第9章压杆稳定(12)案例
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柔 度—影响压杆承载能力的综合指标。
注意：
柔度越大，临界应力越小，压杆越容易失稳。
26
欧拉公式的适用范围
2E cr 2 p
或
2E p
p—比例极限
2E 如令 p p
欧拉公式的适用范围可表示为
λ λP
(细长杆 大柔度杆)
27
问题的回答
设
μl λ i
w A sin kx B cos kx
wy Fcr
边界条件 （1） x = 0，w = 0 ， （2） x = l， w =0 ， 得 B =0 Asinkl =0
若 A = 0，则 w ≡ 0，压杆恒为直杆，与原题意不符。
所以， sinkl = 0， kl = nπ （ n = 0，1，2，…）
max( y， z ) 69.3 P 59
用欧拉公式计算临界应力：
2 E π 2 10 109 cr 2 20.55(MPa) 2 69.3
Fcr cr A 493.5(kN)
42
目录
解： CD 梁
M
C
0
F 2000 FN sin 30 1500
压杆稳定性的概念
不稳定平衡 微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置.
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置.
目录
3
工程实例
目录
4
压杆的稳定性试验
目录
5
压杆的平衡
※ 稳定性是指构件保持其原有平 衡状态的能力。
如果扰动除去后，能 够恢复到直线平衡形态， 则原来的直线平衡形态 是稳定的。
图(b)
I min I z 3.89 10 8 m 4
z
y L
L
2 I min E Fcr (2l )2
图(a)
2 0.389 200
(2 0.5)
2
76.8kN
(4545 6) 等边角钢 图(b)23
目录
？问题的提出
材料和直 能不能应 用欧拉公式计 算四根压杆的 临界载荷？
力度无 越杆论 小均是 为大 柔柔 度度 越杆 大还 是 临小 界柔
. .
目录
.
30
l i
Fcr cr A
l
31
练习题
1、（a）、（b）两根都是大柔度杆，材料、杆 长和横截面形状大小都相同，杆端约束不同。 其中（a）为两端铰支，（b）为一端固定，一端自 由。那么两杆临界力之比。
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
l2 由公式可知：压杆越细、越长，临界力越低，压 杆越容易失稳。
欧拉公式
Fcr
2 EI
在工程实际中，我们希望提高压杆的临界力，从 而提高压杆的承载能力。
目录
15
§9.2
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
l （1）理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，
11
§9.2
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
弯矩 M = -Fcry 挠曲线近似微分方程
Fcr w d 2 w M ( x) 2 dx EI EI
令
k2
Fcr EI
2 w k w0
通解：
w A sin kx B cos kx
目录
12
§9.2
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
目录
39
例题 9-4
解：在 xy 平面内，两端铰支，横截面绕 z 轴转
12 203 Iz 8000 (cm 4 ) 12
iz Iz A 8000 5.77 (cm) 12 20
1.0
1 400 z 69.3 iz 5.77
40
l
目录
例题 9-4
28
二、折减弹性模量理论
λ λP
P
临界力：
(大柔度杆) (小柔度杆)
欧拉公式 折减弹性模量理论
P
E
Eσ
2 E rI Fcr ( l ) 2
4 Eσ E 折减弹性模量： Er 2 （ E Eσ ）
o
其中Eσ 为切线弹性模量，图中曲线上某点切线的斜率。
目录
29
三、压杆的临界应力总图
d 4
i I A 64 d d 2 4 4
材料Q235钢，d=50mm. l=0.5m p 100
(a ) 200 p
(b) 196 p
(c ) 180 p
1 0.7 0.5 2.0
(d ) 160 p
0 .5
可得：
0.7
21
应当指出:
上边所列的杆端约束情况，是典型的理想 约束，实际上，工程实际中的杆端约束情况是 复杂的，应该根据实际情况作具体分析，看其 与哪种理想情况接近，从而定出近乎实际的长 度系数，也可按设计手册或规范的规定选取。
此外，欧拉公式是从符合胡克定律的挠曲 线近似微分方程导出的，所以,上述临界载荷 公式，只有在微弯状态下压杆仍处于弹性状态 时才是成立的。
径均相同
24
§9.4
欧拉公式的应用范围，临界应力总图
一、欧拉公式的应用范围 临界应力 柔度
π EI
2 2
Fcr (l ) π EI σ cr 2 A A l A
2
I i A
2
i
I A
—截面的惯性半径
25
引入符号
μl λ i
2
—柔度（长细比）
2
Fcr π EI E σ cr 2 2 A l A
由于构件失稳后將丧失继续承 受原设计载荷的能力，其后果往往 是很严重的。因此在设计受压构件 时，必须保证其有足够的稳定性。
目录
8
其它失稳现象
9
结论:
对压杆，压力小于临界力, 压杆稳定； 压力大于临界力, 压杆失稳。
因此，确定压杆失稳与否关键 是临界载荷的确定。
确定临界载荷的平衡方法
10
§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 直线平衡 微弯状态下的 曲线平衡 压杆保持微小弯曲 平衡的最小压力即 为临界力。
第 九 章
压 杆 稳 定
目录
1
第九章
§9.1
压杆稳定
压杆稳定性的概念
§9.2 §9.3
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧 拉公式，压杆的长度因数
欧拉公式的应用范围，临界应力总图
§9.4
§9.5
§9.6
目录
实际压杆的稳定因数
压杆的稳定计算，压杆的合理截面
目录
2
§9.1
欧拉公式
Fcr
2 EI
2
的适用条件：
材料均匀）；
（2）线弹性，小变形；
（3）两端为铰支座。
目录
16
例题 9-1
已知：两端铰支细长压杆，横截面直径
d=50mm，材料为Q235钢，弹性模量
E=200GPa，σs=235MPa。试确定其临界 力。 解： 截面惯性矩
I π 4 π d 0.05 307 10 -9 m 4 64 64
(其中一端 轴向可动）
19
Fcr
EI
2
( 2l )
2
Fcr
2 EI
(0.7l ) 2
一端自由 一端固定
一端铰支 一端固定
20
各种支承压杆临界压力的通用公式
2 EI Fcr ( l ) 2
欧拉公式普遍形式
长度系数（长度因数）
l 相当长度
1.0
0.5
2.0
34
§9.5
实际压杆的稳定因数
cr
[n]st
压杆的稳定许用应力： [ ]st
[n]st —— 稳定安全因数。
[σ]st与强度许用应力[σ]的关系：
[ ]st [ ]
——稳定因数
关系（书中表9-2，9-3） 钢结构设计规范中，列出 —
目录
35
木结构：
32
2、图示两细长压杆（a）、（b）的材料 和横截面均相同，其中 杆的临界力较大。
（ a）
（ b）
33
？思考
1.大柔度压杆是因 而失效。
2.细长压杆，若其长度系数增加一倍，则（ ）。 A. Fcr 增加一倍； B. Fcr增加到原来的四倍； C.Fcr为原来的四分之一倍； D. Fcr为原来的二分之一倍. 3. 压杆的失稳弯曲和梁的弯曲变形有何本质不同？ 4. 有一根压杆，用欧拉公式计算出它的临界力为 Fcr，后发现为非大柔度杆，问：其先计算的Fcr是 小于真实的临界力还是大于真实的临界力？或者与 真实的临界力相同？
合理的截面应使 λ 尽可能小，或 i 尽可能大。
目录
38
例题 9-4
一截面为12cm×20cm的 矩形木柱，长 l =4m，其 支撑情况是：在 xy 平面 内弯曲时为两端铰支， （图（a）），在 xz 平面 内弯曲时为两端固定 （图（b）） 。木柱为松 木，弹性模量E=10GPa， λP=59。试求木柱的临界 力和临界应力。
得 FN 26.6kN
例题 9-5
AB杆
1
i I A
l i 1.5 l 1.732 m cos 30
D 4 d 4 4 64D 2 d 2
D2 d 2 16mm 4
1 1.732 103 得 108 λ P 16
在 xz 平面内，两端固定，横截面绕 y 轴转：
20 123 Iy 2880 (cm 4 ) 12
iy Iy A 2880 3.46 (cm) 12 20
0.5
0.5 400 y 57.8 iy 3.46
目录
l
41
源自文库
例题 9-4
由于 z y ，所以杆件将在xy 平面内发生失稳。
22
例题 9-2
求：下列细长压杆的临界力。 图(a)
FP
I min
50 10 3 10 12 4.17 10 9 m 4 12
FP
10
50
2 I min E 2 4.17 200 Fcr 67.14kN 2 2 ( 1 l ) (0.7 0.5)
树种强度等级为TC17，TC15及TB20：
75
1 1 80
2
75
3000
2
1 1 65
2
树种强度等级为TC13，TC11、TB17及TB15 ：
91
91
2800
2
目录
36
§9.6 压杆的稳定计算 压杆的合理截面
Fcr 压杆的稳定条件： F [F ] nst
F [ ] A
或
F [ ] A
稳定计算步骤： （1）由iy、iz及约束情况确定λ； （2）由λ计算或查表确定 ； （3）根据稳定条件计算。
37
目录
2E 压杆的临界应力： cr 2
又稳定因数 φ 随柔度 λ 的增大而减小，所以压杆
目录
6
压杆的平衡
增大杆上压力Fp
如果扰动除去后不能恢复 到直线平衡形态，则称原 来的直线平衡形态是不稳 定的。
此时，压杆上对应的压力Fp称 为压杆的临界载荷，或临界力。 用Fcr 表示
目录
7
压杆的平衡
压杆当压力超过一定限度时就会 发生弯曲现象。由直线状态的平衡， 过渡到曲线状态的平衡。 ——称为丧失稳定，简称为失稳。
临界力
π 2 200 109 307 109 Fcr 2 l 1.52 269 103 N 269kN
目录
2 EI
17
§9.3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式， 压杆的长度因数
一端固定 一端自由
目录
18
Fcr
2 EI
(0.5l ) 2
两端铰支
两端固定
例题 9-5
1 1.732 103 得 108 P 16
AB为大柔度杆
2 EI Fcr 118kN 2 l
Fcr 118 n 4.42 nst 3 26.6 FN
AB杆满足稳定性要求
例题 9-6（设计问题）
厂房的钢柱长7m，上下两端分别与基础和梁连接。钢柱的长 度因数取为μ=1.3。钢柱由两根Q235钢的槽钢组成，符合钢结 构设计规范中的实腹式b类截面中心受压杆的要求。在柱脚和 柱顶处用螺栓借助于连接板与基础和梁连接，同一横截面上 最多有四个直径为30mm的螺栓孔。钢柱承受的轴向压力为 270kN，材料的强度许用应力[σ]=170MPa。试为钢柱选择槽 钢号码，并确定两根槽钢的间距h。 解：（1）按稳定条件选择槽钢号码 因i 未知，无法定 和 先假设：
目录
13
§9.2
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
由 kl = nπ 可得，
n 2 2 EI 所以 （n=0，1，2，…） Fcr 2 l 当 n =1时，得临界载荷
n k l
2 2 F n 2 cr k 2 EI l
Fcr
2 EI
l
2
—— 欧拉公式
目录
14
§9.2
注意：
柔度越大，临界应力越小，压杆越容易失稳。
26
欧拉公式的适用范围
2E cr 2 p
或
2E p
p—比例极限
2E 如令 p p
欧拉公式的适用范围可表示为
λ λP
(细长杆 大柔度杆)
27
问题的回答
设
μl λ i
w A sin kx B cos kx
wy Fcr
边界条件 （1） x = 0，w = 0 ， （2） x = l， w =0 ， 得 B =0 Asinkl =0
若 A = 0，则 w ≡ 0，压杆恒为直杆，与原题意不符。
所以， sinkl = 0， kl = nπ （ n = 0，1，2，…）
max( y， z ) 69.3 P 59
用欧拉公式计算临界应力：
2 E π 2 10 109 cr 2 20.55(MPa) 2 69.3
Fcr cr A 493.5(kN)
42
目录
解： CD 梁
M
C
0
F 2000 FN sin 30 1500
压杆稳定性的概念
不稳定平衡 微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置.
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置.
目录
3
工程实例
目录
4
压杆的稳定性试验
目录
5
压杆的平衡
※ 稳定性是指构件保持其原有平 衡状态的能力。
如果扰动除去后，能 够恢复到直线平衡形态， 则原来的直线平衡形态 是稳定的。
图(b)
I min I z 3.89 10 8 m 4
z
y L
L
2 I min E Fcr (2l )2
图(a)
2 0.389 200
(2 0.5)
2
76.8kN
(4545 6) 等边角钢 图(b)23
目录
？问题的提出
材料和直 能不能应 用欧拉公式计 算四根压杆的 临界载荷？
力度无 越杆论 小均是 为大 柔柔 度度 越杆 大还 是 临小 界柔
. .
目录
.
30
l i
Fcr cr A
l
31
练习题
1、（a）、（b）两根都是大柔度杆，材料、杆 长和横截面形状大小都相同，杆端约束不同。 其中（a）为两端铰支，（b）为一端固定，一端自 由。那么两杆临界力之比。
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
l2 由公式可知：压杆越细、越长，临界力越低，压 杆越容易失稳。
欧拉公式
Fcr
2 EI
在工程实际中，我们希望提高压杆的临界力，从 而提高压杆的承载能力。
目录
15
§9.2
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
l （1）理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，
11
§9.2
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
弯矩 M = -Fcry 挠曲线近似微分方程
Fcr w d 2 w M ( x) 2 dx EI EI
令
k2
Fcr EI
2 w k w0
通解：
w A sin kx B cos kx
目录
12
§9.2
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
目录
39
例题 9-4
解：在 xy 平面内，两端铰支，横截面绕 z 轴转
12 203 Iz 8000 (cm 4 ) 12
iz Iz A 8000 5.77 (cm) 12 20
1.0
1 400 z 69.3 iz 5.77
40
l
目录
例题 9-4
28
二、折减弹性模量理论
λ λP
P
临界力：
(大柔度杆) (小柔度杆)
欧拉公式 折减弹性模量理论
P
E
Eσ
2 E rI Fcr ( l ) 2
4 Eσ E 折减弹性模量： Er 2 （ E Eσ ）
o
其中Eσ 为切线弹性模量，图中曲线上某点切线的斜率。
目录
29
三、压杆的临界应力总图
d 4
i I A 64 d d 2 4 4
材料Q235钢，d=50mm. l=0.5m p 100
(a ) 200 p
(b) 196 p
(c ) 180 p
1 0.7 0.5 2.0
(d ) 160 p
0 .5
可得：
0.7
21
应当指出:
上边所列的杆端约束情况，是典型的理想 约束，实际上，工程实际中的杆端约束情况是 复杂的，应该根据实际情况作具体分析，看其 与哪种理想情况接近，从而定出近乎实际的长 度系数，也可按设计手册或规范的规定选取。
此外，欧拉公式是从符合胡克定律的挠曲 线近似微分方程导出的，所以,上述临界载荷 公式，只有在微弯状态下压杆仍处于弹性状态 时才是成立的。
径均相同
24
§9.4
欧拉公式的应用范围，临界应力总图
一、欧拉公式的应用范围 临界应力 柔度
π EI
2 2
Fcr (l ) π EI σ cr 2 A A l A
2
I i A
2
i
I A
—截面的惯性半径
25
引入符号
μl λ i
2
—柔度（长细比）
2
Fcr π EI E σ cr 2 2 A l A
由于构件失稳后將丧失继续承 受原设计载荷的能力，其后果往往 是很严重的。因此在设计受压构件 时，必须保证其有足够的稳定性。
目录
8
其它失稳现象
9
结论:
对压杆，压力小于临界力, 压杆稳定； 压力大于临界力, 压杆失稳。
因此，确定压杆失稳与否关键 是临界载荷的确定。
确定临界载荷的平衡方法
10
§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 直线平衡 微弯状态下的 曲线平衡 压杆保持微小弯曲 平衡的最小压力即 为临界力。
第 九 章
压 杆 稳 定
目录
1
第九章
§9.1
压杆稳定
压杆稳定性的概念
§9.2 §9.3
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧 拉公式，压杆的长度因数
欧拉公式的应用范围，临界应力总图
§9.4
§9.5
§9.6
目录
实际压杆的稳定因数
压杆的稳定计算，压杆的合理截面
目录
2
§9.1
欧拉公式
Fcr
2 EI
2
的适用条件：
材料均匀）；
（2）线弹性，小变形；
（3）两端为铰支座。
目录
16
例题 9-1
已知：两端铰支细长压杆，横截面直径
d=50mm，材料为Q235钢，弹性模量
E=200GPa，σs=235MPa。试确定其临界 力。 解： 截面惯性矩
I π 4 π d 0.05 307 10 -9 m 4 64 64
(其中一端 轴向可动）
19
Fcr
EI
2
( 2l )
2
Fcr
2 EI
(0.7l ) 2
一端自由 一端固定
一端铰支 一端固定
20
各种支承压杆临界压力的通用公式
2 EI Fcr ( l ) 2
欧拉公式普遍形式
长度系数（长度因数）
l 相当长度
1.0
0.5
2.0
34
§9.5
实际压杆的稳定因数
cr
[n]st
压杆的稳定许用应力： [ ]st
[n]st —— 稳定安全因数。
[σ]st与强度许用应力[σ]的关系：
[ ]st [ ]
——稳定因数
关系（书中表9-2，9-3） 钢结构设计规范中，列出 —
目录
35
木结构：
32
2、图示两细长压杆（a）、（b）的材料 和横截面均相同，其中 杆的临界力较大。
（ a）
（ b）
33
？思考
1.大柔度压杆是因 而失效。
2.细长压杆，若其长度系数增加一倍，则（ ）。 A. Fcr 增加一倍； B. Fcr增加到原来的四倍； C.Fcr为原来的四分之一倍； D. Fcr为原来的二分之一倍. 3. 压杆的失稳弯曲和梁的弯曲变形有何本质不同？ 4. 有一根压杆，用欧拉公式计算出它的临界力为 Fcr，后发现为非大柔度杆，问：其先计算的Fcr是 小于真实的临界力还是大于真实的临界力？或者与 真实的临界力相同？
合理的截面应使 λ 尽可能小，或 i 尽可能大。
目录
38
例题 9-4
一截面为12cm×20cm的 矩形木柱，长 l =4m，其 支撑情况是：在 xy 平面 内弯曲时为两端铰支， （图（a）），在 xz 平面 内弯曲时为两端固定 （图（b）） 。木柱为松 木，弹性模量E=10GPa， λP=59。试求木柱的临界 力和临界应力。
得 FN 26.6kN
例题 9-5
AB杆
1
i I A
l i 1.5 l 1.732 m cos 30
D 4 d 4 4 64D 2 d 2
D2 d 2 16mm 4
1 1.732 103 得 108 λ P 16
在 xz 平面内，两端固定，横截面绕 y 轴转：
20 123 Iy 2880 (cm 4 ) 12
iy Iy A 2880 3.46 (cm) 12 20
0.5
0.5 400 y 57.8 iy 3.46
目录
l
41
源自文库
例题 9-4
由于 z y ，所以杆件将在xy 平面内发生失稳。
22
例题 9-2
求：下列细长压杆的临界力。 图(a)
FP
I min
50 10 3 10 12 4.17 10 9 m 4 12
FP
10
50
2 I min E 2 4.17 200 Fcr 67.14kN 2 2 ( 1 l ) (0.7 0.5)
树种强度等级为TC17，TC15及TB20：
75
1 1 80
2
75
3000
2
1 1 65
2
树种强度等级为TC13，TC11、TB17及TB15 ：
91
91
2800
2
目录
36
§9.6 压杆的稳定计算 压杆的合理截面
Fcr 压杆的稳定条件： F [F ] nst
F [ ] A
或
F [ ] A
稳定计算步骤： （1）由iy、iz及约束情况确定λ； （2）由λ计算或查表确定 ； （3）根据稳定条件计算。
37
目录
2E 压杆的临界应力： cr 2
又稳定因数 φ 随柔度 λ 的增大而减小，所以压杆
目录
6
压杆的平衡
增大杆上压力Fp
如果扰动除去后不能恢复 到直线平衡形态，则称原 来的直线平衡形态是不稳 定的。
此时，压杆上对应的压力Fp称 为压杆的临界载荷，或临界力。 用Fcr 表示
目录
7
压杆的平衡
压杆当压力超过一定限度时就会 发生弯曲现象。由直线状态的平衡， 过渡到曲线状态的平衡。 ——称为丧失稳定，简称为失稳。
临界力
π 2 200 109 307 109 Fcr 2 l 1.52 269 103 N 269kN
目录
2 EI
17
§9.3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式， 压杆的长度因数
一端固定 一端自由
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Fcr
2 EI
(0.5l ) 2
两端铰支
两端固定
例题 9-5
1 1.732 103 得 108 P 16
AB为大柔度杆
2 EI Fcr 118kN 2 l
Fcr 118 n 4.42 nst 3 26.6 FN
AB杆满足稳定性要求
例题 9-6（设计问题）
厂房的钢柱长7m，上下两端分别与基础和梁连接。钢柱的长 度因数取为μ=1.3。钢柱由两根Q235钢的槽钢组成，符合钢结 构设计规范中的实腹式b类截面中心受压杆的要求。在柱脚和 柱顶处用螺栓借助于连接板与基础和梁连接，同一横截面上 最多有四个直径为30mm的螺栓孔。钢柱承受的轴向压力为 270kN，材料的强度许用应力[σ]=170MPa。试为钢柱选择槽 钢号码，并确定两根槽钢的间距h。 解：（1）按稳定条件选择槽钢号码 因i 未知，无法定 和 先假设：
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13
§9.2
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
由 kl = nπ 可得，
n 2 2 EI 所以 （n=0，1，2，…） Fcr 2 l 当 n =1时，得临界载荷
n k l
2 2 F n 2 cr k 2 EI l
Fcr
2 EI
l
2
—— 欧拉公式
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§9.2