二次函数与相似三角形结合问题

琢玉教育个性化辅导讲义

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课题名称

教学目标1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度；

2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式；

3.能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题；

教学重点

难点1.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法；

2.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。

课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□建议_______________________________

教学容知识结构：

一.二次函数知识点梳理：下图中0

a≠二.特殊的二次函数：下图中0

a≠

3

4

y x

=与BC边交于D点．

（1）求D点的坐标；

（2）若抛物线2

y ax bx

=+经过A、D两点，求此抛物线的表达式；

（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P是对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出符合条件的点P．

方法总结：

1.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数c

bx

x

y+

+

-

=2

3

1

的图像经过点

A（－1，1）和点B（2，2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略：

1.根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度；

2.待定系数法求解相关函数的解析式；

3.相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量（角和线段）；

4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解；

5.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想；

6.注意利用好二次函数的对称性；

7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。

（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（4分）

（2）求证：∠ABO=∠CBO；（4分）

（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标．（6分）

2.如图，抛物线2

15

2

22

y x x

=-+-与x轴相交于A、B，与y轴相交于点C，过点C作CD ∥x轴，交抛物线于点D。点P是直线CD上一点，且△PAC与△ABC相似，求符合条件的点P坐标。

【参考教法】：

一．你能求出题目中点A B C D

、、、的坐标吗？（让学生独立计算求解）

二．点P的运动有什么特征吗？提示：点P的不同位置相似的情况不一样。

三．当△PAC与△ABC相似时：

1.需要讨论吗？提示：需要，根据点P的不同位置讨论

2.怎么讨论？根据点P的位置，分两大类讨论：

（1）当点P在C的左侧，由题意有PCA BAC

∠=∠，则分2类讨论：

①当△PAC∽△BAC时：

AC AC

PC AB

=，即

55

3

PC

=；

②当△PAC∽△ABC时：，

AC AB

PC AC

=，即

53

5

PC

=。

（2）点P在C的左侧，由题意有ACP ABC ACB CAB

∠≠∠≠∠≠∠，不存在。

3.情况分好了，那怎么计算呢？你算一下。提示：让学生计算。

4题目分析完了吧！你算一下每一个情况看看！

5以后做题，可以把分类的情况先写下来，之后再计算求解。

6.根据本题的求解你有什么想法没？提示：

①二次函数中当点的坐标已知时，注意计算各线段的长度；

②注意及时画图，体会数形结合的思想。

y

x

O

A

B

1

1

-1

-1

【满分解答】：

当点P在C的左侧，由题意有PCA BAC

∠=∠，分两类讨论：

若

AC AC

PC AB

=，即

55

3

PC

=时，△PAC∽△BAC，此时CP=3，P(－3,－2); ------2 若

AC AB

PC AC

=，即

53

5

PC

=时，△PAC∽△ABC;此时CP=

5

3

，P(－

5

3

,－2).---2 当点P在C的左侧，由题意有ACP ABC ACB CAB

∠≠∠≠∠≠∠,不存在。

3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数2

y ax bx c

=++的图像经过()

3,0

A-、()

1,0

B、()

0,3

C-三点，没该二次函数图像的顶点为D．（★★★）

（1）求这个二次函数的解析式及其图像的顶点D的坐际；

（2）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC，其中坐标轴的原点O对应点B，点M的对应点为C?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

【解法点拨】：

1.二次函数经过三点，可以根据待定系数法求解函数解析式；（让学生自己计算）

2.当△AOM∽△ABC时，字母已经对应好，无需分类讨论，则由△AOM∽△ABC得OA AM

AB AC

=，所以

9

2

4

AM=。又因为点M在线段AC上，且AC的解析式是：3

y x

=--，则可直接计算出点M的坐标。

3.注意及时画图，体会数形结合的思想。

【满分解答】：(1)由题意得：

930

3

a b c

a b c

c

-+=

⎧

⎪

++=

⎨

⎪=-

⎩

解得：

1

2

3

a

b

c

=

⎧

⎪

=

⎨

⎪=-

⎩

∴二次函数的解析式为223

y x x

=+-

顶点G的坐标是()

1,4

--

(2)根据题意，3

OA=，4

BA=，32

AC=