第2章金属塑性变形的物性方程

第2章 金属塑性变形的物性方程

物性方程又称本构方程，是εσ-关系的数学表达形式。弹性变形阶段有广义Hooke 定律，而塑性变形则较为复杂。在单向受力状态下，可由实验测定εσ-曲线来确定塑性本构关系。但在复杂受力情况下实验测定困难，因此只能在一定的实验结果基础上，通过假设、推理，建立塑性本构方程。为了建立塑性本构方程，首先需弄清楚塑性变形的开始条件——屈服，以及进入塑性变形后的加载路径等问题。

§2.1 金属塑性变形过程和力学特点

2.1.1 变形过程与特点

以单向拉伸为例说明塑性变形过程与特

点，如图2-1所示。金属变形分为弹性、均匀

塑性变形、破裂三个阶段。塑性力学视s σ为

弹塑性变形的分界点。当s σσ<时，

σ与ε存在统一的关系，即εσE =。

当s σσ≥以后，变形视作塑性阶段。

εσ-是非线性关系。当应力达到b σ之后，

变形转为不均匀塑性变形，呈不稳定状态。

b σ点的力学条件为0d =σ或d P =0。经短暂的不

稳定变形，试样以断裂告终。

若在均匀塑性变形阶段出现卸载现象，一

部分变形得以恢复，另一部分则成为永久变形。卸载阶段εσ-呈线性关系。这说明了塑性变形时，弹性变形依然存在。弹塑性共存与加载卸载过程不同的εσ-关系是塑性变形的两个基本特征。

由于加载、卸载规律不同，导致εσ-关系不唯一。只有知道变形历史，才能得到一一对应的εσ-关系，即塑性变形与变形历史或路径有关。这是第3个重要特征。

事实上，s σσ>以后的点都可以看成是重新加载时的屈服点。以g 点为例，若卸载则εσ-关系为弹性。卸载后再加载，只要g σσ<点，εσ-关系仍为弹性。一旦超过g 点，εσ-呈非线性关系，即g 点也是弹塑性变形的交界点，视作继续屈服点。一般有s g σσ>，这一现象为硬化或强化，是塑性变形的第4个显著特点。

在简单压缩下，忽略摩擦影响，得到的压缩s σ与拉伸s σ基本相同。但是若将拉伸屈服后的试样经卸载并反向加载至屈服，反向屈服一般低于初始屈服。同理，先压后拉也有类似现象。这种正向变形强化导致后继反向变形软化的现象称作Bauschinger 效应。这是金属微观组织变化所致。一般塑性理论分析不考虑Bauschinger 效应。

Bridgman 等人在不同的静水压力容器中做单向拉伸试验。结果表明：静水压力只引起物体的体积弹性变形，在静水压力不很大的情况下（与屈服极限同数量级）所得拉伸曲线图2-1 应力应变曲线

与简单拉伸几乎一致，说明静水压力对塑性变形的影响可以忽略。

2.1.2 基本假设

（1）材料为均匀连续，且各向同性。

（2）体积变化为弹性的。塑性变形时体积不变。

（3）静水压力不影响塑性变形，只引起体积弹性变化。

（4）不考虑时间因素，认为变形为准静态。

（5）不考虑Banschinger 效应。

§2.2 塑性条件方程

塑性条件是塑性变形的起始力学条件。

2.2.1 屈服准则

单向拉伸时，材料由弹性状态进入塑性状态时的应力值称为屈服应力或屈服极限，它是初始弹塑性状态的分界点。复杂应力状态下的屈服怎样表示？一般说来，它可以用下列式表示：

,,,,(T t f ij ij εσS ）=0

其中ij σ为应力张量，ij ε为应变张量，t 为时间，T 为变形温度，S 为变形材料的组织（Structure ）特性。对于同一种材料，在不考虑时间效应及接近常温的情形下，t 与T 对塑性状态没多大影响。另外，当材料初始屈服以前是处于弹性状态，ij σ与ij ε有一一对应关系。因此屈服条件可以表示成为

0)(=ij f σ或0),,(321=I I I f 或0),,(321=σσσf

若以ij σ空间来描述，则f (ij σ)=0表示一个包围原点的曲面，称作屈服曲面。当应力点ij σ位于此曲面之内时，即0)(

0)','(32=I I f

由于应力偏量满足0''''3211≡++=σσσI ，)','(32I I f 总是处在应力π平面上。这样屈服条件就可以用π平面上的封闭曲线来表示。若ij σ点落在该曲线上，表示ij σ满足屈服准则。若在这个应力状态上再迭加一个静水压力，这时在三维主应力空间中，相当于沿着等倾线移动的π面平行面，而应力点仍满足屈服准则。因此，在三维主应力空间中，屈服曲面是一等截面柱体。它的母线与直线321σσσ==平行。

0)(=ij f σ曲面到底是什么形状？不同的推理过程和实验可以得到不同的曲面形状。其中最为常用的是Tresca 屈服准则和Von Mises 屈服准则。

2. 2. 2 Tresca 屈服准则

最早的屈服准则是1864年Tresca 根据库伦在土力学中的研究结果，并从他自己做的金属挤压试验中提出以下假设：当最大切应力达到某一极限k 时，材料发生屈服。即：

k =max τ （2. 1）

用主应力表示时，则有： []k 2 , ,max 133221=---σσσσσσ （2. 2）

当有321σσσ≥≥约定时，则有：

k 231=-σσ （2. 3）

在主应力空间中，式（2. 2）是一个正六棱柱；在π平面上，Tresca 条件是一正六边形（见图2-2）。

（a ） 主应力空间的屈服表面 （b ）π平面上的屈服轨迹

图2-2 屈服准则的图示

k 值由实验确定。若做单向拉伸试验，0,321===σσσσs ，则由式（2. 3）有2/s k σ=。若做纯剪试验，则有s s τσστσ-===321,0,，则可得s k τ=。比较后，若Tresca 屈服条件正确，则应有：

k s s 22==τσ （2. 4）

对多数材料，此关系只能近似成立。

在材料力学中，Tresca 屈服准则对应第三强度理论。

在一般应力状态下，应用Tresca 准则较为繁琐。只有当主应力已知的前提下，使用Tresca 屈服准则较为方便。

2. 2. 3 Von Mises 屈服准则