第9章压杆稳定(12)案例
第九章--压杆的稳定
Pcr
cr
A
a
b
d
4
2
380133N
丝杠的工作稳定安全系数为：
nst
Pcr P
380133 80000
4.75
4 [nst ]
校核结果可知，此千斤顶丝杠是稳定的
例9-5 简易起重机起重臂OA长l=2.7m，由外径D=8cm，内 径d=7cm的无缝钢管制成，材料Q235钢，规定的稳定安全 系数[nst]=3，试确定起重臂的安全载荷。
对于柱屈曲（压杆稳定）：
y M ( y) EI
力学上 ——载荷在横向干扰力产生的变形上引起 了弯矩
数学上 ——是一个求解微分方程的问题
3、杆端约束情况的简化 （1）柱形铰约束 （2）焊接或铆接
（3）螺母和丝杠连接
l0 / d0 1.5时,可简化为铰支座;l0 / d0 3时,简化为固定端;
cr
S
cr ab
③临界应力总图
P
2E
cr
2
s s a
b
P 2E
P
L
i
2.抛物线型经验公式
①P < < s 时： cr a1b12
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
c 时，由此式求临界应力
2E 0.56 S
②s < 时： cr s
(2)计算最小刚度平面内的临界力和临界应力。 截面的惯性矩为：
Iy
20 123 12
2880cm4
相应惯性半径：
iy
Iz 3.46cm A
其柔度为：
l
iy
0.5 400 3.46
材料力学-第9章压杆的稳定问题
0 1 0 sinkl coskl
sinkl 0
第9章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI 由此得到临界载荷
2
kl nπ, n 1, 2 ,,
FPcr
π 2 n 2 EI l2
最小临界载荷
FPcr π 2 EI 2 l
第9章 压杆的稳定问题
FPcr
π 2 EI
l
2
这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上 正弦半波的长度，称为有效长度(effective length)； 为反映不同 支承影响的系数，称为长度系数（coefficient of 1ength），可由屈 曲后的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度 的比值确定。
d2w M ( x) - EI 2 dx
d2w 2 k w0 2 dx
k2 FP EI
第9章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
d2w 2 k w0 2 dx
k2
FP EI
微分方程的解
w =Asinkx + Bcoskx
边界条件
w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
第9章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
对于某一压杆，当分叉载荷 FP 尚未算出时，不 能判断压杆横截面上的应力是否处于弹性范围；当 分叉载荷算出后，如果压杆横截面上的应力超过弹 性范围，则还需采用超过比例极限的分叉载荷计算 公式。这些都会给计算带来不便。 能否在计算分叉载荷之前，预先判断哪一类压 杆将发生弹性屈曲？哪一类压杆将发生超过比例极 限的非弹性屈曲？哪一类不发生屈曲而只有强度问 题？回答当然是肯定的。为了说明这一问题，需要 引进长细比（slenderness）的概念。
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
第9章压杆稳定(12)讲述案例PPT课件
不稳定平衡
微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置.
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置.
目录
工程实例
目录
压杆的稳定性试验
目录
压杆的平衡
※ 稳定性是指构件保持其原有平 衡状态的能力。
如果扰动除去后，能 够恢复到直线平衡形态， 则原来的直线平衡形态 是稳定的。
欧拉公式
2EI
Fcr l 2
由公式可知：压杆越细、越长，临界力越低，压
杆越容易失稳。
在工程实际中，我们希望提高压杆的临界力，从 而提高压杆的承载能力。
目录
§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
欧拉公式
2EI
Fcr l 2
的适用条件：
（1）理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，
5.51.3217m 02m165 查表9-3，对应Q235钢,λ=165的稳定因数为： 0.262 可见前面假设的 过大，重新假设 0.35，得
F A 2 22.7104m2
[]
目录
例题 9-6
查型钢表，试用16号槽钢： A=25. 15cm2，iz=6.1cm。
l 149.2
iz
查表得对应该 λ 的稳定因数为： 0.311
目录
例题 9-4
解：在 xy 平面内，两端铰支，横截面绕 z 轴转
1 2230
Iz
8 12
0
0(cm 04)
iz
Iz A
8000 5.7(7 c m )
1 220
1.0
z
l
iz
1400
69.3
5.77
目录
第9章 压杆稳定 课件
第9 章 压杆稳定
物体平衡的稳定性
随遇平衡 不稳定平衡
稳定平衡
第9 章 压杆稳定
压杆稳定性的几个概念
? 稳定失效：指构件在某种外力 （例如轴向压力）作用下，其 平衡形式发生突然转变。
? 稳定平衡状态 ：当承受的载荷 小于 某一确定值 Fcr 时，压杆保持直线 平衡状态。此时给杆加一 横向干扰 力，杆便发生微小弯曲，干扰力去 掉后，杆件将在平衡位置附近摆动， 最终恢复到原来的直线平衡位置。 这说明压杆原来的平衡状态是稳定 的。
对于细长杆件 ，受压 开始时轴线为直线，接着 被压弯，发生大的弯曲变 形，最后折断。
例：如图所示发动机 配气机构中的 挺杆，在推 动摇臂打开气阀时，受到 压力作用。
摇臂
气阀
挺杆
第9 章 压杆稳定
内燃机的 连杆
撑杆跳运动员用的 杆
第9 章 压杆稳定
勃兰登堡门 （BRANDENBURGER TOR ）： 它建于 1788年~1791年，一直是德国统一的象征。
第9 章 压杆稳定
失稳曲线
w ? A sin n? x
l
n=1
n=2
n=3
l
第9 章 压杆稳定
附：求二阶常系数齐次微分方程 y ??? p y ?? 的q 通? 解0
特征方程为 r 2 ? pr ? q ? 0 ① 两个不相等的实 根r1，r2 通解
y ? C1e r1x ? C2e r2x ② 两个相等的实根 r1＝r2 通解
EI
d2y dx2
?
k
2y
?
0
第9 章 压杆稳定
x
Pcr
通解为：
d2y dx2
?
k
2y
建筑力学第9章压杆稳定
• 为了说明压杆平衡状态的稳定性，我们取一根细长的直杆进行压缩试 验，如图９-１所示。
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第一节 压杆稳定的概念
• 压杆的平衡状态可以分为三种。图９-１（ａ）中，当压力P不太大时， 用一微小的横向力干扰它，压杆微弯，当横向力撤去后，压杆能自动 恢复原有的直线形状，这时压杆处于稳定的平衡状态。图９-１（ｂ） 中，当压力P增大到某一特定值Pｃｒ时，微小的横向干扰力撤去后， 压杆在微弯状态下维持新的平衡，这时压杆处于临界平衡状态，这个 特定值Pｃｒ叫作临界力。图９-１（ｃ）中，当压力P超过临界力Pｃｒ 后，干扰力作用下的微弯会越来越大直至压杆弯断，此时压杆丧失了 稳定性。
• σｃｒ＝π２E/λ２≤σＰ
• ■四、中长杆的临界应力计算———经验公式
• 当压杆的柔度小于λＰ时，称为中长杆或中柔度杆。中长杆的临界应 力σｃｒ大于材料的比例极限σＰ，此时欧拉公式不再适用。工程中对 这类压杆一般采用经验公式计算临界力或临界应力。常用的经验公式 有两种：直线公式和抛物线公式。
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• Pｃｒ＝π２EI/（μl）２（９-１） • 式中 • E———材料的弹性模量； • I———压杆横截面的最小惯性矩； • EI———压杆的抗弯刚度；
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第二节 临界力和临界应力
• l———压杆的实际长度； • μ———压杆的长度系数，见表９-１； • μl———压杆的计算长度。 • ■二、临界应力 • 在临界力作用下，细长压杆横截面上的平均压应力叫作压杆的临界应
• 从前面几节内容可知，影响压杆稳定性的主要因素有：压杆的截面形 状、长度、两端的约束条件以及材料的性质等。要提高压杆的稳定性 ，可采取以下四个措施。
材料力学：第九章 压杆稳定问题
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠 曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要 综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力， 得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线 的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D
第九章_压杆稳定
第 1 页/共 2 页9-5 未失稳失，轴向压缩 T F L L ∆=∆TEA F TL L EAFL L l l T F αα=⇒=∆=∆， 临界状态 kN 3.109)5.0(22cr ==L EIF π由cr F F =得，温升C EALEI T l ︒==2.29422απ 9-8 由铰B 平衡，22BC AB F F F +=，ABBC F F =θtan F 最大时，AB F 与BC F 均达到临界值2222)sin ()cos (βπβπAC EI F AC EI F BC AB ==， )arctan(cot cot tan 22βθβθ==⇒， 9-10 柔度临界值 p2p σπλE = （1）5.72p =λ，（2）8.65p =λ，（3）6.73p =λ 9-12 AB 与BC 均为两力杆，由铰B 平衡可得 F F BC 75=（压） 柔度 m m 320m 5.215.216=====i l i l，，，其中μμλ 稳定因素 06.028002==λϕ稳定许用应力 MPa 6.0][][st ==σϕσ st ][MPa 58.0σσ<==AF BC ，满意稳定性条件。
9-15 组合压杆的临界力cr F 为杆BC 与AB 临界力的最小值柔度临界值 1002==PP E σπλ P ACAC P BC BC i AC i BC λλλλ>=====1047.0100，大柔度杆，由欧拉公式N 1094.0)7.0(N 1004.1622622⨯==⨯==AC EIF BC EIF AC BC ππ，N 1094.06cr ⨯==⇒AC F F许用压力 kN 376][stcr ==n F F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛======kN 416MPa 8.82][MPa 1.207BC kN 376MPa 6.76][MPa 4.191AC st cr st cr F F ，，：，，：σσσσ 9-17 杆AC ，强度许用应力 MPa 118][st ==n σσ 最大弯矩 26132bh W F M B ==， 最大应力 kN 6.95][41][2max =≤⇒≤=bh F W M B σσσ 杆CD ，柔度P iCD λλ>==200，大柔度杆 由欧拉公式 MPa 3.4922cr ==λπσE 稳定许用应力 MPa 4.16][st cr st ==n σσ 压力 F F CD 31=应力 kN 5.15][3][st st =≤⇒≤=A F AF CD σσσ 结构的许可荷载 kN 5.15][=F。
材料力学 第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章 压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定 限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很 大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其 强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态， 临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加 支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程 及荷载值。 用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑： （1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑； （2）假设压杆处在线弹性状态； （3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是， 梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。 （4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。
北大材料力学-第九章压杆稳定
利用计算机仿真技术，建立压杆的有限元模型，通 过模拟压杆在不同受力状态下的响应，确定临界载 荷和失稳形式。
不同材料和截面形状的压杆稳定性
材料性质
不同材料的弹性模量、泊松比等 参数对压杆的稳定性有显著影响 。
截面形状
不同截面形状的压杆在相同外力 作用下的稳定性不同，例如圆形 截面、方形截面和工字形截面等 。
根据压杆的长度、截面尺寸和 材料属性等因素，通过欧拉公 式计算临界载荷，判断压杆是 否稳定。
经验公式
根据工程实践经验，总结出一 些经验公式，用于估算临界载 荷和稳定性。
试验法
通过试验测试压杆的临界载荷 和失稳形式，直接判断其稳定 性。
有限元分析
利用有限元分析软件模拟压杆 的受力状态和变形过程，评估 其稳定性。
02
压杆的临界载荷
欧拉公式
欧拉公式是计算等直压杆临界载荷的首要公式，它 表示压杆临界载荷与柔度之间的关系。
公式表达为：Fcr = π²EI/（μ²L₀），其中Fcr为临界载 荷，E为弹性模量，I为横截面惯性矩，μ为长度系数， L₀为压杆长度。
欧拉公式适用于细长等直压杆，当压杆长度与直径 之比大于或等于40时，才可视为细长杆。
当压杆受到周期性外力作用时， 会发生弯曲振动。
弯曲振动会导致压杆的应力波动， 从而影响其稳定性。
弯曲振动频率和振幅对压杆的稳 定性有重要影响，频率越高、振
幅越大，压杆越容易失稳。
弯曲振动对压杆稳定性的影响
弯曲振动会改变压杆 内部的应力分布，从 而影响其稳定性。
通过控制弯曲振动频 率和振幅，可以有效 提高压杆的稳定性。
优化结构设计
通过对压杆结构的合理设计， 如改变截面形状、增加支撑等 方式，提高压杆的稳定性。
材料力学-第9章压杆的稳定问题
0 1 0 sinkl coskl
sinkl 0
第9章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI 由此得到临界载荷
2
kl nπ, n 1, 2 ,,
FPcr
第9章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
微分方程的解 w =Asinkx + Bcoskx 边界条件 w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B 不全为零的条件是他们的系数行列式等于零：
FP F FP P
FP>FPcr :在扰动作用下， 直线平衡构形转变为弯曲平 衡构形，扰动除去后， 不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是不稳定的。
第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
当压缩载荷大于一定的数值时，在任意微小的外界扰动下， 压杆都要由直线的平衡构形转变为弯曲的平衡构形，这一过程 称为屈曲（buckling）或失稳（lost stability）。对于细长压杆， 由于屈曲过程中出现平衡路径的分叉，所以又称为分叉屈曲 （bifurcation buckling）。 稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临 界点（critical point）。对于细长压杆，因为从临界点开始， 平衡路径出现分叉，故又称为分叉点。临界点所对应的载荷称 为临界载荷（critical load）或分叉载荷（bifurcation load）， 用FP表示。
第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
在很多情形下，屈曲将导致构件失效，这种失 效称为屈曲失效（failure by buckling）。由于屈曲 失效往往具有突发性，常常会产生灾难性后果，因 此工程设计中需要认真加以考虑。
第九章压杆稳定
E1 E2
λ
1
2l1 d
λ
2
2
3l2 d
cr1
2 E1 12
2 E1 d 4l12
2
2 E2d212l Nhomakorabea2 2
cr 2
2 E2
2 2
2 E2d2
12l
2 2
Cr1
Fcr1 Fcr 2
A1 CR1 A2 CR2
A1 A2
d 2
4 d2
4
58
例题 ：两端为球绞支的圆截面杆，材料的弹性模量
E 2.03105 MPa ,σ P 300MPa ，杆的直径d=100mm
sin
kx
2
x
F cr
l
l 2
y
A
δ
B
25
0
δ sin kl
sin
kl
2δ
cos
kl 2
2
要想压杆在微弯状态下 平衡只有
cos kl 0 2
kl n (n 1,3,5 )
22
x
F cr
l
l 2
y
A
δ
B
26
kl n (n 1,3,5 )
22
其最小解为 n = 1 的解
k
l
F cr k2 EI
6 12
z
24
6 y 22
42
解：
在 xy 平面内失稳时，z 为中性轴
I
z
1 12
12243
2( 1 2263 226152) 12
F cr1
2E Iz ( z l1)2
2E Iz
(1l1)2
6 12
z
压杆稳定(教材)
第九章压杆稳定§9-1 压杆稳定的基本概念在前面的一些章节中，已经讨论了构件在静力平衡状态下的应力、应变以及强度和刚度的设计问题。
构件除了强度和刚度不足而引起失效外，有时由于不能保持其原有的平衡状态而失效，这种失效形式称为丧失稳定性。
考察图9-1所示的等直杆AB，若A端固定，B端作用沿轴线方向的载荷p。
实验表明，若外力p较小时，杆件保持在直线形状的平衡，微小的外界扰动将使杆件发生轻微的弯曲，干扰力解除后，杆件仍恢复直线形状，即外界的干扰不能改变其原有的铅垂平衡状态，压杆的直线平衡是稳定的；若外力p慢慢地增加到某一数值并且超过这一数值时，任何微小的外界扰动将使杆件AB发生弯曲，干扰力解除后，杆件处于弯曲状态下的平衡，不能恢复原图9-1有的直线平衡状态，杆件原有的直线平衡状态是不稳定的。
若外力P继续增大，杆件将因过大的弯曲变形而突然折断。
杆件维持直线稳定平衡的最大外力称为临界压力，记为P cr。
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡，称为丧失稳定，简称“失稳”。
工程上，一般的细长压杆，由于轴向载荷的偏心或杆件的初曲率，往往因这种屈曲而导致失效的。
因此压杆的“失稳”也称为“屈曲”。
机械中有许多细长压杆，如螺旋千斤顶的螺杆（图9-2a），内燃机气阀门的挺杆（图9-2b）等。
还有，桁架结构中的抗压杆、建筑物中的柱等都是压杆。
这类构件除了要有足够的强度外，还必须有足够的稳定性，才能正常工作。
(a)(b)图9-2除了压杆的失稳形式外，一些细长或薄壁的构件也存在静力平衡的稳定性问题。
例如，细长圆杆的纯扭转，薄壁矩形截面梁的横力弯曲以及承受均布压力的薄壁圆环等，都有可能丧失原有的平衡状态而失效。
图9-3给出了几种构件失稳的示意图，图中虚线分别表示其丧失原有平衡形式后新的平衡状态。
(a)(b)(c)图9-3承受轴向压力的细长压杆的平衡，在什么条件下是稳定的，什么条件下是不稳定的；怎样才能保证压杆正常、可靠地工作等等问题，统称为“稳定问题”。
《材料力学》第9章 压杆稳定 习题解
第九章压杆稳定习题解之迟辟智美创作[习题9-1]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形状a情况下.解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关.因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是（c）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠a）的微分方程分歧.临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两真个支领情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关.因此，[习题9-2]图示各杆资料和截面均相同，试问杆能接受的压力哪根最年夜，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？解：由这公式可知，对资料和截面相同的压杆，它们能接受的压力与原压相的相系数.（a（b（c（d（e（f故图e f.[习题9-3]图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上.试问两杆的临界力是否均为2.螺旋千斤顶（图c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于解：临界力与压杆两真个支领情况有关.因为(a)的下支座分歧于(b)的下支座，所以它们的临界力计算公式分歧.(b)可是，(a)为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素因此，不能用.为了考察（a）情况下的临界力，我们无妨设下支座（B解得：用试算法得：2.这与弹性支座的转动刚度C有关，C.螺旋千斤顶的底座与空中不是刚性连接，即不是固定的.它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止.当轴向压力不是很年夜，或空中较滑时，底座与空中之间有相对滑动，此时，不能看作固定端；当轴向压力很年夜，或空中很粗拙时，底座与空中之间无相对滑动，此时，可以看作是固定端.因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适.出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、.譬如，设因此，校核丝杆稳定性时，把它看作下端固平安，而是偏于危险.[习题9-4].[解]：设压杆向右弯曲.压杆处于临界状态时，两真个竖向end 的意思.若取下截离体为研究对象，.上述微分方程的通解为：.(a)把A 、B 的值代入（a ）得：鸿沟条件：③L x =；0=v ：)cos 1(0kL P M cr e -=， 0cos 1=-kL ④0=x 0'=v ：kL k P M cr e sin 0⋅=0sin =kL以上两式均要求：πn kL 2=，,......)3,1,0(=n其最小解是：π2=kL ，或L k π2=.故有：EI P L k cr ==222)5.0(π，因此：22)5.0(L EIP cr π=.[习题9-5]长m 5的10号工字钢，在温度为C 00时装置在两个固定支座之间，这时杆不受力.已知钢的线膨胀系数107)(10125--⨯=C l α，GPa E 210=.试问当温度升高至几多度时，杆将丧失稳定性？解：[习题9-6]两根直径为d 的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示.试根据杆真个约束条件，分析在总压力F 作用下，立柱可能发生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F 之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力cr P 的算式.解：在总压力F 作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况：（a ）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：（b ）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面. （c ）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳故面外失稳时cr P 最小：243128l Ed P cr π=.[习题9-7]图示结构ABCD 由三根直径均为d 的圆截面钢杆组成，在B 点铰支，而在A 点和C 点固定，D 为铰接点，π10=d l .若结构由于杆件在平面ABCD 内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D 处的荷载F 的临界值.解：杆DB 为两端铰支，杆DA 及DC 为一端铰支一端固定，选取.此结构为超静定结构，当杆DB 失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD 及DC 也失稳时整个结构才丧失承载能力，故[习题9-8]图示铰接杆系ABC 由两根具有相同截面和同样资料的细长杆所组成.若由于杆件在平面ABC 内失稳而引起毁坏，试确定荷载F 为最年夜时的θ角（假设20πθ<<）.解：要使设计合理，必使AB 杆与BC 杆同时失稳，即：[习题9-9]下端固定、上端铰支、长m l 4=的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求.已知杆的资料为Q235钢，强度许用应力MPa 170][=σ，试求压杆的许可荷载.解：查型钢表得：[习题9-10]如果杆分别由下列资料制成：（1）比例极限MPa P 220=σ，弹性模量GPa E 190=的钢；（2）MPa P 490=σ，GPa E 215=，含镍3.5%的镍钢；（3）MPa P 20=σ，GPa E 11=的松木.试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度. 解：（1）（2）（3）[习题9-11]两端铰支、强度品级为TC13的木柱，截面为150mm ×150mm 的正方形，长度m l 5.3=，强度许用应力MPa 10][=σ.试求木柱的许可荷载.解：由公式（9-12a ）：[习题9-12]图示结构由钢曲杆AB 和强度品级为TC13的木杆BC 组成.已知结构所有的连接均为铰连接，在B 点处接受竖直荷载kN F 3.1=，木材的强度许用应力MPa 10][=σ.试校核BC杆的稳定性.解：把BC 杆切断，代之以轴力N ，则由公式（9—12b ）得：因为st ][σσ<，所以压杆BC 稳定.[习题9-13]一支柱由4根mm mm mm 68080⨯⨯的角钢组成（如图），并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求.支柱的两端为铰支，柱长m l 6=，压力为kN 450.若资料为Q235钢，强度许用应力MPa 170][=σ，试求支柱横截面边长a 的尺寸.解：A（查表：，） ，查表得：m 4=mm[习题9-14]某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，资料为Q235钢，MPa 170][=σ.若按两端铰支考虑，试求杆所能接受的许可压力.解：由型钢表查得角钢： 得查表：故[习题9-15]图示结构中，BC 为圆截面杆，其直径mm d 80=；AC 边长mm a 70=的正方形截面杆.已知该结构的约束情况为A 端固定，B 、C 为球形铰.两杆的资料均为Q235钢，弹性模量GPa E 210=，可各自自力发生弯曲互不影响.若结构的稳定平安系数5.2=st n ，试求所能接受的许可压力.解：BC 段为两端铰支，1=μAB 杆为一端固定，一端铰支，7.0=μ故kN F 376][=[习题9-16]图示一简单托架，其撑杆AB为圆截面木杆，强度品级为TC15.若架上受集度为的均布荷载作用，AB 两端为柱形铰，资料的强度许用应力，试求撑杆所需的直径d .解：取m m -以上部份为分离体，由，有设，m 则求出的与所设基秘闻符，故撑杆直径选用m.[习题9-17]图示结构中杆AC 与CD 均由Q235钢制成，C ，D 两处均为球铰.已知mm ，mm ，mm ；，，；强度平安因数，稳定平安因数.试确定该结构的许可荷载.解：（1）杆CD 受压力3FF CD = 梁BC 中最年夜弯矩32F M B =（2）梁BC 中（3）杆CD（Q235钢的)100=P λ =（由梁力矩平衡得）故，由（2）、（3）可知，kN F 5.15][=[习题9-18] 图示结构中，钢梁AB 及立柱CD 分别由16号工字钢和连成一体的两根mm mm mm 56363⨯⨯角钢组成，杆CD 符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求.均布荷载集度m kN q /48=.梁及柱的资料均为Q235钢，MPa 170][=σ，GPa E 210=.试验算梁和立柱是否平安.解：（1）求过剩约束力CD F把CD 杆去失落，代之以约束反力CD F .由变形协调条件可知，查型钢表得：16（2）梁的强度校核（↑）AC令CBx 0 1 2 3 4 M 0.000 14.119 12.817 -22.367 12.817 14.119 0.000所以符合正应力强度条件，即平安.（3）立桩的稳定性校核所以压杆会失稳.不服安.。
工力09章-压杆稳定
Pcr= crA ,
cr
2E 2
= l / i , i
I d
A4
a=20/d , b=18/d .
Pcr(a)< Pcr(b)
例2:
已知： d =160 mm，Q235钢，E =206 GPa 。 求：二杆的临界载荷.
首先计算柔度，判断属于 哪一类压杆：
a=20/d ＝20/0.16=125,
1m
D
§9-５ 提高压杆稳定性的措施
大柔度杆：
Pcr
＝
2EI
l2
中柔度杆： Pcr ＝A( a - b)
1. 减小长度或增加中间约束。
2. 选择合理的截面形状，使各方向的惯性矩都尽可能 大并基本相同。因此，型钢应当组合（连接）使用。
3. 强化杆端约束。
4. 合理选用材料，对大柔度杆，采用高刚度的材料，对中 柔度杆，采用高强度的材料，可提高稳定性。 。
FP EI
d2v d x2
+
k2v
=0
k2=
FP EI
微分方程的解
边界条件
v =Asinkx + Bcoskx
v ( 0 ) = 0 , v( l ) = 0
两端铰支压杆的临界载荷
v(0)=0 v (l)=0
0•A+1•B=0 sinkl • A +coskl • B=0
0 sinkl
1 coskl
例： 其中：较小压力值就是杆件的临界压力值。
两端铰支；＝1.0
两端固定；＝0.5
小结： 支承对压杆临界载荷的影响
各种支承压杆临界载荷的通用公式
Pcr
2 EI
l 2
材料力学课件 第九章 压杆稳定
2 1 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验
公式。它的破坏既有强度又有稳定性。
四、压杆的分类及临界应力总图(Classification of
Columns and the Diagram of critical stress cr versus slenderness ratio )
(Applicable range for Euler’s formula)
只有在 cr ≤ p 的范围内，才可以用欧拉公式计算 压杆的临界压力 Fcr（临界应力 cr ）。推导欧拉公式时 所用的挠曲线近似微分方程是以材料服从虎克定律为 基础导得的，所以欧拉公式仅适用于线弹性范围。
σcr
或 令
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
关键
确定压杆的临界力 Fcr
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: Fcr
失稳（屈曲）：压杆丧失直线状态的平衡，过渡 到曲线状态的平衡。 临界压力：压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡 的压力临界值。
欧拉公式 的统一形式(General Euler Buckling Load Formula)
π 2 EI Fcr ( l )2
——长度因数，代表支持方式对临界载荷的影响。 l——相当长度，压杆失稳时挠曲线上两拐点间的长
度。
l物理意义是各种支承条件下，细长压杆失稳
时，相当的两端铰支细长压杆的长度，也就是挠曲线 中相当于半波正弦曲线的一段长度。
2 EI Fcr 2 l
这就是两端铰支等截面细长受压直杆
临界力的计算公式（欧拉公式）。
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11
§9.2
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
弯矩 M = -Fcry 挠曲线近似微分方程
Fcr w d 2 w M ( x) 2 dx EI EI
令
k2
Fcr EI
2 w k w0
通解：
w A sin kx B cos kx
目录
12
§9.2
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
0 .5
可得：
由于构件失稳后將丧失继续承 受原设计载荷的能力，其后果往往 是很严重的。因此在设计受压构件 时，必须保证其有足够的稳定性。
目录
8
其它失稳现象
9
结论:
对压杆，压力小于临界力, 压杆稳定； 压力大于临界力, 压杆失稳。
因此，确定压杆失稳与否关键 是临界载荷的确定。
确定临界载荷的平衡方法
10
§9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 直线平衡 微弯状态下的 曲线平衡 压杆保持微小弯曲 平衡的最小压力即 为临界力。
压杆稳定性的概念
不稳定平衡 微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置.
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置.
目录
3
工程实例
目录
4
压杆的稳定性试验
目录
5
压杆的平衡
※ 稳定性是指构件保持其原有平 衡状态的能力。
如果扰动除去后，能 够恢复到直线平衡形态， 则原来的直线平衡形态 是稳定的。
在 xz 平面内，两端固定，横截面绕 y 轴转：
20 123 Iy 2880 (cm 4 ) 12
iy Iy A 2880 3.46 (cm) 12 20
0.5
0.5 400 y 57.8 iy 3.46
目录
l
41
例题 9-4
由于 z y ，所以杆件将在xy 平面内发生失稳。
力度无 越杆论 小均是 为大 柔柔 度度 越杆 大还 是 临小 界柔
. .
目录
.
30
l i
Fcr cr A
l
31
练习题
1、（a）、（b）两根都是大柔度杆，材料、杆 长和横截面形状大小都相同，杆端约束不同。 其中（a）为两端铰支，（b）为一端固定，一端自 由。那么两杆临界力之比。
柔 度—影响压杆承载能力的综合指标。
注意：
柔度越大，临界应力越小，压杆越容易失稳。
26
欧拉公式的适用范围
2E cr 2 p
或
2E p
p—比例极限
2E 如令 p p
欧拉公式的适用范围可表示为
λ λP
(细长杆 大柔度杆)
27
问题的回答
设
μl λ i
34
§9.5
实际压杆的稳定因数
cr
[n]st
压杆的稳定许用应力： [ ]st
[n]st —— 稳定安全因数。
[σ]st与强度许用应力[σ]的关系：
[ ]st [ ]
——稳定因数
关系（书中表9-2，9-3） 钢结构设计规范中，列出 —
目录
35
木结构：
0.7
21
应当指出:
上边所列的杆端约束情况，是典型的理想 约束，实际上，工程实际中的杆端约束情况是 复杂的，应该根据实际情况作具体分析，看其 与哪种理想情况接近，从而定出近乎实际的长 度系数，也可按设计手册或规范的规定选取。
此外，欧拉公式是从符合胡克定律的挠曲 线近似微分方程导出的，所以,上述临界载荷 公式，只有在微弯状态下压杆仍处于弹性状态 时才是成立的。
目录
6
压杆的平衡
增大杆上压力Fp
如果扰动除去后不能恢复 到直线平衡形态，则称原 来的直线平衡形态是不稳 定的。
此时，压杆上对应的压力Fp称 为压杆的临界载荷，或临界力。 用Fcr 表示
目录
7
压杆的平衡
压杆当压力超过一定限度时就会 发生弯曲现象。由直线状态的平衡， 过渡到曲线状态的平衡。 ——称为丧失稳定，简称为失稳。
临界力
π 2 200 109 307 109 Fcr 2 l 1.52 269 103 N 269kN
目录
2 EI
17
§9.3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式， 压杆的长度因数
一端固定 一端自由
目录
18
Fcr
2 EI
(0.5l ) 2
两端铰支
两端固定
目录
39
例题 9-4
解：在 xy 平面内，两端铰支，横截面绕 z 轴转
12 203 Iz 8000 (cm 4 ) 12
iz Iz A 8000 5.77 (cm) 12 20
1.0
1 400 z 69.3 iz 5.77
40
l
目录
例题 9-4
Fcr 压杆的稳定条件： F [F ] nst
F [ ] A
或
F [ ] A
稳定计算步骤： （1）由iy、iz及约束情况确定λ； （2）由λ计算或查表确定 ； （3）根据稳定条件计算。
37
目录
2E 压杆的临界应力： cr 2
又稳定因数 φ 随柔度 λ 的增大而减小，所以压杆
28
二、折减弹性模量理论
λ λP
P
临界力：
(大柔度杆) (小柔度杆)
欧拉公式 折减弹性模量理论
P
E
Eσ
2 E rI Fcr ( l ) 2
4 Eσ E 折减弹性模量： Er 2 （ E Eσ ）
o
其中Eσ 为切线弹性模量，图中曲线上某点切线的斜率。
目录
29
三、压杆的临界应力总图
w A sin kx B cos kx
wy Fcr
边界条件 （1） x = 0，w = 0 ， （2） x = l， w =0 ， 得 B =0 Asinkl =0
若 A = 0，则 w ≡ 0，压杆恒为直杆，与原题意不符。
所以， sinkl = 0， kl = nπ （ n = 0，1，2，…）
(其中一端 轴向可动）
19
Fcr
EI
2
( 2l )
2
Fcr
2 EI
(0.7l ) 2
一端自由 一端固定
一端铰支 一端固定
20
各种支承压杆临界压力的通用公式
2 EI Fcr ( l ) 2
欧拉公式普遍形式
长度系数（长度因数）
l 相当长度
1.0
0.5
2.0
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
l2 由公式可知：压杆越细、越长，临界力越低，压 杆越容易失稳。
欧拉公式
Fcr
2 EI
在工程实际中，我们希望提高压杆的临界力，从 而提高压杆的承载能力。
目录
15
§9.2
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
wy
Fcr
l （1）理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，
欧拉公式
Fcr
2 EI
2
的适用条件：
材料均匀）；
（2）线弹性，小变形；
（3）两端为铰支座。
目录
16
例题 9-1
已知：两端铰支细长压杆，横截面直径
d=50mm，材料为Q235钢，弹性模量
E=200GPa，σs=235MPa。试确定其临界 力。 解： 截面惯性矩
I π 4 π d 0.05 307 10 -9 m 4 64 64
图(b)
I min I z 3.89 10 8 m 4
z
y L
L
2 I min E Fcr (2l )2
图(a)
2 0.389 200
(2 0.5)
2
76.8kN
(4545 6) 等边角钢 图(b)23
目录
？问题的提出
材料和直 能不能应 用欧拉公式计 算四根压杆的 临界载荷？
d 4
i I A 64 d d 2 4 4
材料Q235钢，d=50mm. l=0.5m p 100
(a ) 200 p
(b) 196 p
(c ) 180 p
1 0.7 0.5 2.0
(d ) 160 p
得 FN 26.6kN
例题 9-5
AB杆
1
i I A
l i 1.5 l 1.732 m cos 30
D 4 d 4 4 64D 2 d 2
D2 d 2 16mm 4
1 1.732 103 得 108 λ P 16
树种强度等级为TC17，TC15及TB20：
75
1 1 80
2
75
3000
2
1 1 65
2
树种强度等级为TC13，TC11、TB17及TB15 ：
91
91
2800
2
目录
36
§9.6 压杆的稳定计算 压杆的合理截面
合理的截面应使 λ 尽可能小，或 i 尽可能大。
目录
38
例题 9-4
一截面为12cm×20cm的 矩形木柱，长 l =4m，其 支撑情况是：在 xy 平面 内弯曲时为两端铰支， （图（a）），在 xz 平面 内弯曲时为两端固定 （图（b）） 。木柱为松 木，弹性模量E=10GPa， λP=59。试求木柱的临界 力和临界应力。