高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》技巧及练习题附答案

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料

一、选择题

1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛

⎫=++<< ⎪+++-⎝

⎭的最小值为

（ ） A

B

C

D

【答案】B 【解析】 【分析】

利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】

2

2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos

1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222

x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x +++-+++=

++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x

x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫

++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=

+=⎛⎫⎛⎫

++ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛

⎫=

+<< ⎪⎝

⎭， 322222

21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '

'

'

--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

. 令()cos 0,1t x =∈，()

32

61g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭

， 所以当03

x π

<<时，

()1

1,02

t g t <<<，从而()'0f x <； 当

3

2

x π

π

<<

时，()1

0,02

t g t <<

>，从而()'0f x >. 故(

)min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭

. 故选：A 【点睛】

本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.

2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，

0AB BC ⋅>

，2

a =

，则b c +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

B

．322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

C ．13,22⎛⎫

⎪⎝⎭

D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦

【答案】B 【解析】 【分析】

利用余弦定理222

cos 2b c a A bc

+-=，可得3A π=，由

|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->，可得B

为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解

【详解】

由余弦定理有：222

cos 2b c a A bc

+-=，又222b c a bc +-=

故2221

cos 222

b c a bc A bc bc +-===

又A 为三角形的内角，故3

A π

=

又2

a

=sin sin sin(120)o

b c c B C B ==

- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅-> 故cos 0B B <∴为钝角

3sin sin(120)sin 30)2o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+

(90,120)o o B ∈，可得

130(120150)sin(30)(2o o o o B B +∈∴+∈，

330))2

o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】

本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题

3．已知函数f （x ）＝2x －1

，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩

（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋

∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（）

A ．1,

2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭

B ．2,3⎛⎫+∞

⎪⎝⎭

C ．[]1,

1,22⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭

D ．371,,22

4⎡⎤⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎣⎦⎣⎦

【答案】C 【解析】 【分析】

对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】

当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =2

2(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],

因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a , 所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜

1

2

，即a ＜0. 当a ＞0时，y =2

2(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2], 当a ≥

2

3时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨

+≥⎩

. 当0＜a ＜

23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜1

2

. 综合得a 的范围为a ＜1

2

或1≤a ≤2， 故选C . 【点睛】

本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

4．在△ABC 中，7b =，5c =，3

B π

∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4

C ．7

D ．8

【答案】D 【解析】 【分析】

根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值.