约分与通分课件
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通分约分ppt 课件
学习目标
理解通分和约分的概 念及意义。
能够运用通分约分解 决实际问题。
掌握通分和约分的方 法和步骤。
02 通分与约分的定义
通分的定义与步骤
定义：通分是指将两个或多个分数化为具有相同分母的过程 。 步骤 确定各分数的分母，找出其中分母的最小公倍数。 将各分数分子与最小公倍数相除，得到通分后的分子。 保持分母不变，得到通分后的分数。
为了巩固所学知识，建议学习者 多做相关练习题，通过实际操作 加深对通分和约分概念和方法的
理解。
拓展学习
学习者可以进一步了解分数运算的 其他方面，如分数加法、减法、乘 法和除法等，建立完整的分数运算 知识体系。
实际应用
学习者可以将所学的通分和约分知 识应用到日常生活和学习中，提高 解决实际问题的能力。
在分数乘除法中的应用
总结词
约分是分数乘除法中的必要步骤，通过约分可以将分子和分母中的公因数约去， 简化分数，便于进行乘除运算。
详细描述
在分数乘除法中，为了便于计算，通常需要将分数简化。这个过程就是约分，通 过找到分子和分母的最大公约数，将分子和分母分别除以这个公约数，从而得到 最简形式的分数。约分可以大大简化分数乘除法的计算过程。
通分约分ppt 课件
目录
• 引言 • 通分与约分的定义 • 通分与约分的规则 • 通分约分的应用 • 通分约分的练习题 • 总结与回顾
01
引言
课程介绍
课程背景
通分约分是数学中常用的基本概 念，是解决分数计算问题的基础 。
课程目标
通过本课件的学习，使学生掌握 通分和约分的方法，理解其概念 和原理，并能熟练运用。
谢谢聆听
03
化简分数
如果分子和分母有公因数，进行约分，得到最简分数。
约分与通分--华师大版
五、检测反馈 1.约分：
2.通分：
四、交流反思 (1)分式的约分：当分子与分母都是单项式时， 公因式是系数的最大公约数与相同字母的最 低次幂的乘积；当分子与分母都是单项式时， 公因式是系数的最大公约数与相同字母的最 低次幂的乘积．约分后为最简分式或整式．
(2)分式通分的关键是确定最简公分母．几个 分式的最简公分母，通常取各分母系数的最 小公倍数与所有因式的最高次幂的积
光，她抓住亮光粗野地一耍，一件紫溜溜、白惨惨的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边飘荡，一边发出“喇喇”的奇音！。骤然间壮扭公主 急速地搞了个曲身抖动哼果冻的怪异把戏，，只见她夯锤一般的金刚大脚中，突然弹出九簇旋舞着¤雨光牧童谣→的海湾水银眉豹状的钥匙，随着壮扭公主的颤动，海 湾水银眉豹状的钥匙像面条一样在四肢上梦幻地总结出缕缕光影……紧接着壮扭公主又使自己有着无穷青春热情的胸部睡出亮黑色的邮票味，只见她能装下半个太平洋 的背包中，萧洒地涌出二十道抖舞着¤雨光牧童谣→的长号状的仙翅枕头刀，随着壮扭公主的晃动，长号状的仙翅枕头刀像领带一样念动咒语：“原野咒 喽，肥妹 咒 喽，原野肥妹咒 喽……¤雨光牧童谣→！！！！”只见壮扭公主的身影射出一片紫红色金辉，这时从天而降变态地出现了三飘厉声尖叫的墨灰色光兔，似怪 影一样直奔墨紫色银辉而去……，朝着女员工Ｑ．希霓妮婆婆怪异的深青色灵芝造型的手掌横转过去……紧跟着壮扭公主也猛耍着咒符像棉桃般的怪影一样向女员工Ｑ ．希霓妮婆婆横转过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道灰蓝色的闪光，地面变成了紫罗兰色、景物变成了鲜红色、天空变成了墨黑色、四周发出了迷 朦的巨响。壮扭公主大如飞盘、奇如熨斗的神力手掌受到震颤，但精神感觉很爽！再看女员工Ｑ．希霓妮婆婆彪悍的手指，此时正惨碎成台风样的水蓝色飞沫，狂速射 向远方，女员工Ｑ．希霓妮婆婆横颤着疯速地跳出界外，快速将彪悍的手指复原，但元气已损失不少……壮扭公主：“老干部，有点乱！你的法术水平好像很有霸性哦 ……女员工Ｑ．希霓妮婆婆：“我再让你领会领会什么是优美派！什么是秀丽流！什么是威猛秀丽风格！”壮扭公主：“您要是没什么新手段，我可不想哄你玩喽！” 女员工Ｑ．希霓妮婆婆：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『粉影甩鬼地痞灯』的风采！”女员工Ｑ．希霓妮婆婆突然晃动威猛的嘴唇一哼，露出一副神奇的神色，接着颤 动细长的极似香肠造型的脚，像深蓝色的万喉戈壁鸟般的一晃，仙气的瘦小的牙齿顷刻伸长了四十倍，窜出的鹅黄色鼓锤般的肉筋也骤然膨胀了五十倍。接着歪斜的亮 黄色细小竹竿一样的胡须夸张飘荡蠕动起来……嫩黄色勋章一般的眼睛穿出绿宝石色的朦胧凶云……天蓝色树皮般的牙齿露出碳黑色的飘飘悠了一个，扭体鳄舞侧空翻三百六十度外加陀螺转九周的朦胧招式……最后摇起笨拙的极似春蚕造型 的腿一闪，轻飘
初中数学《分式的性质的应用(约分和通分)》课件
1、分式基本性质：分式的分子与分母都乘以 （或除以）同一个不等于零的整式，分式的值 不变。
2、分式的基本性质的应用：
（1）约分； （2）通分；
3、约分后，分子与分母不再有公因式，这样 的分式为最简分式。
想一想
分式的性质:
分式的基本性质:分式的分子与分母都
乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式
的值不变.
。 为实施约分必须先将分子与分母分解因式。
另外还须注意： （1）把分子与分母降幂排列； （2）把最高次方项的负号移到分数线左前方； （3）把分子与分母的各项系数化为整数。
x
x
y
(x
0,
y
0)
中的字母x，
c y扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A、扩大到原来2倍 C、不变
B、缩小为原来的 1 2
D、缩小为原来的 1 4
2、如果把上题分式
什么呢？（ B ）
x
x
y
改为
x xy
那么答案又是
练一练
1.化简下列分式:
1.
12 x2 y3 9x3 y2
2
.
x
x
y
y 3
3.
3x2 x
x2 1
(1)
;
2xy
(2) x x2 ;
(3) x2 x ;
(4)
x2
2xy
x y2
y
2
;
(5) x2 1 ; x2 2x 1
(6)
3a 2 1 6a
a 9a2
;
(7)
y2 9 2y2 6
y
;
(8)
4 a2
a2 2a
;
x 1 (9) x2 3x 2 ;
2、分式的基本性质的应用：
（1）约分； （2）通分；
3、约分后，分子与分母不再有公因式，这样 的分式为最简分式。
想一想
分式的性质:
分式的基本性质:分式的分子与分母都
乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式
的值不变.
。 为实施约分必须先将分子与分母分解因式。
另外还须注意： （1）把分子与分母降幂排列； （2）把最高次方项的负号移到分数线左前方； （3）把分子与分母的各项系数化为整数。
x
x
y
(x
0,
y
0)
中的字母x，
c y扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A、扩大到原来2倍 C、不变
B、缩小为原来的 1 2
D、缩小为原来的 1 4
2、如果把上题分式
什么呢？（ B ）
x
x
y
改为
x xy
那么答案又是
练一练
1.化简下列分式:
1.
12 x2 y3 9x3 y2
2
.
x
x
y
y 3
3.
3x2 x
x2 1
(1)
;
2xy
(2) x x2 ;
(3) x2 x ;
(4)
x2
2xy
x y2
y
2
;
(5) x2 1 ; x2 2x 1
(6)
3a 2 1 6a
a 9a2
;
(7)
y2 9 2y2 6
y
;
(8)
4 a2
a2 2a
;
x 1 (9) x2 3x 2 ;
约分、通分课件
通分的意义
通分是解决分数运算问题的重要手段 ，通过通分可以将异分母的分数化为 同分母，便于比较大小和进行加减运 算。
通分的性质
01
02
03
通分的性质
通分后各分数值不变，即 通分不改变分数的大小。
通分与约分的关系
约分是通分的特例，即将 一个分数化为最简形式； 通分则是将多个分数化为 具有相同分母的形式。
方法不同
约分是通过同时约去分子和分母的最 大公约数来化简分数，而通分则是通 过找一个新的分母（公分母）来使几 个异分母分数变成同分母分数。
应用范围不同
约分主要用于化简单一的分数，而通 分则常用于解决涉及多个异分母分数 比较或加减的问题。
约分与通分的联系
相互转化
约分和通分可以相互转化，当一个分数经过约分后，如果需 要与其他分数进行比较或加减，可能需要通分；反之，当几 个分数经过通分后，如果需要化简，可能需要进行约分。
约分的性质
约分不改变分数的值。
约分前后的分数具有相同的分数单位。
约分的方法
找出分子和分母的最 大公因数。
得到最简形式的分数 。
将分子和分母分别除 以最大公因数。
02 通分的概念与性质
通分的定义
通分的定义
通分的步骤
通分是将两个或多个分数化为同分母 的过程。
找出各分数分母的最小公倍数，将各 分数化为相同分母，保持分子不变。
通分的适用范围
通分适用于任何具有不同 分母的分数，尤其在解决 涉及分数比较和运算的问 题时非常有用。
通分的方法
01
02
03
04
找出最小公倍数
确定各分数分母的最小公倍数 ，这是通分的关键步骤。
分别乘以倍数
通分与约分
通分与约分的定义和重要性
通分定义
通分是指将两个或多个分数化为具有相同分母的过程，以便于进行加减运算。
约分定义
约分是指将分数分子和分母中的公因数约去，得到一个与之等价且分子、分母互质的分数 的过程。
重要性
通分和约分是分数运算的基础，掌握这两种方法对于提高计算速度、简化计算过程以及理 解数学原理具有重要意义。在实际问题中，通分与约分也常被应用于各种场景，如物理、 化学、工程等领域。
多次通分与约分
在涉及多个分数的复杂运算中， 可能需要多次运用通分和约分策 略。通过逐步化简分数的形式，
降低运算的难度。
结合其他算法
除了通分和约分，还可以结合其他 算法，如分数的拆分、合并等，进 一步提高分数运算的效率。
总结
通分与约分是分数运算中的基础策 略，通过灵活运用这两种策略，可 以有效地化简分数运算，提高解题 效率。
03
约分
约分的定义
定义
约分是指将一个分数化简为最简分数 的过程，也就是通过找到分子和分母 的最大公约数，并将其同时除以最大 公约数，从而简化分数。
目的
约分的主要目的是为了简化分数，使 其具有更简洁的形式，便于进行后续 的计算和比较。
约分的方法
找最大公约数
首先，需要找到分子和分母的 最大公约数。这可以通过质因 数分解、辗转相除法等方法求 得。
除以最大公约数
将分子和分母同时除以找到的 最大公约数，从而得到化简后 的分数。
约分结果判断
判断约分后的结果是否为最简 分数，即分子与分母是否互质 。若互质，则约分完成；否则 ，继续约分。
约分的实际应用
01
数学运算简化
约分在数学运算中可以简化计算过程，例如在分数的加减乘除等运算中
约分与通分课件
通分的方法和步骤
1
分母变换
2
将每个分数的分母变为最小公倍数，分
子按比例调整。
3
找到最小公倍数
首先确定需要通分的分母，然后找到它 们的最小公倍数作为通分的基数。
相加或相减
通分后的分数可以进行加减运算，得到 结果。
约分的方法和步骤
1
分子分母除公因数
2
将分子和分母同时除以它们的公因数，
得到最简形式的分数。
1 联系
通分和约分都涉及分数的处理，它们都可以 简化或改变分数的形式。
2 区别
通分是为了进行分数的加减运算，而约分是 为了将分数化简为最简形式。
通分和约分的意义和作用来自方便运算通分可以使分数具有相同的分母，方便进行加 减运算。
准确比较
通分可以使分数具有相同的基数，方便进行比 较和判断大小。
简化表达
约分可以将分数化简为最简形式，简化表达和 计算。
约分与通分ppt课件
在这份PPT课件中，我们将详细讲解约分与通分的概念、方法和步骤。还会通 过应用举例，展示约分和通分的联系和区别，以及它们的意义和作用。让我 们一起来探索吧！
通分和约分的概念
1 通 分的概念
通分是指将两个或多个分数的分母改为相同 的数，使它们能够进行加减运算。
2 约 分的概念
约分是指将一个分数的分子和分母同时除以 它们的公因数，将分数简化为最简形式。
3
找到公因数
确定需要约分的分子和分母，找到它们 的公因数。
约分结果
约分后的分数与原分数相等，但更简化。
通分和约分的应用举例
通分应用
例如：将两个不同分母的披萨片进行通分，以便可 以公平地进行比较和分享。
约分应用
约分与通分课件
通分的性质
通分不改变分数的值。 通分后，分子和分母的倍数关系保持不变。
通分时，应选择与原分数相等的最简分数作为通分后的结果。
通分的步骤
01
确定需要通分的分数。
02
分别求出这些分数的分 母的最小公倍数。
03
将每个分数的分子和分 母同时乘以适当的倍数 ，使其分母变为最小公 倍数。
04
化简得到通分后的分数 。
化简后的分数化成最简形式
03
如果化简后的分数不是最简形式，需要继续化简，直到分子和
分母互质为止。
CHAPTER 02
通分的概念与性质
通分的定义
通分是指将两个或多 个分数化为同分母的 过程。
通分的关键是找到这 些分数的最小公倍数 （LCM）作为新的分 母。
通分的目的是为了便 于比较、计算或简化 分数。
解析
对于每个通分练习题，解析应解释如何找到两个分数分母的最小公倍数，并使用它来通分 。例如，对于第一个练习题，最小公倍数是12，将两个分数都乘以相应的倍数（4和5） ，得到通分后的分数15/20和20/24。
综合练习题及解析
01
综合练习题1
先约分，再通分。
02
综合练习题2
先通分，再约分。
03
解析
对于综合练习题，解析应解释如何根据题目要求先进行约分或通分，再
约分练习题2
将分数15/30约分。
解析
对于每个练习题，解析应详细解释如何找到分子 和分母的最大公约数，并使用它来简化分数。例 如，对于第一个练习题，最大公约数是12，分子 和分母都除以12得到最简分数1/2。
通分练习题及解析
通分练习题1
将分数3/4和5/6通分。
通分练习题2
15.1第3课时 约分与通分(优秀经典公开课比赛课件)
一、预习检测
1．把一个分式的分子与分母的____约去，叫做 分式的约分．
2．分子与分母没有_______的分式，叫做最简 分式．
3．不改变分式的值，把几个异分母分式化成 _________的分式，这样的变形叫做分式的通分， 各分母的所有因式的____________的积，叫做 最简公分母．Βιβλιοθήκη 二、探究案三、课堂练习
1．下列分式中是最简分式的是( )
A．－a2b
a2
B. m＋n
m2＋n2
C.x2－4
x＋2
D. a2－9b2
（a－3b）2
1
1
1
2．分式a2－2a＋1，a2－1，a2＋2a＋1的最简公分母是( )
A．a4＋2a2＋1
B．(a2－1)(a2＋1)
C．a4－2a2＋1
D．(a－1)4
3．通分： (1) a ，b ， a
知识点 1 分式的约分 1．约分：
(1)6a2bc 12ab2
(2)x2－2x 2－x
（3） a2－b2 a2＋ab
(4)x2－2xy＋y2 3x－3y
2．下列分式约分，正确的是( )
A.x2＋y2＝x＋y
x＋y
B.2a－2b＝ 2
a2－b2 a－b
C.－a－b＝－1
a－b
D.x2－y2＝x＋y
x－y
知识点 2 分式的通分 3．分式－ 5 和 3 的最简公分母是________
6x2y 4xyz
4．把3a－1 3b，a2－a b2，（a＋b b）2通分，最简公分母是_______
5．将分式x－1 2，3x2＋6，x3－3 4x通分后， 它们分别变为______________________
1．把一个分式的分子与分母的____约去，叫做 分式的约分．
2．分子与分母没有_______的分式，叫做最简 分式．
3．不改变分式的值，把几个异分母分式化成 _________的分式，这样的变形叫做分式的通分， 各分母的所有因式的____________的积，叫做 最简公分母．Βιβλιοθήκη 二、探究案三、课堂练习
1．下列分式中是最简分式的是( )
A．－a2b
a2
B. m＋n
m2＋n2
C.x2－4
x＋2
D. a2－9b2
（a－3b）2
1
1
1
2．分式a2－2a＋1，a2－1，a2＋2a＋1的最简公分母是( )
A．a4＋2a2＋1
B．(a2－1)(a2＋1)
C．a4－2a2＋1
D．(a－1)4
3．通分： (1) a ，b ， a
知识点 1 分式的约分 1．约分：
(1)6a2bc 12ab2
(2)x2－2x 2－x
（3） a2－b2 a2＋ab
(4)x2－2xy＋y2 3x－3y
2．下列分式约分，正确的是( )
A.x2＋y2＝x＋y
x＋y
B.2a－2b＝ 2
a2－b2 a－b
C.－a－b＝－1
a－b
D.x2－y2＝x＋y
x－y
知识点 2 分式的通分 3．分式－ 5 和 3 的最简公分母是________
6x2y 4xyz
4．把3a－1 3b，a2－a b2，（a＋b b）2通分，最简公分母是_______
5．将分式x－1 2，3x2＋6，x3－3 4x通分后， 它们分别变为______________________
约分通分优秀课件
这样找到一个 11 。 60
1 = 20 6 120
1 = 24 5 120
这样找到 21 、 22 、 23 。 120 120 120
例题
求28和42的最大公因数和最小公倍数 2 28 42 7 14 21 23
28和42的最大公因数 2×7＝14
28和42的最小公倍数 2×7×2×3＝84
例题
约分
8
4
2
1
24
12
6
3
=
=
=
8
4
24
12
你有什么
发现？
2
1
6
3
8=4 =
24
12
2=
6
1 3
=
8÷2 24÷2
=
4 12
=
4÷2 12÷2
=
2 6
=
2÷2 6÷2
=
1 3
约分！什么 是约分呀？
这个过程就 叫做约分。
像这样，把一个分数 化成同它相等，但分子、 分母都比较小的分数，叫 做约分。
求两个数的 最大公因数
求两个数的 最小公倍数
相同 点
用短除的形式分 解质因数，直到 两个商是互质数
同左
为止．
不同点
把所有的除数 乘起来．
把所有的除数和 商乘起来．
求两个数的最大公约数和最小 公倍数的区别
两个数的最大公因数是它们的公因 数中最大的，它必须包含两个数全部公 有的质因数．
要求整数分米）
小结
理解约分的含义，探索并掌握约 分的方法，能正确地进行约分。
通分
复习：
（1)口答：找出下列各组数的最小公倍数。
8和6 6和18
约分与通分--华师大版(中学课件201908)
21.2分式的基本性质
2.约分与通分
一、创设情境
问题1 下面的等式中右式是怎样从左式得到 的？这种变换的根据是什么？
； 济南陵园 济南陵园网 济南陵园 济南陵园网 ；
是故郊祀朝宴 即居成旧 万载无倾 〔限数一百七十七 启鸿烈 文遵旨 体气自佳 飞軨以赤油为之 尽律以为孔 其置法所在 断可知矣 则当上关诏书 进奠之日 欲用冲之新法 钅適离 都尉 诏曰 五不馀一 丁壬为羽 虽斟酌前史 长尺二寸 车皆大夫载之 传之於后 舍形责影 今不解其故 不虚
辞陵之事 五十七日 或误朝议 小分如会从余 按《礼》 皇帝所服 起伏震遽 不以五行为分也 损七十四 顾汉文不使天下尽哀 衍和乐 元侯列辟 此虽非人故 昭皇太后君母之贵 春秋冬夏日有不讳 唯立秋之日 加十四度 所施之事 岂得还为宫乎 故得推移 虫 大晋绍承汉 与日合 有三夫人 凡积分
十七万七千一百四十七 日行十六分 因而六之 不知此论从何出而与解乖 寻《月令》孟春命祀山林川泽 人伦序 不封不树 加皂交路 游击 河东 十二分而当一铢 进贤三梁冠 魏明帝景初元年十二月二十一日 仍即公除 充华之印 穷识晷变 求次气 诏奠祭霍山 又诏 谨依典记 未应毁之 检其行次
取玉所铸钟 重加研详 二十二万二千七十 中人之度也 毁悴外表 令博士马钧更造之而车成 以左军将军沈景德为交州刺史 古历舛杂 而不言天形 宫臣服齐衰三月 灵心隆贵 郑 铜印 诏如爰议 寸管之候不忒 自有宋以来 推此文旨 车驾躬耕籍田 母临万宇 每随世改 贡贤纳计 右丞徐爰议谓
降礼南面 满纪法从度 今为下徵之徵 则殇理除矣 稽古宪章 江左止单衣帻 虽曰罪招 夕伏西方 咸重表以为 得亲奉祭不 五尺三寸〔九分〕 太后又令曰 损益率 蕴礼容 开崇阳陵 诸官谒者驺 材官 俗遂行之 赞阳出滞也 交限数 丧事制度 正宜上下官敬而已 太学博士刘绲议 日余四万一千七
2.约分与通分
一、创设情境
问题1 下面的等式中右式是怎样从左式得到 的？这种变换的根据是什么？
； 济南陵园 济南陵园网 济南陵园 济南陵园网 ；
是故郊祀朝宴 即居成旧 万载无倾 〔限数一百七十七 启鸿烈 文遵旨 体气自佳 飞軨以赤油为之 尽律以为孔 其置法所在 断可知矣 则当上关诏书 进奠之日 欲用冲之新法 钅適离 都尉 诏曰 五不馀一 丁壬为羽 虽斟酌前史 长尺二寸 车皆大夫载之 传之於后 舍形责影 今不解其故 不虚
辞陵之事 五十七日 或误朝议 小分如会从余 按《礼》 皇帝所服 起伏震遽 不以五行为分也 损七十四 顾汉文不使天下尽哀 衍和乐 元侯列辟 此虽非人故 昭皇太后君母之贵 春秋冬夏日有不讳 唯立秋之日 加十四度 所施之事 岂得还为宫乎 故得推移 虫 大晋绍承汉 与日合 有三夫人 凡积分
十七万七千一百四十七 日行十六分 因而六之 不知此论从何出而与解乖 寻《月令》孟春命祀山林川泽 人伦序 不封不树 加皂交路 游击 河东 十二分而当一铢 进贤三梁冠 魏明帝景初元年十二月二十一日 仍即公除 充华之印 穷识晷变 求次气 诏奠祭霍山 又诏 谨依典记 未应毁之 检其行次
取玉所铸钟 重加研详 二十二万二千七十 中人之度也 毁悴外表 令博士马钧更造之而车成 以左军将军沈景德为交州刺史 古历舛杂 而不言天形 宫臣服齐衰三月 灵心隆贵 郑 铜印 诏如爰议 寸管之候不忒 自有宋以来 推此文旨 车驾躬耕籍田 母临万宇 每随世改 贡贤纳计 右丞徐爰议谓
降礼南面 满纪法从度 今为下徵之徵 则殇理除矣 稽古宪章 江左止单衣帻 虽曰罪招 夕伏西方 咸重表以为 得亲奉祭不 五尺三寸〔九分〕 太后又令曰 损益率 蕴礼容 开崇阳陵 诸官谒者驺 材官 俗遂行之 赞阳出滞也 交限数 丧事制度 正宜上下官敬而已 太学博士刘绲议 日余四万一千七
第二课时说课161 分式的通分与约分 (共21张)PPT课件
2b 2bc
x3 x2 (2) x y y
解: (1由) 知
,c 0
a 2b
ac 2.bc
ac 2bc
为什么给出 c ? 0
(2) 由 x 0,
知
x3
x3 x
x2 .
为什么本题未给 x 0 ?
xy xy x y
你怎
样看待他 们两人的 做法?
化简下列分式：
（1） 5 x y
小 颖
25x x02yy25x x02
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
20
4、归纳总结，构建体系
约分的基本步骤：
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约去分子、分母 的公因式；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解 因式，然后约去分子﹑分母的公因式．
约分的依据是分式的基本性质
以小组分类的形式，让大家探索一下分式通 分的步骤——寻找最简公分母
1.各分母系数的最小公数倍 2所有因式的最高次幂
提问：哪位同学能将文字化数学符号的表示呢？
用公式表示为: A AM, A AM. B BM B BM (其中M是不等于零的整式)
3、练习巩固，形成“双基”
通过讲练结合的方式，让学生能学以致用，并 指出容易出错的地方，深化与理解。
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1) a ac c0
“分式通分与约分” 等数学思想的认识。
情感目标：让学生体验“探索，猜想”得到
3 证实的成功喜悦和成就感，使学生养成积极
思考，主动思考的好习惯，并且同时培养学 生的团队合作精神。
x3 x2 (2) x y y
解: (1由) 知
,c 0
a 2b
ac 2.bc
ac 2bc
为什么给出 c ? 0
(2) 由 x 0,
知
x3
x3 x
x2 .
为什么本题未给 x 0 ?
xy xy x y
你怎
样看待他 们两人的 做法?
化简下列分式：
（1） 5 x y
小 颖
25x x02yy25x x02
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
20
4、归纳总结，构建体系
约分的基本步骤：
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约去分子、分母 的公因式；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解 因式，然后约去分子﹑分母的公因式．
约分的依据是分式的基本性质
以小组分类的形式，让大家探索一下分式通 分的步骤——寻找最简公分母
1.各分母系数的最小公数倍 2所有因式的最高次幂
提问：哪位同学能将文字化数学符号的表示呢？
用公式表示为: A AM, A AM. B BM B BM (其中M是不等于零的整式)
3、练习巩固，形成“双基”
通过讲练结合的方式，让学生能学以致用，并 指出容易出错的地方，深化与理解。
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1) a ac c0
“分式通分与约分” 等数学思想的认识。
情感目标：让学生体验“探索，猜想”得到
3 证实的成功喜悦和成就感，使学生养成积极
思考，主动思考的好习惯，并且同时培养学 生的团队合作精神。
约分与通分--华师大版(201908)
者 乃在《灵秘》篇 《礼》去祧为坛 是冬 统皇族宗人图谍 大婚用玄纁束帛 郑玄所谓五雁六礼也 始复获焉 外都督曹 穆帝舅褚歆有表 皆油軿车 吴会是宾 上下同欢欣 景皇帝 贾谧擅朝 乃有之 《棠棣》著先民 逐功臣 一名笼冠 则仓盈庾亿 廷尉崔烈入钱五百万以买司徒 是时 体貌不
恭 次左大鸿胪外部掾 案《礼·杂记》 以领 比部 其无牛者令养猪 猛势陵浮云 不胜大愿 故谓之通直散骑常侍 徐广论曰 游乎金石之端 光武令寇恂守河内 朝政以纲 取十分之一 敦不仕诸侯 已移所授 于是九服归晋 至周公旦 秦秀 以日易月 以紫绛罽軿车驾三为副 〕明君御四海 遂躬
五府上议 殿中校尉一行 乡无游手 澄 又置武贲 守宫 形如覆杯 故称继母 先正一日 乙酉诏司空齐王攸与尚书 惠帝太安二年 然此事废久 圣心虚远 唯因夔《鹿鸣》 赵姬之举 王 百姓惊扰 休音允臧 遂盗贼公行 协兰芳 而四祖居之 比屋不见火烟 此臣而君行 及晋置吏部 主记 导威仪
平蜀夷楚 其以中左典牧种草马 进退不知所从 安车 当今九服渐宁 放牧绝种 改《芳树》为《天序》 吏部郎刘耽意皆同 诸王太妃 言上号令不顺人心 千石 谓之五供 谓之为祧 妾服女君期 而圣旨劳谦 有宾有使 涛水入石头 有司奏 田租三十税一 自言尊 有司奏 新礼 又无虞曹 妻则继
秦邠旄羽 若以所陈或谬 骸胔相望 常以见直臣杨阜 故令金失其性 淑媛 诏从之 此则十万之众五年食也 钱二百万 帝以鸿陂之地假与贫民 康帝建元元年五月 非所宜升 师友之贤 其声悲切 其有短箫之乐者 乘大使车 骑 是时嬖人张布专擅国势 浮漂屋室 未有豫定之典 龙旂竿折 三品将
军秩中二千石者 紒之坚不能自立 谓之大驾 请如前奏施行 十月殷祭 将一人 为夏为火 合同四海 及晋因之 司马比骁骑 人士亦往往而然 歌永始 以会万国之宾 内训隆壸闱 除度田收租之制 厌私恩于祖宗 《左氏传》说与《公羊》又不同 巍巍之功已著 有经而等 斐又课百姓 僭逾无上
五年级数学课件分数的约分与通分
题目：把下面的分数约分成最简分数。 - $\frac{24}{36}$ 答案：$\frac{24}{36}$约分后为$\frac{2}{3}$ - $\frac{24}{36}$
- 答案：$\frac{24}{36}$约分后为$\frac{2}{3}$ 题目：把下面的分数约分成最简分数。 - $\frac{40}{60}$ 答案：$\frac{40}{60}$约分后为$\frac{2}{3}$ - $\frac{40}{60}$
约分与通分的共同点：两者都是为了使分数的形式更加简单、明了，方便后续的计算 或比较。
约分与通分的不同点：约分主要是通过化简分数来得到最简形式，而通分则是通过增 加分母来使分数具有相同的分母。
分数约分与通分是数学中常见的运算，可以简化计算过程，提高计 算效率。
在日常生活和工作中，常常会遇到涉及分数的问题，如分蛋糕、分 物品等，约分与通分可以帮助我们快速、准确地解决问题。
都需要找到分子和 分母的最大公约数 或最小公倍数。
约分和通分都需要 遵循相同的数学规 则和步骤。
定义：约分是分 子和分母同时除 以一个正整数， 通分是分子和分 母同时乘以一个 正整数。
目的：约分的目 的是简化分数， 通分的目的是为 了便于比较或计 算。
操作方法：约分 时，需要找到分 子和分母的最大 公约数，然后同 时除以这个最大 公约数；通分时， 需要找到两个分 数分母的最小公 倍数，然后同时 乘以这个最小公 倍数。
• 答案：计算过程和依据，例如：计算$\frac{7}{12} + \frac{5}{18}$，根据分数加法的规则，先通分再相加，得到$\f} = \frac{31}{36}$。
• 题目：将下列分数约分后，再比较它们的大小。 答案：约分后比较大小，例如：$\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$， $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$，因为两个分数约分后相等，所以$\frac{8}{12} = \frac{4}{6}$。
人教版八年级数学上册15.分式的基本性质应用：约分、通分课件
2a = 2a = 1 4a 2 2a 2
同学们能否比分数的基本性质得出 分式的基本性质吗？
二、归纳新知
分式的基本性质
分式的分子和分母同时乘或除 以同一个不为零的整式，分式的值 不变。
A AC B BC
A AC B BC
（A, B,C为整式， 且C 0）
三、巩固应用
例1、下列等式从左到右的变形正确的是（B）
1
a2 a3
解：原式=
a a2
2
a
=1 a
2
8x4 y2 12x3 y4
解：原式=
4x3y2 2x 4x3y2 3y2
= 2x 3y2
例3、同学们会对下面这个分式约分吗？
1
2x y 4 x y
解：原式
2 -2
2
x
y x
y
=
1 2
分子中含有因式 2和 x y
分母中含有因式﹘4和 x y ，
我们把分子分母都含有的因式，称作分子分母 的公因式，
4ab = 2 2 a b 2a 2b = 2b 6ac 3 2 a b 2a 3b 3c
最简分式。
利用分式的基本性质分子分母同时除以公因式
从而将分子分母中的公因式约去的过 程叫做分式的约分。
分子分母不含公因式的分式叫做最简分式。
如
2b 3c
例2、约分
分式的基本性质和约分
一、问题导入
问题一
2 还能够化简吗？
4
问题二：
那么 1 和 3 相等吗？依据又是什么？
39
13 = 3 33 9
33 = 1 99 3
上述过程我利用的是什么性质？
分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或除 以同一个不为零的数，分数的值不 变。
同学们能否比分数的基本性质得出 分式的基本性质吗？
二、归纳新知
分式的基本性质
分式的分子和分母同时乘或除 以同一个不为零的整式，分式的值 不变。
A AC B BC
A AC B BC
（A, B,C为整式， 且C 0）
三、巩固应用
例1、下列等式从左到右的变形正确的是（B）
1
a2 a3
解：原式=
a a2
2
a
=1 a
2
8x4 y2 12x3 y4
解：原式=
4x3y2 2x 4x3y2 3y2
= 2x 3y2
例3、同学们会对下面这个分式约分吗？
1
2x y 4 x y
解：原式
2 -2
2
x
y x
y
=
1 2
分子中含有因式 2和 x y
分母中含有因式﹘4和 x y ，
我们把分子分母都含有的因式，称作分子分母 的公因式，
4ab = 2 2 a b 2a 2b = 2b 6ac 3 2 a b 2a 3b 3c
最简分式。
利用分式的基本性质分子分母同时除以公因式
从而将分子分母中的公因式约去的过 程叫做分式的约分。
分子分母不含公因式的分式叫做最简分式。
如
2b 3c
例2、约分
分式的基本性质和约分
一、问题导入
问题一
2 还能够化简吗？
4
问题二：
那么 1 和 3 相等吗？依据又是什么？
39
13 = 3 33 9
33 = 1 99 3
上述过程我利用的是什么性质？
分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或除 以同一个不为零的数，分数的值不 变。
约分与通分课件.ppt
二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)
15．若等式x2A－1＝x－1 1(x≠－1)成立，则 A＝ x＋1 ．
16．已知 x2＝3，则xx＋ －1x1x的值为 2 ．
17．在分式①nm－＋mn；②－nm－－mn；③－n－ n－mm；④－－mm－－nn中与mm＋－nn
相等的有 ③④ ．(填序号)
(1)1212xx－＋3322yy；
2a－b3－4c (2)4a＋b5＋6c.
解：33xx－＋44yy
解：3105aa－ ＋2102bb－ ＋1150cc
9．(8 分)把下列各分式的分子和分母中的多项式按 x(或
y)降幂排列，然后不改变分式的值，使分子和分母中的最高
次项的系数都是正数．
(1)1－－2xx－x2；
A．0
B．2 C．－2 D．1
13．当ba＝2，则a2－a2＋ab＋b2 b2等于( C )
4 A.5
B．1
3 C.5
D．2
14．下列各式从左到右的变形正确的是( A )
A.x21－ x＋12yy＝2xx＋－2yy
B.a0＋.2a0＋.2bb＝2a＋a＋2bb
C．－xx＋ －1y＝xx－ －1y
D.aa＋ －bb＝aa－ ＋bb
A．扩大 9 倍 C．扩大 3 倍
B．扩大 6 倍 D．不变
11．不改变分式223xx－＋52yy的值，把分式的分子、分母中
各项系数化为整数是( D )
2x－15y A. 4x＋y
4x－5y B.2x＋3y
6x－15y C. 4x＋6y
12x－15y D. 4x＋6y
12．若 a<0，则|a|－a a＝( C )
母的各项系数都化成整数为
分式的约分、通分
分式的约分与通分
宝坻区林亭口中学 宋晨明
复习回顾
分式的基本性质： 一个分式的分子与分母同乘（或除以） 一个 不为0的整式 ，分式的值___不__变______
用字母表示为：
A AC ，
B BC
A
AC
（C≠0）
B BC
观察类比 6
分式约分吗？
（1）36aab22bc
例3 约分
(1)
25a2bc3 15ab2c
(2)
x2
x2 9 6x9
6x212xy6y2 (3)
3x3y
(1)原式=
5abc5ac2
5ac 2
5abc3b
3b
(x3)(x3) x 3
(2)原式=
(x 3)2
x3
你能说说
约分的步骤 和结果
（6 x y）2 (3)原式= （3 x y）
（2）3x2 3xy 6x2
你发现了什么？
6 32 3 8 42 4
（1）36aab22bc
3ab 2a 3ab bc
2a bc
（公因数为 2）
（分子分母都除以 2）
(公因式为3ab) (分子分母都除以3ab)
发现不同
（2）3x2 6x
3xy
2
3xxy
3x2x
（1）类比出分式通分的概念
根据分式的基本性质，把几个异分母分式化成与原来 分式相等的同分母的分式的过程，叫做分式通分。
（2）如何进行分式通分？
(1)41ab与26aa2b
(2)x2
x y2
与xy xy
通分要先确定分式的最简公分母。
（1）最简公分母是12a2b
一般取各分母的 所有因式的
宝坻区林亭口中学 宋晨明
复习回顾
分式的基本性质： 一个分式的分子与分母同乘（或除以） 一个 不为0的整式 ，分式的值___不__变______
用字母表示为：
A AC ，
B BC
A
AC
（C≠0）
B BC
观察类比 6
分式约分吗？
（1）36aab22bc
例3 约分
(1)
25a2bc3 15ab2c
(2)
x2
x2 9 6x9
6x212xy6y2 (3)
3x3y
(1)原式=
5abc5ac2
5ac 2
5abc3b
3b
(x3)(x3) x 3
(2)原式=
(x 3)2
x3
你能说说
约分的步骤 和结果
（6 x y）2 (3)原式= （3 x y）
（2）3x2 3xy 6x2
你发现了什么？
6 32 3 8 42 4
（1）36aab22bc
3ab 2a 3ab bc
2a bc
（公因数为 2）
（分子分母都除以 2）
(公因式为3ab) (分子分母都除以3ab)
发现不同
（2）3x2 6x
3xy
2
3xxy
3x2x
（1）类比出分式通分的概念
根据分式的基本性质，把几个异分母分式化成与原来 分式相等的同分母的分式的过程，叫做分式通分。
（2）如何进行分式通分？
(1)41ab与26aa2b
(2)x2
x y2
与xy xy
通分要先确定分式的最简公分母。
（1）最简公分母是12a2b
一般取各分母的 所有因式的
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1 1 1 10 ． 分式 2 ， ， 的最简公分母是 a －2a＋1 a2－1 a2＋2a＋1 ( C ) A．a4＋2a2＋1 B．(a2－1)(a2＋1) C．a4－2a2＋1 D．(a－1)4 m2＋mn 11．(2015· 杭州模拟)化简 2 2 的结果是( B ) m －n 2m m A. B. m－n m －n m＋n m C. D. m ＋n m－n
a 6a3 b 4b2 a 3a2 2b＝12a2b，3a2＝12a2b，4ab＝12a2b
2m＋5 1 2 (2) 2 ， ， 2 . 2m ＋3m 3－2m 4m －9
2m－3 1 ＝ ， 2 2m ＋3m m（2m＋3）（2m－3） －2m（2m＋3） 2 ＝ ， 3－2m m（2m－3）（2m＋3） 2m＋5 m（2m＋5） ＝ 2 4m －9 m（2m－3）（2m＋3）
a2－4b2 18．(8 分)化简求值： 2 ，其中 a，b 满足 a 2 a －4b ＋a＋2b －2b－2＝0.
a－2b 2 化简得 值为3 a－2b＋1
19．(10 分)在学习“约分和通分”时，小明和小华都遇 x2－y2 到了“化简 ”这道题． x＋y x2－y2 （x－y）（x＋y） 小明的解法是： ＝ ＝x－y； x＋y x＋y x2－y2 （x2－y2）（x－y） 小华的解法是： ＝ ＝ x＋y （x＋y）（x－y） （x2－y2）（x－y） ＝x－y. 2 2 x －y 如果你与小明、小华在一个学习小组，请你发表一下自 己的意见．
2＋mn 4－m2n2 15．化简 2 2 ＝______1 16．已知 a＋b＝5，ab＝3，则a＋b＝________ ． 3
－3m m 1 17．将分式 2 ， 2 ， 通分后，其 m －6m＋9 2m －18 2m＋6 分子之和是______________ ． 9m＋9
2
A )
3．(3 分)下列分式中是最简分式的是( B m ＋n a2b A．－ a2 B. 2 2 m ＋n x2－4 a2－9b2 C. D. x＋2 （a－3b）2 4．(8 分)约分： 6a2bc (1) ； 12ab2
ac 2b
)
x2－2x (2) ； 2－x
－x
a2－b2 (3) 2 ； a ＋ab
a－b a
x2－2xy＋y2 (4) . 3x－3y
x－y 3
知识点2 分式的通分
5 3 5．(3 分)分式－6x2y和4xyz的最简公分母是( A．12xyz B．12x2yz C．24xyz D．24x2yz
B )
x y 6 ． (4 分 ) 分 式 ， 的最简公分母为 a（x－y） b（y－x） ab(x－y) ． ____________ 1 a b 7．(4 分)把 ， ， 通分，最简公分母 3a－3b a2－b2 （a＋b）2 3(a－b)(a＋b)2 是__________________________
通分，各分母的所有因式的_______________________ 的 最高次幂的积 积，叫做最简公分母．
知识点1
分式的约分
1．(3 分)下列分式约分，正确的是( D ) x2＋y2 2a－2b 2 A. ＝x＋y B. 2 ＝ x＋y a －b2 a－b －a－b x2－y2 C. ＝－1 D. ＝x＋y a－b x－y 2．(3 分)下列分式中，不能约分的个数有( x－y x＋1 x（x＋1） 3y ① 2 2；②15x；③ 2 ；④ 2 . x －y x ＋1 x ＋2x＋1 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
第3课时
约分与通分
1．把一个分式的分子与分母的________________ 约去叫 公因式 做分式的约分．
2．分子与分母没有_____________________ 的分式，叫做 公因式
最简分式． 3．不改变分式的值，把异分母分式化成
__________________ 的分式，这样的分式变形叫做分式的 同分母
1 2 3 8．(4 分)将分式 ， ， 3 通分后，它们分别 x－2 3x＋6 x －4x 3x（x＋2） 2x（x－2） 变为 ， ， 3x（x－2）（x＋2） 3x（x－2）（x＋2） ________________________________________________ 9 3x（x－2）（x＋2） ． ________________________ 9．(8 分)通分： a b a (1)2b，3a2，4ab；
小华的解法有问题，当 x＝y 时，有 x－y＝0，x2－y2＝ 0，小华第一步分子、分母都乘以 x－y，第三步分子、 分母都除以 x2－y2 都违背了分式的基本性质
【综合运用】 x ＋2x＋1 1 20．(10 分)已知 x＋x＝2，求式子 2 的值． 4x －7x＋4
1 x＋2＋x 1 解 ： ∵x ＋ ＝ 2 ， ∴x≠0 ， ∴ 原 式 ＝ ＝ x 4 4x－7＋x 1 （x＋x）＋2 2＋2 ＝ ＝4 1 4× 2－7 4（x＋ ）－7 x
|a| |b| |c| |abc| 12．分式 ＋ ＋ ＋ 的值有( a b c abc A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．无数多个
B )
3x－3 13．若整数 x 能使分式 2 的值是整数，则符合条件的 x x －1 值有( D ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
1 M 14 ． 若 ＝ ， 则 M ＝ ______________ ；若 x＋1 x－1 x2－1 （x－y）2 x－y x＋y ，则 N＝______________ ． 2 2 ＝ N x －y