(完整word版)相交线与平行线中的辅助线

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相交线与平行线辅助线课件

在几何问题中，面积问题是常见的类型之一。利用相交线和辅助线，我们可以将面积问题转化为线段之间的关系问题。通过构造全等三角形或平行四边形，我们可以找到相等的线段或角，从而求解出所求的面积。
THANKS
感谢观看
垂线
利用垂线的性质，可以证明两条线段垂直或两条线段之间的角度为直角。
平行线在几何图形中的应用
同位角相等
利用同位角相等性质，可以证明两条直线平行或两条线段之间的角度相等。
内错角相等
利用内错角相等性质，可以证明两条直线平行或两条线段之间的角度相等。
相交线和平行线的综合应用
平行线的传递性
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
03
04
确定目标
首先需要明确问题的目标，确定需要添加的辅助线类型。
观察图形
观察几何图形，寻找可以添加辅助线的位置。
尝试作图
根据观察，尝试作出符合要求的辅助线。
检查正确性
作完辅助线后，需要检查其是否正确，是否有助于解决问题
。
辅助线的使用技巧与注意事项
熟悉基本图形
了解和熟悉常见的几何基本图形，如三角形、平行四边形、梯形等。
详细描述
在几何问题中，长度问题是常见的类型之一。利用相交线和辅助线，我们可以将长度问题转化为线段之间的关系问题。通过构造全等三角形或平行四边形，我们可以找到相等
的线段或角，从而求解出所求的长度。
实际应用案例三：求解面积问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
利用相交线和辅助线，可以求解面积问题，通过构造全等三角形或平行四边形，将面积问题转化为线段之间的关系问题。
详细描述

平行线中添辅助线的方法

平行线中添辅助线的方法在几何学中，平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的线。

平行线可以用于解决许多几何问题。

有时，为了更好地理解和解决问题，我们可能需要在已知的平行线中添加辅助线。

这篇文章将介绍一些经常在平行线中添加辅助线的方法，以及如何利用这些辅助线解决几何问题。

方法一：创建平行线之间的等距线段这是最常见的方法之一，可以通过创建平行线之间的等距线段来添加辅助线。

这个方法可以在几何证明中使用，以创建所需的形状或角度。

下面是一个例子：假设有两个平行线AB和CD，在这两条平行线上选择两个等距点E和F。

然后，通过连接EF，你就创建了一个辅助线，使得EF平行于AB和CD。

这样，你就可以利用这个平行四边形来证明或解决其他几何问题。

方法二：使用交叉线段这个方法涉及到在平行线上选择一个点，并通过它绘制一条与其他平行线相交的线段。

这种方法通常用于证明几何性质。

例如，假设有两个平行线AB和CD，我们可以在AB上选择一个点E，并通过它绘制一条线段EF与CD相交。

然后，通过观察EF与AB的关系，可以证明一些三角形的性质或者其他几何关系。

方法三：利用平行线之间的相似三角形利用平行线之间的相似三角形是另一种常用的方法。

通过观察平行线和与它们相交的第三条线，可以找到相似的三角形。

然后，利用这些相似三角形的性质来解决几何问题。

例如，假设有两个平行线AB和CD，以及一条与它们相交的第三条线EF。

通过观察，可以发现三角形ADE与三角形BCF相似。

这意味着可以使用相似三角形的性质来计算未知角度或线段的长度。

方法四：利用中位线和对角线这个方法通常涉及到在平行线形成的平行四边形中绘制中位线或对角线。

中位线是连接平行四边形两对相对顶点的线段，对角线是连接两对非相邻顶点的线段。

这些辅助线可以帮助我们找到形状的性质，或计算线段的长度。

例如，假设有一个平行四边形ABCD，你可以通过绘制对角线AC来创建两个互相重叠的三角形ABC和ADC。

通过观察这些三角形的性质，可以得出许多结论，例如它们的面积相等或角度相等。

平行线中添辅助线的方法

平行线中添辅助线的方法平行线中常见的添辅助线的方法：(1) 在平行线内(或外)一点作直线的平行线；(2) 加截线(连接两点、延长线段相交)例：探究：(1) 、如图1,若AB//CD ，贝U/ B+Z D=Z E,你能说明为什么吗？(2) 、反之，若Z B+Z D=Z E,直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明(3) 、若将点E 移至图2所示位置，此时之间有什么关系？请证明。

(4) 、若将点E 移至图3所示位置，情况又如何？(5) 、若将点E 移至图4所示位置，情况又如何？(6) 、在图5中，AB//CD ，Z B+Z D+Z F 与Z E+Z G 又有何关系？平行线拓展延伸题一、填空题1、如图，已知 AB// CD 若Z A=20°,Z E=35，则Z C 等于 ____________2、如图，I 1//I 2，Z 1=120°,Z 2=100°,则Z 3= _____________ 。

4、如图，AB // CD , 1 50°, 2 110°,则 3 _____________ 。

&如图，已知 AB// EF,Z BAC=p Z ACD=x Z CDE=y Z DEF=q 用 p 、q 、y 来表示x 得 _________________________________。

|2图1D、选择题如图1, AB// CD 且/ BAP=60 —a, / APC=45 + a,/ PCD=30 —a,则a =（A、10图1 B 、15BD图32、如图2, AB//CD，且 A 25 , C 45，贝U E的度数是（）A. 60B. 70C. 110D. 803、如图3,已知AB// CD则角a、B、丫之间的关系为（）A、a + B + Y =180°B、a — B + 丫=180°C、a + B —丫=180°D、a +B + Y =3605、如图，已知AB// EF,Z C=90，则a、B和r的关系是（）A、B = a + r B 、a + B + r =180 C、a + B — r =180 D 、B + r — a =180°三、解答题1如图所示，AB// ED, / B= 48° , / D= 42° ,证明：BCLCD（选择一种辅助线）B2、如图，若AB//CD 猜想/ A 、/ E 、/ D 之间的关系，并证明之4、如图，AB// CD / BE&85°，求/ ABE^Z EFC+/ FCD 勺度数5.已知 AB/ DE / ABC= 80°,/ CDE= 140一副三角板的旋转与边的平行问题1、如图1是一副三角尺拼成的图案:(1) 求/ EBC 的度数；(2) 将图1中的三角尺ABC 绕点B 旋转口度(0°VaV 90°)能否使/ ABE=2 / DBC 若能，求出/ EBC 的度数；若不能，说明理由•(图 2、图3供参考)F2、如图1,点0为直线AB上一点，过点0作射线0C使/ AOC60。

平行线中作辅助线的方法

A
B
解： ∠AEC =∠A+∠C 理由：过E点作EF∥AB
F E
∴∠A +∠AEF=180°
C
D
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠C +∠CEF=180°
∴∠A +∠AEF+∠C +∠CEF=360°
∵∠AEF+∠AEC+∠CEF=360°
∴ ∠AEC=∠A+∠C
如图：AB∥CD，猜想∠AEC与∠A、
G
D
∴∠1=∠HEF=50°
∵EF∥AB，AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠2+∠FEG=180°
∴∠3=180°-∠FEG-∠HEF
∴FEG=70°
=60°
典例精讲
A
H
13
B
如图,AB∥CD,∠1=50°,
E
∠2=110°则∠3=___6_0_°_____. C 2
方法二：延长HF与CD交于点F.
G
FD
C
D
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD ∴∠C = ∠CEF
F E
∵ ∠AEC= ∠AEF－∠CEF
∴ ∠AEC= ∠A －∠C
如图：AB∥CD，猜想∠AEC与∠A、
∠C的关系，并说明理由。
A
B
解： ∠AEC =∠C －∠A
理由：过E点作EF∥AB
∴∠A = ∠AEF
C
D
∵AB∥CD，EF∥AB
A F
M C
B N
E D
典例精讲
如图：AB∥CD，∠ABF=∠DCE，求证： ∠BFE=∠FEC 。
A
B

相交线与平行线中的辅助线(教案)

2．典型例题
1、如图，若AB∥CD,则∠B-∠C+∠E=?
2、若∠O=∠A+∠C,AB和CD平行吗？说明理由。
3、如图，AB∥CD，猜想∠BAP、∠APC、∠PCD的数量关系，并说明理由.
3．课堂练习
1、如图，FG∥HI，∠GEK=120°，∠B=30°，∠C=48°，∠CDI=30°，∠A=?
2、如图a∥b,∠1=105°，∠2=140°，则∠3=？
（3）当动点P落在第3部分时，全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明。
4．课堂小结
5．下次课内容
平方根和立方根
课后作业：
课后记
本节课教学计划完成情况：照常完成_____提前完成_____延后完成_____
学生的接受程度：完全能接受_____部分能接受_____不能接受_____
3、如图，l∥m，长方形ABCD的顶点B在直线m上，求∠1=？
4、如图CD∥EF,∠F+∠C=∠ABC,求证AB∥GF
5、如图，AB∥CD，点E是线段AC上一点，猜想∠BAC、∠CED和∠CDE之间的数量关系.
6、如图，AB∥CD，∠1=50°，∠2=110°，则∠3
7、如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°。求证：AB∥EF
求证：DC⊥CE
12、如图直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD,及线段AB把平面分成1,2,3,4四个部分，规定：线段上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接PA,PB，构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角。（1）当动点P落在第1部分时，求证∠APB=∠PAC+∠PBD
(2)当动点P落在第2部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立

(完整word版)初中几何辅助线大全

初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的,当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。

一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线.2按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图"！这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。

举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形.出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形.（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形.（6)全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形:或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。

平行线中添加辅助线的方法

1 2
解法二：过点E作EF//AB ∵AB//CD，EF//AB（已知） ∴EF//CD（平行于同一条直线的两直线平行） ∴∠1=∠A=100°，∠2=∠C=110°
（两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠2+∠AEC=360 ° （周角的定义）又∵ ∠2=110°， ∠1=100°
∴∠AEC =360 °—∠1—∠2=150° （等量代换）
A
B
C
DA2E源自1 3CFB
D E
第十二页，课件共有15页
如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，
∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小
是
。
E
A
F G
B
H
M
C
N
D
P
第十三页，课件共有15页
如图，AB∥EF，∠C=90°，则
系是（）
，，的关
A． 18o0
B．90 o
A
B
C． 18o0
C
D．
D
E
F
第十四页，课件共有15页
（方法应用反馈）
如图，AB∥CD，∠EAF= ∠EA1 B，∠ECF= ∠ECD，试1 探求∠AFC与∠AEC4的关系。
4
A
B
EF
C
D
第十五页，课件共有15页
∴ CD // EF （平行于同一直线的两直线平行）
∴∠A+∠1=180o，∠C+∠2 =180o （两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠A=100°，∠C=110°（已知）
∴∠ 1 = 80 ° ∠2=70° （等量代换） ∴∠AEC=∠1+∠2= 80 ° + 70° = 150 °

相交线与平行线辅助线的做法(精编)

相交线与平行线辅助线的做法转角问题当两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

因此，在求解有关平行线中角的问题时，我们可以在转折点处添加辅助线------平行线。

基本图形1、已知：如图,AB∥ED，求证：∠B+∠BCD+∠D=360°。

证法一:证法二：证法三：2.如图，己知AB//DE,︒=∠︒=∠140,80CDE ABC ,求=∠BCD3、已知：AB//CD ，AEC C A ∠∠∠与、又有什么样的关系呢？C D拓展(1)如图，AB∥DE ，找到∠1,∠2和∠3,∠4之间的关系A BD231 43 14 6 25 7 A BD E(2)如图，AB ∥DE ，你能找到∠1.∠2. ∠3 ∠4. ∠5.∠6 ∠7之间的关系吗？4、再次改变点E的位置试说当AB//CD时，∠与、有什么关系∠A∠AECCCE5、已知：如图，AB//CD ，︒=∠120A ，︒=∠75AED 。

求D ∠D C6、已知：图中EB//CD ，︒=∠1501，︒=∠1102，求BAC ∠的度数E AB7.AB//ED ，21∠=∠,43∠=∠.BF 、DF 交于点F ，︒=∠44ABC ,︒=∠56CDE 求F ∠的度数E D折叠问题1、如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于？2、如图1，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=______________．3、如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF= 度.4.将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1、D1处.若∠C1BA=50°，则∠ABE= 度.5、如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c 中的∠CFE的度数是图aC FDB C。

相交线与平行线的辅助线

过点 C作 CF∥ AB，
则 B ____（
）
又∵ AB∥ DE， AB∥ CF，
组内评价：
∴ ____________ （ ∴∠ E＝∠ ____（ ∴∠ B＋∠ E＝∠ 1＋∠ 2 即∠ B＋∠ E＝∠ BCE．
教师评价：
））
1
a 1
3
2
b
第2题
2、如图 a∥ b, ∠ 1=105°，∠ 2=140°，则∠ 3= A
证明一：
或新的
证明二：
证明三：
，缺
补
或拓展应用、学以致用
例 3、已知， AB∥ CD,点 M、 N 分别在 AB、CD上，点 P 是一个动点，连接 MP、 NP。请探讨∠ P 与∠ AMP、∠ CNP之
间的关系。
图1
图2
图3
图4
（ 1）指出图 1 中∠ P 与∠ AMP、∠ CNP之间的关系，并说明理由。
（ 2）上述结论在后三个图中还成立吗？若不成立，请分别指出其关系，并选择一种情况加以证明。
备用一
归纳总结：处理平行线间折线问题，过折点作添加辅助线构造三角形，应用三角形
备用二
是一种通法；的定理，也是一种
的数学思想
Ⅳ 我的知识网络图我的收获
2
使用时间：
年
月
日
班级：
学号：
姓名：
组内评价：
教师评价：
；
2.结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题。
3.用 10 分钟左右的时间完成预习案，将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面“我的疑惑”处。
Ⅰ、旧知回顾图形
a
位置关系
邻补角对顶角
∥b

七年级数学人教版下册第五章平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型课件

再见
∴∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4. ∴∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.
9．如图，AB∥CD，BE 平分∠ABF，DE 平分∠CDF，∠BFD＝ 120°.求∠BED 的度数．解：如图，过点 F 作 FG∥AB， ∴∠BFG＝∠ABF. ∵AB∥CD，∴FG∥CD. ∴∠CDF＝∠DFG. ∴∠ABF＋∠CDF＝∠BFG＋∠DFG＝∠BFD＝120°.
【点拨】如图，延长 BC 交 EF 于点 G. ∵AB∥EF， ∴∠CGD＝∠ABC＝40°. ∵CD⊥EF，∴∠CDG＝90°. ∴∠GCD＝180°－∠CDG－∠CGD＝180°－90°－40°＝50°. ∴∠BCD＝180°－∠GCD＝180°－50°＝130°.
答案：B
3．如图，AB∥CD，P 为 AB，CD 之间的一点，已知∠2＝28°， ∠BPC＝58°.求∠1 的度数．解法一：过点 P 作射线 PN∥AB，如图①所示． ∵PN∥AB，AB∥CD， ∴PN∥CD. ∴∠4＝∠2＝28°. ∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.
平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型
平平行行线线∴中中常常∠见见作作B辅辅E助助H线线的的＋技技巧巧∠的的九九D种种E类类H型型＝∠ABE＋∠CDE，即∠BED＝60°.
平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型平行线中常见作辅助线的技巧的九种类型

人教版七年级数学下册平行线中常见作辅助线的九种类型

BF＋∠CDF)＝12×120°＝60°. 过点 E 作 EH∥AB，∴∠BEH＝∠ABE. ∵AB∥CD，∴EH∥CD. ∴∠DEH＝∠CDE. ∴∠BEH＋∠DEH＝∠ABE＋∠CDE，即∠BED＝60°.
8．如图①，AB∥CD，EOF 是直线 AB，CD 间的一条折线．（1）求证∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.
证明：如图①，过 O 向左作 OM∥AB，∴∠1＝∠BEO. ∵AB∥CD，∴OM∥CD. ∴∠2＝∠DFO. ∴∠1＋∠2＝∠BEO＋∠DFO，即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.
（2）如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP， ∠OPF，∠PFC 之间会满足怎样的数量关系？给出理由．
9．如图，AB∥CD，BE 平分∠ABF，DE 平分∠CDF，∠BFD ＝120°.求∠BED 的度数．
解：如图，过点 F 作 FG∥AB，∴∠BFG＝∠ABF. ∵AB∥CD，∴FG∥CD. ∴∠CDF＝∠DFG. ∴∠ABF＋∠CDF＝∠BFG＋∠DFG＝∠BFD＝120°. ∵BE 平分∠ABF，DE 平分∠CDF， ∴∠ABE＝12∠ABF，∠CDE＝12∠CDF.
（3）如图②，AB∥EF，根据（2）中的猜想，直接写出∠B＋ ∠C＋∠D＋∠E 的度数．
解：∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.
5．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°.请问：AB 与 CD 平行吗？请说明理由．
解：AB∥CD.理由如下：如图，过点 E 作 EF∥CD，∴∠FEC＝∠DCE＝35°. ∵∠BEC＝95°，∴∠BEF＝95°－35°＝60°. 又∵∠ABE＝120°，∴∠ABE＋∠BEF＝180°. ∴AB∥EF. 又∵EF∥CD，∴AB∥CD.
解：∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF. 理由：过 O 向左作 OM∥AB，过 P 向右作 PN∥CD，如图②所示． ∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD. ∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC. ∴∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4. ∴∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.

平行与相交——辅助线-7c85

辅助线利用平行线的判定定理和性质定理进行计算或证明，必须具备相应的图形，即三线八角，如果图形不齐全，则应将其补齐，这个“补齐”过程，就是添置辅助线，通常有两种情况； 1. 缺角补角缺角补角在图形中虽然具备了“三线”，但“八角”没有完全显露出来，为了使解题思路流畅自然，应利用延长线段的方法，将“八角”补齐。

补齐。

2. 缺线补线缺线补线如果在图形中“三线”尚不齐全，则首要的任务是添线，通常是做平行线进行添线，添置平行线有一定难度，应结合已知条件，对图形全面进行考查，并辅以必要的练习，才能领会其中要领。

1、如图，若AB ∥CD,则∠则∠B-B-B-∠∠C+C+∠∠E=?2、若∠若∠O=O=O=∠∠A+A+∠∠C,AB 和CD 平行吗？说明理由。

平行吗？说明理由。

3、如图，FG ∥HI ，∠，∠GEK=120GEK=120GEK=120°，∠°，∠°，∠B=30B=30B=30°，∠°，∠°，∠C=48C=48C=48°，∠°，∠°，∠CDI=30CDI=30CDI=30°，∠°，∠°，∠A=? A=?4、如图a ∥b, ∠1=1051=105°，∠°，∠°，∠2=1402=1402=140°，则∠°，则∠°，则∠3=3=3=？？5、如图，l ∥m ，长方形ABCD 的顶点B 在直线m 上，求∠上，求∠1=1=1=？？E D C B A D C O B A K E G F I H D C B A b a 3 2 1 65°1 m l D C B A 6、如图CD ∥EF , ∠F+F+∠∠C=C=∠∠ABC,ABC,求证求证AB AB∥∥GF7、如图，AB ∥CD ，猜想∠BAP 、∠APC 、∠PCD 的数量关系，并说明理由. 8、如图，AB ∥CD ，点E 是线段AC 上一点，猜想∠BAC 、∠CED 和∠CDE 之间的数量关系. 9、如图，AB ∥CD ，∠1=50°，∠2=110°，则∠310、如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°。