数学教案：圆锥曲线

高三数学概念、方法、题型、易误点总结（八）

八、圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是

A ．421=+PF PF

B ．6

21=+PF PF C ．10

21=+PF PF D ．122

2

2

1

=+PF PF

（2）方程2222(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是_____

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其

商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点)0,22(Q 及抛物线4

2

x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是__ ___

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b

y a x （0a b >>）⇔{

cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），

焦点在y 轴上时22

22b

x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，

且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

如（1）已知方程1232

2=-++k

y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____

（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2

2y x +的最小值是___

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22

22b

x a y -＝1（0,0a b >>）。方程

22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）

。 如（1）双曲线的离心率等于2

5

，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______

（2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=

e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，

则C 的方程为_______

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时

22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2

,y

2

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程12122=-+-m

y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是_ _

（2）双曲线：由x 2,y 2

项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，

a 最大，222a

b

c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以122

22=+b

y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦

点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c

=±； ⑤离心率：c e a =，椭圆⇔01e <<，e 越

小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。

如（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率5

10

=

e ，则m 的值是_ _

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_

（2）双曲线（以22

221x y a b

-=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为

22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2

a

x c

=±； ⑤离心率：c e a =，双曲线⇔1e >，等轴双曲线

⇔2e =，e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b

y x a

=±。

如（1）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______