《数据结构》绪论

寄存器读写（赋值）、四则运算、比较、goto、call、return ❖ 为什么采用RAM模型？ 一般计算平台的简化与抽象，据运行时间可衡
量算法效率//为什么？ 使我们可以独立于具体的平台，对算法的效
率进行比较与评判 算法的运行时间 算法需要执行的基本操作次数 于是 T(n) = 算法在 RAM 中为求解规模为 n 问题所需的基本操作次数
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存储、组织、传递和转换数据
掌握各类数据结构功能、表示、实现和基本操作接口 理解各类（基本）算法与不同数据结构之间的内在联系 了解各类数据结构适用的应用背景 灵活地选用各类（基本）算 法及对应的数据结构，解决实际问题
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for (i = 0; i < n; i += n/2010); for (i = n; i > 2010; i = log(i)); if (1+1 != 2) goto UNREACHABLE;
/* log*n */
➢ 一定不含分支转向？
➢ 一定不能有（递归）调用？ ➢ 全是顺序执行即可？ ➢ ...
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渐进分析
❖ 其它记号 T(n) = (f(n))： c > 0，当n ≫ 2后，T(n) > c f(n) T(n) = (f(n))： c1>c2>0，当n ≫ 2后，c1f(n) > T(n) > c2f(n) O T(n)
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f(n)
0
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//尺规机、绳索机、图灵机、...
❖ 所谓算法，即特定计算模型下，旨在解决特定问题的指令序列 输入 输出 待处理的信息（问题） 经处理的信息（答案）
正确性
确定性 可行性 有穷性 ...
的确可以解决指定的问题
任一算法都可以描述为一个由基本操作组成的序列 每一基本操作都可实现，且在常数时间内完成 对于任何输入，经有穷次基本操作，都可以得到输出 ...
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B' D' C' C D B
经C'做B'B的平行线，交AB于C
//三等分角 / 倍方 / ...
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计算机与算法
❖ 计算 = 信息处理 ❖ 计算模型 = 计算机 = 信息处理工具
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算法 vs. 计算效率
❖ 同一问题，通常有多种算法
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//如何评判其优劣？
❖ 实验统计是最直接的方法，但足以准确反映算法的真正效率？ ❖ 不足够！ 不同的算法，可能更适应于不同规模的输入 不同的算法， 可能更适应于不同类型的输入 同一算法，可能由不同人、
规模接近，计算成本也接近 规模扩大，计算成本通常 呈上升趋势
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问题规模 vs. 计算成本
❖ 令TA(n) = 用算法 A 求解某一问题规模为 n 的实例，所需的计算成本 //讨论特定算法A（及其对应的问题）时，简记作T(n) ❖ 但是，这一定义似乎仍有问题 ... ❖ 同一问题等规模的不同实例，计算成本不尽相同，甚至有实质差别 ❖ 例如： 在 n 个平面点中，找到所成三角形面积最小的三个点 通常，要枚举所有C(n,3)种组合 但运气好的话 ... ❖ 既然如此，又该如何定义 T(n) 呢？ ❖ 保险起见，还是取 T(n) = max(T(P) | |P| = n}
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数据结构：内容纵览
❖ 各数据结构的ADT接口及其不同实现
序列（向量、列表） 堆） 树（着重于平衡二分查找树） 优先队列（ 字典（散列表） 图、相关算法及应用
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❖ 构造有效算法模块的常用技巧
顺序、二分查找 模式匹配 排序与选取 散列 遍历 几何查找
❖ 典型的算法设计策略与模式
迭代、贪心 试探
算法分析
❖ 两个主要方面
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正确性： 算法功能与问题要求一致？ //数学证明？可不那么简单... 成本： 运行时间 + 所需存储空间 //如何度量？如何比较？
❖ 考察：TA(P) = 算法A求解问题实例P的计算成本 意义不大，毕竟...可能 出现的问题实例太多 //如何归纳概括？
❖ 观察：问题实例的规模，往往是决定计算成本的主要因素
n
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O(1)
❖ 常数（constant function） 2 = 2010 = 2010*2010 = 20102010 = O(1) ❖ 这类算法的效率最高 ❖ 什么样的代码段对应于常数执行时间？
➢ 一定不含循环？
//以及所有RAM基本操作 //总不能奢望不劳而获吧 //应具体分析
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O(logcn)
❖ 对数 O(logn)：lnn | lgn | log100n | log2010n ❖ 常底数无所谓
常数 a, b > 0，lna / lnb = logab = O(1) n > 0 都有 logan = logab logbn = O(logbn)，反之亦然
//为何不注明底数？
❖ 常数次幂无所谓
常数 c > 0，log(nc) = c logn = O(logn)
❖ 对数多项式（ploy‐log function）：123*log321n + log105(n2‐n+1) ❖ 这类算法非常有效 复 杂度无限接近于常数 //为什么？
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//注意与参考书的差别
不考虑时间复杂度 与时间复杂度密切相关
操作&语义 完整的算法 不涉及数据的存储 要考虑数据的具体存储
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0. 绪论
(c) 大O记号
❖ 线性（linear function）：所有O(n)类函数
❖ 幂：sqrt(n2010 ‐ 24n2009 + 512n2008 + ... + 1978) = O(n1005) ❖ 这类算法的效率通常认为已可令人满意，然而... 这个标准是否太低了？ //P难度！
用不同语言、经不同编译器实现 同一算法，可能实现并运
行于不同的体系结构、操作系统 ... ❖ 为给出客观的评判，需要一个理想的平台或模型 不依赖于人或具体的（高级）程序语言等因素 从而直接而准确地描述算法
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//通常可不考虑，为什么？来自百度文库
❖ 性质： 常系数可忽略：O(f(n)) = O(c f(n)) 低次项可忽略：O(na + nb) = O(na), a > b > 0
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数据结构：为何要学？学什么？学习目标？
❖ 数据结构 在计算机相关专业课程体系中，一直处于核心位置 是计算机科学的重要组成部分 是设计与实现高效 算法的基石 ❖ 讲授范围 各类数据结构设计和实现的基本原理与方法 算法设计和分析的主要技巧与工具 ❖ 学习数据结构，就是要学会 高效地利用计算机，有效地
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RAM
❖ Random Access Machine (J. Sheperdson & H. Sturgis, 1963) //源自冯∙诺依曼体系结构（1945），等价于通用图灵机 寄存器顺序编号，总数没有限制 每一基本操作仅需常数时间： //但愿如此 //循环及子程序本身非基本操作
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什么是好的算法
❖ 正确： 符合语法，能够编译、链接 能够正确处理简单的输入 能 够正确处理大规模的输入 能 够正确处理一般性的输入 能 够正确处理退化的输入 能够 正确处理任意合法的输入 ❖ 健壮： 能辨别不合法的输入并做适当处理，而不致于非正常退出 ❖ 可读： 结构化 + 准确命名 + 注释 + ... ❖ 效率： 速度尽可能快；存储空间尽可能少
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5. ......
❖ 这里的计算机是什么？
l
A
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它能够解决什么问题？不能解决什么问题？
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尺规计算机及其算法
❖ 输入：平面上任一线段AB 输出：将AB三等分 ❖ 算法 从A发出一条与AB不重合的射线 在上取AC' = C'D' = D'B' 联接B'B 经D'做B'B的平行线， 交AB于D A ❖ 这里的计算机是什么？ 它能够解决什么问 题？不能解决什么问题？ ❖ 子程序：过直线外一点，做平行线
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O(nc)
❖ 多项式（polynomial function）
➢ 100n + 200 = O(n) ➢ (100n ‐ 500)(20n2 ‐ 300n + 2010) = O(n n2) = O(n3) ➢ (2010n2 ‐ 20)/(1999n ‐ 1) = O(n2/n) = O(n) ➢ 一般地：aknk + ak‐1nk‐1 + ... + a1n + a0 = O(nk), ak > 0
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渐进分析
❖ 回到原先的问题：随着问题规模的增长，计算成本如何增长？ 注意：这里更关心足够大的问题，注重考察成本的增长趋势 ❖ 渐进分析：在问题规模足够大后，计算成本如何增长？ Asymptotic analysis：当n ≫ 2后，对于规模为n输入，算 法 需执行的基本操作次数 T(n) = ? 需占用的存储单元数 ❖ 大O记号（big‐O notation） // T(n) = O(f(n)) iff c > 0，当n ≫ 2后，T(n) < c f(n) 与T(n)相比，f(n)更为简洁，但依然反映前者的增长趋势 S(n) = ?
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0. 绪论
(b) 概述
绳索计算机及其算法
❖ 问题 输入：任给直线l及其上一点A 输出：经过A做l的一条垂线 ❖ 算法 //2000 B.C.，埃及人
1. 取12段等长的绳索，首尾联接成环 2. 从A点起，将4段绳索沿l抻直，固定 3. 沿另一方向找到第3段绳索的终点 4. 移动该点，将其它8段绳索抻直
、剪枝、回溯
递归、分治、减治
动态规划
❖ 基本的复杂度分析方法
渐进分析与相关记号 递推关系、递归跟踪、分摊分析
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抽象数据类型与数据结构
❖ ADT = 数据模型 + 定义在该模型上的一组操作 只确定一组 外部逻辑特性，不涉及内部具体的表示与实现 建立起从 算法设计到具体实现的桥梁 每种操作只需实现一次，缩 短例程篇幅，提高软件复用度 信息隐蔽和数据封装，使 用与实现相分离 ❖ 数据结构：基于某种特定语言，实现ADT的一整套算法 三元组/triplet ：ADT、类型实现、算法实现 ❖ 区别与联系 抽象定义 具体实现 一种定义 多种实现