计量经济学第二章教学课件

0
ˆ 0
xi2 y i xi y i xi n xi2 ( xi ) 2
Q 0 ˆ β
1
ˆ n y i xi y i xi 1 n xi2 ( xi ) 2
普通最小二乘法（OLS）

随机误差项方差估计值
ˆ2 ei2 n2
i 1,2,, n
y x 其中， 被称为被解释变量， 被称为解释变 量。为随机误差项， 为观测值下标， i n为样本容量， 为待估参数。 方程被称为随机总体方程。
残差项
ˆ ei yi yi yi ( ˆ 0 β 1 xi ) β ˆ ˆ ˆ y β β x e
回归分析


总体与样本 总体回归函数 样本回归函数 回归的主要内容
总体与样本（补充）
总体（Population or Sample Space)：随机试验所 有可能结果的集合，又叫样本空间。 样本点（Sample Point)：样本空间的每一元素。 事件(Events)：随机试验的可能结果组成的集合， 是总体的一个子集。 在理论上，总体是有限的，但在实际中很难收集每 一个信息。实践中我们所能做到的是从总体中抽 取一个“有代表性的”或“随机”的样本。
无偏性
有效性
一致性
参数估计量的性质
高斯－马尔可夫假定： 1、参数线性，总体模型可写成

yi β 0 β 1 xi ... β i xi μ i
2、随机抽样性 我们有一个含n次观测的随机样本，它来自总 体模型。 3、均值为0
E ( xi ) 0
4、不存在完全共线性 在样本（因而在总体中），没有一个自变量 是常数，自变量之间也不存在严格的线性 关系。 5、同方差性 Var ( xi ) 2 高斯－马尔可夫定理 β ˆ β 在上述假定下，ˆ 0 ,β 1 ,... ˆ i分别是β 0 ,β 1 ,... i 的 β 最优线性无偏估计量（BLUE）。
表2－1
图2－1
总体回归函数

总体回归函数（PRF)
E ( y ) β 0 β 1 x
其中， 0，1 为参数，也称为回归系数。 0 又称为截距， 1 又称为斜率。
图2－3 样本回归直线
样本回归函数

样本回归函数（SRF)
ˆ ˆ ˆ y β 0 β 1 x
y ˆ y 表示总体条件均值， 的估计量；ˆ0 , 1分别 ˆ 是 0 , 1 的估计量。

将式中
ln( 1 K 2 L )
展开台劳级数，取关于 线性近似值。
0
的线性项，即得到一个
第二节 一元线性回归 模型的参数估计
一、线性回归模型的基本假设
1、解释变量是确定性的。
2、随机干扰项均值为0。即
E ( i ) 0, i 1,2,..., n
3、随机干扰项序列同方差。即

估计量和估计值
三、最大或然法（ML）

总体回归函数
2 Var ( i )
yi β 0 β 1 xi μ i E ( i ) 0
2 i ~ N (0, )
பைடு நூலகம்
i 1,2,...n

样本回归函数
2 ˆ ˆ yi ~ N ( 0 1 xi , )
1 P（yi） e 2
~ t ( n 2)
se(Y 0 ) 这样，给定值，查表得t / 2 ,由此有： P[ t / 2

Y 0 E (Y / X 0 )


t / 2 ] 1 -

se(Y 0 ) P[Y 0 - t / 2 se(Y 0 ) E (Y / X 0 ) Y 0 t / 2 se(Y 0 )] 1 - 于是得 Y 0 平均值E (Y / X 0 )的区间估计： [Y F - t / 2 (n 2) se(Y F ), Y F t / 2 (n 2) se(Y F )]

1 2
2
ˆ ˆ ( yi 0 1 xi ) 2
三、最大或然法（ML）

最大或然法(Maximum Likelihood):选择估 ˆ ˆ 计参数 0，1 ，使得抽取该观察值的概率 最大。即：
ˆ ˆ 2 max : L( 0 , 1 , ) P（y1 , y2 ,... yi） 1
随机误差项方差估计值
1 ˆ ˆ ˆ ( yi 0 1 xi ) 2 n
2
四、参数估计量的性质
1、线性：即参数估计值是随机变量的线性函数。 2、无偏性：即参数估计值的均值和期望是否与真实 值相一致。 3、有效性（最小方差性）：即求得的参数估计量小 于任何其他方法得到的估计量。 4、一致性：如果随着样本容量的增加，估计量越来 越接近于真实值，则称估计量是真实值的一致估 计。
ln Q ln A ln K ln L
线性回归模型的普遍性
3、级数展开 CES生产函数将产出量与投入要素之间的关系描述为如下形 式
Q A( 1 K 2 L )

1

( 1 2 1)
方程两边取对数后，得到 1 ln Q ln A ln( 1 K 2 L )
s a br cr , c 0
2
可以用
x1 r , x2 r
2
进行置换，将方程变成
s a bx1 cx2 , c 0
线性回归模型的普遍性
2、对数变换 C-D生产函数将产出量与投入要素之间的关系描述为幂函数 的形式
Q AK L
方程两边取对数后，即成为一个线性形式
回归的主要内容


根据样本观察值确定样本回归方程 检验样本回归方程对总体回归方程的近似 程度 利用样本回归方程分析总体的平均变化规 律
模型的随机设定

随机误差项 残差项 产生随机误差项的原因
随机误差项
μ i yi E ( yi ) yi 0 β 1 xi β yi β 0 β 1 xi μ i
2 Var ( i ) , i 1,2,..., n
5、随机干扰项序列不相关。即
Cov( i , j ) 0, i j
i, j 1,2,..., n
6、随机干扰项与解释变量之间不相关。即
Cov( x ji , i ) 0, j 1,2..., k , i 1,2..., n
图2－5 异方差
图2－6 自相关
无自相关
正的自相关
负的自相关

普通最小二乘法 参数估计量的性质
二、普通最小二乘法（OLS）
复习： 总体回归函数
yi β 0 β 1 xi μ i

样本回归函数
ˆ ˆ yi β 0 β 1 xi ei
ˆ ei＝yi yi

残差项
图2－3 样本回归直线
基本思想 (1)计量经济预测是利用所估计的样本回归模型，用 解释变量的已知值或预测值，对预测期或样本以 外的应变量作出定量的估计。 (2)计量经济预测是一种条件预测： 条件:a.所估计参数不变 b.模型设定关系不变 c.解释变量在预测期的取值已作出预测
一、 点预测：

将解释变量预测值直接代入估计的方程：
第三节 一元线性回归模型的统计检验

拟合优度检验 变量的显著性检验 参数的置信区间
一、拟合优度的检验

1、总离差平方和TSS 2、回归平方和ESS 3、残差平方和RSS
TSS=RSS+ESS
二、变量显著性的检验
目的：解释变量与被解释变量之间的线性 关系是否显著成立。 基本思想：“小概率事件在一次事件中几 乎是不可能发生的”，反证法 H0下构造一个小概率事件， －拒绝H0 ，小概率事件没有出现 －接受H0 ，小概率事件出现了 检验方法：F检验，t检验，z检验
普通最小二乘法（OLS）

最小二乘法（Ordinary Least Squares)：选 ˆ ˆ 择估计参数 0，1 ，使得全部观察值的残 差平方和最小。即：
ˆi )2 min : Q ei ＝ ( yi y
2
为什么是平 方和？
普通最小二乘法（OLS）
求解步骤： 参数估计值

Q 0 ˆ β
n (2 ) n 2
e
( yi ˆ0 ˆ1xi ) 2 2 2
1
三、最大或然法（ML）
求解步骤 参数估计值

0
ˆ 0
Q 0 ˆ β
xi2 y i xi y i xi n xi2 ( xi ) 2
ˆ n y i xi y i xi 1 n xi2 ( xi ) 2
7、随机干扰项服从正态分布。 即
2 i ~ N (0, ), i 1,2,..., n 8、解释变量之间不相关，无多重共线性。
9、随着样本容量的无限增加，解释变量的样 本方差趋于一个有限常数，即
( X i X )2 n Q, n
10、回归模型是正确设定的。
图2－4 同方差
Y 0 0 1 X0




计算的 Y0 是一个点估计值。

二、区间预测：
1、总体条件均值预测值的置信区间 2、总体个别预测值的置信区间
1、总体条件均值预测值的置信区间
Y F 作为总体真实平均值E (YF / X F )估计是有误差的， 它本身也是随机变量，服从正态分布。 1 ( X 0 X )2 可证 Y 0 ～N（E (Y / X 0 ), 2 [ ]） , 2 n xi

t 检验图示