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三角函数的周期性与对称性解析

三角函数的周期性与对称性解析

三角函数的周期性与对称性解析三角函数是高中数学中非常重要的一部分内容,它在数学、物理、工程等学科中都有广泛的应用。

而其中一个重要的性质就是周期性与对称性。

本文将对三角函数的周期性与对称性进行解析,以增进对该知识点的理解。

一、正弦函数的周期性与对称性正弦函数是三角函数中最常见的一种。

它的函数图像呈现出周期性与对称性的特点。

首先来看正弦函数的周期性。

正弦函数的周期是2π,即f(x+2π)=f(x)。

这意味着,在一个周期内,正弦函数的取值情况是重复的。

例如,当x=0时,f(0)=sin(0)=0;当x=2π时,f(2π)=sin(2π)=0;当x=4π时,f(4π)=sin(4π)=0;以此类推。

所以,正弦函数在每个2π的整数倍处具有相同的取值。

其次,正弦函数还具有关于y轴对称的性质。

即f(-x)=-f(x)。

这意味着,对于任意实数x,正弦函数在x和-x处的取值互为相反数。

例如,当x=π/2时,f(π/2)=sin(π/2)=1;当x=-π/2时,f(-π/2)=sin(-π/2)=-1。

所以,正弦函数在关于y轴对称的点上具有相同的取值。

二、余弦函数的周期性与对称性余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数,其函数图像也呈现出周期性与对称性的特点。

首先来看余弦函数的周期性。

余弦函数的周期也是2π,即f(x+2π)=f(x)。

与正弦函数类似,余弦函数的取值也是在一个周期内重复的。

例如,当x=0时,f(0)=cos(0)=1;当x=2π时,f(2π)=cos(2π)=1;当x=4π时,f(4π)=cos(4π)=1;以此类推。

所以,余弦函数在每个2π的整数倍处具有相同的取值。

其次,余弦函数还具有关于y轴对称的性质,即f(-x)=f(x)。

这意味着,对于任意实数x,余弦函数在x和-x处的取值相等。

例如,当x=π/2时,f(π/2)=cos(π/2)=0;当x=-π/2时,f(-π/2)=cos(-π/2)=0。

三角函数的奇偶性与对称

三角函数的奇偶性与对称

三角函数的奇偶性与对称三角函数是数学中的重要概念,它们是研究角度和周期性现象的基础工具。

在数学中,我们通常研究三个主要的三角函数:正弦函数(sine)、余弦函数(cosine)和正切函数(tangent)。

其中,正弦函数和余弦函数被称为“基本三角函数”,它们的奇偶性与对称性是它们重要的性质之一。

一、正弦函数与余弦函数的奇偶性正弦函数和余弦函数在数学中具有明显的奇偶性质。

正弦函数的奇偶性质可以用下式表示:sin(-x) = -sin(x)从上式可以看出,当自变量x取负值时,正弦函数的值也为负值,即正弦函数为奇函数。

余弦函数的奇偶性质可以用下式表示:cos(-x) = cos(x)类似地,从上式可以看出,余弦函数的奇偶性与正弦函数相同,也是奇函数。

因此,无论是正弦函数还是余弦函数,它们都是奇函数。

二、正弦函数与余弦函数的对称性正弦函数和余弦函数在数学中还具有对称性质。

正弦函数的对称性质可以用下式表示:sin(x + π) = -sin(x)从上式可以看出,当自变量x增加一个周期2π时,正弦函数的值变为负值,即正弦函数关于原点对称。

余弦函数的对称性质可以用下式表示:cos(x + π) = -cos(x)同理,当自变量x增加一个周期2π时,余弦函数的值也变为负值,即余弦函数关于原点对称。

三、正切函数的奇偶性与对称性正切函数在数学中具有不同的性质。

正切函数的奇偶性质可以用下式表示:tan(-x) = -tan(x)从上式可以看出,当自变量x取负值时,正切函数的值也为负值,即正切函数为奇函数。

而正切函数的对称性质可以用下式表示:tan(x + π) = tan(x)与正弦函数和余弦函数不同,当自变量x增加一个周期π时,正切函数的值保持不变,即正切函数具有周期性但不具有对称性。

综上所述,三角函数的奇偶性与对称性是它们重要的特性之一。

正弦函数和余弦函数都是奇函数,并且关于原点具有对称性。

而正切函数是奇函数,但不具有对称性。

正弦、余弦函数的对称性

正弦、余弦函数的对称性

正弦、余弦函数的对称性一. 复习1.函数()f x 的图像关于直线x a =对称等价于()()f a x f a x -=+2. 函数()f x 的图像关于直线(,0)a 对称等价于()()f a x f a x -=-+二.研究()sin f x x =的对称性探索: 你能用诱导公式说明()sin f x x =关于原点和(,0)π对称,关于直线322x x ππ==和对称吗?(提示:如可用sin(2)sin x x π-=-说明()sin f x x =关于点(,0)π对称)总结:1.正弦函数sin ()y x x R =∈的对称中心是()(),0k k Z π∈, 对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈;余弦函数cos ()y x x R =∈的对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, 对称轴是直线()x k k Z π=∈(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线,对称中心为图象与x 轴(中轴线)的交点).2.函数()sin(()cos(f x A x f x A x ωϕωϕω=+=+≠)或)(A 0)的对称性(1)()f x 关于直线x a =对称⇔()f a A =±,(2)()f x 的对称中心为图象与x 轴(中轴线)的交点(,0)a ,()0f a =说明:()f x 是奇函数⇔ ,()f x 是偶函数⇔()sin(()cos(f x A x f x A x ωϕωϕω=+=+≠)+b 或)+b (A 0)的对称中心为图象与直线x b =的交点(,)a b ,()f a b =三.例题、练习题: 1. (07文5)函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象( ) A.关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭,对称B.关于直线π4x =对称 C.关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭,对称D.关于直线π3x =对称 2. (文15)函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ,如下结论中正确的是__________(写出所有正确结论的编号..).①图象C 关于直线11π12x =对称; ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭,对称; ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭,是增函数; ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C . 3.函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ(0ϕ>)个单位,得到的图象关于直线6x π=对称,则ϕ的最小值为( )()A 512π ()B 116π ()C 1112π ()D 以上都不对 .4.(2009全国卷Ⅰ文)如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称,那么φ的最小值为 A.6π B.4π C. 3π D. 2π 5.(2009一模)设函数()sin(2)3f x x π=+,则下列结论正确的是 ( )A .()f x 的图像关于直线3x π=对称B .()f x 满足()()44f x f x ππ-=-+C .把()f x 的图像向左平移12π个单位,得到一个偶函数的图像D .()f x 的最小正周期为π,且在[0,]6π上为增函数10已知函数()()sin 21f x x θ=-+满足()()33f x f x ππ-=+,设()()cos 21g x x θ=-+则()3g π= 课标要求了解函数对称性、周期性的概念,能应用对称、周期的概念解决问题。

三角函数的中心对称性和对称轴

三角函数的中心对称性和对称轴

三角函数的中心对称性和对称轴在数学中,三角函数是一类基础而重要的函数。

它们是以角度为自变量的函数,其中最常见的三个是正弦函数、余弦函数和正切函数。

在这些函数中,有一种重要的性质,那就是中心对称性和对称轴。

在本文中,我们将探讨这一性质的含义和应用。

一、中心对称性中心对称是数学中常见的一种对称形式。

当一个图形相对于某一点做中心对称时,它的每一个点都与这个点关于中心对称轴相对应。

在三角函数中,正弦函数和余弦函数都具有中心对称性。

对于正弦函数,我们知道它是以单位圆上一点作为自变量的函数。

在这个单位圆上,如果将其与原点做中心对称,那么它的图形就不会改变。

具体来说,如果将原来自变量为角度为θ的正弦函数变为自变量为角度为(-θ)的正弦函数,那么这两个函数的值是相等的。

即sin(θ)=sin(-θ)。

因此,正弦函数具有中心对称性。

同样地,余弦函数的图像也具有中心对称性。

我们可以将单位圆旋转90度,然后再与原点做中心对称。

这样,原来自变量为角度为θ的余弦函数就变成自变量为角度为(π-θ)的余弦函数了。

但在这个角度范围内,余弦函数的值也是相等的。

即cos(θ)=cos (π-θ)。

二、对称轴对称轴是中心对称性的具体体现。

对于正弦函数和余弦函数,它们的对称轴相对于单位圆上的点(0,0)都是x轴。

这个对称轴不仅仅是一条分割线,还有很多实际应用。

例如,我们可以通过对称轴来简化计算。

对于一个角度为θ的正弦函数,我们可以将它变为一个角度为(180°-θ)的余弦函数(因为sinθ=cos(90°-θ)),这样就可以直接使用余弦函数的计算公式来计算。

同样地,对于一个角度为θ的余弦函数,我们也可以转化为一个角度为(180°-θ)的正弦函数(因为co sθ=sin (90°-θ))。

这样,就可以根据实际情况选择使用哪个函数来计算,以达到简化计算的目的。

此外,对称轴还可以帮助我们理解函数的图像和特性。

三角函数对称轴与对称中心

三角函数对称轴与对称中心

三角函数对称轴与对称中心
一、三角函数的对称轴
1、正弦函数的对称轴:正弦函数的图像关于y轴对称,所以y轴就是正弦函数的对称轴。

2、余弦函数的对称轴:余弦函数的图像关于x轴对称,所以x轴就是余弦函数的对称轴。

3、正切函数的对称轴:正切函数的图像关于坐标系的45°斜线对称,即2y=x,这条45°斜线就是正切函数的对称轴。

4、反正切函数的对称轴:反正切函数的图像关于坐标系的135°斜线对称,即2y=-x,这条135°斜线就是反正切函数的对称轴。

二、三角函数的对称中心
1、正弦函数的对称中心:正弦函数的图像关于y轴对称,所以所有x 坐标点的y坐标都是一样的,也就是x轴的任意一点都是正弦函数的对称中心。

2、余弦函数的对称中心:余弦函数的图像关于x轴对称,所以所有y 坐标点的x坐标都是一样的,也就是y轴的任意一点都是余弦函数的对称中心。

3、正切函数的对称中心:正切函数的图像关于坐标系的45°斜线对称,即2y=x,所以所有xy都满足这个方程的点都是正切函数的对称中心,也就是x=2、y=2。

4、反正切函数的对称中心:反正切函数的图像关于坐标系的135°斜线
对称,即2y=-x,所以所有xy都满足这个方程的点都是反正切函数的
对称中心,也就是x=-2、y=-2。

三角函数对称轴和对称中心是重要的概念,他们之间存在一定的关系,也就是说每个三角函数的对称轴上的所有点都是该函数的对称中心。

三角函数的对称轴和对称中心是为我们理解和掌握函数,绘制函数图
像提供重要的参考。

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质3(对称性)

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质3(对称性)

y (k∈z)
-1 2

2 -1
0

3 2

2
0

3 2
x
定义域
值域 周期性 奇偶性 单调性
R [-1,1] 周期为T=2kπ 奇函数 在x∈[2kπ- 2 , 2kπ+ 2 ] 上都是增函数 π 3π 在x∈[2kπ+ 2 ,2kπ+ 2 ] 上都是减函数. x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ - π 时 ymin=-1 2 (kπ,0) x = kπ+

2
] 上是增函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称 D.函数f(x)是奇函数 解析 ∵y=sin(x - 2 )=-cos x,∴T= 2 ,A正确; [ 0 , ] [ 0 , y=cos x在 2 上是减函数,y=-cos x在 2 ] 上 是增函数,B正确; 由图象知y=-cos x关于直线x=0对称,C正确;

y=-cos x是偶函数,D错误.
小结:
1.会求正、余弦函数的定义域,值域及最大(小)值; 2.掌握用图像法解简单的三角不等式; 3.会求正、余弦函数的对称轴、对称中心。
作业: p46 2, 5, p47 1.
函数 性质
y y= sinx

(k∈z)
2
y= cosx
2 x
R [-1,1]
正弦、余弦函数的对称性
正弦函数的对称性 与x轴交点
-3
5 2
过最高(低)点
y
1

-2

3 2
-


2
o
-1

2

3 2

正弦函数对称性范文

正弦函数对称性范文

正弦函数对称性范文正弦函数是数学中常见的一种周期函数,它的图像可以通过在直角坐标系中以一定的频率和振幅进行往复运动来表现。

在这篇文章中,我们将讨论正弦函数的对称性以及其图像的相关特征。

首先,我们来解释一下什么是对称性。

在数学中,如果一个函数满足其中一种变换后依然保持不变,那么这个函数就具有对称性。

对称性可以分为多种类型,例如轴对称、中心对称、旋转对称等。

正弦函数具有轴对称性和中心对称性。

首先,我们来讨论正弦函数的轴对称性。

正弦函数的图像相对于y轴具有轴对称性。

也就是说,如果将正弦函数的图像向右或者向左平移,那么平移后的图像与原图像是一样的。

这是因为正弦函数的定义域是整个实数集,而不仅仅是非负实数。

换句话说,正弦函数在负轴上的取值与在正轴上的取值是对应的。

更具体地说,对于正弦函数 $f(x)=\sin(x)$,有$f(x)=-f(-x)$。

我们可以通过这个性质来推导正弦函数的一些性质,例如奇偶性和周期性。

其次,我们来讨论正弦函数的中心对称性。

正弦函数的图像相对于原点具有中心对称性。

也就是说,如果将正弦函数的图像进行180度的旋转,旋转后的图像与原图像是一样的。

这是因为正弦函数的周期是 $2\pi$。

假设我们将正弦函数的图像进行旋转后得到的函数为 $g(x)$,则有$g(x)=\sin(x+\pi)=\sin(x)$。

这个性质表明,在一个周期内,正弦函数的取值在中心点两侧是对称的。

由于正弦函数具有轴对称性和中心对称性,因此它的图像具有一些特征。

首先,正弦函数的图像是关于y轴对称的,也就是说它在y轴上有一个对称轴。

其次,正弦函数的图像是关于原点对称的,也就是说它在原点上有一个对称中心。

这两个特征可以通过观察正弦函数的图像来验证。

此外,正弦函数的图像是无限往复的,具有周期性。

在一个周期内,正弦函数的图像是重复的,只是位置和幅值有所不同。

在图像上,可以通过画出正弦函数的相关点以及连接这些点的曲线来表示它的对称性。

三角函数对称性知识点总结

三角函数对称性知识点总结

三角函数对称性知识点总结一、基本概念的介绍三角函数是数学中的一类重要函数,在数学中有着广泛的应用。

三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等等,它们之间存在着一定的对称性。

掌握三角函数对称性对于理解和运用三角函数来说是非常重要的。

在学习和应用三角函数的时候,我们需要了解三角函数的对称性知识点,这对于解题和推导都有很大的帮助。

二、正弦函数的对称性1.正弦函数的定义:正弦函数是以360°/2π为一个周期的周期函数,且其定义域为所有实数集合,值域为[-1,1]。

正弦函数的函数图象呈现出一种对称性。

当自变量x在第一象限和第二象限时,正弦函数的值是相等的,当自变量x在第三象限和第四象限时,正弦函数的值是相等的。

这表明,正弦函数在x轴的对称。

2.正弦函数的奇偶性:正弦函数是一个奇函数,即sin(-x)=-sin(x)。

这就表明,当自变量x取相反数的时候,正弦函数的值也取相反数。

这也表明了正弦函数在y轴的对称性。

3.正弦函数的轴对称性:在正弦函数的函数图象中,x轴是正弦函数的对称轴。

也就是说,当自变量x取相反数时,正弦函数的值也取相反数。

这些对称性的存在使得我们在求解正弦函数的值的时候,可以利用这些对称性,简化解题的过程。

另外,在绘制正弦函数的函数图象的时候,这些对称性也能够帮助我们更好地理解和描述函数的性质。

三、余弦函数的对称性1.余弦函数的定义:余弦函数也是以360°/2π为一个周期的周期函数,且其定义域为所有实数集合,值域为[-1,1]。

余弦函数的函数图象呈现出一种对称性。

当自变量x在第一象限和第四象限时,余弦函数的值是相等的,当自变量x在第二象限和第三象限时,余弦函数的值是相等的。

这表明,余弦函数在x轴的对称。

2.余弦函数的奇偶性:余弦函数是一个偶函数,即cos(-x)=cos(x)。

这表明当自变量x取相反数的时候,余弦函数的值不变。

这也表明了余弦函数在y轴的对称性。

3.余弦函数的轴对称性:在余弦函数的函数图象中,x轴是余弦函数的对称轴。

试论函数图像中的对称性问题

试论函数图像中的对称性问题

试论函数图像中的对称性问题作者:文鹏轲来源:《新课程·中学》2017年第12期摘要:对函数图形中的对称性进行研究,能够帮助学生更好地理解函数图像对称性的应用。

基于此,对函数图像中对称性的性质进行研究,并对函数图像的对称性问题进行具体分析,其中主要包括正弦函数的对称性、余弦函数的对称性、正切函数的对称性以及反比例函数的对称性四方面内容。

关键词:函数图像;对称性;反比例函数随着人们对数学这一门学科的重视程度越来越高,函数作为数学学科中重要的组成部分,自然得到了人们广泛的关注。

函数图像在实际应用过程中最为明显的性质就是函数图像的对称性,在解题过程中,需要利用对称性解决大量的数学题,与函数图像对称性相关的问题更是重中之重。

所以,要想提高学生解决函数问题的综合能力,就要对函数图像中的对称性问题进行详细的研究。

一、函数图像中对称性的性质若函数为奇数时,则该函数图像关于原点对称,若函数为偶数时,则该函数关于坐标中的Y轴对称,利用这一性质能够解决许多问题。

在求函数图像对称性的过程中,可以将该函数的图形在纸上画出来,并标上坐标轴。

再将函数图像移动相应的位置之后,能够发现原函数以及移动后函数二者之间的关系,进而能够得到相应对称中心的坐标。

另外,还可以利用函数图像的对称性质求得对称轴相关的信息。

例如,已知一个函数的方程式,该函数的对称轴为X为1,根据这一信息就能够得出相应的函数对称信息。

在解这道题的过程中,可以通过以下三种方法进行解答。

第一种,特殊点法,该方法是将坐标原点带入到函数方程式中,加上对称轴的已知条件,能够求出函数中常数的具体数值。

第二种,从对称点出发,由于已知对称轴的X 为1,在坐标轴上取一点数值,利用对称性质将对称点的坐标带入进去,进而算出函数方程中的常数值。

第三种,将常数的特殊值带入到方程式中去,分别讨论当常数等于0以及常数不等于0的情况。

另外,在此过程中要注意的是,注意函数的性质,确定函数为奇函数还是偶函数,在此基础上进行计算[1]。

三角函数的对称性问题

三角函数的对称性问题
三、举一反三:
1.函数 的图象( )
A.关于 轴对称B.关于 轴对称
C.关于原点对称D.关于直线 = 对称
答案:B
解析:由于函数 为偶函数,故其图象关于y轴对称.故应选B.
2.将函数y=sinx- cosx的图象沿x轴向右平移a个单位(a>0),所得图象关于y轴对称,则a的最小值为()
A. B. C. D.
C. D.
解析:∵y = cosx是R上的偶Байду номын сангаас数,∴ 是定义在 上的奇函数,
故只须考察 在区间 上的函数值的取正取负的情况,根据函数
在区间 上的零点,列表如下:
函数 的图象如上所示,不等式 的解集是三个分离的开区间的并集,即 .故应选B.
评述:考纲要求“理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ )的简图”.命题时将函数图象的叠加作为命题点,这也是近年来高考的一个热点.
三角函数的对称性问题
一、知识要点:
正弦函数、余弦函数、正切函数的对称性问题如下图:
(1)由基本三角函数的图象可以看出,正弦曲线、余弦曲线既是轴对称曲线又是中心对称曲线;正切曲线只是中心对称曲线.
(2)正弦曲线、余弦曲线的对称轴恰经过相应曲线的最高点或最低点,相邻两对称轴之间函数的单调性相同并且相邻两对称轴之间的距离恰等于函数的半个周期;正弦曲线、余弦曲线的对称中心分别是正弦函数和余弦函数的零点(与x轴的交点),相邻两对称中心之间的距离也恰好是函数的半个周期,并且对称轴、对称中心间隔排列着.正切曲线的对称中心除去零点外还有使正切函数值不存在的点,用平行于x轴的直线去截正切曲线,相邻两交点之间的距离都相等并且都等于正切函数的周期.

正弦函数相邻的两个对称中心的距离

正弦函数相邻的两个对称中心的距离

正弦函数相邻的两个对称中心的距离(最新版)目录1.引言2.正弦函数的定义和性质3.对称中心的概念及其在正弦函数中的应用4.计算正弦函数相邻两个对称中心的距离5.结论正文1.引言正弦函数是一种重要的周期函数,它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

在正弦函数的图像中,存在一些特殊的点,我们将这些点称为对称中心。

本文将探讨正弦函数相邻两个对称中心的距离如何计算。

2.正弦函数的定义和性质正弦函数的定义为:y = sin(x),其中 x 为自变量,y 为因变量。

正弦函数的周期为 2π,即在 x 轴上每增加 2π,正弦函数的值会重复。

正弦函数的性质包括:在 [0, π] 区间内单调递增,在 [π, 2π] 区间内单调递减;在 x = 0 处取得最小值 0,在 x = π处取得最大值 1,在 x = 2π处重新回到 0。

3.对称中心的概念及其在正弦函数中的应用对称中心是指函数图像关于某一点对称的点。

在正弦函数 y = sin(x) 的图像中,存在两个对称中心,分别为 (kπ, 0) 和 ((k+1)π, 0),其中 k 为整数。

这两个对称中心的作用是将正弦函数的图像分为两个完全相同的部分。

4.计算正弦函数相邻两个对称中心的距离正弦函数的周期为 2π,因此相邻两个对称中心的距离即为一个周期的长度,即 2π。

我们可以通过计算两个对称中心的横坐标之差来验证这一点:(k+1)π - kπ = π因此,正弦函数相邻两个对称中心的距离为π。

5.结论正弦函数是一种重要的周期函数,在各个领域都有广泛的应用。

在正弦函数的图像中,存在两个对称中心,它们将正弦函数的图像分为两个完全相同的部分。

正弦函数相邻的两个对称中心的距离

正弦函数相邻的两个对称中心的距离

正弦函数相邻的两个对称中心的距离【原创版】目录1.引言2.正弦函数的定义和性质3.对称中心的概念及其在正弦函数中的应用4.计算正弦函数相邻两个对称中心的距离5.结论正文1.引言正弦函数是数学中一个非常基本的函数,它在各个领域中都有广泛的应用。

在研究正弦函数时,我们常常会关注其对称性,而对称中心就是衡量正弦函数对称性的一个重要概念。

本文将探讨正弦函数相邻两个对称中心的距离。

2.正弦函数的定义和性质正弦函数的定义为:y = sin(x),其中 x 为自变量,y 为因变量。

正弦函数具有如下性质:- 周期性:正弦函数的周期为 2π。

- 奇偶性:正弦函数为奇函数,即满足 sin(-x) = -sin(x)。

- 对称性:正弦函数的图象关于 y 轴(x=0)和 x 轴(y=0)对称。

3.对称中心的概念及其在正弦函数中的应用对称中心是指函数图象上某个点,将函数图象绕这个点旋转 180 度后,图象与原图象完全重合。

正弦函数的对称中心有两个,分别为 (kπ, 0) 和 (kπ + π/2, ±1),其中 k 为整数。

4.计算正弦函数相邻两个对称中心的距离我们可以通过计算正弦函数相邻两个对称中心的横坐标之差来得到它们之间的距离。

假设第一个对称中心的横坐标为 kπ,那么第二个对称中心的横坐标为 kπ + π/2。

两个对称中心之间的距离为:(kπ + π/2) - kπ = π/2所以,正弦函数相邻两个对称中心的距离为π/2。

5.结论正弦函数具有丰富的性质,其中对称性是其一个重要的特点。

通过对称中心的概念,我们可以计算出正弦函数相邻两个对称中心的距离为π/2。

北京--正弦函数图象的对称性(檀晋轩)CASIO

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课题:正弦函数、余弦函数的图象和性质(五)——正弦函数图象的对称性教材:人教版全日制普通高级中学数学教科书(必修)第一册(下)授课教师: 北京市第十九中学 檀晋轩【教学目标】1.使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式,理解诱导公式x x sin )sin(=-π(∈x R )与x x sin )2sin(-=-π(∈x R )的几何意义,体会正弦函数的对称性.2.在探究过程中渗透由具体到抽象,由特殊到一般以及数形结合的思想方法,提高学生观察、分析、抽象概括的能力.3.通过具体的探究活动,培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力,增强学生之间合作与交流的意识.【教学重点】正弦函数图象的对称性及其代数表示形式.【教学难点】 用等式表示正弦函数图象关于直线2π=x 对称和关于点)0,(π对称.【教学方法】教师启发引导与学生自主探究相结合.【教学手段】计算机、图形计算器(学生人手一台).【教学过程】一、复习引入1.展示生活实例对称在自然界中有着丰富多彩的显现,各种对称图案、对称符号也都十分普遍(见下图).2.复习对称概念初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念:轴对称图形——将图形沿一条直线折叠,直线两侧的部分能够互相重合; 中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°,所得图形与原图形重合.3.作图观察请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象(见右图),仔细观察正弦曲线是否是对称图形?是轴对称图形还是中心对称图形?4.猜想图形性质经过简单交流后,能够发现正弦曲线既是轴对称图形也是中心对称图形,并能够猜想出一部分对称轴和对称中心.(教师点评并板书)如何检验猜想是否正确?我们知道, 诱导公式x x sin )sin(-=-(∈x R ),刻画了正弦曲线关于原点对称,而x x cos )cos(=-(∈x R ),刻画了余弦曲线关于y 轴对称. 从这两个特殊的例子中我们得到一些启发,如果我们能够用代数式表示所发现的对称性,就可以从代数上进行严格证明.今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.(板书课题)二、探究新知分为两个阶段,第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质,第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质.(一)对于正弦曲线轴对称性的研究 第一阶段,实例分析——对正弦曲线关于直线2π=x对称的研究. 1.直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行探索请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线2π=x 的图象,选择恰当窗口并充分利用画图功能对问题进行探索研究(见右图),在直线2π=x 两侧正弦函数值有什么变化规律?给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流,最后得出猜想:当自变量在2π=x 左右对称取值时,正弦函数值相等.从直观上得到的猜想,需要从数值上进一步精确检验.2.数值检验——利用图形计算器的计算功能进行探索 请同学们思考,对于上述猜想如何取值进行检验呢? 教师组织学生通过合作的方式,对称地在2π=x 左右自主选取适当的自变量,并计算函数值,对结果进行列表比较归纳.同时为没有思路的学生准备参考表格如下:给学生一定的时间进行思考、操作,根据情况进行指导并组织学生进行交流,然后请一组学生说明他们的研究过程.学生可以采用不同的数据采集方法,得到的结果如下列图表(表格中函数值精确到0.001):上述计算结果,初步检验了猜想,并可以把猜想用等式)2sin()2sin(x x +=-(∈x R )表示.请同学们利用前面得到的数据,用图形计算器描点画图(见下图),然后进行观察比较,思考点P ),2(y x -π和P ′),2(y x +π在平面直角坐标系中有怎样的位置关系?根据画图结果,可以看出,点P ),2(y x -π和P ′),2(y x +π关于直线2π=x 对称.这样,正弦曲线关于直线2π=x 对称,可以用等式)2sin()2sin(x x +=-ππ(∈x R )表示. 这样的计算是有限的,并受到精确度的影响,还需要对等式进行严格证明.3.严格证明——证明等式)2sin()2sin(x x +=-ππ对任意∈x R 恒成立 请同学们思考,证明等式的基本方法有哪些?所要证的等式左右两端有何特征?有可能选用什么样的公式?预案一:根据诱导公式ααπsin )sin(=-,有)2sin(x -π)]2(sin[x +-=ππ )2sin(x +=π. 预案二:根据公式x x cos )2sin(=-π和x x cos )2sin(=+π,有)2s i n ()2s i n (x x +=-ππ. 预案三:根据正弦函数的定义,在平面直角坐标系中, 无论α取任何实数,角απ-2和απ+2的终边总是关于y 轴对称(见右图),他们的正弦值恒相等. 这样我们就证明了等式)2sin()2sin(x x +=-ππ对任意∈x R恒成立,也就证明了正弦曲线关于直线2π=x 对称.事实上,诱导公式x x sin )sin(=-π也可以由等式)2sin()2sin(x x +=-ππ推出,即这两个等式是等价的.因此,正弦曲线关于直线2π=x 对称,是诱导公式x x sin )sin(=-π(∈x R )的几何意义.阶段小结:我们从几何直观获得启发,又通过数据计算进一步检验,得出正弦曲线关于直线2π=x 对称可以用等式)2sin()2sin(x x +=-ππ(∈x R )表示,通过对这一等式的严格证明,证实了我们猜想的正确性.上述等式与诱导公式x x sin )sin(=-π(∈x R )的等价性,使我们对这一诱导公式有了新的理解.第二阶段,抽象概括——探索正弦曲线的其他对称轴.师生、生生交流,步步深入.问题一:正弦曲线还有其他对称轴吗?有多少条对称轴?对称轴方程形式有什么特点?可以发现,经过图象最大值点和最小值点且垂直于x 轴的直线都是正弦曲线的对称轴(教师利用课件演示),则对称轴方程的一般形式为:ππk x +=2(∈k Z ). 问题二:能用等式表示“正弦曲线关于直线ππk x +=2(∈k Z )对称”吗? 根据前面的研究,上述对称可以用等式)2sin()2sin(x k x k ++=-+ππππ(∈k Z ,∈x R )表示.请学生证明上述等式,然后组织学生交流证明思路.证明预案:)2sin(x k -+ππ)]2(sin[x k +--=πππ)2sin(x k +-=ππ )]2(2sin[x k k +-+=πππ)2sin(x k ++=ππ. (二)对于正弦曲线中心对称性的研究我们已经知道正弦函数x y sin =(∈x R )是奇函数,即x x sin )sin(-=-(∈x R ),反映在图象上,正弦曲线关于原点对称. 那么,正弦曲线还有其他对称中心吗?请同学们参照轴对称的研究方法,小组合作进行研究.第一阶段,对正弦曲线关于点)0,(π对称的研究.1.直观探索——从图象上探索在点)0,(π两侧的函数值的变化规律.2.数值检验——在π=x 左右对称地选取一组自变量,计算函数值并列表整理.3.严格证明——证明等式)sin()sin(x x +-=-ππ对任意∈x R 恒成立.预案一:根据诱导公式)2sin(απ-αsin -=,有)s in(x -π)](2sin[x +-=ππ )sin(x +-=π.预案二:根据诱导公式x x sin )sin(=-π和x x sin )sin(-=+π,有)sin()sin(x x +-=-ππ.预案三:根据正弦函数的定义,在平面直角坐标系中,无论α取任何实数,角απ-和απ+的终边总是关于x 轴对称(见右图),他们的正弦值互为相反数.事实上,等式)s i n ()s i n (x x +-=-ππ与诱导公式x x s i n)2s i n (-=-π是等价的. 这样,正弦曲线关于点0,(πx x sin )2sin(-=-π(∈x R )的几何意义. 第二阶段,探索正弦曲线的其它对称中心.请同学尝试解决下列三个问题:1.归纳正弦函数图象对称中心坐标的一般形式. 正弦函数图象对称中心坐标的一般形式为:)0,(πk (∈k Z )(教师利用课件演示).2.用等式表示“正弦曲线关于点)0,(πk (∈k Z )对称”.上述对称可以用等式)sin(x k -π)sin(x k +-=π(∈k Z ,∈x R )表示.3.证明归纳出的等式. (根据课堂情况可以由学生课后完成证明)三、课堂小结1.课堂小结(1)知识上:得出了正弦函数图象对称轴方程和对称中心坐标的一般形式,研究了对称性的代数表示形式,并利用诱导公式完成了严格的理论证明. 在研究的过程中,对诱导公式x x sin )sin(=-π与x x sin )2sin(-=-π(∈x R )有了新的理解,感受了正弦函数的对称性以及数和形的辨证统一.(2)方法上:直观→抽象,特殊→一般,体验了观察—归纳—猜想—严格证明的研究方法.2.作业(1)总结课上的研究过程和方法,尝试研究余弦函数图象的对称性,并结合自己的研究过程和结论写出研究报告,与其他同学交流收获.(2)找一个一般函数,如x a y sin +=,∈a a 为常数且R ,研究它的图象及对称性;并与正弦函数的图象及对称性进行比较.(3)思考:如何用等式表示函数)(x f 关于直线a x =对称,以及关于点),(b a 对称?(4)尝试证明函数x y 1=的图象分别关于直线x y =和直线x y -=对称. 【教学设计说明】1.关于教学内容正弦函数和余弦函数的大部分性质是借助函数图象进行研究的.但是,在本章第五节中,借助单位圆中的三角函数线已经研究了它们的四个重要性质,并归纳为四组诱导公式,其中公式三、四、五分别刻画了两个函数图象的一部分对称性,奇偶性只是特殊的对称性.因此,本课时以正弦函数为例补充研究图象的对称性,从函数图象的特征出发,引导学生利用计算器自主探索,并最终发现与诱导公式的联系. 通过本课时的教学,可以使学生在进一步掌握图象特征的同时,加深对正弦函数及其诱导公式的理解,既是对以前所学知识的梳理,也为后面进一步学习和理解“由已知三角函数值求角”奠定基础.2.关于教学设计本课时我采用启发引导与学生自主探索相结合的教学方法.在回顾旧知识的基础上提出新的研究问题, 引导学生从形象思维逐步过度到抽象思维,突破教学难点. 教学设计流程图如下:通过引导学生带着问题的主动思考、动手操作、合作交流的探究过程,力求使他们在掌握知识的同时,还能学会研究方法.3.信息技术在教学中的作用图形计算器作为学具,通过学生亲自动手,人人参与探索过程,帮助学生从图象、数据、解析式等多层次、多角度地理解所研究的内容,提高他们对图形和数据信息的处理能力,培养信息素养.图形计算器和计算机相结合,力求使技术更有效地为教学服务.。

从一道三角函数题说开去——简谈正弦、余弦函数图象的对称性

从一道三角函数题说开去——简谈正弦、余弦函数图象的对称性

从一道三角函数题说开去——简谈正弦、余弦函数图象的对
称性
于健
【期刊名称】《新高考(高一数学)》
【年(卷),期】2015(000)012
【总页数】3页(P34-36)
【作者】于健
【作者单位】南京市金陵中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.道法自然教法泰然r——"正弦函数、余弦函数的图象"的教学实录与感悟 [J], 周龙虎;李渺
2.正弦函数、余弦函数图像的对称性及应用 [J], 田发胜
3.以问题围绕主题利用现代教育技术实现探究学习——也谈"正弦函数、余弦函数的图象"课例分析 [J], 林清
4.正弦函数图像及余弦函数图像的对称性 [J], 袁伟
5.例谈导学案在高中数学函数图象中的实践应用——以正弦函数、余弦函数图象教学为例 [J], 吴素花
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正弦函数图像及余弦函数图像的对称性

正弦函数图像及余弦函数图像的对称性

正弦函数图像及余弦函数图像的对称性
袁伟
【期刊名称】《西安文理学院学报(自然科学版)》
【年(卷),期】2005(008)001
【摘要】利用函数图像关于直线对称的充要条件分析得出:过正弦函数、余弦函数图像上的极值点平行于Y轴的每条直线,都是相应图像的对称轴;同时利用函数图像关于点对称的充要条件分析出:正弦函数、余弦函数图像与X轴的每个交点,都是各自图像的对称中心,从而得出正弦函数图像、余弦函数图像,在定义域区间内既是轴对称图形又是中心对称图形,且相应图像的对称中心和对称轴不是惟一的.
【总页数】3页(P45-47)
【作者】袁伟
【作者单位】西安电力工业学校,基础教研室,陕西,西安,710038
【正文语种】中文
【中图分类】O12
【相关文献】
1.正弦函数、余弦函数图像的对称性及应用 [J], 田发胜
2.关于正弦函数、余弦函数图像的再反思 [J], 陈志英
3.旨在培养核心素养的"学习中心"型数学课堂实践——以"正弦函数、余弦函数的图像"为例 [J], 王芳;唐恒钧
4.在知识的细化探究过程中学习正弦函数图像——以“正弦函数和余弦函数的图像
与性质(1)”为例 [J], 赵荣;洪文德
5.基于APOS理论的正弦函数、余弦函数的图像的教学设计 [J], 王芳;从建华因版权原因,仅展示原文概要,查看原文内容请购买。

三角函数图像的对称轴与对称中心

三角函数图像的对称轴与对称中心

函数轴对称:如果一个函数的图象沿一条直线对折,直线两则的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。

中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。

正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称, 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形;y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” , 且平行于y 轴的无数条直线; 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。

三角函数图像的对称轴与对称中心特级教师 王新敞对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系,有渐近线但无对称轴.由于函数s i n ()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和tan()y A x ωφ=+的简图容易画错,一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心.1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心:对称轴为2x k ππ=+、对称中心为(,0) k k Z π∈.对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置,即2x k πωφπ+=+()k Z ∈,由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈,这就是函数s i n ()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程. 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈,由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈,这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标,得对称中心1((),0) k k Z πφω-∈.2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心:对称轴为x k π=、对称中心为(,0)2k ππ+k Z ∈.对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置,即x k ωφπ+= ()k Z ∈,由此解出1()x k πφω=- ()k Z ∈,这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程.对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈,由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈,这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标,得对称中心1((),0) 2k k Z ππφω+-∈.3.正切函数tan y x =图像的渐近线与对称中心:渐近线为2x k ππ=+、对称中心为(,0)2k πk Z ∈,也就是曲线与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点两类点组成.正切曲线无对称轴.对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的渐近线只需将x ωφ+取代上面的x 的位置,即2x k πωφπ+=+()k Z ∈,由此解出1()2x k ππφω=+- ()k Z ∈,这就是函数t a n ()y A x ωφ=+的图象的渐近线方程.对于函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2k x πωφ+= ()k Z ∈,由此解出1()2k x πφω=- ()k Z ∈,这就是函数tan()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标,得对称中心1((),0) 2k k Z πφω-∈.例 函数y =sin(2x +3π)的图象:⑴关于点(3π,0)对称;⑵关于直线x =4π对称;⑶关于点(4π,0)对称;⑷关于直线x =12π对称.正确的序号为________. 解法一:由2x +3π=k π得x=621ππ-k ,对称点为(621ππ-k ,0)(z k ∈),当k=1时为(3π,0),⑴正确、⑶不正确;由2x +3π2k ππ=+得x=1212k ππ+(z k ∈),当k=0时为12x π=,⑷正确、⑵不正确.综上,正确的序号为⑴⑷.解法二:根据对称中心的横坐标就是函数的零点,对称轴必经过图象最值点的结论,可以采用代入验证法.易求()3f π=sin(2×3π+3π)=0、()4f π=sin(2×4π+3π)=2、()12f π=sin(2×12π+3π)=1,所以⑴正确、⑵不正确、⑶不正确、⑷正确.综上,正确的序号为⑴⑷.Welcome !!! 欢迎您的下载,资料仅供参考!。

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课题:正弦函数、余弦函数的图象和性质(五)——正弦函数图象的对称性教材:人教版全日制普通高级中学数学教科书(必修)第一册(下) 【教学目标】1.使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式,理解诱导公式xx sin )sin(=-π(∈x R )与x x sin )2sin(-=-π(∈x R )的几何意义,体会正弦函数的对称性.2.在探究过程中渗透由具体到抽象,由特殊到一般以及数形结合的思想方法,提高学生观察、分析、抽象概括的能力.3.通过具体的探究活动,培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力,增强学生之间合作与交流的意识. 【教学重点】正弦函数图象的对称性及其代数表示形式. 【教学难点】用等式表示正弦函数图象关于直线2π=x 对称和关于点)0,(π对称.【教学方法】教师启发引导与学生自主探究相结合. 【教学手段】计算机、图形计算器(学生人手一台). 【教学过程】一、复习引入 1.展示生活实例对称在自然界中有着丰富多彩的显现,各种对称图案、对称符号也都十分普遍(见下图).2.复习对称概念初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念:轴对称图形——将图形沿一条直线折叠,直线两侧的部分能够互相重合; 中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°,所得图形与原图形重合. 3.作图观察请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象(见右图),仔细观察正弦曲线是否是对称图形?是轴对称图形还是中心对称图形?4.猜想图形性质经过简单交流后,能够发现正弦曲线既是轴对称图形也是中心对称图形,并能够猜想出一部分对称轴和对称中心.(教师点评并板书)如何检验猜想是否正确?我们知道, 诱导公式x x sin )sin(-=-(∈x R ),刻画了正弦曲线关于原点对称,而x x cos )cos(=-(∈x R ),刻画了余弦曲线关于y 轴对称. 从这两个特殊的例子中我们得到一些启发,如果我们能够用代数式表示所发现的对称性,就可以从代数上进行严格证明.今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.(板书课题) 二、探究新知分为两个阶段,第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质,第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质.(一)对于正弦曲线轴对称性的研究第一阶段,实例分析——对正弦曲线关于直线2π=x 对称的研究.1.直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行探索请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线2π=x 的图象,选择恰当窗口并充分利用画图功能对问题进行探索研究(见右图),在直线2π=x 两侧正弦函数值有什么变化规律?给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流,最后得出猜想:当自变量在2π=x 左右对称取值时,正弦函数值相等.从直观上得到的猜想,需要从数值上进一步精确检验. 2.数值检验——利用图形计算器的计算功能进行探索 请同学们思考,对于上述猜想如何取值进行检验呢? 教师组织学生通过合作的方式,对称地在2π=x 左右自主选取适当的自变量,并计算函数值,对结果进行列表比较归纳.同时为没有思路的学生准备参考表给学生一定的时间进行思考、操作,根据情况进行指导并组织学生进行交流,然后请一组学生说明他们的研究过程.学生可以采用不同的数据采集方法,得到的结果如下列图表(表格中函数值精确到0.001):上述计算结果,初步检验了猜想,并可以把猜想用等式)2sin()2sin(x x +=-(∈x R )表示.请同学们利用前面得到的数据,用图形计算器描点画图(见下图),然后进行观察比较,思考点P ),2(y x -π和P ′),2(y x +π在平面直角坐标系中有怎样的位置关系?根据画图结果,可以看出,点P ),2(y x -π和P ′),2(y x +π关于直线2π=x 对称.这样,正弦曲线关于直线2π=x 对称,可以用等式)2s in ()2s in (x x +=-ππ(∈x R )表示.这样的计算是有限的,并受到精确度的影响,还需要对等式进行严格证明.3.严格证明——证明等式)2sin()2sin(x x +=-ππ对任意∈x R 恒成立请同学们思考,证明等式的基本方法有哪些?所要证的等式左右两端有何特征?有可能选用什么样的公式?预案一:根据诱导公式ααπsin )sin(=-,有)2s in (x -π)]2(sin[x +-=ππ)2sin(x +=π.预案二:根据公式x x c o s )2s i n (=-π和xx cos )2sin(=+π,有)2s i n ()2s i n (x x +=-ππ. 预案三:根据正弦函数的定义,在平面直角坐标系中, 无论α取任何实数,角απ-2和απ+2的终边总是关于y 轴对称(见右图),他们的正弦值恒相等.这样我们就证明了等式)2sin()2sin(x x +=-ππ对任意∈x R 恒成立,也就证明了正弦曲线关于直线2π=x 对称.事实上,诱导公式x x sin )sin(=-π也可以由等式)2sin()2sin(x x +=-ππ推出,即这两个等式是等价的.因此,正弦曲线关于直线2π=x对称,是诱导公式xx sin )sin(=-π(∈x R )的几何意义.阶段小结:我们从几何直观获得启发,又通过数据计算进一步检验,得出正弦曲线关于直线2π=x 对称可以用等式)2sin()2sin(x x +=-ππ(∈x R )表示,通过对这一等式的严格证明,证实了我们猜想的正确性.上述等式与诱导公式xx sin )sin(=-π(∈x R )的等价性,使我们对这一诱导公式有了新的理解.第二阶段,抽象概括——探索正弦曲线的其他对称轴. 师生、生生交流,步步深入.问题一:正弦曲线还有其他对称轴吗?有多少条对称轴?对称轴方程形式有什么特点? 可以发现,经过图象最大值点和最小值点且垂直于x 轴的直线都是正弦曲线的对称轴(教师利用课件演示),则对称轴方程的一般形式为:ππk x +=2(∈k Z ).问题二:能用等式表示“正弦曲线关于直线ππk x +=2(∈k Z )对称”吗?根据前面的研究,上述对称可以用等式)2s in ()2s in (x k x k ++=-+ππππ(∈k Z ,∈x R )表示.请学生证明上述等式,然后组织学生交流证明思路. 证明预案:)2sin(x k -+ππ)]2(sin[x k +--=πππ)2sin(x k +-=ππ)]2(2sin[x k k +-+=πππ)2sin(x k ++=ππ.(二)对于正弦曲线中心对称性的研究我们已经知道正弦函数x y sin =(∈x R )是奇函数,即x x sin )sin(-=-(∈x R ),反映在图象上,正弦曲线关于原点对称. 那么,正弦曲线还有其他对称中心吗?请同学们参照轴对称的研究方法,小组合作进行研究.第一阶段,对正弦曲线关于点)0,(π对称的研究.1.直观探索——从图象上探索在点)0,(π两侧的函数值的变化规律. 2.数值检验——在π=x 左右对称地选取一组自变量,计算函数值并列表整理.3.严格证明——证明等式)sin()sin(x x +-=-ππ对任意∈x R 恒成立. 预案一:根据诱导公式)2sin(απ-αsin -=,有)s i n (x -π)](2sin[x +-=ππ)sin(x +-=π.预案二:根据诱导公式x x sin )sin(=-π和x x sin )sin(-=+π,有)sin()sin(x x +-=-ππ.预案三:根据正弦函数的定义,在平面直角坐标系中,无论α取任何实数,角απ-和απ+的终边总是关于x 轴对称(见右图),他们的正弦值互为相反数.事实上,等式)s i n ()s i n (x x +-=-ππ与诱导公式x x s i n)2s i n (-=-π是等价的. 这样,正弦曲线关于点)0,(πx x sin )2sin(-=-π(∈x R )的几何意义.第二阶段,探索正弦曲线的其它对称中心. 请同学尝试解决下列三个问题:1.归纳正弦函数图象对称中心坐标的一般形式.正弦函数图象对称中心坐标的一般形式为:)0,(πk (∈k Z )(教师利用课件演示).2.用等式表示“正弦曲线关于点)0,(πk (∈k Z )对称”.上述对称可以用等式)sin(x k -π)sin(x k +-=π(∈k Z ,∈x R )表示. 3.证明归纳出的等式. (根据课堂情况可以由学生课后完成证明) 三、课堂小结 1.课堂小结(1)知识上:得出了正弦函数图象对称轴方程和对称中心坐标的一般形式,研究了对称性的代数表示形式,并利用诱导公式完成了严格的理论证明. 在研究的过程中,对诱导公式x x sin )sin(=-π与x x sin )2sin(-=-π(∈x R )有了新的理解,感受了正弦函数的对称性以及数和形的辨证统一.(2)方法上:直观→抽象,特殊→一般,体验了观察—归纳—猜想—严格证明的研究方法.2.作业(1)总结课上的研究过程和方法,尝试研究余弦函数图象的对称性,并结合自己的研究过程和结论写出研究报告,与其他同学交流收获.(2)找一个一般函数,如x a y sin +=,∈a a 为常数且R ,研究它的图象及对称性;并与正弦函数的图象及对称性进行比较.(3)思考:如何用等式表示函数)(x f 关于直线a x =对称,以及关于点),(b a 对称?(4)尝试证明函数xy 1=的图象分别关于直线x y =和直线x y -=对称.【教学设计说明】1.关于教学内容正弦函数和余弦函数的大部分性质是借助函数图象进行研究的.但是,在本章第五节中,借助单位圆中的三角函数线已经研究了它们的四个重要性质,并归纳为四组诱导公式,其中公式三、四、五分别刻画了两个函数图象的一部分对称性,奇偶性只是特殊的对称性.因此,本课时以正弦函数为例补充研究图象的对称性,从函数图象的特征出发,引导学生利用计算器自主探索,并最终发现与诱导公式的联系. 通过本课时的教学,可以使学生在进一步掌握图象特征的同时,加深对正弦函数及其诱导公式的理解,既是对以前所学知识的梳理,也为后面进一步学习和理解“由已知三角函数值求角”奠定基础.2.关于教学设计本课时我采用启发引导与学生自主探索相结合的教学方法.在回顾旧知识的基础上提出新的研究问题, 引导学生从形象思维逐步过度到抽象思维,突破教学难点. 教学设计流程图如下:通过引导学生带着问题的主动思考、动手操作、合作交流的探究过程,力求使他们在掌握知识的同时,还能学会研究方法.3.信息技术在教学中的作用图形计算器作为学具,通过学生亲自动手,人人参与探索过程,帮助学生从图象、数据、解析式等多层次、多角度地理解所研究的内容,提高他们对图形和数据信息的处理能力,培养信息素养.图形计算器和计算机相结合,力求使技术更有效地为教学服务.。

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