信号与线性系统分析第四次课

x’(t)
∫
4
x(t)
3 ∑ y(t)
设辅助变量x(t)如图
x”(t)=f(t)–2x’(t)–3x(t),即x”(t)+2x’(t)+3x(t)=f(t) y(t) = 4x’(t)+ 3x(t) y”(t) + 2y’(t) + 3y(t) = 4f’(t)+ 3f(t)
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由框图写差分方程
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线性系统的条件
动态系统响应不仅与激励{ f (· }有关，而 ) 且与系统的初始状态{x(0)}有关, 初始状态 也称“内部激励”。 y (· = T [{x(0)},{f(· ) )}] yzi(· T [{x(0)}，{0}] )= yzs(· T [{0},{f(· )= )}] ⑵ 动态系统是线性系统，要满足下面3个条件： 可分解性 y(· yzi(· yzs(· )= )+ ) ⑴ 零状态线性 零输入线性
§1.6 系统的特性与分析方法
一、系统的特性
f (·)
系统 T
y (·)
f(t):系统的激励 y(t):系统的响应 y(·= T[f(· ) )]
• • • •
线性性质 时不变性 因果性 稳定性
本课程重点：讨论线性时不变系统。 (Linear Time-Invariant)，简称LTI系统。
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二阶常系数线性微分方程
L
R C
uS(t)
uC(t)
抽去具有的物理含义，微Baidu Nhomakorabea方程写成
d y (t ) d y (t ) a2 a1 a0 y (t ) f (t ) 2 dt dt
2
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2. 离散系统的解析描述
某地区第k年的人口为y(k), 人口的正常出 生率和死亡率分别为a和b，第k年从外地迁入的 人口为f(k)，那么第k年的人口总数为： y(k)= y(k-1)+ ay(k-1) )- by(k-1)+f(k) 差分方程是指由未知输出序列项与输入序列 项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低 序号的差数，称为差分方程的阶数。 由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。
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②零状态线性： T[{0},{af1(t)+bf2(t)}]=aT[{0},{f1(· )}]+bT[{0},{f2(· )}] ③零输入线性：
T[{ax1(0) +bx2(0)},{0} ]= aT[{x1(0)},{0}] +bT[{x2(0)},{0}]
线性连续系统（离散）
线性微分（差分）方程
f 2 t
∫ f (t)
a f (t) 或 af (t) a

t
f t

f ( x) d x
T
f t T
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2. 离散系统的基本单元
f 1(k) f 1(k) - f 2(k)
加法器
∑ f 2(k)
迟延单元
D f (k) f (k-1)
a
数乘器
f (k) 或
af (k) a
思考题
1 （浙大2002年）下列表达式中正确的是____。
A. d(2t)= d(t)
C. d(2t)= 2d(t)
1 B. d(2t)= 2 d(t)
D. 2d(t)= 1 d(2t) 2
2 （西安电子科大2006年）积分等于_________
（t 。
-

2
2)[d ' (t 1) d (t 1)]dt
例3：已知框图，写出系统的差分方程。
x(k) x(k-1)
∑ f (k) 2 3 D D 4
x(k-2)
5 ∑ y(k)
解：设辅助变量x(k)如图 x(k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)
即
x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)
y(k)=4x(k-1)+5x(k-2) 消去x(k) ，得 第 y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)11 页
1. 线性
⑴ 线性性质：齐次性和可加性 齐次性：
f(· →y(· ) )
af(· ay(· )→ )
可加性： f1(· y1(· )→ ) f1(· f2(· y1(· y2(· )+ )→ )+ ) f2(· y2(· )→ ) 综合，线性性质： af1(· bf2(· ay1(· by2(· )+ )→ )+ )
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由微分方程画框图
例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，画框图。 解：将方程写为y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)
y"(t) y(t) ∫
∑ f(t) a
∫
y'(t)
b
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由框图写微分方程
例2：已知框图，写出系统的微分方程。
x”(t)
∑ f (t) 2 3 ∫
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二、系统的数学模型
连续系统解析描述：微分方程
离散系统解析描述：差分方程
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1. 连续系统的解析描述
图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为 响应，由KVL和VAR列方程，并整理得
d 2 uC d uC uC uS LC 2 RC dt dt u (0)， '(0 ) uC C
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（2） y(t)=2x(0)+|f(t)| （3） y(t)=x2(0)+2f(t) 解： （2）yzs(t)=|f(t)|，yzi(t)=2x(0) y(t)=yzs(t)+yzi(t) 满足可分解性； 由于T[{0},{af(t)}]=|af(t)|≠ayzs(t) 不满足零状态线性。故为非线性系统。 （3）yzi(t)=x2(0)， T[{ax(0)},{0}]=[ax(0)]2 ≠ayzi(t) 不满足零输入线性。故为非线性系统。
B.1 C.3 D.5
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A.0
3（华中科大2006年）计算sint· d′(t)= ? 4（哈尔滨工程大学2003年）计算下列信号值。
（1）
f1 (t ) （t 2)d (t 2)dt 2
2 -

5（中国传媒大学2005年）已知信号图形如图所示， 画出f(2-4t)的图形。
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三．系统的框图描述
用框图表示系统的激励与响应之间的数学 运算关系。一个方框表示一个某种功能的部件 或一个子系统。
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1. 连续系统的基本单元
加 法 器 积 分 器 数 乘 器
f 1(t) f 1(t) - f 2(t) ∑ f 2(t)
乘 法 器 延 时 器
f1 t
f1 t f 2 t
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判断线性系统举例
判断下列系统是否为线性系统？ （1） y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1 （2） y(t)=2x(0)+|f(t)| （3） y(t)=x2(0)+2f(t) 解：（1）yzs(t)=2f(t)+1，yzi(t)=3x(0)+1 显然， y (t) ≠ yzs(t) ＋ yzi(t) 不满足可分解性，故为非线性