直线与平面的夹角 学案带答案
(新教材学案)1.2.3直线与平面的夹角含解析
衡石量书整理1.2.3 直线与平面的夹角导思 1.空间中斜线与平面所成角的定义与性质是什么？2．求直线与平面所成角的方法有哪些？1.直线与平面所成的角直线与平面的夹角的取值范围与斜线与平面夹角的取值范围相同吗？提示：不相同，直线与平面的夹角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 ，斜线与平面的夹角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 . 2．斜线与平面所成角的性质(1)“最小角”结论(2)“三相等”结论 经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、 射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等． (3)射影长计算公式 当线段AB 所在的直线与平面α所成的角为θ，且AB 在平面α内的射影为A′B′时，有A′B′＝AB__cos__θ．一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线？它是唯一的吗？ 提示：是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的．3．直线与平面的夹角的向量求法如果v 是直线l 的一个方向向量，n 是平面α的一个法向量，直线l 与平面α所成角的大小为θ，则θ＝π2 －〈v ，n 〉或θ＝〈v ，n 〉－π2 ，特别地，cos θ＝sin 〈v ，n 〉或sin__θ＝||cos 〈v ，n 〉 ．直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 的夹角一定是直线和平面的夹角吗？提示：不是，直线和平面的夹角为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－〈v ，n 〉 .1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)斜线与平面的夹角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 .( ) (2)直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( )(3)一条直线与平面α所成的角小于它和平面α内其他直线所成的角．( )提示：(1)×.斜线与平面的夹角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 . (2)×.直线的方向向量与平面的法向量的夹角可能是钝角．(3)×.当直线与平面垂直时不对．2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，且cos〈m ，n 〉＝32 ，则直线l 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】选B.设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈m ，n 〉＝32 ，所以θ＝60°.3．(教材例题改编)已知直线l ∩平面α＝A ，B 是直线l 上一点，AB ＝6，直线l 与平面α所成的角为60°，则线段AB 在平面α内的射影长为________．【解析】射影长＝ABcos 60°＝6×12 ＝3.答案：3关键能力·合作学习类型一 定义法求直线与平面所成的角(数学运算、直观想象)1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AB 上的点，且AB ＝4EB ，则直线C 1E 与平面ADD 1A 1所成角的正切值为( )A ．28B ．24C ．216D ．172．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P-ABCD 为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ，E 为棱PA 的中点，则直线CE 与平面PAD 所成角的正弦值为( )A ．23B ．53C ．32D ．223．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为________．【解析】1.选A.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，所以直线C1E与平面ADD1A1所成角等于直线C1E与平面BCC1B1所成角，因为EB⊥平面BB1C1C，连接BC1，则∠EC1B即为直线C1E与平面BCC1B1所成角．设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4a，则EB＝a，BC1＝4 2 a.所以tan ∠EC1B＝a42a ＝28.即直线C1E与平面ADD1A1所成角的正切值为2 8 .2．选A.如图，侧棱PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，则平面PAD ⊥平面ABCD，因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD，而平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD ⊥平面PAD.连接ED ，则ED 为CE 在平面PAD 上的射影，则∠CED 为CE 与平面PAD 所成角，设PA ＝AB ＝AD ＝2a ，则AE ＝a ，ED ＝ 5 a ， EC ＝ED 2＋CD 2 ＝5a 2＋4a 2 ＝3a. 所以sin ∠CED ＝CD CE ＝2a 3a ＝23. 即直线CE 与平面PAD 所成角的正弦值为23. 3．连接BC 1交B 1C 于O 点，连接A 1O.设正方体棱长为a.易证BC 1⊥平面A 1B 1CD ，所以A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影，所以∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角．在Rt △A 1BO 中，A 1B ＝ 2 a ，OB ＝22a ， 所以sin ∠BA 1O ＝OB A 1B ＝12，所以∠BA 1O ＝30°.即A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为30°.答案：30°用定义法求直线与平面所成角的关注点(1)关键：寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的射影．(2)三种情况：①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0； ②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为π2 ；③若是斜线与平面，作出斜线与平面所成的角，通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．类型二 向量法求直线与平面所成的角(数学运算、逻辑推理)【典例】如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点．(1)证明：AB 1∥平面BC 1D ；(2)证明：BD ⊥平面AA 1C 1C ；(3)若AA 1＝AB ，求直线BC 1与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值．【思路导引】(1)连接B 1C ，交BC 1于O ，连接OD ，推导出OD ∥AB 1，由此能证明AB 1∥平面BC 1D.(2)推导出BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，由此能证明BD ⊥平面AA 1C 1C.(3)设AA 1＝AB ＝2，以B 为原点，在平面ABC 中过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC 1与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值．【解析】(1)连接B 1C ，交BC 1于O ，连接OD ，因为正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，O 是B 1C 的中点，所以OD ∥AB 1，因为AB 1⊄平面BC 1D ，OD ⊂平面BC 1D ，所以AB 1∥平面BC 1D.(2)因为正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，又D 是AC 中点，所以BD ⊥AC ，又AA 1⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥AA 1，因为AA 1∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面AA 1C 1C.(3)设AA 1＝AB ＝2，以B 为原点，在平面ABC 中过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C 1(0，2，2)，A( 3 ，1，0)，C(0，2，0)，1C B ＝(0，－2，－2)，CA → ＝( 3 ，－1，0)，1CC ＝(0，0，2)， 设平面AA 1C 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z)， 则1CA 3x y 0CC 2z 0⎧=-=⎪⎨==⎪⎩n n ，取x ＝1，得n ＝(1， 3 ，0)，设直线BC 1与平面AA 1C 1C 所成角为θ，则sin θ＝11|C B ||C B |||n n ＝238·4＝64 . 所以直线BC 1与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为64 .用向量法求直线与平面所成的角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量AB→ ； (3)求平面的法向量n ；(4)计算：设直线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|n ·AB →||n ||AB →|.已知四棱锥P-ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，PA ＝PD ，∠APD ＝90°，F 为AD 中点，BP ＝AD.(1)证明：平面PBF ⊥平面ABCD ；(2)求BF 与平面PBC 所成的角．【解析】(1)因为PA ＝PD ，F 为AD 的中点，所以PF⊥AD.由题意，在△ABF中，AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理，得BF＝AB2＋AF2－2·AB·AF·cos ∠BAF＝22＋12－2×2×1×12＝ 3 .因为PA＝PD，∠APD＝90°，AD＝2，所以PF＝1.又BP＝AD＝2，所以BF2＋PF2＝BP2，即PF⊥BF.因为AD⊂平面ABCD，BF⊂平面ABCD，AD∩BF＝F，所以PF⊥平面ABCD，而PF⊂平面PBF，所以平面PBF⊥平面ABCD；(2)连接BD，因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，又F为AD的中点，所以BF⊥AD.由(1)知，FA，FB，FP两两互相垂直．以F为坐标原点，分别以FA，FB，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则F(0，0，0)，A(1，0，0)，D(－1，0，0)，B(0， 3 ，0)，P(0，0，1)，FB→ ＝(0， 3 ，0)，BC → ＝AD → ＝(－2，0，0)，PB → ＝(0， 3 ，－1). 设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，由⎩⎨⎧n ·PB →＝3y －z ＝0n ·BC →＝－2x ＝0 ，取z ＝1，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，1 ； 设BF 与平面PBC 所成角为θ.则sin θ＝|FB →·n ||FB →|·|n | ＝13·233＝12 . 所以BF 与平面PBC 所成的角为π6 .类型三 直线与平面所成角的性质及应用(直观想象、逻辑推理)角度1“最小角”结论的应用 【典例】已知PA ，PB ，PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是________.【解析】如图，在PC 上任取一点D 并作DO ⊥平面APB ，连接PO ， 则∠DPO 就是直线PC 与平面PAB 所成的角．所以cos ∠BPD ＝cos ∠DPO·cos ∠OPB ，cos ∠APD ＝cos ∠DPO·cos ∠OPA ，因为∠BPD ＝∠APD ＝∠APB ＝60°，所以∠OPB＝∠OPA＝30°，所以cos ∠DPO＝cos ∠BPDcos ∠OPB＝cos 60°cos 30°＝1232＝33，即PC与平面PAB所成角的余弦值为33.答案：33本例若改为：已知PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，且∠APC＝∠BPC＝60°，直线PC与平面PAB所成的角为45°，求射线PA与PB的夹角．【解析】在PC上任取一点D并作DO⊥平面APB，连接PO，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．所以cos ∠BPD＝cos ∠DPO·cos ∠OPB，cos ∠APD＝cos ∠DPO·cos ∠OPA，因为∠BPD＝∠APD＝60°，∠DPO＝45°，所以∠OPB＝∠OPA，所以cos ∠OPA ＝cos ∠APDcos ∠DPO ＝cos 60°cos 45°＝1222＝22，所以∠OPA＝45°，所以∠APB＝2∠OPA＝90°，即射线PA与PB的夹角为90°.角度2“三相等”结论及应用【典例】如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，O为点P在平面ABC上的射影．①若PA＝PB＝PC，则直线PA，PB，PC与平面ABC的夹角相等；②若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的外心；③若PD＝PE＝PF，则点O是△ABC的内心．以上判断正确的序号是________．【解析】连接OA，OB，OC，则OA，OB，OC分别是线段PA，PB，PC在平面ABC上的射影，∠PAO，∠PBO，∠PCO分别是直线PA，PB，PC与平面ABC的夹角，因为PA＝PB＝PC，所以根据斜线与平面所成角的性质，有∠PAO＝∠PBO＝∠PCO，OA ＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心，①②正确；同理若PD＝PE＝PF，则OD＝OE＝OF，但是OD，OE，OF是否与△ABC的三边垂直无法说明，故点O不一定是△ABC的内心，③不正确．答案：①②斜线与平面所成角的性质的应用策略(1)“三相等”结论常用于直接证明角或线段的相等，省去了先证明三角形全等的麻烦；(2)“最小角”结论可以用于比较线面角、线线角的大小，也可以求线面角、线线角，灵活应用这个结论，有时会起到事半功倍的效果．1．如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，P是棱BC上的动点．记直线A1P与平面ABC所成的角为θ1，与直线BC所成角为θ2，则θ1，θ2的大小关系是()A．θ1＝θ2B．θ1>θ2C．θ1<θ2D．不能确定【解析】选C.因为θ1是直线A1P与平面ABC所成的角，而θ2是直线A1P与直线BC所成的角，由最小角定理可知θ1≤θ2，又因为直线BC在平面ABC内且不可能与A1P的射影AP共线，所以θ1<θ2.2．在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为()A．30米B．20米C．15 2 米D．15米【解析】选A.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，△PAD是一个等腰直角三角形，∠APD＝90°.△OAB为等边三角形，所以OA＝30，因为OP⊥平面ABCDEF，所以∠OAP＝45°，所以OP＝OA＝30.要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30米．课堂检测·素养达标1．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是()A．∠C1BB1B．∠C1BDC．∠C1BD1D．∠C1BO【解析】选D.由线面垂直的判定定理，得C1O⊥平面BB1D1D，所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，所以∠C 1BO 为BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角．2．AB ⊥平面α于点B ，BC 为AC 在α内的射影，CD 在α内，若∠ACD ＝60°，∠BCD ＝45°，则AC 和平面α所成的角为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【解析】选C.设AC 和平面α所成的角为θ，则cos 60°＝cos θcos 45°，故cos θ＝22 ，所以θ＝45°.3．(教材练习改编)已知正四面体ABCD ，则AB 与平面BCD 所成角的余弦值为( )A ．12B ．23C ．13D ．33【解析】选D.取CD 中点E ，连接BE ，过A 作AO ⊥平面BCD ，则交BE 于O ，设正四面体ABCD 的棱长为2，则BE ＝22－12 ＝ 3 ，BO ＝23 BE ＝233， 因为AO ⊥平面BCD ，所以∠ABO 是AB 与平面BCD 所成角，cos ∠ABO ＝BO AB ＝2332 ＝33.所以AB与平面BCD所成角的余弦值为3 3 .4．若θ是直线l与平面α所成的角，则cos θ的取值范围为________. 【解析】由题意，0≤θ≤90°，所以0≤cos θ≤1.答案：[0，1]5．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a ＝(1，2，3)，则l与α所成角的正弦值为________．【解析】cos 〈a，n〉＝a·n|a||n|＝1×2＋2×1＋3×11＋4＋9·4＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216，所以l与平面α所成角的正弦值为21 6.答案：216关闭Word文档返回原板块。
直线与平面的夹角作业练习含答案解高中数学析北京海淀
作业二十直线与平面的夹角一、选择题(每小题5分,共25分)1.若直线l的方向向量a与平面α的一个法向量n的夹角<a,n>=120°,则直线l与平面α所成的角为( )A.30°B.120°C.60°D.150°【解析】选A.设l与α所成角为θ,则si nθ=|cos 120°|=,又由0°≤θ≤90°,知θ=30°.【补偿训练】平面α的一个法向量为n=(1,-,0),则y轴与平面α所成的角的大小为( )A. B. C. D.【解析】选B.y轴的一个方向向量为m=(0,1,0),cos<m,n>===-.所以<m,n>=,所以y轴与平面α所成角的大小为-=.2.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD的夹角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选A.建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,,0), =(1,,-1),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos<,n>==-,所以<,n>=120°,所以PC与平面ABCD的夹角为30°.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面B1BD夹角的正弦值为 ( )A.-B.C.-D.【解题指南】建立坐标系,找到或求出平面B1BD的法向量是解题关键. 【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0, 0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1).所以=(-2,-2,0),=(0,0,2),=(-2,0,1).设平面B1BD的法向量为n=(x,y,z).因为n⊥,n⊥,所以所以令y=1,则n=(-1,1,0).所以cos<n,>==,设直线BE与平面B1BD的夹角为θ,则si n θ=|cos<n,>|=.4.△ABC的顶点B在平面α内,A,C在α的同一侧,AB,BC与α的夹角分别是30°和45°.若AB=3,BC=4,AC=5,则AC与α的夹角为( )A.60°B.45°C.30°D.15°【解题指南】先找出AB,AC与平面α的夹角,根据夹角的大小,找出所用到的量的大小,然后求出AC与平面α的夹角.【解析】选C.如图所示,过点A,C分别作平面α的垂线,A1,C1为垂足,CC1= CB·si n 45°=4×=4,AA1=AB=.连接A1C1,过A作AM∥C1A1交CC1于M,则∠CAM为直线AC与平面α所成的角.又因为CM=4-=,所以si n∠CAM==,所以∠CAM=30°.5.(2018·潍坊高二检测)在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°.PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点,则BD与平面ADMN的夹角θ为( )A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选A.如图建立空间直角坐标系,设BC=1,则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),则N(1,0,1),所以=(-2,2,0),=(0,2,0),=(1,0,1),设平面ADMN的一个法向量为n=(x,y,z),则由得取x=1,则y=0,z=-1,所以n=(1,0,-1)则cos<,n>===-.又0°≤θ≤90°,所以si nθ=|cos<,n>|=,所以θ=30°.二、填空题(每小题5分,共15分)6.直线l的方向向量a=(-2,3,2),平面α的一个法向量n=(4,0,1),则直线l 与平面α夹角的正弦值为________.【解析】设直线l与平面α的夹角是θ,a,n所成的角为β,si nθ=|cos β| ==.答案:7.如图正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则BO与平面ABC1D1夹角的正弦值为________.【解析】建立坐标系如图,连接DA,则B(1,1,0),O,D(0,0,0),A1(1,0,1),A(1,0,0),D1(0,0,1),=(1,0,1),=(0,1,0),=(-1,0,1),因为·=0,·=0,所以=(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量.又=,所以BO与平面ABC1D1夹角的正弦值为==.答案:8.(2018·淮北高二检测)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为________.【解析】设各棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则=(,1,2),平面ACC1A1的一个法向量为n=(1,0,0),故AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于|cos<,n>|===.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.求直线BE和平面ABB1A1夹角的正弦值.【解析】设正方体的棱长为1.如图所示,以,,为单位正交基底建立空间直角坐标系.依题意,得B(1,0,0),E,A(0,0,0),D(0,1,0),所以=,=(0,1,0).在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AD⊥平面ABB1A1,所以是平面ABB1A1的一个法向量.设直线BE和平面ABB1A1夹角为θ,则si nθ===.故直线BE和平面ABB1A1夹角的正弦值为.10.(2018·咸阳高二检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA ⊥平面ABCD,AB=AP=2,AD=4,E是PB的中点.(1)求证:AD⊥平面PAB.(2)建立适当的空间直角坐标系,求直线EC与平面PAD夹角的正弦值. 【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,AD平面ABCD,所以AD⊥PA,因为矩形ABCD中,AD⊥AB,且AB∩AP=A,所以AD⊥平面PAB.(2)分别以AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由已知,知各点坐标分别是A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),所以E(1,0,1),=(1,4,-1),又因为AB⊥平面PAD,所以平面PAD的一个法向量为n==(2,0,0),设直线EC与平面PAD所成的角为α,则si nα===,直线EC与平面PAD夹角的正弦值为.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018·吉安高二检测)平面α∩平面β=MN,且平面α与平面β的夹角为45°,A∈MN,P∈α,若∠PAM=45°,则AP与β的夹角是 ( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选A.过点P作平面β的垂线PB,垂足为B,过点B作BC垂直于MN,连接PC,则∠PAB为AP与β的夹角.因为PB⊥β,MNβ,所以PB⊥MN,因为MN⊥BC,PB∩BC=B,所以MN⊥平面PBC,所以MN⊥PC,所以∠PCB为二面角α-MN-β的平面角,所以∠PCB=45°.设PB=1,在△PCB中,∠PCB=45°,所以PC=.在△PCA中,∠PAC=45°,所以PA=2,在△PBA中,si n∠PAB=,所以∠PAB=30°,所以AP与β的夹角为30°.【拓展延伸】用定义法求线面角的思想与步骤(1)利用定义法求直线与平面的夹角,关键是找到直线在平面内的投影,将直线与平面的夹角转化成线线的夹角来求解.(2)定义法求直线与平面的夹角的步骤:①作出直线与其投影的夹角;②证明所作的角就是要求的角;③常在直角三角形(垂线、斜线、投影所组成的直角三角形)中解出夹角的大小.【补偿训练】PA,PB,PC是从P引出的三条射线,每两条的夹角都是60°,则直线PC与平面PAB夹角的余弦值为 ( )A. B. C. D.【解题指南】找到PC在平面PAB内的投影,利用定义求解.【解析】选D.在PC上取一点D,过D作DE⊥平面APB,E为垂足.连接PE,则∠DPE就是PC与平面PAB的夹角.设∠DPE=α,因为PA,PB,PC夹角两两相等,过E作EF⊥PA,F为垂足,连接DF,过E作EG ⊥PB于G,连接DG,易知Rt△PFD≌Rt△PGD,所以PF=PG,所以Rt△PEF≌Rt△PEG,所以∠FPE=∠GPE,所以PE是∠APB的平分线.在Rt△DPE中,PE=PD cos α,在Rt△PEF中,PF=PE·cos 30°=PD·cos α·cos 30°,在Rt△DPF中,PF=PD·cos 60°,所以cos α·cos 30°=cos 60°,所以cos α===.2.(2018·宝鸡高二检测)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠DBC=90°,BC=BD=2,AB=1,则BC和平面ACD的夹角θ的正弦值为( )A. B. C. D.【解析】选A.建系如图所示,则B(0,0,0),C(2,0,0),D(0,2,0),A(0,0,1),所以=(2,0,0),=(2,0,-1),=(0,2,-1),设平面ADC的法向量为n=(x,y,z),则由得令z=2,则x=1,y=1,所以n=(1,1,2),si nθ=|cos<n,>|==.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2018·上饶高二检测)正四棱锥S-ABCD中,O为顶点S在底面上的投影,P 为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是________.【解析】如图,以O为原点建立空间直角坐标系,设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),D(0,-a,0),S(0,0,a),P,则=(2a,0,0),=,=(a,a,0),设平面PAC的一个法向量为n,可取n=(0,1,1),则cos<,n>===,所以<,n>=60°,所以直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°.答案:30°4.(2018·临沂高二检测)在正四面体ABCD中,E为棱AD的中点,则CE与平面BCD夹角的正弦值为________.【解析】如图,在正四面体ABCD中,取O为△BCD的中心,连接AO,则AO⊥平面BCD.设正四面体的棱长为a,则OA=a.又E为AD中点,取OD中点F,连接EF,则EF∥OA,即EF⊥平面BCD,连接CF,则∠ECF为直线CE与平面BCD的夹角,在Rt△CEF中,EF=OA=a,CE=a,所以si n∠ECF===.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.(1)求证:AB⊥CD.(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.【解析】(1)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD.(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.由(1)知AB⊥平面BCD,BE⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,所以AB⊥BE,AB⊥BD.以B为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M,则=(1,1,0),=,=(0,1,-1).设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),则即取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).设直线AD与平面MBC所成角为θ,则si nθ=|cos<n,>|==,即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.6.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由).(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,所以AH=10.以D为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则即所以可取n=(0,4,3),又=(-10,4,8),故|cos<n,>|==.所以AF与平面EHGF所成的角的正弦值为.。
《直线与平面的夹角》 导学案
《直线与平面的夹角》导学案一、学习目标1、理解直线与平面夹角的定义。
2、掌握直线与平面夹角的求法。
3、能够运用直线与平面夹角的知识解决相关问题。
二、学习重难点1、重点（1）直线与平面夹角的定义。
（2）直线与平面夹角的求法。
2、难点（1）如何寻找直线在平面上的射影。
（2）运用空间向量求直线与平面的夹角。
三、知识回顾1、直线的方向向量：如果表示非零向量\（＼overrightarrow{a}＼）的有向线段所在直线与直线\（l\）平行或重合，则称向量\（＼overrightarrow{a}＼）为直线\（l\）的一个方向向量。
2、平面的法向量：如果表示非零向量\（＼overrightarrow{n}＼）的有向线段所在直线垂直于平面\（＼alpha\），则称向量\（＼overrightarrow{n}＼）为平面\（＼alpha\）的一个法向量。
四、新课导入在日常生活中，我们经常会遇到直线与平面相交的情况，比如斜插入地面的旗杆与地面所成的角。
那么如何来定量地描述直线与平面所成的角呢？这就是我们今天要学习的直线与平面的夹角。
五、知识讲解1、直线与平面夹角的定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
特别地，如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；如果一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是\（0^｛＼circ}＼）的角。
2、直线与平面夹角的范围直线与平面夹角的范围是\（0^｛＼circ}，90^｛＼circ}＼）3、直线与平面夹角的求法（1）几何法①作出直线在平面内的射影，找到斜线与射影所成的角。
②通过解三角形求出该角。
（2）向量法①若直线的方向向量为\（＼overrightarrow{a}＼），平面的法向量为\（＼overrightarrow{n}＼），直线与平面所成的角为\（＼theta\），则\（＼sin\theta ＝｜＼cos\langle\overrightarrow{a}，＼overrightarrow{n}＼rangle| ＝＼dfrac{｜＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{n}｜｝｛｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{n}｜｝＼）②求出\（＼cos\langle\overrightarrow{a}，＼overrightarrow{n}＼rangle\）的值，再根据直线与平面夹角的范围，求出\（＼sin\theta\）的值。
选修2-1直线和平面的夹角课时作业
课时作业22 直线与平面的夹角时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若直线l 的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错【答案】 C【解析】 ∵l 的方向向量与平面的法向量的夹角为120°， ∴它们所在直线的夹角为60°.则直线l 与平面α所成的角为90°－60°＝30°.2．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为( )A.13B.223 C.22 D.23【答案】 A【解析】 设射影长为x ，则斜线段长为3x ，cos θ＝x 3x ＝13，故选A.3．直线l 与平面α成45°角，若直线l 在α内的射影与α内的直线m 成45°角，则l 与m 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【答案】 C【解析】 cos θ＝cos45°cos45°＝12，∴θ＝60°，故选C.4．正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 折起，使点D 在面ABCD 外 ，这时DB 与平面ABC 所成角一定不等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】 D【解析】 当沿对角线AC 折起时，BD 在面ABC 上的射影始终在原对角线上，若BD ⊥面ABC ，则此时B 、D 重合为一点，这是不成立的，故选D.5．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是( )A ．[0，2π3] B ．[π3，π] C ．[π3，2π3] D ．[π3，π2] 【答案】 D【解析】 设a 与l 所成角为θ，由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2，其中θ1＝π3，θ2∈[0，π2]得0≤cos θ≤12，∴π3≤θ≤π2.6．若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量a ＝(－2，－3,3)，则l 与α所成角的余弦值为( )A ．－1111 B.1111 C ．－11011 D.91333 【答案】 D【解析】 cos 〈a ，n 〉＝(－2，－3，3)·(4，1，1)4＋9＋916＋1＋1＝－4311＝－41133，∴l 与α所成角的余弦值为1－(－41133)2＝91333.二、填空题(每小题10分，共30分)7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正切值为________．【答案】 22【解析】 如图所示，连接D 1B 1，则∠BD 1B 1为线面角．tan ∠BD 1B 1＝BB 1B 1D 1＝22.8．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角的余弦值为________．【答案】 104【解析】设三棱柱的棱长为1，以B 为原点，建立坐标系如图，则C 1(0,1,1)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，12，1，又平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)， 设AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角为θ. sin θ＝|cos 〈n ，〉|＝＝64， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝104.9．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥的体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为________．【答案】 45°【解析】 翻折后，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥的体积最大时，平面ADC ⊥平面ABC ，设未折前正方形对角线交点为O ，则∠DBO 即为BD 与平面ABC 所成的角，其大小为45°.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AB、C1D1的中点，求A1B1与平面A1MCN所成角的正切值．【解析】解法一：连接MN，B1C，A1D，∵MN⊥A1B1，MN⊥B1C，∴MN⊥平面A1B1CD，又MN⊂平面A1MCN，∴平面A1MCN⊥平面A1B1CD，又平面A1MCN与平面A1B1CD的交线是A1C，故点B1在平面A1MCN内的射影在直线A1C上，∴∠B1A1C就是A1B1与平面A1MCN所成的角．在Rt△B1A1C中，tan∠B1A1C＝B1CA1B1＝2，即A1B1与平面A1MCN所成角的正切值是 2.解法二：由于M、N分别是所在棱的中点，∴∠B1A1N＝∠B1A1M，∴A1B1在平面A1MCN上的射影落在∠MA1N的平分线上. 又∵四边形A1MCN是菱形，∴∠MA1N的角平分线是A1C，故A1B1在面A1MCN上的射影在A1C上，∴∠B1A1C是A1B1与平面A1MCN所成的角，在Rt△B1A1C中，tan∠B1A1C＝B1CA1B1＝2，即A1B1与平面A1MCN所成角的正切值是 2.11．(13分)(2014·福建理，17)在平行四边形ABCD中，AB＝BD ＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD ⊥平面BCD，如图．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．【解析】(1)∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD以B 为坐标原点分别以，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系依题意得B (0,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，A (0,0,1)，M (0，12，12) 则＝(1,1,0)，＝(0，12，12)，＝(0,1，－1)， 设平面MBC 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)则即⎩⎨⎧x 0＋y 0＝012y 0＋12z 0＝0取z 0＝1得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1,1) 设直线AD 与平面MBC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，〉|＝＝63即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63.12．(14分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB .(2)PD ＝2AB ，且直线AE 与平面PBD 夹角为45°时，求PEEB 的值． 【解析】 (1)因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AC . 又BD ⊥AC ，PD ∩BD ＝D ， 所以AC ⊥平面PDB .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面PDB .(2)设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，以D 为原点建立空间直角坐标系如图，平面PBD 的一个法向量n ＝(1，－1,0)， 设PD ＝2AB ＝2，P ＝λP ，则E(2λ，2λ，2－2λ)，P＝(2，2，－2)，A＝(2λ－2，2λ，2－2λ)，sin45°＝|cos〈A，n〉|＝＝2 2，解得λ＝12或λ＝1(舍去)．所以PEEB＝1.。
直线与平面的夹角 学案带答案概要
直线与平面的夹角 学案编制单位 临朐第二中学 编制人 谢文利 审核人 （董洪安） 编号学习目标 ①理解掌握直线和平面所成的角定义②初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤重点难点（1）直线和平面所成的角的定义的生成.（2）求直线和平面所成的角的方法步骤. （3）初步掌握公式12cos cos cos θθθ=⋅及公式的应用.知识链接(新宋体4号)1、直线和平面的位置关系有哪几种？（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 （3）直线和平面相交 2、平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：学习过程一、课内探究问题1：平面的斜线和平面内的直线所成的最小角问题2：θθθ、、21三个角之间的关系.二、典例剖析（一）定义法求斜线与平面所成的角例1：在单位正方体1111ABCD A B C D -中，试求直线1BD 与平面ABCD 所成的角.跟踪训练： 在单位正方体1111ABCD A B C D -中，求直线11A C 与截面11ABC D 所成的角..向量法求斜线与平面所成的角例2、已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AA 1，求直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值。
跟踪训练：在正四面体ABCD中，AD=1，求AD与平面BCD所成的角；公式法求斜线与平面所成的角例3：如图，已知AB为平面α的一条斜线，B为斜足，AOα⊥，O为垂足，BC为α内的一条直线，60,45ABC OBC∠=︒∠=︒，求斜线AB和平面α所成的角.跟踪训练：已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD的中心，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=600，132AA a=，求证：A1O⊥平面ABCD。
三、小结反思（新宋体小4号)四、当堂检测（新宋体小4号)1、正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长相等，AC1与面BB1C1C所成角的余弦值为（）A、4B、4C、2D、22．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E为棱AB的中点，则直线C1E与平面ACC1A1所成角的正切值为（）A．B．C．D．3．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1=8，BD1与侧面BC1所成的角为30°，则BD1和底面ABCD所成的角为（）A．30°B．60°C．45°D．90°4．正方体，ABCD﹣A1B1C1D1中，直线A1B与平面A1ACC1所成的角为（）A．30 B．45 C．60°D．9005．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB．若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ABB1A1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．设P是边长为1的正△ABC所在平面外一点，且，那么PC与平面ABC所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°五、课后巩固1．已知直线a与平面α所成的角为30°，P为空间一定点，过P作与a、α所成的角都是45°的直线l，则这样的直线l可作（）条．A．2 B．3 C．4 D．无数2．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．3．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高AA1=3，则BC1与对角面BB1D1D所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．4．如图，直线l是平面α的斜线，AB⊥α，B为垂足，如果θ=45°，∠AOC=60°，则∠BOC=（）A．45°B．30°C．60°D．15°5．正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．已知∠AOB=90°，C为空间中一点，且∠AOC=∠BOC=60°，则直线OC与平面AOB所成角的正弦值为7．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是．8．如图，在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=，M为A1B1的中点，则AM 与平面AA1C1C所成角的正切值为．9．在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则PC与面PAB 所成角的余弦值为．10．正四面体ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，那么EF与平面BCD所成的角的大小为．六、学习后记直线和平面所成的角学案答案例1：在单位正方体1111ABCD A B C D -中，试求直线1BD 与平面ABCD 所成的角.解：，由正方体的性质可知，1DD ABCD⊥平面，所以1BD 在平面ABCD 内的射影为BD.由直线和平面所成角的定义， 则1D BD∠为1BD 与平面ABCD 所成的角在1RtD BD 中，1tan 2D BD =，所以 直线1BD 与平面ABCD 所成的角为arctan.跟踪训练：在单位正方体1111ABCD A B C D -中，求直线11A C 与截面11ABC D 所成的角.解：过1A 作11A O C O⊥交1AD 于点O ，易知：111AO ABC D ⊥截面， 所以1OC 为直线11A C 在平面11ABC D 内的射影.由直线和平面所成角的定义，所以11AC O∠即为直线11A C 与截面11ABC D 所成的角.在11AC O中，可知1130A C O ∠=︒.例2.如图取AB 中点E ，连结CE ，由正三棱柱可知：CE ⊥平面AA 1B 1B.连结EB 1，∴∠CB 1E 就是B 1C 与平面AA 1B 1B 所成的角设棱长AA 1=1，设，依题意，可得：|e 1|=|e 2|=|e 3|,<e 1,e 2>=60°， <e 1,e 3>=<e 2,e 3>=90°OABD C1A 1B 1C 1D∵∴又∵∴，∴，∴直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值是. 跟踪训练在正四面体ABCD中，AD=1，(1)求AD与平面BCD所成的角；解：(1)如图，因为四面体ABCD是正四面体，所以A在底面BCD的射影是底面三角形BCD的中心O，延长DO交BC于E，E是BC的中点，∠ADE就为AD与平面BCD所成的角θ。
直线与平面的夹角
(2)在公式中，令θ2＝90°，则cosθ＝cosθ1·cos90°＝0，∴θ＝90°，即当AC⊥AB时， AC⊥AO.此即三垂线定理；反之，若令θ＝90°，则有cosθ1·cosθ2＝0.∵θ1≠90°，∴θ2＝90°， 即若AC⊥AO，则AC⊥AB，此即三垂线定理的逆定理，由此可知三垂线定理及逆定理可以看 成是此公式的特例．
[说明] 定义法就是指将斜线与平面的夹角转化为斜线与其平面内射影的夹角．此种 方法的关键在于确定斜线在平面内的射影．
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC， E是PC的中点．
(1)证明：PA∥平面EDB； (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值．
[分析] 解答本题首先建立空间直角坐标系，求出平面AFEG的法向量和AH的方向向量， 再求两向量夹角余弦的绝对值即可．
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0,0,1)，A(0,4,0)，F(4,4,1)，E(4,0,2)， H(2,0,0)，
A→F＝(4,4,1)－(0,4,0)＝(4,0,1)
∴EF∥PD，F为DC的中点． ∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故∠EBF为直线EB与底面ABCD所 成的角． 在Rt△BCF中．
BF＝ BC2＋CF2＝ ∵EF＝12PD＝a2，
a2＋a22＝
5 2 a.
∴在
Rt△EFB
中，tan∠EBF＝
5 5.
[例 2] 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 4， 点 E、F、G、H 分别在棱 CC1、DD1、BB1、BC 上，且 CE＝12CC1，DF＝BG＝14DD1，BH＝12BC.求 AH 与平面 AFEG 的夹角．
北师大版数学高二学案 2.5.1直线间的夹角_5.2平面间的夹角
§5 夹角的计算5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角学习目标 1.理解两条异面直线的夹角、两平面的夹角的概念(重点).2.能够利用向量方法解决线线、面面的夹角问题(重点).3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤(重、难点).知识点一 直线间的夹角当两条直线l 1与l 2共面时，我们把两条直线交角中，范围在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的角叫作两直线的夹角.当直线l 1与l 2是异面直线时，在直线l 1上任取一点A 作AB ∥l 2，我们把直线l 1和直线AB 的夹角叫作异面直线l 1与l 2的夹角.空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定.已知直线l 1与l 2的方向向量分别为s 1，s 2.当0≤〈s 1，s 2〉≤π2时，直线l 1与l 2的夹角等于〈s 1，s 2〉； 当π2<〈s 1，s 2〉≤π时，直线l 1与l 2的夹角等于π－〈s 1，s 2〉. 【预习评价】(1)异面直线的夹角范围是什么？ 提示 异面直线的夹角范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.(2)若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2，－4，2)，b ＝(1，－1，0)，则异面直线l 1，l 2的夹角为________.解析 设异面直线l 1，l 2所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|2＋4＋0|26×2＝32，所以θ＝30°. 答案 30°知识点二 平面间的夹角如图，平面π1与π2相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R 在平面π1上作直线l 1⊥l ，在平面π2上作直线l 2⊥l ，则l 1∩l 2＝R .我们把直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角. 已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2.当0≤〈n 1，n 1〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n 1，n 2〉； 当π2<〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉. 【预习评价】两平面的夹角范围是什么？ 提示 两平面的夹角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.题型一 两条异面直线所成角的向量求法【例1】 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点.求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值.解 以A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4).＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.规律方法 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便，要注意角的范围.【训练1】 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 上的动点.若异面直线AD 1与EC 所成角为60°，试确定此时动点E 的位置.解 以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设E (1，t ，0)(0≤t ≤2)，则A (1，0，0)，D (0，0，0)，D 1(0，0，1)，C (0，2，0)，D 1A →＝(1，0，－1)，CE →＝(1，t －2，0)， ∴cos 60°＝|D 1A →·CE →||D 1A →|·|CE →|＝12.所以t ＝1，所以点E 的位置是AB 的中点. 题型二 平面间的夹角的向量求法【例2】 如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形.(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求平面C 1OB 1与平面BDD 1B 1的夹角的余弦值.(1)证明 因为四边形ACC 1A 1为矩形，所以CC 1⊥AC .同理DD 1⊥BD .因为CC 1∥DD 1，所以CC 1⊥BD .而AC ∩BD ＝O ，且AC底面ABCD ，BD底面ABCD ，因此CC 1⊥底面ABCD .由题意知，O 1O ∥C 1C ，故O 1O ⊥底面ABCD .(2)解 因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直.如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz .不妨设AB ＝2. 因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1.于是相关各点的坐标为O (0，0，0)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2). 易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量. 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量， 则⎩⎨⎧n 2·OB 1→＝0，n 2·OC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3).设平面C 1OB 1与平面BDD 1B 1的夹角为θ，易知θ是锐角，于是cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719.故平面C 1OB 1与平面BDD 1B 1的夹角的余弦值为25719. 规律方法 设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图.用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系.(2)求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n 1，n 2. (3)计算：求n 1与n 2所成锐角θ，cos θ＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|.(4)定值：平面间的夹角就是θ.【训练2】 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点，求平面AA 1D 与平面A 1BD 的夹角的余弦值.解 如图所示，取BC 中点O ，连接AO .因为△ABC 是正三角形，所以AO ⊥BC ，因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1中点为O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0).设平面A 1AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，AD →＝(－1，1，－3)，AA 1→＝(0，2，0). 因为n ⊥AD →，n ⊥AA 1→， 得⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AA 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －3z ＝0，2y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＝－3z .令z ＝1，得n ＝(－3，0，1)为平面A 1AD 的一个法向量.又因为AB 1→＝(1，2，－3)，BD →＝(－2，1，0)，BA 1→＝(－1，2，3)， 所以AB 1→·BD →＝－2＋2＋0＝0， AB 1→·BA 1→＝－1＋4－3＝0，所以AB 1→⊥BD →，AB 1→⊥BA 1→，即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1， 又BD ∩BA 1＝B ，BD平面A 1BD ，BA 1平面A 1BD ，所以AB 1⊥平面A 1BD ，所以AB 1→是平面A 1BD 的一个法向量， 所以cos 〈n ，AB 1→〉＝n ·AB 1→|n ||AB 1→|＝－3－32·22＝－64，所以平面AA 1D 与平面A 1BD 的夹角的余弦值为64.【探究1】 如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________.解析 设PD ＝a (a ＞0)，则A (2，0，0)，B (2，2，0)，P (0，0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，a 2，所以DP →＝(0，0，a )，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，a 2，因为cos 〈DP →，AE →〉＝33，所以a 22＝a2＋a 24·33，所以a ＝2，所以点E 的坐标为(1，1，1).答案 (1，1，1)【探究2】 在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和(0，4，0)及z 轴上一点(0，0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________. 解析 平面xOy 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，则3x ＝4y ＝az . 取z ＝1，则u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 4，1.cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22.又a ＞0，故a ＝125. 答案 125【探究3】 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2.E.F 分别是线段AB.BC 上的点，且EB ＝FB ＝1.(1)求平面CDE 与C 1DE 夹角的正切值； (2)求直线EC 1与FD 1夹角的余弦值.解 (1)如图，以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则有D (0，3，0)，D 1(0，3，2)，E (3，0，0)，F (4，1，0), C 1(4，3，2). 于是，DE →＝(3，－3，0)，EC 1→＝(1，3，2)，FD 1→＝(－4，2，2). 设向量n ＝(x ，y ，z )与平面C 1DE 垂直，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DE →，n ⊥EC 1→⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝0，x ＋3y ＋2z ＝0⇒x ＝y ＝－12z .∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－z2，－z 2，z ＝z 2(－1，－1，2)，其中z >0.取n ＝(－1，－1，2)，则n 是平面C 1DE 的一个法向量. ∵向量AA 1→＝(0，0，2)与平面CDE 垂直， 设平面CDE 与C 1DE 的夹角为θ. 由图知所求夹角为锐角，∴cos θ＝|cos 〈n ，AA 1→〉|＝|n ·AA 1→||n |·|AA 1→|＝|－1×0－1×0＋2×2|1＋1＋4×0＋0＋4＝63，∴tan θ＝22.(2)设EC 1与FD 1夹角为β，则cos β＝|cos 〈EC 1→，FD 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EC 1→·FD 1→|EC 1→|×|FD 1→| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×（－4）＋3×2＋2×212＋32＋22×（－4）2＋22＋22＝2114.规律方法 利用空间向量解题，大致可分采用基底法和坐标法.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间坐标系.难点是在已建好的坐标系中表示出已知点(或向量)的坐标.只有正确表达出已知点(或向量)的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法.课堂达标1.若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线的夹角等于( ) A.30° B.150° C.30°或150°D.以上均错答案 A2.已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面的夹角的大小为( ) A.45° B.135° C.45°或135°D.90°解析 ∵cos 〈m ，n 〉＝12＝22，∴两平面夹角的大小为45°. 答案 A3.已知点A (1，0，0)，B (0，2，0)，C (0，0，3)，则平面ABC 与平面xOy 夹角的余弦值为________.解析 AB→＝(－1，2，0)，AC →＝(－1，0，3).设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z ).由n ·AB →＝0，n ·AC →＝0知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，－x ＋3z ＝0.令x ＝2，则y ＝1，z ＝23.∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(2，1，23). 平面xOy 的一个法向量为OC→＝(0，0，3).由此易求出两平面的夹角的余弦值为27. 答案 274.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为________.解析 如图，建立空间直角坐标系.由已知得A 1(4，0，0)，B (4，4，3)，B 1(4，4，0)，C (0，4，3). ∴A 1B →＝(0，4，3)， B 1C →＝(－4，0，3)， ∴cos 〈A 1B →，B 1C →〉＝925.答案 9255.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，求AB 1与C 1B 所成角的大小. 解 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0，0，1)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，0，C 1(0，2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，1.∴AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，－1， C 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，1， ∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0， ∴AB 1→⊥C 1B →.即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.课堂小结利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系.首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系.。
高中数学_直线与平面的夹角教学设计学情分析教材分析课后反思
3.2.3直线与平面的夹角教学设计[学习目标]1．了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念．2．了解三个角θ，θ1，θ2的意义，会利用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求平面的斜线与平面内的直线的夹角．[知识回顾]怎样求两条异面直线所成的角？(1)_______________________________________________________；(2)________________________________________________________.[预习导引]1．线线角、线面角的关系式如图所示，已知OA是平面α的斜线段，O是斜足，线段AB垂直于α，B为垂足，则直线OB是斜线OA在平面α内的正射影．设OM是α内通过点O的任一条直线，OA与OB所成的角为θ1，OB与OM所成的角为θ2，OA与OM所成的角为θ，则θ，θ1，θ2之间的关系为____________________在上述公式中，因为______________________,又因为θ1和θ都是锐角，所以θ1≤θ. 2．最小角定理_____和它在平面内的_____所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中_____．3．直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为_____．(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为_____．(3)斜线和它在平面内的__________叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).【设计意图】重点强调斜线的射影是过垂足和斜足的直线．教师可在此处多设计几个图形，让学生练习辨别垂线，斜线及其射影．[典型例题]知识点一用定义求线面角例1在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，连CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值．变式1如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD. PD＝DC，E是PC的中点．求EB与平面ABCD夹角的余弦值．方法小结：_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________.【设计意图】教师用问题引导学生一步步分析如何作出斜线与平面所成的角，培养学生思维的条理性．知识点二由公式cosθ＝cosθ1·cosθ2求线面角例2已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD的中心，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AA1＝32a，求证：A1O⊥平面ABCD.变式2如果∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝60°，则P A与平面PBC所成角的余弦值为______方法小结：____________________________________________________________________________________________________________________________________.【设计意图】让学生真正理解最小角定理的含义及如何解题应用。
2021学年新教材高中数学1.2.3直线与平面的夹角课时作业含解析人教B版必修一
课时作业(六) 直线与平面的夹角一、选择题1．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是( )A．∠C1BB1 B．∠C1BDC．∠C1BD1 D．∠C1BO2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为( )A.33B.12C.66D.363．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为( )A.62B.63C.64D. 24．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为( )A.12B.2626C.63D.33二、填空题5．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为________．6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角是________．7．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角为________．三、解答题8.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值．9.如图所示，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．[尖子生题库]10.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：AC⊥平面PDB；(2)当PD＝2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．课时作业(六) 直线与平面的夹角1．解析：由线面垂直的判定定理，得C1O⊥平面BB1D1D，所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，所以∠C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角，故选D.答案：D2．解析：取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝66.答案：C3．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(1,0,1)，E⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，F⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，B1(1,1,1)．A1E→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－1，A1F→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0，A1B1→＝(0,1,0)，设平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)，则⎩⎨⎧n·A1E→＝0，n·A1F→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y －z ＝0，－x ＋y2＝0.令y ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1， ∴n ＝(1,2,1)，cos 〈n ，A 1B 1→〉＝26＝63， 即A 1B 1与平面A 1EF 所成角的正弦值为63. 答案：B 4．解析：如图，设A 在平面BPC 内的射影为O ， ∵∠APB ＝∠APC .∴点O 在∠BPC 的角平分线上，∴∠OPC ＝30°，∠APO 为PA 与平面PBC 所成的角． ∴cos∠APC ＝cos∠APO ·cos∠OPC ， 即cos 60°＝cos∠APO ·cos 30°，∴cos∠APO ＝33.答案：D5．解析：cos 〈a ，n 〉＝a ·n |a ||n |＝1×2＋2×1＋3×11＋4＋9·4＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216，所以l 与平面α所成角的正弦值为216. 答案：2166．解析：连接BC 1交B 1C 于O 点，连接A 1O . 设正方体棱长为a .易证BC 1⊥平面A 1B 1CD ，∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影． ∴∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角．在Rt△A 1BO 中，A 1B ＝2a ，BO ＝22a ，∴sin∠BA 1O ＝OB A 1B ＝12，∴∠BA 1O ＝30°.即A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角为30°. 答案：30° 7．解析：以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ， 设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2，从而CA →＝(2a,0,0)， AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a,0)．设平面PAC 的一个法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n |＝a 2a 2·2＝12. 所以〈CB →，n 〉＝60°.所以直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°. 答案：30°8．解析：取BC 中点O ，B 1C 1中点O 1，连接AO ，OO 1，则AO ⊥OC ，OO 1⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OC ，OA ，OO 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，2a ，∴AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－32a ，2a .取AB 中点M ，连接CM ，则CM ⊥AB .∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，∴CM ⊥平面ABB 1A 1， ∴CM →为平面ABB 1A 1的一个法向量．∵B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，0，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，34a ，0.又∵C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，∴CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，0.∴cos〈AC 1→，CM →〉＝AC 1→·CM →|AC 1→||CM →|＝－34a 23a ·32a ＝－12.∴AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为12.9．解析：如图，以D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标Dxyz.则DA→＝(1,0,0)，CC′→＝(0,0,1)．连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设DH→＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈DH→，DA→〉＝60°，由DA→·DH→＝|DA→||DH→|cos〈DH→，DA→〉，可得m＝122m2＋1.解得m＝22，所以DH→＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1.(1)因为cos〈DH→，CC′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH→，CC′→〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是DC→＝(0,1,0)．因为cos〈DH→，DC→〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH→，DC→〉＝60°.可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.10．解析：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB.。
学案5：3.2.3 直线与平面的夹角
3.2.3 直线与平面的夹角1．直线和平面所成的角思考：直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？2．最小角定理初试身手1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A．120°B．60°C．30° D．以上均错2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则直线l 与平面α所成的角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，则直线A 1B 与平面BDE 所成的角为( )A.π6B.π3C.π2D.5π6合作探究类型1 用向量求直线与平面所成的角例1 已知三棱锥P ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别是PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成的角的大小． 规律方法用向量法求线面角的步骤(1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量AB →； (3)求平面的法向量n ；(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝|n ·AB →||n |·|AB →|. 跟踪训练1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m ，试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为3 2.类型2 用定义法解决直线与平面的夹角问题 探究问题1．用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？2．定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？例2 如图所示，在三棱锥P ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°.(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若D 为PB 的中点，试求AD 与平面P AC 夹角的正弦值． 母题探究1．(改变问法)若本例条件不变，问题(2)改为：D 为PB 上的一点，且BD ＝13PB ，试求AD 与平面P AC 夹角的正弦值．2．(改变问法)若本例的题(2)条件不变，求AD 与平面PBC 的夹角的正弦值，结果如何？ 规律方法作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角.其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”.类型3 公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用例3∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝2a，求OA与平面α所成的角．规律方法求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角，也是常用的方法．跟踪训练2．如图所示，四棱锥PABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.若∠PBC ＝60°，求直线PB与平面ABCD所成的角θ.当堂达标1．思考辨析(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角．()(2)斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角．()(3)直线与平面的夹角的范围是[0°，90°]． ( )2．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2 3．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为( )A.33B.12C.66D.364．若平面α的一个法向量n ＝(2,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为________．参考答案自主预习思考： [提示] 不是．直线和平面的夹角为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－〈s ，n 〉.初试身手1．【答案】C【解析】设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝12，又∵0<θ≤90°，∴θ＝30°. 2．【答案】A【解析】由cos 〈m ，n 〉＝－12，得〈m ，n 〉＝120°， ∴直线l 与平面α所成的角为|90°－120°|＝30°. 3．【答案】B【解析】以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，所以DB →＝(1,1,0)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，易得平面BDE 的法向量n ＝(1，－1,2)，而BA 1→＝(0，－1,1)， ∴cos 〈n ，BA 1→〉＝1＋223＝32，∴〈n ，BA 1→〉＝π6.∴直线A 1B 与平面BDE 所成角为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－π6＝π3.合作探究类型1 用向量求直线与平面所成的角例1 解：如图，设P A ＝1，以A 为原点，直线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(1)证明：CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，12，SN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0，因为CM →·SN →＝－12＋12＋0＝0， 所以CM ⊥SN . (2)NC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量． 由a ·CM →＝0，a ·NC →＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0，令x ＝2，得a ＝(2,1，－2)，∵|cos 〈a ，SN →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－123×22＝22，∴SN 与平面CMN 所成角为45°. 跟踪训练1．解：建立如图所示的空间直角坐标系．则A (1,0,0)，B (1,1,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)， 所以BD →＝(－1，－1,0)，BB 1→＝(0,0,1)，AP →＝(－1,1，m )，AC →＝(－1,1,0)， 又由AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0，知AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量， 设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ. 则sin θ＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22＋m 2·2＝22＋m 2. cos θ＝1－sin 2θ＝m2＋m2， 依题意2m ＝32，解得m ＝13，故当m ＝13时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为3 2. 类型2 用定义法解决直线与平面的夹角问题 探究问题1． [提示] 寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投影． 2． [提示] ①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0； ②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为π2；③若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O ，在直线上任取异于O 点的另一点P ，过P 作平面的垂线P A ，A 为垂足，则OA 即为直线在平面内的投影，∠AOP 即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．例2 (1)证明：因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以P A ⊥BC .又∠BCA ＝90°，所以AC ⊥BC ，又AC ⊂平面P AC ， P A ⊂平面P AC ，P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面PAC . (2)解：取PC 的中点E ，连接DE .因为D为PB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥平面P AC.连接AE，AD，则AE是AD在平面P AC内的投影，所以∠DAE是直线AD与平面P AC的夹角．设P A＝AB＝a，在直角三角形ABC中．因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，所以BC＝a2，DE＝a4，在直角三角形ABP中，AD＝22a，所以sin∠DAE＝DEAD＝a422a＝24.即AD与平面P AC夹角的正弦值为2 4.母题探究1．解：由已知BC⊥AC，BC⊥P A，AC∩P A＝A，所以BC⊥平面P AC，BC⊥PC，过PB的三等分点D作DE∥BC，则DE⊥平面P AC，连接AE，AD，则∠DAE为AD与平面P AC的夹角，不妨设P A＝AB＝1，因为∠ABC＝60°，所以BC＝12，DE＝23×12＝13，PB＝2，BD＝23.在△ABD中AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 45°＝59，AD＝53，所以sin∠DAE＝DEAD＝1 3 53＝55.即AD 与平面P AC 夹角的正弦值为55.2．解：由例题(1)知BC ⊥平面P AC ，所以平面P AC ⊥平面PBC .过A 作AE ⊥PC .所以AE ⊥平面PBC .连接ED ，则∠ADE 为AD 与平面PBC 的夹角．设P A ＝2a ，AB ＝2a ，所以PB ＝22a .故AD ＝2a .在△APC 中AP ＝2a ，AC ＝AB ·sin 60°＝2a ×32＝3a ，所以PC ＝3a 2＋4a 2＝7a ，设∠ACP ＝θ，则AE ＝AC ·sin θ＝AC ×AP PC＝3a ×2a 7a ＝237a ＝2217a ， 所以sin ∠ADE ＝AE AD ＝221a 72a＝427. 即AD 与平面PBC 夹角的正弦值为427.类型3 公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用例3 解：法一：∵OA ＝OB ＝OC ＝a ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°， ∴AB ＝AC ＝a .又∵BC ＝2a ，∴AB 2＋AC 2＝BC 2.∴△ABC 为等腰直角三角形．同理△BOC 也为等腰直角三角形．取BC 中点为H ，连接AH ，OH ，∴AH＝22a，OH＝22a，AO＝a，AH2＋OH2＝AO2.∴△AHO为等腰直角三角形．∴AH⊥OH.又∵AH⊥BC，OH∩BC＝H，∴AH⊥平面α.∴OH为AO在α平面内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角．在Rt△AOH中，∴sin∠AOH＝AHAO＝22.∴∠AOH＝45°.∴OA与平面α所成的角为45°.法二：∵∠AOB＝∠AOC＝60°，∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线，作∠BOC的角平分线OH交BC于H.又OB＝OC＝a，BC＝2a，∴∠BOC＝90°.故∠BOH＝45°，由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2，得cos∠AOH＝cos∠AOBcos∠BOH＝22，∴OA与平面α所成的角为45°.跟踪训练2．解：由题意得∠CBD＝45°，∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角θ.∵cos∠PBC＝cos θ·cos∠CBD，∠PBC＝60°.即cos 60°＝cos θ·cos 45°，∴cos θ＝22，θ＝45°.当堂达标1．【答案】(1) ×(2)√(3)√【解析】(1) ×角的度数还可以是零度．(2)√(3)√2．【答案】D【解析】由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为π3，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为π2.3．【答案】C【解析】取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝6 6.4．【答案】21 6【解析】cos〈a，n〉＝a·n|a||n|＝1×2＋2×1＋3×11＋4＋9·4＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216，所以l与平面α所成角的正弦值为21 6.。
课时作业5：1.2.3 直线与平面的夹角
1.2.3 直线与平面的夹角一、选择题1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，直线AD 与平面A 1BC 1所成角正弦值为( ) A ．12B ．32 C ．33D ．632．OA 、OB 、OC 是由点O 出发的三条射线，两两夹角为60°，则OC 与平面OAB 所成角的余弦值为( ) A ．13 B ．33C ．12D ．323．如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，若该长方体的体积为82，则直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°4．在三棱锥P ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12P A ，点O 是AC 的中点，OP ⊥底面ABC ．现以点O 为原点，OA 、OB 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．则直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A ．21030 B ．3030C ．69030D ．870305．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2二、填空题6．等腰Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成的角为________．7．如图，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，平面A 1B 1CD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 和四边形A 1B 1CD 都是正方形，则直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角的正切值是________．8．已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于________． 三、解答题9．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 、F 分别是PC 、AD 中点．(1)求证：DE ∥平面PFB ；(2)求PB 与平面PCD 所成角的正切值．10．在如图所示的多面体ABCDE ，AB ∥DE ，AB ⊥AD ，△ACD 是正三角形．AD ＝DE ＝2AB ＝2，EC ＝22，F 是CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求直线AD 与平面BCE 所成角的正弦值．11．(多选题)已知四棱锥P ABCD 的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为81π4的球面上，则P A 与底面ABCD 所成角的正弦值为( )A ．23B ．13C ．223D ．5312．在圆柱OO 1中，O 是上底面圆心，AB 是下底面圆的直径，点C 在下底面圆周上，若△OAB 是正三角形，O 1C ⊥AB ，则OC 与平面OAB 所成角为( )A ．150°B ．30°C ．45°D ．60°13．(一题两空)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则直线CD 1与C 1F 所成角的余弦值为________，直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成角的正弦值为________． 14．在空间四边形P ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝2，P A ＝4．则PC 和平面P AB 所成角的正切值为________．15．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，矩形BFED 所在的平面与平面ABCD 垂直，且AD ＝DC ＝CB ＝BF ＝12AB ＝2．(1)求证：平面ADE ⊥平面BFED ；(2)若P 为线段EF 上一点，直线AD 与平面P AB 所成的角为θ，求θ的最大值．【参考答案】一、选择题1．C [如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(1,1,1)，DA →＝(1,0,0)，设直线AD 与平面A 1BC 1所成角为θ，∴sin θ＝|cos 〈n ，DA →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DA →|n |·|DA →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11×3＝33．] 2．B [设OC 与平面OAB 所成的角为θ，则cos 60°＝cos θ·cos 30°，∴cos θ＝33．] 3．A [∵在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，该长方体的体积为82，∴2×2×AA 1＝82，解得AA 1＝22，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A (2,0,0)，C 1(0,2,22)，AC 1→＝(－2,2,22)， 平面BB 1C 1C 的法向量n ＝(0,1,0)， 设直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为θ， sin θ＝|n ·AC 1→||n |·|AC 1→|＝24＝12，∴θ＝30°，∴直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°．故选A ．]4．A [因为OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ，所以OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP ．设AB ＝2a ，则P A ＝22a ，OP ＝7a ，A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P (0,0，7a )． ∴P A →＝(a,0，－7a )，PB →＝(0，a ，－7a )，BC →＝(－a ，－a,0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧ay －7az ＝0－ax －ay ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－77，所以平面PBC 的一个法向量为n ＝⎝⎛⎭⎫1，－1，－77， 所以cos 〈P A →，n 〉＝P A →·n |P A →||n |＝21030，所以P A 与平面PBC 所成角的正弦值为21030．]5．A [以C 为原点，在平面ABC 中过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴， 建立空间直角坐标系，则A (3，1,0)，A 1(3，1,3)，B 1(0,2,3)，C 1(0,0,3)， AA 1→＝(0,0,3)，AB 1→＝(－3，1,3)，AC 1→＝(－3，－1,3)， 设平面AB 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝－3x ＋y ＋3z ＝0，n ·AC 1→＝－3x －y ＋3z ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，0,1)， 设AA 1与平面AB 1C 1所成的角θ， 则sin θ＝|AA 1→·n ||AA 1→|·|n |＝334＝12，∴θ＝π6．∴AA 1与平面AB 1C 1所成的角为π6．故选A ．]二、填空题6．45° [作CO ⊥α，O 为垂足，连接AO ，MO ，则∠CAO ＝30°，∠CMO 为CM 与α所成的角．在Rt △AOC 中，设CO ＝1，则AC ＝2．在等腰Rt △ABC 中，由AC ＝2得CM ＝2． 在Rt △CMO 中，sin ∠CMO ＝CO CM ＝12＝22．∴∠CMO ＝45°．]7．2 [以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB ＝1，则B (1,1,0)，D 1(－1，0,1)，BD 1→＝(－2，－1,1)，平面A 1B 1CD 的法向量n ＝(1,0,0)，设直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角为θ， 则sin θ＝|BD 1→·n ||BD 1→|·|n |＝26，∴cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫262＝26， ∴直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成角的正切值是tan θ＝sin θcos θ＝2．] 8．23[如图，设A 1在平面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OA ，OA 1分别为x 轴、z 轴，过O 作OA 的垂线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图． 设△ABC 边长为1，则A ⎝⎛⎭⎫33，0，0，B 1⎝⎛⎭⎫－32，12，63，所以AB 1→＝⎝⎛⎭⎫－536，12，63．平面ABC 的法向量n ＝(0,0,1)， 则AB 1与底面ABC 所成角α的正弦值为 sin α＝|cos 〈AB 1→，n 〉|＝637536＋14＋69＝23．] 三、解答题9．[解] (1)证明：取PB 的中点M ，连接EM ，FM ，∵E ，M 分别是PC ，PB 的中点，∴EM ∥BC ，EM ＝12BC ，∵四边形ABCD 是正方形，F 是AD 的中点， ∴DF ∥BC ，DF ＝12BC ，∴四边形DEMF 是平行四边形，∴DE ∥FM ， 又DE ⊄平面PFB ，FM ⊂平面PFB ，∴DE ∥平面PFB ． (2)∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，又PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ． ∴∠BPC 为直线PB 与平面PCD 所成的角，∵PD ＝DC ＝BC ，∴PC ＝2CD ＝2BC ，∴tan ∠BPC ＝BC PC ＝22．10．[解] (1)证明：以A 为原点，在平面ACD 中，过A 作AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，F ⎝⎛⎭⎫32，32，0，B (0,0,1)，E (0,2,2)，AF →＝⎝⎛⎭⎫32，32，0，BC →＝(3，1，－1)，BE →＝(0,2,1)，设平面BCE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝3x ＋y －z ＝0，n ·BE →＝2y ＋z ＝0，取y ＝1，得n ＝(－3，1，－2)，∵AF →·n ＝0，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE ．(2)AD →＝(0,2,0)，平面BCE 的法向量n ＝(－3，1，－2)， 设直线AD 与平面BCE 所成角为θ， 则sin θ＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝228＝24．∴直线AD 与平面BCE 所成角的正弦值为24．11．BC [由已知可得，四棱锥P ABCD 为正四棱锥，∵正四棱锥外接球的表面积为81π4，∴正四棱锥外接球的半径R ＝94．如图，连接AC ，BD 交于E ，设球心为O ，连接PO ，BO ，则E 在PO (或其延长线)上，PO ＝BO ＝R ， ∴BE ＝12BD ＝12×22＝2，又R ＝94，OE ＝R 2－BE 2＝8116－2＝74． ∴PE ＝R －OE ＝94－74＝12或PE ＝R ＋OE ＝94＋74＝4．当PE ＝12时，P A ＝2＋14＝32， P A 与底面ABCD 所成角的正弦值为1232＝13；当PE ＝4时，P A ＝16＋2＝32，P A 与底面ABCD 所成角的正弦值为432＝223．∴P A 与底面ABCD 所成角的正弦值为13或223．]12．B [设AB ＝2a ，则OA ＝2a ，O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝a ，∴OO 1＝4a 2－a 2＝3a ，OC ＝3a 2＋a 2＝2a ， ∵CO 1⊥AB ，CO 1⊥OO 1，AB ∩OO 1＝O 1，∴CO 1⊥平面AOB ，∴∠COO 1是OC 与平面OAB 所成角， sin ∠COO 1＝CO 1CO ＝12，∴∠COO 1＝30°，∴OC 与平面OAB 所成角为30°．] 13．105 26[以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则C (0,2,0)，D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,2,0)， ∴CD 1→＝(0，－2,2)，EF →＝(－1,1,0)，EA 1→＝(0，－1,2)，C 1F →＝(1,0，－2)， cos 〈CD 1→，C 1F →〉＝||CD 1→·C 1F →|CD 1→|·|C 1F →|＝422＋22×12＋(－2)2＝422×5＝105．设平面A 1C 1FE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝－x ＋y ＝0，n ·EA 1→＝－y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(2,2,1)，设直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成角为θ， 则sin θ＝|CD 1→·n ||CD 1→|·|n |＝28·9＝26．∴直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成角的正弦值为26．] 14．13 [取AB 的中点为O ，连接CO ，PO ，∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥OC ，∵AC ＝BC ，O 是AB 的中点，∴AB ⊥OC ，又P A ∩AB ＝A ，∴CO ⊥平面P AB ，则∠CPO 为PC 和平面P AB 所成的角．∵AC ＝BC ＝2，AC ⊥BC ，∴AB ＝22，CO ＝12AB ＝2， ∴PO ＝P A 2＋OA 2＝32，∴tan ∠CPO ＝CO OP ＝13， ∴PC 和平面P AB 所成角的正切值为13．]15．[解] (1)证明：取AB 的中点G ，连接DG ，则CD 12AB ，∴CD BG ， ∴四边形BCDG 是平行四边形，∴DG ＝BC ＝12AB ＝AG ＝BG ，∴AD ⊥BD ， 又平面ABCD ⊥平面BFED ，且平面ABCD ∩平面BFED ＝BD ，∴AD ⊥平面BFED ，又AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BFED ．(2)由于BFED 是矩形，∴BD ⊥DE ，由(1)知AD ⊥平面BFED ，以D 为坐标原点，DA ，DB ，DE 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,23，0)，DA →＝(2,0,0)，设点P (0，t,2)，AB →＝(－2,23，0)，AP →＝(－2，t,2)，令平面P AB 的法向量m ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AB →＝－2x ＋23y ＝0，m ·AP →＝－2x ＋ty ＋2z ＝0.取y ＝2， 得平面P AB 的一个法向量为m ＝(23，2,23－t )，∴sin θ＝|DA →·m ||DA →|·|m |＝43216＋(23－t )2， 当t ＝23时，(sin θ)max ＝32，∴θmax ＝π3． ∴θ的最大值为π3．。
课时作业5：3.2.3 直线与平面的夹角
3．2.3 直线与平面的夹角一、基础过关1．如果BC ⊂平面M ，斜线AB 与平面M 所成的角为α，∠ABC ＝θ，AA ′⊥平面M ，垂足为A ′，∠A ′BC ＝β，那么( ) A ．cos θ＝cos αcos β B ．sin θ＝sin αsin β C ．cos α＝cos θcos β D ．cos β＝cos αcos θ答案 A2．直线l 的方向向量是v 1，平面γ的法向量为v 2，若v 1与v 2所成的角为θ，l 与γ所成的角为α，则( ) A ．α＝θ B ．α＝π－θ C ．sin θ＝|cos α| D ．sin α＝|cos θ| 答案 D3．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是( )A.32B.22C.104D.64 答案 D解析 如图所示，建立坐标系，易求点D ⎝⎛⎭⎫32，12，1，平面AA 1C 1C 的一个法向量是n ＝(1，0,0)，所以cos 〈n ，AD →〉＝322＝64，即sin α＝64.4．在正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75° 答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1⎝⎛⎭⎫62，22，0，C 1(0，2，0)， B ⎝⎛⎭⎫62，22，1.∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，C 1B →＝⎝⎛⎭⎫62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.5．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成角是________． 答案 30°解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，2，0)，PC →＝(1，2，－1)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈PC →，n 〉＝PC →·n |PC →|·|n |＝－12，所以〈PC →·n 〉＝120°，所以斜线PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成角为60°，所以斜线PC 与平面ABCD 所成角为30°.6．正四面体ABCD 中棱AB 与底面BCD 所成角的余弦值为________．答案 33解析 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，O 为△BCD 的中心，设正四面体棱长为a ，则OB ＝33a ，∠ABO 为所求角，cos ∠ABO ＝33. 7.如图，已知点P 在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．解 如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系Dxyz .则DA →＝(1,0,0)， CC ′→＝(0,0,1)． 连接BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H . 设DH →＝(m ，m,1) (m >0)，由已知〈DH →，DA →〉＝60°， 由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1.(1)因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)．因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°. 可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.二、能力提升8．已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )A.34B.54C.74D.34 答案 D解析 如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接SD ；作AG ⊥SD 于点G ，连接GB .∵SA ⊥底面ABC ，△ABC 为等边三角形，∴BC ⊥SA ，BC ⊥AD . ∴BC ⊥平面SAD .又AG ⊂平面SAD ，∴AG ⊥BC . 又AG ⊥SD 且SD ∩BC ＝D ， ∴AG ⊥平面SBC .∴∠ABG 即为直线AB 与平面SBC 所成的角． ∵AB ＝2，SA ＝3，∴AD ＝3，SD ＝2 3.在Rt △SAD 中，AG ＝SA ·AD SD ＝32，∴sin ∠ABG ＝AG AB ＝322＝34.9.如图，∠BOC 在平面α内，OA 是平面α的一条斜线，若∠AOB ＝∠AOC ＝60°，OA ＝OB ＝OC ＝a ，BC ＝2a ，OA 与平面α所成的角为________．答案 45°解析 ∵∠AOB ＝∠AOC ＝60°，∴易证OA 在α内的射影为∠BOC 的角平分线，作∠BOC 的角平分线OH 交BC 于H . 又OB ＝OC ＝a ，BC ＝2a ，∴∠BOC ＝90°. 故∠BOH ＝45°，由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2，得cos ∠AOH ＝cos ∠AOB cos ∠BOH ＝22.∴OA 与平面α所成的角为45°.10．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中侧棱长为2，底面边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是________.答案 π6解析 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中取AC 的中点O ，OB ⊥AC ，则OB ⊥平面ACC 1A 1，∴∠BC 1O 就是BC 1与平面AC 1的夹角．∵OB ＝32，BC 1＝3， ∴sin ∠BC 1O ＝OB BC 1＝12， ∴∠BC 1O ＝π6.11.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD .PD ＝DC ，E 是PC 的中点．求EB 与平面ABCD 夹角的余弦值．解 取CD 的中点M ，则EM ∥PD ， 又∵PD ⊥平面ABCD ， ∴EM ⊥平面ABCD ，∴BE 在平面ABCD 上的射影为BM ， ∴∠MBE 为BE 与平面ABCD 的夹角， 如图建立空间直角坐标系， 设PD ＝DC ＝1，则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，∴M ⎝⎛⎭⎫0，12，0，E ⎝⎛⎭⎫0，12，12， ∴BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，－12，12，BM →＝⎝⎛⎭⎫－1，－12，0，cos 〈BM →，BE →〉＝BE →·BM →|BE →||BM →|＝1＋1432× 52＝306，∴EB 与平面ABCD 夹角的余弦值为306.12.如图，在五棱锥P －ABCDE 中，P A ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC ∥ED ，AE ∥BC ，∠ABC ＝45°，AB ＝22，BC ＝2AE ＝4，三角形P AB 是等腰三角形．(1)求证：平面PCD ⊥平面P AC ； (2)求直线PB 与平面PCD 夹角的大小． (1)证明 ∵∠ABC ＝45°，AB ＝22，BC ＝4， ∴在△ABC 中，由余弦定理可得AC 2＝(22)2＋42－2×22×4cos 45°＝8， ∴AC ＝2 2.∵在△ABC 中，AB 2＋AC 2＝8＋8＝16＝BC 2， ∴AB ⊥AC .又∵P A ⊥平面ABCDE ，AB ⊂平面ABCDE ， ∴P A ⊥AB .又P A ∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面P AC . ∵AB ∥CD ，∴CD ⊥平面P AC .又CD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面P AC .(2)解 由(1)知AB ⊥AC ，又P A ⊥平面ABC ，因此以A 为原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (22，0,0)，C (0,22，0)，P (0,0,22)．由AC ∥ED ，CD ⊥AC 知四边形ACDE 是直角梯形，且∠EAC ＝45°，可得CD ＝2， ∴D (－2，22，0)． 即CD →＝(－2，0,0)，PC →＝(0,22，－22)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·PC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y －z ＝0.令y ＝1，得n ＝(0,1,1)．又PB →＝(22，0，－22)，∴cos 〈PB →，n 〉＝－222×4＝－12.由此可知直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为12，即所成角为30°.∴直线PB 与平面PCD 所成角的大小为30°. 三、探究与拓展13.已知几何体EFG —ABCD 如图所示，其中四边形ABCD ，CDGF ，ADGE 均为正方形，且边长为1，点M 在边DG 上．(1)求证：BM ⊥EF ；(2)是否存在点M ，使得直线MB 与平面BEF 所成的角为45°，若存在，试求点M 的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明 ∵四边形ABCD ，CDGF ，ADGE 均为正方形， ∴GD ⊥DA ，GD ⊥DC ，又DA ∩DC ＝D ，∴GD ⊥平面ABCD .以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ， 则B (1,1,0)，E (1,0,1)，F (0,1,1)． ∵点M 在边DG 上，故可设M (0,0，t ) (0≤t ≤1)．∵MB →＝(1,1，－t )，EF →＝(－1,1,0)， ∴MB →·EF →＝1×(－1)＋1×1＋(－t )×0＝0， ∴BM ⊥EF .(2)解 假设存在点M 使得直线MB 与平面BEF 所成的角为45°. 设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵BE →＝(0，－1,1)，BF →＝(－1,0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝0，n ·BF →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0.令z ＝1得x ＝y ＝1，∴n ＝(1,1,1)，∴cos 〈n ，MB →〉＝n ·MB →|n ||MB →|＝2－t 3×2＋t 2， ∵直线BM 与平面BEF 所成的角为45°，∴sin 45°＝|cos 〈n ，MB →〉|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－t 3×2＋t 2＝22， 解得t ＝－4±32，又因0≤t ≤1，∴只取t ＝32－4.∴存在点M (0,0,32－4)位于DG 上，且DM ＝32－4时，使得直线BM 与平面BEF 所成的角为45°.。
直线与平面的夹角
则 则BB→ →CC则＝ ＝B→((11C,,＝11,,00())1， ，,1,BB0→ →MM)，＝ ＝B→M00， ，＝1212， ，0，121212， ，，AA→ →12DD，＝ ＝A→((D00,,＝11， ，(0－ －,111，))..－1).
设平面 MBC 的法向量 n＝(x0，y0，z0)，
3.2.3 直线 和平面的夹角
青云学府 马炳峰
学习目标
1.知识与技能：掌握直线在平面内的射影及斜 线和平面所成角的概念，并会求直线和平面所 成的角。 2.过程与方法：知道最小角定理的证明过程。 3.情感态度与价值观：通过运用相关知识解决 实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热 情和兴趣。.
探求新知：
22
6, (1)2 02 02 3
所以cos 1 sin2 1 ( 6 )2 3 . 33
方法二：由(1)知CD⊥平面ABD ，
6 所以 tan sin 3 2.
cos 3
3
定义法
所以∠CMD为直线CM与平面ABD所成角。
在Rt△CDM中，CD=1,DM=
(1)求证：AB⊥CD； (2)若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与 平面 MBC 所成角的正弦值.
.
解题分析
（1）由平面ABD⊥平面BCD,推得AB⊥平面BCD,进而证 明AB⊥CD. (2)以B为坐标原点建立空间直角坐标系,求相关点的坐 标,相关向量的坐标,由向量的线面角公式求得.
规 范 解 答 ·分 步 得 分
5
3.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)
ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2 2 ,
则AC1与侧面ABB1A1的夹角为__________. 6
课时作业4：1.2.3 直线与平面的夹角
1.2.3 直线与平面的夹角一、选择题1.若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于5π6，则直线l 与平面α所成的角为( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.以上均错答案 B解析 直线l 与平面α所成的角为5π6－π2＝π3.2.直线l 的方向向量是v 1，平面α的法向量为v 2，若v 1与v 2所成的角为θ，直线l 与平面α所成的角为φ，则( ) A.φ＝θ B.φ＝π－θ C.cos θ＝|cos φ| D.sin φ＝|cos θ| 答案 D解析 φ＝θ－π2或φ＝π2－θ，且φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因而sin φ＝|cos θ|.3.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝2，DD 1＝3，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值是( ) A.2613 B.37070 C.－37070 D.－2613 答案 A解析 易知AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量.建立如图所示的空间直角坐标系，则B (2，2，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，3).所以BC 1→＝(－2，0，3)，AC →＝(－2，2，0)，所以cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →| BC 1→|·|AC →|＝2613，所以BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为2613.4.如图，AB ⊥平面α于B ，BC 为AC 在α内的射影，CD 在α内，若∠ACD ＝60°，∠BCD ＝45°，则AC 和平面α所成的角为( )A.15°B.30°C.45°D.60°答案 C解析 设AC 和平面α所成的角为θ，则cos 60°＝cos θ·cos 45°，∴cos θ＝22，∴θ＝π4.5.在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，P A ＝2，则直线P A 与平面DEF 所成角的正弦值为( ) A.15 B.255 C.55 D.25 答案 C解析 以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，P A ＝2，得A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，P (0，0，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∴P A →＝(0，0，－2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1.设平面DEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DF →＝0得⎩⎨⎧y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0.取z ＝1，则n ＝(2，0，1).设直线P A 与平面DEF 所成的角为θ，则sin θ＝ |cos 〈P A －，n 〉|＝|P A →·n ||P A →||n |＝55，∴直线P A 与平面DEF 所成角的正弦值为55. 二、填空题6.在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成角的大小为________. 答案 30°解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0，0，1)，C (1，2，0)，PC→＝(1，2，－1)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)， 所以cos 〈PC →，n 〉＝PC →·n |PC→||n |＝－12，所以〈PC→，n 〉＝120°，所以斜线PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成角为60°，所以斜线PC 与平面ABCD 所成角为30°.7.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为__________. 答案 13解析 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1BC 1的一个法向量，则n ·A 1B →＝0，n · A 1C 1→＝0， 即⎩⎨⎧2y －z ＝0，－x ＋2y ＝0，令z ＝2，则y ＝1，x ＝2，于是n ＝(2，1，2)，D 1C 1→＝(0，2，0)， 设所求线面角为α，则sin α＝| cos 〈n ，D 1C 1→〉|＝13.8.等腰Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成角的大小为________. 答案 45°解析 如图，过C 作CO ⊥平面α，O 为垂足，连接OA ，OM ，则∠OMC 为CM 与平面α所成的角，∠CAO ＝30°. 设AC ＝BC ＝1，则AB ＝2，OC ＝12，CM ＝12AB ＝22， ∴sin ∠OMC ＝22，∴∠OMC ＝45°，即CM 与平面α所成角的大小为45°.三、解答题9.如图所示，在直三棱柱ABO －A ′B ′O ′中，OO ′＝4，OA ＝4，OB ＝3，∠AOB ＝90°，D 是线段A ′B ′的中点，P 是侧棱BB ′上的一点，若OP ⊥BD ，求OP 与底面AOB 所成角的正切值.解 如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系， 则B (3，0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，4.设P (3，0，z )，则BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2，4，OP →＝(3，0，z ).∵BD ⊥OP ，∴BD →·OP →＝－92＋4z ＝0，z ＝98. ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，98.∵BB ′⊥平面AOB ，∴∠POB 是OP 与底面AOB 所成的角. ∵tan ∠POB ＝PB BO ＝983＝38，故OP 与底面AOB 所成角的正切值为38.10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点.求BD 与平面ADMN 所成的角θ的大小.解 如图所示，建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则A (0，0，0)，B (2，0，0)， D (0，2，0)，P (0，0，2)， N (1，0，1)， ∴BD→＝(－2，2，0)， AD→＝(0，2，0)，AN →＝(1，0，1). 设平面ADMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AN →＝0得⎩⎨⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1，∴n ＝(1，0，－1).∵cos 〈BD →，n 〉＝BD →·n |BD →|·|n |＝－28×2＝－12，∴sin θ＝|cos 〈BD→，n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.11.若平面α的一个法向量为n ＝(4，1，1)，直线l 的一个方向向量a ＝(－2，－3，3)，则l 与α所成角的余弦值为( ) A.－1111 B.1111 C.－11011D.91333答案 D解析 设α与l 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|（－2，－3，3）·（4，1，1）|4＋9＋9×16＋1＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4311＝41133，故直线l 与α所成角的余弦值为1－⎝⎛⎭⎪⎫411332＝91333. 12.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，则BE ＝________；EB 与平面ABCD 夹角的正弦值为________.答案 62 66解析 如图建立空间直角坐标系Dxyz ， 设PD ＝DC ＝1，则D (0，0，0)，P (0，0，1)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴BE→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，12， 则|BE→|＝（－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝62. 又DP→＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量， cos 〈BE →，DP →〉＝BE→·DP →|BE→||DP →|＝1262×1＝66，∴EB 与平面ABCD 夹角的正弦值为66.13.在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ∥DE ，AB ⊥AD ，△ACD 是正三角形.AD ＝DE ＝2AB ＝2，EC ＝22，F 是CD 的中点.(1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求直线AD 与平面BCE 所成角的正弦值.(1)证明 以A 为原点，在平面ACD 中，过A 作AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，C (3，1，0)，D (0，2，0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，B (0，0，1)，E (0，2，2)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，BC →＝(3，1，－1)，BE→＝(0，2，1)， 设平面BCE 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝3x ＋y －z ＝0，n ·BE →＝2y ＋z ＝0，取y ＝1，得n ＝(－3，1，－2)，∵AF→·n ＝0，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE . (2)解 AD→＝(0，2，0)，平面BCE 的法向量n ＝(－3，1，－2)，设直线AD 与平面BCE 所成角为θ， 则sin θ＝|n ·AD →||n |·|AD→|＝228＝24.∴直线AD 与平面BCE 所成角的正弦值为24.14.(多选题)已知四棱锥P －ABCD 的四条侧棱都相等，底面是边长为2的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为81π4的球面上，则P A 与底面ABCD 所成角的正弦值可以为( ) A.23 B.13 C.223 D.53答案 BC解析 由题意知，该四棱锥为正四棱锥， ∵正四棱锥外接球的表面积为81π4， ∴正四棱锥外接球的半径R ＝94.如图，连接AC ，BD 交于E ，设球心为O ，连接PO ，BO ，则E 在PO (或其延长线)上， PO ＝BO ＝R ，∴BE ＝12BD ＝12×22＝2， 又R ＝94，OE ＝R 2－BE 2＝8116－2＝74.∴PE ＝R －OE ＝94－74＝12或PE ＝R ＋OE ＝94＋74＝4. 当PE ＝12时，P A ＝2＋14＝32，P A 与底面ABCD 所成角的正弦值为1232＝13；当PE ＝4时，P A ＝16＋2＝32， P A 与底面ABCD 所成角的正弦值为432＝223. ∴P A 与底面ABCD 所成角的正弦值为13或223.。
学案2：3.2.3直线与平面的夹角
3.2.3直线与平面的夹角学习目标：理解直线和平面所成角的概念；会用几何法求直线和平面的夹角. 自主学习： 阅读课本106 页至107 页，完成下列问题.1、如果一条直线与一个平面垂直，规定直线与平面的夹角为 .2、如果一条直线与一个平面 或 规定直线与平面的夹角为0°.3、 叫斜线和平面的夹角.4、 是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.5、 如图所示，已知OA 是平面α的斜线段，O 是斜足，线段AB 垂直于α，B 为垂足，则直线OB 是斜线OA 在平面α内的正射影．设OM 是α内通过点O 的任一条直线，OA 与OB 所成的角为θ1，OB 与OM 所成的角为θ2，OA 与OM 所成的角为θ，θ， θ1，θ2之间的关系 _______________________________.自我检测1．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为 ( )A. 13B. 223C. 22D. 232．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为 ( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．以上均错引例∠BAC在平面α内，过该角的顶点A引平面α的斜线AP，且使∠P AB=∠P AC，求证斜线AP在平面α内的射影平分∠BAC及其对顶角（如图）.合作探究1、正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值.2.在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点．(1)求证：CM⊥EM.(2)求CM与平面CDE所成的角．反思与总结参考答案自主学习： 阅读课本106 页至107 页，完成下列问题.1、90°2、平行 在平面内3、斜线与它在平面内的射影所成的角4、斜线和它在平面内的射影所成的角5、 cos θ= cos θ1 cos θ2自我检测1． A2．A【解析】 设l 与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12. ∴θ＝30°.3． B引例证明 ：设点P 在α内的射影为点M ，则AM 为AP 在平面α内的射影.沿射影AB ，AC 的方向分别取单位向量i ，j ，则由PM ⊥平面α，得MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥i ， MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥j ， 而MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·i =0， MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·j =0， 因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·i =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·i ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·j =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·j ，即|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠P AB=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | cos ∠BAM ,|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠P AC=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | cos ∠CAM . 比较以上两式，因为cos ∠P AB=cos ∠P AC ，所以cos ∠BAM=cos ∠CAM.因此∠BAM=∠CAM.即直线AM 平分∠BAC 及其对顶角.合作探究1、解 建系如图，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，A (1,0,0)， ∴BC 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(－1,1,1)，A 1B →＝(0,1，－1)，A 1D →＝(－1,0，－1)．∴AC 1→·A 1B →＝1－1＝0，AC 1→·A 1D →＝1－1＝0.∴AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．∴cos 〈BC 1→，AC 1→〉＝BC 1→·AC 1→|BC 1→||AC 1→|＝1＋12×3＝63. ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值为63.2.【解析】以点C 为坐标原点，以CA ，CB 分别作为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C －xyz ，设EA ＝a ，则A (2a,0,0)，B (0,2a,0)， E (2a,0，a )，D (0,2a,2a )，M (a ，a,0)．(1)证明：∵EM →＝(－a ，，a ，－a )，CM →＝(a ，a,0)∴EM →·CM →＝0，∴EM ⊥CM .(2)设向量n ＝(1，y 0，z 0)与平面CDE 垂直，则n ⊥CE →，n ⊥CD →即n ·CE →＝0，n ·CD →＝0.∵CE →＝(2a,0，a )，CD →＝(0,2a,2a )，∴y 0＝2，z 0＝－2，即n ＝(1,2，－2)，cos<n ，CM →>＝CM →·n |CM →|·|n |＝22.直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM →夹角的余角，∴θ＝45°，因此CM 与平面CDE 所成的角是45°.。
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公式法求斜线与平面所成的角
例 3：如图，已知 AB 为平面 的一条斜线，B 为斜足， AO ，O 为垂足，BC 为 内的一条 直线， ABC 60, OBC 45 ，求斜线 AB 和平面 所成的角.
A
B
O
C
跟踪训练： 已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面是边长为 a 的菱形，O 为菱形 ABCD 的中心，
由直线和平面所成角的定义，
则 D1BD 为 BD1 与平面 ABCD 所成的角
2
在 Rt
D1BD
中，
tan
D 1
BD
2 ，所以
D1 A1
D
D
A
C1 B1
C
C
B
2 直线 BD1 与平面 ABCD 所成的角为 arctan 2 .
跟踪训练：在单位正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求直线 A1C1 与截面 ABC1D1 所成的角.
A．
B．
C．
D．
6．设 P 是边长为 1 的正△ABC 所在平面外一点，且
的角为（ ）
A．30°
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．45°
C．60°
D．90°
4
，那么 PC 与平面 ABC 所成
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。
五、课后巩固
1．已知直线 a 与平面 α 所成的角为 30°，P 为空间一定点，过 P 作与 a、α 所成的角都是 45°的
从而 cos∠D1BD= = ，∴∠D1BD=45°．
故选 C 4．解：取 BC 的中点 O，连接 BO，OA1 由正方体的性质可得 BO⊥AC，BO⊥AA1 且 AA1∩AC=A ∴BO⊥平面 AA1C1C ∴∠BA1O 即为直线与平面所成的角 设正方体的棱长为 a，则
在 Rt△BOA1 中
=
∴∠BA1O=30° 故选 A．
与平面 AA1C1C 所成角的正切值为 ．
5
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。 9．在四棱锥 P﹣ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面 ABCD，若 PA=AB，则 PC 与面 PAB 所成角的余弦值为 ．
10．正四面体 ABCD 中，E、F 分别是 BC、AD 的中点，那么 EF 与平面 BCD 所成的角的大小 为．
直线 l，则这样的直线 l 可作（ ）条．
A．2
B．3
C．4
D．无数
2．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2 倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，长方体的高 AA1=3，则 BC1 与对角面 BB1D1D 所成角的正弦值等于（ ）
10
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。
5．解：取 BB1 中点为 N，连接 FN，取 FN 中点为 M，连接 A1M，A1F 易得 EF∥A1M，EF=A1M ∵A1F 是 EF 在面 A1ABB1 上的投影∴∠MA1N 为所求的角令 AB=1， 在△MA1N 中，A1N= ，所以 A1M= ， 则 cos∠MA1N= 故选 A 6．解：过 P 作底面 ABC 的垂线，垂足为 O，连接 CO 并延长交 AB 于 E， 因为 P 为边长为 1 的正三角形 ABC 所在平面外一点且 PA=PB=PC= ， 所以 O 是三角形 ABC 的中心 且∠PCO 就是 PC 与平面 ABC 所成的角， ∵CO= CE= × ×1= ． 且 PC= ，
三角形 BCF 是等腰三角形，则 EF= a 由余弦定理，cos∠FED=
则 SIN∠FED=
故选 B
6．解：由对称性点 C 在平面 AOB 内的射影 D 必在∠AOB 的平分线上
作 DE⊥OA 于 E，连接 CE 则由三垂线定理 CE⊥OE，
设 DE=1
，又∠COE=60°，CE⊥OE⇒OC=2，
影是底面三角形 BCD 的中心 O，延长 DO 交 BC 于 E，E 是 BC 的中点，∠ADE
就为 AD 与平面 BCD 所成的角 θ。
∴
，
又
，
8
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。
∴
。∴
。
例三
解：由斜线和平面所成的角的定义可知， ABO 为 AB 和平面 所成的角.因为
在 Rt△OAB，cos∠AOB=
=，
Rt△AOC 中，
Rt△OCB 中， ∴cos∠AOB•cos∠BOC=
=cos∠AOC
∴
∴∠BOC=45° 故选 A． 5．解：连接 EF，由 BF=CF，BD=CD 可得 FE⊥BC，DE⊥BC ∴∠FED 是线面所成角
设棱长 a，CD=a，ED=BF=CF= a
A
B
例 2. 如图取 AB 中点 E，连结 CE，由正三棱柱可知：CE⊥平面 AA1B1B.连结 EB1，
∴∠CB1E 就是 B1C 与平面 AA1B1B 所成的角
设棱长 AA1=1，设 <e1,e2>=60°， <e1,e3>=<e2,e3>=90°
，依题意，可得：|e1|=|e2|=|e3|,
7
3 ∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=600， AA1 2 a ，求证：A1O⊥平面 ABCD。
3
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。 三、小结反思（新宋体小 4 号)
四、当堂检测（新宋体小 4 号) 1、正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长相等，AC1 与面 BB1C1C 所成角的余弦值为（ ）
（3）初步掌握公式 cos cos1 cos2 及公式的应用.
知识链接(新宋体 4 号)
1、直线和平面的位置关系有哪几种？
（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 2、平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：
（3）直线和平面相交
学习过程
一、课内探究
问题 1：平面的斜线和平面内的直线所成的最小角
问题 2：1、2、 三个角之间的关系.
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。 ∵
∴ 又∵
∴
，
∴
， ∴ 直线 CB1 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值是 .
跟踪训练
在正四面体 ABCD 中，AD=1，(1)求 AD 与平面 BCD 所成的角；
解：(1)如图，因为四面体 ABCD 是正四面体，所以 A 在底面 BCD 的射
，BE= ，
A．
B．
C．
D．
4．如图，直线 l 是平面 α 的斜线，AB⊥α，B 为垂足，如果 θ=45°，∠AOC=60°，
则∠BOC=（ ）
A．45°
B．30°
C．60°
D．15°
5．正四面体 ABCD 中，E、F 分别是棱 BC、AD 的中点，则直线 DE 与平面 BCF 所成角的正
弦值为（ ）
A．
B．
C．
所以
，
13
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。
因此直线 OC 与平面 AOB 所成角的正弦值
．
7．解：取 AC 的中点 E，连接 BE，C1E， ∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∴BE⊥面 ACC1A1， ∴∠BC1E 就是 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角，
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。
直线与平面的夹角 学案
编制单位 临朐第二中学 编制人 谢文利 审核人 （董洪安） 编号
学习目标 ①理解掌握直线和平面所成的角定义
②初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤
重点难点
（1）直线和平面所成的角的定义的生成. （2）求直线和平面所成的角的方法步骤.
5 A、 4
10 B、 4
5 C、 2
10 D、 2
2．正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，若 E 为棱 AB 的中点，则直线 C1E 与平面 ACC1A1 所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，对角线 BD1=8，BD1 与侧面 BC1
所成的角为 30°，则 BD1 和底面 ABCD 所成的角为（ ）
A．30°
B．60°
C．45°
D．90°
4．正方体，ABCD﹣A1B1C1D1 中，直线 A1B 与平面 A1ACC1 所成的角为（ ）
A．30
B．45
C．60°
D．900
5．在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=AD=2AB．若 E，F 分别为线段 A1D1，CC1 的中点， 则直线 EF 与平面 ABB1A1 所成角的余弦值为（ ）
D．
6．已知∠AOB=90°，C 为空间中一点，且∠AOC=∠BOC=60°，则直线 OC 与平面 AOB 所成
角的正弦值为
7．在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧棱长为 ，底面三角形的边长为 1，则 BC1 与侧面 ACC1A1
所成的角是
．
8．如图，在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱 AA1= ，M 为 A1B1 的中点，则 AM
∴cos∠PCO= = = ； ∴∠PCO=30°． 即 PC 与平面 ABC 所成的角为 30°． 故选：A．
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伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。
五、课后巩固
1．解：由题意，过 P 作与 a、α 所成的角都是 45°的射线形成两个圆锥 ∵直线 a 与平面 α 所成的角为 30° ∴两个圆锥的侧面相交，且交线：有 2 条 故选 A． 2．解：如图所示，设 VA=VB=VC=2a，AB=BC=AC=a， 因为是正三棱锥，所以顶点 P 的射影 0 为底面中心，也是重心， 所以∠VB0 即为侧棱与底面所成的角 B0= ， ∴cos∠VBO= = 故选 A．