谱密度PPT

解 R X ( ) 5 2 e 3| | 2 e 3| | c o s 4
S X ( ) F (R X )( )
5F (1)( ) 2F ( e 3| | )( ) 2F ( e 3| | c o s 4 )( )
10 ()
2. 谱密度的物理意义
谱密度的概念来源于无线电技术. 在数学上, 它是平稳过程的相关函数的 Fourier 变换. 在物理上, 处理信号需要功率谱密度的概念. 如果一个随机信号是数学上的平稳过程, 则对其可模仿 物理中的情形定义其功率谱密度, 那么
该平稳过程的谱密度=功率谱密度 换句话说, 谱密度在物理中就是功率谱密度.
T x 2 (t )dt lim 1
T
T 4 T

2
Fx ( ,T ) d
1
2

lim
1
T 2T
2
Fx ( ,T ) d
1

lim
1
2
T e jt x(t )dt d
2 T 2T T
记
S
x
(
4

1 2

4

(
1 2
)
2
RX
(
)

5 48
F
1
[
4

3 2
] 3 F
2

4

(
3 2
)2
16
1
[
4

1 2
]
2

4

(
1 2
)2
5 e3 3 e
48
16
因
RX
(0)

7 24
故平均功率为 7 . 24
例 2. 已知平稳过程的相关函数
RX ( ) 5 4e3 (cos2 2 ) 求其谱密度.

e jt xT
(t)dt

T e jt x(t)dt
T
由Parseval等式

xT (t)2 dt

1
2

|

Fx ( ,T
)
|2
d,
即
T x(t)2 dt 1
T
2

|

Fx ( ,T
)
|2
d.

lim 1 T 2T
n
f (z)dz 2 j Res[ f (z), zk ]
C
k 1
Fourier变换的性质
● 线性性质 F [ f1(t) f2 (t)] F [ f1(t)] F [ f2(t)] ● 位移性质 F [ f (t t0 )] e jt0 F [ f (t)] ● 微分性质 F [ f (n) (t)] ( j)n F [ f (t)] 注: Fourier 逆变换显然也具有上述三条性质.
T T
e
j (t s)
RX
(t

s)dsdt
(令
u t s

v

t

) s

2T 2T
(1

|u | 2T
)e

ju
R
X
(u
)du


e

ju
R
T X
(u
)du
(令
R
T X
(
)

（ 1

2T
)RX
(
)

0
2T ,
2T
则
lim
T
FX (,T )
T e jt X (t)dt,
T
FY (,T )
T e jtY (t)dt
T
说明
互谱密度没有明确的物理意义, 引入它主要是为了能在 频率域上描述两个平稳过程的相关性.
定理 2 (互谱密度的性质)
(1) SXY () SYX () ( R XY ( ) RYX ( ) )
例 1. 已知平稳过程的功率谱密度为
SX
()


4
2 4 10 2
9
求其相关函数与平均功率.
解 可以用两种方法求相关函数, 其一用留数定理算广义
积分得出相关函数, 其二利用特殊函数的 Fourier 变换.
法一:
RX
(
)

1
2

e
j
S
X
()d
1 e j
证
SX ()
lim T
1 2T
E[|
T e jwt X (t)dt|2 ]
T
SX ()为非负实函数. 若过程是实的, 有RX ( ) RX ( )
SX ()

e
j
RX
(
)d


e
j
RX
(
)d


e
j(
● 工程实际中, 总能量有限的信号 x(t) 称为能量型信号, 即
此时称
x(t)2 dt , 1 T x(t )2 dt
2T T
为该信号在 [-T, T] 上的平均功率; 而称
lim 1 T x(t ) 2 dt
T 2T T
为该信号在 R 上的平均功率, 简称平均功率.
的平稳过程, 则SXY(ω)的实部为偶函数, 虚部为奇 函数.
事实上
SX（Y ）

e
j
RXY
(
)d


RXY ( )cosd j RXY ( )sind.
(2) RXY ( )和SXY ()是一对Fourier变换.
SX（Y ）

e j
RXY
(
)d
,





RXY
(
)

1
2

e
j
S
X（Y ）d,




(3) 若X {X (t) : t R}, Y {Y(t) : t R} 是实联合平稳
第二式说明功率谱密度的零频率分量等于相关函数 曲线下的总面积.
谱密度的计算 ● 广义积分----可利用复变函数中的留数定理 ● 利用已知的基本公式和 Fourier 变换的性质等
留数定理 函数f (z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2,..., zn外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条 正向简单闭曲线，则

1
2
Fx ()ejtd]dt
1
2

[Fx ()
x(t)ejtdt]d

1
2

2
| Fx () | d
(Fx()
x(t)ejtdt)

即
x2 (t)dt 1

2

2
Fx ( ) d
首先用 Fourier 变换给出确定性信号的能谱密度, 功率谱 密度, 及能量和平均功率的谱表达式;
然后定义平稳过程的功率谱密度, 并证明它等于过程的谱 密度!
最后讨论谱密度和互谱秘密的性质和计算.
设有确定性信号 x ={x(t): t ∈R}在区间 (-∞,+ ∞) 上平方 可积, 则 x(t) 的 Fourier 变换存在 (或说 x(t) 具有频谱).
e j
RXY
(
)d
,





为平稳过程 X 和 Y 的互谱密度.
定理 1 设X {X (t) :t R} ,Y {Y(t) : t R} 是联合平稳
的平稳过程, 如果互相关函数绝对可积, 则
其中
S XY
( )

lim
T
1 2T
E[ FX
( ,T )FY
( ,T )]
注: 对能量型信号, 其平均功率为零.
● 另一类信号x(t), 其能量是无限的, 即
x(t)2 dt ,
但平均功率有限, 即
P lim 1 T x (t ) 2 dt , T 2T T
称这样的信号为功率型信号. 周期信号就是常见的功率信 号.
接下来• • • • • •
)
RX
(
)d
S（X -）
S（X -） S（X ）
以下总假设所讨论平稳过程的相关函数绝对可积.
定理 2
RX
(0)

1
2

S（X ）d
S（X 0）

RX ( )d
说明 以上是 0， 0时,两对特殊的Fourier变换.
第一式说明功率谱密度曲线下的总面积(即平均功率) 等于平稳过程的均方值的 2π 倍. 或者说 平稳过程的 均方值等于功率谱密度关于频率 ω/(2π)的积分.
RXT
(
)

RX
(
)
)

lim
T

e

j
u
R
T X
(u )du


e ju R X
(u )du

S
X
( )
即
S
X
(
)

lim
T
1 2T
E[|
T e jt X (t)dt|2 ]
T
3. 谱密度的性质和计算
定理 相关函数绝对可积的平稳过程, 其谱密度 是非负实函数; 若进一步过程是实值的, 则其谱 密度是非负实偶函数.
16 j 48j
16 48
Res(
2 4
e j , j) lim ( j)
2 4
e j 3 e
( 2 9)( 2 1)
j
( 2 9)( 2 1)
16 j
Res(
(
2
2 4 9)( 2
1)
e j
,
3 j)

lim(
j

3
j)
(
2
2 4 9)( 2
1)
e
j

5 e3 48 j
法二:
利用已知的
Fourier
变换
F
(e 2 | | )( )

4 4 2 2
S
X
(
)

5 8

1 2
9

3 8

1 2
1

5 8

1 6

2
4

3 2

4

(
3 2
)2

3 8
1 2

2
2 4
d
2 (2 9)( 2 1)
1 2 j[Res( 2 4 ej , j)
2
(2 9)( 2 1)

Res( ( 2
Leabharlann Baidu
2 4 9)( 2
1)
e j
, 3 j)]
j( 3 e 5 e3 ) 3 e 5 e3
P lim 1 T x(t ) 2 dt. T 2T T
为了能利用 Fourier 变换给出平均功率的谱表达式, 我们 构造一个截尾函数:
令
x(t), xT (t) 0,
|t|T |t|T
则 xT (t) 平方可积，存在 Fourier 变换以及逆变换
Fx (,T )
9
12

22[
9

3
(
4)2

3
9 (
4)2
].
4. 互谱密度及其性质
定义 设 X {X (t) :t R} , Y {Y(t) : t R} 是联合平稳
的平稳过程, 如果互相关函数绝对可积, 即
则称

RXY ( ) d
SX（Y ）

T e jt X (t)dt
T
称 lim E[ 1 T X 2(t)dt] 过程的平均功率. T 2T T
定理 设 X {X (t) :t R} 是平稳过程, 若RX(τ) 绝对 可积, 则过程 X 的谱密度就是功率谱密度, 即
SX ()
lim T
1 2T
W
x(t)2 dt 1

2

|

Fx ( )
|2
d,
此处 Fx () F (x)().
定义 设X {X (t) :t R} 是平稳过程, 则称
lim
1
E[|
T
2
e jt X (t)dt | ]
T 2T
T
为平稳过程的功率谱密度; 并记
FX (,T )
(Parseval等式)
即
x 2 (t )dt 1

2

2
Fx ( ) d
左边为x(t)在(-,+)上的总能量
右边的被积式 Fx () 2 称为信号x(t)的能谱密度.
于是, 信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分.
上式也称为总能量的谱表达式.
由于实际中很多信号(函数)的总能量是无限的, 所以通 常研究 x(t) 在 R上的平均功率, 即
)
:
lim
T
1 2T
Fx
( ,T
)
2

lim
T
1 2T
T
2
e jt x(t)dt
T
称 Sx() 为确定性信号x(t)在 处的功率谱密度.
从而有平均功率的谱表达式
P lim 1 T 2T
T x(t)2 dt 1
T
2

S x ( )d .
前面证得能量的谱表达式
E[|
T e jt X (t)dt|2 ]
T

lim
T
1 2T
E[
FX
( ,T )
2]
证
1 E[| T e jt X (t)dt|2 ] 2T T
1 E[ T e js X (s)ds T e jt X (t)dt]
2T T
T
1 2T
T T
Fx () :F (x)()
x(t)e jt dt

反演公式
x(t ) 1
2

Fx
(
)e
jt
d
(假设逆变换存在)
记 W x2(t)dt 为x(t)在(-,+)上的总能量
则
W
x2 (t)dt


x(t)[