数形结合思想在高中数学解题中的应用
数形结合在高中数学中的应用
数形结合在高中数学中的应用数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考虑的思想，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，简言之“数形相互取长补短”。
下面我将结合例题浅析数形结合思想的应用。
一、以图形增强代数概念的直观性已知p点分的比为，则b分的比为多少？此问题若以有向线段数量来分析，至少要注意三个方面：（1）点分有向线段所成比的定义（2）对于数量有：ab=-ba（3）对于数量有：ab=ap+pb，然后进行代数式的恒等变形。
而如果结合具体图形，由题易得如图a、b、p三点的分布，因此。
例2、比较大小arcsin_____arccos代数方法应考虑以函数单调性去解决，这就存在函数名称同化的问题，此正为该题之难点若将两式理解为已知函数值的锐角，则可得a= arcsin和b= arccos为图形中两角，因此易得b>a。
例3、若0x>sinx。
二、利用有关函数草图解决代数问题函数图象与函数解析式是最紧密的数形结合，特别对于较易得到草图的函数参加的代数问题，利用其图象往往可一蹴而就。
例4、不等式≥x的解集是（）[-2，2] （b）（-1，2）（c） [0，2] （d）（，2）若用无理不等式的通用解法，此题易考虑不周，从而丢失某一组有理不等式组或丢失某一有理不等式，而画出函数的图象如图，仅分析选择支的区间形态，便可知选（a）例5、已知方程|x2-4x+3|+k=0有四个根，求k的取值范围。
若以代数方法须保证方程x2-4x+3+k=0在区间（-，1）（3，+）内有两根，且方程x2-4x+3-k=0在区间[1，3] 内有两根。
而画出y1=|x2-4x+3|，y2=-k的图象后，只须两图象有四个交点即可。
即-10}，若ab=r，求实数a的范围。
解出a并可确认为a={x | a-10和f（a+1）>0即可，这就巧妙回避了分类讨论。
数形结合思想方法在高中数学解题中的应用
数形结合思想方法在高中数学解题中的应用山西省阳泉市第一中学高硕数形结合思想方法是高中数学学习和解题的重要思想方法，它把“数”和“形”有机地结合在一起，可以起到以“数”助形和以“形”解“数”的目的，从而把许多复杂抽象、难以理解的数学问题变成形象、直观的问题，有助于学生更方便快捷地解题。
一、数形结合思想方法的应用原则在高中数学解题中，数形结合思想方法的应用要坚持以下几点原则：一是等价原则。
就是“数”的代数性质和“形”的几何性质两者在转换时要等价，也就运用图形反映的问题和数量表示的问题要有一致性；二是双向原则。
就是要在解题中既要注重对“数”的抽象性进行探索，又要对“形”的直观性进行探索，避免“数”或“形”单独探索给解题造成局限性；三是简洁原则。
在进行数形转换过程中，尽量使图形和代数式保持简洁，以避免繁琐的计算而造成错误，这样才能更好地达到“化繁为简”与“化难为易”的解题目的，使数形结合思想的作用发挥出来；四是直观与创新原则。
就是要充分利用图形和坐标系的直观性，来表示抽象的概念具体化、直观化。
数形结合思想方法在解题中的运用不可照搬，需要活学活用和创新运用，才能更好发挥其功能。
二、数形结合思想方法的应用策略（一）以形助数，使抽象问题变得形象直观在高中数学解题中，特别是对于一些数量关系既复杂又抽象的问题，学生难以理解，不容易找到解题的思路和方法。
如果运用数形结合的思想方法，就可以把复杂抽象“数”的问题用直观的图形问题来解决，这样就可以绕开冗长繁琐的数量计算的过程，利用图形能够帮助学生有效解决复杂的数量问题，使学生对题目中的数量关系能够正确理解， 即能够把题目中抽象的数量问题变成形象直观的图形问题，可以使学生容易理解题意，快速准确地找出已知条件、未知关系，就容易快速形成解题思路，快速正确找出数量关系式，从而有效突破解题难点。
例1：已知一个动圆P 与两个定圆相外切，定圆C 1方程是：（x +4）2+y 2=100, 定圆C 2方程是：（x −4）2+y 2=4,求这个动圆P 的圆心轨迹的方程。
数形结合思想方法在高中数学教学中的运用
数形结合思想方法在高中数学教学中的运用一、数形结合思想方法的概念数形结合思想方法是指将数学中的抽象概念与具体图形相结合，使抽象概念更加形象化和具体化，从而帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
这种方法通过将数学问题转化为几何问题，突出了问题的形象性和直观性，使学生更容易理解和掌握数学内容。
二、数形结合思想方法的运用1. 代数表达与几何图形在代数学习中，常常涉及到各种方程、函数及其图像。
教师可以引导学生通过绘制函数图像的方法，帮助学生更好地理解代数表达式的意义。
对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，教师可以通过绘制抛物线的图像，让学生直观地感受到a、b、c对函数图像的影响，从而加深对函数的理解和运用。
2. 数列与平面几何在数列的学习中，常常涉及到数列的通项公式和求和公式。
通过将数列的通项公式和求和公式与平面几何结合起来，可以帮助学生更好地理解数列的规律和性质。
教师可以通过绘制数列的图形，让学生直观地感受到数列的增减规律及其和的变化规律，从而加深对数列的理解和掌握。
3. 解析几何与代数方程在解析几何的学习中，常常涉及到直线、圆、抛物线等几何图形的方程式。
教师可以通过将几何图形的方程式与代数方程结合起来，帮助学生更直观地理解几何图形的性质和方程的意义。
教师可以通过分析直线方程和圆的方程的关系，让学生理解方程式与几何图形的联系，从而加深对解析几何的理解和运用。
2. 培养学生的几何直观能力学生在数学学习中往往更倾向于代数计算，而对几何图形的理解和运用能力相对较弱。
数形结合思想方法可以帮助学生培养几何直观能力，提高他们对几何图形的理解和运用水平。
3. 提高学生的数学思维能力数形结合思想方法可以激发学生的求知欲，培养他们的数学思维能力。
通过将数学问题转化为几何问题，学生能够更主动地思考和解决问题，提高他们的数学思维能力。
2. 拓展教学手段和方法数形结合思想方法为教师提供了新的教学手段和方法，丰富了教学内容和形式，提高了教学的多样性和趣味性，能够激发学生的学习兴趣。
数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用
The Science Education Article CollectsTotal.489 March2020（C）总第489期2020年3月（下）摘要在高中数学教学过程中，数学知识的学习与解题技巧的分析备受关注，为了构建高效课堂、促进教学实践活动的顺利开展，许多老师开始重新调整教学策略和教学方向，既坚持学生的主体地位，又十分关注教学策略和教学手段的稳定革新，在引导和鼓励学生的基础上丰富课堂教学内容和形式，保证学生在一个自由宽松的学习氛围下实现个人的良性成长和发展。
关键词数形结合；思想方法；高中数学教学；解题应用The Application of Numeral-Form Combination Method in High School Mathematics Teaching and Problem Solv原ing//Yin ShangzhiAbstract In the process of high school mathematics teaching, much attention has been paid to the learning of math knowledge and the analysis of problem solving skills.In order to build effi-cient classroom,and promote the smooth progress in teaching practice,many teachers start to adjust teaching strategies and teaching directions,both insisting on students'main body status, and paying close attention to the stable innovation of teaching strategies and teaching methods.On the basis of guiding and en-couraging students to enrich classroom teaching content and form,they attempt to ensure that students realize positive person-al growth and development in a free and relaxed learning envi-ronment.Key words numeral-form combination;method of thinking;high school mathematics teaching;problem solving application1数形结合思想方法数与形是高中数学教学的重点和难点，老师需要了解不同的数量关系和空间图形分析要求之间的内在逻辑联系，结合学生的学习能力和学习背景，积极阐述数量关系与图形之间的转化关系。
数形结合思想在高中数学教学中的应用分析
数形结合思想在高中数学教学中的应用分析
数形结合思想是通过将数学与几何相结合的方式来解决问题，它充分利用了几何图形
的直观性和数学公式的精确性。
在高中数学教学中，数形结合思想可以被广泛应用于各种
数学概念和技巧的讲解，以及问题的解决。
在几何学中，数形结合思想可以用于解决诸如平面面积、体积等问题。
例如，如果我
们将一个三角形分成两个小的三角形，那么它们的面积加起来就等于原来的三角形的面积。
这就是数形结合思想的应用。
在高中数学教学中，这个思想可以用于教学基本几何概念，
例如勾股定理，三角形面积，正方体体积等。
另一方面，数形结合思想在代数学中也有重要的应用。
例如，在解方程的时候，我们
可以通过画出函数图像，通过图像的交点得到解方程的方法。
在高中数学教学中，这个思
想可以用于数学分析和高等代数的教学中。
此外，数形结合思想也可以用于数学模型的建立和实际问题的解决。
例如，当我们需
要解决一个有关面积或体积的实际问题时，我们可以通过用数学公式计算出形状的尺寸，
然后用这些尺寸来计算出我们所需要的面积或体积。
在高中数学教学中，这个思想可以用
于实际应用问题的教学中，例如纯算题，数学建模竞赛等等。
总之，数形结合思想在高中数学教学中的应用非常广泛。
它可以用于解决几何和代数
问题，用于建立数学模型，和解决实际问题。
更重要的是，数形结合思想可以帮助学生更
好地理解和运用数学知识，拓展他们对数学的视野，进而对数学产生了浓厚的兴趣。
“数形结合”思想在高中解题中的应用
例 ３ 等 差 数 列 ｛ 中， ％｝ ｄ＜０ 若 ｌ １ ， ａ ： ３ ｌ ｌ则 数 列 ｛ 的 前 几项 的和 最 大 ？ ａ， ｇ ％｝
解
・ ． ．
【 考文献 】 参
［ ］张 奠 宙 ． 学 代 数 研 究 ［ ． 京 ： 等 教 育 出版 １ 中 Ｍ］北 高
解
八
构 造 点 （ ， ， １ １ ， １ ０） （ ， ）
Ｃ（ １ ， Ｏ， ） 四 边 形 ＡＢＣ 为 Ｏ， ） Ｄ（ ０ ， Ｄ 正 方 形 （ 图 ６） 如 ，令 Ｐ点 坐 标 为 （ ， ，贝 ＩＤＩ ／ ＋ｂ ， Ｐ ＝ ｎ ｂ） ０Ｐ ＝、 Ｉ Ｉ Ａ 、 （ —０ ６ ， ＢＩ ／（ 一 ） １ ６ ， ／ １ ）＋ Ｉ ＝、 １ 。 — ） Ｐ ＋（
三 、 形 结 合 思 想 在 解 不 等 式 中 的应 用 数
例 ３ 设 不 等 式Ｉ ｘ一１ ＋Ｉ பைடு நூலகம் ｘ一４ ＜ｎ有 实 数 解 ．求 实 数 Ⅱ １
的取 值 范 围．
解
令 Ｙ ＝Ｉ ｌ ｘ一１＋ 一４ ，２ ， ｌ １ ＝ｎ Ｙ
＼
函 数 ｖ ＝ ～１ ＋ 一４ 的 零 点 ｌ １
、 ＋（ 一 ） ≥ ２ ／ ． ／ １ ｂ 、２
数形 结合 的特 点是 属性 互化 ，不仅 直观 易 于寻 找解题 途 径， 而且 能避 免 繁杂 的计算 和推 理． 可起 到事 半功倍 的效 果 ．
图
３
和＝一求 ｃ 的 坐 是 ．以 ＋＝× ＝ ｙ３ ， 点 横 标 所 卢２手 ３ 得
时 ，。 ｘ一５ Ｙ ， ： 图 像 如 图 ６ Ｙ ＝２ ． Ｙ 的
所示．
数形结合思想在高中数学解题中的运用探究
数形结合思想在高中数学解题中的运用探究数形结合思想是指在解决数学问题时，将数学问题通过图形展示出来，从而更加直观地理解和解决问题的思想。
这种思想在高中数学中有着广泛的运用，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力。
本文将探讨数形结合思想在高中数学解题中的运用，分析其作用和方法，希望对广大学生有所帮助。
一、数形结合思想在解决实际问题中的作用1. 提高问题理解能力在高中数学中，有很多实际问题需要转化为数学模型进行计算。
但有些问题本身并不容易理解，因此就需要通过图形来展示这些实际问题，使得问题更加直观化。
通过数形结合，学生能够更好地理解问题，加深对问题本质的认识，从而更好地应用数学知识解决实际问题。
2. 培养抽象思维能力数学是一门抽象的学科，但通过数形结合，可以将抽象的概念通过图形呈现出来，使得学生更容易理解。
在解决实际问题时，通过图形的呈现，可以培养学生的抽象思维能力，帮助他们更好地理解和应用数学概念。
3. 增强解题方法的多样性数形结合思想能够增强解题方法的多样性。
有些问题可能通过代数方法难以解决，但通过数形结合可以找到新的解题思路。
这样一来，学生能够开拓解题思路，提高解题的效率和灵活性。
二、数形结合思想在不同数学领域的具体运用1. 几何问题的解题在解决几何问题时，数形结合思想是非常重要的。
通过绘制图形，例如画出几何图形、坐标系等，能够更清晰地解决问题。
对于平面几何题目，可以通过画图标注给定条件，然后根据图形的性质进行推导。
对于空间几何题目，可以通过绘制三维图形来直观地理解问题，更好地进行分析和解决。
2. 解方程组的问题在解决方程组的问题时，通过数形结合思想也可以得到很好的应用。
通过画图，将方程组转化为图形表示，可以更加清晰地观察方程组的解的情况，进而找到解的规律。
这样一来，学生能够更好地理解和掌握方程组的解题方法。
3. 研究函数图像在研究函数的图像时，数形结合思想也是非常重要的。
通过画出函数的图像，能够更好地观察函数的性质，比如函数的单调性、极值点、零点等。
数形结合的思想在高中数学解题中的应用
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数形结合的思想在高中数学解题中的应用
作者：刘锋
来源：《理科考试研究·高中》2013年第09期
数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法.
一、利用数形结合思想解决集合的问题
1.利用韦恩图法解决集合之间的关系问题
二、运用数形结合思想解三角函数题
纵观近三年的高考试题，巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问题，可以简化计算，节省时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果.
三、利用单位圆中的有向线段解决三角不等式问题
在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图象.如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角
不等式问题，简便易行.
总之，由于数形结合的思想在高考中考查的比重很大，因而要花大力气，循序渐进地使学生建立数形结合的对应转化和应用，既要借助形的直观性来阐明数之间的关系，也要借助于数的精确性来阐明形的某些属性，使学生抓住数形结合本质，在解题中自觉地运用数形结合的思想，以提高解题的能力和速度.。
数形结合思想在高中数学解题中的运用探究
数形结合思想在高中数学解题中的运用探究【摘要】数统计。
数形结合思想是高中数学解题中的重要方法之一，本文探讨了其在高中数学解题中的重要性和如何运用这一思想解决问题。
通过案例分析，我们看到数形结合思想在几何和代数问题中均有广泛应用。
本文还讨论了数形结合思想与其他数学知识的联系。
结论部分总结了数形结合思想在高中数学解题中的实践意义，并展望了未来在高中数学教学中的发展方向。
数形结合思想的应用不仅能够帮助学生更好地理解和解决问题，也有助于提升他们的数学思维能力，培养他们的逻辑推理能力，为他们未来的学习和工作打下扎实的基础。
【关键词】数形结合思想、高中数学、解题、重要性、运用、案例分析、几何问题、代数问题、联系、实践意义、发展、教学、数学知识1. 引言1.1 引言内容数统计等。
数形结合思想是数学中非常重要的一种思维方式，它将抽象的数学概念与具体的几何图形相结合，既能够帮助我们更加直观地理解问题，又能够提高我们解决问题的效率。
在高中数学学习中，数形结合思想的应用广泛而深入，涉及到几何、代数、概率等多个领域。
通过运用数形结合思想，我们不仅可以更好地理解数学知识，还可以更加灵活地运用这些知识解决问题。
本文将深入探讨数形结合思想在高中数学解题中的重要性，介绍如何运用数形结合思想解决高中数学问题，并通过案例分析展示数形结合思想在几何问题和代数问题中的具体应用。
我们还将探讨数形结合思想与其他数学知识的联系，阐述数形结合思想在高中数学解题中的实践意义，以及展望数形结合思想在未来高中数学教学中的发展。
希望通过本文的探讨，读者能够更深入地理解数形结合思想，并在解决数学问题时能够灵活运用这一思维方式。
2. 正文2.1 数形结合思想在高中数学解题中的重要性数形结合思想可以帮助学生更好地理解数学问题。
通过将数学问题与几何图形相结合，可以直观地展示问题的本质，帮助学生建立全面的认识。
在解决几何问题时，通过数形结合思想，可以将抽象的代数问题转化为具体的几何图像，使问题更加直观和易于理解。
论数形结合思想在高中数学解题中的应用
探索篇•方肉畏示淹教形结合思想在高中教学解题中的应用谢亚强(甘肃省镇原县孟坝中学，甘肃镇原)摘要:“数形结合”思想在解决数学问题上发挥着重要的作用，灵活运用这种思想可以快速、准确地应对出现的问题，并且数形结合有利于化抽象为具体、由点到面，更好地帮助学生透彻理解数学，增强学生的形象思维能力和抽象思维能力，从而培养数学素养。
通过对高中数学的研究，发现这一思想贯穿于集合、排列组合以及函数部分，于是将这些利用到"数形结合”思想的部分做了较为完整的总结。
以“数形结合”思想在高中解题中的应用为主要课题，通过总结经典习题的解决方法，提供一些见解，以便于高效处理数学问题和增强数学思维能力，为解题有困难的学生提供一种更为容易理解的方法。
关键词：数形结合思想;高中数学学习；数学解题一、数形结合思想之我见数值和几何是数学的基本元素，是构成数学大厦的砖瓦。
它们并不是彼此之间毫无关系的个体，相反，两者几乎如影随形。
例如体积、周长的计算都属于数值关系的内容;而数值关系又可以通过几何图形来进行形象的描述和表达，比如数轴、矢量等。
可以看出两者并不是单独的个体。
将两者结合起来，可以从两种不同的维度思考问题，可以化繁为简,便于理解和掌握数学本质。
二、数形结合思想在高中解题中的应用(一)集合中的应用集合问题是我们高中数学中经常碰到的问题,会考一些关于集合的交、并问题.此时运用数形结合的解题方法可以将数值型问题转化为更为具体的图形问题，从而使问题得到简化。
我们可以以这样一道题目为例：P={x e N,1<x<6],Q=(x>4或x<2],求PQ Q在解答这类题目时,应该想到利用数轴将数值问题简化。
具体为在数轴上标出1,2,4,6这四个数字，然后根据题目要求，在数轴上画出目标区域，两者之间的重叠部分即是题目所求集合。
从这道题目可以看出这道题的突破口就是将数值与几何图形互相转化，从而高效、准确地解决问题。
以形解数，_以数促形——数形结合思想在高中数学解题中的应用研究
㊀㊀㊀解题技巧与方法１２３㊀数学学习与研究㊀２０２３ １３以形解数以数促形以形解数，以数促形㊀㊀㊀ 数形结合思想在高中数学解题中的应用研究Һ张㊀庆㊀（江苏省徐州市侯集高级中学，江苏㊀徐州㊀２２１１２１）㊀㊀ʌ摘要ɔ数与形是数学研究的最基本对象．使学生明确数与形之间的关联，灵活应用以形解数㊁以数促形的方法解决数学难题，对于培养高中生的解题能力有着积极意义．文章阐述了数形结合思想的含义与应用意义，同时结合具体教学案例，从以形解数㊁以数促形㊁数形结合三个层面提出数形结合思想在高中数学解题中的应用策略，希望为提升高中数学解题教学质量提供参考．ʌ关键词ɔ数形结合；高中数学；解题；应用策略高中数学解题教学不仅要为学生传授针对性的解题理论与解题方法，还要注意适时渗透数学思想，同时发展学生的解题能力与解题思维．数形结合思想是一种有机结合抽象的数学语言㊁数量关系与直观的几何图形㊁位置关系的数学思想，将其应用到高中数学解题教学当中，有利于提高学生的解题质量．教师只有认识到数形结合思想的积极教学作用，并将其合理应用于解数的问题㊁形的问题及综合问题的教学当中，才能从根本上提高学生的灵活解题能力．一㊁数形结合思想概述（一）含义数形结合思想的本质是应用 形 将 数 直观地表达出来，应用 数 将 形 准确地描述出来的一种思想方法，主张研究数学问题时将抽象的数量关系与直观的图形结合起来，综合看待数学问题．（二）应用意义将数形结合思想用于高中数学解题教学当中，可以弥补常规解题教学内容的不足，使学生学会从数㊁形两个角度综合看待数学问题，从而提高学生的问题分析㊁解答㊁总结能力．数形结合思想的应用意义具体表现在以下几方面：第一，有利于消除学生的负面解题情绪．高中数学题目具有复杂㊁抽象的特征．教师应用数形结合思想，从以形助数㊁以数解形的角度带领学生探究数学问题，有利于学生快速明确数形关系，确定解题的切入点，在降低解题难度的同时提高学生的解题效率，为学生树立数学解题学习的信心．第二，有利于发展学生灵活的解题思维．思维是思想㊁意识的集中体现，培养学生的解题思维，有利于学生解决形式不同㊁内容不同的数学问题．教师应用数形结合思想展开解题教学，有助于学生打破常规解题思维的禁锢，从新颖的角度思考数学问题，从而提升学生的数学思维水平，提高其解题效率．第三，有利于培养学生良好的解题习惯．习惯对学生的影响是巨大的．在高中数学解题教学中，通过为学生讲解以形解数㊁以数促形㊁数形结合等解决问题的思路㊁方法㊁步骤，可以使学生逐渐形成确切的解题思维体系，使其能够自觉地在遇到问题时灵活应用数学思想探究数学问题，从而达到快速㊁高效解决数学问题的目的．久而久之，学生就能养成良好的解题习惯，能够更加得心应手地解决不同类型的数学难题．二㊁数形结合思想在高中数学解题中的应用策略（一）以形解数，降低难度，提高解题效率１．以形解数巧解集合问题，培养解题兴趣高中数学解题教学的特征之一在于题目信息复杂．学生若欠缺良好的解题内驱力，则很容易在读题㊁解题时出现放弃的负面想法，导致解题教学无法顺利进行下去．在进行集合问题的解题教学时，教师可以巧妙地运用数形结合思想引领学生解决这类问题，通过将复杂的集合语言转化成简单㊁直观㊁易懂的文氏图㊁数轴等图形，激发学生的解题学习兴趣，使其主动参与集合问题的解题学习活动．以 交集㊁并集 一课的解题教学为例，有问题如下：设集合Ａ＝｛ｘ｜－５ɤｘ＜１｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘɤ２｝，则ＡɣＢ等于（㊀㊀）．Ａ．｛ｘ｜－５ɤｘ＜１｝㊀㊀㊀㊀Ｂ．｛ｘ｜－５ɤｘɤ２｝Ｃ．｛ｘ｜ｘ＜１｝Ｄ．｛ｘ｜ｘɤ２｝这一问题的题目㊁选项都以数学语言呈现，并未给出过多解释．许多学生在初次接触这类题目时，容易㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２３ １３为复杂的题目信息所影响，产生畏难的解题情绪．对此，教师可以将以形解数的思想方法传授给学生，帮助学生将复杂代数问题转化为直观的㊁可视化的图形问题： 对于求并集的数学问题，我们可以运用画数轴的方式解决．将集合Ａ，Ｂ在数轴上表示出来，观察两个图形可以发现，集合Ａ被包含在集合Ｂ中，两个集合的并集自然是ｘɤ２．如此，即可得到原题答案．通过巧妙应用数轴图绘制集合的示意图降低集合问题的难度，从而消除学生的负面解题情绪，使其主动投入解决集合问题的过程当中，提高其解题效率．２．以形解数巧解函数问题，简化解题步骤函数问题在高中数学解题教学中占据较大比重．由于函数问题具有较强的抽象性，部分学生在解读题目㊁分析题目时出现了思路混乱的问题，导致解题步骤复杂，不能很快求解出问题答案．教师可以将数形结合思想运用到函数问题的解题教学当中，利用形象㊁直观的图像解释函数问题，以此降低函数问题的难度，使学生在观察图像㊁分析图像的过程中确定解决函数问题的解题方法．以 函数的单调性 一课的解题教学为例，有问题如下：函数ｙ＝１ｘ在其定义域（－ɕ，０）上是减函数吗？这一问题给出的信息较为简单，若使用作差法解决这一问题，需要经过较多的计算步骤方能完成此题．为此，教师可以结合 函数的单调性 相关知识点，指导学生绘制函数ｙ＝１ｘ的草图，在草图上将该函数图像的上升㊁下降情况反映出来．接着，教师再为函数ｙ＝１ｘ进行赋值，如ｘ１＝－１，ｘ２＝１时，ｆ（ｘ１）＝－１，ｆ（ｘ２）＝１，让学生明确在ｘ１＜ｘ２时有ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２）的结果．对照函数图像，确定在区间（－ɕ，０）上函数并不是减函数的答案．将以数解形的思想方法用于高中数学函数解题教学当中，可以简化学生的函数解题思路，使其通过绘制草图㊁分析草图㊁代入数据快速完成问题探究，从而提高学生的解题效率．（二）以数促形，强化逻辑，提高解题质量１．以数促形解决解析几何问题，引发逻辑思考解析几何是高中数学教学的重点与难点之一．要使学生具备解决解析几何问题的关键能力，教师需要在常规解题教学的基础上融入数形结合思想，使学生形成以数解形的解题意识，进一步促进其逻辑思考．对此，教师可以为学生呈现解析几何的典型例题，先让学生尝试独立解题，后为学生演绎以数促形解决难题的过程，使其在学习的过程中进行逻辑思考，逐渐形成以数促形解决问题的能力．以 直线与圆的位置关系 一课的解题教学为例，有问题如下：判定直线ｌ：３ｘ＋４ｙ－１２＝０与圆Ｃ：（ｘ－３２）＋（ｙ－２）２＝４的位置关系．出示题目后，教师可以给学生５分钟左右的时间，让学生自行解题，启发其深度思考．接着，教师可以通过提问㊁引导的方式，带领学生应用以数促形的思想解决这一习题，如： 根据原题，你能想到什么？如果让你列方程组，这个方程组该怎么列？ 通过提问引导学生回顾代数法解决解析几何问题的相关知识点，使学生在教师的点拨下列出方程组．接着，教师再进行追问： 当方程组有两个不相同的解时，圆与直线是怎样的位置关系？当方程组只有一个解时，圆与直线是怎样的位置关系？当方程组没有解时，圆与直线是怎样的位置关系？ 借助具体问题引发学生的逻辑思考，使其按照具体步骤解决问题，得到直线ｌ与圆Ｃ相交的答案．在面对抽象的解析几何问题时，教师可以让学生运用以数解形的思想方法列方程组㊁消元㊁计算，使学生在练习的过程中逐渐形成逻辑思考㊁逻辑分析的数学解题能力，提高其解题质量．２．以数促形解决立体几何问题，提高辨析能力立体几何问题看似是 形 的问题，但其问题本质与 数 的知识㊁方法有着紧密的关联．教师将数形结合思想用于立体几何问题的解题教学当中，可以为学生提供新的解题学习思路，使其拥有更多的解题选择．如此，学生能够在解题学习中自觉辨析代数方法㊁几何方法解决立体几何问题的优缺点，从而选择更适合自己的解题方法，提升自身解题学习质量．㊀图１以 空间向量与立体几何 一章的解题教学为例，有典型问题如下：如图１，在四面体ＡＢＣＤ中，平面ＡＢＣʅ平面ＡＣＤ，ＡＢʅＢＣ，ＡＣ＝ＡＤ＝２，ＢＣ＝ＣＤ＝１，求四面体ＡＢＣＤ的体积．为了使学生形成运用最优解法解决立体几何问题的解题能力，教师可以为学生分别讲解用几何法㊁代数法解题的思路，通过呈现两种解题方法，为学生提供更多解题选择，使其按照自㊀㊀㊀解题技巧与方法１２５㊀数学学习与研究㊀２０２３ １３己的解题爱好选择合适的解题方法，彻底掌握解决立体几何难题的方法，提高其对几何问题的解答能力．（三）数形结合，灵活切入活跃解题思维１．数形结合解决三角函数问题，激活解题思维三角函数是研究三角形与圆等几何形状性质，研究周期性现象的基础数学工具．高中阶段的三角函数问题具有一定的难度，学生的解题思维若过于僵化，则很容易在解题时陷入误区，无法正确解决问题．对此，教师可将数形结合思想渗透进三角函数问题的解题教学当中，通过提问引导㊁组织探究等方式使学生打破僵化的解题思维，从而提高其灵活解题的数学能力．以 解三角形 一章的解题教学为例，有例题如下：讨论函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的图像和性质．很多学生在读题之后，直接运用两角和的正弦公式计算，如：ｙ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝２ｓｉｎｘ＋π４æèçöø÷，得到振幅是２，周期是２π等性质．这样的解题方法过于常规，不利于学生发展灵活的解题思维．对此，教师可以提出启发性问题，引导学生从数形结合的角度思考问题： 该函数的图像是怎样的？如果利用图像，能否很快得到问题答案？ 基于此问题，教师组织学生以小组为单位进行问题讨论，使其在讨论过程中分别绘制出正弦函数㊁余弦函数的图像，并对图像进行叠加处理，使其在绘图㊁挑选特殊点叠加的过程中体会函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的图像与性质，从而得出该函数周期是２π，合成的振动周期是２π的答案．如此，学生可以进一步理解三角函数问题的本质，形成从数㊁形两个角度分析问题的解题思维．三角函数的问题形式多样，难度较高．教师将数形结合思想运用到解题教学当中，并提出有关引导性问题，引导学生思考㊁探究，使其在解题的过程中逐渐形成综合分析的解题思维，为提高学生的三角函数解题能力奠定基础．２．数形结合解决不等式问题，拓宽思维视野培养高中生举一反三的解题思维是非常重要的．在进行不等式问题的解题教学时，教师可以将数形结合思想融入教学当中，为学生呈现同一问题的不同解答方法，充分扩宽学生的解题思维视野．借助数形结合思想落实一题多解教学，之后组织学生回顾不同解法的解题思路㊁解题步骤，使学生在想㊁用㊁反思的过程中掌握用数形结合思想妙解不等式问题的方式方法，从而提升学生的解题水平．以 基本不等式 一课的解题教学为例，有问题如下：不等式ｘ＋２＞ｘ的解集是什么？在看到这一问题时，大多数学生选择使用常规的代数方法解决该问题，即：根据原题，将不等式化为ｘȡ０，ｘ＋２ȡ０，ｘ＋２＞ｘ２或ｘ＜０，ｘ＋２ȡ０两组不等式，分别解得０ɤｘ＜２与－２ɤｘ＜０，得到原不等式解集为｛－２ɤｘ＜２｝．然而，这样的解题思路过于常规，若题目内容变得更加复杂，学生很容易在大量的计算中得到错误的答案．对此，教师可以为学生演绎应用数形结合方法解决不等式问题的过程：将原不等式化为ｙ１＝ｘ＋２与ｙ２＝ｘ两个函数，并依据函数绘制出函数草图，那么不等式ｘ＋２＞ｘ的解集就对应函数ｙ１＝ｘ＋２图像在ｙ２＝ｘ图像上方的部分，很快得到不等式解集为｛ｘ｜－２ɤｘ＜２｝．在该过程中，教师通过引导学生从不同的角度思考问题，为学生演绎用不同方法解决问题，进一步开阔了学生的解题视野，培养了学生灵活解决不等式问题的能力．代数法并不是解决不等式问题的唯一方法．进行不等式问题解题教学时，教师可以将数形结合思想合理渗透进解题课程当中，通过为其说明㊁演绎使学生掌握不同解决不等式问题的方法，从而拓宽学生的数学解题思维．结束语数形结合百般好，隔裂分家万事休． 只有让学生形成从数㊁形两个方面看待问题的解题思维习惯，才能够进一步提高学生灵活思考㊁灵活解题的能力，提升其解题效率与解题质量．实际教学中，教师应明确当下高中数学解题教学的主要目标，并结合解题教学的具体需求合理地将数形结合思想融入不同类型题目的解题教学当中，以此开阔学生的解题视野，提升学生的解题水平．ʌ参考文献ɔ［１］田昆．探析高中数学解题中数形结合思想的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０２１（３６）：１５３－１５５．［２］王晨晨．高中数学解题技巧之 数形结合 策略研究［Ｊ］．高中数理化，２０２１（２４）：１３．［３］宁邦青．高中数学解题中数形结合思想的有效应用［Ｊ］．数理化解题研究，２０２１（３３）：８－９．［４］徐欣欣．浅析数形结合思想方法在高中数学教学中的应用［Ｊ］．新课程，２０２１（４１）：１３５．［５］赵文奎．高中数学教学时数形结合方法的应用［Ｊ］．当代家庭教育，２０２１（２１）：１１－１２．。
数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用
数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用作者：许童来源：《中学课程辅导·教学研究》2020年第17期摘要：数形结合是高中数学的重要思想之一，在教学与解题方面发挥着巨大的作用。
数形结合能够辅助教师讲解概念，化抽象为具体，还能帮助学生解题，提高他们的思维能力。
其中主要运用在函数、空间立体几何、方程等方面。
在解答这类问题时结合图形，能达到事半功倍的效果。
但是，在利用此方法的时候，还要注意规范作图，保证图形简洁明了，在恰当的时候作图等，否则可能出现不必要的错误。
关键词：数形结合；高中数学教学；解题中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）09-0173随着高考竞争越来越激烈，高中数学的课程难度也比较大，内容越学越难，题目越做越难，这使学生无法深入地理解和运用许多比较抽象的知识点。
而数形结合思想方法是解决上述问题的有效办法，教师在教学过程中使用可以帮助他们更加直观、清晰地为学生讲解相关的概念，而学生在解题的过程中使用能够省去不必要的文字说明并且提高正确率。
一、数形结合的重要性1.辅助教师讲解概念高中数学的许多概念比较晦涩难懂或者容易混淆。
通过数形结合能够帮助学生对不同的概念加以区分，而且教师的课堂效率也能得到提升。
例如，教师在讲授基本初等函数章节的时候，会分别对指数函数、对数函数、幂函数进行讲解，但是到最后学完的时候，学生容易混淆，概念掌握程度直线下降，而利用图形将三种函数集中在一个图形上，便于教师讲解三种函数的区别，也更加方便学生记忆[1]。
2.帮助学生解题面对一个问题的时候，往往有多种解题方式，其中通过图形就不失为一种好方法。
甚至有些题目用语言无法进行描述解答，反而需要画出一个相关的图形才能将其中内涵表达出来。
此外，随着题目难度的加大，数形结合的重要性也越来越体现出来，因为它具有将抽象问题化为具体问题的作用。
3.提高学生的思维能力数形结合思想作为重要的数学思想之一，对于提高学生的思维能力也有重要作用。
数形结合方法在高中数学教学中的应用
数形结合方法在高中数学教学中的应用数形结合方法是指通过将数学问题转化为几何图形的方式来解决问题的方法。
在高中数学教学中，数形结合方法被广泛应用于解决各类数学问题，不仅能够帮助学生理解抽象的数学概念，还可以培养学生的几何思维和直观感性思维能力。
下面就是数形结合方法在高中数学教学中的一些典型应用：1. 几何图形的面积和体积计算：数形结合方法可以帮助学生将抽象的计算问题转化为具体的几何图形问题，从而更加直观地计算图形的面积和体积。
通过将一个复杂的图形分解为多个简单的几何图形，可以使用面积的叠加或减法来计算整个图形的面积，同时通过将一个立体体积分解为多个简单的几何体积，可以使用体积的叠加或减法来计算整个立体体积。
2. 几何图形的相似比例关系：数形结合方法可以帮助学生直观地理解几何图形的相似比例关系。
在相似三角形的问题中，学生可以通过构造相似三角形，并比较它们的边长和角度来确定它们的相似比例关系。
通过数形结合方法，学生可以更好地理解抽象的相似比例关系，并能够应用这些比例关系解决相关的问题。
3. 解决变量问题：数形结合方法可以帮助学生解决含有变量的数学问题。
在解决二次函数的最值问题时，可以通过将函数图像与坐标系中的几何图形相结合，找到函数图像与几何图形的最值点的位置关系，从而解决问题。
通过数形结合方法，学生能够更直观地理解变量的含义，并能够将变量与几何图形进行关联。
4. 证明几何问题：数形结合方法可以帮助学生进行几何问题的证明。
在证明平行线定理时，可以通过将平行线与直线上的任意两点相连，构成一组相似三角形，并利用相似三角形的相似比例关系来证明平行线定理。
通过数形结合方法，学生能够建立几何图形与数学公式之间的联系，并能够进行推理和证明。
高中数学数形结合思想在解题中的应用
中学数学数形结合思想在解题中的应用一、学问整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合的方法，许多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使困难问题简洁化，抽象问题详细化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与敏捷性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，奇妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是探讨“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发觉解题途径，而且能避开困难的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要留意培育这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
高中数学教学论文《数形结合思想》在解题中应用
《数形结合思想》在解题中的应用一、数形结合思想的提出在高中数学解析几何这一模块中，处理问题的方法常见有代数法和几何法。
代数法是从“数”的角度解决问题、几何法从“形”的角度解决问题，这两种方法相辅相成，相得益彰。
现举例如下：若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，求k 的取值范围.解：（代数法）曲线方程可化为)0(122≥=+x y x ，把k x y +=代入)0(122≥=+x y x可得：012222=-++k kx x （0≥x ），由题意可知方程仅有一个非负根①当方程有等根时，即)1(8)2(22--=∆k k =0，可得2±=k ，当2=k 时，方程可化为012222=++x x ，得22-=x 不合题意；当2-=k 时，方程为012222=+-x x 得22=x 符合题意，可知2-=k ； ②当方程根为0=x 时，得012=-k ，1±=k ，当1-=k 时，方程为0222=-x x ，得方程两个根为01=x ，12=x 不合题意应舍去；当1=k 时，方程为0222=+x x ，得方程两个根为01=x ，12-=x 适合题意，可知1=k ； ③当方程根为一正一负时，只需021221<-=k x x ，可得11<<-k 。
综上所述：所求 k 的取值范围为2-=k 或11≤<-k 。
（几何法）曲线21y x -=是单位圆122=+y x 的右半圆（0≥x ），k 是直线k x y +=在y 轴上的截距.在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时，2-=k ，由图形：可得2-=k 或11≤<-k 。
上述两种解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错；而利用几何法即一种数形结合的思想方法，却能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独特的指导作用。
二、数形结合思想的概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。
“数形结合”在高中数学解题中的应用
Ａ
是 首先 找 出 （ 构 造 出） 面 角 或 二
的平 面角 ， 其次 尽 量将 其 放 置 于
特 殊 的 平 面 图形 中 （ 常 是 三 角 通
“ 数形结合 ＂在 高中数 学 解 题 中的应 用
（ 般 是余 ， 一 弦 定 理 ） 解 ， 后 结 合 题 目写 求 最 出正确 的结 果 （ 意 到是 锐 二 面 注
“ ” 形 的转 化 ． 者 结 合 多 年 的教 学 实 践 ， 换 个 角 度 笔 就
成锐 二 面角 的大 小 ； 是 向量 法 ： 各 自求 出 两 平 面 二 先
的一 个法 向量 ｍ 和 ，， 二 面 角 转 为 两 向 量 的夹 角 ｌ将
即可 ．
思 考 问题 与“ 形 结合 ” 想 在 高 中数 学 中的应 用 ， 数 思 进 行 了例 析 和整 理 ， 同仁参 考． 供
Ａ Ａ ＝ ４５ ． Ｍ 。
解 或解 的个数 或 范 围时非 常有效 ．
例 １ Ｎ ￣， ｚ 的 方 程 ａ＂ 一 ｚ ２ Ｎ Ｔ 一 Ｊ ＋ ｚ＋
解 法 ２ 过 Ａ 作 ＡＡ 上 Ｂ 于 Ｍ ， Ｃ 因为 ＡＡ 上 面 ＡＢ 所 以 ＡＭ 为 Ａ Ｍ 在 面 ＡＢＣ 内 的射 影 ， 是 由 Ｃ， 于
化 为借 助 ２个 函数 交点 的横 坐标 问题 求解 ．
当 ｎ １时 ， ＞ Ｙ 一ｎ 一ｎ是 增 函数 ， － 上点 （ ， 过 ｚ轴 １ Ｏ， ） Ｙ轴上 点 （ ， － ａ ． ０１ ） 又 １ ＜０ 所 以这 ２个 函数 图象 必有 ２个 交点 ； 一ａ ， 当 Ｏ ＜ １时 ， 得 ２个 函数 图象有 ２ 交 点． ＜ａ 可 个 所 以原方 程有 ２个 实数 根 ．
数形结合思想在高中数学解题中的运用
Ｉ
． １ｏ
Ｃｈ ｎ Ｅｄｕ ｔ ｏ Ｉ ｎ ａ教 学方 法
数 形 结 合 思 想 在 高 中数 学 解 题 中 的运 用
肖 文 华 （ 州省六 盘水 市第一 实验 中学 贵州 六盘水 ５ ３ ０ ） 贵 ５ ０ ０ 摘 要： 本文主 要是研 究数 形结合 思想在 高中数 学解题 中的一 些应 用 ， 对如何 利用数 形结 合解 决解析几何 解决不 等式及 函数 等一 些 问 题 的 简化 作 用。 通过 对几个 典 型倒题 的剖析 ，进 而得 出数 形结合 在 高 中数 学解题 方 面的强 大功 用。 关键 词 ： 数形结合 高中数数 学解题 中图分 类号 ： ６ ． Ｇ ３ ６ ３ 文献标 识 码 ： Ａ 文章编号 ： ６ ３ ９ （ ０ ０ （） ｏ ０ ｏ １ ７ — ７ ５ ２ １ ） §ｃ一ｏ ６ 一 ３ ９ ２
青 睐 ， 解 中 常 常 通 过 数 形 结 合 的 思 想 从 求 动 态 的 角 度 把 抽 象 的数 学 语 言 与 直 观 的 几 何 图形 结 合 起 来 ， 到 研 究 、 决 Ｉ 题 的 目 达 解 ． 口 ］ 的。
ｒ２ ｖ２
量 关 系 和 空 间 形 式 相 结 合 起 来 加 以 考 察 为 动 ， 以动 求 解 。 转 化 ， 过 分 析 数 与 式 ② 通 例 ： 知 （ １ 椭 百 々 ：内 ｌ Ａ１ ） 圆 ｌ 一 已 ，为 的 处 理 数 学 问 题 的 方 法 ， 之 为 数 形 结 的结 构 特 点 ， 问题 转 化 到 另 一 个 角 度 来 点 ， 称 把 Ｆ 为椭 圆左 焦 点 ， Ｐ为椭 圆上 一 动 点 ． 求 合的 思想 方 法 。 考 虑 ， 将 转 化 为 勾 股 定 理或 平 面 上 两 点 Ｉ Ｆ ＋ Ｉ Ａ Ｉ 最 大 值 和 最 小 值 。 如 Ｉ 的 Ｐ Ｐ 数 形 结 合 是 一 个 数 学 思 想 方 法 ， 含 间 的 距离 等 。 构 造 ， 如构 造 一 个 几 何 图 包 ③ 比 ｖ２ １２ ， “ 形助数 ” “ 以 和 以数 辅 形 ” 个 方 面 ， 应 形 ， 两 其 构造 一 个 函 数 ， 造 一 个 图 表 等 。 构 解析： 由 一 Ｎ￣ａ ， ＝ ＝３ ｂ ， （ ） 用 数 形结 合 思 想解 题 的 三 种 类 型 ２运 用 大 致 可 以 分 为 两 种 情 形 ： 者 是 借 助 形 或 ｃ ２ 左 焦点 Ｆ （ ，） 右 焦点 Ｆ （ ， ） 由椭 圆 ＝ ， ． ０， ２ ， ０． ２ 的生 动和直观性 来阐明数之 间的联 系， 及思维方法 。 即 定义 ， 以形 作 为 手 段 ， 为 目的 ， 数 比如 应 用 函 数 的 ① “ 形 化 数 ”： 是 借 助 所 给 的 图 由 就 Ｉ Ｆ Ｉ ２ — Ｉ Ｆ Ｉ ６ Ｉ Ｆ ，’ ， ＝ ａ ， ＝ － ，『 ． Ｐ Ｐ Ｐ ． 图像 来 直 观 地 说 明 函数 的性 质 ； 者 是 借 形 ， 细 观 察 研 究 ， 示 出 图 形 中 蕴 含 的 或 仔 提
数形结合思想在高中数学教学中的有效运用
数形结合思想在高中数学教学中的有效运用1. 几何问题的解决在传统的几何教学中，往往只强调几何定理的运用和推导，缺乏对实际问题的应用和解释。
而数形结合思想则可以帮助学生更好地理解几何问题，并将其与实际问题相结合。
通过数学模型的建立和图形的绘制，学生可以更加直观地理解几何知识，并且能够将其运用到实际生活中解决问题。
在求解几何问题时，可以通过建立坐标系和绘制图形，将几何问题转化为代数问题，从而更好地理解和解决问题。
2. 函数与图形的关系在高中数学中，函数与图形是一个重要的内容，学生需要掌握函数的性质与图形的特征。
数形结合思想可以帮助学生更好地理解函数与图形之间的关系。
通过构建函数的图象，分析图象的性质，学生可以更直观地理解函数的变化规律和特点，从而更好地掌握函数的概念和性质。
通过图象的变化和变化规律，学生也可以更好地理解函数的意义和应用，使抽象的函数概念变得更加具体和直观。
3. 统计问题的分析在统计学中，数据的收集、整理和分析是一个重要的内容，而数形结合思想可以帮助学生更加直观地理解和应用统计知识。
在统计问题的分析中，可以通过建立数学模型和绘制统计图表，帮助学生更好地理解数据的特点和规律，从而更好地进行数据的分析和应用。
数形结合思想还可以帮助学生理解统计数据与生活实际的联系，加深对统计知识的理解和运用。
1. 提高学生的学习兴趣和积极性数形结合思想可以帮助学生更加直观地理解数学知识，使抽象的数学概念变得更加具体和直观。
通过数学模型的建立和图形的绘制，学生可以更好地理解和应用数学知识，从而提高了他们对数学学习的兴趣和积极性。
相比传统的教学方法，数形结合思想更能激发学生的学习兴趣，使他们更愿意投入到数学学习中去。
2. 培养学生的数学思维和创造力数形结合思想注重培养学生的数学思维和创造力，可以帮助学生更好地理解和运用数学知识，培养他们的数学思维和创造力。
通过数学模型的建立和图形的绘制，学生需要运用数学知识解决实际问题，从而锻炼了他们的数学思维和创造力。
浅谈数形结合思想在高中数学教学中的应用
教法研究浅谈数形结合思想在高中数学教学中的应用王宗伟摘要：“数”与“形”是数学中两个最基本、最重要的元素，在几何图形中隐藏着数量关系，数量关系可以利用图像表示出来运用数形结合思想，可以顺理成章的理解记忆数学概念，解答习题。
基于此，本文提出一系列数形结合思想在高中数学教学中的运用，旨在提升学生的思维能力，培养数学素养。
关键词：数形结合；高中数学；立体几何数形结合思想将“数”与“形”连接起来，在解决数学问题中发挥着重大的作用。
在高中数学教学过程中，教师应在教学中充分利用数形结合的方法引入数学概念，培养学生通过具体的图像理解数学概念的能力，让学生不再认为数学仅仅是抽象的学科；在课堂教学完成之后，教师也应强调让学生利用数形结合思想寻找答题思路，从而让学生拥有较强的分析能力、解决问题能力。
一、数形结合在高中数学教学与解题中的应用(一)在集合问题中的应用高中的集合学习主要是理解和掌握集合的概念和概念的应用以及对集合进行简单的交并运算，是高考中比较简单的一道题目，在学生刚接触集合概念时，教师可以在教学过程中利用图形解释集合的概念性质，例如对集合性质的讲解。
在解题过程中，对于实数的范围问题，可以用数轴表示集合；对于函数值域问题，画出函数图像，再进行交并运算。
常见还有直线与圆的交集，直线与直线的位置关系等。
(二)在函数问题中的应用高中函数包括初等函数和抽象函数，高中函数比初中函数更加复杂一些，性质更加丰富，教师在教学过程中，可以将初高中函数的学习内容进行对比，利用函数图像展现出来，帮助学生对知识点进行对比记忆。
在函数的性质教学中，教师可以利用多媒体绘制函数图像，加强学生的直观印象和加深其直观理解。
在解答函数题时，应用数形结合思想的解题方法常见有三种。
第一种是函数图像和方程的互相对应，通过图像求方程根的范围，通过方程的解画出函数的图像；第二种是在求解数列问题中，将数列转化成函数，利用函数图像进求解；第三种是不等式问题中，将不等式转化为函数的值域范围问题或者函数与函数之间比较大小问题。
浅谈数形结合思想在高中数学解题中的应用
０ ｆ （一 ）＞
） ≤ｏ
Ｌ ｆ （ １ ）＞ ０
数问题与图形之间的相互 转化 ， 它 可 以使 代数 问题几何 化 ， 几 何问题 代
数化。在运用数 形结合 思想分析 和解决 问题 时， 要注 意三点 ： 第一要 彻 底明 白一些概念和运算 的几何意义 以及 曲线的代数 特征 ， 对数学题 目中
例５ 、 试求 不等式 ｘ 一 ｘ 一 ６ ≤０的解集 解： 分析 Ｙ ＝ ｘ 一 ｘ 一 ６ 的 图像 ， 结合开 口方 向，
２ ． 利用数轴解决集合的有关运 算和集合 的关 系问题
我们可 以得到答案
ｘ的解 集为 ｛ Ｘ Ｉ 一２ ≤ｘ ≤３｝ 三、 利用数 形结 合思想 比较 函
从而解的 ａ的取值 范围为 ａ ≥
ａ≤ 一
孚 且 ａ ≠ ± １ 图 像 女 口 图
对 于一些
的条件和结论既分析其几何意 义又分 析其代 数意 义； 第二 是恰 当设参 、
２ ． 利 用 函数 图像 解 决 方程 的
近似 解 的 个 数 问 题 。
合理用参 ， 建立关系 ， 由数思形 ， 以形思数 ， 做好数形转 化 ； 第三是 正确确
分析： 我们 可以看 出此方程 为不规 则方程 ， 为学 生不熟悉 的方程 ， 但
方程 变形为 ａ ＝ ２ ｘ＋１ ， 我们便可 以联想但两个 函数 ， Ｙ＝ａ ｘ与 Ｙ＝ ２ ｘ＋１ ，
做出这两个函数的图像 ， Ｙ ＝ ａ 图像经过 （ ０ ， １ ） Ｙ ＝ ２ ｘ ＋１ 图像也经 过 （ ０ ， １ ） ， 通过 图像我们 可 以看 出 ａ＞１ 时还 有另 外一 个交 点 ， 即方程 有两 个
、
例４ 、 若方程 ａ 一 ２ ｘ 一 １ ＝ ０ （ ａ ＞１ ， ｔ ｆ ． ≠１ ） 有两个 零点 ， 试求 ａ 的取值
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第5讲 数形结合思想在解题中的应用一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
{|}x x -≤<22例3. 已知，则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |()A. 1个B. 2个C. 3个D. 1个或2个或3个分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画y a y x x a ==|||log | 出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B ）。
例4. 如果实数、满足，则的最大值为x y x y yx()()-+=2322A B C D ....1233323分析：等式有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，()x y -+=2322圆心为，，半径，如图，而则表示圆上的点，与坐()()()20300r y x y x x y ==-- 标原点，的连线的斜率。
如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点()00A 在以，为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由图()203OA可见，当∠在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最A OA 大值为°tg 603=例5. 已知，满足，求的最大值与最小值x y x y y x 22162513+=- 分析：对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用y x x y -+=31625122构造直线的截距的方法来求之。
令，则，y x b y x b -==+33原问题转化为：在椭圆上求一点，使过该点的直线斜率为，x y 22162513+= 且在轴上的截距最大或最小，y由图形知，当直线与椭圆相切时，有最大截距与最小y x b x y =++=31625122截距。
y x b x y x bx b =++=⎧⎨⎪⎩⎪⇒++-=316251169961640002222 由，得±，故的最大值为，最小值为。
∆==--01331313b y x 例6. 若集合，，集合，M x y x y N x y y x b ===⎧⎨⎩<<⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪==+()cos sin (){()|}330θθθπ且≠，则的取值范围为。
M N b ∅分析：M x y x y y M =+=<≤{()|}()，，，显然，表示以，为圆心，2290100 以3为半径的圆在x 轴上方的部分，（如图），而N 则表示一条直线，其斜率k=1，纵截距为，由图形易知，欲使≠，即是使直线与半圆有公共点，b M N y x b ∅=+ 显然的最小逼近值为，最大值为，即b b --<≤332332例7. 点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为，为M x y F N 221251612+= MF 1的中点，O 表示原点，则|ON|=（ ） A B C D . (32)248分析：①设椭圆另一焦点为F 2，（如图）， 则，而||||MF MF a a 1225+== ||||MF MF 1228==，∴ 又注意到N 、O 各为MF 1、F 1F 2的中点， ∴ON 是△MF 1F 2的中位线， ∴×||||ON MF ===1212842 ②若联想到第二定义，可以确定点M 的坐标，进而求MF 1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。
例8. 已知复数满足，求的模的最大值、最小值的范围。
z z i z ||--=222分析：由于，有明显的几何意义，它表示复数对应的|||()|z i z i z --=-+2222点到复数对应的点之间的距离，因此满足的复数对应点2+2i |()|z i z -+=222 Z z z ，在以，为圆心，半径为的圆上，如下图，而表示复数对应的()()||222 点到原点的距离，显然，当点、圆心、点三点共线时，取得最值，Z O Z C O z ||||||min max z z ==232，，∴的取值范围为，||[]z 232例9. 求函数的值域。
y x =-cos 2解法一（代数法）：则得y x x y x y x =+--=+sin cos cos sin 2222，sin cos sin()x y x y y x y -=--++=--221222，ϕ ∴，而sin()|sin()|x y y x +=--++≤ϕϕ22112∴，解不等式得||--+≤--≤≤-+22114734732y y y ∴函数的值域为，[]---+473473解法二（几何法）：y x x y y y x x =+-=--sin cos 222121的形式类似于斜率公式y x x P P x x =+--sin cos ()(cos sin )22220表示过两点，，，的直线斜率221P x y +=由于点在单位圆上，如图, 显然，k y k P A P B 00≤≤设过的圆的切线方程为P y k x 022+=-() 则有，解得±||22114732k k k ++==-即，k k P A P B 00473473=--=-+ ∴--≤≤-+473473y ∴函数值域为，[]---+473473 例10. 求函数的最值。
u t t =++-246分析：由于等号右端根号内同为的一次式，故作简单换元，无法t t t m 24+=转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。
解：设，，则x t y t u x y =+=-=+246且，x y x y 2221604022+=≤≤≤≤()所给函数化为以为参数的直线方程，它与椭圆在u y x u x y =-++=22216 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）u min =22相切于第一象限时，u 取最大值 y x ux y x ux u =-++=⎧⎨⎩⇒-+-=2222216342160解，得±，取∆=0==u u 2626 ∴u max =26三、总结提炼数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。
四、强化训练见优化设计。
【模拟试题】 一、选择题：1. 方程lg sin x x =的实根的个数为（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 函数y a x y x a ==+||与的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1，+∞B. ()-11，C. (][)-∞-+∞，，11D. ()()-∞-+∞，，113. 设命题甲：03<<x ，命题乙：||x -<14，则甲是乙成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 不充分也不必要条件4. 适合||z -=11且arg z =π4的复数z 的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个5. 若不等式x a x a +≥>()0的解集为{|}||x m x n m n a ≤≤-=，且，2则a 的值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知复数z i z z z 121232=-=+，，则||||的最大值为（ ） A.102- B. 5C. 210+D. 222+7. 若x ∈()12，时，不等式()log x x a -<12恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. （0，1）B. （1，2）C. （1，2]D. [1，2]8. 定义在R 上的函数y f x =-∞()()在，2上为增函数，且函数y f x =+()2的图象的对称轴为x =0，则（ ） A. f f ()()-<13 B. f f ()()03> C. f f ()()-=-13D. f f ()()23<二、填空题：9. 若复数z 满足||z =2，则||z i +-1的最大值为___________。
10. 若f x x bx c ()=++2对任意实数t ，都有f t f t ()()22+=-，则f f ()()13、-、f ()4由小到大依次为___________。