图像处理中的正交变换87页PPT
数字图像处理实验4 图象处理中的正交变换
实验4 图象处理中的正交变换——频域处理一．实验目的：1．掌握二维快速傅里叶变换（FFT）的实现，对频谱图像可视化操作。
2．了解频域滤波的内容，学会如何在频域中直接生成滤波器，包括平滑频域滤波器——低通滤波器、锐化频域滤波器——高通滤波器，并利用生成的滤波器对输入图像进行频域处理。
3．掌握绘制三维可视化滤波器图形的方法。
二．实验内容：1．实现二维快速傅里叶变换，以图像形式显示傅里叶频谱。
2．利用已给出的自定义的M函数，建立频域滤波器的传递函数H(u, v)3．绘制滤波器传递函数H(u, v)三维图形，并以图像形式显示滤波器。
4．对输入图像进行频域滤波处理。
三．实验原理：1．快速傅里叶变换FFT的实现一个大小为M×N的图像矩阵f的快速傅里叶变换FFT可以通过MATLAB 函数fft2获得，其简单语法：F = fft2(f)该函数返回一个大小仍为M×N的傅里叶变换，数据排列如图4.2(a)所示；即数据的原点在左上角，而四个四分之一周期交汇于频率矩形的中心。
傅里叶频谱可以使用函数abs来获得，语法为：S = abs(F)该函数计算数组的每一个元素的幅度，也就是实部和虚部平方和的平方根，即若某个元素为F = a +bj，则S=。
通过显示频谱的图像进行可视化分析是频域处理的一个重要方面。
例如，对图4.3(a)所示的图像f (image.bmp)我们计算它的傅里叶变换并显示其频谱：>> F = fft(f)>> S = abs(F)>> imshow(S, [ ])图 4.3(b)显示了结果，图像四个角上的亮点就是四个四分之一周期的中心点。
函数fftshift将变换的原点移动到频率矩形的中心，语法为：Fc = fftshift(F)F是用fft2得到的傅里叶变换，即图4.2(a)，而Fc是已居中的变换，即图4.2(b)。
键入命令：>> Fc = fftshift(F)>> Sc = abs(Fc)>>figure, imshow(Sc, [ ])将产生图4.3(c)所示的图像，居中后的结果在该图像中是很明显的。
图像的正交变换
图像的正交变换1、二维傅立叶变换一维时间信号，可以看作是由多个单一频率的正弦信号叠加而成的，表达组成信号的每个正弦信号的频率及其幅值的空间称为频率域。
信号在时间域与频率域之间通过傅立叶变换与逆变换进行转换。
求时间信号在频率轴上的幅值分布函数过程为傅立叶变换，而由信号的在频率轴上的幅值分布函数求解时间信号的过程为傅立叶逆变换。
一维傅立叶变换的定义：()()2j t X j x t e dt π+∞-Ω-∞Ω=⋅⎰一维傅立叶逆变换定义：()()2j t x t X j e d π+∞Ω-∞=Ω⋅Ω⎰Ω为频率变量，它的连续变化使()X j Ω包含了无限个正弦和余弦项的和。
根据尤拉公式exp[2]cos 2sin 2j t t j t πππ-Ω=Ω-Ω傅立叶变换系数可以写成如下式的复数和极坐标形式:()()()()()j X j R jI X j e ϕΩΩ=Ω+Ω=Ω其中1222[()()]()RI X j =Ω+ΩΩ定义为傅立叶谱（幅值函数）1()()tan []()I R ϕ-ΩΩ=Ω为相角 而222()()()()E X j R I Ω=Ω=Ω+Ω能量谱二维平面图像是一种幅值沿纵坐标和横坐标两个方向变化的信号，其变化规律的分析也在频率域进行。
二维信号的正交变换由一维信号的正交变换扩展而得到。
连续二维函数的傅立叶变换对定义二维函数的傅立叶正变换 ()()()⎰⎰∞∞-∞∞-+-=dxdy e y x f v u F vy ux j π2,, 二维函数的傅立叶逆变换 ()()()⎰⎰∞∞-∞∞-+=dudv e v u F y x f vy ux j π2,, 二维函数的傅立叶谱 21)],(),([),(22v u I v u R v u F +=二维函数的傅立叶变换的相角 ]),(),([tan ),(1v u R v u I v u -=φ 二维函数的傅立叶变换的能量谱),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==2二维离散傅立叶变换对于一维信号()x t 及其傅立叶变换()X j Ω均进行离散（数字化），则离散的傅立叶变换定义如下：一维离散傅立叶正变换()()()11exp 2N x X k x n j kn N N π-==-∑一维离散傅立叶逆变换()()()10exp 2N u x t X k j kn N π-==∑对于N M ⨯图象，其二维离散傅立叶变换定义为：()()∑∑-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10102exp ,1,M x N y N vy M ux j y x f MN v u F π ∑=∑=⎪⎭⎫⎝⎛+=--1100]2exp[),(),(M N N M u v vy ux j v u F y x f π对于N N ⨯图象()()∑∑-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10122exp ,1,N x N y N vy ux j y x f Nv u F π∑=∑=⎪⎭⎫⎝⎛+=--1100]2exp[),(),(N N N u v vy ux j v u F y x f π1.3二维离散傅立叶变换的性质 性质1：线性性质如果：11(,)(,)f x y F u v ⇔ 22(,)(,)f x y F u v ⇔ 则有：()()()()v u bF v u aF y x bf y x af ,2,1,2,1+⇔+性质2：尺度性质1(,), 1(,)(,)u v f ax by F a b F x y F u v ab a b ⎛⎫⇔==-→--⇔-- ⎪⎝⎭当时，性质3：可分离性()()()()∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11102101022exp ,12exp ,2exp 12exp ,1,N x N x N y N x N y N ux j v x F NN vy j y x f N ux j N N vy ux j y x f Nv u F ππππ 二维傅立叶变换可分解成了两个方向的一维变换顺序执行。
第三章 图像信号的正交变换.
x(t)
X (k0 )e jk0t
k
1
X (k0 ) T
T / 2 x(t )e jk0t dt
T / 2
• 二、一维傅立叶变换
• 定义：
f (t) F(s)e j2stds
F(s) f (t)e j2stdt
• 来源：由傅立叶级数在无穷区间上得到。 • 存在性:被积函数满足 具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。 一般情况下的函数满足上述条件，但对于周期函数和常值函数，上
p(t) (x n) n
f (t) p(t) f (t) (t nT ) n
• 时域的相乖相当于频域卷积，因此，时域信号的采样相 当于在频域信号与冲激函数卷积，即时域的离散化导致 频域的周期化。
• 内插：在频域用一个矩形窗截断，消除其他的复制品， 逆变换就得到原来的信号。相当于在时域和一个sinc函 数作卷积。
f (x, y)e N
N x0 y0
f (x, y)
1
N 1 N 1
j 2 (uxvy )
F (u, v)e N
N u0 v0
• 2、性质：
• 可分离性：
F (u, v)
1 N
N 1 N 1
j 2 uy j 2u x
f (x, y)e N e N
x0 y0
f (x, y)
( f (t) g(t)) F(s) G(s)
3、位移定理
[ f (t a)] e j2asF(s)
• 4、卷积定理
[ f (t) g(t)] F(s)G(s) 1(F (s) G(s) f (t)g(t)
• 通过卷积定理可得出，一些在一个域中不好处理的问题， 可变换到另一个域中作处理。
第3章 图像处理中的正交变换第二讲
数字图像处理第2章图像处理中的正交变换（第二讲）§2 离散余弦变换图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换外，还有其他一些有用的正交变换。
其中离散余弦就是一种。
离散余弦变换表示为DCT。
2．1 离散余弦变换的定义一维离散余弦变换的定义由下式表示∑-==1)(1)0(N x x f N F (3—74) N u x x f N u F N x 2)12(cos )(2)(10π+=∑-=(3—75)式中是第个余弦变换系数，是广义频率变量，；是时域N 点序列，。
F u ()u u 1,,3,2,1-=N u f x ()1,,1,0-=N x一维离散余弦反变换由下式表示1112(21)()(0)()cos 2N u x u f x F F u N N N π-=+=+∑(3—76)显然，式(3—74)式(3—75)和式(3—76)构成了一维离散余弦变换对。
二维离散余弦变换的定义由下式表示N v y N u x y x f N v u F Nu x y x f N u F Nv y y x f N v F y x f N F N x N y N y N x N x N y N x N y 2)12(cos 2)12(cos ),(2),(2)12(cos ),(2)0,(2)12(cos),(2),0(),(1)0,0(101010101010101ππππ+⋅+=+=+⋅==∑∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=-=-=(3—77)式(3—77)是正变换公式。
其中是空间域二维向量之元素。
，是变换系数阵列之元素。
式中表示的阵列为N ×Nf x y (,),1,....2,1,0,-=N y x ),(v u F二维离散余弦反变换由下式表示Nv y N u x v u F N N u x u F N N v y v F N F N y x f N u N v N u N v 2)12(cos 2)12(cos ),(22)12(cos )0,(22)12(cos ),0(2)0,0(1),(11111111ππππ+⋅++++++=∑∑∑∑-=-=-=-=(3—78)式中的符号意义同正变换式一样。
数字图像处理PPT——第十章 图像的正交变换
x =0 y =0 M −1 N −1 M −1 N −1
图像处理
− j 2π xu M − j 2π yv N
⋅e
yv xu − j 2π ⎡ ⎤ − j 2π M N = ∑ ⎢ ∑ f ( x, y ) ⋅ e ⎥e x =0 ⎣ y =0 ⎦
f ( x, y )e
⇔ F (u − u0 , v − v0 )
xu0 yv0 − j 2π ( + ) M N
f ( x − x0 , y − y0 ) ⇔ F (u , v)e
二维DFT的主要性质
图像处理
旋转性 空间域函数旋转角度 θ 0 ，那么在变换 域此函数的Fourier也旋转同样的角度。 反之，若 F(u,v) 旋转某一角度，则 f (x, y) 在空间域也旋转同样角度。
−
j 2πux N
1 = N
N / 2 −1
∑ f ( x)W
x =0
N −1
ux N
1 2 = [ 2 N
N / 2 −1
∑
x =0
2 2 ux f (2 x)WN + N
∑
x =1
u f (2 x + 1)WN ( 2 x +1) ]
N 1 1 M −1 1 M −1 ux ux u MΔ [ ∑ f (2 x)WM + f (2 x + 1)WM WN ] ∑ 2 2 M x =0 M x =1 k 1 u W2kN = WN / 2 = [ Fe (u ) + WN Fo (u )] 2 0≤u≤M
−∞
j 2πux
du
x为时域变量，u为频率变量，以上公式称 为Fourier变换对。
数字图像处理 第三讲 正交变换
正交变换
6、二维卷积定理
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v)
7、相关定理
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G * (u, v) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v)
二维离散傅立叶变换对可表示为：
ux vy f ( x, y) exp j 2 N x 0 y 0 u, v 0,1,2,, N 1 1 F (u, v) N
N 1 N 1
ux vy F (u, v) exp j 2 N u 0 v 0 x, y 0,1,2,, N 1 1 f ( x, y ) N
x 0 y 0
N 1 N 1
ux vy f ( x, y) exp j 2 N exp j 2 mx ny x 0 y 0 当m，n为整数时， j 2 mx ny 为单位值 exp
N 1 N 1
正交变换
8、平均值 二维离散函数的平均值定义为：
1 f ( x, y ) 2 N
f ( x, y)
x 0 y 1
N 1 N 1
将u=0,v=0代入二维离散傅立叶变换式中有：
1 F 0,0 2 N
f ( x, y) f ( x, y)
x 0 y 1
N 1 N 1
u mN x v nN y f ( x, y ) exp j 2 N
F (u mN , v nN ) F (u , v)
图像的正交变换.
•
•
}
•
::FFT(fRData,fIData,fftWidth,-1);
•
for(j=0;j<fftWidth;j++)
•
{
•
ptrRData[j+i*fftWidth]=fRData[j];
•
ptrIData[j+i*fftWidth]=fIData[j];
•
}
•
}
• //转置 列 FFT
•
for(i=0;i<fftWidth;i++){
从实际操作来说，图像变换就是对原图像函数 寻找一个合适的变换核的数学问题。
• 数字图像处理的方法主要有两类：空间域处理 法和频域法。
• 空域法指对直接像素点及其值进行处理。
• 频域法是指先将图像变换到频域，再进行滤波 等处理，然后再经逆变换回到空间域，得到处 理后的图像。
• 图像正交变换用于图像特征提取、图像增强、 图像复原、图像压缩和图像识别等。
f (x, y) F (u.v)
正变换
F (u, v)
1 MN
M 1 N 1 x0 y0
f
(x,
y) exp
j2 ( ux
M
vy N
)
u 0,1, 2, , M 1
v 0,1, 2, , N 1
反变换
f
(x,
y)
e N
W WW441000
W401 W411
W402 W412
W403 W413
1 1
1 j
1 1
图像信号的正交变换
定义
哈达玛变换是一种离散数学中的正交 变换，它将一个有限维的实数向量空 间映射到其自身，并保持向量的欧几 里得范数不变。
应用
哈达玛变换在图像处理、信号处理、数 据压缩等领域有广泛应用，特别是在图 像压缩编码中，可以有效地去除图像中 的冗余信息，提高图像压缩效率。
凯泽变换
定义
凯泽变换是一种离散数学中的正交变换，它将一个有限维的实数向量空间映射到其自身，并保持向量的欧几里得 范数不变。
小波变换在图像处理中的应用
01
02
03
图像压缩
小波变换可以将图像分解 成不同频率和方向的子图 像，从而去除冗余信息， 实现高效的图像压缩。
图像增强
通过调比度、锐 度等。
图像去噪
小波变换能够检测到图像 中的噪声，并通过滤波器 去除噪声，提高图像质量。
图像信号的正交变换
目
CONTENCT
录
• 正交变换简介 • 傅里叶变换 • 离散余弦变换 • 小波变换 • 其他正交变换方法
01
正交变换简介
正交变换的定义
正交变换是一种线性变换，它将输入信号从一种表示形式转换到 另一种表示形式，同时保持信号的能量不变。
正交变换具有正交性，即变换的逆变换与原变换是相互正交的， 这意味着逆变换可以恢复出原始信号。
对于连续信号，傅里叶变换可以表示为积分形式。
傅里叶变换的基本思想是，任何周期函数都可以由 一组正弦和余弦函数构成，而每个正弦和余弦函数 都有一个频率。
傅里叶变换的性质
线性性
如果 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个信号，且 $a$ 和 $b$ 是常数，那么 $a f(t) + b g(t)$ 的傅里叶变 换等于 $a F(w) + b G(w)$，其中 $F(w)$ 和 $G(w)$ 分别是 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的傅里叶变换。
第3章 正交变换(08) 数字图像处理课件_820
相位谱
E (u ) |F (u )|2 R 2 (u ) I2 (u ) 能量谱或功率谱
第3章 图像信号的正交变换
2. 二维DFT
很容易将一维离散傅立叶变换推广到二维。二维离 散傅立叶变换对定义为
M1N1
j2(uxv y)
F[f(x,y)]F(u,v)
f(x,y)e M N
x0 y0
F1[F(u,v)]f(x,y)
第3章 图像信号的正交变换
3.4.1 一维离散余弦变换
一维DCT定义如下：
F(u)C (u) 2N1f(x)co(2sx1)u
Nx0
2N
一维DCT的变换核定义为
g(x,u)C(u) 2co(2sx1)u
N 2N
1
C(u)
2
u0
1
其他
式中，u, x=0, 1, 2, …, N－1。
第3章 图像信号的正交变换
(3-2)
完成这种变换，一般采用的方法是线性正交变换。
第3章 图像信号的正交变换
3.2 离散傅 立 叶 变 换
3.2.1 当一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x) （1） 具有有限个间断点； （2） 具有有限个极值点； （3） 绝对可积。
则其傅立叶变换对（傅立叶变换和逆变换）一定存在。 在实际应用中，这些条件一般总是可以满足的。
第3章 图像信号的正交变换
通常傅立叶变换为复数形式， F (u )R (u )j( Iu )
式中，R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。也可表 示成指数形式：
F(u)=|F(u) |ejφ(u)
其中
| F(u) | R2(u) I 2(u)
频谱或幅度谱
(u) arctan I (u)
第3章 图像处理中的正交变换
第二章 数字图像处理基础
（2）若f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号， 平方可积。可以表示为： 意味着f(x)可以由无
f ( x) anun ( x)
n 0
穷级数来表示
对任意小的ε＞0，存在充分大的N， t 0 T 2 f ( x) f ( x) dx
t0
反变换核
显然，这两个变换核应该满足正交性和完 备性。
12
第二章 数字图像处理基础
3.1 傅里叶变换
• 傅里叶变换
利用傅里叶变换的特性，将时间信号正变换 到频率域后进行处理（例如低通、高通或带通）， 然后再反变换成时间信号，即可完成对信号的滤 波。
• 低通滤波：在频率域中抑制高频信号 • 高通滤波：在频率域中抑制低频信号
即如果需要将频域的坐标原点从显示屏起始点（0，0） 移至显示屏的中心点只要将f(x,y)乘以(-1)x+y因子再进行傅 里叶变换即可实现。 例题：利用(-1)x+y对单缝图像f(x,y)进行调制，实现把频谱 坐标原点移至屏幕正中央的目标。
A A AA I
T T
10
第二章 数字图像处理基础
一维正交变换
对于一向量f，用上述正交矩阵进行运算：
g = Af
若要恢复f，则:
f A gA g
T
1
以上过程称为正交变换。 我们把原为A-1可以用AT来代替的A阵称为正 交矩阵。
11
第二章 数字图像处理基础
二维正交变换 • N×N二维函数可以类似于一维
第二章 数字图像处理基础
三、 二维离散傅里叶变换的性质 • 基本性质：
1.线性
f1 x, y F1 u, v c1 f1 x, y c2 f 2 x, y c1F1 u, v c2 F2 u, v f 2 x, y F2 u, v
第3章A图像处理中的正交变换1
F (n) e jn0 e jxdx F (n) e j(n0 )dx
n
n
2 F (n) ( n0 ) n
图3-3 周期函数的傅里叶谱
第3章 图像处理中的正交变换
傅里叶变换可推广到二维函数。如果二维函数f(x,y) 满足狄里赫莱条件，那么将有下面二维付里叶变换 对存在：
相位谱 (u, v) arctg I (u, v)
R(u, v)
能量谱 E(u,v) R2 (u,v) I 2 (u, v)
第3章 图像处理中的正交变换
3.1.2 傅里叶变换的性质
傅里叶变换有许多重要性质。这些性质为实际运算 处理提供了极大的便利。这里，仅就二维傅里叶变 换为例列出其主要的几个性质。
F (u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy (3-9)
f (x, y) F (u, v)e j2 (uxvy)dudv (3-10)
第3章 图像处理中的正交变换
幅度谱 F(u,v) R2 (u,v) I 2 (u,v)
f (ax,by) 1 F u , v ab a b
第3章 图像处理中的正交变换
(6) 帕斯维尔（Parseval）定理 这个性质也可称为能量保持定理。如果 F(u,v) 是
f (x, y) 的傅里叶变换，那么有下式成立
f (x, y) 2 dxdy F (u, v) 2 dudv
第3章 图像处理中的正交变换
第3章 图像处理中的正交变换
（第一讲）
第3章 图像处理中的正交变换
数字图像处理的方法主要分为两大类： 空间域处理法(或称空域法)， 频域法(或称变换域法)。
正交变换原理讲解PPT
高了通信干线的传输效率，同时也可使计算机实时处理音频、视频信息，以保证播放出高
质量的视频、音频节目成为可能。用于声音图象数据压缩的编码方法甚多。
13
第一组
感谢观看
用这些少量的数据同样表述原有的信息。对这些系数进行量化、编码，就
可以达到压缩编码的目的。
正交变换应是可逆的，但是由于利用系数分布集中的特点，当舍去集
中区域外的那些系数后的逆变换就会产生一定的误差。一个好的正交变换 ，
舍去集中区域外的系数值后，进行的逆变换得到的图象和声音与原先图象
和声音质量相差不大。这就达到了在基本保质的前提下较大的提高数据压
那么称为正交矩阵，简称正交阵。
4. 若为正交矩阵，则线性变换 = 称为正交变换。设
= 为正交变换，则
有
y =
= = = .
由于 表示向量的长度，相当于线段的长度，
因此 y = 说明经正交变换线段长度不变。
4
Part 01
1.2 数字信号处理中的正交变换：
低次分量之中（M<N）。
（3）最佳特性
K-L变换是在均方误差测度下，失真最小的一种变换，其失真为被略去的各分量之和。
由于这一特性，K-L变换被称为最佳变换。许多其他变换都将K-L变换作为性能上比较的
参考标准。
（4）无快速算法，且变换矩阵随不同的信号样值集合而不同。
这是K-L变换的一个缺点，是K-L变换实际应用中的一个很大障碍。
正
交
变
换
的
性
质
1. 正交变换的基向量即是其对偶基向量。
2. 展开系数是信号在基向量上的准确投影。
数字图像处理正交变换
反变换: f (x, y) F (u, v) exp j2 (ux vy)dudv
变换对: f (x, y) F(u, v)
2.2.2 二维傅立叶变换
2. 幅度谱、相位谱、能量谱 一般F(u,v)是复函数,即:
称为正变换核，
* (x, y) u ,v
称为反变换核。
为了使信号完整重建，正变换核和反变换核都必 须满足正交性和完备性。
2.1 图像变换的表达式－正交变换
变换核可分离性：将二维变换分解为2个 一维变换的计算。
u,v (x, y) au (x)bv (y) a(u, x)b(v, y)
N 1 N 1
F(u,v) R(u,v) jI(u,v) F(u,v) e j(u,v)
幅度谱: F(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
相位谱:
(u,
v)
tg
1
I (u, v) R(u, v)
能量谱: E(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
2.2.3 离散傅立叶变换
表示。 ❖ RGB图像
➢ 图像的灰度为该点的R、G、B值，直接存放在图像 灰度矩阵中。
➢ 一般每个像素需要用3×8＝24bit位来表示。 ➢ 其色彩可为224 ，一般称为真彩图像。 ❖ 其他图像－还有图像的透明因子，每个像素需要32bit 来表示。
1.3 数字图像处理的研究内容
从计算机处理的角度可以由高到低将数 字图像分为三个层次。这三个层次覆盖了图 像处理的所有应用领域。
3. 求幅度谱的对数函数：
D(u,v) log(1 F(u,v) )
4. 显示D(u,v) 若D(u,v)很小或很大，则将其线形扩展或压缩到0-255
信号处理课件第8章 正交变换
i 的性质：
x
，会出现几
X 中的任一元素
x 都可由
i
来分解，则称该向量是“完备（ complete）”的 2. 如果 i 完备且线性相关，则对
x
的表
示必然存在信息冗余，且对偶向量不唯一。
i 可能构成一个“标架（Frame)”;
3. 如果
i 是完备的，且是线性无关的，
2 2
ˆ 2 ( x, x) 最小的条件： n n , n 1,, L
ˆ ( x, x )
2
n L 1
N
2 n
傅立叶级数的截短、第7章的FIR滤波器设计 等，均要用到该性质。
性质5：正交变换的系数具有去除相关和集
中能量的性质。
给定一个实对称矩阵 C ，一定可以找到 一个正交阵 A ，使得：
8.1 正交变换
一、信号的分解
概念：
设空间 X 是由 N 维空间一组向量 1 , 2 ,, N 所张成，即
X span{1 , 2 ,, N }
对任一
x X，都可作如下分解：
x n n
n 1 N
x n n
n 1
N
信号的离散表示,或 信号的分解 是分解系数 或信号的变换
ˆ 2 ,2 1
两组向量，互 为“对偶基”， 或“倒数基”。
ˆ 2 ,1 0
Step2:做内积
N
x n n
n 1
N
ˆ ˆ x, j n n , j
n 1
ˆ n n , j j
n 1
N
Cx (i, j ) Cx ( j, i)
图像正交变换
两个公式放在一起对比一下：
1
T
g(x) lim T T
[ n 2 T g()e
2
2
2
d] jn T
jn x
eT
Q( f )df
lim 1
T T n
n
Q( T)
即：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如果令：G( f ) g(x)e
j2fx dx 则：
g(x) G( f )e j2fxdf
上两式叫做傅立叶变换对。由g(x)得到G(f)的公式叫做傅立叶变换
jn 2 x
g(x)e T dx
1
T
x0 T
x
0
g(x)cos(n
2 x) j sin(n
T
2
an jbn
T
x)dx
2
g( e dx Cn
1 x0T
x0
2 jn x
T
x)
T
1
T
x0 T
x g(x)cos(n
0
2 T
x) j sin(n
2
an jbn
T
x)dx
2
第14页，本讲稿共119页
2．图像压缩：正交变换能量集中，对集中（小）部分进行编码。 3．图象增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤波，锐化边缘。
第6页，本讲稿共119页
连续周期函数的傅立叶 级数及非周期信号的 傅立叶变换
第7页，本讲稿共119页
一、连续周期函数的傅立叶级数
周期为2π 周期为2π的函数g(θ)，若在一个周期内只有有限个极值
图像正交变换
22002222//11//1199
第1页，本讲稿共119页
第4章图像变换(Image Transform)
第四章 图象处理中的正交变换
图像增强:频域过滤
Butterworth过滤器截止频率的设计
选择2： H(u,v) = 1/2 当 D0 = D(u,v)时
H (u, v)
1 ( 2 1)D(u, v) / D0
1
2n
1 0.414D(u, v) / D0
1
2n
图像增强:频域过滤
图像增强:频域过滤
x(t)
y(t)
当输入信号沿时间轴平移T，有： x(t - T) y(t - T) 则称该线性系统具有平移不变性
卷
卷积 – 卷积的定义
积
– 离散一维卷积 – 二维卷积的定义 – 离散二维卷积
– 卷积的定义 对于一个线性系统的输入f(t)和输出h(t)，如果有一 个一般表达式，来说明他们的关系，对线性系统的 分析，将大有帮助 卷积积分就是这样的一般表达式
频域图像（幅度谱）
均值性
–均值性的描述：
离散函数的均值等于该函数傅立 叶变换在(0,0)点的值
M-1N-1
F(0,0) = 1/MNf(x,y)e0
x=0 y=0
周期与共轭对称
– 周期性的描述：离散傅立叶变换DFT和
它的逆变换是以N为周期的 对于一维傅立叶变换有： F(u) = F(u + N) 对于二维傅立叶变换有： F(u,v) = F(u + M,v+N)
为中心的共轭对称函数 对于一维傅立叶变换有： 对于二维傅立叶变换有：
周期与共轭对称 – 共轭对称性的描述：傅立叶变换结果是以原点 F(u) = F*(-u)
F(u,v) = F*(-u ,-v) * 表示对于复数的标准共轭操作
快速傅立叶变换（FFT）及编程实现 离散余弦变换 沃尔什变换 哈尔函数及哈尔变换 斜矩阵与斜变换 小波变换
04_正交变换1
反变换核
刘定生 中科院对地观测与数字地球科学中心
21
图像的频域变换——理论基础 变换核的可分离性
au ,v ( x, y ) au ( x)bv ( y ) a (u , x)b(v, y )
其中{au(x), u=0,1,…,N-1}, {bv(y), v=0,1,…,N-1} 为一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示：
f (x) a nu n (x) n0
可有：
t0 T
t0
2 f ( x ) f ( x ) d x
则称函数U 集合是完备的。
第四章 图像处理中的正交变换
刘定生 中科院对地观测与数字地球科学中心
13
图像的频域变换——理论基础
正交函数集合完备性的物理意义
任何数量的奇函数累加仍为奇函数 任何数量的偶函数累加仍为偶函数
数字图像处理与分析
第四章 图像处理中的正交变换
刘定生 中科院对地观测与数字地球科学中心
2011年春季学期
1
数字图像处理与分析
图像的频域变换
图像频域变换的意义 频域变换的理论基础
线性系统、卷积与相关 正交变换及其特征 离散图像的正交变换
傅立叶变换定义与特征 傅里叶变换的应用 离散余弦变换，沃尔什变换——哈达玛变换，哈尔变 换，霍特林变换（主成分变换），小波变换
y ( x, y ) f h
离散二维卷积
f (i, j )h( x i, y j )didj
y ( x, y ) f h f (i, j )h( x i, y j )
i j
第四章 图像处理中的正交变换