万能公式和数列证明答题模板

万能公式答题模板（亦称为S n 法）

必备理论：（整体代换）

数列{a n }中，S n ＝3n 2－2n ，则S 1=3－2=1，S n-1＝3（n －1）2－2（n －1）=3n 2－8n+5

【题头】数列{a n }中，S n 与a n （或S n 与n ）的关系式形式，求a n 的表达式（通项公式）

【模板】

当n=1时，a 1=S 1= ∴a 1= 当n ≥2时，a n =S n －S n -1

∴a n = － （代题头，自身变换成S n -1）= 化简为最简形式（*）

（*）部分经常见到的为四种形式

【形式一】∴a 结论答法一：经检验n=1时，满足a n ，∴数列{a n }的通项公式为（#）

结论答法二：经检验n=1时，不满足a n ，∴数列{a n }的通项公式为⎩⎨

⎧≥=2n #1n 1），（的值，a 【形式二A 】∴a ∴数列{a n }为等差数列，且公差为常数

∴a n = a 1+（n －1）⨯公差

∴数列{a n }为等比数列，且公比为常数

∴a n = a 1⨯公比n-1

【形式三】∴a n = A a n-1 +B 或者 --譬如a n = 2a n-1+3

∴（a n +常数）= A （a n-1 +常数） 常数为1

-A B ∴数列{ a n +常数}为等比数列，且公比为A

∴a n +常数=( a 1+常数) ⨯ A n-1∴a n =

【形式四A 】∴a n = a n-1 + f （n ） 【形式四B 】∴a n = f （n ）a n-1

譬如a n = a n-1+n （方法：累和法） 譬如a n = na n-1 （方法：累积法）

∴a 2－a 1= f （2） ∴1

2a a = f （2） a 3－a 2= f （3） 2

3a a = f （3） a 4－a 3= f （4）

34a a = f （4） …… ……

a n －a n-1= f （n ） 1

-n n a a = f （n ） 将以上各式相加，整理得 将以上各式相乘，整理得

a n －a 1= f （2）+ f （3）+…+ f （n ） 1

a a n = f （2） f （3）… f （n ） ∴a n = ∴a n =

证明等差（比）数列模板

必备理论：（整体代换）

数列{a n }中，a n ＝3n 2－2n ，则a 1=3－2=1，a n-1＝3（n －1）2－2（n －1）=3n 2－8n+5

【题头1】数列{a n }中， 条件A, 条件B ，条件C ，求证：数列{b n }是等差（比）数列

【模板说明】由定义出发，倒序法进行证明，即证明1≥n ，b n+1－b n =常数 或

证明2≥n ，b n －b n-1=常数，通过逆推：条件C,条件B,条件A, 得到常数，即证明等差（比）数列

【模板】自身替换是指，将n 换成n+1，或n 换成n-1

（1）等差数列b n+1－b n = 自身代换 － 代入题头 = 不动 － 代入题头 =常数，结论（抄题）

如果化简困难：代入n=1，求解常数

（2）等差数列b n －b n-1= 代入题头 － 自身代换 = 代入题头 － 不动 =常数，结论（抄题）

如果化简困难：代入n=2，求解常数

（3）等比数列n n b b 1+=常数代入题头

不动代入题头自身代换==，结论（抄题） （4）等比数列

1-n n b b =常数不动代入题头自身代换代入题头==，结论（抄题） 【样题】．数列{}n a 满足11a =，()13232n n a a n n -=+-≥，n a b n n +=，求证：数列{b n }是等比数列

【分析】由于出现的为n 和n-1，所以采用（4）完成模版证明 证明：1-n n b b =31-3231-1-11-=++-+=++-）

（）（n a n n a n a n a n n n n ，∴数列{b n }是等比数列 温馨提示：如果常数你化不出来，可以代入n=2，利用a1进行求解常数

【练习1】数列{}n a 满足15a =，()

*123n n n a a n N +=+∈，n n n a b 3-=求证：数列{b n }是等比数列

【练习2】数列{}n a 满足11a =，()1222n n n a a n -=+≥，求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是等差数列；

【题头2】数列{a n }中，S n 与a n （或S n 与n ）的关系式形式，求证：数列{a n }是等差数列

【模板】万能公式法（也叫作S n 法）

当n=1时，a 1=S 1= ∴a 1=

当n ≥2时，a n =S n －S n -1

∴a n = － （代题头，自身变换成S n -1），∴ 化简 （会出现两种情况）

【形式A 】∴a n = a n-1 +

∴数列{a n }为等差数列， 【形式二B 】∴a n+1=常数∴数列{a n }为等比数列，

【样题】．数列{}n a 的前n 项和n S ，且()13

1-=n n a S ,证明数列{}n a 等比数列 证明： 当n=1时，a 1=S 1= ()1311-a ∴a 1=2

1------(1分) 当n ≥2时，a n =S n －S n -1 -----(1分)

∴a n = ()13

1-n a －()1311--n a ∴212111-=∴-=--n n n n a a a a -----(2分) ∴ 数列{}n a 等比数列-----(1分) 且公比为21-

∴a n = 21-⨯（21-）n-1 =（21-）n -----(1分) 【练习1】数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，正整数n 对应的n n S a n ,,成等差数列. 证明{}2++n S n 成等比数列

【练习2】数列{}n a ，n S 是它的前n 项和，且()*142n n S a n N +=+∈，11a =

（Ⅰ）设()*12n n n b a a n N +=-∈，求证：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）设2n n n a c =

，求证：数列{}n c 是等差数列；

【练习3】数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2

1-++=

n n a n S ，求证：数列{}n a 是等差数列

【练习4】数列{}n a 中，15,a =*15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．

【练习5】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. 证明数列{}n a 是等差数列．并求{}n a 的通项公式；

【练习6】已知数列{}n a ,n a ＞0，2n n a a +=错误!未找到引用源。,证明数列{}n a 是等差数列