高等传热学讲义
高等传热学稳态导热1
)(2=Φ+∇=Φ+∇∙∇∙∙λλt t )(12133212dx dt h h h dx d h h h t =∇高等传热学稳态导热第二讲: 稳态导热 1. 控制方程：B a s i c E q s当导热系数为常量时：P o i s s i o n E q . v 当 1-D 时: 其中拉梅系数 h 1,h 2,h 32．1D ，有内热源，3r d B .C 时的解 【1】1D ，内热源为常数，3r d B .C 时的解若沿传热方向r 传热面积A 的变化规律为A =C r n ，有边界条件:其解为: 2222(1)R r t t m hR R λλ∞Φ-=+- 其中： n m =2(n +1) V /A =R /(n +1)0 2 R 1 4 R /2 2 6 R /3202(1)R t t m hRλλ∞Φ-=+在r=R(外表面)处的温度: 2w R t t hm ∞Φ-= 导热体最大温差：20w R t t m λΦ-= 。
温差正负取决于内热源，加热为正，吸热为负。
外表面热流与内热源关系：/()/(1)w w q V A h t t R n ∞=Φ=-=Φ+ Spheren Cylinder n Plate n dr dt r n dr t d 210022====Φ++∙λ0,0,()w dt r dr dt hr R t t dr λ∞====--当h =∞， t ∞=t w :相当于外表面是第一类边界条件222(1)R r t t m Rλ∞Φ-=-【2】．1D ，内热源为温度线性函数a bt Φ=+ ，3r d B .C 时的解： 一般有：20t a bt λ∇++=，叫H e l m h o t z e q s将：a bt Φ=+ 代入H e l m h o t z e q s ，得：2/0b λ∇Φ+Φ= 。
1D ：220d n d b dr r dr λ∙∙∙ΦΦΦ++=))A B Φ=+ 平壁 B =0, /()))A h h ∞=Φ- 00))AJ BY Φ=+ 圆筒壁 B =0, ))A B Φ=+ 可用于通电导线、核燃料的计算。
《高等传热学chap》课件
详细描述
求解导热问题的方法主要包括解析法和数值法两大类，解析法适用于简单几何形状和边界条件，数值法则更为通用。
总结词
求解导热问题的方法主要包括解析法和数值法两大类。解析法适用于简单几何形状和边界条件的问题，可以通过数学推导得到精确解。数值法则适用于更复杂的问题，通过将导热微分方程离散化，采用差分、有限元或有限差分等方法求解。数值法可以处理复杂的几何形状、非均匀介质和复杂的边界条件等问题，但计算量较大，需要借助计算机进行求解。
高等传热学chap
Chap.1 传热学简介Chap.2 导热基本定律Chap.3 对流换热Chap.4 辐射换热Chap.5 传热过程综合分析
contents
目录
Chap.1 传热学简介
CATALOGUE
01
传热学是一门研究热量传递现象的科学，主要涉及温度差引起的热量传递以及热量传递过程中的规律和现象。
总结词
导热微分方程是描述导热过程的基本方程，它基于能量守恒原理和傅里叶定律。
导热微分方程是传热学中的基本方程，它表示在稳态或瞬态导热过程中，单位时间内通过单位面积传递的热量与温度梯度成正比。该方程基于能量守恒原理和傅里叶定律，适用于各种形状和材料的导热问题。求解导热微分方程可以得到导热问题的温度分布和热量传递情况。
通过改进传热设备结构和操作方式，提高传热效率，如增加换热面积、采用新型导热材料等。
传热削弱
在特定场合下，为了限制热量传递而采取措施削弱传热过程，如隔热、保温等。
热量有效利用
合理利用和回收热量，实现能量的高效利用，减少能源浪费。
THANKS
感谢观看
总结词
求解对流换热问题的方法主要包括实验研究、理论分析和数值模拟。
要点一
高等传热学-chapter
r
面，因此在该处一阶导热为零，由
此得
C1 0
dt qV r
dr 2
再次积分得
dt qV r
dr 2
t
qV r2
4
C2
应用另一个边界条件
rR, tt1
得
C2 t t14qV R2
得最后的通解
tt14qV (R2r2)
若另一个边界条件为第三类边界条件，即
rR, -d drth(ttf)
此时最后的通解为
第二章 稳态导 热 Steady-State Heat Conduction
稳态导热 t 0
§2-1 一维稳态导热
直角坐标系（Cartesian coordinate system） :
ddx(ddxt)qV 0
圆柱坐标系（Cylindrical coordinate system） :
1rddr(rddrt)qV 0
0.5
shx
chshx
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
2-2-2 变截面直肋
以三角形直肋为例进行讨论。
h，t∞
由微元段dx的能量守恒，可
以得到热微分方程式
δ
x
0
ddxA(x)d dxthU (tt)0
x dx
H
ddxA(x)ddxhU 0
此处 tt
对于三角形肋
A(x) L x
qddxt t1t2
对于其它的边界条件可采用热阻的概念进行分析
例如：
q
t1 t f
1
1
＋
1 h
h
高等传热学课件对流换热-第2章-4
1 r
d dr
(r
dT dr
)
=
2u a
⋅
dT dx
[1 −
(
r R
)2
]⋅
T T
− Tw − Tw
(2.4.27)
上式可通过多次迭代求解：
Nud = 3.657
(2.4.28)
对其它截面形状通道内的层流充分发展流换热，也可得出 Nud 。
如矩形
b
b a = 1时， Nud = 2.976 Nud = 3.608
Nud
=
hx ⋅ d λ
=
48 11
≈
4.36
(2.4.26)
2. Tw = const 情况
相变换热器、水当量相当的顺流式换热器属于此情况。当
Tw
=
const
，虽
∂2T ∂x 2
≠
0 ，但通常忽略轴向导热，令
∂2T ∂x 2
=
0
。再将
∂T ∂x
=
T T
− Tw − Tw
⋅
dT dx
和 u = 2u[1−( r )2 ] 代入能量方程(2.4.20)式得： R
(2.4.13)
(2.4.14) (2.4.15) (2.4.16)
对平行平板通道：
Cf
=
24 Red
⇒
或
C f ⋅ Red = 24 f ⋅ Red = 96
这里： Red
=
ude ν
， de
=
2b ，b为通道宽度。
对其它截面形状通道： C f ⋅ Red = 16⋅ C
或
f ⋅ Red = 64C f
ri
ro
传热学讲义第一章—导热理论基础
第一章 导热理论基础本章重点：准确理解温度场、温度梯度、导热系数等基本概念，准确掌握导热基本定律及导热问题的基本分析方法。
物质内部导热机理的物理模型：（1）分子热运动；（2）晶格（分子在无限大空间里排列成周期性点阵）振动形成的声子运动；（3）自由电子运动。
物质内部的导热过程依赖于上述三种机理中的部分项，这几种机理在不同形态的物质中所起的作用是不同的。
导热理论从宏观研究问题，采用连续介质模型。
第一节 基本概念及傅里叶定律1-1 导热基本概念一、温度场(temperature field)（一）定义：在某一时刻，物体内各点温度分布的总称，称为即为温度场（标量场）。
它是空间坐标和时间坐标的函数。
在直角坐标系下，温度场可表示为：),,,(τz y x f t = （1-1）（二）分类：1．从时间坐标分：① 稳态温度场：不随时间变化的温度场，温度分布与时间无关，0=∂∂τt ，此时，),,(z y x f t =。
（如设备正常运行工况） 稳态导热：发生于稳态温度场中的导热。
② 非稳态温度场：随时间而变化的温度场，温度分布与时间有关，),,,(τz y x f t =。
（设备启动和停车过程）非稳态导热：在非稳态温度场中发生的导热。
2．从空间坐标分： ① 三维温度场：温度与三个坐标有关的温度场，⎩⎨⎧==稳态非稳态),,(),,,(z y x f t z y x f t τ ② 二维温度场：温度与二个坐标有关的温度场，⎩⎨⎧==稳态非稳态),(),,(y x f t y x f t τ∆tt-∆tgrad t③ 一维温度场：温度只与一个坐标有关的温度场，⎩⎨⎧==稳态非稳态，)()(x f t x f t τ 二、等温面与等温线1．等温面(isothermal surface)：在同一时刻，物体内温度相同的点连成的面即为等温面。
2．等温线(isotherms)：用一个平面与等温面相截，所得的交线称为等温线。
为了直观地表示出物体内部的温度分布，可采用图示法，标绘出物体中的等温面（线）。
高等传热学讲义
第2章边界层方程第一节Prandtl 边界层方程一.边界层简化的基本依据外：粘性和换热可忽略)(t δδ,l l t <<<<δδ或内：粘性和换热存在)(t δδ特征尺寸—l二.普朗特边界层方程常数性流体纵掠平板，层流的曲壁同样适用)。
δvlu ∞∞∞u lv v l u δδ~~，可见，0=∂∂+∂∂yv x u )()((x x R δ>>曲率半径yxuv∞∞T u ,wT ∞∞T u ,δl)(12222yu x u x p y u v x u u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρδδ∞∞u u llu u ∞∞2l u ∞ν2δν∞u )(2lu ∞除以无因次化11Re12))(Re 1(δl因边界层那粘性项与惯性项均不能忽略，故项可忽略，且说明只有Re>>1时，上述简化才适用。
)(12222yv x v y p y v v x v u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρ1~))(Re 1(2δllδ；可见2222xuy u ∂∂>>∂∂δδ1)(2∞u l l u lu /)(∞∞δ2/)(lu l ∞δν2/)(δδν∞u l ：除以lu 2∞)(Re 1lδ))(Re 1(δl lδ可见，各项均比u 方程对应项小得多可简化为于是u 方程压力梯度项可写为。
)(2222yTx T a y T v x T u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂,0=∂∂yp dxdpρ1-),(lδ乘了δθδwu l )(∞lu w θ∞2lawθ除以：lu w θ∞Pe/12)(/1δlPe 12δθwa 1)(∞-=T T w w θPr)Re (⋅====∞∞贝克列数—导热量对流热量w w p lk u c a l u Pe θθρ边界层方程：。
时或当可忽略可见，)1,1~)(1(222>>∂∂Pe l Pe x T a δ0=∂∂+∂∂yvx u )(12222yu x u x p y u v x u u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρ)(2222yT x T a y T v x T u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂其中，压力的变化由主流速度的变化确定：,0=∴=∞dxdpdx du 对于平板，gf e d c b a y x yy xy xx =+++++φφφφφφ（主流柏努利方程）dxdu u dx dp ∞∞=ρ1（主流速度可按势流问题求解得到）二.普朗特边界层方程定义：对于二元二阶线性偏微分方程（a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 均为x ，y 的已知函数）当，称为双曲型的，（无粘超音速流问题）；当，称为抛物型的；当，称为椭圆型的。
西安交大高等传热学热对流第一章讲解
Uniform wall temperature Uniform heat flux
高等传热学 Advanced Heat Transfer
表面传热系数 h
qw,x
t y
yw,x
流体温度场
特别是壁面附 近的温度分布
求 hx 的关键： t x, y, z,
温度场 受到流场的影响 数学上解方程
流场
高等传热学 Advanced Heat Transfer
Chap. 1 Mathematic formulation
对流研究重要性： 学习特点：
回顾流体力学与传热学的发展，特别领会关键 时候处理问题的方法与思路。
由复杂到简单，再修正简单以适用复杂
分析解
高等传热学 Advanced Heat Transfer
分析 采用数学分析求解的方法，有指导意义。 解法
通过大量实验获得表面传热系数的计 实验法 算式，是目前的主要途径。
比拟法
通过研究热量传递与动量传递的共性， 建立起表面传热系数与阻力系数之间
的相互关系，限制多，范围很小。
数值 与导热问题数值思想类似，发展迅速， 解法 应用越来越多。
高等传热学 Advanced Heat Transfer
常见相似准则数的物理意义
1. 努塞尔数
Nu hl
tw t / tw t f
y/l
y0
Nu — 流体在壁面处法向无量纲过余温度梯度。
2. 雷诺数
Re ul
Re — 流体惯性力与粘性力的相对大小。
3. 普朗特数
Pr
a
Pr — 流体动量扩散能力与热量扩散能力相对大小。
4. 格拉晓夫数
思考：是对qx沿传热表面做积分平均，还是直接对hx做 积分平均？什么时候可以直接对hx做积分平均？
《高等传热学chap》课件
解释实际物体的辐射特性，如反射率和吸收率，并探讨辐射传热的应用。
传热计算
传热方程
数值模拟
介绍传热计算的基本方程和方法， 如热传导方程和对流换热方程。
探讨使用数值方法进行传热计算 和仿真的优势和应用。
实验方法
介绍传热实验方法和实验设备， 如热平衡法和热敏电阻。
传热设备
散热器
探索散热器的工作原理和设计要点，如片状散热器 和鳍片散热器。
2
对流传热
探讨对流传热的机制和传热系数的影响因素，如流体性质和流动特性。
3
自然对流和强迫对流
比较自然对流和强迫对流的特点和应用，如自然对流冷却和换热器。
热辐射
1 辐射热传递
介绍辐射热传递的基本原理和辐射能量的计算方法，如斯特凡-玻尔兹曼定律。
2 黑体辐射
探讨理想黑体的特性以及黑体辐射的应用，如太阳能利用。
传热学的应用
掌握传热学的知识可以应用于热工、建筑、能源等领域的设计和优化。
热传导
导热性
传热方程
介绍物质的导热性及其影响因素， 如热导率、温度梯度等。
解释热传导的数学模型，如傅立 叶热传导定律。
实际应用
探讨热传导在工程和日常生活中 的应用，如散热器、保温材料等。
热对流
1
流体运动
介绍流体的运动以及流体力学的基本概念，如速度场和压力场。
《高等传热学chap》PPT 课件
欢迎来到《高等传热学chap》PPT课件！本课程将带你深入了解热传导、热 对流、热辐射等传热现象，并探讨传热计算和传热设备。一起来探索这个引 人入胜的领域吧！ Nhomakorabea导言
传热的重要性
传热是物质和能量的交互过程，在工程和科学领域中发挥着重要作用。
高等传热学课件对流换热-第2章-5
⋅e
2 − λn ⋅ξ
(2.5.15)
Nux =
hx ⋅ 2 R
λ
=
1 2
n=0
∑ λ2 ⋅e
n
n=0 ∞
∑ Gn ⋅ e −λn ⋅ξ
Gn
2 − λn ⋅ξ
(2.5.16)
式中，Gratz 基本函数 Gn 为： Gn = − CnYn' (1) 。 本征值 λn 及 Gratz 基本函数值 Gn 为：
则能量方程的形式仍为：
∂ 2θ ∂η 2 + 1 ∂θ ∂θ = (1 − η 2 ) ∂ξ η ∂η
R.Siegel 用分离变量法及施特姆—刘维尔理论，求出了本征值与本
征函数值，进而得出无量纲温度分布为：
2 1 7 Θ = ∑ C n e − λn ξ ⋅ Yn (η ) + 4ξ + (η 2 − η 4 − ) 4 24 n =1
x
1). 速度分布与温度分布均已发展。如：1-1 截面后，这时，
∂u = 0， ∂x
∂Θ = 0。 ∂x
这种情况下的对流换热求解最简单， Nu = 常数。
2). 速度分布已充分发展，温度分布正在发展。如：2-2 截面后，这时，
∂Θ ∂u ≠ 0。 = 0， ∂x ∂x 此情况下，求解复杂， Nu = f ( x ) 。
由此，解出的 Nux 随的 ξ 变化为：
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= 0， = 0.001， = 0.01， = 0.04， = 0.08， = 0.1， = 0.2， Nux = ∞ Nux = 12.80 Nux = 6.00 Nux = 4.17 Nux = 3.77 Nux = 3.71 Nux = 3.66
传热学讲义
（7）黑体辐射的控制方程： Stefan-Boltzmann (斯特藩-波尔兹曼10-8 W/(㎡·K4)
真实物体则为： AT 4
（8）两黑体表面间的辐射换热
A (T14 T24 )
T1
T2
T14
T24
q12 (T14 T24)
按温度与时间的依变关系，可分为 稳态和非稳态两大类
稳态：温度场不随时间变化而变化
非稳态：周期性 瞬态
热量传递的三种基本方式
热传导（导热）conduction
热对流（对流）convection
热辐射
thermal radiation
1 导热（热传导）(Conduction)
⑴定义： 指同一物体温度不同的各部分或温度不同的两物体间直接接触 时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动而进行的热量 传递现象。
(2)物质的属性： 可以在固体、液体、气体中发生 (3)导热的特点： a 必须有温差； b 物体直接接触；
c 依靠分子、原子及自由电子等微观粒子 传递热量；
d 在引力场下单纯的导热只发生在密实固体中。
热运动而
(4)导热的基本定律：
1822年，法国数学家Fourier:
Φ A dt W
dx
q Φ dt
Δt——换热温差，℃
(5) 对流换热系数
（Convection heat transfer coefficient）
h Φ (A(tw t )) W/㎡·℃
当流体与壁面温度相差1℃时、每单位壁面 面积上、单位时间内所传递的热量
影响h因素：
流速、流体物性、壁面形状大小等
(6) 对流换热热阻： Thermal resistance for convection
高等传热学ppt课件
复合换热过程的数学模型
建立复合换热过程的数学模型，包括热传导、对流换热和辐射换热 的综合效应，以及不同换热方式之间的耦合关系。
复合换热过程的数值模拟
采用数值模拟方法，对复合换热过程进行仿真分析，揭示其温度场 、流场和传热特性的变化规律。
06
高等传热学应用领域探讨
Chapter
微尺度传热现象研究
微尺度传热机制
探讨在微米和纳米尺度下，热传导、热对流 和热辐射等传热机制的特点和规律。
微尺度效应
分析微尺度下，表面积与体积比增大、热边界层变 薄等效应对传热过程的影响。
微纳器件热管理
研究微纳电子器件、MEMS器件等的热设计 、热分析和热控制方法，以提高器件性能和 可靠性。
多维稳态导热问题求解
多维稳态导热
物体内部温度分布不随时间变化，但热量在多 个方向上传递。
求解方法
通过求解多维导热微分方程，结合给定的定解 条件，得到物体内部的温度分布。
应用举例
求解复杂形状物体、多层材料组成的复合结构等在稳态导热下的温度分布。
03
对流换热过程分析与计算
Chapter
对流换热现象及分类
热力学第一定律
热量可以从一个物体传递到另一个物体，也可以 与机械能或其他能量互相转换，但是在转换过程 中，能量的总值保持不变。
牛顿冷却定律
当物体表面与周围存在温度差时，单位时间从单 位面积散失的热量与温度差成正比。
热力学第二定律
不可能把热从低温物体传到高温物体而不产生其 他影响，或不可能从单一热源取热使之完全转换 为有用的功而不产生其他影响，或不可逆热力过 程中熵的微增量总是大于零。
高等传热学(研究生学习)
第二节 导热微分方程
一、直角坐标系中的导热微分方程
假设：
（1）物性参数为常数（λ，ρ，c） （2）材料各相同性 （3）物体内具有内热源qv，单位时间体积发出的
热量。
dy
Qx
dz Qy
思路：取一微元体—平行六面体
dx
dv=dx·dy·dz
根据能量守恒有：
Qz
（流入控制体能量－流出控制体能量）＋内热源
以上讲的是热辐射，而不是辐射换热。
（4）辐射换热
tw1
tf
tw2
透明气体
考虑两个无限大平板的 辐射换热（黑体）
Q1 A1 bT14 ,
Q2 A2 bT24
Q1,2 A1 bT14 A2 bT24 A b (T14 T24 )
第三节 热阻的概念
公式Q A tw1 tw2 A t 及
纯铜(20 C)
399
W (m K )
碳钢(20C) 36.7 W (m K )
水（20C） 0.599 W (m K )
干空气（20C） 0.0259 W (m K)
在一般情况下： ①λ固>λ液>λ气； ②λ导>λ非导； ③λ湿>λ干； ④λ多孔<λ实体 习惯上把平均温度不高于350℃时的导热系数λ<0.12W/(m.K) 的材料 称为保温材料(GB4272-92)。 隔热材料一般利用气体导热系数小的特点，把材料做成蜂窝状多孔性。
gradt
n
n0 n n
说明：
因二相邻等温面之间以法线方向的热量变化最显著。
温度梯度是一个矢量，也可表示成
gradt
i
t
j
t
k
t
x y z
高等传热学
如果
0
常数
Dvi p 1 div(V ) fi 2vi D xi 3 xi
§1-2 基本守恒方程式
不可压缩流体，二维稳定流动，直角坐标系下
常数
u 2u 2u u p u v f x 2 2 y x y x x 2v 2v v v p u x v y f y y x 2 y 2
流体位移结果＋控制体内流体动量的时间变化率＝体积力＋表面力
§1-2 基本守恒方程式
v n vi dA
A
v i d f i d jj n j dA A
根据散度定理，
div v v v i i d f i d jj n j dA A
§1-1导热基本定律
Fourier定律 内容：热流密度在任一方向上的分量与该方向上 的温度变化率成正比。 dt 表达式： q n grad (t ) ▽t
dn
An
即
dt n dn t t q y q x y x
§1-3 正交坐标系中的基本方程式
第三节 正交坐标系中的基本方程式 一、正交坐标系
概念：三个坐标曲面相互正交，两个坐标曲面交线为坐标曲线或坐标轴。 推导：正交坐标的弧微分与正交坐标之间的关系 正交坐标系（u1，u2，u3），直角坐标系空间一点M（x，y，z）
dsi dx dy dz
( H H1 H 2 H3 )
dV ds1 ds2 ds3 H1 H 2 H3 du1du2du3 H du1du2du3
高等传热学_第二章_稳态导热..
2-2 扩展表面——准一维问题
其中
m
hP A
常数C1和C2需借助于合适的边界条件求得。一个条件是已知助基
温度，即
x 0, 0
可写作
（2-2-4）
如果另一端以对流换热的方式把热量传给周围环境，则边界条件
d x H , A h2 A dx
系数。
（2-2-5）
其中A是垂直于x轴的肋片截面面积，P＝2(L+δ)≈2L是该截面的周
长。 引进过余温度θ＝t-tf，该肋片的稳态导热微分方程有如下的形式：
d 2 hP 0 2 dx A
（2-2-2）
这是一个二阶线性齐次常微分方程，有如下形式的通解：
C1emx C2emx
（2-2-3）
双曲函数的值可在数学函数表中查得，或根据其定义计算得到：
e x e x e x e x shx chx , shx , thx 2 2 chx 如果由边界条件式(2-2-4)、(2-2-5)确定常数C1和C2，即考虑肋端 的散热损失，可得
q
t t dt 1 2 dx
（2-1-5）
注意到热流密度与坐标x无关，是一个常量。 从导热微分方程出发求解温度分布是解决导热问题的一般方法，
但对于无内热源的一维稳态导热问题这样的特例，则可以从傅里 叶定律直接积分确定热流。对于一维导热，傅里叶定律可写作
dt q dx
0 t1
qdx dt
t2
m
t2
t1
dt
t2 t1
t1 t2
（2-1-8）
高等传热学-傅立叶导热定律及导热方程 ppt课件
ppt课件
1
机械波的形成 Form of the mechanical wave
物体的振动(vibration)要与周围物质发生 相互作用，从而导致能量向四周传播
机械波正是这样一个机械振动的传播过程 机械波的形成需要两个条件：波源(source)
及传播振动的物质(media) 波源是引起波动的初始振动物体 传播振动的物质一般为弹性介质(elastic
(t)
1 H
3 i 1
xi
(
H Hi2
t xi
)
将此表达式代入导热微分方程，则：
(ct)
1 H
3 i1
xi
(
H Hi2
t xi
)
qV
ppt课件
26
齐次（Homogeneous）问题与非齐次 问题
只有当微分方程与边界条件均为齐次的情况 下，才能将此问题视为其次
导热积分方程 integral equation 导热微分方程 differential equation 导热变分方程 variation equation
ppt课件
17
导热积分方程及其推导
heat conduction integral equation and its deduction
A q n dA
V qV dV
内能增加量 intrinsic energy increasing
V
(e)dV
将各项表达式代入热平衡式：
V
( e)dV
q n dA
A
V qV dV
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第2章边界层方程第一节Prandtl 边界层方程一.边界层简化的基本依据外：粘性和换热可忽略)(t δδ,l l t <<<<δδ或内：粘性和换热存在)(t δδ特征尺寸—l二.普朗特边界层方程常数性流体纵掠平板，层流的曲壁同样适用)。
δvlu ∞∞∞u lv v l u δδ~~，可见，0=∂∂+∂∂yv x u )()((x x R δ>>曲率半径yxuv∞∞T u ,wT ∞∞T u ,δl)(12222yu x u x p y u v x u u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρδδ∞∞u u llu u ∞∞2l u ∞ν2δν∞u )(2lu ∞除以无因次化11Re12))(Re 1(δl因边界层那粘性项与惯性项均不能忽略，故项可忽略，且说明只有Re>>1时，上述简化才适用。
)(12222yv x v y p y v v x v u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρ1~))(Re 1(2δllδ；可见2222xuy u ∂∂>>∂∂δδ1)(2∞u l l u lu /)(∞∞δ2/)(lu l ∞δν2/)(δδν∞u l ：除以lu 2∞)(Re 1lδ))(Re 1(δl lδ可见，各项均比u 方程对应项小得多可简化为于是u 方程压力梯度项可写为。
)(2222yTx T a y T v x T u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂,0=∂∂yp dxdpρ1-),(lδ乘了δθδwu l )(∞lu w θ∞2lawθ除以：lu w θ∞Pe/12)(/1δlPe 12δθwa 1)(∞-=T T w w θPr)Re (⋅====∞∞贝克列数—导热量对流热量w w p lk u c a l u Pe θθρ边界层方程：。
时或当可忽略可见，)1,1~)(1(222>>∂∂Pe l Pe x T a δ0=∂∂+∂∂yvx u )(12222yu x u x p y u v x u u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρ)(2222yT x T a y T v x T u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂其中，压力的变化由主流速度的变化确定：,0=∴=∞dxdpdx du 对于平板，gf e d c b a y x yy xy xx =+++++φφφφφφ（主流柏努利方程）dxdu u dx dp ∞∞=ρ1（主流速度可按势流问题求解得到）二.普朗特边界层方程定义：对于二元二阶线性偏微分方程（a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 均为x ，y 的已知函数）当，称为双曲型的，（无粘超音速流问题）；当，称为抛物型的；当，称为椭圆型的。
042>-ac b 042=-ac b 042<-ac b抛物型方程特点例：一维非稳态导热22xT a t T ∂∂=∂∂无影响，对，则坐标：若)()(1212t T t T t t t >t 称为单向坐标。
x 称为双向坐标。
的、受两侧温度坐标：)()()(210x T x T x T x 1x 0x 2x )(1x T )(0x T )(2x T椭圆型问题特点例：二维非稳态导热02222=∂∂+∂∂yTx T某一点的温度受其周围各点温度的影响，x 、y 均为双向坐标。
椭圆型问题必须整场求解。
1.u 方程特点：①抛物型方程，x 为单向坐标。
②p(x)为已知函数，或由势流方程求得。
未知量只有u 、v 。
2.T 方程特点：①也是抛物型的，x 为单向坐标。
②常物性且速度场已知时，为线性方程。
第二节粘性流体匹配渐进展开理论简介一.Prandtl边界层理论的不足1.Re不很大时，略去纵向扩散会造成较大误差，且修正办法不明。
2.只考虑了外流对边界层的影响，未考虑边界层对外流的影响。
二.匹配渐进展开法第三节旋转对称和轴对称边界层方程)()(x x r δ>>0=∂∂θ。
可认为离轴距离仍为，由于微元体离壁距离)()(x r x r y <<0=θv 旋转对称：旋成体轴对称：进一步有∞∞T u ,yδx)(x r θ第四节圆管内的边界层方程式(2.30)，(2.32)第五节边界层积分方程例：壁面有喷注或吸入的轴对称旋成体边界层连续性积分方程和能量积分方程：壁面喷入：顶面流入：⎰=Yx urdyM 0ρrdx v w w ρrdx v dx urdy dx d w w Yρρ-=⎰][0rdx v M dx dxdM M M w w x xx Y ρ--+=yx1=δθdx)(δ>Y rwv dx dxdrr +dxurdy dx d urdy dx dx dM M M YY x x dxx ][00⎰⎰+=+=+ρρp dxdxdp p +δθr δθdx dxdr21δθdx dxdr21p dx pdx能量积分方程：忽略宏观运动动能的变化；不可压缩流和理想气体。
顶面流入：壁面传入：由能量守恒关系得：对于一般可压缩流，且宏观动能变化不可忽略时，则要将式中换成。
⎰=Yp x uTrdyc E 0ρ)(])([10∞∞∞∞---=⎰T C T C v rdy T C T C u dx d r q p w pw w w Yp p w ρρrdxT C v q w pw w w w )(ρ+λT C p dxuTrdy c dx d uTrdy c dx dx dE E E Yp Y p x x dx x ][00⎰⎰+=+=+ρρrdxT C v dx rdy uT c dx d T C M p w w Yp p Y ∞∞∞∞∞∞-=⎰ρρ][0221u H +第3章非耦合外部层流边界层换热第一节求解边界层微分方程的经典方法——仿射相似一.仿射相似的概念例：半无限大物体非稳态导热精确解：热层厚度令，则，可见，x ，t 可综合为一个自变量，原偏微分方程可化为关于的常微分方程。
atx4=ηη)4(1),(0at xerf T T T t x T ii -=--at4∝δ)(),(0ηf T T T t x T ii=--)(ηT 1δ2δ3δxT iT ),(3t x T ),(2t x T ),(1t x T——相似性变量几何意义：t 时刻的温度分布线相当于将时刻的温度分布线保持纵坐标不变，横坐标按的比例变化而得到的曲线。
如果以为横坐标绘出分布图，则任何时刻的图形都相同，重合于一条曲线。
这样的分布图形称作仿射相似图形。
二.存在仿射相似的条件及相似变量的导出：结论：1.存在仿射相似的条件（速度场）：边界层外缘速度：（绕流楔形体的势流速度满足这一规律）2t 11144at at x x ==δδηη)(ηT mCx x U =)(2.相似变量及方程：ηx x U yν)()(ηf 动量方程)(x xU νψxx U m yν)(21+)(12x xU m ν+ψ0)1(221='-+''+'''+f m f f f m 0)1(2='-+''+'''f f f f β12+=m m βm ,β只取决于楔夹角3.温度场仿射相似条件及能量方程：速度场仿射相似，以及=∞Tννx C T T w =-∞常数=w T 常数（或）且η)(ηθ能量方程x x U yν)(xx U m yν)(21+∞∞--T T T T w ∞∞--T T T T w 0Pr Pr 21='-'+''θγθθf f 0Pr Pr 12='-'+''+θθθγf f m 0)1(Pr Pr 12=-'-'+''+θθθγf f m 或)(常数=∞T )(常数=w T第二节纵向绕流平壁和楔形体的摩擦和换热)()0(2=∂∂''=y fxyU f C ηρμdxC l C lfx f ⎰=01221UC wx fx ρτ=1.摩擦求解动量方程（可用打靶法：P71-72），得到由及可得f f f '''、、0=∂∂=y wxyu μτ（局部）（平均）；dx h l h lx ⎰=01khl Nu =k xT T q k x h Nu yTkq w wx x x y w ∞=-==∂∂-='以及由、0,ϑθ2.换热求解能量方程得到可得0)()0(=∂∂'=y x yx Nu ηθ3.速度场相似而壁温任意变化时利用能量方程为线性方程，满足迭加原理的特性进行求解。
（P97、98：式（3.35））第三节绕流物体滞止区域换热（驻点附近）二维滞止区：P83：图3.7；P94；轴对称滞止区:P99：图3.14，3.15第四节壁面有抽吸和喷注时的换热（P104~111）第5章通道内非耦合层流换热第一节流动起始段和充分发展段一.充分发展段（full developed flow ）1.圆管基本特征：0=∂∂xu 0==θv v r （X 为流动方向）（简单充展流）Re f常数，==∂∂=∂∂=∂∂dxdp x p p r p 0θfx C Re f C 由基本特征可推出另外3个特征：①②圆管及平行平板通道速度分布为抛物面③或ｆ与ｘ无关，（或）＝常数２.非圆截面通道与圆管充分发展流特性基本相同，但流速分布不再是抛物面型。
)]/()[(2s m kg ⋅质量流速e d μνeeav Gd d u ==Re W f d ce 4=其中，Reavcu f m G ρ== 数通常以当量直径定义：流通截面积—c f 湿周长—W二.流动起始段（developing flow ）边界层型问题，一般不具有相似解，往往用近似法或数值法求解。
圆管：:1500Re :1000Re 20===d d mmd68.184==d L h h L 056.0Re /1==C dL dh md L h 12.156==起始段长度：例：dfxC Redd x Re /056.01=C 起始段充分发展段第二节热起始段和充分发展段一.热充分发展段特征截面流体平均温度—b T0=∂Θ∂xbw w T T T T --=Θ⎰⎰=ApApb udAC uTdAC T ρρ基本特征：其中：常量=∂∂--=)(10r r b w rTT T无关常量，与x h x =常量，即=∂∂∴=0r r rΘ:),(0代入上式得而－b w x wx r r T T kh k q rT -==∂∂=常量常量，即==x xh kh )(,0r xΘΘΘ==∂∂即 可推出一下特征：①（1）cav p x c av p w b f u C TWh f u C Wq dx dT ρρ∆==时：C q w =dxdT dx dT C T T h q b w b w x w =∴=-=，)( 常量得：、再由式===∂∂dxdT dx dT x T bw )3()2()(0dxdT dx dT dx dT x T x b w w-Θ-=∂∂⇒=∂Θ∂②由以及微段热平衡式可得：a)（3）（2）T C dxTd ∆-=∆1时：C T w =xC i eT T 1-∆=∆p xc av p x C mWh f u C Wh C ==ρ1其中，按指数规律变化：或可得b T T ∆b)式（3）可改写为:再由式（2）可知:常量≠Θ=∂∂dxdT x Tb二.热起始段特征常数≠≠∂Θ∂x h x,0tL xxh 热起始段热充分发展段热起始段、或随的具体变化关系还取决于流动是否充分发展了。