高等传热学讲义

T ( x1 )
T 2T a 2 t x
t坐标：若t2 t1，则T (t2 )对T (t1 )无影响，
t称为单向坐标。
x坐标：T ( x0 )受两侧温度T ( x1 )、T ( x2 )的
x称为双向坐标。
x1 x0
x2
传热学
第2章
椭ຫໍສະໝຸດ Baidu型问题特点
例：二维非稳态导热
2T 2T 2 0 2 x y
4 fc 其中，d e W m G u av fc
传热学
第5章
二.流动起始段（developing flow） 边界层型问题，一般不具有相似解，往往用近似法或 数值法求解。 C Re 圆管：
fx d
起始段
充分发展段 C1 0.056
x/d Re d
起始段长度 Lh ： Lh / d C1 0.056
热层厚度
4at
1
2
3
x
令

x 4at
，则
一个自变量 ，原偏微分方程可化为关于 T ( ) 的常 微分方程。
T ( x, t ) Ti f ( ) ，可见，x，t可综合为 T0 Ti
传热学
第3章
——相似性变量
x x1 1 4at 4at1

几何意义：t 时刻的温度分布线相当于将 t 2 时刻的温度分布线

由于微元体离壁距离y r ( x)， 可认为离轴距离仍为r ( x)。
传热学
第2章
第四节圆管内的边界层方程
式(2.30)，(2.32)
传热学
第2章
y
Y ( )
第五节边界层积分方程
例：壁面有喷注或吸入的轴对称 旋成体边界层连续性积分方程和 能量积分方程：
M x urdy
0 Y


u l2

(1
2
l )( ) 2
u
无因次化 u (除以 ) l
2
1
1
1 Re
Re
传热学
第2章
2u 2u 可见 2 2 ；因边界层那粘性项与惯性项均不能忽略，故 y x
(1 Re )( ) 2 ~ 1 项可忽略，且说明只有Re>>1时，上述简化才适用。 l
v v 1 p 2v 2v u v ( 2 ) 2 x y y x y
1 Pr f Pr f 0 2
2 Pr f m1 Pr f 0
(T 常数)
2 或 Pr f m1 Pr f ( 1) 0
(Tw 常数)
传热学
第3章
第二节 纵向绕流平壁和楔形体的摩擦和换热
dx d Y [ urdy]dx wvw rdx dx 0
1 dr dx 2 dx
p
dp dx dx
p
dx
1 dr dx 2 dx
传热学
第2章
能量积分方程：忽略宏观运动动能的变化；不可压
缩流和理想气体。
Ex c puTrdy
0
Y dEx d Y Ex dx Ex dx c puTrdy [ c puTrdy]dx 0 dx dx 0 d Y M Y C pT [ c puT rdy]dx wvwC pT rdx dx 0
传热学
第3章
第3章 非耦合外部层流边界层换热
第一节 求解边界层微分方程的经典方法 ——仿射相似 T0 一.仿射相似的概念 例：半无限大物体非稳态导热
T ( x, t ) Ti x 1 erf ( ) 精确解： T T 4at 0 i
T ( x, t 3 )
Ti
T ( x, t1 ) T ( x, t 2 )
Tb
C uTdA
p A
C udA
p A
传热学 可推出一下特征： ① hx 常量，与x无关
0, 即 (r ) x
r
T 而－ r
第5章
常量，即
r r0
1 T ( Tw Tb r
) 常量
r r0
r r0
qwx hx (Tw Tb ), 代入上式得 : k k
传热学
第2章
第2章 边界层方程
第一节 Prandtl边界层方程 一.边界层简化的基本依据
l或 t l ,
l — 特征尺寸
( t )内：粘性和换热存在
( t )外：粘性和换热可忽略
传热学
第2章
二.普朗特边界层方程 常数性流体纵掠平板，层流 (曲率半径R( x) ( x) 的曲壁同样适用)。
hx 常量，即hx 常量 k
（1）
传热学
第5章 （2）
dTw dTb T dTw 0 ( ) ②由 x x dx dx dx
以及微段热平衡式
dTb Wq w Wh x T dx C p uav f c C p uav f c
Y
顶面流入： 壁面传入：
(qw wvwC pwTw )rdx
由能量守恒关系得：
1 d Y qw [ u (C pT C pT )rdy] wvw (C pwTw C pT ) r dx 0
对于一般可压缩流，且宏观动能变化不可忽略时， 则要将式中 C pT 换成 H 1 u 2 。 2
（a、b、c、d、e、f、g均为x，y的已知函数）
2 当 b 4ac 0 ，称为双曲型的，（无粘超音速流问题）；
当 b 2 4ac 0 ，称为抛物型的； 当 b 2 4ac 0 ，称为椭圆型的。
传热学 抛物型方程特点
例：一维非稳态导热
第2章
T ( x0 ) T ( x ) 2
保持纵坐标不变，横坐标按 曲线。如果以 形。
为横坐标绘出 T ( ) 分布图，则任何时刻的图
的比例变化而得到的
形都相同，重合于一条曲线。这样的分布图形称作仿射相似图
二.存在仿射相似的条件及相似变量的导出：
结论： 1.存在仿射相似的条件（速度场）：
m 边界层外缘速度： ( x) Cx（绕流楔形体的势流速度满足这一规 U 律）
利用能量方程为线性方程，满足迭加原理的特性进
行求解。（P97、98：式（3.35））
传热学
第3章
第三节 绕流物体滞止区域换热（驻点附近）
二维滞止区：P83：图3.7；P94；轴对称滞止区:P99： 图3.14，3.15
第四节 壁面有抽吸和喷注时的换热
（P104~111）
传热学
第5章
第5章 通道内非耦合层流换热
传热学
1 dp du u dx dx
第2章
其中，压力的变化由主流速度的变化确定：
（主流柏努利方程） （主流速度可按势流问题求解得到）
du dp 对于平板， 0, 0 dx dx
二.普朗特边界层方程 定义：对于二元二阶线性偏微分方程
axx bxy c yy dx e y f g
传热学
第2章
2T 1 l 2 可见，a 2 可忽略(当 ( ) ~ 1, 或Pe 1时)。 x Pe
边界层方程：
u v 0 x y
u u 1 p 2u 2u u v ( 2 2 ) x y x x y
T T 2T 2T u v a( 2 2 ) x y x y
第一节 流动起始段和充分发展段
一.充分发展段（full developed flow）
1.圆管 基本特征：
u 0 x
（X为流动方向） （简单充展流）
vr v 0
传热学
第5章
由基本特征可推出另外3个特征：
① p p 0，p dp 常数 r x dx ②圆管及平行平板通道速度分布为抛物面
某一点的温度受其周围各点温度的影响，x、y 均为双向坐 标。椭圆型问题必须整场求解。
1.u方程特点：
①抛物型方程，x为单向坐标。 ②p(x)为已知函数，或由势流方程求得。未知量只有u、v。
2.T方程特点：
①也是抛物型的，x为单向坐标。 ②常物性且速度场已知时，为线性方程。
传热学
第2章
第二节粘性流体匹配渐进展开理论简介 一.Prandtl边界层理论的不足
Y dM x d Y Mx dx urdy [ urdy]dx 0 dx dx 0
1
dx
x
r dr dx dx
r
vw
p dx
r
M x dx
壁面喷入： wvw rdx p dM x M dx M x wvw rdx 顶面流入： Y M x
1.摩擦
、 求解动量方程（可用打靶法：P71-72），得到 f、f f 由 u 及 C fx wx 2 可得 1 y 2 U
wx y 0
C fx
f (0) ( ) y 0 （局部） 2 U y
1 l C f C fx dx l 0
（平均）
2m m 1
, m 只取决于楔夹角
传热学
第3章
3.温度场仿射相似条件及能量方程：
速度场仿射相似，以及 T 常数（或 Tw 常数）且 Tw T C x

U ( x) y x
m 1 U ( x) y 2 x
( )
能量方程
T T Tw T T T Tw T
1.Re不很大时，略去纵向扩散会造成较大误差，且修 正办法不明。 2.只考虑了外流对边界层的影响，未考虑边界层对外
流的影响。
二.匹配渐进展开法
传热学
第2章
第三节旋转对称和轴对称边界层方程
y
旋转对称：旋成体 r ( x) ( x)
0

r (x )
x
u , T
轴对称：进一步有 v 0
传热学 2.换热 求解能量方程得到、 ,由qw k 可得 Nux (0) x( ) y 0
y
hl 1 l h hx dx； Nu l 0 k
第3章
T y
以及Nu x
y 0
hx x qwx x k Tw T k
3.速度场相似而壁温任意变化时
③ C fx 或ｆ与ｘ无关， C f Re（或 f Re ）＝常数 ２.非圆截面通道 与圆管充分发展流特性基本相同，但流速分布不再 是抛物面型。
传热学
Re
第5章
数通常以当量直径 d e 定义：
Re uav d e


Gd e

f c — 流通截面积
W — 湿周长
(质量流速)[ kg /(m 2 s)]
dx
T T T T u v a( ) 2 2 x y x y
2 2
( w Tw T )
u w l
( u ) w l
a
w
l2
a
w 2

除以 u w ： 1
l
1
1 / Pe
l 1 / Pe( ) 2
ul c p u w 对流热量 Pe — 贝克列数( Re Pr) k a 导热量 w l
1 ( u ) 2 u ( u ) / l l l

( )u / l
l
1 ( ) Re l

2
( u ) / 2
l 1 l ( )( ) Re

u 除以 ： l
2

l

l
传热学
第2章

p 0, y
可见，各项均比u方程对应项小得多 (乘了 ), 可简化为 l 1 dp 于是u方程压力梯度项可写为 。
传热学
2.相似变量及方程：
第3章

U ( x) y x m 1 U ( x) y 2 x
f ( )
xU (x)
2 m 1 xU ( x )
动量方程
f m21 ff m(1 f 2 ) 0
f ff (1 f 2 ) 0
y
u , T u , T
Tw
v u
l

x
u v 0 x y
u l
v
u v 可见， ~ ，v ~ u l l

传热学
第2章
u u 1 p 2u 2u u v ( 2 2 ) x y x x y
u u l

l
u
u
例： d 20 mm
Re d 1000 : Re d 1500 :
Re d
Lh 56 d 1.12 m
Lh 84 d 1.68
传热学
第5章
第二节 热起始段和充分发展段 一.热充分发展段特征
基本特征： 其中：
0 x
Tw T Tw Tb
Tb — 截面流体平均温度