数字全息中再现像分离问题的研究
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间的夹角被限制在很小的范围内 , k0 的取值也因此 受到较大限制 ,这是数字全息和普通全息不同的又 一个特点 ,在实验操作时必须加以注意 ,这里不再单 独讨论 1
3 频谱滤波法分离再现像
在实际的实验中为了获得较高的分辨率 , 被记 录物体都尽可能靠近 CCD1 一般将物体和 CCD 间的 距离取在理论极限值附近 ,但由于被记录物体尺寸 或记录角度等因素的影响 ,稍有不当再现像之间就 会发生重叠 ,其中最常见的是零级衍射光将原始像 和共轭像区部分或全部覆盖 ,造成实验失败 1 结合 图 (2) 和式 (4) 可以看出 ,只要此时再现像的频谱是 相互分离的 ,就可以用频谱滤波的方法将零级衍射 光的频谱去除 ,这样由于再现结果中不存在零级衍 射像 ,那么本来淹没在零级衍射光中的共轭像和原 始像将会清楚地显示出来 ,使本来相互重叠的像完 全分离开 1 此时 ,只要记录光路的参量满足普通全 息条件式 (3) 的要求 ,就可以利用这种方法再现 ,这 种情况下 ,数字全息的再现条件和普通全息的再现 条件是完全一致的 1 这种方法能够使数字全息的再 现条件大大放宽 ,客观上能够将数字全息分辨率大 幅度提高 ,因而有重要的实际意义 1 关于去除零级 光频谱的方法及其对再现结果的影响 ,我们已经做 过一些讨论 ,具体可参阅文献 [ 10 ,11 ] ,这里不再重 述1
I ( x , y) = { | o ( x , y) | 2 + R20 + R0 O ( x , y) ·
exp ( - i2πk0 x) + R0 O 3 ( x , y) exp (i2πk0 x) }·
rect ( x/ a) rect ( y/ b)
(1)
式 (1) 中的两个矩形函数表示 CCD 靶面对全息图尺
布 ,三个再现像在再现时会同时出现 ,其分离条件的 实质是要求三个像同时观测到而且要彼此分离 ; 而 对普通全息来讲 , 只要三个像能够在三个不同的方 向上分别观测到 ,就达到了分离的目的 ,并不要求三 个像要同时观测到 1 所以 , 数字全息要成像光束在 空间上的分离 ,而普通全息要求的是成像光束在传 播方向上的分离 ,二者的意义不同 1 2. 3 频谱间隔确定
λd ( X + 2/ a) 2 - λdX2 > 2
(7)
X > a/ 2λd - a - 1
所以
W = 2 X = a/ λd - 2/ a
(8)
从式 (8) 可以看出 ,数字全息中相邻频谱项之间
所需要的间隔 ,随波长和记录距离的增加而减小 ,随
着 CCD 靶面宽度的增加而增大 1 综合式 (6) 和式
(8) 得出数字全息再现像分离条件的完整公式 ,即
k0 - 3 ( l + a) / 2λd ≥a/ λd - 2/ a
(9)
化简得
k0 ≥(3 l + 5 a) / 2λd - 2/ a
(10)
式 (10) 是数字全息再现像分离条件的数学表达式 ,
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
( x2 + y2) }
(4)
由式 (4) 可以看出 ,数字全息的再现像由两个傅
里叶变换的卷积构成 , 第一个傅里叶变换就是上面
所讨论的全息图的空间频谱 1 第二个傅里叶变换可
以改写为
Θ( x0 , y0) = DFT {rect ( x/ a) rect ( y/ b) ·
exp { - [ (πi / λd) ( x2 + y2) ]} = abλdsin c ( ax0) ·
0 引言
同 ,如图 11 被记录物体所在平面为 x0 y0 , CCD 所在
数字全息由顾德门提出[1] ,其记录光路和普通 全息基本相同 ,不同的是用 CCD 摄像机代替普通照 相干板来拍摄全息图 ,并将所记录的数字全息图存 入计算机 ,然后用数字计算方法对此全息图进行数 字再现 ,再现结果直接显示在计算机显示器屏幕上1 数字全息的突出优点在于直接得到的是被记录物体 再现像的复振幅分布 ,而不是光强分布 ,被记录物体 的表面亮度和形貌分布皆可由此复振幅获得 ,因此 能方便地用来进行多种测量 1 数字全息对记录设备 精度和计算机性能要求较高 ,所以此方法在提出后 很长的一段时间里一直没什么进展 1 近年来 ,随着 个人计算机的速度及容量的大幅度提高和高性能 CCD 的出现 ,数字全息的实验研究才全面展开 1 从 现有的文献看 ,目前国外的实验研究很活跃 ,研究工 作涉及的范围非常广泛 ,涵盖了形貌测量[2 ,3] 、变形 测量[4 ,5 ] 、振动测量[6 ] 、生物粒子监视[7 ] 、构件缺陷 检测[8]等一系列领域 ,取得了较大的进展 ,但国内到 目前还未见相关的文献报道 1
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
5期
刘诚等. 数字全息中再现像分离问题的研究
589
明 ,图中左右两边的两个矩形 ,分别代表共轭像的频
由于数字全息的原理和普通全息完全相同 ,多 年以来人们一直认为数字全息也完全遵循普通全息 的再现条件 ,即 :只要三个再现像的频谱之间不发生 重叠 ,那么三个再现像就会彼此分开 1 但在数字全 息实验中却发现 ,满足普通全息的再现条件并不能 一定就能得到完全分离的再现像 1 为了分析其内在 原因 ,我们进行了详细的理论分析和实验研究 ,指出 数字全息的再现条件比普通全息要严格得多 ,而且 给出了能部分避免再现像重叠的处理方法 ,有较重 要的实际意义 1
全息的三像分离条件可以表示为
k0 - 3 ( l + a) / 2λd) ≥0
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
2. 2 数字全息的再现像分离条件
将式 (1) 代入式 (2) ,并化简得
Ψ( x0 , y0) = exp [ - (πi / λd) ( x20 + y20) ]· DFT { I ( x , y) exp [ - (πi / λd) ( x2 + y2) ]} =
叠 ,则全息图不同频谱项之间间的频率间隔必须大
于 W (如图 2 所示) 1 所以 , 数字全息再现像分离条
件可以写为
k0 - 3 ( l + a) / 2λd ≥W
(6)
比较式 (3) 和式 (6) 可以发现 ,和普通全息相比 ,
数字全息的再现像分离条件要更严格 1
图 4 函数 Θ( x0 , y0) 的宽度 Fig. 4 Width of function Θ( x0 , y0)
exp [ - (πi / λd) ( x20 + y20) ]DFT { ( O2 + R20) + R0 Oexp ( - i2πk0 x) + R0 O 3 exp (i2πk0 x) } DFT {rect ( x/ a) rect ( y/ b) exp { - (πi / λd) ·
摘 要 详细分析了数字全息的再现像分离条件 ,指出数字全息和普通全息的再现像分离条件之
间的区别 ,同时也讨论了再现条件对数字全息记录光路的要求 ,同时给出一种能部分避免再现像重
叠的处理方法 ,并做出相应的实验验证 1
关键词 数字全息 ;再现像 ;分离条件
中图分类号 O438 文献标识码 A
590
光 子 学 报
32 卷
若想得到相互分离的再现像 , 记录光路的参量必须 满足式 ( 10) 的要求 1 这里需要特别指出的是 , 式 (10) 中 k0 是参考光的波数 ,其大小决定了全息图中 干涉条纹的空间周期 1 在普通全息中由于全息干板 的分辨率很高 ,所以参考光的入射角度问题一般不 需加以考虑 ,但由于用来记录数字全息图的 CCD 分 辨率不高 ,一般只为 100 mm - 1 , 所以参考光和物光
寸的限制 1 将式 (1) 代入式 (2) 的离轴全息的菲涅耳
再现公式[3]进行计算 ,便可以得到被记录物体的再 现像 Ψ( x0 , y0) 1 Ψ ( x0 , y0) 是复数 , 其绝对值表示 再现像的表面亮度信息 , 相位表示再现像的表面形
貌信息 1 式 (2) 中 DFT 表示傅里叶变换 1
1 数字全息原理
图 1 用 CCD 记录离轴全息的光路示意图 Fig11 Schematic diagram of the recording of off2axis holograms by CCD
平面为 xy ,两平行平面间距离为 d , 若参考光为 xz 面内的平行光 ,振幅为 R0 , 和 z 轴夹角为θ, 则参考 光 x 方向波数 k0 = sin θ/λ, CCD 在 xy 平面上记录 的全息图可以写为
详细叙述[9] , 但为了便于比较 , 这里做一个简单地 概 述1普通全息的分离条件可以用图2来简单地说
数字全息的记录光路和普通平面全息完全相
8633 —416 基金资助项目
Email :liucheng96 @hotmail. com 收稿日期 :2002 07 05
图 2 离轴全息图的空间频谱 Fig. 2 Schematic diagram of spectrum oh hologram
从上述的分析可以看出 , 数字全息的再现像分 离条件要求相邻的频谱项间的间隔要大于 W , 下面 简单考虑一下 W 的大小 1
式 (5) 中 exp {iλd ( x20 + y20) } 的实部和虚部都是 振荡函数 , 其 振 荡 频 率 随 x0 的 增 大 而 加 快 , 实 部 cos (λdx20) 可以用图 4 中的实线示意 ,式 (5) 中的 sinc ( ax0) 或 sinc ( by0) 在图 4 中用虚线标出 1 由于任一 个函数和 sinc 函数做卷积的都相当于对此函数作一 个加权平均滤波 ,因此当图 4 中 cos (λdx20) 的振荡周 期小于 sinc 函数的宽度后 , 卷积的结果就很快变为 零 ,此时的 x0 的取值就是上述宽度 W 的一半 1sinc ( ax0 ) 的 宽 度 为 2/ a , 所 以 当 λd ( X + 2/ a) 2 - λdX2 > 2时 , 式 (4) 的值就很快趋近于零1所以
谱和原始像的频谱 ,中间的三角形和粗线表示零级
衍射像的频谱 ,三角形的宽度是矩形宽度的两倍 ,若
设物体的宽度为 1 , 物体到全息干板的距离为 d , 全
息干板的尺寸为 a , 则全息干板上物光的频谱宽度
近似为[9] ( l + a) / λd1 普通全息中的三像分离条件
就是要求上述三者相互之间不发生重叠 , 所以普通
sin c ( by0) exp {iλdπ( x20 + y20) }
(5)
从数学角度上不难看出式 (5) 实际就是矩形物体的菲
涅耳衍射 ,其绝对值可以用图 3 中的函数曲线来简单
示意 ,它是一个具有一定分布宽度的连续函数 1
从物理角度 , 数字全息和普通全息的再现条件 之间的差别可以如下理解 :数字全息的再现操作是 用数字化的全息图来直接计算像平面上的复振幅分
Ψ( x0 , y0) = exp [ - (πi / λd) ( x20 + y20) ]DFT{ I ( x , y)
·exp [ - (πi / λd) ( x2 + y2) ]}
(2)
2 数字全息的再现像分离条件
2. 1 普通全息的再现像分离条件 普通全息的再现像分离条件在许多文献中都有
图 3 函数 Θ( x0 , y0) 的示意图 Fig. 3 Graph of function Θ( x0 , y0)
函数根据式 (4) ,数字全息的再现像等于全息图
的频谱和式 (5) 所表示的函数的卷积 1 由于两个函
数卷积的宽度为两个函数宽度之和 ,若设图 (3) 中的
函数分布宽度为 W ,则要保持三个像之间不发生重
第 32 卷第 2003 年 5
5期 月
光 子 学 报
ACTA PHOTONICA SINICA
Vol. 32 No.
May 2003
5
数字全息中再现像分离问题的研究 3
刘 诚1 刘志刚2 薄 峰2 王 勇2 朱健强2
(1 徐州师范大学物理系 ,徐州 221009) (2 中国科学院上海光学精密机械研究所 ,上海 8002211 信箱 ,上海 201800)
3 频谱滤波法分离再现像
在实际的实验中为了获得较高的分辨率 , 被记 录物体都尽可能靠近 CCD1 一般将物体和 CCD 间的 距离取在理论极限值附近 ,但由于被记录物体尺寸 或记录角度等因素的影响 ,稍有不当再现像之间就 会发生重叠 ,其中最常见的是零级衍射光将原始像 和共轭像区部分或全部覆盖 ,造成实验失败 1 结合 图 (2) 和式 (4) 可以看出 ,只要此时再现像的频谱是 相互分离的 ,就可以用频谱滤波的方法将零级衍射 光的频谱去除 ,这样由于再现结果中不存在零级衍 射像 ,那么本来淹没在零级衍射光中的共轭像和原 始像将会清楚地显示出来 ,使本来相互重叠的像完 全分离开 1 此时 ,只要记录光路的参量满足普通全 息条件式 (3) 的要求 ,就可以利用这种方法再现 ,这 种情况下 ,数字全息的再现条件和普通全息的再现 条件是完全一致的 1 这种方法能够使数字全息的再 现条件大大放宽 ,客观上能够将数字全息分辨率大 幅度提高 ,因而有重要的实际意义 1 关于去除零级 光频谱的方法及其对再现结果的影响 ,我们已经做 过一些讨论 ,具体可参阅文献 [ 10 ,11 ] ,这里不再重 述1
I ( x , y) = { | o ( x , y) | 2 + R20 + R0 O ( x , y) ·
exp ( - i2πk0 x) + R0 O 3 ( x , y) exp (i2πk0 x) }·
rect ( x/ a) rect ( y/ b)
(1)
式 (1) 中的两个矩形函数表示 CCD 靶面对全息图尺
布 ,三个再现像在再现时会同时出现 ,其分离条件的 实质是要求三个像同时观测到而且要彼此分离 ; 而 对普通全息来讲 , 只要三个像能够在三个不同的方 向上分别观测到 ,就达到了分离的目的 ,并不要求三 个像要同时观测到 1 所以 , 数字全息要成像光束在 空间上的分离 ,而普通全息要求的是成像光束在传 播方向上的分离 ,二者的意义不同 1 2. 3 频谱间隔确定
λd ( X + 2/ a) 2 - λdX2 > 2
(7)
X > a/ 2λd - a - 1
所以
W = 2 X = a/ λd - 2/ a
(8)
从式 (8) 可以看出 ,数字全息中相邻频谱项之间
所需要的间隔 ,随波长和记录距离的增加而减小 ,随
着 CCD 靶面宽度的增加而增大 1 综合式 (6) 和式
(8) 得出数字全息再现像分离条件的完整公式 ,即
k0 - 3 ( l + a) / 2λd ≥a/ λd - 2/ a
(9)
化简得
k0 ≥(3 l + 5 a) / 2λd - 2/ a
(10)
式 (10) 是数字全息再现像分离条件的数学表达式 ,
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( x2 + y2) }
(4)
由式 (4) 可以看出 ,数字全息的再现像由两个傅
里叶变换的卷积构成 , 第一个傅里叶变换就是上面
所讨论的全息图的空间频谱 1 第二个傅里叶变换可
以改写为
Θ( x0 , y0) = DFT {rect ( x/ a) rect ( y/ b) ·
exp { - [ (πi / λd) ( x2 + y2) ]} = abλdsin c ( ax0) ·
0 引言
同 ,如图 11 被记录物体所在平面为 x0 y0 , CCD 所在
数字全息由顾德门提出[1] ,其记录光路和普通 全息基本相同 ,不同的是用 CCD 摄像机代替普通照 相干板来拍摄全息图 ,并将所记录的数字全息图存 入计算机 ,然后用数字计算方法对此全息图进行数 字再现 ,再现结果直接显示在计算机显示器屏幕上1 数字全息的突出优点在于直接得到的是被记录物体 再现像的复振幅分布 ,而不是光强分布 ,被记录物体 的表面亮度和形貌分布皆可由此复振幅获得 ,因此 能方便地用来进行多种测量 1 数字全息对记录设备 精度和计算机性能要求较高 ,所以此方法在提出后 很长的一段时间里一直没什么进展 1 近年来 ,随着 个人计算机的速度及容量的大幅度提高和高性能 CCD 的出现 ,数字全息的实验研究才全面展开 1 从 现有的文献看 ,目前国外的实验研究很活跃 ,研究工 作涉及的范围非常广泛 ,涵盖了形貌测量[2 ,3] 、变形 测量[4 ,5 ] 、振动测量[6 ] 、生物粒子监视[7 ] 、构件缺陷 检测[8]等一系列领域 ,取得了较大的进展 ,但国内到 目前还未见相关的文献报道 1
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
5期
刘诚等. 数字全息中再现像分离问题的研究
589
明 ,图中左右两边的两个矩形 ,分别代表共轭像的频
由于数字全息的原理和普通全息完全相同 ,多 年以来人们一直认为数字全息也完全遵循普通全息 的再现条件 ,即 :只要三个再现像的频谱之间不发生 重叠 ,那么三个再现像就会彼此分开 1 但在数字全 息实验中却发现 ,满足普通全息的再现条件并不能 一定就能得到完全分离的再现像 1 为了分析其内在 原因 ,我们进行了详细的理论分析和实验研究 ,指出 数字全息的再现条件比普通全息要严格得多 ,而且 给出了能部分避免再现像重叠的处理方法 ,有较重 要的实际意义 1
全息的三像分离条件可以表示为
k0 - 3 ( l + a) / 2λd) ≥0
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
2. 2 数字全息的再现像分离条件
将式 (1) 代入式 (2) ,并化简得
Ψ( x0 , y0) = exp [ - (πi / λd) ( x20 + y20) ]· DFT { I ( x , y) exp [ - (πi / λd) ( x2 + y2) ]} =
叠 ,则全息图不同频谱项之间间的频率间隔必须大
于 W (如图 2 所示) 1 所以 , 数字全息再现像分离条
件可以写为
k0 - 3 ( l + a) / 2λd ≥W
(6)
比较式 (3) 和式 (6) 可以发现 ,和普通全息相比 ,
数字全息的再现像分离条件要更严格 1
图 4 函数 Θ( x0 , y0) 的宽度 Fig. 4 Width of function Θ( x0 , y0)
exp [ - (πi / λd) ( x20 + y20) ]DFT { ( O2 + R20) + R0 Oexp ( - i2πk0 x) + R0 O 3 exp (i2πk0 x) } DFT {rect ( x/ a) rect ( y/ b) exp { - (πi / λd) ·
摘 要 详细分析了数字全息的再现像分离条件 ,指出数字全息和普通全息的再现像分离条件之
间的区别 ,同时也讨论了再现条件对数字全息记录光路的要求 ,同时给出一种能部分避免再现像重
叠的处理方法 ,并做出相应的实验验证 1
关键词 数字全息 ;再现像 ;分离条件
中图分类号 O438 文献标识码 A
590
光 子 学 报
32 卷
若想得到相互分离的再现像 , 记录光路的参量必须 满足式 ( 10) 的要求 1 这里需要特别指出的是 , 式 (10) 中 k0 是参考光的波数 ,其大小决定了全息图中 干涉条纹的空间周期 1 在普通全息中由于全息干板 的分辨率很高 ,所以参考光的入射角度问题一般不 需加以考虑 ,但由于用来记录数字全息图的 CCD 分 辨率不高 ,一般只为 100 mm - 1 , 所以参考光和物光
寸的限制 1 将式 (1) 代入式 (2) 的离轴全息的菲涅耳
再现公式[3]进行计算 ,便可以得到被记录物体的再 现像 Ψ( x0 , y0) 1 Ψ ( x0 , y0) 是复数 , 其绝对值表示 再现像的表面亮度信息 , 相位表示再现像的表面形
貌信息 1 式 (2) 中 DFT 表示傅里叶变换 1
1 数字全息原理
图 1 用 CCD 记录离轴全息的光路示意图 Fig11 Schematic diagram of the recording of off2axis holograms by CCD
平面为 xy ,两平行平面间距离为 d , 若参考光为 xz 面内的平行光 ,振幅为 R0 , 和 z 轴夹角为θ, 则参考 光 x 方向波数 k0 = sin θ/λ, CCD 在 xy 平面上记录 的全息图可以写为
详细叙述[9] , 但为了便于比较 , 这里做一个简单地 概 述1普通全息的分离条件可以用图2来简单地说
数字全息的记录光路和普通平面全息完全相
8633 —416 基金资助项目
Email :liucheng96 @hotmail. com 收稿日期 :2002 07 05
图 2 离轴全息图的空间频谱 Fig. 2 Schematic diagram of spectrum oh hologram
从上述的分析可以看出 , 数字全息的再现像分 离条件要求相邻的频谱项间的间隔要大于 W , 下面 简单考虑一下 W 的大小 1
式 (5) 中 exp {iλd ( x20 + y20) } 的实部和虚部都是 振荡函数 , 其 振 荡 频 率 随 x0 的 增 大 而 加 快 , 实 部 cos (λdx20) 可以用图 4 中的实线示意 ,式 (5) 中的 sinc ( ax0) 或 sinc ( by0) 在图 4 中用虚线标出 1 由于任一 个函数和 sinc 函数做卷积的都相当于对此函数作一 个加权平均滤波 ,因此当图 4 中 cos (λdx20) 的振荡周 期小于 sinc 函数的宽度后 , 卷积的结果就很快变为 零 ,此时的 x0 的取值就是上述宽度 W 的一半 1sinc ( ax0 ) 的 宽 度 为 2/ a , 所 以 当 λd ( X + 2/ a) 2 - λdX2 > 2时 , 式 (4) 的值就很快趋近于零1所以
谱和原始像的频谱 ,中间的三角形和粗线表示零级
衍射像的频谱 ,三角形的宽度是矩形宽度的两倍 ,若
设物体的宽度为 1 , 物体到全息干板的距离为 d , 全
息干板的尺寸为 a , 则全息干板上物光的频谱宽度
近似为[9] ( l + a) / λd1 普通全息中的三像分离条件
就是要求上述三者相互之间不发生重叠 , 所以普通
sin c ( by0) exp {iλdπ( x20 + y20) }
(5)
从数学角度上不难看出式 (5) 实际就是矩形物体的菲
涅耳衍射 ,其绝对值可以用图 3 中的函数曲线来简单
示意 ,它是一个具有一定分布宽度的连续函数 1
从物理角度 , 数字全息和普通全息的再现条件 之间的差别可以如下理解 :数字全息的再现操作是 用数字化的全息图来直接计算像平面上的复振幅分
Ψ( x0 , y0) = exp [ - (πi / λd) ( x20 + y20) ]DFT{ I ( x , y)
·exp [ - (πi / λd) ( x2 + y2) ]}
(2)
2 数字全息的再现像分离条件
2. 1 普通全息的再现像分离条件 普通全息的再现像分离条件在许多文献中都有
图 3 函数 Θ( x0 , y0) 的示意图 Fig. 3 Graph of function Θ( x0 , y0)
函数根据式 (4) ,数字全息的再现像等于全息图
的频谱和式 (5) 所表示的函数的卷积 1 由于两个函
数卷积的宽度为两个函数宽度之和 ,若设图 (3) 中的
函数分布宽度为 W ,则要保持三个像之间不发生重
第 32 卷第 2003 年 5
5期 月
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ACTA PHOTONICA SINICA
Vol. 32 No.
May 2003
5
数字全息中再现像分离问题的研究 3
刘 诚1 刘志刚2 薄 峰2 王 勇2 朱健强2
(1 徐州师范大学物理系 ,徐州 221009) (2 中国科学院上海光学精密机械研究所 ,上海 8002211 信箱 ,上海 201800)