甘肃省学年兰州二十七中高一期末考试题数学试卷
甘肃省兰州市高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
高一数学说明 : 本试卷分第Ⅰ卷( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分 , 满分 100 分 , 考试时间 100 分钟 .答案写在答题卡上, 交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题, 共 40分)一、选择题 ( 本大题共10 小题 , 每题 4 分，共 40 分 . 在每题给出的四个选项中, 只有一项是切合题目要求的, 请将答案写在答题卡上.)1 ．过点A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是()A ． x y 5B ． x y 5C ． x y 5或 x 4 y 0D ． x y 5或 x 4 y02 ．已知m, n表示两条不一样直线，表示平面．以下说法正确的选项是()A ．若 m // , n // ,则 m // nB ．若 m, n,则 m nC ．若 m, m n, 则 n //D ．若 m // , m n, 则 n3．如图，矩形O ' A' B ' C '是水平搁置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，此中 O ' A'6cm,C ' D '2cm ，则原图形是()A ．正方形B ．矩形C ．梯形D ．菱形4．如图，将正方形ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角，则异面直线AB和CD 所成的角是( )A．30 B．45 C ．60 D．90DCO B A5．若圆锥的高等于其内切球半径长的 3 倍，则圆锥侧面积与球表面积的比值为()A ．1B ．3C ．1D ．4 2 2 3 36．已知三棱锥P ABC 的四个极点 P, A, B, C 都在半径为R的同一个球面上, 若 PA,PB, PC两两互相垂直,且PA1, PB 2,PC 3 ,则R等于()A ．14B ． 14C ．13D ． 3227．如图，已知两点A( 4,0), B(0,4) ，从点 P( 2,0) 射出的光芒经直线 AB 反射后射到直线 OB 上，再经直线 OB 反射后射 到 P 点，则光芒所经过的行程PM MN MNP 等于( )NA ．2 10B ． 6C ．3 3D ．2 58．定义在 R 上的奇函数 f (x) 知足：当 x 0时， f ( x) 2017 xlog 2017 x ，则在 R 上，函数 f ( x) 零点的个数为 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．5 2B ．4 2C ． 4D ． 610．已知点 A( 1,0), B(1,0), C ( 0,1),直线 y kx b(k 0) 将 ABC 切割为面积相等的两部分 , 则 b 的取值范围是 ()A ． (0,1)B ．[1 , 1)C ．[12 , 1] D ．[12,1)3 22 32 2第Ⅱ卷 ( 非选择题 )二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每题 4 分，共 16 分 , 请将答案写在答题卡上.)11．如图，长方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB 3, BC 4 ，CC 1 5 , 则沿着长方体表面从 A 到 C 1 的最短路线长为 ________ ．12．若幂函数 f ( x) x ( 为常数 ) 的图象恒过定点 A ,直线 kx y 2k 1 3 0 恒过定点 B, 则直线AB 的倾斜角是________．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100 万元，每生产1件该产品还需要增添投资1 万元，年产量为x( x N ) 件．当 x 20 时，年销售总收入为(33 x x 2 ) 万元；当 x 20 时，年销售总收入为 260 万元．则该工厂的年产量为________件时，所得年收益最大 . ( 年收益 =年销售总收入－年总投资) ．14．已知函数 f ( x) 2 x a (x 1)若 f ( x) 0 恰有2个实数根，4(x a)( x 2a) (x 1).则实数 a 的取值范围是_______________.三、解答题 ( 本大题共 5 小题，共44 分． )15． ( 本小题 8 分 ) 如图，在三棱柱ABC A1 B1C1中，侧棱垂直于底面，AB AC ，E,F , H分别是A1C1,BC, AC的中点. E(1)A 1 C 1 求证：平面 C 1 HF // 平面 ABE .B 1(2) 求证：平面 AEF 平面 B1 BCC1HA CFB16． ( 本小题 8 分)(1) 已知直线l1: ax 2 y 6 0 和直线 l 2 : x (a 1) y a 2 1 0 .当 l1 // l 2时，求a的值.(2) 已知点P(2, 1)，求过P点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离. 17． ( 本小题 8 分 ) 如图，长方体ABCD A1 B1C1D1中，D1D DC 4，ADD1 C1 2 ，E为D1C的中点．B1A1 EDC(1) 求三棱锥 D 1 ADE 的体积 .(2)AC 边上能否存在一点 M ,使得 D 1 A // 平面 MDE ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明原因．18． ( 本小题 10 分 ) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA平面 ABCD , ABAD, ACCD ，ABC 60 ， PA AB BC ， E 是 PC 的中点．(1) 求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小 .(2) 求二面角 A PD C 的正弦值．19. ( 本小题 10 分 ) 设二次函数 f (x) x 2 axa ．(1)若方程 f ( x) x 0 的两实根x 1和 x 2 知足0 1 x 21 ．x务实数 a 的取值范围 .(2)求函数 g( x) af (x) a 2 (x1) 2x 在区间 [ 0,1] 上的最小值．兰州一中 2016-2017-1 学期期末考试高一数学答题卡第Ⅰ卷 ( 选择题 )一、选择题 ( 本大题共 10 小题 , 每题 4 分，共 40 分 .)题号 12 345678910答案第Ⅱ卷 ( 非选择题 )二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每题 4 分，共 16 分 .)11.________________12.______________________13.________________ 14.______________________EA1三、解答题 ( 本大题共 5 小题，共 44 分． ) C 1 15． ( 本小题 8 分) B 1HA CFB16． ( 本小题 8 分)17． ( 本小题 8 分)D1 C1B1A1 ED18．(本小题 10 分)19.(本小题10分)兰州一中 2016-2017-1 学期期末考试高一数学答案一、选择题 ( 本大题共 10 小题 , 每题 4 分，共 40 分 .)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBDCBAACDD二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每题 4 分，共 16 分 .)11.7412.15013. 1614.[1,1) [2,)2提示: 8.别漏了 (0,0)9. 结构正方体模型 ( 如左以下图 ) 该多面体为三棱锥ADBCA BCDCMABNO10.k0 时 ,b12; k 0 时, 如右上图 ,b k b2N ( ,0), y M1kk 令S MNB1 (1 b ) k b 1,得 kb 2b11 022k k 1 22b14. 当时 ,方程f ( x)0 无实根 ;a 0当 0a1时 ,要使 f (x) 0 恰有 2 个实数根，须 2a1 a11 ,2当 a 1时 , 要使 f ( x) 0 恰有 2 个实数根，须 21a0 a 2综上 ,所求为 [ 1,1) [ 2,)2三、解答题 ( 本大题共 5 小题，共 44 分 .)15 (8 )如图，在三棱柱 ABC 1 1 1中，侧棱垂直于底面， AB AC ， E,F,H． 本小题 分 A B C分别是 A 1C 1 , BC , AC 的中点 .(1) 求证：平面 C 1 HF // 平面 ABE .EA 1C 1B 1(2) 求证：平面 AEF 平面 B1 BCC1证明 : (1) F , H 分别是 BC, AC 的中点，HF//AB.又E, H 分别是 A1C1, AC 的中点，EC1 // AH又EC1 AH 四边形 EC1 HA 为平行四边形.C1H // AE ，又C1H HF H,AE AB A，因此平面 C 1 HF // 平面 ABE .(2) AB AC, F为BC中点, AF BC B1 B 平面 ABC , AF 平面 ABC ,B1 B AF B1B BC B, AF 平面 B1 BCC1又AF 平面 AEF , 平面 AEF 平面 B1 BCC116． ( 本小题8 分) (1) 已知直线 l 1 : ax 2 y 6 0 和直线 l 2 : x (a 1) y a2 1 0 .当 l1 // l 2时，求a的值.(2) 已知点P(2, 1) ，求过 P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离．解: (1) 由 A1B2 A2 B1 0 ，得a(a 1) 1 2 0 ，由 B1C2 B2 C1 0 ，得2( a2 1) 6( a 1) 0 ， a 1(2) 过 P 点且与原点距离最大的直线, 是过P点且与OP垂直的直线，由 l OP 得 k l k OP 1 ．因此 k l 2 ．由直线方程的点斜式得y 1 2( x 2) ，即 2x y 5 0 ，所以直线 2x y 5 0是过P点且与原点距离最大的直线，最大距离为5d 5 ．D1 C1517． (本小题 8 分 ) 如图，长方体ABCD A1B1C1 D1中，A1 B1ED1 D DC 4，AD 2 ， E为 D 1C 的中点．DC(1) 求三棱锥D1 ADE 的体积． A B(2)AC 边上能否存在一点M,使得 D1 A // 平面 MDE ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明原因．解 : (1) V D1 ADE VA DED 1长方体中, AD 平面 D1CD ，AD 是三棱锥 A D1DE 的高．E为D1C 的中点，且 D1D DC 4，S D 1DE4又 AD2，因此V D 1 ADE V A DED 18．3(2) 取 AC 中点 M ，连结 EM , DM ，由于 E 为 D 1C 的中点， M 是 AC 的中点，EM //D 1A .又 EM 平面 MDE ， D 1A 平面 MDE ， D 1A // 平面 MDE ．AM5 ．即在 AC 边上存在一点 M ，使得 D 1A // 平面 MDE ，此时 M 是 AC 的中点AM 5 ．18． (本小题 10 分 )如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA平面 ABCD , AB AD , ACCD ，ABC 60 ，PAABBC ，E 是PC 的中点．(1) 求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小．(2)求二面角 APD C 的正弦值．解 : (1) 在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD ，AB 平面 ABCD ，PAAB ． 又 ABAD ， PA ADA ，AB平面 PAD .故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA ，进而 APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角 .在 Rt PAB 中， ABPA ，故 APB 45 ．因此 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45 ．(2) 在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，CD 平面 ABCD ， PACD ．由条件 AC CD ，PAACA ， CD平面 PAC ． 又 AE平面 PAC ， CD AE ．由 PA ABBC ，ABC 60 ，可得 AC PA ．∵ E 是 PC 的中点，PCAE ．又CD PC C ， AE平面 PCD ．过点 E 作EM PD ，垂足为 M ，连结 AM ，如下图．AE 平面 PCD ， AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ， AMPD ．AME 是二面角 A PD C 的平面角．由已知CAD30 , 设 CD1,则PAAC3 ,AD2, PC6, PD7 .Rt PAC 中 , AE1PC6 .22在 Rt ADP 中，AM PD , 在 Rt AEM 中， sin AME14．419． ( 本小题 10 分 ) 设二次函数 f (x)(1)若方程 f ( x) x 0 的两实根(2)求函数 g(x) af ( x) a2 ( x解 : (1) 令m( x) f ( x) x x 21 0 a0 1依题意， 2 得 0m(1) 0m(0) 0AM PD AP AD,2 21得AM .7AE 14A PD C 的正弦值为AM．因此二面角4x 2 ax a ．x1和 x2知足 0 x1 x2 1．务实数a的取值范围;1)2x 在区间 [0,1] 上的最小值．(a 1) x a ．a 3 2 2 ,故实数a的取值范围为( 0,3 2 2) .(2) g( x) ax 2 2x①当 a 0 时， g( x) 2x 在 [0,1] 上递减，g (x) min g(1) 2 ．②当 a 0 时，函数g( x) a(x 1) 21图象的张口方向向上，且对称轴为x10 ．a a a若11即 a 1，函数 g (x) 在 [ 0,1] 上递减，在 [1,1] 上递加．g(x)min g (1) 1 .a a a a a若11即 0 1 ，函数在上递减．( ) (1) 2a g (x) [0,1]g xmin g a ．a③当 a 0 时，函数g( x) a(x 1 ) 2 1 的图象的张口方向向下，且对称轴x 1 0 ，a a ag( x) 在 [0,1] 上递减, g(x)min g(1) a 2综上所述，g(x)min a12 ( a 1)(a 1) a。
甘肃省兰州市第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学含解析
兰州一中2023-2024-1学期期末考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间 120分钟. 答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．己知集合(){}N |30P x x x =∈−≥，{}2,4Q =，则()N P Q ⋃=（ ） A ．{}1,4B ．{}0,2,4C ．{}0,1,2,4D ．{}1,2,42．坐标平面内点P 的坐标为()sin 5,cos5，则点P 位于第（ ）象限. A ．一B ．二C ．三D ．四3．若()2222mmy m m x +=−−是幂函数，且在()0,∞+上单调递增，则m 的值为（ ）A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(4,5)D ．(5,6)A ．()3cos f x x =B ．()3sin f x x =C ．()3cos 3f x x =+D ．()sin f x x =A ．70B ．80C ．90D ．1008．已知函数()()π2sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象过点()0,3，且在区间()π,2π内不存在最值，则ω的取值范围是（ ）A ．10,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． 1120,,1233⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．1170,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．若log 0a b <，则函数()x f x a b =+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列说法错误．．的是（ ） A ．若α终边上一点的坐标为()()3,40k k k ≠，则3cos 5α= B ．若角α为锐角，则2α为钝角C ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2D ．若1sin cos 5αα+=，且0πα<<，则4tan 3α=−11．已知函数()()tan 203f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列说法不正确的是（ ）A ．若()f x 的最小正周期是2π，则1ω= B ．当1ω=时，()f x 图象的对称中心的坐标都可以表示为(),026k k ππ⎛⎫−∈⎪⎝⎭Z C ．当12ω=时，()6f f ππ⎛⎫−<− ⎪⎝⎭D ．若()f x 在区间,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则103ω<≤12．已知函数 ()()21,0ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则方程()()()0f f x m m −=∈R 实数根的个数可以为 （ ）第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．计算：31π10πsin cos 63⎛⎫⎛⎫−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ ．14．当1x >时，721x x +−的最小值为 ． 15．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s （单位:cm ）和时间t（单位:s ）的函数关系为2cos 3s t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么单摆摆动的频率为 ，第二次到达平衡位置O 所需要的时间为 s ．16．定义在R 上的奇函数()f x 满足()20212()f x f x +=，且在(0,1)上()3x f x =，则3(log 54)f =四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算下列各式的值： (1)3224031168(2021)281−−⎛⎫⎛⎫−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)7log 5222lg5lg8lg5lg 20(lg 2)73++⋅++.18．（12分）已知()()()()()()π11πsin 2πcos πcos cos 229πcos πsin 3πsin πsin 2f ααααααααα⎛⎫⎛⎫−++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫−−−−+ ⎪⎝⎭. (1)化简()f α； (2)已知()2f α=−，求sin cos sin cos αααα+−的值.19．（12分）已知一次函数()f x 过定点()0,1． (1)若()13f =，求不等式()4f x x≤解集． (2)已知不等式()4f x x ⋅>的解集是(),b a ，求2+a b 的最小值．20．（12分）秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）与药熏时间t （小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）与时间t （小时）的函数关系式为116t ay −⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数，12t >）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y （毫克）关于时间t （小时）的变化曲线如图所示.（1）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y （毫克） 与时间t （小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于14毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室.21．（12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π02ϕ<<）的部分图象如图所示，其中()f x 的图象与x 轴的一个交点的横坐标为π12−. (1)求这个函数的解析式，并写出它的单调区间； (2)求函数()f x 在区间π,212π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.22．（12分）把符号a bc d称为二阶行列式，规定它的运算法则为a b ad bc c d =−．已知函数()cos 1sin 2cos f θλθθθ−=．(1)若12λ=，R θ∈，求()f θ的值域； (2)函数()221111x g x x −=+，若对[]1,1x ∀∈−，R θ∀∈，都有()()1g x f θ−≥恒成立，求实数λ的取值范围．兰州一中2023-2024-1高一期末考试试题(答案)高一数学命题：石磊 审题：达志虎 周莉说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求. 所以{}N1,2P =()N P Q ⋃=【详解】3π25<<0，则点P 位于第二象限，【详解】因为(y =，0y x ==二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.⎤⎥⎦17,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 13．1【详解】31π10πππsin cos sin 4ππcos 2ππ6363⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−=−++−++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ11sin cos 16322=+=+=．故答案为：1 14．2142+【详解】由于1x >，所以10x −>， 所以()()777221222122142111x x x x x x +=−++≥−⋅+=+−−−， 当且仅当()()2771421,1,1122x x x x −=−==+−时等号成立. 故答案为：2142+ 15．12/0.5 76【详解】单摆摆动的频率111.2π2πf T ===当1s 6t =时，0s =，故第一次到达平衡位置O 的所需要的时间为16s ．所以第二次到达平衡位置O 所需要的时间为117s 626T +=故答案为：12；76.16．32−【详解】3333log 54log (23)log 23=⋅=+，即3log 54(3,4)∈，因()20212()f x f x +=，且()f x 是R 上的奇函数，则33333320212021(log 54)(log 23)(log 21)(1log 2)2021(log 21)(log 21)f f f f f f =+===−=−−+−， 因在(0,1)上()3xf x =，3331log 2log (0,1)2−=∈，于是得33log 233(1log 2)32f −==，所以33(log 54)2f =−.故答案为：32−四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(1)198(2)8 【详解】（1）原式=2334()334231924()144()1328⨯⨯−=−+−=−+−=（2）原式()()2322lg5lg2lg5lg21lg 253=+++++ 22lg52lg 2lg5lg 2lg5(lg 2)5=++⋅+++()()2lg 5lg 2lg 2lg 5lg 2lg 55=++⋅+++2lg 2lg558=+++=.18．(1)tan α−；(2)3.【详解】（1）()π(sin )(cos )(sin )cos 5π2π(cos )sin(π)[sin(π)]sin 4π2f ααααααααα⎡⎤⎛⎫−−−+− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡⎤⎛⎫−−−+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 2πsin cos cos 2π(cos )sin [(sin )]sin 2ααααααα⎡⎤⎛⎫−−− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎛⎫−−−+ ⎪⎝⎭sin tan cos ααα=−=−. （2）因为()2f α=−，所以tan 2α=，∴sin cos sin cos αααα+−tan 133tan 11αα+===−.19．(1)102xx x ⎧⎫≥<⎨⎬⎩⎭∣或 (2)1282+ 【详解】（1）设一次函数()()0f x kx m k =+≠，因为()f x 过定点()0,1， 所以1m =，所以()()10f x kx k =+≠， 因为()13f =，即13k +=，所以2k =， 所求不等式为214x x +≤，可得120x−≤，即120xx −≤，令sin u θ=，则[]1,1u ∈−，记()221h u u u λ=−+，[]1,1u ∈−，故只要()min 0h u ≥，①当1λ≤−时，()()min 1220h u h λ=−=+≥，解得1λ≥−，∴1λ=−，②当11λ−<<时，()()2min 10h u h λλ==−≥，解得11λ−≤≤，∴11λ−<<，③当1λ≥时，()()min 1220h u h λ==−≥，解得1λ≤，∴1λ=． 综合①②③得，11λ−≤≤．。
2023-2024学年甘肃省兰州第一中学高一下学期7月期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年甘肃省兰州第一中学高一下学期7月期末考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是()A.3B. C.4 D.52.设等差数列的前n 项和为，若则()A.B.0C.5D.93.下列说法中：某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是若事件两两互斥，则若事件A ，B 满足，则A ，B 互为对立事件正确说法有个A.0B.1C.2D.34.已知数列的通项公式为，且数列为递增数列，则实数的取值范围是()A.B.C.D.5.设m 、n 为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为()A.若m 上有两个点到平面的距离相等，则B.若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件C.若，，，则D.若m 、n 是异面直线，，，，，则6.在四面体ABCD 中，，且异面直线AB 与CD 所成的角为，M ，N 分别是边BC ，AD 的中点，则异面直线MN 和AB 所成的角为()A.或B.或C.D.7.圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则下面说法不正确的是()A.圆台的母线长是20B.圆台的表面积是C.圆台的高是D.圆台的体积是8.已知ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则的最小值是A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数，则下列结论不．正确的是()A.z在复平面对应的点位于第二象限B.z的虚部是iC. D.10.将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字.甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则()A.事件甲与事件丙是互斥事件B.事件甲与事件丁是相互独立事件C.事件乙包含于事件丙D.事件丙与事件丁是对立事件11.如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点，则下列说法正确的是()A.直线与直线AF垂直B.直线与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点C与点G到平面AEF的距离相等三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷(PDF版,含解析)
兰州一中2023-2024-1学期期末考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间 120分钟. 答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．己知集合(){}N |30P x x x =∈−≥，{}2,4Q =，则()N P Q ⋃=（ ） A ．{}1,4B ．{}0,2,4C ．{}0,1,2,4D ．{}1,2,42．坐标平面内点P 的坐标为()sin 5,cos5，则点P 位于第（ ）象限. A ．一B ．二C ．三D ．四3．若()2222mmy m m x +=−−是幂函数，且在()0,∞+上单调递增，则m 的值为（ ）A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(4,5)D ．(5,6)A ．()3cos f x x =B ．()3sin f x x =C ．()3cos 3f x x =+D ．()sin f x x =二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．若log 0a b <，则函数()x f x a b =+的大致图象是（ ）A ．B ．．．下列说法错误．．的是（ ．若α终边上一点的坐标为)，则3cos 5α= ．若角α为锐角，则2第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)(0,1)上()3xf x=，则四、解答题：本题共6分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤2兰州一中2023-2024-1高一期末考试试题(答案)高一数学命题：石磊 审题：达志虎 周莉说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求. 所以{}N1,2P =()N P Q ⋃=【详解】3π25<<0，则点P 位于第二象限，【详解】因为(y =，0y x ==二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.⎤⎥⎦17,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.四、解答题：本题共6令sin u θ=，则[]1,1u ∈−，记()221h u u u λ=−+，[]1,1u ∈−，故只要()min 0h u ≥，①当1λ≤−时，()()min 1220h u h λ=−=+≥，解得1λ≥−，∴1λ=−，②当11λ−<<时，()()2min 10h u h λλ==−≥，解得11λ−≤≤，∴11λ−<<，③当1λ≥时，()()min 1220h u h λ==−≥，解得1λ≤，∴1λ=．综合①②③得，11λ−≤≤．。
2023-2024学年甘肃省兰州高一上册期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年甘肃省兰州高一上册期末考试数学试题一、单选题1．计算cos(840)-︒的值是（）A ．B ．12-C ．12D ．2【正确答案】B【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可．【详解】cos （﹣840°）＝cos 840°＝cos 120°12=-．故选B ．本题考查余弦函数的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．2．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，则f (x )的零点所在的区间是（）A ．(0，1)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，＋∞)【正确答案】C【分析】先判断出函数的单调性，然后得出()()3,4f f 的函数符号，从而得出答案.【详解】由6y x=在()0,∞+上单调递减，2log y x =在()0,∞+上单调递增所以函数()26log f x x x=-在()0,∞+上单调递减又()()22243132log 3log 0,4log 40322f f =-=>=-=-<根据函数f (x )在()0,∞+上单调递减，由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点.故选：C3．已知角α的终边过点()()4,30P a a a -<，则2sin cos αα+的值是（）A ．25-B ．25C ．0D ．25-或25【正确答案】B【分析】根据三角函数的定义进行求解即可.【详解】因为角α的终边过点()()4,30P a a a -<，所以444cos 555a a a a α====--，333sin 555a a a a α--===-，3422sin cos 2555αα+=⨯-=，故选：B4．已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．c<a<bC ．b a c <<D ．a b c<<【正确答案】D【分析】根据中间值法就可比较大小.【详解】1ln ln 202a ==-<,12πsin sin sin 2442b ==<，则02b >>,1222c -==,∴a b c <<,故选：D.5．2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为A ．7000B ．7500C ．8500D ．9500【正确答案】C【分析】根据两次就医费关系列方程，解得结果.【详解】参加工作就医费为700015%1050⨯=，设目前晓文同学的月工资为x ，则目前的就医费为10%x ⋅，因此10%10502008508500.x x ⋅=-=∴=选C.本题考查条形图以及折线图，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.6．下列关于函数y ＝tan 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（）A ．在区间5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增B ．最小正周期是2πC ．图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称D ．图象关于直线x ＝6π成轴对称【正确答案】C 【分析】对A ，令,232k x k k Z πππππ-<+<+∈，解出函数的单调递增区间，再分析5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭是否在某一个单调区间内；对B ，求出函数周期T π=；对C ，令32k x ππ+=，观察是否存在Z k ∈，使得6x π=；对D ，根据正切曲线没有对称轴判断.【详解】令,232k x k k Z πππππ-<+<+∈，解得5,66k x k k Z ππππ-<<+∈，显然5,66ππ⎛⎫- ⎝⎭不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 错误；令32k x ππ+=，解得23k x ππ=-，Z k ∈，当=1k 时6x π=，所以,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数的对称中心，故C 正确；正切曲线没有对称轴，因此函数tan()3y x π=+的图象也没有对称轴，故D 错误．故选：C7．已知函数cos 4()22x xxf x -=-，则()f x 的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C判断函数的奇偶性，再利用0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数值的符号即可求解.【详解】由cos 4()22x x xf x -=-，则()()cos 4cos 4()2222x xx xx xf x f x ----==-=---，所以函数为奇函数，排除B 、D.当0,8x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则40,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 40x >，220x x -->，所以cos 4()022x xxf x -=>-，排除A.故选：C8．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，关于()f x 下列命题正确的个数是（）①()()202120220f f +-=②函数()f x 在定义域上是周期为2的函数③直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点；④函数()f x 的值域为[]1,1-A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】A【分析】利用已知条件得出在0x ≥时，函数具有类周期性，结合奇函数性质可求得()0,Z f k k =∈，从而易判断①，根据周期性定义，举反例判断②，通过研究直线y x =与函数2()log (1)g x x =+的图象的交点，结合()f x 的性质判断③④．【详解】0x ≥时，(1)()f x f x +=-，则(2)(1)()f x f x f x +=-+=，(2022)(0)f f =，(1)(0)f f =-，又()f x 是R 上的奇函数，因此(0)0f =，(2022)(2022)0f f -=-=，所以(2021)(2022)0f f +-=，①正确；2115(()log 444f f -=-==-，217371(2)(()log ()44444f f f f -+==-=-≠-，②错误；作出函数2()log (1)g x x =+的图象与直线y x =（如图），可得直线y x =与2()log (1)g x x =+的图象只有两个交点(0,0)和(1,1)，[0,1)x ∈时，2()log (1)=+f x x ，其图象与直线y x =只有一个交点(0,0)，又()f x 是奇函数，从而()f x 在(1,1)-上的图象与直线y x =只有一个交点(0,0)，由命题①的推理可得()0,Z f k k =∈，由于01x ≤<时，2()log (1)[0,1)f x x =+∈，同样由命题①的推理结合奇函数性质得()(1,1)f x ∈-，而1x ≥时，1y x =≥，1x ≤-时，1y x =≤-，因此③错，同时得出④错．正确的命题只有①．故选：A ．易错点点睛：本题考查函数的周期性与奇偶性、考查函数的值域，解题关键是掌握函数的性质的研究方法，数形结合是解决图象交点问题的常用方法．本题易点是错认为函数是周期函数，这是没有注意到周期的性质是对0x ≥才可得出而不是对x ∈R 得出的．二、多选题9．已知函数()()4,0,0x x x f x x x ⎧--≥=⎨-<⎩，下列说法中正确的有（）A ．()()13f f -=B ．函数()f x 单调减区间为()(),02,-∞+∞C ．若()3f a >，则a 的取值范围是()(),31,3-∞-D ．若方程()f x b =有三个解，则b 的取值范围是()0,4【正确答案】ACD【分析】直接计算得到A 正确，根据函数图像得到B 错误，D 正确，考虑a<0和0a ≥两种情况，计算得到答案.【详解】()()()113f f f -==，A 正确；画出函数图像，根据图像知函数()f x 单调减区间为(),0∞-和()2,+∞，B 错误；当a<0时，()3f a a =->，解得3a <-；当0a ≥时，()()43f a a a =-->，解得13a <<，故()(),31,3a ∈-∞- ，C 正确；()24f =，方程()f x b =有三个解，根据图像知，04b <<，D 正确.故选：ACD10．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则（）A ．点P 第一次到达最高点需要10秒B ．当水轮转动35秒时，点P 距离水面2米C ．当水轮转动25秒时，点P 在水面下方，距离水面2米D ．点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的函数解析式为4sin 2306h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【正确答案】AC【分析】设点P 距离水面的高度h （米）和时间t （秒）的函数解析式为()sin B h A t ωϕ=++,根据题意，求出A B ωϕ，，，的值，对照四个选项一一验证.【详解】设点P 距离水面的高度h （米）和时间t （秒）的函数解析式为()sin (0,0,||2h A t B A πωϕωϕ=++>><，由题意得：max min 622=30(0)sin(0)0h A B h A B T h A B πωωϕ=+=⎧⎪=-=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⨯++=⎪⎩解得：422=156A B T ππωπϕ=⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩∴54sin 261h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故D 错误；对于A.令h =6，即54sin 261h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即sin =1=6621515t t πππππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得：t =10，故A 对；对于B 令t =35，代入54sin 261h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得：h =4，故B 错误；对于C.令t =25，代入54sin 261h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得：h =-2，故C 对.故选：AC11．下列说法中正确的是（）A ．命题“2,20x x x ∃∈-<R ”的否定是“2,20x x x ∀∈-≥R ”B ．函数()33x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点()3,4A C ．幂函数()()223169mm f x m m x-+=-+在()0,∞+上单调递增，则m 的值为4D ．函数()()22log 23f x x x =--的单调递增区间是[)1,+∞【正确答案】ABC【分析】A ：由全称量词命题的否定是存在量词命题判断；B ：令30x -=求解判断；C ：根据()f x 是幂函数求得m ，再根据单调性判断；D ：利用对数复合函数的单调性判断.【详解】A.命题“R x ∃∈，220x x -<”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，即“R x ∀∈，220x x -≥”，故A 正确；B.因为函数3()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠，令30x -=得3x =，此时4y =，故()f x 的图象经过定点(3,4)A ，故B 正确；C.因为2231()(69)mm f x m m x -+=-+是幂函数，所以2691m m -+=，即2680m m -+=，解得2m =或4m =，当2m =时，1()f x x -=在(0,)∞+上单调递减，当4m =时，5()f x x =在(0,)∞+上单调递增，故C 正确；D.令2230t x x =-->，得1x <-或3x >，所以函数的定义域为()(),13,-∞-⋃+∞，又t 在()3,+∞上递增，2log y t =在()0,∞+上递增，所以22()log (23)f x x x =--的单调递增区间是()3,+∞，故D 错误.故选：ABC12．已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，给出以下四个论断，其中正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线5π8x =-对称B ．()f x 的图象的一个对称中心为7π,08⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 在区间π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数D ．()f x 可由3sin 2y x =-向左平移π8个单位【正确答案】AC【分析】利用代入检验法可判断A 、B 、C 的正误，利用图象变换可判断D 的正误.【详解】53sin 34845πππf ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，故()f x 的图象关于直线5π8x =-对称，故A 正确.773sin 30844πf ππ⎛⎫⎛⎫=-+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图象的对称中心不是7π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 错误.π()3sin 24f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ0242x ≤-≤，而3sin y t =-在π0,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为减函数，故π()3sin 24f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，故C 正确.3sin 2y x =-向左平移π8个单位后所得图象对应的解析式为3sin 24πy x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当0x =时，此函数的函数值为2-，而(0)f ，故3sin 24πy x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭与π()3sin 24f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭不是同一函数，故D 错误.故选：AC.三、填空题13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.【正确答案】120【分析】利用扇形的面积公式求解.【详解】由题意得：扇形的弧长为30，半径为8，所以扇形的面积为：1130812022S lr ==⨯⨯=，故12014．函数()()2log 31x f x =+的反函数()1y f x -=的定义域为_________．【正确答案】()0,∞+【分析】反函数()1y f x -=的定义域即为原函数的值域,故需求()()2log 31x f x =+的值域即可.【详解】∵311x +>，∴()2log 310x+>，∴函数()()2log 31xf x =+的值域为()0,∞+．∵()1y f x -=的定义域即函数()()2log 31x f x =+的值域∴()1y f x -=的定义域为()0,∞+．故答案为:()0,∞+15．已知3sin()35x π-=，则7cos(6x π+等于__________.【正确答案】35-【分析】利用诱导公式进行化简求值.【详解】7cos cos 66x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝ cos 6x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭sin 26x ππ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝3sin 35x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭.故35-本小题主要考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16．函数sin(2)4y x π=+的图像与直线y ＝a 在(0，98π)上有三个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围为_______.【正确答案】511,48ππ⎛⎫⎪⎝⎭由x ∈(0，98π)求出52442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，然后，画出正弦函数的大致图像，利用图像求解即可【详解】由题意因为x ∈(0，98π)，则52442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，可画出函数大致的图则由图可知当12a <<时，方程()f x a =有三个根，由242x ππ+=解得8x π=，3242x ππ+=解得58x π=，且点()10x ，与点()20x ，关于直线8x π=对称，所以124x x π+=，点()20x ，与点()30x ，关于直线58x π=对称，故由图得，令sin(2)42x π+=，当为x ∈(0，98π)时，解得4x π=或x π=，所以，12,0,4x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，39,8x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得，398x ππ<<，则12351148x x x ππ<++<，即12351148x x x ππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，.故51148ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，关键点睛：解题关键在于利用x ∈(0，98π)，则52442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，画出图像，并利用对称性求出答案四、解答题17．（1）计算：1213lg15lg 42-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）已知4cos sin 13sin 2cos 4αααα-=+，求tan α的值．【正确答案】（1）1（2）2【分析】（1）利用指数、对数的运算及其运算性质计算求解.（2）4cos sin 13sin 2cos 4αααα-=+分子分母同时除以cos α，把弦化切进行求解.【详解】（1）原式=()121233122lg 1523-⨯⨯⎛⎫⎛⎫+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()1112lg102-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=221-+=1（2）因为4cos sin 13sin 2cos 4αααα-=+，且cos 0α≠，所以分子分母同除以cos α有：4cos sin 4tan 13sin 2cos 3tan 24αααααα--==++，即3tan 2164tan αα+=-，7tan 14α=解得tan 2α=.18．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)写出函数()f x 的解析式及单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．【正确答案】(1)()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由图象知周期,求得ω，将13π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭代入求得ϕ;(2)令ππ5π2,366t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦,根据sin y t =的单调性求得最大值及最小值及相应的取得最值的x .【详解】（1）根据函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，可得313ππ4123T =-，解得πT =，∴2π2Tω==，将13π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭代入可得13π12sin 21ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即13ππ2π,Z 1222k k ϕ+⨯=∈+,所以π2π2π,Z 3k k ϕ-+∈=,因为π2ϕ<,所以解得π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()ππ2ππ2223,πZ 2k k k x ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦+，解得()f x 递增区间为()5πππ,πZ 1212x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由以上可得，()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴ππ5π2,366t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，sin y t = 在ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增,在π5π,26⎡⎤⎢⎣⎦单调递减，∴π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当ππ236x +=-时，即π4x =-，函数()f x 取得最小值为12-，当ππ232x +=时，即π12x =，函数()f x 取得最大值为1，所以值域为1,12y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.19．某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、54、58；为了预测以后各月的患病人数，根据今年1月、2月、3月的数据，甲选择了模型()2f x ax bx c =++，乙选择了模型x y p q r =⋅+，其中y 为患病人数，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．(1)如果4月、5月、6月份的患病人数分别为66、82、115，你认为谁选择的模型较好？请说明理由；(2)至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你认为比较好的模型解决上述问题．（参考数据：1021024=88.28≈）【正确答案】(1)应将250x y =+作为模拟函数，理由见解析(2)至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人【分析】（1）分别将1x =，2，3代入两个解析式，求得a ，b ，c ，p ，q ，r ，求得解析式，并分别检验4x =，5，6时函数值与真实值的误差，分析即可得答案.（2）令2502000x +>，可求得x 的范围，根据所给数据进行分析，即可得答案.【详解】（1）由题意，把1x =，2，3代入()f x 得：52,4254,9358,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得1a =，1b =-，52c =，所以()252f x x x =-+，所以()24445264f =-+=，()25555272f =-+=，()26665282f =-+=，则()4662f -=，()58210f -=，()611533f -=；把1x =，2，3代入()x y g x p q r ==⋅+，得：2352,54,58,pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得1p =，2q =，50r =，所以()250x g x =+，所以()4425066g =+=，()5525082g =+=，()66250114g =+=，则()4660g -=，()5820g -=，()61151g -=因为()4g ，()5g ，()6g 更接近真实值，所以应将250x y =+作为模拟函数；（2）令2502000x +>，解得2log 1950x >由于101121024195020482=<<=即()2log 195010,11∈，所以至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人．20．我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年100个家庭的月均用水量（单位：t ），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求全市家庭月均用水量不低于4t 的频率;(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）;(3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）.【正确答案】(1)0.66(2)4.92t .(3)6.56【分析】（1）通过频率分布直方图求得[]4,10的频率，由此求得()P A 的估计值.（2）根据由频率分布直方图计算平均数的方法，计算出全市家庭月均用水量平均数的估计值.（3）通过频率分布直方图，计算出累计频率为0.75的位置，从而求得全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值.【详解】（1）由直方图可知全市家庭月均用水量不低于4t 的频率为：()20.180.090.060.66⨯++=.（2）因为0.06210.11230.18250.09270.0629 4.92⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.因此全市家庭月均用水量的平均数估计值为4.92t .（3）频率分布直方图中，用水量低于2t 的频率为0.0620.12⨯=.用水量低于4t 的频率为0.0620.1120.34⨯+⨯=.用水量低于6t 的频率为0.0620.1120.1820.7⨯+⨯+⨯=.用水量低于8t 的频率为0.0620.1120.1820.0920.88⨯+⨯+⨯+⨯=.故全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值为x ，则68x <<则()0.760.090.75x +-⨯=，解得 6.56x ≈所以全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值为6.5621．若将函数()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象．(1)求()g x 图象的对称中心；(2)若1(2)()2f x g x =，求tan 46x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【正确答案】(1)5,24Z 0,4k k ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭∈+(2)2【分析】（1）由三角函数的图象变换得到()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解；（2）由1(2)()2f x g x =，得出2cos 4sin 466x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得tan 46x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】（1）解：由题意将函数()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移8π个单位长度，可得()2cos 486g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2cos 43x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由4,Z 32x k k πππ-=+∈，可得5,Z 244k x k ππ=+∈，故()g x 图象的对称中心为5,24Z 0,4k k ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭∈+．（2）解：由()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为1(2)()2f xg x =，可得2cos 4cos 4cos 4sin 463626x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin 46tan 426cos 46x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭．22．已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【正确答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m >，所以1m >且101m<<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22112()2g m g m m m mm ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，所以m 的取值范围是()1,2.已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。
兰州市高一上学期期末考试数学试题有答案-精编
兰州一中2016-2017-1学期期末考试试题高一数学说明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间100分钟. 答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案写在答题卡上.)1．过点)1,4(A 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A ．5=+y x B ．5=-y xC ．045=-=+y x y x 或D ．045=+=-y x y x 或2．已知n m ,表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若n m n m //,//,//则αα B ．若n m n m ⊥⊂⊥则,,αα C ．若αα//,,n n m m 则⊥⊥ D ．若αα⊥⊥n n m m 则,,//3．如图，矩形''''C B A O 是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图， 其中cm D C cm A O 2,6''''==，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．梯形D ．菱形4．如图，将正方形ABCD 沿对角线AC折成一个直二面角， 则异面直线CD AB 和所成的角是( ) A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 905．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积 与球表面积的比值为( )A ．21B ．23C ．31 D ．346．已知三棱锥ABC P -的四个顶点C B A P ,,,都在半径为R 的同一个球面上,ABCDO若PC PB PA ,, 两两相互垂直,且3,2,1===PC PB PA ,则R 等于 ( ) A ．214 B ．14 C ．213D ．37．如图，已知两点)4,0(),0,4(B A ，从点)0,2(P 射出的光线 经直线AB 反射后射到直线OB 上，再经直线OB 反射后射到P 点，则光线所经过的路程NP MN PM ++等于( )A ．102B ．6C ．33D ．528．定义在R 上的奇函数)(x f 满足：当0>x 时，x x f x 2017log 2017)(+=，则在R 上， 函数)(x f 零点的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线 画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．25B ．24C ．4D ．610．已知点),1,0(),0,1(),0,1(C B A -直线)0(≥+=k b kx y 将ABC ∆分割为面积相等 的两部分,则b 的取值范围是( )A ．)1,0(B ．)21,31[ C ．]31,221[-D ．)21,221[-第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分,请将答案写在答题卡上.)11．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，4,3==BC AB ，MN51=CC ,则沿着长方体表面从A 到1C 的最短路线 长为 ________．12．若幂函数)()(为常数ααx x f =的图象恒过定点A , 直线0312=+++-k y kx 恒过定点,B 则直线 AB 的倾斜角是________．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，每生产1件该产品还需要增加投资 1万元，年产量为)(*∈N x x 件．当20≤x 时，年销售总收入为)33(2x x -万元； 当20>x 时，年销售总收入为260万元． 则该工厂的年产量为________件时，所得 年利润最大. (年利润=年销售总收入－年总投资)．14．已知函数⎩⎨⎧≥--<-=)1()2)((4)1( 2)(x a x a x x a x f x . 若0)(=x f 恰有2个实数根， 则实数a 的取值范围是_______________. 三、解答题(本大题共5小题，共44分．)15．(本小题8分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，AC AB =， H F E ,, 分别是AC BC C A ,,11 的中点. (1)求证：平面ABE HF C 平面//1 . (2)求证：11BCC B AEF 平面平面⊥16．(本小题8分)(1)已知直线062:1=++y ax l 和直线01)1(:22=-+-+a y a x l . 当21//l l 时，求a 的值.(2)已知点)1,2(-P ，求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离.ABC1A 1C 1B EFH17． (本小题8分) 如图，长方体1111D C B A ABCD -中， 41==DC D D ，2=AD ，C D E 1为的中点．(1)求三棱锥ADE D -1的体积. (2)AC 边上是否存在一点M ,使得MDE A D 平面//1？若存在，求出AM 若不存在，请说明理由．18． (本小题10分) 如图，在四棱锥ABCD P -中， ABCDPA 平面⊥,ADAB ⊥,CD AC ⊥，60=∠ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小. (2)求二面角C PD A --的正弦值．19. (本小题10分)设二次函数a ax x x f ++=2)(．(1) 若方程0)(=-x x f 的两实根1x 和2x 满足1021<<<x x ． 求实数a 的取值范围.(2) 求函数x x a x af x g 2)1()()(2-+-=在区间]1,0[上的最小值．兰州一中2016-2017-1学期期末考试高一数学答题卡 第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.) 1C A第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分.)11.________________ 12.______________________13.________________ 14.______________________三、解答题(本大题共5小题，共44分．)15．(本小题8分)16．(本小题8分)ABC 1A1C1BEFH17． (本小题8分)18．(本小题10分)1C A19. (本小题10分)兰州一中2016-2017-1学期期末考试高一数学答案一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分.)11.74 12. 150 13. 16 14.),2[)1,21[+∞⋃提示 8. 别漏了(0,0)9. 构造正方体模型(如左下图)10. 221, 0-==b k 时; , 0时>k 如右上图, (,0),1M b k b N y k k +-=+令11(1)212MNBb k b S k k ∆+=+⋅=+,得210212<∴>-=b b b k 14. 当0≤a 时,方程0)(=x f 无实根;当10<<a 时,要使0)(=x f 恰有2个实数根，须12≥a ,121<≤∴a当1≥a 时, 要使0)(=x f 恰有2个实数根，须021≤-a 2≥∴a综上,所求为),2[)1,21[+∞⋃三、解答题(本大题共5小题，共44分.)15．(本小题8分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，AC AB =，H F E ,, 分别是AC BC C A ,,11 的中点.ADCB(1)求证：平面ABE HF C 平面//1 . (2)求证：11BCC B AEF 平面平面⊥证明 (1)H F , 分别是AC BC ,的中点，AB HF //∴. 又H E , 分别是AC C A ,11的中点， AH EC //1∴ 又AH EC =1 HA EC 1四边形∴为平行四边形.AE H C //1∴，又A AB AE H HF H C =⋂=⋂,1 ，所以平面ABE HF C 平面//1 .(2)AC AB = ,中点为BC F ,BC AF ⊥∴ABC B B 平面⊥1 ,ABC AF 平面⊂,AFB B ⊥∴1,1B BC B B =⋂ 11BCC B AF 平面⊥∴又AEF AF 平面⊂ ,11BCC B AEF 平面平面⊥∴16．(本小题8分) (1)已知直线062:1=++y ax l 和直线01)1(:22=-+-+a y a x l . 当21//l l 时，求a 的值.(2)已知点)1,2(-P ，求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离． 解 (1)由01221=-B A B A ，得021)1(=⨯--a a ，由01221≠-C B C B ，得0)1(6)1(22≠---a a ，1-=∴a (2)过P 点且与原点距离最大的直线,是过P 点且与OP 垂直的直线， 由OP l ⊥ 得1-=OP l k k ．所以2=l k ．由直线方程的点斜式得)2(21-=+x y ，即052=--y x ，所以直线052=--y x 是过P点且与原点距离最大的直线，最大距离为d ==17． (本小题8分) 如图，长方体1111D C B A ABCD -中，41==DC D D ，2=AD ，C D E 1为的中点． (1)求三棱锥ADE D -1的体积．(2)AC 边上是否存在一点M ,使得MDE A D 平面//1 若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解 (1)11DED A ADE D V V --= 长方体中, CD D AD 1平面⊥ ，AD ∴是三棱锥DE D A 1-的高． C D E 1为 的中点，且41==DC D D ，41=∴∆DE D SABC1A 1C 1B EFH1C又2=AD ，所以3811==--DED A ADE D V V ． (2)取AC 中点M ，连接DM EM ,，因为C D E 1为的中点，M 是AC 的中点， A D EM 1//∴.又MDE EM 平面⊂ ，MDE A D 平面⊄1，MDE A D 平面//1∴． 5=∴AM ．即在AC 边上存在一点M ，使得MDE A D 平面//1，此时M 是AC 的中点 5=AM ．18． (本小题10分)如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥, AD AB ⊥,CD AC ⊥，60=∠ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小．(2) 求二面角C PD A --的正弦值．解 (1)在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥ ，ABCD AB 平面⊂，AB PA ⊥∴．又AD AB ⊥，A AD PA =⋂，PAD AB 平面⊥∴. 故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角. 在PAB Rt ∆中，PA AB =，故 45=∠APB ．所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为 45．(2) 在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥ ，ABCD CD 平面⊂，CD PA ⊥∴． 由条件CD AC ⊥，A AC PA =⋂，PAC CD 平面⊥∴．又PAC AE 平面⊂ ，AE CD ⊥∴．由BC AB PA ==，60=∠ABC ，可得PA AC =．∵E 是PC 的中点，AE PC ⊥∴．又C PC CD =⊥ ，PCD AE 平面⊥∴． 过点E 作PD EM ⊥，垂足为M ，连接AM ，如图所示． PCD AE 平面⊥ ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， PD AM ⊥∴．AME ∠∴是二面角C PD A --的平面角． 由已知 30=∠CAD ,1=∴CD 设,3==AC PA 则, 7,6,2===PD PC AD . PAC Rt ∆中, 2621==PC AE . 在ADP Rt ∆中，PD AM ⊥ ,AD AP PD AM ⋅=⋅∴,得7212=AM .在AEM Rt ∆中，414sin ==∠AM AE AME ．所以二面角C PD A --的正弦值为414． 19．(本小题10分)设二次函数a ax x x f ++=2)(．(1)若方程0)(=-x x f 的两实根1x 和2x 满足1021<<<x x ．求实数a 的取值范围;(2)求函数x x a x af x g 2)1()()(2-+-=在区间]1,0[上的最小值． 解 (1)令a x a x x x f x m +-+=-=)1()()(2．依题意，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆0)0(0)1(12100m m a 得2230-<<a ,故实数a 的取值范围为 )223,0(- . (2) x ax x g 2)(2-=①当0=a 时，x x g 2)(-=在]1,0[上递减，2)1()(min -==∴g x g ．②当0>a 时，函数aa x a x g 1)1()(2--=图象的开口方向向上，且对称轴为10x a =>． 若111≥≤a a 即，函数)(x g 在]1,0[a 上递减，在]1,1[a 上递增．a a g x g 1)1()(min -==∴. 若1011<<>a a即，函数)(x g 在]1,0[上递减．2)1()(min -==∴a g x g ． ③当0<a 时，函数a a x a x g 1)1()(2--=的图象的开口方向向下，且对称轴01<=ax ， )(x g 在]1,0[上递减, 2)1()(min -==∴a g x g综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=)1( 1)1( 2)(mina a a a x g。
甘肃省兰州市二十七中2025届高一数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析
【详解】不等式即为 f log4m2 f log4 m 2 ，∵函数 f x 在区间2, 2 上单调递增，
m2 m 2
log4m2 log4 m 2
∴{ 2 log2m 2
2 log4 m 2 2
，即{
1
1 4
m m
2
4
4
，解得
1 4
A. m 1 ， n 3
2
4
C. m 1 ， n 3
2
2
B. m 1 ， n 3
4
2
D. m 1 ， n 3
4
4
9．若 a log3 2, b log5 2, c e0.2 ，则 a, b, c 为（）
A. b a c
B. c a b
C. b c a
D. a b c
【详解】由题意可得 AE AC CE AC 1 CD AC 1 AB ,
2
2
同理： BF AF AB 1 AE AB , 2
所以 AE BF 3 AE AB 3 AC 1 AB
2
2
4
所以 m 1 , n 3 ，故选 B. 42
【点睛】本题考查向量的线性运算，重点利用向量的加减进行转化，同时，利用向量平行进行代换
的 18．已知函数 f x loga 2 xloga 2 x，(a 0且a 1)
1 求函数 f x 的定义域；
2 求满足 f x 0 的实数 x 的取值范围
19．某淘宝商城在 2017 年前 7 个月的销售额 y （单位：万元）的数据如下表，已知 y 与 t 具有较好的线性关系.
月份 t
1
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
甘肃省兰州市甘肃一中2024届数学高一第二学期期末联考试题含解析
甘肃省兰州市甘肃一中2024届数学高一第二学期期末联考试题 注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若集合，则的真子集的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．82．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，890, 0S <S =.若n k S S ≥对*n N ∈恒成立，则正整数k 构成的集合是（ ）A ．{4,5}B ．{4}C ．{3,4}D ．{5,6}3．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.74．观察下列几何体各自的三视图，其中有且仅有两个视图完全相同的是（ ）①正方体 ②圆锥 ③正三棱柱 ④正四棱锥A ．①②B ．②④C ．①③D ．①④5．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A ．16B 3C ．13D 36．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1- B ．1 C ．3 D ．77．l ：20x y -=的斜率为A ．﹣2B ．2C ．12D ．12- 8．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）A ．2,3]B ．[2,5]C ．2,6]D ．2,7]9．直线122x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 是参数）被圆229x y +=截得的弦长等于（ ） A ．125 B 910C 92D 125 10．圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（ ）A ．02（，），2B ．20（，），2C ．20-（，），4D ．20（，），4 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
甘肃省兰州市甘肃一中2024届高一数学第二学期期末达标检测试题含解析
甘肃省兰州市甘肃一中2024届高一数学第二学期期末达标检测试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin b A =3cos a B ．则B =A ．B ．4π C ． D ．3．设M 和m 分别表示函数11cos 3y x =-+的最大值和最小值，则M m +等于（ ） A ．23B ．23-C ．2-D ．34-4．设函数2()2cos 32f x x x a =++（a 为常实数）在区间[0,]2π上的最小值为4-，则a 的值等于（ ）A ．4B ．-6C ．-3D ．-45．设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①{}2n a 是等比数列； ②{}1n n a a +是等比数列； ③{}1n n a a ++是等比数列； ④{}lg n a 是等差数列． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．某种彩票中奖的概率为110000，这是指A ．买10000张彩票一定能中奖B ．买10000张彩票只能中奖1次D ．买一张彩票中奖的可能性是1100007．在△ABC 中, sin?B sin?CsinA cos?B cosC+=+,则△ABC 为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．同时具有性质：“① 最小正周期是π；② 图象关于直线3x π=对称；③ 在5[,]6ππ上是单调递增函数”的一个函数可以是（ ） A ．cos()26x y π=+B ．5sin(2)6y x π=+C ．cos(2)3y x π=-D ．sin(2)6y x π=-9．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为（ ） A ．5B ．10C ．15D ．2010．某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人B ．4人C ．7人D ．12人二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
甘肃省兰州二十七中2017-2018年第二学期期末考试高一数学(必修4解三角形)(解析版)
甘肃省兰州二十七中 2017-2018 年第二学期期末考试高一数学（必修 4 解三角形）（分析版）兰州二十七中 2017-2018 学年第二学期期末考试高一数学（必修 4+解三角形）一．选择题（共 12 小题）17等于 ()1． sin6A ．1B ． 1C ． 3D ．3 22222．若扇形的面积为 3 、半径为 1，则扇形的圆心角为()8A ．3B ．3C ．3D ．324816 3．已知向量 a (6, 2) ， b (2,4) ，若向量 a b 与 2ab 平行，则实数的值为()A ．2B ． 2C ．1D ． 1224．已知向量 a (sin , 2),b (1,cos ) ，且 ab ，则 sin 2 cos 2 的值为 ()A ．1B ．2C ．1D ． 325．已知点 P(4, 3) 在角 的终边上，函数 f ( x) sin( x )(0) 图象上与 y 轴近来的两个对称中心间的距离为，则 f ( )的值为 ( )2 8A ．7 2B ． 7 2C ． 2D ．2 1010 10106．中国古代三国期间的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图” ，经过数形联合，给出了勾股定理的详尽证明．如下图，在“勾股弦方图”中，以弦为边长获得的正方形ABCD 是由 4 个全等的直角三角形和中间的小正方形构成， 这一图形被称作 “赵爽弦图” ．若正方形 ABCD 与正方形 EFGH 的面积分别为 25和 1，则 cos BAE ( )A ．1B ．24C ．3D ．425255 57．将函数 y3 cos x sin x( x R) 的图象向左平移个长度单位后，所获得的图象对于() 对称．6A ． y 轴B ．原点 (0,0)C ．直线 xD ．点 ( 5 ， 0)368．已知函数y sin( x)(0 ， 0,) ，且此函数的图象如下图，由点P( , ) 的坐标是 ()2A．(2, ) B． (2, ) C． (4, ) D． (4, )2 4 2 49．在 ABC 中，AD为 BC 边上的中线，E为AD的中点，则 EB ( )A．3AB1AC B．1AB3AC C．3AB1AC D．1AB3AC 4 4 4 4 4 4 4 410．设向量 a 与 b 的夹角为，且 a ( 2,1),a 2b (2,3) ，则 cos ( )A ． 3B ．3C．5 2 55D．55 511．对于非零向量 m ， n ，定义运算“”： m n | m || n |sin ，此中为 m ， n 的夹角．设 a ， b ， c 为非零向量，则以下说法错误的选项是( )A ． a b b a B．(a b ) c a c b cC．若 a b 0 ，则 a / /b D ．a b ( a) b12．某人在 C 点测得某塔在南偏西80 ，塔顶仰角为45 ，这人沿南偏东40 方向行进10 米到D点测得塔顶 A 的仰角为30 ，则塔高为 ( )A．15 米B．5 米C．10 米D．12 米二．填空题（共 4 小题）13．已知为第二象限角，且tan( ) 3 ，则 sin cos ．414．已知函数 f (x) a sin( x ) b cos( x ) 4 ，若 f (2004) 3 ，则 f (2005) ．15．已知向量 a ， b ，若 a 在 b 方向上的投影为3，| b | 2 ，则a b ．16．在ABC 中，a比c长 4， b 比c长 2，且最大角的余弦值是1 ，则ABC 的面积等于．2三．解答题（共 6 小题）17．在 ABC 中，角A，B， C 所对的边分别为 a ，b，c ．已知a cos A cos B b sin 2 A c cos A 2b cos B ．(I)求B；(II ) 若 b 7a ， ABC 的面积为 2 3 ，求a．18．已知向量 m (cos x,1) ， n (sin x, 3) ．2（ 1）当 m / /n 时，求sin x3 cos x 的值；3 sin x cos x（ 2）已知钝角ABC 中，角A为钝角，a， b ，c分别为角A，B， C 的对边，且 c 2a sin( A B) ，若函数 f (x) m2 n2，求f（A）的值．19．已知 cos( x ) 2， x ( ，3)．4 10 2 4 （1）求 sin x 的值；（ 2）求 sin(2 x ) 的值．320．在ABC 中，3 1 AMAB AC4 4（Ⅰ）求ABM 与ABC 的面积之比（Ⅱ）若N 为AB中点， AM 与 CN 交于点P且 AP xAB yAC (x, y R) ，求 x y 的值．21．已知函数 f (x) 2sin( x)sin( x) sin．23 3（ 1）求函数 f (x) 的单一增区间；（ 2）若锐角ABC 的三个角 A ， B ，C知足 f (B) 1 ，求 f （ A）的取值范围．222．如图，甲船在 A 处，乙船在 A 处的南偏东45 方向，距 A 有9n mile 并以 20n mile / h 的速度沿南偏西 15 方向航行，若甲船以28n mile / h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能赶快追上乙船？兰州二十七中 2017-2018 学年第二学期期末考试高一数学必修4+解三角形参照答案与试题分析一．选择题（共 12 小题）17等于 ()1． sin6A ．1B ．1C ．3 D ．3 2222【分析】 sin 17sin(36 ) sin 5 1 ．66 2应选： A ．2．若扇形的面积为3 、半径为 1，则扇形的圆心角为()8A ．3B ．3C ．3D ．324816【分析】 设扇形的圆心角为 ，则扇形的面积为3、半径为 1，831 12 ， 82 3 ， 4应选： B ．3．已知向量 a (6, 2) ， b (2,4) ，若向量 ab 与 2a b 平行，则实数的值为()A ．2B ． 2C ．1D ． 122【 解 析 】 由 题 意 知 ， a b(4, 6) ， 2ab (122 , 4 4 ) ， 若 向 量 ab 与 2ab 平 行 ， 则4 ( 4 4 )6(1 2 2，解得2 ．应选： B ．4．已知向量 a (sin , 2),b (1,cos ) ，且 ab ，则 sin 2 2的值为 ()cosA ．1B ．2C ．1D ． 32【分析】 由题意可得 a bsin2cos0 ，即 tan2 ．2sin cos22tan 1sin 22coscoscos 2 sin 21 tan2 1 ，应选： A ．5．已知点 P(4, 3) 在角 的终边上，函数 f ( x) sin(x )(0) 图象上与 y 轴近来的两个对称中心间的甘肃省兰州二十七中 2017-2018 年第二学期期末考试高一数学（必修 4 解三角形）（分析版）距离为，则 f ( ) 的值为 ( )2 8A ．7 2B ．7 2C ． 2D ．210101010【分析】 点 P(4, 3) 在角 的终边上，sin3， cos4 ；55由函数 f ( x) 图象上与 y 轴近来的两个对称中心间的距离为，2得 T2，22 2 ；Tf ( ) sin(2) 8 8sincoscos sin4 4 2 42 32 5()2 52 ．10应选： C ．6．中国古代三国期间的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”证明．如下图，在“勾股弦方图”中，以弦为边长获得的正方形，经过数形联合，给出了勾股定理的详尽ABCD 是由 4 个全等的直角三角形和中间的小正方形构成，这一图形被称作 “赵爽弦图” ．若正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别为25和 1，则 cos BAE()A ．1B ．24C ．3D ．4252555【分析】 因为在图中的四个直角三角形都全等， 因此，设 AHBE CFDGx ，因为：正方形 ABCD 与正方形 EFGH 的面积分别为 25和1， 因此： AB BC CD DA 5， EF FG GHHE 1 ，依据勾股定理： (1 x) 2x 225，故： cos BAE4 ．5应选： D ．7．将函数 y3 cos x sin x( xR) 的图象向左平移个长度单位后，所获得的图象对于 ()对称．6A ． y 轴B ．原点 (0,0)C ．直线 xD ．点 ( 5，0)36【分析】 y3 cos xsin x 2sin( x) ，3函数的图象向左平移6 个长度单位后得f ( x) 2sin( x) 2cos x ，36函数的图象对于 y 轴对称， 应选： A ．8．已知函数 ysin( x)(0 ， 0, ) ，且此函数的图象如下图，由点 P( ,)的坐标是 ()2A ．(2, )B ． (2,) C ． (4, )D ． (4, )2424【分析】 由图象可得函数的周期 T 27 3 2，得2 ，(8 )8将 ( 3 ，0) 代入 ysin(2 x ) 可得 sin( 3) 0 ，32k（注意此点位于函数减区间上）84 42k ， k Z4由 0,可得，24点( , )的坐标是 (2, )， 4应选： B ．9．在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB ()A ． 3 AB1 AC B ． 1AB3 ACC ． 3AB1 ACD ． 1AB3 AC44444444【分析】 在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，1 EBAB AE ABAD21 1AB(AB AC)3 1ABAC ，44应选： A ．10．设向量 a 与 b 的夹角为 ，且 a ( 2,1),a 2b (2,3) ，则 cos ()A ．3B ．3C ．5 2 55D ． 555【分析】向量 a 与 b 的夹角为，且 a ( 2,1),a2b (2,3) ，a 2b ab(2,1) ，2则 cosa b 4 1 3| a | | b |55，5应选： A ．11．对于非零向量 m ， n ，定义运算“”： m n | m || n |sin ，此中 为 m ， n 的夹角．设 a ， b ， c 为 非零向量，则以下说法错误的选项是()A ． a b b aB ． (a b ) c a c b cC ．若 a b 0 ，则 a / /bD ． a b ( a) b【分析】 非零向量 m ， n ，定义运算“ ”： m n | m || n | sin ，此中 为 m ， n 的夹角．故： ① a b a ba b sin ，故A 正确．② a ba b sin0 ，则：0 或 ，因此：a 和 b共线，故：C 正确．③ 因为： a b( a) ba b sin，故：D 正确，因此利用清除法获得：B 错误．应选：B ．12．某人在C 点测得某塔在南偏西80 ，塔顶仰角为45 ，这人沿南偏东40 方向行进10 米到D 点测得塔顶 A 的仰角为30，则塔高为()A ．15 米B ．5 米C ． 10米D ．12 米设塔高为 h ，在 Rt AOC 中， ACO 45 ，则 OC OA h ．在 Rt AOD 中，ADO 30 ，则 OD 3h ，在 OCD 中，OCD 120 ， CD 10 ，由余弦定理得：2 2 22OC CD cos OCD ，OD OC CD即 (2h2 22h 10 cos120 ，3h) 1025h 50 0 ，解得 h 10 或 h 5（舍)；h应选： C ．二．填空题（共 4 小题）13．已知为第二象限角，且tan( ) 3 ，则 sincos 5 ．54【分析】tan(4) 3 ，tan 13 ，tan 2 ，1 tan为第二象限角，sin 2 5 5， cos ，5 5sin cos 5 ，5故答案为： 5 ．514．已知函数 f (x) a sin( x ) b cos( x ) 4 ，若 f (2004) 3 ，则 f (2005)5 ．a 2b 2 sin( x) 4 ， (cosa b 2 ， sinb) ，a 2a 2b 2，T 22 ，又 f (2004) f (0) 3 ，即 f (0) a sinb cos4 3 ，因此 a sinb cos1 ，则 f (2005)f (1 1002 2) f （1） a sin( ) b cos() 4(a sinb cos ) 4( 1) 4 5 ．故答案为： 515．已知向量 a ， b ，若 a 在 b 方向上的投影为 3， | b | 2 ，则 a b 6 ．【分析】 向量 a ， b ，若 a 在 b 方向上的投影为3，可得 | a | cos a,b3 ，| b | 2 ，则 a b | a ||b | cos a,b 3 2 6 ．故答案为： 6．16．在ABC 中， a 比 c 长 4， b 比 c 长 2，且最大角的余弦值是1，则 ABC 的面积等于15 3 ．24【分析】 依据题意得： a c 4 ， b c 2 ，则 a 为最长边，A 为最大角，又 cos A1，且 A 为三角形的内角，2A 120 ，而 cos A b 2c 2 a 2 (c 2) 2 c 2 (c 4)2 1 ，2bc2c(c 2) 2整理得： c 2 c 6 0 ，即 (c 3)(c 2) 0 ，解得： c3 或 c2 （舍去），a 3 4 7 ，b 32 5 ，则 ABC 的面积 S 1 bcsin A 15 3 ．2 4故答案为：1534三．解答题（共 6 小题）17．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 2a ，b ，c ．已知 a cos A cos B b sin A c cos A 2b cos B ．(I)求 B ；(II ) 若 b7a ，ABC的面积为 2 3 ，求a ．由正弦定理得，2sin B cos B sin A cos Acos B sin Bsin 2 A sin C cos A sin A(cos A cos B sin B sin A) sin C cos Asin A cos( A B) sin C cos Asin A cosC sin C cos Asin( A C)sin B ，又 sin B 0 ，cos B 1 ；2由 0 B ， B 2（6 分）；3（Ⅱ）由余弦定理b2 a2 c2 2ac cos B ，且 b 7 a ， cos B 1 ，2c2 ac 6 a2 0 ，解得 c 2a ；ABC 的面积为 S 1 3 22 3 ，ac sin B a2 2解得 a 2 （12 分）18．已知向量 m (cos x,1) ， n (sin x, 3 )．2（ 1）当 m / /n 时，求sin x3 cos x 的值；3 sin x cos x（ 2）已知钝角ABC 中，角A为钝角，a， b ，c分别为角A，B， C 的对边，且 c 2a sin( A B) ，若函数 f (x) m2 n2，求f（A）的值．【分析】（ 1）向量 m (cos x,1) ， n (sin x, 3 ) ；2当 m / /n 时， 3 cos x sin x 0 ，即 tan x 3 ，2 2sin x 3 cos x tan x 333 2因此 3 3 ；3 sin x cos x 3 tan x 1 33 12（ 2）ABC 中， c 2a sin( A B) ，由正弦定理得 sin C 2sin Asin C ，又 sin C 0 ，因此sin A 1 ，2又 A 为钝角，因此 A 5；甘肃省兰州二十七中 2017-2018 年第二学期期末考试高一数学（必修 4 解三角形）（分析版）因此函数 f ( x) m 2n 2 cos 2 x 1 sin 2 x3 cos2 x 1 ，4 4因此 f （ A ） cos 51 1 1 3 ． 3 42 4419．已知 cos( x4 ) 2 ， x ( 2 ， 3) ．10 4（ 1）求 sin x 的值；（ 2）求 sin(2 x) 的值．3【分析】（ 1）因为 x ( ， 3) ， 2 4 因此 x4 ( , ) ，4 2sin( x)1 cos2 ( x) 7 2 ．44 10sin x sin[( x)]4 4sin( x4 )cos 4 cos(x )sin4 4 7 2 2 22 4 ．10 210 25（ 2）因为 x ( 2 ， 3) ， 4故 cos x1 sin 2x1 ( 4 )23 ．55sin 2 x2sin x cos x24 ，25 cos2 x 2cos 2 x 17 ．25因此 sin(2 x3 )sin 2 xcoscos2 xsin3 324 7 3．5020．在 ABC 中， AM3AB1AC44（Ⅰ）求 ABM 与 ABC 的面积之比（Ⅱ）若 N 为 AB 中点， AM 与 CN 交于点 P 且 AP xAByAC (x, y R) ，求 x y 的值．【分析】（Ⅰ）在3 14 AM 3AB AC 0 3(AM AB) AC AM3BMMC ，即点 M 在线段 BC 上的凑近 B 的四平分点，ABM 与ABC 的面积之比为 1 ．4（Ⅱ） AM 3 1， AP xAB y AC( x, yR)， AP//AM ，AB AC 4 4 设 AP 3 AB AC 3AC ；AM AN44 4 2三点 N 、P 、C 共线， 31,解得 4， x3 3 , y 11 ，2 474 7 47x y 4．721．已知函数 f (x)2sin( x )sin( x ) sin．233（ 1）求函数 f (x) 的单一增区间；（ 2）若锐角 ABC 的三个角 A ， B ， C 知足 f ( B)1 ，求 f （ A ）的取值范围．2【分析】（ 1） f (x)2sin( x)sin( x) sin1 3 33 2cos x( sin xcos x)23 2 22sin x cos x2x 3 1 sin 2x3cos2x sin(2 x) ．3 cos 22 23 令2k 剟2x2k5 k 剟xk ，3 212 122函数 f (x) 的单一增区间x [ 5 k ] ， k Z ；k ,1212（ 2）由（ 1）可知 1 f ( B)sin( B) ， 23在锐角 ABC 中： B3 2B6 ．ABC 知0 A2于是：由锐角三角形0 CA B2A2A4 ，2333故3 sin(2 A) 0 ．23f （ A ）的取值范围是 (3 ．,0)222．如图，甲船在 A 处，乙船在 A 处的南偏东 45 方向，距 A 有 9n mile 并以 20n mile / h 的速度沿南偏西 15 方向航行，若甲船以28n mile / h 的速度航行，应沿什么方向，用多少 h 能赶快追上乙船？【分析】 设甲船经过 t 小时在 C 处追上乙船，由题意可知 AB9 ， BC 20t， AC 28t ， ABC 120 ，281 400t 2，由余弦定理可得 784t 180t 解得 t 3 ，4AC28t21， BC 20t 15 ， cos BAC81 2 441 22511 ．9 2114甲船应沿南偏东45 arccos 11方向用 3 小时追上乙船．144。
甘肃省兰州市二十七中2022-2023学年高一上数学期末含解析
函数单增区间应满足 x ，即 3 x ，
2
42
4
4
观察选项可知，
0,
4
是函数的单增区间，其余均不是，
故选：C
12、D
【解析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可﹒
【详解】当直线过原点时，满足题意，方程为 y 2x ，即 2x－y＝0；
当直线不过原点时，设方程为 x ＋ y ＝1， a a
（1）求 f x 的最小正周期；
（2）设
x
3
, 3
，求
f
x 的值域和单调递减区间
18．已知函数
f
x
ax ax
1a
1
1
.
（1）根据定义证明：函数 f x 在 , 上是增函数；
（2）根据定义证明：函数 f x 是奇函数.
19．从某校随机抽取 100 名学生，调查他们一学期内参加社团活动的次数，整理得到的频数分布表和频率分布直方图 如下：
① y ax b ；② y ax2 bx c ；③ y a logb x ；④ y k a x ；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格. 21．某化工企业致力于改良工艺，想使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.设改良工艺前所排放的废气中含有的
污染物数量为 r0mg / m3 ，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为 r1mg / m3 ，第 n 次改良工艺后所排放
因 1 b 0 ，故 abcd 0,3 .
故选：B.
【点睛】函数 y f x m有四个不同零点可以转化为 y f x 的图像与动直线 y m有四个不同的交点，注意函
数的图像有局部对称性，而且 c, d 还是倒数关系.
甘肃省兰州市二十七中2023届高一数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．设,P Q 分别是x 轴和圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的动点，且点A(0，3)，则PA PQ +的最小值为（ ） A.2 B.2101- C.3D.3101-2．已知函数()()()f x x a x b =--(其中a b >)的图象如图所示，则函数()xg x a b =+的图像是（ ）A. B.C. D.3．若角(,)2παπ∈--，则1cos 1cos 1cos 1cos αααα+--=-+（ ）A.2tan α-B.2tan αC.2tan α-D.2tan α4．若0,2παβπ<<<<且()17cos ,sin ,39βαβ=-+=则sin α的值是. A.127 B.527 C.13 D.23275．如图，在ABC ∆中，已知12BD DC P =，为AD 上一点，且满足49CP mCA CB =+，则实数m 的值为A.23B.13 C.59D.126．已知平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为()4,6A ，()2,1B -，()4,1C -，G 为ABC 所在平面内的一点，且满足()13AG AB AC =+，则G 点的坐标为（ ） A.()2,2 B.()1,2 C.()2,1D.()2,47．已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（） A.32B.52C.3D.28．在下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（） A.()1f x x =-，()21g x x =-B.()3f x x =-，()()23g x x =-C.()f x x =，()ln10xg x = D.()()()13f x x x =--()13g x x x --9．已知函数()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()111272f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A.12- B.12C.13D.14-10．,,,A B C D 四名学生按任意次序站成一排，若,A B 不相邻的概率是（） A.164B.12C.23D.5611．设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题正确的是 A.若b α⊂，//c α，则//c b B.若b α⊂，//b c ，则//c α C.若c α⊂，αβ⊥，则c β⊥ D.若c α⊂，c β⊥，则αβ⊥12．若1a >，则11a a +-的最小值是（） A.1 B.2 C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知,a b 在同一平面内，(1,2),(,1),,a b x a b ==为锐角,则实数x 组成的集合为_________14．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=且(0.5)1f =-，则(3.5)f =________，(1)(2)f f -+=________.15．已知函数()11,1x f x x x⎧≤<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()20f x f m --=在[]0,4上有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是___________.16．我国古代数学名著《九章算术》中相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d的一个近似公式d =规定：“一个近似数与它准确数的差的绝对值叫这个近似数的绝对误差.”如果一个球体的体积为92，那么用这个公式所求的直径d 结果的绝对误差是___________.1.465≈，结果精确到0.01） 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（其中0>ω，2πϕ<）的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，且直线512x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴. （1）求ω的值； （2）求()y f x =的单调递减区间； （3）若[,]44x ππ∈-，求()y f x =的值域. 18．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：甲 6 6 9 9 乙79xy（1）若乙的平均得分高于甲的平均得分，求x 的最小值；（2）设6x =，10y =，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a ，b ，求a b ≥的概率； （3）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值．（结论不要求证明） 19．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，用向量的方法（用其他方法解答正确同等给分）证明：DE AF ⊥20．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，02πϕ<<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最高点为,36M π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）先把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若总存在02,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得不等式()032log g x m +≤成立，求实数m 的最小值.21．已知直线l 过点(0,25A 和直线1l :20x y -=平行，圆O 的方程为229x y +=，直线l 与圆O 交于B ，C 两点.（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 被圆O 所截得的弦长BC . 22．已知函数()sin 2f x x =，2()cos g x A x ω= （1）求()f x 的单调递增区间；（2）令函数()()()h x f x g x =-，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求()h x 在区间π[0]2，上的最大值及取得最大值时x 的值条件①：12A ω==，； 条件②：21A ω==，注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1、B【解析】取点A 关于x 轴的对称点C （0，-3），得到PA PQ +=PC PQ +，最小值为11-+=-+故答案为B.点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；再者在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值 2、A【解析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.【详解】由图象可知：(0)00(1)(1)0(1)(1)0(2)(1)0(1)(1)0(3)f ab f a b f a b <<⎧⎧⎪⎪>⇒-->⎨⎨⎪⎪-<----<⎩⎩，因为a b >，所以由(1)可得：0a b >>，由(3)可得：101b b -->⇒<-，由(2)可得：101a a ->⇒<，因此有101a b >>>->，所以函数()xg x a b =+是减函数，(0)10g b =+<，所以选项A 符合， 故选：A 3、C【解析】分母有理化再利用平方关系和商数关系化简得解.=1cos 1cos 1cos 1cos 2cos sin ||sin |sin sin sin =|αααααααααα+-+-=--=--- 2tan α=-. 故选：C 4、C【解析】由题设122,cos sin 233πβπββ<<=-⇒=，又30222πππαβπαβ<<<<⇒<+<，则4942cos()1819αβ+=--=-，所以，71422291sin sin[()]sin()cos cos()sin ()9393273ααββαββαββ=+-=+-+=⨯-+⨯==，应选答案C 点睛：角变换是三角变换中的精髓，也是等价化归与转化数学思想的具体运用，求解本题的关键是巧妙地将一个角变为已知两角的差，再运用三角变换公式进行求解． 5、B【解析】()()()2113CP CD DP CD DA CD CA CD CD CA CB CA λλλλλλ=+=+=+-=-+=-+所以()24139m λλ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，所以13m =。
2023-2024学年甘肃省兰州市高一上册期末数学学情检测模拟试卷合集2套(含答案)
2023-2024学年甘肃省兰州市高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．tan 480o 的值等于（）A ．B C ．D 【正确答案】A【分析】把所求式子中的角480︒变为360120︒+︒，然后利用诱导公式变形，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【详解】解：tan 480tan(360120)tan120tan(18060)tan 60︒=︒+︒=︒=︒-︒=-︒=故选：A ．2．设函数()3,10((4)),10x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则()9f =（）A ．10B ．9C ．7D ．6【正确答案】C【分析】依据分段函数()f x 的解析式，将9代入计算函数值.【详解】()()()()()()99413101037f f f f f f =+===-=．故选：C.3．一个面积为100cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为()A ．y ＝50x(x>0)B ．y ＝100x(x>0)C ．y ＝50x(x>0)D ．y ＝100x(x>0)【正确答案】C【分析】利用梯形的面积公式列方程，化简可求得高关于上底长的函数式.【详解】由梯形的面积公式得31002x xy +⋅=，化简得()500y x x=>.故选C.本小题主要考查函数的表示方法，考查梯形的面积公式，解题过程中要注意上底长是正数.属于基础题.4．已知sin 2cos 2sin cos θθθθ+=-，则tan θ的值为（）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【正确答案】D【分析】将分式化为整式后可得tan θ的值.【详解】因为sin 2cos 2sin cos θθθθ+=-，故sin 2cos 2sin 2cos θθθθ+=-即4cos sin θθ=，若cos 0θ=，则sin 0θ=，与平方和为1矛盾，故cos 0θ≠即tan 4θ=，故选：D.5．已知θ为第三象限角，则下列判断正确的是（）A ．sin 0θ>B ．cos 0θ>C ．sin tan 0θθ⋅>D ．sin 2tan 0θθ⋅>【正确答案】D根据θ为第三象限角，由三角函数在象限的正负，判断选项.【详解】θ 是第三象限角，sin 0θ∴<，cos 0θ<，tan 0θ>，故AB 不正确；sin tan 0θθ∴⋅<，故C 不正确；sin 2tan 2sin cos tan 0θθθθθ⋅=⋅⋅>，故D 正确.故选：D6．已知0.32=a ，0.43b =，0.2log 0.3c =，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c>>【正确答案】D【分析】比较大小，可先与常见的常数0,1进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小【详解】0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.321a =>0.431b =>则有：,ac b c>>0.30.30.4233a =<<故有：b a c >>故选：D7．下列命题是真命题的是（）A ．若ac bc >.则a b>B ．若22a b >，则a b>C ．若a b >，则11a b <D ．若c d >，a c b d ->-，则a b>【正确答案】D【分析】根据不等式的性质可判断选项A ，D ；通过举反例可判断选项B ，C.【详解】当0c <时，若ac bc >，则a b <，故选项A 错误；当5,1a b =-=时，满足22a b >，但a b <，故选项B 错误；当5,1a b ==-时，满足a b >，但11a b>，故选项C 错误；若c d >，a c b d ->-，则由不等式的可加性得a c c b d d -+>-+，即a b >，选项D 正确.故选：D.8．若函数1,(20)()2sin(),0,0,02kx x f x x x πωϕωϕ+-≤<⎧⎪=⎨⎛⎫+≥><< ⎪⎪⎝⎭⎩的部分图象如图所示，则（）A ．2,2,3k πωϕ=-==B ．11,,223k πωϕ===C ．11,,226k πωϕ=-==D ．11,,226k πωϕ===【正确答案】D由图象中点的坐标，可确定斜率求出k ；由图象结合三角函数的周期性，求出ω，再由最小值点可求出ϕ.【详解】由题意可得，1010(2)2k -==--；由图象可得，函数()()2sin f x x ωϕ=+的周期为2854433T ππππω⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，则12ω=；所以当0x ≥时，1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又823f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以81842sin 2sin 23233f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()43232k k Z πϕππ+=+∈，所以()26k k Z πϕπ=+∈，又02πϕ<<，所以6πϕ=.故选：D.9．若函数()f x 的定义域为[]0,4，则函数()()2g x f x =++的定义域为（）A ．()1,2B ．()1,4C ．(]1,2D ．(]1,4【正确答案】C【分析】根据题意可得出关于x 的不等式组，由此可解得函数()g x 的定义域.【详解】解：因为函数()f x 的定义域为[]0,4，对于函数()()2g x f x =++02410x x ≤+≤⎧⎨->⎩，解得12x <≤，即函数()()2g x f x =++(]1,2.故选：C10．如果方程220ax bx +-=的解为12,4⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，则实数,a b 的值分别是（）A ．4,9--B ．8,10--C ．1,9-D ．1,2-【正确答案】A【分析】将两根代入二次方程，待定系数求解即可【详解】由题意，方程220ax bx +-=的解为12,4⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，故2211(2)(2)20,()()2044a b a b -+⨯--=⨯-+⨯--=，解得49a b =-⎧⎨=-⎩.故选：A11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当[]0,1x ∈时，()31xf x =-，则()1f -=（）A ．2B ．1C ．-2D ．-1【正确答案】C由()f x 为奇函数，结合已知区间的解析式即可求10x -≤≤时()f x 的解析式，进而求()1f -即可.【详解】∵()f x 在R 上是奇函数，∴令10x -≤≤，则[0,1]x -∈，由题意，有()31()x f x f x --=-=-，∴1()13xf x =-，故()111123f --=-=-，故选：C关键点点睛：利用函数奇偶性，求对称区间上的函数解析式，然后代入求值.12．已知()2,x ∈-+∞，则函数162y x x =++的最小值为（）．A ．4B ．6C ．8D ．10【正确答案】B【分析】由题意得20x +>，则16162222y x x x x =+=++-++，然后利用基本不等式可求得结果【详解】由于()2,x ∈-+∞，则20x +>，故1616222622y x x x x =+=++-≥=++当且仅当1622x x +=+，即2x =时取到等号，因此162y x x =++的最小值为6．故选：B二、填空题13．函数()2sin f x x =+的最大值是___．【正确答案】3.【分析】根据正弦函数sin y x =的图象与性质，得到sin [1,1]x ∈-，即可求解.【详解】由正弦函数sin y x =的图象与性质，可得sin [1,1]x ∈-，所以函数()2sin f x x =+的最大值为3.故答案为.314．8log 3cos 2702︒+的值为__________.【正确答案】2【分析】由诱导公式和指数运算和对数运算法则计算出答案.【详解】()821log 3log 33cos 2702cos 27018022︒+︒-=-︒+13cos 90232=︒+-=故215．不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，则实数a 的取值范围是______．【正确答案】(2,2]-【分析】由题意可得()()222240a x a x -+--<恒成立，分别对20a -=，20a ->，20a -<讨论，结合二次不等式、二次函数图像与性质即可求出答案.【详解】由不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅等价于()()222240a x a x -+--<恒成立，当20a -=时，4<0-成立，符合条件；当20a ->时，根据二次函数图像开口向上，肯定会有函数值大于0，故不符合；当20a -<时，只需让2Δ4(2)16(2)0a a =-+-<，解得22a -<<，综上所述，a 的取值范围为22a -<≤，故(2,2]-16．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对区间(],0-∞上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-．若实数t 满()()213f t f t +≤-，则t 的取值范围是______．【正确答案】24,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系建立不等式，解之可得答案.【详解】因为对区间(],0-∞上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-，所以函数()f x 在(],0-∞上单调递减，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，实数t 满()()213f t f t +≤-，所以213t t +≤-，两边平方得23+1080t t -≤，解得243t -≤≤，故答案为.24,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题17．已知角α的终边上一点()()5,12,0P a a a R a-∈≠，求正弦，余弦、正切三个函数值.【正确答案】见解析分0a>和a<0两种情况讨论，利用三角函数的定义可求出sinα、cosα和tanα的值.【详解】当a<0时，1212 sin1313aaα===--，55cos1313aaα-===-，1212tan55aaα==--；当0a>时，1212sin1313aaα===，55cos1313aaα-===-，1212tan55aaα==--.综上所述，当a<0时，12sin13α=-，5cos13α=，12tan5α=-；当0a>时，12sin13α=，5cos13α=-，12tan5α=-.本题考查利用三角函数的定义求三角函数值，解题时要注意对实数a的符号进行分类讨论，考查计算能力，属于基础题.18．已知函数()222,0,2,0.x x xf xx x x⎧-+≥=⎨+<⎩.(1)求()()4f f-的值；(2)若()3f a=-，求a的值.【正确答案】(1)48-；(2)3【分析】（1）根据定义域选择对应分段函数求值；（2）分别讨论0a≥、0a<即可.【详解】（1）()()()2442480f-=-+⨯-=>，()()()24882848f f f∴-==-+⨯=-.（2）当0a ≥时，()223f a a a =-+=-，解得3a =或1a =-（舍）；当0a <时，()223f a a a =+=-，无解.3a ∴=.19．对下列式子化简求值(1)求值：26301842022227-⎛⎫⨯-⨯+ ⎪⎝⎭;(2)已知222x x a a--=（0a >且1a ≠）,求22x xx x a a a a --++的值.【正确答案】(1)28(2)173【分析】(1)根据指数运算进行化简求值;(2)对原式进行平方化简得到x x a a -+之后,再平方可得到22x x a a -+,化简即可.【详解】（1）解:原式2631842022227-⎛⎫⨯-⨯+ ⎪⎝⎭3219234124⨯⨯-⨯+=3691=-+28=.（2）解:222xxa a --= ,22226x xx xa aa a --⎛⎫∴+=-+= ⎪⎝⎭,()222234x x x x a a a a --∴+=+-=,22173x x x x a a a a --+∴=+.20．已知函数()()2ln 28f x x x =-++的定义域为A ，集合{}0B x x a =->.（1）求集合A ；（2）设U =R ，若U A B =∅ ð，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）{}24A x x =-<<；（2）(],2-∞-.【分析】（1）令真数2280x x -++>，再解一元二次不等式即可.（2）先求出{}U B x x a =≤ð，再利用U A B =∅ ð即可求出.【详解】（1）令2280x x -++>，∴2280x x --<，∴24-<<x ，∴集合{}24A x x =-<<.（2）集合{}{}0B x x a x x a =->=>，∴{}U B x x a =≤ð，∵U A B =∅ ð，∴2a ≤-，∴实数a 的取值范围(],2-∞-.21．已知函数()()212log 32f x x x =--.(1)求该函数的定义域；(2)求该函数的单调区间及值域.【正确答案】(1)()3,1-(2)单调递增区间为()1,1-；单调递减区间为()3,1--；值域为[)2,-+∞【分析】（1）令2032x x -->，解不等式即可求得定义域；（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定()f x 的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得4μ≤，结合对数函数单调性可求得值域.【详解】（1）由2032x x -->得：31x -<<，()f x \的定义域为()3,1-.（2）令223x x μ=--+，μ∴在()3,1--上单调递增；在()1,1-上单调递减；又()12log f μμ=在()0,∞+上单调递减，()f x \的单调递增区间为()1,1-；单调递减区间为()3,1--，()()212134μ≤---⨯-+= ，1122log log 42μ∴≥=-，()f x \的值域为[)2,-+∞.22．如图，直角坐标系xOy 建立在湖泊的某一恰当位置，现准备在湖泊的一侧修建一条观光大道，它的前一段MD 是以O 为圆心，OD 为半径的圆弧，后一段DBC 是函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，[]4,8x ∈时的图像，图像的最高点为85,3B ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求函数()sin y A ωx φ=+的解析式；（2）若在湖泊内修建如图的矩形水上乐园OEPF ，其中折线FPE 为水上赛艇线路，问点P 落在圆弧MD 上何处时赛艇线路最长？【正确答案】（1）8sin 363x y ππ⎛=⎫- ⎪⎝⎭，[]4,8x ∈；（2）当P 点坐标为33⎛ ⎝⎭时赛艇线路最长.【分析】（1）由图可知83A =，12T =，即可求出ω，将85,3B ⎛⎫⎪⎝⎭代入可求ϕ；（2）求出D 的坐标，连接OP ，设EOP θ∠=，将赛艇线路长表示为关于θ的三角函数形式，即可根据三角函数性质求解.【详解】（1）由图象知83A =，18534T =-=，即12T =，则26T ππω==，将85,3B ⎛⎫⎪⎝⎭代入858sin 363πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则52,62k k Z ππϕπ+=+∈，则2,3k k Z πϕπ=-∈，又2πϕ<，3ϕπ∴=-，所以8sin 363x y ππ⎛=⎫- ⎪⎝⎭，[]4,8x ∈；（2）在8sin 363x y ππ⎛=⎫- ⎪⎝⎭中令4x =，得D ⎛ ⎝⎭，∴3OD =.连接OP ，设EOP θ∠=，,62ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则P θθ⎫⎪⎪⎝⎭.设赛艇线路长为L ，则cos sin sin 3334PE L PF πθθθ=⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，当4πθ=时，L ，此时,33P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以当P 点坐标为⎝⎭时赛艇线路最长.2023-2024学年甘肃省兰州市高一上册期末数学质量检测模拟试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算cos 8()40-︒的值是（)A ．32-B ．12-C ．12D ．322．已知函()26log f x x x =-，则()f x 的零点所在的区间是（)A ．()0,1B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,+∞3．已知角α的终边过点()()4,30P a a a -<，则2sin cos αα+的值是（)A ．25-B ．25C ．0D ．25-或254．已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（)A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c<<D ．a b c <<5．2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计如右面的条形图．后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如右面的折线图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为（)A ．7000B ．7500C ．8500D ．95006．下列关于函数πtan 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（)A ．在区间π5π,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增B ．最小正周期是2πC ．图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称D ．图象关于直线π6x =成轴对称7．已知函数()cos 422x x x f x -=-，则()f x 的图像大致是（)A ．B ．C ．D ．8．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，关于()f x 下列命题正确的个数是（)①()()202120220f f +-=②函数()f x 在定义域上是周期为2的函数③直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点﹔④函数()f x 的值域为[]1,1-A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知函数()()4,0,0x x x f x x x --≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，下列说法中正确的有（)A ．()()13f f -=B ．函数()f x 单调减区间为()(),02,-∞⋃+∞C ．若()3f a >，则a 的取值范围是()(),31,3-∞-⋃D ．若方程()f x b =有三个解，则b 的取值范围是()0,410．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则（)A ．点P 第一次到达最高点需要10秒B ．当水轮转动35秒时，点P 距离水面2米C ．当水轮转动25秒时，点P 在水面下方，距离水面2米D ．点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的函数解析式为ππ4sin 2306h t ⎛⎫=++⎪⎝⎭11．下列说法中正确的是（)A ．命题“2,20x x x ∃∈-<R ”的否定是“2,20x x x ∀∈-≥R ”B ．函数()33x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点()3,4A C ．幂函数()()223169m m f x m m x -+=-+在()0,+∞上单调递增，则m 的值为4D ．函数()()22log 23f x x x =--的单调递增区间是[)1,+∞12．已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象，给出以下四个论断，其中正确的是（)A ．()f x 的图象关于直线5π8x =-对称B ．()f x 的图象的一个对称中心为7π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()f x 在区间π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数D ．()f x 可由3sin 2y x =-向左平移π8个单位第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何?”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步?”该问题的答案为__________平方步．14．函数()()2log 31x f x =+的反函数()1y f x -=的定义域为_________．15．已知π3sin 35x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7πcos 6x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．16．函数πsin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像与直线y a =在9π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上有三个交点，其横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围为___________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）计算：1213lg15lg 42-⎛⎫+-⎪⎝⎭（2）已知4cos sin 13sin 2cos 4αααα-=+，求tan α的值．18．（12分）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出函数()f x 的解析式及单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．19．（12分）某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、54、58；为了预测以后各月的患病人数，根据今年1月、2月，3月的数据，甲选择了模型()2f x ax bx c =++，乙选择了模型xy p q r =⋅+，其中y 为患病人数，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）如果4月、5月、6月份的患病人数分别为66、82、115，你认为谁选择的模型较好?请说明理由；（2）至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人?试用你认为比较好的模型解决上述问题．（参考数据：10288.28≈=）20．（12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年100个家庭的月均用水量（单位：t ），将数据按照[)[)[)[)0,2,2,4,4,6,6,8，[]8,10分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求全市家庭月均用水量不低于4t 的频率；（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）；（3）求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）．21．（12分）若将函数()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π8个单位长度，得到函数()g x 的图象．（1）求()g x 图象的对称中心；（2）若()()122f x g x =，求πtan 46x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．22．（12分）已知函数()()n ()l f x x a a R =+∈的图象过点()()()21,0,2f x g x x e=-（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()ln 2y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()–ln 1g x m <-，求m 的取值范围．答案和解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【正确答案】B2．【正确答案】C 解：由6y x=在(0,)+∞上单调递减，2log y x =在(0,)+∞上单调递减所以函数()26log f x x x=-在(0,)+∞上单调递减又()()22243132log 3log 0,4log 40322f f =-=>=-=-<根据函数()f x 在（(0,)+∞上单调递减，由零点存在定理可得函数在()3,4之间存在零点．故选：C3．【正确答案】B4．【正确答案】D解：112πln ln 20,sin sin sin 22442a b ==-<==<=，则120,222b c ->>==∴a b c <<，故选：D ．5．【正确答案】C解：参加工作就医费为700015%1050⨯=，设目前晓文同学的月工资为x ，则目前的就医费为10%x ⋅，因此10%1050200850x ⋅=-=，∴8500x =．选C ．6．【正确答案】C7．【正确答案】D 8．【正确答案】A解：0x ≥时，()()1f x f x +=-，则()()()()()()()21,20220,10f x f x f x f f f f +=-+===-，又()f x 是R 上的奇函数，因此()()()00,202220220f f f =-=-=，所以()()202120220f f +-=，①正确；221517371log ,2log 444444414f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==-=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝≠-⎭-，②错误；作出函数()()2log 1g x x =+的图象与直线y x =（如图），可得直线y x =与()()2log 1g x x =+的图象只有两个交点()0,0和()1,1，全科免费下载公众号-《高中僧课堂》[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，其图象与直线y x =只有一个交点()0,0，又()f x 是奇函数，从而()f x 在()1,1-上的图象与直线y x =只有一个交点()0,0，由命题①的推理可得()0,f k k Z =∈，由于01x ≤<时，()()[)2log 10,1f x x =+∈，同样由命题①的推理结合奇函数性质得()()1,1f x ∈-，而1x ≥时，1,1y x x =≥≤-时，1y x =≤-，因此③错，同时得出④错．正确的命题只有①．故选：A ．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．【正确答案】ACD10．【正确答案】AC解：设点P 距离水面的高度h （米）和时间t （秒）的函数解析式为()πsin 0,0,2h A t B A ωϕωϕ=⎛⎫ ⎪⎝++>>⎭<，由题意得：()()max min 622π300sin 00h A B h A B T h A B ωωϕ=+=⎧⎪=-=-⎪⎪⎨==⎪⎪=⨯++=⎪⎩解得：422ππ15π6A B T ωϕ=⎧⎪=⎪⎪⎨==⎪⎪=-⎪⎩∴ππ4sin 2156h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．故D 错误；对于A ．令6h =，即ππ4sin 2156h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，即πππππsin 1,1561562t t ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭解得：10t =，故A 对；对于B 令35t =，代入ππ4sin 2156h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得：4h =，故B 错误；对于C ．令25t =，代入ππ4sin 2156h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，解得：2h =-，故C 对．故选：AC11．【正确答案】ABC12．【正确答案】AC第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【正确答案】120解：由题意得，扇形的弧长为30，半径为8，所以扇形的面积为：1130812022S lr ==⨯⨯=，14．【正确答案】()0,+∞解．∵311x +>，∴()2log 310x +>，∴函数()()2log 31x f x =+的值域为()0,+∞．∵()1y fx -=的定义域即函数()()2log 31x f x =+的值域∴()1y f x -=的定义域为()0,+∞．15．【正确答案】35-解．7πππππ3cos cos sin sin 662635x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦16．【正确答案】5π11π,48⎛⎫ ⎪⎝⎭解：由题意因为9π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ5π2,442x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可画出函数大致的图则由图可知当212a <<时，方程()f x a =有三个根，由ππ242x +=解得π8x =π3π242x +=解得5π8x =，且点()1,0x 与点()2,0x 关于直线π8x =对称，所以12π4x x +=，点()2,0x 与点()3,0x 关于直线5π8x =对称，故由图得，令π2sin 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，当为9π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，解得π4x =或πx =，所以，123π9π,0,,π,48x x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得，39ππ8x <<，则1235π11π48x x x <++<，即1235π11π,48x x x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭故5π11π,48⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题（本大题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：（1）原式()()121123131212lg 152lg102211232-⨯-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=+-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）解：因为4cos sin 13sin 2cos 4αααα-=+．且cos 0α≠，所以分子分母同除以cos α有：4cos sin 4tan 13sin 2cos 3tan 24αααααα--==++即3tan 2164tan αα+=-，7tan 14α=解得tan 2α=18．解：（1）根据函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，可得313ππ4123T =-，解得πT =，∴2π2T ω==，将π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭代入可得πsin 203ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，解得π3ϕ=﹔所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭递增区间为()5πππ,π1212x k k k Z ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由以上可得，()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭∴ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，∴ππ5π2,366x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当ππ236x +=-时，即π4x =-，函数()f x 取得最小值为12-当ππ232x +=时，即π12x =，函数()f x 取得最大值为1所以值域为1,12y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦19．解：（1）由题意，把1x =，2，3代入()f x 得：5242549358a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得1,1,52a b c ==-=，所以()252f x x x =-+，所以()()()2224445264,5555272,6665282f f f =-+==-+==-+=，则()()()4662,58210,611533f f f -=-=-=；把1x =，2，3代人()x y g x p q r ==⋅+，得23525458pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1,2,50p q r ===，所以()250xg x =+，所以()()()456425066,525082,6250114g g g =+==+==+=，则()()()4660,5820,61151g g g -=-=-=因为()()()4,5,6g g g 更接近真实值，所以应将250xy =+作为模拟函数；（2）令2502000x +>，解得2log 1950x >由于110121024195020482=<<=即()2log 195010,11∈，所以至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人．20．解：（1）由直方图可知全市家庭月均用水量不低于4t 的频率为：()20.180.090.060.66⨯++=（2）因为0.06210.11230.18250.09270.0629 4.92⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．因此全市家庭月均用水量的平均数估计值为4.92t（3）频率分布直方图中，用水量低于2t 的频率为0.0620.12⨯=．用水量低于4t 的频率为0.0620.1120.34⨯+⨯=．用水量低于6t 的频率为0.0620.1120.1820.7⨯+⨯+⨯=．用水量低于8t 的频率为0.0620.1120.1820.0920.88⨯+⨯+⨯+⨯=故全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值为x ，则68x <<则()0.760.090.75x +-⨯=，解得 6.56x ≈所以全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值为6.5621．解：（1）由题意将函数()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向移π8个单位长度，可得()πππ2cos 42cos 4863g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦．由ππ4π,32x k k Z -=+∈，可得5ππ,244k x k Z =+∈，故()g x 图象的对称中心为5ππ,0,244k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）解：由()()ππ2cos 2,2cos 463f x x g x x ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()()122f xg x =，可得πππππ2cos 4cos 4cos 4sin 463626x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以πsin 4π6tan 42π6cos 46x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+==⎛⎫+⎛⎫ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．22．解：（1）函数()()n ()l f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以()ln 10a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x=（2）由（1）可知()()()2ln ln 2ln 2,1,2y x x k x kx x =+-=-∈，令()20ln 2x kx -=，得2210x kx --=，设()221h x x kx =--，则函数()()ln 2y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以()()1102720h k h k =-<⎧⎪⎨=->⎪⎩，解得712k <<因为k Z ∈，所以k 的取值为2或3（3）因为0m >且1m m >，所以1m >且101m <<，因为()()22222(1)1f xg x x e x x x =-=-=--所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫⎪⎝⎭，因为()22221121222g m g m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2111120m m m m m m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-⋅> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()2max 2g x g m m m ==-，只需()()max ln 1g x m <--，即()22ln 1m m m -<--，设()()()22ln 11h m m m m m =-+->，()h m 在()1,+∞上单调递增，又()20h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()()2h m h <，所以12m <<，所以m 的取值范围是()1,2。
2019学年甘肃兰州市二十七中高一(下)数学期末试卷
2019学年甘肃兰州市二十七中高一（下）数学期末试卷一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意）1．下列赋值语句正确的是( )A ．B ．C ．D ．2S S i =+P =21x x =+A A=-【答案】D【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A 中乘方格式不对，应为：；2S S i ∧=+B 中根号表示不对，应为：；()P SOR x =C 中乘号不对，应为：；2*1x x =+故选：D ．2．如图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )A.B.C.D.【答案】A【解答】解：根据题意，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的散点图，必须是散点分步比较集中，且大体接近某一条直线的，分析选项个散点图可得，A 中的散点杂乱无章，最不符合条件，4故选：A ．3．下列各数中最小的数是( )A ．B ．C ．D ．(9)85()6210()41000()211111【答案】D．【解答】解：；()99858577x =+=；()26210261678=⨯+⨯=；()341000146=⨯=．()43210211111222223=++++=故最小，11111故选：D ．4．某象棋俱乐部有队员人，其中女队员人，现随机选派人参加象棋比赛，则选出的人中恰有人是女队员的概率为( )52221A ．B ．C ． D ．310352523【答案】B．【解答】解：随机选派人参加象棋比赛，有种，选出的人中恰有人是女队员，有种，22510C =2111236C C =所求概率为，∴63105=故选：B ．5．如果数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为()12,,,n x x x x 2s 1231,31,,31n x x x --- A ．B ．C ．D ．2,x s 231,x s -231,3x s -231,9x s -【答案】D．【解答】解：数据的平均数为，方差为，12,,,n x x x x 2s 则的平均数为，,方差为．1231,31,,31n x x x --- 31x -29s 故选：D ．6．已知与之间的几组数据如下表x x x 0123y 1-3-4-4-则与的线性回归方程必过( )y x ˆy bx a =+A ．点B ．点()2,2()1.5,4C ．点D ．点()1.5,3.75-()1.5,0【答案】C．【解答】解：，，()10123 1.54x =+++= ()11347 3.754y =----=-8根据线性回归方程必过样本中心点，可得与的线性回归方程必过．∴y x ˆybx a =+()1.5,3.75-故选：C ．7．湖南卫视《爸爸去哪儿》节目组为热心观众给予奖励，要从名小观众中抽取名幸运小观众．先用简单随机抽样从201450人中剔除人，剩下的人再按系统抽样方法抽取人，则在人中，每个人被抽取的可能性( )2014142000502014A ．均不相等B ．不全相等C ．都相等，且为D ．都相等，且为251007140【答案】C．【解答】解：根据抽样的定义得无论哪种抽样方法都样本个体被抽到的概率相同，即都为，502520141007=故选：C ．8．如图是一个边长为的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷个点，其中落入白色31089部分的有个点，据此可估计黑色部分的面积为( )484A ．B ．C ．D ．4589【答案】B．【解答】解：由题意在正方形区域内随机投掷个点，其中落入白色部分的有个点，1089484则其中落入黑色部分的有个点，605由随机模拟试验可得：，又，m E 6051089S S =9S =正即，5S ≈黑故选：B ．9．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：要使中奖率增加，则对应的面积最大即可，则根据几何概型的概率公式可得，对A.概率，38P =对B.概率，2184P ==对C.概率，2163P ==对D.概率，则概率最大的为，13P =38故选：A ．10．在中，角所对的边分别是，，则角等于()ABC ∆,,A B C ,,a b c 4,30a b A︒===B A ．B ．或C ．D ．或30 30 150︒60︒60︒120︒【答案】D．【解答】解：，4,30a b A︒===由正弦定理得：，∴sin sin a bA B =sin sin b AB a ==为三角形的内角，，B b a >，B A ∴>则或．60B ︒=120︒故选：D ．11．在中，角所对的边分别是，且，则的形状是()ABC ∆,,A B C a b c >>cos cos 0a A b B -=ABC ∆A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解答】解：在中，，ABC ∆cos cos a A b B ⋅= 由正弦定理得：，∴sin cos sin cos A A B B =即，sin 2sin 2A B =或，22A B ∴=22A B π=-或，A B ∴=2A B π+=的形状为等腰三角形或直角三角形．ABC ∴ 故选：C ．12．若干个人站成一排，其中是互斥事件的是( )A ．“甲站排头”与“乙站排头”B ．“甲站排头”与“乙不站排尾”C ．“甲站排头”与“乙站排尾D ．“甲不站排头”与“乙不站排尾”【答案】A．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生，是互斥事件，对于B ，“甲站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件，对于C ，甲站排头”时，乙可以“站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件，对于D ，“甲不站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件，故选：A ．二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．读程序，完成下列题目：程序如图：（1）若执行程序时，没有执行语句，则输入的 的范围是_______；1y x =+x （2）若执行结果，输入的的值可能是 ．3y =x【答案】（1）；（2）．1x <2【解答】解：（1）不执行语句1y x =+说明不满足条件，，故有1x (1)x <（2）当时，1x <2113y <⨯+=只有，．13x +=2x =故答案为：（1） （2）；1x <1y x =+14．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为时，则输入的的值为_______．4x【答案】．1-【解答】解：程序的功能是计算，3,13,1x x y x x -⎧=⎨+>⎩…若输出的值为时，y 4则当时，由得，1x ≤34x -=1x =-当时，由得，此时无解，1x >34x +=1x =故答案为：1-【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键．15．在中，若，则_______．ABC ∆222a b bc c =++A =【答案】．120 【解答】解：中，若，ABC ∆222a b bc c =++则222bc b c a -=+-进一步解得：，2221cos 22b c a A bc +-==-由于：，0A π<<解得：，120A ︒=故答案为：．120 16．在区间上随机取一个数，则的概率为________．[]1,2-x []0,1x ∈【答案】13【解答】解：在数轴上表示区间的线段的长度为；[]0,11示区间的线段长度为[]1,2-3故在区间上随即取一个数，则的概率[]1,2-x []0,1x ∈13P =故答案为：13三．解答题（本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．某公司为了提高工效，需分析该公司的产量（台）与所用时间（小时）之间的关系，为此做了四次统计，所得数据x y 如下：产品台数（台）x 2345所用时间（小时）y 2.534 4.5（1）求出关于的线性回归方程；y x ˆˆˆybx a =+（2）预测生产台产品需要多少小时？10【答案】（1）;（2）.20.7 1.0y x =+8.05【解答】解：（1）由题意，，，52.54 3.5 3.50.7544 3.52b -⨯⨯==-⨯ 3.50.7 3.5 1.05a =-⨯=于是回归方程；20.7 1.0y x =+（2）由题意，时，10x =0.710 1.058.05y =⨯+=18．在中，内角的对边分别为，已知．ABC ∆,,A B C ,,a b c 60,23A a b ︒==（Ⅰ）求的值；sin B （Ⅱ）若，求边的值．2b =c 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）sin B =1+【解答】解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，及，ABC ∆sin sin a b A B=60,23A a b︒==可得．sin B =（Ⅱ）由及，可得，2b =23a b =3a =由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-即，2250cc --=可得．1c =+19．为了了解四川省各景点在大众中的熟知度，随机对岁的人群抽样了人，回答问题“四川省有哪几个著名的旅游15~65n 景点？”统计结果如表．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第组1[)15,25a 0.5第组2[)25,3518x第组3[)35,45b 0.9第组4[)45,5590.36第组5[]55,653y（1）分别求出的值；,,,a b x y （2）从第，，组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人，求第，，组每组各抽取多少人？2346234（3）通过直方图求出年龄的众数，平均数．【答案】（1）;5,27,0.9,0.2a b x y ====（2）第组抽取人，第组抽取人，第组抽取人;223341（3）．41.5【解答】解：（1）由频率分布表得第四组人数为：人，9250.36=由频率分布直方图得第四组的频率为，0.025100.2⨯=．251000,25n ∴==第一组抽取的人数为：人，∴1000.011010⨯⨯=第二组抽取的人数为：人，1000.021020⨯⨯=第三组抽取的人数为：人，1000.031030⨯⨯=第五组抽取的人数为：人，1000.151015⨯⨯=．100.55300.927180.92030.215a b x y =⨯=⎧⎪=⨯=⎪⎪∴⎨==⎪⎪==⎪⎩（2）第，，组回答正确的人分别有、、人，23418279从中用分层抽样的方法抽取人，6第组抽取：人，∴2186218279⨯=++第组抽取：人，3276318279⨯=++第组抽取：人．496118279⨯=++（3）由频率分布直方图得：年龄的众数为：，3545402+=年龄的平均数为：200.01010300.02010400.03010500.02510600.0150.0151041.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯=20．同时抛掷两枚骰子，并记下二者向上的点数，求：（1）二者点数相同的概率；（2）两数之积为奇数的概率；（3）二者的数字之和不超过的概率．5【答案】（1）;16（2）;14（3）．518【解答】解：（1）把两个骰子分别记为红色和黑色，则问题中含有基本事件个数，6636n =⨯=记事件表示“二者点数相同”，A 则事件中包含个基本事件，分别为：，A 6()()()()()()1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6二者点数相同的概率．∴()61366p A ==（2）记事件表示“两数之积为奇数”，B 则事件中含有个基本事件，分别为：B 9，()()()()()()()()()1,1,1,3,1,5,3,1,3,3,3,5,5,1,5,3,5,5两数之积为奇数的概率．∴91()364P B ==（3）记事件表示“二者的数字之和不超过5”，C 由事件中包含的基本事件有10个，分别为：C ，()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,4,1二者的数字之和不超过的概率．∴5105(C)3618P ==21．某校为了了解甲，乙两班的数学学习情况，从两班各抽出名学生进行数学水平测试，成绩如下（单位：分）：10甲班： 82848589798091897974乙班： 90768681848786828583（1）求两个样本的平均数；（2）求两个样本的方差和标准差；（3）试分析比较两个班的学习情况【答案】（1），，83.2x =甲84x =乙（2），，，226.36s =甲213.2s =乙 5.13s ≈甲 3.63s ≈乙（3）乙班的总体学习情况比甲班好.【解答】（1）甲班的平均数，()18284858979809189797483.210x =⨯+++++++++=甲乙班的平均数.()1907686818487868285838410x =⨯+++++++++=乙（2）甲班的方差：，()()()222218283.28483.27483.826.3610s ⎡⎤=⨯-+-++-=⎣⎦ 甲乙班的方差，()()()2222190847684838413.210s ⎡⎤=⨯-+-++-=⎣⎦ 乙所以甲班的标准差，5.13s ≈甲乙组的标准差3.63s =≈乙（3）由于，所以乙班平均水平比甲班高，x x 甲乙＜由于 ，所以乙班的成绩比较稳定，s s 甲乙＞故乙班的总体学习情况比甲班好.22．在中，内角的对边分别为，已知．ABC ∆,,A B C ,,a b c 222cos cos sin sin sin A B C A =+-（Ⅰ）求角的值；B （Ⅱ）若，且的面积为 的值．b =ABC ∆ac +【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．3B π=6【解答】解：（Ⅰ）由题意知，2221sin 1sin sin sin sin A B C A C -=-+-即，222sin sin sin sin sin A C B A C +-=由正弦定理sin sin sin a b c A B C==得，①，222a c b ac +-=由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=得，1cos 2B =又因为，0B π<<所以．3B π=（Ⅱ）因为，由面积公式得，即．3b B π==1sin 23S ac π==8ac =由①得，22220a c b ac +=+=故，即．2()36a c +=6a c +=。
2023-2024学年甘肃省兰州市高一上册线上期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年甘肃省兰州市高一上册线上期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2|6730A x x x =+-≤，Z B =，则A B = （）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}0,1,2【正确答案】B【分析】求出集合A 中x 的范围，然后直接求A B ⋂即可.【详解】由26730x x +-≤得()()31230x x -+≤，解得3123x -≤≤，即31,23A ⎡⎤=-⎢⎣⎦，所以{}1,0A B ⋂=-.故选：B.2．若函数2,0()ln ,0x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()01f f +=（）A ．0B ．1C ．2D ．1-【正确答案】C【分析】根据分段函数的解析式直接求解即可.【详解】由2,0()ln ,0x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()00121ln12f f +=+-=，故选：C3．在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P位于第（）象限A ．一B ．二C ．三D ．四【正确答案】D【分析】运用诱导公式计算出P 点坐标的符号就可判断出P 点所在的象限.【详解】()tan 2022tan 5360222tan 2220︒︒︒︒=⨯+=>，()sin 2022sin 5360222sin 2220︒︒︒︒=⨯+=<，()tan 2022,sin 2022P ︒︒∴在第四象限；故选：D.4．命题“21,1x x m ∀>+>”是真命题的充要条件是（）A ．1m <B ．2m <C ．2m ≤D ．3m <【正确答案】C【分析】将问题转化为21x m >-在(1,)+∞上恒成立，可求出结果.【详解】因为命题“21,1x x m ∀>+>”是真命题，所以21x m >-在(1,)+∞上恒成立，所以11m -≤，即2m ≤，所以命题“21,1x x m ∀>+>”是真命题的充要条件是2m ≤.故选：C5．若指数函数x y a =在区间[]1,2上的最大值与最小值的差为2，则=a （）A ．1-B ．1C ．1-或2D ．2【正确答案】D【分析】分1a >和01a <<两种情况讨论，结合指数函数的单调性求出最值，即可得出答案.【详解】解：当1a >时，函数x y a =为增函数，则2min max ,y a y a ==，故22a a -=，解得2a =或（1a =-舍去），当01a <<时，函数x y a =为减函数，则2min max ,y a y a ==，故22a a -=，无解，综上，2a =.故选：D.6．下列函数在()0,∞+上为增函数的是（）A ．()12f x x =-B ．()2xf x -=C ．()21f x x =D ．()f x x=【正确答案】D【分析】根据幂函数、指数函数的单调性，结合函数单调性的性质逐一判断即可.【详解】因为函数12y x =在()0,∞+上为增函数，所以函数()12f x x =-在上为减函数，因此选项A 不正确；因为()12(2xx f x -==在()0,∞+上为减函数，所以选项B 不正确；因为()21f x x =在()0,∞+上为减函数，所以选项C 不正确；当()0,x ∈+∞时，()f x x x ==，显然函数在()0,∞+上为增函数，所以选项D 正确，故选：D7．已知π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．45±B ．45C ．45-D ．35【正确答案】D 【分析】根据πππ626αα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭及诱导公式即可求解.【详解】∵π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴ππππ3sin cos cos 62635ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选:D ．8．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（）A ．()()0.30.4310.40.3log 4f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()0.40.331log 0.30.44f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()0.30.431log 0.40.34f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()0.40.3310.30.4log 4f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】利用指数函数、对数函数以及幂函数的单调性结合中间值法比较0.40.3、0.30.4、3log 4的大小，再利用函数()f x 的奇偶性及其在()0,∞+的单调性可得出合适的选项.【详解】因为3331log log 4log 314=>=，0.40.40.3000.30.40.40.41<<<<=，所以，0.30.43log 40.40.30>>>，因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，所以，()()()0.40.3333110.30.4log log log 444f f f f f ⎛⎫⎛⎫<<== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.9．已知函数()()22log 23f x x x =-++，下列结论正确的是（）A ．单调增区间为(],1-∞，值域为(]0,2B ．单调减区间是[)1,+∞，值域为(],2-∞C ．单调增区间为(]1,1-，值域为(],2-∞D ．单调减区间是[)1,3，值域为(]0,2【正确答案】C【分析】由题意可知，函数()()22log 23f x x x =-++是复合函数，根据复合函数同增异减的单调性原则可求其单调区间和值域.【详解】要使函数()()22log 23f x x x =-++有意义，则有2230x x -++>，解得13x -<<，所以函数的定义域为()1,3-.因为(]2223(1)40,4x x x -++=--+∈，所以()(],2f x ∈-∞，即函数的值域(],2-∞.因为当13x -<<时，223y x x =-++在(]1,1-内单调递增，在[)1,3内单调递减，且2log y x =在定义域内单调递增，所以根据复合函数的单调性可得()f x 的单调减区间是[)1,3，增区间为(]1,1-.故选：C.10．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20mg 一一79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液上升到了1mg /ml .如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（参考数据：lg0.20.7≈-，lg0.30.5,lg0.70.15,lg0.80.1≈-≈-≈-）（）A ．1B ．3C ．5D ．7【正确答案】C【分析】由条件可推知()3002%1.x-<，再结合对数公式即可求解.【详解】解：由题意得：100ml 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车故()3002%1.x-<，即0.70.2x <两边取对数即可得lg 0.7lg 0.2x <，即lg 0.24.67lg 0.7x >≈那么他至少经过5个小时才能驾驶汽车故选：C二、多选题11．已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()0f =B ．()f x 的最小正周期为π2C ．把()f x 向左平移π6可以得到函数()tan 2g x x =D ．()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【正确答案】BD【分析】由正切函数的性质及图象变换规律逐一判断即可得结论．【详解】()ππ0tan tan 66f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭A 错误；函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π2T =，故B 正确；把()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移π6可以得到函数πππtan 2tan 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C错误；π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,π626ππx ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，故()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确．故选：BD ．12．以下命题正确的是（）A ．函数()2f x x =-与函数()g x =表示同一个函数B ．(0,)∀∈+∞x ，使43x x>C ．若不等式220ax x c ++>的解集为{}12x x -<<，则2a c +=D ．若0x >，0y >且41x y +=，则216x y +的最小值为【正确答案】BCD【分析】对A ，通过化简知()|2|g x x =-，即可判断，对B ，根据在同一坐标系内不同底数的指数函数图像特点即可判断，对C 利用韦达定理即可，对D 利用基本不等式即可求出最值，注意取等条件.【详解】对于A ，()2f x x =-，()|2|g x x ==-,故()f x 与()g x 不是同一个函数，故A 错误，对于B ，根据指数函数图像与性质可知，当,()0x ∈+∞，14xy =的图像在23x y =的图像的上方，故对(0,)∀∈+∞x ,使43x x >，故B 正确，对C ，由题意知1,2-为方程220ax x c ++=的两根，且0a ≠，由韦达定理得21242a ac c a⎧-=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩，故2a c +=，故C 正确，对D，42162222x y x y +=+当且仅当42241x y x y ⎧=⎨+=⎩,即11,28x y ==时,等号成立，故216x y +的最小值为D 正确.故选：BCD.三、填空题13．计算：12lg 41--=____________.【正确答案】0【分析】根据对数运算法则运算即可.【详解】()112222lg 41lglg 2lg 5lg 21lg 11010----=--=+-=-=.故0.14．命题“[1,2]x ∃∈，20x x a +-≤”为假命题，则a 的取值范围为__________.【正确答案】(,2)-∞.【分析】由题意可知此命题的否定为真命题，从而可求出a 的取值范围.【详解】因为命题“[1,2]x ∃∈，20x x a +-≤”为假命题，所以命题“[1,2]x ∀∈，20x x a +->”为真命题，即[1,2]x ∀∈时，2x x a +>恒成立，令2211()24f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，[1,2]x ∈，所以当()f x 的最小值为(1)2f =，所以2a <，即a 的取值范围为(,2)-∞，故答案为.(,2)-∞15．已知方程2cos 4sin 0x x a +-=在[0,]x π∈时有解，求实数a 的取值范围___________.【正确答案】[1,4]【分析】将方程2cos 4sin 0 x x a +-=在[0,]x π∈时有解，转化为2cos 4sin y x x =+，[0,]x π∈与y a =有交点求解.【详解】因为方程2cos 4sin 0x x a +-=在[0,]x π∈时有解，所以2cos 4sin y x x =+，[0,]x π∈与y a =有交点，因为22sin 4sin 1(sin 2)5y x x x =-++=--+，(0sin 1)x 所以[1,4]y ∈.所以实数a 的取值范围是[1,4].故答案为.[1,4]四、解答题16．集合{}{}3621A x x B x m x m =<≤=≤≤+，．(1)若2m =，求,A B A B ；(2)若x B ∈是x A ∈的必要条件，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1){}35A B x x ⋂=<≤，{|26}x x A B ≤≤= ；(2)5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）将m 的值代入集合B ，然后根据交集与并集的定义即可求解；（2）由题意，可得A B ⊆，根据集合的包含关系列不等式组求解即可得答案.【详解】（1）解：当2m =时，{|25}B x x =≤≤，又{}36A x x =<≤，所以{}35A B x x ⋂=<≤，{|26}x x A B ≤≤= ；（2）解：因为x B ∈是x A ∈的必要条件，所以A B ⊆，即(3,6][,21]m m ⊆+，所以有3216m m ≤⎧⎨+≥⎩，解得532≤≤m ，所以实数m 的取值范围为5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2tan tan 20αα--=.(1)求()tan πα-的值；(2)求πsin sin(π)2cos()ααα⎛⎫++- ⎪⎝⎭-的值.【正确答案】(1)2-(2)3【分析】（1）解一元二次方程，结合角的范围求解tan 2α=，再根据诱导公式化简求解即可；（2）利用诱导公式化简后，弦化切即可求解.【详解】（1）由题意可得：(tan 2)(tan 1)0αα-+=，tan 2α∴=或tan 1α=-，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 0α∴>，tan 2α∴=.故()tan πtan 2αα-=-=-.（2）()()πsin sin πcos sin 21tan 123cos cos ααααααα⎛⎫++- ⎪+⎝⎭==+=+=-.18．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（其中A >0，0ω>，0ϕπ<<）的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 的图象向右平移2个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象．求函数()([2,1])y g x x =∈-的值域．【正确答案】(1)()384f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；(2)⎡⎣.【分析】（1）由最大值和最小值确定A ，由周期确定ω，由最小值点确定ϕ值得函数解析式；（2）由图象变换得出()g x 的表达式，由整体思想结合正弦函数性质得值域．【详解】（1）由图知，A =()2262πω=⨯+，解得8πω=，即()8f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由图知，函数()f x的图象过点(2,-，∴()24k k πϕππ+=+∈Z ，∵0ϕπ<<，∴34πϕ=，∴()384f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）由题意得，()424x x g x πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭．∵[]2,1x ∈-，∴,424x πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴()g x ⎡∈⎣，即函数()[]()2,1y g x x =∈-的值域为⎡⎣．19．已知函数()()2R 21xx a f x a -=∈+是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性并加以证明；(3)若对于任意实数t ，不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立，求实数k 的取值范围．【正确答案】(1)1；(2)减函数，证明见解析；(3)31k -≤≤.【分析】（1）根据函数是奇函数，由(0)0f =，可得a 的值；（2）用定义法进行证明，可得函数()f x 在R 上是减函数；（3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤进行化简求值，可得k 的范围.【详解】（1）由函数()()2R 21xx a f x a -=∈+是奇函数，可得：(0)0f =，即：1(0)02a f -==，1a =，当1a =时，12()12xxf x -=+，此时1221()()1221x x x x f x f x -----===-++，即()f x 是奇函数，综上，1a =.（2）函数()f x 为单调递减函数，证明如下，由(1)得：12()21xx f x -=+，任取12R x x ∈,且12x x ＜，则122112*********(22)()()=2121(21)(21)xx x x x x x x f x f x -----=++++， 12x x ＜，∴21220x x -＞，即：2112122(22)()()=(21)(201)x x x x f x f x --++，12()()f x f x ∴＞，即()f x 在R 上是减函数；（3） ()f x 是奇函数，∴不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立等价为()2(1)(1)f t kt f t f t -≤--=-恒成立，()f x 在R 上是减函数，∴21t kt t -≥-，即2(1)10t k t -++≥恒成立，设2()(1)1g t t k t =-++，可得当0∆≤时，()0g t ≥恒成立，可得()2140k +-≤，解得31k -≤≤，故k 的取值范围为.31k -≤≤。
甘肃省兰州市第二十七中学2020-2021学年高一下学期第一次月考试数学试题(wd无答案)
甘肃省兰州市第二十七中学2020-2021学年高一下学期第一次月考试数学试题一、单选题(★★) 1. 已知角的终边经过点 P(-3，4),则sin 的值等于A．B．C．D．(★) 2. 已知且，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知，，则．A．B．C．D．(★★) 4. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位(★) 5. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是A．B．C．D．(★) 6. 的值等于（）A．B．C．D．(★★) 7. 函数的部分图象如图，则（）A．B．C．D．(★★) 8. 如果，且，那么（）A．B．C．D．(★★★) 9. 函数的最大值与最小值之和为（）A．B．2C．0D．(★★★) 10. 如图，边长为的正方形的顶点，分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是（）．A．B．C．D．(★★★) 11. 设函数= （＞0，＜）的最小正周期为，且= ，则（）A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增(★★★) 12. 已知是的三个内角，设，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 已知向量=（－4，3），=（6， m），且，则 m= __________ .(★★) 14. 已知是夹角为的两个单位向量，，.若，则实数 k的值为 ________ ．(★★) 15. 的定义域为 ________ ．(★★) 16. 有下列四个命题：①若均为第一象限角，且，则；②若函数的最小正周期为，则；③函数是奇函数；④函数在上是增函数；其中正确命题的序号为 ____________三、解答题(★★) 17. 化简：(★★) 18. 已知角的终边经过点.（1）求的值；（2）求的值.(★★★) 19. 已知函数．（1）求的最小值及最小正周期；（2）求使的 x的取值集合．(★★) 20. 如图，函数，其中的图象与 y轴交于点．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）求使的 x的集合．(★★★) 21. 设函数（其中，，）在处取得最大值2，其图象与 x轴的相邻两个交点的距离为．（1）求的解析式；（2）求函数的值域．(★★★) 22. 已知，，（，， a是常数），且（ O为坐标原点）．（1）求 y关于 x的函数关系式；（2）若时，的最大值为4，求 a的值，并说明此时的图象可由的图象经过怎样的变换而得到；（3）函数的图象和函数的图象关于直线对称，求的表达式，并比较和的大小．。