万能公式和数列证明答题模板

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【高考宝典】高考数学解答题常考公式及答题模板

高考数学解答题常考公式及答题模板题型一：解三角形1、正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 是ABC ∆外接圆的半径）变式①：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===Rc C R bB R a A 2sin 2sin 2sin 变式③：C B A c b a sin :sin :sin ::=2、余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 变式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222223、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 4、射影定理：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c A c C a b Bc C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^）5、三角形的内角和等于 180，即π=++C B A6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限利用以上关系和诱导公式可得公式：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+A C B B C A CB A cos )cos(cos )cos(cos )cos(7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θθθcos sin tan = 奇：2π的奇数倍偶：2π的偶数倍8、二倍角公式：①θθθcos sin 22sin =②θθθθθ2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ⇒降幂公式：22cos 1cos 2θθ+=，22cos 1sin 2θθ-= ③θθθ2tan 1tan 22tan -=8、和、差角公式：①⎩⎨⎧-=-+=+βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(②⎩⎨⎧+=--=+βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos cos(sin sin cos cos cos(））③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan( 9、基本不等式：①2ba ab +≤),(+∈R b a ②22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ),(+∈R b a ③222b a ab +≤ ),(R b a ∈注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求ABC ∆面积的最大值时。

高中数学万能公式

高中数学万能公式1、适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A 为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。

x为分离比，必须大于1。

注上述公式适合一切圆锥曲线。

如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式；如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。

2、函数的周期性问题(记忆三个)：（1）若f(x)=-f(x+k)，则T=2k；（2）若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k；（3）若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。

注意点：a.周期函数，周期必无限；b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数；c.周期函数加周期函数未必是周期函数。

3、关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：（1）若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2；（2）函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称；（3）若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称。

4、函数奇偶性：（1）对于属于R上的奇函数有f(0)=0；（2）对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项；（3）奇偶性作用不大，一般用于选择填空。

5、常用数列bn=n×(2²n)求和Sn=(n-1)×(2²(n+1))+2记忆方法前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2。

6、适用于标准方程(焦点在x轴)公式：k椭=-{(b²)x₀｝/{(a²)y₀｝；k双={(b²)x₀｝/{(a²)y₀｝；k抛=p/y ₀。

注：(x₀，y₀)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。

7、强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技：已知直线L₁：a₁x+b₁y+c₁=0 ；直线L₁：a₁x+b₁y+c₁=0若它们垂直：(充要条件)a₁a₁+b₁b₁=0；若它们平行：(充要条件)a₁b₁=a₁b₁且a₁c₁≠a₁c₁[这个条件为了防止两直线重合]注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀。

数学试卷答题万能公式小学

一、基础知识部分1. 数的认识- 万以内数的认识：利用数位顺序表，将数分级，理解数的大小关系。

- 整数、小数的认识：掌握整数和小数的概念，能进行简单的加减乘除运算。

2. 运算定律- 加法交换律：a + b = b + a- 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)- 乘法交换律：a × b = b × a- 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)- 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c3. 四则运算- 加法：同号相加，异号相减，注意进位和借位。

- 减法：利用被减数 = 减数 + 差，或减数 = 被减数 - 差。

- 乘法：先乘后加，先乘后减。

- 除法：先除后乘，先除后减。

二、应用题部分1. 单位换算- 长度单位换算：千米、米、分米、厘米之间的换算，注意进率。

- 面积单位换算：平方米、平方分米、平方厘米之间的换算，注意进率。

- 体积单位换算：立方米、立方分米、立方厘米之间的换算，注意进率。

2. 解决问题- 利用图形面积公式解决问题：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形的面积计算。

- 利用图形体积公式解决问题：长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积计算。

- 解决行程问题：速度、时间、路程的关系，利用公式：路程 = 速度× 时间，速度 = 路程÷ 时间，时间 = 路程÷ 速度。

- 解决工程问题：工作效率、工作时间、工作量的关系，利用公式：工作量 = 工作效率× 工作时间，工作时间 = 工作量÷ 工作效率，工作效率 = 工作量÷ 工作时间。

3. 解决实际问题- 利用数学知识解决生活中的实际问题，如购物、烹饪、时间计算等。

三、几何图形部分1. 平面图形- 长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形的性质和判定。

公务员考试数列问题相关公式

一、数列问题相关公式：（注意数量关系，实在不会就用相近排除法，跟着感觉走，不要一个劲的改）1、等差数列通项公式：a n=a1+(n+1)d=a m+(n-m)d2、等差数列求和公式：s n=na1+n(n-1)d/2=n(a1+a n)/23、等差数列中项公式：N为奇数时，等差中项为1项，即a n+1/2=s n/nN为偶数时，等差中项为2项，即a n/2和a n/2+1，而a n/2+ a n/2+1=2s n/n4、等比数列通项公式：a n=a1q n-1=a m q n-m二、工程问题：工作总量/工作效率=工作时间把全工程看作“1”，工作效率为1/n，两组共同完成的工作效率为1/n1+1/n2。

三、年龄问题：（偶尔会遇到公倍数，注意就好）1、已知二人年龄，求几年前或几年后的大年龄是小年龄的几倍：年龄差/（倍-1）=成倍时的小年龄成倍时的小年龄-小的现年龄=几年后的年龄小的现年龄-成倍时的小年龄=几年前的年龄2、如果已知二人年龄之和及几年后大的是小的几倍，求现在二人的年龄各是多少：几年后的二人年龄和/（倍+1）=几年后小的年龄几年后小的年龄-几年后年数=现在小的年龄二人年龄和-现在小的年龄=现在大的年龄*年龄问题的基本公式：大年龄=（两人年龄和+两人年龄差）/2小年龄=（两人年龄和-两人年龄差）/2几年后的年龄=大小年龄差/倍数差-小年龄几年后的年龄=小年龄-大小年龄差/倍数差（比较复杂，三次以上用表格法计算，又快又准）四、溶质问题：在一定温度下的饱和溶液中：1、溶质、溶剂和溶液质量比等于S:100:LS，S为该温度下的溶质的溶解度。

2、溶解度=溶质质量/溶剂质量×100%3、溶液浓度=溶质质量/溶液质量×100%五、相遇问题：（最好用画图解决，比较明显）1、速度和，即AB两者所走的路程和=速度和×相遇时间相遇（距离）路程=速度和×相遇时间2、追及问题速度差，即A走的路程减去B走的路程=速度差×追及时间路程差=速度差×追及时间六、方阵问题：方针的总人数=最外层人数的平方方阵的最外层人数=总人数/4+1，每减少一层，每边就得减少2，一共减少8，依次类推。

高考数学万能解题模板总结(高考必备)

高考数学万能解题模板总结（高考必备）1、选择填空题1）易错点归纳九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。

针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。

2）答题方法选择题十大速解方法：排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法。

填空题四大速解方法：直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。

2、解答题答题技巧与模板1）三角变换与三角函数的性质问题一、解题路线图①不同角化同角①降幂扩角①化f（x）=Asin（ωx+φ）+h①结合性质求解。

二、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin（ωx+φ）+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。

①整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sinx，y=cosx的性质确定条件。

①求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin（ωx+φ）+h的性质，写出结果。

①反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。

2）解三角形问题一、解题路线图①化简变形；①用余弦定理转化为边的关系；①变形证明。

①用余弦定理表示角；①用基本不等式求范围；①确定角的取值范围。

二、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。

①定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

①求结果。

①再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。

3）数列的通项、求和问题一、解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。

①求通项公式。

①求数列和通式。

二、构建答题模板①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。

高考数学答题万能公式及解题技巧

S=4pi*r2
圆柱侧面积
S=c*h=2pi*h
圆锥侧面积
S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式
l=a*r
a是圆心角的弧度数r >0
扇形面积公式
s=1/2*l*r
锥体体积公式
V=1/3*S*H
圆锥体体积公式
V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积
V=S'L
注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长
柱体体积公式
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|
-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解
-b+√(b2-4ac)/2a
-b-b+√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系
X1+X2=-b/a
X1*X2=c/a
注：韦达定理
判别式
b2-4a=0
注：方程有相等的两实根
b2-4ac>0
注：方程有一个实根
b2-4ac<0
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注：其中R表示三角形的外接圆半径
余弦定理
b2=a2+c2-2accosB
注：角B是边a和边c的夹角
圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
注：（a,b）是圆心坐标
cos(π+a)=-cos(a)
2.两角和与差的三角函数
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)

高考数学答题万能公式及解题技巧：公式篇

高考数学答题万能公式及解题技巧：公式篇1.诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(π2-a)=cos(a)cos(π2-a)=sin(a)sin(π2+a)=cos(a)cos(π2+a)=-sin(a)sin(π-a)=sin(a)cos(π-a)=-cos(a)sin(π+a)=-sin(a)cos(π+a)=-cos(a)2.两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)3.和差化积公式sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)sin(a)−sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)4.二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(b)cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)5.半角公式sin2(a2)=1-cos(a)2cos2(a2)=1+cos(a)2tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)6.万能公式sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)7.其它公式(推导出来的 )a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=baa⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))21-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2公式分类公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+co sA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱一生受用的数学公式坐标几何一对垂直相交于平面的轴线，可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。

2020年高考数学答题步骤模板

6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
sin( A B) sin C
cos( A B) cos C
利用以上关系和诱导公式可得公式： sin( A C) sin B 和 cos( A C) cos B
sin(B C) sin A
cos(B C) cos A
奇：的奇数倍 2
高考数学解答题常考公式及答题模板
（文理通用）
题型一：解三角形
1、正弦定理： a b c 2R （ R 是 ABC 外接圆的半径） sin A sin B sin C
a 2R sin A 变式①： b 2R sin B
c 2R sin C
sin
A
a 2R
变式②：
sin
B
b 2R
sin C
Sn
a1 2, a2 a4 8
an a1 (n 1)d
a2 a4 (a1 d ) (a1 3d ) 2a1 4d 8
a1 2d 4 d 1
an a1 (n 1)d n 1
a3 am
a1 3d 4 a1 (m 1)d
m
1
a1, a3 , am
9、基本不等式：① ab a b (a,b R ) 2
② ab a b 2 (a,b R ) 2
③ ab a2 b2 (a, b R) 2
注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求 ABC 面积的最大值时。
说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！
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②若已知
an 1 an
q 和 a1
a ，则用等比数列通项公式 an
a1q n1
（2） an 与 Sn 的关系： an
S1 Sn

数列找规律万能公式

数列找规律公式数列找规律用拉格朗日插值.拉格朗日“提出”了这种方法,所谓得插值，就就是“插”“值",就就是指找出一个通过给出离散数据点得函数。

即，数列中给出数据可以表示为在坐标系上得点,x坐标就就是第几项，ｙ坐标就就是该项得值。

比如说，“1 ，３, 7，8, 0，5，9,2，４，６”这个数列可以表示为：在Mａthｅｍatica中用几行简单得代码即可做到：接下来，我们找出这些点都在哪一个函数上面,接着下来把下一项得项数带进去,就得到了下一项得值-—这实际上就就是通项公式!事不宜迟,马上来试一试！首先，我们先来瞧瞧拉格朗日插值公式就是怎么样得：好吧,我知道小学生又瞧不懂了。

那下面我们先试一一个简单得数列：1、8、2７…那下一个就是什么呢？首先,这表示存在一个函数。

当自变量分别为１、2、３时函数值为1、8、27。

于就是我们可以设一个函数：接下来就就是关键得一步了！小学生可以不懂这就是怎么回事。

但有什么问题?考试会用就行了（如果您不介意再解释一下一些其她得问题、、、比如未知数、自变量与分数得运算）.容易瞧到,整个式子就是三项得与，每一个点都有一项.对于每一个单独得点来说，分子就是这一点得函数值乘上ｘ与其她点得自变量得差.而分母就就是该店得自变量与其她点得自变量得差得积。

于就是,一个通项公式就出来了.就是于就是我们迫不及待地把x＝４带进去,得到５8、至此,大功告成。

等等,什么答案写着就是64？别管了，肯定就是盗版书印错答案了。

有什么可能拉格朗日大牛会错呢？什么,我们得规律不对?正确得就是y＝ｘ^３？好得，让我瞧瞧。

嗯…难道就是拉格朗日错了?但就是前面我们得估算也就是没问题得啊.再仔细瞧一下坑爹得高数课本，才发现原来就是我们一直搞错了。

如果我们给得就是ｎ个点，那么拉格朗日给出得函数将会就是(ｎ－1）次得。

这不坑爹吗…用公式之前还得想清楚这个函数就是几次得，而且如果就是更高次数得还没办法加上点去求(更别说斐波那契数列这样得用递归定义得数列了）.这就意味着,就算就是１、2、３、4、5、6…这样得数列,拉格朗日插值法在耗尽您大量得考试时间去求出通项公式以后，还会给出一个超级坑爹得答案！那么这个方法还有什么用！别急，前面得计算都就是为后面做铺垫得。

公务员行测备考万能公式汇总

公务员行测备考万能公式汇总数字推理公式数字运算公式1.分数比例形式整除若a∶b=m∶n（m、n互质），则a是m的倍数，b是n的倍数。

若a＝m/n×b，则a＝m/（m＋n）×（a＋b），即a＋b是m＋n的倍数。

2. 尾数法（1）选项尾数不同，且运算法则为加、减、乘、乘方运算，优先使用尾数进行判定；（2）所需计算数据多，计算复杂时考虑尾数判断快速得到答案。

常用在容斥原理中。

3. 等差数列相关公式和=（首项＋末项）×项数÷2＝平均数×项数＝中位数×项数；项数=（末项－首项）÷项数＋1。

从1开始，连续的n个奇数相加，总和＝n×n，如：1＋3＋5＋7＝4×4＝16，……4.几何边端问题相关公式（1）单边线型植树公式（两头植树）：棵树=总长÷间隔+1，总长=（棵树－1）×间隔；（2）植树不移动公式：在一条路的一侧等距离栽种m棵树，然后要调整为种n 棵树，则不需要移动的树木棵树为：（m－1）与（n－1）的最大公约数＋1棵；（3）单边环型植树公式（环型植树）：棵树=总长÷间隔，总长=棵树×间隔；（4）单边楼间植树公式（两头不植）：棵树=总长÷间隔－1，总长=（棵树+1）×间隔；（5）方阵问题：最外层总人数＝4×（N－1），相邻两层人数相差8人，n阶方阵的总人数为n²。

5-10：行程问题5. 火车过桥核心公式：路程＝桥长＋车长（火车过桥过的不是桥，而是桥长＋车长）；6. 相遇追及问题公式：相遇距离＝（速度1＋速度2）×相遇时间追及距离＝（速度1－速度2）×追及时间；7. 队伍行进问题公式：队首→队尾：队伍长度=（人速＋队伍速度）×时间队尾→队首：队伍长度=（人速－队伍速度）×时间；8. 流水行船问题公式：顺速＝船速＋水速，逆速＝船速－水速；9. 往返相遇问题公式：两岸型两次相遇：S＝3S1－S2，（第一次相遇距离A为S1，第二次相遇距离B为S2）单岸型两次相遇：S＝（3S1＋S2）/2，（第一次相遇距离A为S1，第二次相遇距离A为S2）；左右点出发：第N次迎面相遇，路程和＝（2N－1）×全程；第N次追上相遇，路程差＝（2N－1）×全程。

数学答题模板

模板 3 由数列的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系求通项 an
例 3 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)，等差数列{bn}中，bn>0 (n∈N*)，且 b1＋b2＋b3＝ 15，又 a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3 成等比数列． (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. 审题路线图 (1) an＝Sn－Sn－1 (n≥2) → 消去Sn → 得an＋1＝3an → an＝3n－1
在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.
如果适合，则统一“合写”；如果
又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3 成等比数列，设等差数不适合，则应分段表示．
列{bn}的公差为 d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2. 第四步：写出明确规范的答案．
∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得 d＝－10 或
构建答题模板
模板4 立体几何中的基本关系与基本量问题
例4 如图所示，在四棱锥P—ABCD中， PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1， AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°. (1)求证：PC⊥BC； (2)求点A到平面PBC的距离．审题路线图
规范解答示例
构建答题模板
(1)证明 ∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC. 第一步：根据条件
模板 2 与平面向量综合的三角函数问题例 2 已知向量 a＝(cos 32x，sin 32x)，b＝(－sin x2，－cos x2)，
其中 x∈π2，π. (1)若|a＋b|＝ 3，求 x 的值； (2)函数 f(x)＝a·b＋|a＋b|2，若 c>f(x)恒成立，求实数 c 的取值范围．审题路线图 (1)|a＋b|＝ 3→a2＋2a·b＋b2＝3→三角方程 →求 x. (2)化 f(x)向量表示式为三角表示式→化简 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h→f(x)max→c>f(x)max.

高考数学二轮复习专题32 数列大题解题模板(文)(解析版)

专题32 数列大题解题模板一、递推数列的类型以及求通项方法总结：1、定义法：等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=或d m n a a m n )(-+=。

等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a (01≠⋅q a )或m n m n q a a -⋅=(m n >)2、做差法：由n a 与n S (即)(21n f a a a n =+⋅⋅⋅++)的关系求n a ，⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n S a n nn 。

3、累加法：由)(1n f a a n n =-+求n a ，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=---(2≥n )。

4、累乘法：已知)(1n f a a n n =+求通项n a ，112211a a aa a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅=---(2≥n )。

5、已知递推关系求n a ，用构造法(构造等差、等比数列)：(1)形如)(1n f pa a n n +=+，只需构造数列}{n b ，消去)(n f 带来的差异，)(n f 的形式有： ①)(n f 为常数，即递推公式为q pa a n n +=+1(其中p 、q 均为常数且0)1(≠-p pq )。

解法：先设参转化为)(1λ+=λ++n n a p a ，其中1-=λp q，再利用换元法转化为等比数列求解。

②)(n f 为一次多项式，即递推公式为s n r a p a n n +⋅+⋅=+1。

③)(n f 为n 的二次式，则可设C Bn An a b n n +++=2。

(2)递推公式为n n n q a p a +⋅=+1(其中p 、q 为常数且0)1)(1(≠--q p pq )或n n n q r a p a ⋅+⋅=+1(其中p 、q 、r 为常数)。

解法：一般地要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：qq a q p q a n n n n 111+⋅=++，引入辅助数列}{n b (其中nn n qa b =)，得：q b q p b n n 11+⋅=+，再应用类型(1)的方法解决。

数列答题模板

数列答题模板一、概述在数学学科中，数列是一系列按照特定规律排列的数字的集合。

求解数列问题是数学中常见的一类问题，需要运用数列的性质和规律进行分析和计算。

本文将介绍一种数列答题模板，有助于学生理解和解决数列问题。

二、数列的定义和性质数列是由一系列数字按照一定的次序排列而成的集合。

数列中的每一个数字称为数列的项，用字母表示时通常用$a_n$表示第n个项。

数列根据各项之间的关系，可分为等差数列、等比数列等不同类型。

1. 等差数列等差数列中的每两个相邻的项之差都等于同一个常数$d$，称为公差。

等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$。

2. 等比数列等比数列中的每两个相邻的项之比都等于同一个常数$q$，称为公比。

等比数列的通项公式为$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$。

3. 递推数列递推数列中的每一项都由前面的一项或多项推出，而不是由通项公式直接得出。

递推数列的递推公式给出了各项之间的关系，可用于求解数列中任意一项的值。

三、数列答题模板为了解决数列问题，我们可以采用以下的数列答题模板：1. 题目分析仔细阅读题目，了解所给数列的类型和已知条件。

根据题目中提供的信息，我们可以判断所给数列是等差数列还是等比数列，确定数列的首项和公差（或公比）。

2. 求解问题根据所给的数列类型和已知条件，使用相应的公式或递推公式，求解出数列中的特定项的值。

注意在求解过程中，要将已知条件代入公式，并进行计算。

3. 验证答案将所求的数值代入数列中，验证所求解是否正确。

通过计算数列中的几个连续项，确保所求解符合数列的规律和性质。

4. 提供结论根据题目的要求，给出所求解的答案，并进行合理的解释和说明。

对于数列问题，可以给出具体的数值和相应的数学证明。

四、举例说明为了更好地理解数列答题模板的应用，以下给出一个例题的解答过程：题目：已知等比数列的首项为2，公比为3，求第5项的值。

解答过程：1. 题目分析：根据题目所给信息，确定数列为等比数列，首项$a_1 = 2$，公比$q = 3$。

初一数学上万能公式

初一数学上万能公式 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初一数学上册“万能公式”总结1.关于数轴的公式数轴上任意两点A,B对应的有理数为m，n，则A点与B点之间的距离为：|m-n|或|n-m|例1：数轴上-3与5之间的距离为多少？解：|-3-5|=|-8|=8例2：数轴上A,B两点对应的有理数为m,n，m和n可用含未知数x,y的多项式表示，已知m=-2x2y+3xy+7，n=-2x2y-5xy-13，又有xy ＞0,求A,B两点之间的距离。

解：|（-2x2y+3xy+7）-（-2x2y-5xy-13）|=|-2x2y+3xy+7+2x2y+5xy+13|=|8xy+20|=8xy+202.关于钟表的公式若时间过a分钟，分针走过的角度为6a，时针走过的角度为：a。

2（1）钟表中当时间为a时b分时（a≤12,b＜60）,分针与时针的夹角（0°≤夹角≤360°）为（按顺时针方向为正方向）：11b-30a①当分针走在时针前面时，夹角为：211b②当分针走在时针后面时，夹角为：30a-2例1:求3点40分时，分针与时针的夹角。

解：此时分针走在时针前面，夹角为： 211×40-30×3=220-90=130 例2：求7点15分时，分针与时针的夹角。

解：此时分针走在时针后面，夹角为：30×7-211×15=210-82.5=127.5 （2）拓展：从12点整开始，在每个小时区间内，分针与时针都会重合一次，12个小时内重合11次。

重合的时间点为：a 时（5a+11a 5）分。

例：求在3点与4点之间，分针与时针重合时的时间。

解：5×3+113x 5=15+1115=16114 答：重合时的时间点为：3点16114分3.关于第n 个数的数列规律公式（1）当计算得数列中任意相邻两个数的差（一级差）都相同时，可判断该数列为形如第n 个数为an+b 的数列，此时：a=一级差b=数列中第一个数-a例：有一数列为：1,5,9,13···，求第n 个数。

汇总归纳小学数学中有关等差数列3个最重要的求和、求末项、求项数的万能公式

汇总归纳小学数学中有关等差数列3个最重要的求和、求末项、求项数的万能公式
小学数学中有关等差数列的三个最重要的万能公式是求和、求末项和求项数。

在小学的计算题中，有时候会出现等差数列的问题，比如___巧算从1加到100的结果是多少。

下面介绍
三个重要的公式。

第一个公式是求等差数列的总和，公式为：等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2.比如，求1+2+3+4+5+……+100的总和，可以用这个公式很快算出：（1+100）×（100÷2）
=101×50=5050.练题：求下面的这个等差数列的总和：
10,13,16,19，……61.
第二个公式是求等差数列的末项，公式为：末项=首项+
公差×（项数－1）。

比如，16，21,26,31,36，……，问：这个
数列的第50个数（从16开始）是多少呢？根据公式，很快算出：16＋5×（50－1）＝261.假如，这道题要让你计算这50个
数的总和，可以根据已知的末项261和第一个公式求和公式，很容易算出总和：（16+261）×50÷2＝6925.
第三个公式是求等差数列的项数，公式为：项数=（末项－首项）÷公差＋1.比如，3，9,15,21,27，……1077（最后一个数），这个数列共多少个数？根据这个公式，（1077－3）÷6＋1=180，所以，这个数列共180个数。

数列通项公式的解题模板

数列通项公式的解题模板
【解题方法】
解题方法模板一：法
使用情景：已知
解题模板：第一步利用满足条件，写出当时，的表达式；
第二步利用，求出或者转化为的递推公式的形式；
第三步根据求出，并代入的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据和的递推公式求出．
解题模板应用：
使用情景：型如
解题模板：第一步对递推公式两边取对数转化为；
第二步利用方法五，求出数列的通项公式；
第三步求出数列通项公式．
解题模板应用：
例9若数列{ }中， =3且（n是正整数），求它的通项公式是．
【解析】
解题模板选择：
本题涉及问题，故选取解题方法模板九：构造法六进行解答．
解题模板应用：
第一步，对递推公式两边取对数转化为；
第二步，利用待定系数法，求出的值；
第三步，求数列的通项公式；
第四步，根据数列的通项公式，求出数列通项公式．
练习
23.在数列{an}中，已知，则数列{an}的通项公式an=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______.
解题方法模板八：构造法五
使用情景：型如（其中为常数）
解题模板：第一步将递推公式两边取倒数得；
第二步利用方法五，求出数列的通项公式；
第三步，写出数列的通项公式；
为首项，以2为公比的等比数列，因此，
第四步，写出数列通项公式．
则．
解题方法模板六：构造法三
使用情景：型如（其中为常数，且）
解题模板：第一步在递推公式两边同除以，得；
第二步利用方法四，求数列的通项公式；
第三步写出数列通项公式．

万能公式和数列证明答题模板

万能公式答题模板（亦称为S n 法）必备理论：（整体代换）数列{a n }中，S n ＝3n 2－2n ，则S 1=3－2=1，S n-1＝3（n －1）2－2（n －1）=3n 2－8n+5【题头】数列{a n }中，S n 与a n （或S n 与n ）的关系式形式，求a n 的表达式（通项公式）【模板】当n=1时，a 1=S 1= ∴a 1= 当n ≥2时，a n =S n －S n -1∴a n = －（代题头，自身变换成S n -1）= 化简为最简形式（*）（*）部分经常见到的为四种形式【形式一】∴a 结论答法一：经检验n=1时，满足a n ，∴数列{a n }的通项公式为（#）结论答法二：经检验n=1时，不满足a n ，∴数列{a n }的通项公式为⎩⎨⎧≥=2n #1n 1），（的值，a 【形式二A 】∴a ∴数列{a n }为等差数列，且公差为常数∴a n = a 1+（n －1）⨯公差∴数列{a n }为等比数列，且公比为常数∴a n = a 1⨯公比n-1【形式三】∴a n = A a n-1 +B 或者 --譬如a n = 2a n-1+3∴（a n +常数）= A （a n-1 +常数）常数为1-A B ∴数列{ a n +常数}为等比数列，且公比为A∴a n +常数=( a 1+常数) ⨯ A n-1∴a n =【形式四A 】∴a n = a n-1 + f （n ）【形式四B 】∴a n = f （n ）a n-1譬如a n = a n-1+n （方法：累和法）譬如a n = na n-1 （方法：累积法）∴a 2－a 1= f （2） ∴12a a = f （2） a 3－a 2= f （3） 23a a = f （3） a 4－a 3= f （4）34a a = f （4） …… ……a n －a n-1= f （n ） 1-n n a a = f （n ）将以上各式相加，整理得将以上各式相乘，整理得a n －a 1= f （2）+ f （3）+…+ f （n ） 1a a n = f （2） f （3）… f （n ） ∴a n = ∴a n =证明等差（比）数列模板必备理论：（整体代换）数列{a n }中，a n ＝3n 2－2n ，则a 1=3－2=1，a n-1＝3（n －1）2－2（n －1）=3n 2－8n+5【题头1】数列{a n }中，条件A, 条件B ，条件C ，求证：数列{b n }是等差（比）数列【模板说明】由定义出发，倒序法进行证明，即证明1≥n ，b n+1－b n =常数或证明2≥n ，b n －b n-1=常数，通过逆推：条件C,条件B,条件A, 得到常数，即证明等差（比）数列【模板】自身替换是指，将n 换成n+1，或n 换成n-1（1）等差数列b n+1－b n = 自身代换－代入题头 = 不动－代入题头 =常数，结论（抄题）如果化简困难：代入n=1，求解常数（2）等差数列b n －b n-1= 代入题头－自身代换 = 代入题头－不动 =常数，结论（抄题）如果化简困难：代入n=2，求解常数（3）等比数列n n b b 1+=常数代入题头不动代入题头自身代换==，结论（抄题）（4）等比数列1-n n b b =常数不动代入题头自身代换代入题头==，结论（抄题）【样题】．数列{}n a 满足11a =，()13232n n a a n n -=+-≥，n a b n n +=，求证：数列{b n }是等比数列【分析】由于出现的为n 和n-1，所以采用（4）完成模版证明证明：1-n n b b =31-3231-1-11-=++-+=++-）（）（n a n n a n a n a n n n n ，∴数列{b n }是等比数列温馨提示：如果常数你化不出来，可以代入n=2，利用a1进行求解常数【练习1】数列{}n a 满足15a =，()*123n n n a a n N +=+∈，n n n a b 3-=求证：数列{b n }是等比数列【练习2】数列{}n a 满足11a =，()1222n n n a a n -=+≥，求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；【题头2】数列{a n }中，S n 与a n （或S n 与n ）的关系式形式，求证：数列{a n }是等差数列【模板】万能公式法（也叫作S n 法）当n=1时，a 1=S 1= ∴a 1=当n ≥2时，a n =S n －S n -1∴a n = －（代题头，自身变换成S n -1），∴ 化简（会出现两种情况）【形式A 】∴a n = a n-1 +∴数列{a n }为等差数列，【形式二B 】∴a n+1=常数∴数列{a n }为等比数列，【样题】．数列{}n a 的前n 项和n S ，且()131-=n n a S ,证明数列{}n a 等比数列证明：当n=1时，a 1=S 1= ()1311-a ∴a 1=21------(1分) 当n ≥2时，a n =S n －S n -1 -----(1分)∴a n = ()131-n a －()1311--n a ∴212111-=∴-=--n n n n a a a a -----(2分) ∴ 数列{}n a 等比数列-----(1分) 且公比为21-∴a n = 21-⨯（21-）n-1 =（21-）n -----(1分) 【练习1】数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，正整数n 对应的n n S a n ,,成等差数列. 证明{}2++n S n 成等比数列【练习2】数列{}n a ，n S 是它的前n 项和，且()*142n n S a n N +=+∈，11a = （Ⅰ）设()*12n n n b a a n N +=-∈，求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）设2n n na c =，求证：数列{}n c 是等差数列；【练习3】数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S ，求证：数列{}n a 是等差数列【练习4】数列{}n a 中，15,a =*15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．【练习5】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. 证明数列{}n a 是等差数列．并求{}n a 的通项公式；【练习6】已知数列{}n a ,n a ＞0，2n n a a +=43n S +,证明数列{}n a 是等差数列万能险产品知识测验（1）姓名___________ 机构_____________一、单选题（共20题，每题2.5分）1.智悦人生万能险（A）结算一次保单利息，（）收取一次保障成本。

差比数列求和万能公式

通项公式设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,记αn=anbn,称数列{αn}为差比数列或一次差比数列据等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d,等比数列通项公式：bn=b1qn-1,从而差比数列{αn}的通项公式：αn=[a1+(n-1)d]b1qn-1 求和公式差比数列An=BnCn，其中等差数列｛Bn｝＝｛1，2，3……（n－2），（n －1），n｝，等比数列｛Cn｝＝｛a1，a2，a3……an－2，an－1，an｝。

Sn=1a1+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）在（1）的左右两边同时乘上a。

得到等式（2）如下：aS=1a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）用（1）—（2），得到等式（3）如下：（1-a）S=1a1+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）（1-a）S=1a1+a2+a3+……+an-1+an-nan+1最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到Sn的求和公式了。

差比数列求和公式的内容：题目：求数列的前项和。

公式：结构分析：。

此公式看似复杂，实际上结构简单。

仅需对结构配上4个系数即可。

而且系数结构也很类似，分别为。

差比数列求和公式的证明：证明：…………①则………②，得证。

差比数列求和公式的应用举例：举例：求数列的前项和。

解：，由，，由，差比数列求和公式的意义：学生在利用错位相减法进行差比数列求和时，往往只会前几步，不能整理出最终结果。

此公式书写方便，可以无缝嵌入到学生的错位相减求和方法中，以解决学生利用错位相减法求差比数列前n项和的计算瓶颈。

差比数列求和万能公式

差比数列：差比数列，高等数学术语，就是由成倍递增的一组数所组成的数列。

一、定义{cn}，cn=an·bn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列,那么这个数列就叫做差比数列.由差比数列的定义可知，等差数列即当bn公比为1时差比数列的特殊形式，等比数列即当an公差为0时差比数列的特殊形式.差比数列求和万能公式:一：裂项求和法在未搬家之前，我曾经写过此法的文章。

下面就以最简洁的方式描述。

注意f(n)在形式上和an一样，都是一次函数与指数函数的乘积，且指数函数部分与原来一样。

接下来，你可以采用特殊值法或是待定系数法求r和s。

对应系数相等即可求出r和s，进而通过裂项求和法求解，且此法还不用讨论n=1的情况。

二：错位相减法的另一版本①-②既得Sn的解，因为中间的全都消掉了。

这种方法本质上仍然是错位相减法。

只是因为错位相减法本身相减的时候无法把中间消掉，留下一个等比数列求和，而此法是先把该等比数列减掉，以便中间能够直接去掉。

三：导数法此法是建立在如下一个认识上：任何一个差比型数列求和最终都可以归结为具有的前n项和。

这里故意留成n+1而不是n，就是为了导数的应用做准备。

差比数列是由一个等差数列和一个等比数列相乘得到的新数列，其求和是高中数学常考内容。

但学生在利用错位相减法进行差比数列求和时，往往只能写出前几步，整理不出最终结果。

差比数列求和公式由优秀老师推导并解释结构，可以解决学生利用错位相减法求差比数列前n项和的计算瓶颈。

该公式的另一个优点就是可以无缝融入到学生解题过程中，使解题过程看不出公式痕迹。