第03讲 三角形与角平分线

第3讲三角形与角平分线

知识导航

1.三角形内外角平分线夹角模型；

2.其它常见角平分线夹角模型.

【板块一】三角形内外角平分线的夹角的三个基本模型

方法技巧角平分线性质＋三角形内角和定理＋三角形外角性质＋整体思想、化归思想＋设参数计算模型 模型一三角形两内角平分线夹角

【例1】如图，点P 是△ABC 两条内角平分线的交点，求证:∠P ＝90°＋

1

2

∠A. P

C

B

A

【例2】已知在△ABC 中，∠A ＝60°.

(1)如图1，∠ABC ，∠ACB 的角平分线交于点O ，求∠BOC 的度数；

(2)如图2，∠ABC ，∠ACB 的三等分线交于点O 1，O 2，则∠BO 1C ＝__，∠BO 2C ＝_____； (3)如图3，∠ABC ，∠ACB 的n 等分线交于点O 1，O 2，……O n －1. 则∠BO 1C ＝_______，∠BO n －1C ＝__________.(用含n 的代数式)

图1

图2

图3

O 2

O 1A C

A B

C

O

模型二三角形两外角平分线夹角

【例3】如图，点P 是△ABC 两条外角平分线的交点，求证:∠P ＝90°－

1

2

∠A. A

B

C

D

E

模型三三角形一内角平分线与一外角平分线的夹角

【例4】如图，点D是BC延长线上一点，PB平分∠ABC，PC平分∠AC D.求证:∠P＝1

2

∠A.

A

B C D

E

针对练习1

1.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BP，BE把∠ABC三等分，线段CP，CE把∠ACB三等分，求∠BPE的度数.

P

A

C

E

2.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点B为y轴上的一点，AC平分∠BAx，BC平分∠ABy，求∠C的度数

.

3.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点B为y轴上的一点，AD平分∠BAx，BP平分∠OBA，BP与DA的延长线交于点P，求∠P的度数.

【板块二】与三角形有关的其它角平分线模型 ◆方法技巧◆

角平分长性质＋三角形内角和定理十三角形外角性质＋整体思想，化归思想＋设参数计算 模型四◆角平分线＋高线夹角模型(设参计算＋整体思想)

【例5】(1)已知△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，如图1，设∠B ＝x ，∠C ＝y ，试用x ，y 表示∠DAE ，并说明理由；

(2)在图2中，其他条件不变，若把“AD ⊥BC 于D ”改为“F 是AE 上一点，FD ⊥BC 于D "，试用x ，y 表示∠DFE ＝_________；

(3)在图3中，若把(2)中的“点F 在AE 上”改为“点F 是AE 延长线上一点”，其余条件不变，试用x ，y 表示∠DFE ＝_______；

(4)在图3中，分别作出∠BAE 和∠EDF 的角平分线，交于点P ，如图4，试用x ，y 表示∠P ＝_____.

图4

图1

图2

图3

P

F D

B

E A

F

D

B

E C

E

B

D A

A

B

C

D

E

F

模型五燕尾形双角平分(设参计算＋整体思想)

【例6】如图，BP ，CP 分别平分∠ABD ，∠ACD ，它们交于点P .求证:∠P ＝

1

2

(∠A ＋∠D ). P D

C

B

A

模型六蝶形(8字形)双角平分(设参计算＋整体思想)

【例7】(1)模型:如图1，AD ，BC 交于O 点.求证:∠D ＋∠C ＝∠A ＋∠B. (2)模型应用:如图2，∠BAD 和∠BCD 的平分线交于点E . ①若∠D ＝30°，∠B ＝40°，则∠E 的度数是______；

②直接写出∠E 与∠D ，∠B 之间的数量关系是:__________；

(3)类比应用:如图3，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E .若∠D ＝m °，∠B ＝n °，(m ＜n ).求∠E 的度数.(用含有m ，n 的式子表示)

图1

图2

图3

E

A

B

C

D

B

C

D

O

E

D

C A

针对练习2

1.如图，∠ABD ，∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠P ＝20°，∠D ＝10°，求∠A 的度数.

A

B

C

D

P

2.如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I . (1)写出∠I 与∠A ，∠D 之间的数量关系式并证明；

(2)直接写出∠I 与∠A ，∠D 之间的数量关系式为___________.

图1

图2

I A

B

D

C

E A

B C

D E

I