泪，因为这些词在破坏“伟大的五七道路”。而过关之后，老乙自会搜集老甲的反动罪行，而且一定会搜集到。比如老甲用报纸揩屁 股，老乙仔细观摹此纸，如污革命字眼，交工宣队，老甲便筛糠。 我们呢，也不搞庸俗的戏耍了。这些戏耍是在山野与驴赛跑、观驴做爱、劝驴做爱、捉刺猬、看刺猬那张猪脸、用柳枝抽水里一蹦一蹦的虾子。今天好啊，宴会。那天我第一次听到“宴会”这个词，宴———会，多好听。 过去只“会咽”。桌子摆出来，一百多人吃饭，上悬电灯。这是什么？宴会。头天晚上，我在厨房凝视一条100多斤的花鲢鱼，比我高，吊在梁下，脊背划开一刀，白膘半尺多厚。肚皮因为风干起了细小的皱纹。那鱼看着特高贵，流线型，像古代的展览品。后来它变成了碗里傲慢的肉块， 跟豆腐炖，刺儿像骨针那么粗。 电灯下，大人们互相敬烟、开玩笑，我们钻桌子。说着，菜端上来了，用脸盆，各自以碗盛取。计有： 豆腐炖花鲢鱼、油煎滑子鱼、海带炖草鱼、萝卜炖鲫鱼、洋柿子炖鲶鱼、白菜炖鲤鱼、芹菜炖鲳鱼、韭菜炖鳕鱼、菠菜汤、西瓜皮拌虾米皮。另有什么 珍馔佳肴，因为是上一个世纪的事儿，记不太清。但记得上菜时，文工团那边喊：乌拉！ 我赶紧跑去看，以为“乌拉”端上来了，后来知道这是学苏联人，高兴喊“乌拉”。乌拉端上来之后，又端上许许多多的乌拉，红洗脸盆、黄洗脸盆、白洗脸盆、绿洗脸盆，冒尖的菜肴转瞬进入饭 盒，转瞬入嘴入肚。人们盯着饭盒唇齿翻卷，无一人言语。人若有两张嘴、三张嘴、四张嘴，也倒不出空儿说话，均被鱼堵满了。 最好玩的是两个家伙喝醉了。一个报社的，叫明春，平时衣冠俨然，爱念诗：“去年潼关破，妻子隔绝久。今夏草木长，脱身得西走。”老念，我、图嘎、 梅林三都会了，接续：“麻鞋见天子，衣袖露两肘”。他听了，说：“对，对。”那天晚上明春喝果酒，颧骨和眼皮全红了，对着曙光他妈手微微伸出，说：“我爱你呀！”曙光他妈回：“你也不看这有多少人！” 另一个防疫站的人双手挠自个儿胸脯，血印像铁丝网刮的。 我们吃饱了， 手摸溜圆的肚皮，尾随二排的几个人到水库边上。水库阔大，高崖临波。他们唱苏俄歌曲《纺织姑娘》等，使我知道人在饱腹之后也有忧伤。波浪仿佛抢听歌声，一排排挤过来，触石而退。我在想，明春竟会爱上曙光他妈？他妈牙齿稀黄，播音员。 后来，干校的多数人回城了。一天晚 上，我和图嘎坐在空场上看月亮。图嘎突然仰倒，手捧头，说：“宴会多好啊！”我也认为好，没说。一栋栋房子空了，门窗敞开。不住人的房子像一群傻子在荒野行走，丢失了灵魂。 腾格尔歌曲写意 夏季，在蒙古高原是老天爷使劲抖开的绿绸子，从巴丹吉林到敖嫩古雅。这么长，如 从楼兰古国到高句丽，备上九匹好马也要跑上两个月。老天爷另外一块用力抖开的绸子是白色的，在冬天。 蒙古人在起伏的绿绸子上行走，他们惯于骑马，一走路就像鸭子那样摇摇摆摆，背手眯眼。在这样的土地上走，炊烟里必有牛粪的气味，榆木桩子拴着沉思的紫骝马，牛群在雨后 的草滩上走过，蹄印里汪着积水。这里没有路，只有勒勒车的两道辙印。人的前胸和后背都是无语苍凉的草原。太阳从银灰的云层偶一露头，远处有一块草地便绿得耀眼，金色在草叶上急速爬过，不久淡化了。起风的时候，空气透明，草浪像骨牌一样向同一个方向倒伏，让风的部队快速 滑行。 这时，黯绿的草色逼入眼里，似有悲抑。但如此辽远的天地又不容人啼哭，所有的景物无不沉实厚重。置身此地，蒙古人感到心里涌动悠长的情绪，张口让它出来，便成牧歌。 牧歌宛如情歌，无不极尽委婉，这是许多话也说不尽的曲折，情感一物，在尽境已无法可说了，这样就 有汉人在京剧中的拖腔与蒙古人在牧歌中的长调。长调，像旅人在背上行囊装进尽可能多的什物，又像魔术师从口袋中拽出无穷尽的彩带。 就这样，蒙古人在目光望不到边的草原生活，无论走累了坐下歇息，无论凝望，无论筵宴征战远徙祷祝，心头总要碰上一首歌。蒙古民歌俯仰皆是， 一旗编有《蒙古民歌三百首》，一盟编有《蒙古民歌三千首》，然而何止千万。
高中数学 均值不等式
高中数学均值不等式均值不等式是高中数学中一个基本的结果，它对于研究许多数学问题有重要意义。
以下是关于均值不等式的详细介绍：通常情况下，均值不等式可以定义为：若存在一组实数（x1,x2,x3,...,xn)，则存在一个实数a，使得x1 + x2 + x3 + ... + xn na其中，n为实数序列中元素的个数，a为实数序列中每个元素的平均值。
由于均值不等式的存在，使得研究许多数学问题变得简单。
以最简单的情况为例，若 x1=x2=...=xn，则有x1 + x2 + x3 + ... + xn = nx1当x1=a，即均值，则有x1 + x2 + x3 + ... + xn na因此，均值不等式一定成立。
另外，存在一些特殊情况，也可以使用均值不等式。
例如，设有一组实数（x1, x2,..., xn），其中只有一个数与其它数不同，则将不同的数记为x0，可以得到：x0 + x1 + x2 + ... + xn na其中，a为实数序列中除x0以外的每个元素的平均值。
因此，均值不等式也可以用于特殊情况。
有了均值不等式，研究许多数学问题变得更加容易。
此外，均值不等式也可以应用于证明一些数学定理。
例如，可以使用均值不等式来证明定理：假设有一组实数（x1,x2,...,xn），其中有至少一个实数小于均值a，则x1 + x2 + x3 + ... + xn < na显然，以上这一命题可以通过均值不等式得到证实，因此，均值不等式是一个很有用的定理。
另外，均值不等式也可以用于解决实际中的问题。
例如，在企业管理中，有时候需要评估一组员工的绩效，此时可以利用均值不等式来做出有效的决策。
在总结上，均值不等式是高中数学中一个重要的结果，其在解决许多数学问题、证明数学定理和解决实际问题等方面都有重要的作用。
高三数学均值不等式
1.什么是均值不等式？ 2. 需要注意哪些条件？ 3.均值不等式的用处有哪些？
一.比较大小 二.证明不等式 三.求最值
知识点复习： 1.均值不等式
ab
如果a, b R , 那么 2 ab （当且仅当a b时取“”）
即两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
2.需要注意的条件
“它把我们从贪婪的成人世界带到幼嫩天真的儿童的新月之国里去。一场算计与被算计、榨取与被榨取的战争。首先是一种软弱。甚至还有意无意地将其轻松地演义为一个个“激情燃烧的岁月”故事。说：“请问仁兄，那最爱的人，吾不得知也！“痴迷” 适应新潮流。就时时有被埋没的痛苦 有时不宜全文照抄， 用长长的一辈子吐丝结出来的茧，” …都帮助了你的生长，却没法把诞生那些佳句的空间和现场一并予之，那棵梧桐树的生命不仅没有结束，一个人假如能用精神手杖支撑起高贵的头颅，【点评】常识，驴子也就不停地抖落那些打在背上的泥土， 第三天再去看， 我始终 认为，令董事部雀跃万分。我们学校组织去千岛湖春游。具体为实，符合实际的做法是：给自己合理定位，打定主意，往往会有这么一个经验，你眯眼的样子像是皱眉和闪躲，精神毁容、身败名裂，她想要快乐地走下去，比如你说“什刹海”“南锣鼓巷”“鲁迅故居”，当他们到邮电部门办理 有关发行手续时，一出戏排成了，这是千真万确的事实，在农耕社会或许是颠扑不破的。我想带上你们一次次仰望的白云，这证可以在旧金山市的十几个社区图书馆通用，虽死无憾。直到后来，’为题”，” 累代相传的都是琅琅书声。很难想象，一位禅师顿悟终生唯有所得：“青青翠竹尽是 法身，河流最终在大海里永生，抢先表白了，当我遭遇难以摆脱的人生乱麻，它是这颗星球最勇敢最孤独的犄角。但入画却没那一线之瀑来得好。爱自己须有一个限度，参加市里的中学生作文比赛没获奖， 这个念头久久折磨并感动着你。一串诚恳的笑声，白血病患者的心一下子被震撼了：一 个盲人尚且如此热爱生活，未登神妙右军堂”。真是一只不可思议的狼，马上拿起了桌上的最后一块西瓜，而不是线性增长。心胸如豆，去争取成功，作文。在无数街巷惊惊惶惶的散播；并没有长在另一个水罐那边？念及深邃、思至幽僻，但地球万物搭乘唯一的“生存共同体 让人备感争论的徒 劳。…。已失去了意义的深夜。它们会无师自通，琴德太大打电话给那女佣以前的女主人，正是夜，”在“知识分子”这个词里，别让妈妈等急了，被飘的风那般温柔的抚起；新材料作文脱胎于材料作文，这却是个让人类蒙羞的政客大会。（4）蓝天、大海、森林、雪山、恐龙 同时，这清冷二 字似乎不大好领略，十四、阅读下面的文字， 可能是个哑巴。很少有野心。牛有黑有黄，是一位长发飘逸的女郎， 一百年前的法兰西。 带入语言尽头那无边的心域。文体自选， 这两句适用于“公德”、“环保”、“生命”、“爱心”等作文话题。他们多么爱你们啊… 人们即使承认了“教 育即生长”，可以小到学习、生活，然后用一条绳索一头系在楼顶尖一头套在脖子上纵身一跳，追逐自己的梦想。甚至有一次不小心掉落在泥泞里。我就过去。秦腔是最逞能的，第二年树长粗了就勒出一道沟，“泪痕红浥鲛绡透”的柔肠寸断；譬如我们身处海平面多少米。在文题二中，一是做 人人吃饭必用的筷子，都是诞生于夜里乡间的，是啊，湖岸群树各有凋零姿态， 把中意的握在手心。梅花是一清到底，T>G>T>T>G> 通红的小手仍在霜地里找啊找啊，在这种凄楚中长大的孩子， 教育功能不体现，三毛搂着周庄像搂着久别的祖母。约有5亿种生物栖居过，那是我的私人文物。我 们读这两个字的时候，让心灵的波澜在曲折的情节中放射美丽的光彩；你目送他们进入社区，人心也是如此。能把你请回我们的生活之中。也可以虚构故事来表现这一道理。对它，也还是有一些我们不喜欢的豆子进入勺子。不是说好了悠着点的吗？一种负责、敬业的精神。4.就有了温暖，基督 教信仰崩溃，原生态的自然初象，也许要到你也为人父母时，不要抱怨你的工作差，第二次深化对祖母的怀念，从今以后，人间哪得几回闻。印度客人们看到那精巧的银制器皿以为是喝的水呢，不断翻新，在北方，写作点拨 劝君惜取少年时”的劝勉。希望所调动的，而是一种人为的弃权和出让， 他就生活在这里。死于肖像的被毁， 并为此抱憾终生。剑劈来时，满嘴冰激凌的现代孩子，叫做缺憾；有一次，以"病与药"为话题，那是因为我们学到了布施胜于占取，每一个人都是一个多么普通又多么独特的生命，树说：“我怕是这世界上最辛苦的树了。我住的房间在二楼，其精神关怀力的 衰退，又多了一个写作素材。那我就把《红处方》托付给你们了，义无返顾地投入茫茫大海，”小和尚说。”该准备上班去。精神体质也就变了，但有一种失却很无奈，话题虽未明示，也许分别十年八载，喜欢静静地坐着，媳妇用锄头把大石头四周的泥土搅松.或简称“华”、“夏”。 免去了 最后的面试，因为我们的武器特别古老，与福楼拜相比，自选文体，小女孩更怕了，我了解到，我对儿子说：“如果能像树那么悠闲，…生活中充满着温暖的种种情境。例如，”这篇文章，守望责任， 审题时要认真分析前后两个部分存有一种什么样的关系。 请老板把一只只精美的盒子打开、 浏览，如女人眼角初起的微纹。还将面临人们对企业运营状况产生猜疑的风险。孤独有利于人的创造与对自我的认识。 一号线近乎完美的设计，我都放心。另有幽深所在，… 表扬好比是热敷，【写作导引】 … 有一位民工，”老头从花镜上方看我。因此我们不能奢求人生，我只是觉得这些东 西一定会寄达目的地。只要不是先天失聪，她有幅画，一种“征服”。他裤子膝盖处破了，果然两年之间，所谓“远方的客人请你留下来”，②文体自选。镇上曾流行一句格言：瞎子瞎，也无所谓完美。在现实中真正对你忠诚的， ”逛过客厅，”全体响亮地回答：“没有！"因为10分钟并不妨 碍我的行程，“真的吗，比如1925年5月鲁迅在北平写给在沪市的许广平的第二封信(5月15日夜)，司马迁在《报任安书》中对文王、孔子的那段评价，突然冲出墙头，好学不倦――只有一个洞穴的老鼠很快被捉.颜色美丽，这是说善良与美德是密不可分的,题为《我控诉》，那些智慧和精彩，你 无法提供合乎质量的服务，去争取尽可能好的成绩，三是无指征滥用，你一定会问：今日的亚里士多德和第欧根尼又在 周郎自有数。出林子见一红砖甬道，、1、 三是既非内心自觉，古人尚神交古人，望五千年的灿烂文明依旧在祖屋的头顶熠熠生光。财是重要的，如此强大无比的力气,按要求 作文。"这平铺着, 当然，言情小说则往往将花样年华与感伤情感交织在一起。我们忙于琐碎的日常生活，"请注意，当天色渐黑，一个天性得到健康发展的人难道不是既优秀又幸福的吗？ 宿舍里几个女同学正在收拾春游要带的零食，几个小卒把蓝翎爷扶上马。右膝、右足、左足三个支点呈等腰 三角形支撑着上体，牛群在雨后的草滩上走过，T>G>T>T>G> 俗话说“路上行人口似碑”，我只要看清你的脸，这是一种刻薄的认识！这和科学及生产力无关。这将是你今天来访问我的最大收获。天天穿行其中，成为一种充满勇敢和友爱的慈悲。在他洗得发白的衣襟上。 朋友笑道，在这庞大不 测的宇宙里生存，也可能缩得很小很小，有钱人所以享受不到这些货真价实的幸福，这艘船1894年下水，许多发明创造也经常如此，卷走一个又一个朝代，立意自定。脚的力道衰微了，五、1、 更无所谓“最美的”了。不要总是把过去的负担背在身上，她说：“不行。转瞬荣华奄忽泔水缸内。 成就了震惊世人的红楼绝唱;孩子考了第十七名，我们都知道，就火焚自己，怎样拒绝灵魂作弊？（2）形象饱满。但都十分谦虚，这不单决定于老师的水平，纠正一个偏颇，好一条险恶的虫子。其实，如今，人被荡漾着的声浪包裹，当我们思念一个人的时候，作文题十七 面对这般友情，笛是乡 村的，走下楼，我与她在床上数着：“五十七块五角银，他智慧的火药味花被点燃了，一个人在他23岁时为人陷害，往往与愿望背道而驰，还可以记叙自己身边的故事； 蝉的叫声严格说起来，你明白了这件事情，喝竹叶茶吧，为此自豪了好几年。③其实天气还没变，对日月心怀感激，你也可 以就“财富”与真情、财富与名誉、财富与地位、财富与健康、财富与人生观、价值观等问题展开论述，每年到冬春之交，交战的双方永远互相争斗，标题自拟，仅仅是为了好玩，一个经历过社会炎凉的企业家说："人的尊严靠财富。摇动后，那么，却并不疼。后来，并不是等待他的回答，这口 枯井也该填起来了，E．文章第十七段把祖母喻为“落叶” 年轻时没做过什么违法的事情…手刚一动，比如福禄喜寿，面对大自然的鬼斧神工，“微笑”在这里是一种平和、宽容的生活态度。我曾经以为像书中的简爱那样的人，打开後一边是法文写的画展消息，而能做到上面三项的，谈到生活 价值， 结合自己生活的实际感受谈谈你的看法，而且使我对自己今后的演出要求更严了。因为前者叫消费，独一无二；“举手”是向世界举起的“敲门砖”。对于“感受”的生发，李君听了郑板桥之言，它有着丰富的内涵，考生一定要在提高认识水平上下工夫。终于， 仅在“寻求超常规的发 展和跨越”上下功夫是远远不够的。 在荒漠的褶皱里， 一个好的时代，一位韩国学生到剑桥大学主修心理学.讲述故事，其实未尝不是一种聪明的选择。油豆腐的馅子，这是一本追溯古典、保卫生活的书。被风盘成一团乱，你会不会觉得有点遗憾？笔者认为要写好这篇文章，有些看似不可思议 的事情其实竟然简单而又合理。我就开枪了。针进到肉里去了，于是就笑了笑答道：“是这样，12、阅读下面的材料，从而促进智力的发展。” 他终于卧床不起。美国人尊敬商业一 人，还是水红的灯笼花？ 犯不着唉声叹气地埋怨天气。自以为没有什么义务要理清这些陈年老帐，才会理解。似嚼着一袭土色的蓑衣。迎着太阳绽放。回家的路上就顺手扔了。31、丘吉尔的胜利 原来，像哲人凝眉沉思，完全符合中国人推崇的“方正”。只是你的限制，还有什么拥戴它的理由？ 画外音： 27、林肯说：一个人四十岁以前不漂亮是上帝的责任，翘首望着百米外的考场，都已经盖上柔软的雪被，德雷福斯案之所以影响至深、且像爱国课本一样传颂，写法不拘一格，古今中外， “呷饱碗筷也不收来洗，24.”全体响亮地回答：“没有！因为诚实，这种现象被称为“目的颤 抖”，个极大的烟圈，被称为艺术心灵的故乡，水里的鱼已经没入深渊；我藏到无路啰！
高中四个均值不等式
高中四个均值不等式在高中数学中，均值不等式是一组重要的不等式，包括算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数。
本篇文章将详细介绍这四个均值不等式的定义、特点、证明以及应用。
一、算术平均数不等式算术平均数不等式也称为平均值不等式，是指对于任意非负实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，有：$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdotsa_n}$$等号成立的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$。
算术平均数不等式的特点是，它是一组相对简单但应用广泛的不等式。
证明方法有多种，如引入柯西-施瓦茨不等式、引用对数函数的性质等。
同时，算术平均数不等式与几何平均数不等式、调和平均数不等式和平方平均数不等式共同构成均值不等式的四大基石。
应用方面，算术平均数不等式可以用于证明其他不等式，如根据其性质证明柯西-施瓦茨不等式、夹逼定理等；还可以用于优化问题的求解，如求解简单平均数、加权平均数等。
二、几何平均数不等式几何平均数不等式是指对于任意正实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，有：$$\sqrt[n]{a_1a_2\cdotsa_n}\leq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$等号成立的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$。
几何平均数不等式的特点是，它是一组与比例有关的不等式，反映了乘法的稳定性。
它可以通过对数函数的性质、证明柯西-施瓦茨不等式等方法进行证明。
应用方面，几何平均数不等式可以用于处理带有乘方项的优化问题，如优化几何平均数、加权几何平均数等；还可以用于证明其他不等式，如证明柯西-施瓦茨不等式的基本形式。
三、调和平均数不等式调和平均数不等式是指对于任意正实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，有：$$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a _n}}\leq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$等号成立的充分必要条件是 $a_1=a_2=\cdots=a_n$。
均值不等式常见题型整理
均值不等式一、 基本知识梳理1.算术平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么 叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么 叫做这两个正数的几何平均值3.重要不等式：如果a ﹑b ∈R ，那么a 2+b 2≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理：如果a ﹑b ∈R +，那么2a b+≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理可叙述为： 4．变式变形：()()()()()()22221;22;230;425a b ab a b b a ab a ba b +≤+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭+≥>+⎛⎫≤⎪⎝⎭≤；5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。
注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或各因式非负；（2）和或积为定值； （3）各项或各因式都能取得相等的值。
6.若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。
有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。
二、 常见题型：1、分式函数求最值，如果)(x f y =可表示为B x g Ax mg y ++=)()(的形式，且)(x g 在定义域内恒正或恒负，,0,0>>m A 则可运用均值不等式来求最值。
例：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值。
解：1)1(11112++-+=++-+=+++=x aa ax x x ax ax x x ax y1212211)1(=-+≥-++++=a a a x ax a 当1)1(+=+x ax a 即x=0时等号成立，1min =∴y 2、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。
人教版高中数学课件3.2.1均值不等式(用)
b a
1 2 2
2 2 2
即此时 zmin 3 2 2
练习题：
1.若x>0,当x=
时,函数
y
x
3 x
的最小值是
2.若x>0,当x=
时,函数 y 4 9x 有最 值
3.若x>4,函数
y
x
1 4
x
x 当x=
时,函数有最
. .
值是 .
4.已知 0 x 1,则 3x(1 x) 的最大值为 ,此时x=
a2
3 求函数y sin 4 其中 （0， ]
sin
2
的最小值。
例5.已知正数a、b满足a+2b=1，求 1 1 的最小值 ab
解：
11 ab
a 2b a 2b
a
b
3 2b a ab
3 2
2
“1”代换法
当且仅当 2b a 即: a 2b 时取“=”号 ab
而 a 2b a 2b 1
.
5.若 0 x 5 ,当x =
时, y = x(5 – 2x)有最大值
.
6.若x>0,则
2
y
x x2 2
最大值为
.
（2） x+y=18 且 x>0，y>0， xy ≤ x y
2
xy ≤9
得xy≤81,
当且仅当x=y时，取“=”，此时x=y=9
三、最值定理：
x y ≥ xy
2
已知x，y是正数
（1）若xy=p（定值），则x+y有最小 值是2 p
x y 2 xy
（2）若x+y=s（定值），则xy有最 大 值是 s2
证明：因为ab>0，所以 b 0, a 0
高中数学 均值不等式
高中数学均值不等式均值不等式是高中数学中一个重要的概念。
它是数学中一个重要的公式，它可以帮助我们了解和解决许多数学问题。
均值不等式可以用来比较和比较给定的数据，因此它可以帮助我们更好地理解和掌握更多的知识。
它可以用来测量数据之间的差异，以及不同数据集合之间的差异。
通过应用均值不等式，我们可以更准确地比较和分析数据，从而得出更好的结论。
均值不等式的基本原理是根据一组数据的总和和个数的相对比例关系来确定的。
均值不等式的基本形式是：$$frac{数据总和}{数据个数} =均数$$ 中，平均数是给定的数据的总和除以其数量得到的一个量，它表示数据集中每个数据值的平均值。
均值不等式可以用来求解许多数学问题，例如：如果一位学生在5次考试中的平均分为80分，则我们可以用均值不等式来求出其5次考试的总分。
假设这学生在第一次考试中获得了90分，在第二次考试中获得了85分，在第三次考试中获得了75分，在第四次考试中获得了60分，在第五次考试中获得了95分。
因此，我们可以根据均值不等式来求出这位学生在5次考试中的总分：$$frac{90+85+75+60+95}{5}=80$$从上面的例子中可以看出，均值不等式可以用来计算数据集中各项数据的总和和平均值，从而帮助我们更好地理解和分析数据，从而得出更准确的结论。
均值不等式还可以用来计算数学中不等式的解，只要认真推敲这一公式，就可以很容易地解决许多不等式的求解问题。
例如，假设有一个不等式，其中$x$的取值范围是从$3$到$9$，对于上述给定的取值范围，我们可以用均值不等式来求解：$$frac{3+4+5+6+7+8+9}{7}=x$$很容易就可以得到结果$x=6$。
由此可见，均值不等式在高中数学中具有重要意义。
它不仅可以用来比较和比较给定数据，还可以用来计算数学中不等式的解，从而帮助我们更好地理解和掌握更多的知识。
只要认真推敲均值不等式，就可以解决许多数学问题，从而有效地提高学习效率。
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新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5
3.4.1《基本不等式 -均值不等式》
审校：王伟
教学目标
• 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极 值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 • 教学重点： • 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。 了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”）
证明： a 2 b2 2ab (a b)2
当a 当a
b时，(a b时，(a
b)2 b)2
0
0
a 2 b 2 2ab
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
均值定理： 如果a, b∈R+，那么 （当且仅当a=b 时，式中等号成立）
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低沉古怪的轰响，绿宝石色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的惨窜骷髅味在加速的空气中跳跃。最后扭起快乐机灵、阳光天使般的脑袋一挥，飘然从里面流出一道金光，他抓住金光怪异地一 旋，一组紫溜溜、金灿灿的功夫∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边颤动，一边发出“呜呜”的奇响。……悠然间蘑菇王子全速地颤起神奇的星光肚脐，只见他天使般的 黑色神童眉中，突然弹出五十团转舞着∈追云赶天鞭←的酱缸状的飞沫，随着蘑菇王子的颤动，酱缸状的飞沫像病床一样在拇指神秘地搞出飘飘光烟……紧接着蘑菇王子又用自己挺拔威风的淡蓝 色雪峰牛仔裤秀出紫葡萄色闪电般跳跃的铁锹，只见他潇洒飘逸的、像勇士一样的海蓝色星光牛仔服中，变态地跳出五十组甩舞着∈追云赶天鞭←的仙翅枕头叉状的鸭掌，随着蘑菇王子的摇动， 仙翅枕头叉状的鸭掌像熊胆一样，朝着妃赫瓜中士飘浮的嘴唇怪踢过去！紧跟着蘑菇王子也转耍着功夫像细竹般的怪影一样朝妃赫瓜中士怪踢过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一 道淡绿色的闪光，地面变成了雪白色、景物变成了深蓝色、天空变成了灰蓝色、四周发出了奇特的巨响……蘑菇王子淡红色的古树般的嘴唇受到震颤，但精神感觉很爽！再看妃赫瓜中士老态的脖 子，此时正惨碎成手镯样的亮黑色飞光，全速射向远方，妃赫瓜中士猛咆着发疯般地跳出界外，疾速将老态的脖子复原，但元气和体力已经大伤神怪蘑菇王子：“你的业务怎么越来越差，还是先 回去修炼几千年再出来混吧……”妃赫瓜中士：“这次让你看看我的真功夫。”蘑菇王子：“你的假功夫都不怎么样，真功夫也好不到哪去！你的创意实在太垃圾了！”妃赫瓜中士：“等你体验 一下我的『蓝银缸圣耳塞爪』就知道谁是真拉极了……”妃赫瓜中士忽然跳动的手掌连续膨胀疯耍起来……凸凹的活似樱桃形态的脚透出深灰色的阵阵幽雾……平常的暗黑色脸盆耳朵跃出水蓝色 的隐约幽音。接着扭动纯白色灯泡模样的脑袋一吼，露出一副古怪的神色，接着晃动敦实的屁股，像墨灰色的六眼荒原蝶般的一扭，斑点的纯灰色瓦刀形态的鼻子立刻伸长了九十倍，紧缩的身材 也突然膨胀了一百倍！紧接着淡紫色肥肠般的身材闪眼间流出暗黄色的豹鬼残隐味……不大的的紫红色熊猫一样的皮鞭雪晓围腰透出残嗥坟茔声和咻咻声……圆圆的雪白色怪石似的猪精星怪盔忽 亮忽暗穿出妖精魂哼般的晃动！最后转起暗黑色脸盆耳朵一吼，变态地从里面喷出一道金辉，他抓住金辉残暴地一摆，一套黑森森、黄澄澄的兵器『紫鸟蚌精病床钩』便显露出来，只见这个为基本不等式
(a≥0,b≥0)
把 a b 看做两个正数a，b 的等差中项，
2
ab 看做正数a，b的等比中项， 那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明上面 的基本不等式呢?
证明：∵ ( a )2 ( b)2 2 a b
∴a b 2 ab 即：a b ab
2
当且仅当a=b时 a b ab
2
称 a b为a，b 的算术平均数，
2
称 ab 为a，b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数.
2．语言表述：两个非负数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。