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高考二模数学试题(理科)

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四川省成都2024届高三下学期高考模拟(二)数学(理科)试题含答案

四川省成都2024届高三下学期高考模拟(二)数学(理科)试题含答案

成都高2021级高考模拟试题（二）数学（理科）（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟，注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22,1,0,1,2,40A B x x =--=-<，则A B = （）A.{}1,0,1- B.{}0,1,2 C.{}1,1- D.{}2,1,0,1,2--【答案】A 【解析】【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}{}240{22},2,1,0,1,2B x x x x A =-<=-<<=--，所以{}1,0,1A B =- .故选：A2.已知复数z 满足()z 2+i =3-i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（）A.B.1- C.1D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得1i z =-，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数()2i 3i z +=-，可得()()()()3i 2i 3i 55i1i 2i 2i 2i 5z ----====-++-，所以复数z 的虚部是1-．故选：B ．3.已知平面向量(1,)a m = ，()2,4b =- ，且a b ∥ ，则m =（）A.2B.12C.12-D.2-【答案】D 【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标运算公式即可.【详解】因为(1,)a m = ，(2,4)a =- ，且a b ∥ ，所以14(2)0m ⨯--⨯=，解得2m =-，所以D 正确.故选：D.4.已知函数()1221,0,,0,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若()3f m =，则m 的值为（）A.B.2C.9D.2或9【答案】C 【解析】【分析】由题可得2130m m ⎧-=⎨≤⎩或123m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，即求.【详解】∵函数()1221,0,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，()3f m =，∴2130m m ⎧-=⎨≤⎩或1230m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，解得9m =.故选：C.5.如下图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为（）A.ma n B.na mC.2ma n D.2na m【答案】C 【解析】【分析】根据落到不规则图形Ω和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值．【详解】解：∵由题意知在正方形中随机投掷n 个点，则n 个点中有m 个点落入Ω中，∴不规则图形Ω的面积：正方形的面积:m n =，∴不规则图形Ω的面积mn=⨯正方形的面积22m ma a n n=⨯=．故选：C ．6.已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和p =（）A.2B.2或4C.1或2D.1【答案】B 【解析】【分析】由题意，得到32M M y px ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，结合抛物线方程，即可求出结果.【详解】因为抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和所以32M M y p x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即32M M y px ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，代入抛物线方程可得8232p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得2680p p -+=，解得2p =或4p =.故选：B.7.设命题:R p m ∃∈，使()()2431mm f x m x -+=-是幂函数，且在()0,∞+上单调递减；命题()2:2,,2x q x x ∀∈+∞>，则下列命题为真的是（）A.()p q ∧⌝ B.()p q⌝∧ C.p q∧ D.()p q⌝∨【答案】A 【解析】【分析】根据特称命题与全称命题判断命题,p q 的真假，从而可得“或”、“且”、“非”命题的真假得结论.【详解】对于命题p ，当2m =时，函数()1f x x -=，是幂函数，且在()0,∞+上单调递减，故命题p 为真命题；对于命题q ，当3x =时，3223<，不满足()22,,2xx x ∞∀∈+>，故命题q 为假命题．所以“()p q ∧⌝”为真命题，“()p q ⌝∧”为假命题，“p q ∧”为假命题，“()p q ⌝∨”为假命题．故选：A ．8.已知数列{}n a 满足1122n n n a a a ++-=⋅，且13a =，则2023a =（）A.3B.12C.-2D.43【答案】B 【解析】【分析】由已知可得数列递推式122n na a +=-，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案.【详解】由题意数列{}n a 满足1122n n n a a a ++-=⋅，则122n na a +=-，故由13a =，得23452222,,1142,342322232232a a a a ====-+-=-===-，由此可知数列{}n a 的周期为4，故202345053312a a a ⨯+===，故选：B9.设函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式(21)(2)0f x f x --->的解集为（）A.(1,1)-B.(,3)-∞-C.(3,)-+∞D.(1,)(,1)+∞⋃-∞-【答案】D 【解析】【分析】利用导数判断函数在[)0,∞+的单调性，然后根据奇偶性判断()f x 在(],0-∞的单调性，再利用单调性与奇偶性结合求解不等式.【详解】当0x ≥时，()cos x f x e x =-，所以()sin x f x e x '=+，因为0x ≥，所以1x e ≥，即()1sin 0f x x '≥+≥，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，又因为函数()f x 为R 上的偶函数，所以函数()f x 在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，则不等式(21)(2)0f x f x --->，等价于212x x ->-，所以1x <-或1x >.故选：D.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==．10.将函数1π()sin (0)26f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．若()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围为（）A.511,22⎛⎤⎥⎝⎦ B.5,42⎛⎤⎥⎝⎦C.114,2⎛⎤⎥⎝⎦D.11,72⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】先根据题意得出函数π()sin 26g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，当π03x <<时，ππ2ππ26636x ωω-<-<-，要使()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，需满足5π2ππ7π2362ω<-≤，解不等式即可.【详解】由题可知，π()sin 26g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，当π03x <<时，ππ2ππ26636x ωω-<-<-．因为()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，所以5π2ππ7π2362ω<-≤，解得1142ω<≤，所以ω的取值范围为：114,2⎛⎤⎥⎝⎦．故选：C .11.设1F ，2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为直径的圆与直线0bx ay -=在第一象限交于点A ，若2tan 2AF O ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.53B.32C.D.2【答案】A 【解析】【分析】首先推得2AOF △为等腰三角形，再由三角形的内角和定理和三角函数的诱导公式和二倍角的正切公式，结合渐近线的斜率和离心率公式，计算可得所求值．【详解】由题意可得2||||AO OF c ==，即有2AOF △为等腰三角形，设22OAF AF O α∠=∠=，则22AOF πα∠=-，所以()222tan tan tan 2tan 2tan 1AOF απααα∠=-=-=-2224213⨯==-即为43b a =，所以53c e a ====，故选：A【点睛】关键点点睛：由题意得出2AOF △为等腰三角形，在三角形中利用三角函数，建立关于,a b 的方程，是求出离心率的关键，属于中档题.12.如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,5AB AD AA ===，点E 为棱1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于F ，则下列说法正确的是（）（1）三棱锥11B BED -的体积为20（2）直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大值为35（3）存在唯一的点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且5CE =（4）存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F 的周长取得最小值A.（1）（2）（3） B.（2）（3）（4） C.（2）（3） D.（2）（4）【答案】D 【解析】【分析】对（1），根据三棱锥等体积转换可得1111B BED E BB D V V --=求解判断；对（2），点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，当1B E 最小时即当点E 与点1C 重合时，此时直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大，求解判断；对（3），若（3）正确，可知点E 与点1C 重合，已找出矛盾；对（4），四边形1BED F 为平行四边形，周长取得最小值即1BE ED +最小时，将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，求得结果.【详解】对于（1），如图过点C 作BD 垂线，垂足为M ，易知125MC =，在长方体中，1BB ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，所以1BB CM ⊥，又CM BD ⊥，1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B ，所以MC ⊥平面11BDD B ，11//CC BB ，1CC ⊄平面11BDD B ，1BB ⊂平面11BDD B ，所以1//CC 平面11BDD B ，所以点E 到平面平面11BDD B 的距离等于点C 到平面11BDD B 的距离，即为MC ，三棱锥11B BED -的体积为1111111111255103325B BED E BB D BB D V V S MC --==⋅=⨯⨯⨯⨯= ，故（1）错误；对于（2），1//CC 平面11BB D D ，所以点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，距离为125MC =，所以当1B E 最小时即当点E 与点1C 重合时，此时直线1B E 与平面11BB D D 所成角的正弦值最大，最大值为123545=，故（2）正确；对于（3），若5CE =，可知点E 与点1C 重合，又因为11DC D C ∥，易知1B D 与DC 不垂直，故1B D 与11D C 不垂直，1B D 与平面1BED 不垂直，故（3）错误；对于（4），四边形1BED F 的周长()12BE ED =+，周长取得最小值即()1BE ED +最小，将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，可知()1BE ED +=，所以截面四边形1BED F 的周长取得最小值，故（4）正确.综上，说法正确的有（2）（4）.故选：D.【点睛】思路点睛：对（1）利用三棱锥等体积转换求解判断，对（2）根据1//CC 平面11BB D D ，所以点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，当1B E 最小时，直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大，判断求解，对（3）利用反证法判断，对（4）四边形1BED F 的周长最小即1BE ED +最小时，将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，求解即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.c c o os 515s 7= _______．【答案】14##0.25【解析】【分析】利用诱导公式和倍角公式求解.【详解】()11cos 75cos 9015cos15sin15sin 3024cos15cos15=-===．故答案为：1414.若3nx⎛- ⎝的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含2x 的项的系数为___________.【答案】270【解析】【分析】根据展开式的二项式系数之和为232n =，求得5n =，然后利用通项公式求解.【详解】由3nx⎛ ⎝展开式的二项式系数之和为232n=，解得5n =，所以53x⎛ ⎝展开式的通项公式为()()35552155C 313C rr r r r r rr T x x ---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝，令3522r -=，解得2r =，所以含2x 项的系数为3253C 270⨯=.故答案为：270.15.若函数()32113f x x ax x =-++存在极值点，则实数a 的取值范围为________．【答案】()(),11,-∞-⋃+∞【解析】【分析】求导，根据题意知方程()0f x '=有两个不等的实根，可得出0∆>，从而得解.【详解】因为()32113f x x ax x =-++，可得()221f x x ax '=-+，因为函数()f x 存在极值点，所以()0f x '=有两不等实根，则2440a ∆=->，解得1a <-或1a >，所以a 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞.故答案为：()(),11,-∞-⋃+∞.16.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数()[]f x x =称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如][2.32, 1.92⎡⎤=-=-⎣⎦，已知数列{}n a 满足121,5a a ==，2145n n n a a a +++=，若[]21log ,n n n b a S +=为数列18108n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和，则[]2025S =_________．【答案】2025【解析】【分析】由2145n n n a a a +++=变形为()2114n n n n a a a a +++-=-，得到数列{}1n n a a +-是等比数列，从而得到14n n n a a +-=，再利用累加法得到1n a +，从而[]21log 2n n b a n +==，再利用裂项相消法求解.【详解】解：由2145n n n a a a +++=得()2114n n n n a a a a +++-=-，又21514a a -=-=，所以数列{}1n n a a +-是以4为首项和公比的等比数列，故14nn n a a +-=，由累加法得()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+ 114144413n nn +--=++++= 所以[]121241log log 3n n n b a ++⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦，()111222241log log 41log 3log 41213n n n n +++-=--<-=+ ，又()122241441log log log 42,233nn n nn b n +-->==∴=，令()1181088108810811,20272221n n n n n n c c b b b b n n n n ++⎛⎫====- ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭，12111111202712231n n n S c c c c n n -⎛⎫∴=++++=-+-++- ⎪+⎝⎭ ，1202711n S n ⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭，代入2025n =得[]202512027120252026S ⎡⎤⎛⎫=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：2025三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共60分．17.《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y （单位：小时）与年龄x （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）；年龄x20304050每周学习诗词的平均时间y3 3.5 3.54由表中数据分析，x 与y 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间．附：回归方程y bx a =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1221,ˆˆˆn niii in ii nni in ii x x y y x y nxybay xb x x xnx ====---===--∑∑∑∑．【答案】（1）35（2） 0.03 2.45y x =+；4.25小时【解析】【分析】（1）求出两组数据的平均数，推出x 的范围，然后求解概率．（2）求出样本中心坐标，求出回归直线的斜率以及截距，然后求解即可．【小问1详解】设污损的数字为x ，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得7879828180737778868055x+++++++++>6,x ⇒<即0,1,2,3,4,5x =63105P ∴==；【小问2详解】1(20304050)354x =+++=，1(3 3.5 3.54) 3.54y =+++=，∴4490xy =，又4120330 3.540 3.5504505iii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，4222221203040505400i i x ==+++=∑，∴2505490ˆ0.035400435b-==-⨯，∴ˆ 3.50.0335 2.45a =-⨯=，∴ˆ0.03 2.45yx =+，60x ∴=时，ˆ 4.25y=．答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时．18.在①2sin cos (sin cos cos sin )c B A b A B A B =+；②222sin sin cos 1sin()sin()B C A A B A C ++-=++；③sin sin sincsin b B c C a A A B +-=；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足.（1）求A ；（2）若ABC 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值.【答案】（1）条件选择见解析，3A π=（2）【解析】【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角结合两角和的正弦化简求解；选②：利用平方关系结合正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；选③：利用正弦定理角化边得cosA A =即可求解；（2）由面积得64bc =，结合余弦定理和基本不等式求最值.【小问1详解】若选择①：()2sin cos sin cos cos sin c B A b A B A B =+，由正弦定理可得()2sin sin cos sin sin sin sin C B A B A B B C =+=，因(0,π)C ∈，(0,π)B ∈,故sin 0C ≠，sin 0B ≠，则有1cos 2A =，因(0,π)A ∈,故π3A =.若选择②：222sin sin cos 1sin()sin()B C A A B A C ++-=++，则222sin sin sin sin()sin()sin sin B C A A B A C C B +-=++=，由正弦定理可得222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，因(0,π)A ∈,故π3A =.若选择③sin sin sincsin b B c C a A A B +-=；由正弦定理可得，2222b c a A bc +-=，再由余弦定理得，cosA A =，即tan A =，(0,π)A ∈ ，π3A ∴=．【小问2详解】1sin 2ABC S cb A == π,643A bc =∴=，在三角形BCD 中，2222cosA BD BA AD BA AD =+-⋅⋅⋅22π2cos 223b b c c ⎛⎫=+-⋅⋅ ⎪⎝⎭，2c =+2111324222b cb cb cb -≥==，当且仅当2bc ==时取等号，BD ∴的最小值为19.已知球内接正四棱锥P ABCD -的高为3,,AC BC 相交于O ，球的表面积为169π9，若E 为PC 中点.（1）求证：//OE 平面PAD ；（2）求二面角A BE C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）23333-.【解析】【分析】（1）由题意可得//OE AP ，利用线面平行的判断定理可得结论；（2）结合题中的几何关系建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角A BE C --的余弦值为33-.【小问1详解】证明：由,O E 分别是,CA CP 的中点，得//OE AP ，又OE ⊄平面,PAD AP ⊂平面PAD ，所以//OE 平面PAD .【小问2详解】由球的表面积公式24πS R =，得球的半径136R =，设球心为1O ，在正四棱锥P ABCD -中，高为PO ，则1O 必在PO 上，连1AO ，则11513,66O O AO ==，则在1Rt O OA △，则22211OO OA O A +=，即2OA =,在正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥平面ABCD 于O ，且AC BD ⊥于O ，设,,OA OB OP 为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -系，得()()()()()0,0,3,2,0,0,0,2,0,2,0,0,0,2,0,P A B C D PC --中点31,0,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()()32,2,0,1,2,,2,2,02AB BE BC ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，设()(),,,,,m a b c n x y z ==分别是平面ABE 和平面CBE 的法向量，则2203202m AB a b m BE a b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ 和2203202n BC x y n BE x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1,3a x ==-，可得1,2,3,2b c y z ====，可得()()1,1,2,3,3,2m n ==-，则cos ,33m n m n m n⋅〈〉==⋅，由图可知，二面角A BE C --的大小为钝角，所以二面角A BE C --的余弦值为33-.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【详解】（1）由题意可得：2222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)［方法一］：通性通法设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260kxkmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m kmk km k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12223DQ AP ==，若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163x y +++=，设直线MN 的方程为4mx ny +=．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+，即3m n =--．代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN 过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得1||||23DQ AP ==．［方法三］：建立曲线系A 点处的切线方程为21163x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ×=-．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭（其中λ为系数）．用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭．对比xy 项、x 项及y 项系数得()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得1||||23DQ AP ==．［方法四］：设()()1122,,,M x y N x y ．若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -．因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅= ，即()1221210x y -+-=．由2211163x y +=，解得123x =或12x =（舍）．所以直线MN 的方程为23x =．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．令2x =，则()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=+．又()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+．因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+-- 2(21)(231)12k m k m k+-++=+0=，即21m k =-+或2133m k =--．当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意；当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以||3AP =．又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则1||||2DQ AP ==．所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【整体点评】（2）方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法；方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为4mx ny +=，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,m n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MN y kx m =+，再利用过点,,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．21.已知函数()()()ln 2,ln f x x ax x g x x x x a =+-=--，（1）若()f x 与()g x 有相同的单调区间，求实数a 的值；（2）若方程()()331f x g x x a =++-有两个不同的实根12,x x ，证明：12e a x x >.【答案】（1）12（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先分析()g x 的单调性，从而结合()f x 的导数得到a ，再进行检验即可得解；（2）将问题转化为22ln 10ax x x -+=有两个不同的实根12,x x ，构造函数()12ln h x ax x x=-+，利用导数求得a 的取值范围，再利用零点的定义消去a 转化得()121221212211ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，从而构造函数()1ln 1t t t t ω-=-+，利用导数证得12e x x >，从而得证.【小问1详解】函数()f x 与()g x 的定义域均为()0,∞+，由()ln g x x x x a =--得()ln g x x '=，当01x <<时，()()0,g x g x '<单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>单调递增，由()()ln 2f x x ax x =+-得()2ln 1f x ax x =+-'，因为()f x 与()g x 有相同的单调区间，所以()1210f a =-='，解得12a =，当12a =时，()()21ln 2,ln 12f x x x x x f x x x =+-=+-'，因为()f x '在区间()0,∞+上单调递增，且()1f '=0，所以当01x <<时，()()0,f x f x '<单调递减；当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，此时()f x 与()g x 有相同的单调区间，符合题意，故12a =.【小问2详解】方程()()331f x g x x a =++-有两个不同的实根12,x x ，等价于22ln 10ax x x -+=有两个不同的实根12,x x ，等价于12ln ax x x=-有两个不同的实根12,x x ，令()12ln ,0h x ax x x x =-+>，则()2221221ax x h x a x x x--=--='，当0a ≤时，()()0,h x h x '<单调递减，不符合题意，舍去；当0a >时，方程()0h x '=必有一正根0x ，使得200210ax x --=，即0012ax x =+，且当00x x <<时，()()0,h x h x '<单调递减；当0x x >时，()()0,h x h x '>单调递增，若方程12ln ax x x =-有两个不同的实根，()000000122ln 22ln 0h x ax x x x x =-+=+-<，令()11ln x x xϕ=+-，则()x ϕ单调递减，因为()1e 0eϕ=>，所以0011e,0e x x ><<，所以2220001212e 1111e a x x x ⎛⎫+=+=+-<< ⎪⎝⎭，因为12,x x 是方程12ln ax x x =-的两个不同的实根，所以11112ln ax x x =-，22212ln ax x x =-，两式相加，得()()121212122ln x x a x x x x x x ++=-，即()1212122ln 1x x a x x x x =-+，两式相减，得()221211122ln x x x a x x x x x --=+，即2121122ln 1x x a x x x x =+-，所以()2121121221122ln2ln 11x x x x x x x x x x x x -=++-，整理得()121221212211ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，不妨设120x x <<，令()21121,ln ln 1,111x t t t t t t x t t ω-=>=-=+->++，则()2221210(1)(1)t t t t t t ω+=-=>++'，所以()t ω单调递增，()()10t ωω>=，所以221112ln x x x x x x ->+，所以()121221212211ln 1x x x x x x x x x x x x ++-=>-，所以()121212ln 11x x x x x x +>+>，所以12e x x >，又因为1a <，所以12e a x x >.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4，坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 的参数方程为2x y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 22ρθ=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为()2,2π，直线l 与曲线1C 相交于E ，F 两点，直线l 与曲线2C 相交于A ，B 两点，且11m EF PA PB+=，求实数m 的值．【答案】（1）()2223x y -+=，22122x y -=（2）12m =【解析】【分析】（1）由消参法可得曲线1C 的普通方程，根据极坐标和直角坐标之间的转化公式可得曲线2C 的直角坐标方程；（2）求得点P 直角坐标，判断点P 位置，结合曲线1C 方程，求得EF ，利用直线的参数方程中参数的几何意义求得11PA PB +的值，结合11m EF PA PB+=，即可求得答案.【小问1详解】曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），则2222(2)))x y αα-+=+，即曲线1C 的普通方程为()2223x y -+=．因为2cos 22ρθ=，所以()22222cos sin 2,2x y ρθθ-=∴-=，则曲线2C 的直角坐标方程为22122x y -=．【小问2详解】因为点P 的极坐标为()2,2π，所以点P 的直角坐标为()2,0，则点P 在直线l 上，且点P 为曲线1C ：()2223x y -+=的圆心，所以EF =．因为直线l的标准参数方程为2212x s y s ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数），将其代入曲线2C的直角坐标方程中，得240s ++=，320∆=>,设A ，B 两点对应的参数分别为1s ，2s，则12124s s s s ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩则10t <，20t <，故1212121111s s PA PB s s s s ++=+==．又11m EF PA PB +=1,2m =∴=．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()21f x x a x =+--，R a ∈．（1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集；（2）当1a =-时，函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正数，且2224a b c m ++=，求2a b c ++的最大值．【答案】（1）(][),04,-∞+∞U （2）3【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论分别得到不等式组，解得即可；（2）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即可得到22243a b c ++=，再由柯西不等式计算可得.【小问1详解】当2a =时()4,12213,214,2x x f x x x x x x x -+≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，所以不等式()0f x ≤等价于240x x ≤-⎧⎨-≤⎩或2130x x -<<⎧⎨≤⎩或140x x ≥⎧⎨-+≤⎩，解得2x ≤-或20x -<≤或4x ≥，综上可得不等式()0f x ≤的解集为(][),04,∞∞-⋃+.【小问2详解】当1a =-时()()()21213f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当()()210x x +-≤，即21x -≤≤时取等号，所以22243a b c ++=，又a ，b ，c 均为正数，所以()()()2222222911142a b c a b c =++++≥++，所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===，即1a b ==、12c =时取等号，所以2a b c ++的最大值为3.。

浙江省高考数学二模试卷(理科)含答案解析

浙江省高考数学二模试卷(理科)含答案解析

浙江省高考数学二模试卷（理科）（解析版）一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．定义集合A⊗B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，设全集U={x|1＜x＜10}，集合A={x|2＜x＜6}，B={x|5＜x＜7}，则（∁U A）⊗B=（）A．[6，7）B．（1，2]∪（5，6）∪[7，10）C．（1，6）D．（1，2]∪（5，6]∪（7，10）2．下列说法正确的是（）A．“a2＞9”是“a＞3”的充分不必要条件B．“∃x0∈R，使得”的否定是“”C．若A∧B是假命题，则A∨B是假命题D．“若a＜0，则x2+ax+a＜0有解”的否命题为“若a≥0，则x2+ax+a＜0无解”3．已知数列{a n}满足a1=1，若n为奇数时，a n+1=2a n+1；若n为偶数时，a n+1=a n+n．则该数列的前7项和为（）A．103 B．102 C．100 D．984．设三条不同的直线分别为m，n，l，两个不同的平面分别为α，β．则下列说法正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m，n为异面直线，且m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥βD．若m∥α，m∥β，α∩β=l，则m∥l5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为．若，则函数f（x）在上的值域为（）A．[﹣1，2]B．C．D．6．已知平面向量，满足，，．则对于任意的实数m，的最小值为（）A．2 B．1 C．D．7．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2．若左焦点F1关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e的值为（）A． B．3 C． D．58．在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2．若点M在△ABC所在平面上运动，且使得△AC1M的面积为1，则动点M的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．（6分）（浙江二模）已知函数f（x）=，则f（3）=；当x＜0时，不等式f（x）＜2的解集为．10．（6分）（浙江二模）若函数的最小正周期为2π，则ω=； =．11．（6分）（浙江二模）已知实数x，y满足不等式组，若实数，则不等式组表示的平面区域的面积为；若目标函数z=4x+3y的最大值为15，则实数a的值为．12．（6分）（浙江二模）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为；表面积为．13．（4分）（浙江二模）已知正方形ABCD中，点A（2，1），C（6，﹣3）．若将点A折起，使其与边BC的中点E重合，则该折线所在直线方程为．14．（4分）（浙江二模）若正数3x+4y+5z=6，则+的最小值．15．（4分）（浙江二模）已知函数，若函数 y=f[f（x）﹣a]有6个零点，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（浙江二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为，试求边b的最小值．17．（15分）（浙江二模）如图所示，平面ABC⊥平面BCDE，BC∥DE，，BE=CD=2，AB⊥BC，M，N分别为DE，AD中点．（1）证明：平面MNC⊥平面BCDE；（2）若EC⊥CD，点P为棱AD的三等分点（近A），平面PMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，求棱AB的长度．18．（15分）（浙江二模）已知二次函数f（x），若f（x）＜0时的解集为{x|﹣1＜x＜4}，且f（6）=28．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数在区间上是单调递增函数，试求函数g （x）在该区间上的最大值的取值范围．19．（15分）（浙江二模）已知椭圆经过点，其离心率为，设A，B，M是椭圆C上的三点，且满足，其中O为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：△OAB的面积是一个常数．20．（15分）（浙江二模）已知数列{a n}满足a n+1=ca n2+1﹣c，n∈N*，其中常数c∈（0，）．（1）若a2＞a1，求a1的取值范围；（2）若a1∈（0，1），求证：对任意n∈N*，都有a n∈（0，1）；（3）若a1∈（0，1），设数列{a n2}的前n项和为S n，S n＞n﹣．浙江省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．定义集合A⊗B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，设全集U={x|1＜x＜10}，集合A={x|2＜x＜6}，B={x|5＜x＜7}，则（∁U A）⊗B=（）A．[6，7）B．（1，2]∪（5，6）∪[7，10）C．（1，6）D．（1，2]∪（5，6]∪（7，10）【分析】可进行补集、交集的运算求出∁U A={x|1＜x≤2，或6≤x＜10}，（∁U A）∩B={x|6≤x＜7}，从而便可根据A⊗B的定义进行⊗的运算即可．【解答】解：∵∁U A={x|1＜x≤2，或6≤x＜10}，B={x|5＜x＜7}，∴（∁U A）∩B={x|6≤x＜7}；∴（∁U A）⊗B={x|x∈∁U A或x∈B且x∉（∁U A）∩B}={x|1＜x≤2，或5＜x＜6，或7≤x ＜10}=（1，2]∪（5，6）∪[7，10）．故选：B．【点评】考查描述法表示集合，区间表示集合，以及补集、交集的运算，理解集合A⊗B的定义．2．下列说法正确的是（）A．“a2＞9”是“a＞3”的充分不必要条件B．“∃x0∈R，使得”的否定是“”C．若A∧B是假命题，则A∨B是假命题D．“若a＜0，则x2+ax+a＜0有解”的否命题为“若a≥0，则x2+ax+a＜0无解”【分析】A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．B．根据含有量词的命题的否定进行判断．C．根据复合命题真假关系进行判断．D．根据否命题的定义进行判断．【解答】解：A．由a2＞9得a＞3或a＜﹣3，则“a2＞9”是“a＞3”的必要不充分条件，故A 错误，B．“∃x0∈R，使得”的否定是“∀x∈R，sinx+＜2”，故B 错误，C．若A∧B是假命题，则A，B至少有一个为假命题，当A假，B真时，满足A∧B是假命题，但A∨B是真命题，故C错误，D．“若a＜0，则x2+ax+a＜0有解”的否命题为“若a≥0，则x2+ax+a＜0无解”，正确，故D 正确故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．3．已知数列{a n}满足a1=1，若n为奇数时，a n+1=2a n+1；若n为偶数时，a n+1=a n+n．则该数列的前7项和为（）A．103 B．102 C．100 D．98【分析】由递推公式化简可得a1=1，a2=2a1+1=3，a3=a2+2=5，…，从而求和．【解答】解：由题意，a1=1，a2=2a1+1=3，a3=a2+2=5，a4=2a3+1=11，a5=a4+4=15，a6=2a5+1=31，a7=a6+6=37；故和为1+3+5+11+15+31+37=103，故选：A．【点评】本题考查了数列的递推公式的应用及前n项和的求法．4．设三条不同的直线分别为m，n，l，两个不同的平面分别为α，β．则下列说法正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m，n为异面直线，且m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥βD．若m∥α，m∥β，α∩β=l，则m∥l【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【解答】解：A．若m∥n，n⊂α，则m∥α或n⊂α，故A错误，B．若m，n为异面直线，且m⊂α，n⊂β，则α∥β不成立，故B错误，C．若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥β或n∥β或n⊂β，故C错误，D．若m∥α，m∥β，α∩β=l，则m∥l成立，故D正确，故选：D．【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为．若，则函数f（x）在上的值域为（）A．[﹣1，2]B．C．D．【分析】求出f（x）的表达式，从而求出f（x）在闭区间上的值域问题．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为，∴函数的周期是π，ω=2，由f（﹣）=0，，得：，解得A=，φ=，∴f（x）=sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[0，π]，显然x=时，f（x）最大，x=π时，f（x）最小，则函数f（x）在上的值域为[﹣，]，故选：B．【点评】本题考查了求三角函数的表达式问题，考查三角函数的值域问题，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题．6．已知平面向量，满足，，．则对于任意的实数m，的最小值为（）A．2 B．1 C．D．【分析】根据进行数量积的运算可得到，而配方即可求得，从而便可得出的最小值．【解答】解：根据条件：=4m2+2m（2﹣4m）+（2﹣4m）2=12m2﹣12m+4=；∴；∴的最小值为1．故选B．【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，掌握本题要求的最小值，而求的范围的方法，不等式的性质，以及配方求二次函数最值的方法．7．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2．若左焦点F1关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e的值为（）A． B．3 C． D．5【分析】设左焦点F1（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F1（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且n=，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．8．在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2．若点M在△ABC所在平面上运动，且使得△AC1M的面积为1，则动点M的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】确定M到AC1的距离为，利用AC1与平面ABC所成角为45°，可得动点M 的轨迹．【解答】解：由题意，AC1=2，∵△AC1M的面积为1，∴M到AC1的距离为，∴M在以AC1为旋转轴，半径为的圆柱上，∵AC1与平面ABC所成角为45°∴动点M的轨迹为椭圆．故选：B．【点评】本题考查轨迹方程，考查圆柱与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．（6分）（浙江二模）已知函数f（x）=，则f（3）=2；当x＜0时，不等式f（x）＜2的解集为（﹣1，0）．【分析】根据分段函数的表达式利用代入法即可求f（3），解不等式即可得到结论．【解答】解：由分段函数的表达式得f（3）=f（1）=22﹣1=2，当x＜0时，由f（x）＜2得＜2，即2x2﹣1＜1，即2x2＜2，x2＜1，得﹣1＜x＜1，此时﹣1＜x＜0，即不等式的解集是（﹣1，0），故答案为：2，（﹣1，0）．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用代入法和直接法是解决本题的关键．比较基础．10．（6分）（浙江二模）若函数的最小正周期为2π，则ω=； =2+．【分析】直接利用周期公式T=，求出实数ω的值，利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：因为函数的最小正周期为2π，所以=2π，解得：ω=．=tan（×+）===2+．故答案为：，2+．【点评】本题主要考查了正切函数的最小正周期的求法，考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，是常考题型，属于基础题．11．（6分）（浙江二模）已知实数x，y满足不等式组，若实数，则不等式组表示的平面区域的面积为27；若目标函数z=4x+3y的最大值为15，则实数a 的值为1．【分析】由题意作出其平面区域，求出三个点的坐标，从而求三角形的面积，再结合函数图象求目标函数Z=2x﹣y的最小值．【解答】解：由题意作出实数x，y满足不等式组，实数平面区域，x=1，y=4﹣x，x=2y﹣4两两联立解得，A（1，3），B（1，﹣），C（4，0）；故S△ABC=×3×（3+）=27；目标函数z=4x+3y的最大值为15，可知，解得，即：C（3，1），C满足ax﹣y﹣2=0，3a﹣1﹣2=0，解得a=1．故答案为：27；1．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，同时考查了直线交点的求法及三角形的面积公式应用，属于中档题．12．（6分）（浙江二模）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为4；表面积为．【分析】由三视图知用平面DEGF截棱长为2的正方体所得到的几何体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体是：用平面DEGF截棱长为2的正方体所得到的几何体，如图：E、F分别是中点，其中四边形DEGF是棱形，边长为，对角线EF=、DG=，∴几何体的体积：V=V正方体﹣V D﹣ABGE﹣V D﹣BCGF=2×2×2﹣﹣=4，几何体的表面积：S=+2×2++=故答案为：4；．【点评】本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图结合正方体正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．13．（4分）（浙江二模）已知正方形ABCD中，点A（2，1），C（6，﹣3）．若将点A折起，使其与边BC的中点E重合，则该折线所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．【分析】求出B点的坐标，得到BC的中点E的坐标，从而求出直线AE的斜率，得到其垂线的斜率，求出线段AE的中点坐标，进而求出折线的方程即可．【解答】解：由题意得：A（2，1），B（2，﹣3），C（6，﹣3），D（6，1），则BC的中点E（4，﹣3），∴K AE=﹣2，AE的垂线的斜率是：，AE的中点是（3，﹣1），故折线的方程是：x﹣2y﹣5=0．故答案为：x﹣2y﹣5=0．【点评】本题考查了垂直直线的斜率问题，考查求直线方程问题，是一道基础题．14．（4分）（浙江二模）若正数3x+4y+5z=6，则+的最小值．【分析】由题意化简可得原式=++，由基本不等式可得．【解答】解：∵正数3x+4y+5z=6，∴+=+=+=++≥2+=当且仅当=时，取等号故答案为：【点评】本题考查基本不等式，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．15．（4分）（浙江二模）已知函数，若函数 y=f[f（x）﹣a]有6个零点，则实数a的取值范围是﹣4≤a≤﹣1或a＜﹣5．【分析】先求出f（x）的零点，然后求出f（x）﹣a的值，作出函数f（x）的图象，利用数形结合以及排除法进行求解即可．【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：当x≤0时，由f（x）=0得=0，得x=0，当x＞0时，由f（x）=0得﹣x2+6x﹣5=0，得x=1或x=5，由y=f[f（x）﹣a]=0得f（x）﹣a=0或f（x）﹣a=1，或f（x）﹣a=5，即f（x）=a，f（x）=a+1，f（x）=a+5，a=﹣1，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有3个根，f（x）=a+5有1个根，此时共有6个根a=﹣4，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根若a＞4，则f（x）=a有0个根，f（x）=a+1有0个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有0个根若a=4，则f（x）=a有1个根，f（x）=a+1有0个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有1根若4＞a＞3，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有0个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有2个根若a=3，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有1个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有3个根若3＞a＞1，则f（x）=a有3个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有5个根若a=1，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有4个根若1＞a＞0，则f（x）=a有3个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有5个根；若a=0，则f（x）=0有3个根，f（x）=1有2个根，f（x）=5有0个根，此时共有5个根；﹣1＜a＜0时，f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有3个根，f（x）=a+5有0个根，此时共有5个根；若﹣4＜a≤﹣1，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根；若a=﹣4，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根；若﹣5≤a＜﹣4，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有3个根，此时共有7个根；a＜﹣5，则f（x）=a有2个根，f（x）=a+1有2个根，f（x）=a+5有2个根，此时共有6个根故﹣4≤a≤﹣1或a＜﹣5，函数 y=f[f（x）﹣a]有6个零点故答案为：﹣4≤a≤﹣1或a＜﹣5．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的零点，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（浙江二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为，试求边b的最小值．【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，利用两角和公式整理可求得tanB的值，结合角的范围，进而求得B．（2）根据三角形面积求得ac的值，利用余弦定理，基本不等式即可解得边b的最小值．【解答】解：（1）∵．∴sinBcosC+=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴由sinC≠0，求得tanB=，∴由B∈（0，π），可得：B=．（2）S=acsinB=ac=，∴ac=4，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，（当且仅当a=c时等号成立），∴边b的最小值为2．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用，正弦定理，余弦定理的在解三角形中的应用．解题的关键是利用正弦定理对边和角的问题进行转换，属于中档题．17．（15分）（浙江二模）如图所示，平面ABC⊥平面BCDE，BC∥DE，，BE=CD=2，AB⊥BC，M，N分别为DE，AD中点．（1）证明：平面MNC⊥平面BCDE；（2）若EC⊥CD，点P为棱AD的三等分点（近A），平面PMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，求棱AB的长度．【分析】（1）连结BM，ON，推导出ON∥AB，AB⊥平面BCDE，从而ON⊥平面BCDE，由此能证明平面MNC⊥平面BCDE．（2）以C为原点，CE为x轴，CD为y轴，过C作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱AB的长度．【解答】证明：（1）连结BM，ON，由题意四边形BMDC是菱形，∴O是BD中点，∵N是AD中点，∴ON∥AB，∵AB⊥BC，平面ABC⊥平面BCDE，∴AB⊥平面BCDE，∴ON⊥平面BCDE，∵ON⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面BCDE．解：（2）以C为原点，CE为x轴，CD为y轴，过C作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设A（，﹣1，t），（t＞0）由题意D（0，2，0），P（，0，），E（2，0，0），D（0，2，0），M（），B（，0），C（0，0，0），=（，0，），=（），=（），=（），设平面PMC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，﹣3，﹣），设平面ABC的法向量=（a，b，c），则，取a=，得=（，0），∵平面PMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜＞|===，解得t=3．∴棱AB的长度为3．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查棱长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（15分）（浙江二模）已知二次函数f（x），若f（x）＜0时的解集为{x|﹣1＜x＜4}，且f（6）=28．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数在区间上是单调递增函数，试求函数g （x）在该区间上的最大值的取值范围．【分析】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，结合f（6）=28，求出f（x）的解析式；（2）由f（x）的解析式，求出f（x﹣m），根据g（x）的解析式求出g（x）在[8，16]上单调递增的条件，求出m的取值范围，再求出函数g（x）在[8，16]上的最大值g（16）的解析式，从而求出它的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是二次函数，且不等式f（x）＜0的解集是（﹣1，4），∴﹣1，4是方程f（x）=0的两个根，且抛物线开口向上，设f（x）=a（x+1）（x﹣4），a＞0．f（6）=a（6+1）（6﹣4）=28，解得a=2，∴f（x）=2（x+1）（x﹣4）；（2）由f（x）=2（x+1）（x﹣4），得f（x﹣m）=2（x﹣m+1）（x﹣m﹣4），g（x）===2[x+﹣（2m+3）]；当m＞1时，m2+3m﹣4＞0恒成立，∴当x≥时，g（x）是单调增函数，x≤﹣时，g（x）是单调减函数；又g（x）在[8，16]上是单调增函数，∴≥8；化简得m2+3m﹣196≥0，解得m≥或m≤（不合题意，舍去）；又函数g（x）在区间上是单调递增函数，∴函数g（x）在该区间上的最大值为g（16）==（17﹣m）（12﹣m）=（m﹣17）（m﹣12）；由m≥知，12＜＜13，且（m﹣17）（m﹣12）的对称轴为m=14.5，所以（m﹣17）（m﹣12）有最小值﹣，它的取值范围是[﹣，+∞）．故所求的取值范围是[﹣，+∞）．【点评】本题考查了二次函数与对应不等式的应用问题，也求函数的取值范围的应用问题，是难题．19．（15分）（浙江二模）已知椭圆经过点，其离心率为，设A，B，M是椭圆C上的三点，且满足，其中O为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：△OAB的面积是一个常数．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解得a=2，b=1，可得椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n），可得x12+4y12=4，x22+4y22=4，m2+4n2=4，由向量的坐标表示，求得m，n，再平方相加，可得x1x2+4y1y2=0，再由椭圆的参数方程，结合两角差的正弦和余弦公式，化简整理，即可得到常数1．【解答】解：（1）由题意可得e==，将点代入椭圆方程，可得+=1，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n），可得x12+4y12=4，x22+4y22=4，m2+4n2=4，由，可得（m，n）=cosα（x1，y1）+sinα（x2，y2），即有m=cosαx1+sinαx2，n=cosαy1+sinαy2，可得m2+4n2=cos2α（x12+4y12）+sin2α（x22+4y22）+2cosαsinα（x1x2+4y1y2）=4cos2α+4sin2α+sin2α（x1x2+4y1y2），即有sin2α（x1x2+4y1y2）=0，由α∈（0，），可得x1x2+4y1y2=0，又S△ABO=|OA||OB|sin∠AOB===|x1y2﹣x2y1|，由x1=2cosβ，y1=sinβ，x2=2cosγ，y2=sinγ，x1x2+4y1y2=0，即为4（cosβcosγ+sinβsinγ）=0，即cos（β﹣γ）=0，又S△ABO=|x1y2﹣x2y1|=|2cosβsinγ﹣2cosγsinβ|=|sin（β﹣γ）|=1．则△OAB的面积是一个常数1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积为常数，注意点在椭圆上满足椭圆方程，以及平方相加，同时结合椭圆的参数方程和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．20．（15分）（浙江二模）已知数列{a n}满足a n+1=ca n2+1﹣c，n∈N*，其中常数c∈（0，）．（1）若a2＞a1，求a1的取值范围；（2）若a1∈（0，1），求证：对任意n∈N*，都有a n∈（0，1）；（3）若a1∈（0，1），设数列{a n2}的前n项和为S n，S n＞n﹣．【分析】（1）令n=2，由a2＞a1，结合条件c∈（0，），由二次不等式的解法即可得到；（2）运用数学归纳法，结合不等式的性质，即可得证；（3）先证n=1成立；再证当n≥2时，由a n+1=ca n2+1﹣c，可得a n＞1﹣（2c）n﹣1＞0，运用不等式的性质和等比数列的求和公式，即可得证．【解答】解：（1）由a n+1=ca n2+1﹣c，可得a2=ca12+1﹣c，由a2＞a1，可得（a1﹣1）（a1+1﹣）＞0，由c∈（0，），可得＞2，则a1＞﹣1或a1＜1；（2）证明：对n∈N*用数学归纳法证明a n∈（0，1），当n=1时，a1∈（0，1）．假设a k∈（0，1）（k≥1）则a k+1=ca k2+1﹣c＜c+1﹣c=1，且a k+1=ca k2+1﹣c＞1﹣c＞0，∴a k+1∈（0，1），由数学归纳法知a n∈（0，1）对所有n∈N*成立；（3）证明：由于0＜c＜，当n=1时，a12＞1﹣=，结论成立；当n≥2时，a n+1=ca n2+1﹣c，即有1﹣a n+1=c（1﹣a n）（1+a n）＜2c（1﹣a n），）＜…＜（2c）n﹣1，即1﹣a n＜2c（1﹣a n﹣1a n＞1﹣（2c）n﹣1＞0∴a n2＞（1﹣（2c）n﹣1）2=1﹣2（2c）n﹣1+（2c）2（n﹣1）＞1﹣2（2c）n﹣1∴a12+a22+…+a n2=a22+…+a n2＞n﹣1﹣2[2c+（2c）2+…+（2c）n﹣1]=n﹣1﹣2=n﹣1﹣2=n+1﹣2＞n+1﹣＞n﹣．故S n＞n﹣成立．【点评】本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选用证明方法．。

湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i2．若A={x|x2+2x﹣8＜0}，B={x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．（﹣4，1]B．（1，2）C．[1，2）D．（﹣4，1）3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B． C．D．4．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）A．55人，80人，45人B．40人，100人，40人C．60人，60人，60人D．50人，100人，30人5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β6．直线与圆O：x2+y2=4交于A、B两点，则=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣47．某班5位同学分别选择参加数学、物理、化学这3个学科的兴趣小组，每人限选一门学科，则每个兴趣小组都至少有1人参加的不同选择方法种数为（）A．150 B．180 C．240 D．5408．如图，椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，短轴端点分别为B1，B2，现沿B1B2将椭圆折成120°角（图二），则异面直线F1B2与B1F2所成角的余弦值为（）A．0 B．C．D．﹣9．在区间[﹣1，1]上任取两数m和n，则关于x的方程x2+mx+n=0的两根都是负数的概率（）A． B． C． D．10．设点P是曲线C：y=x3﹣x+上的任意一点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[π，π）B．（，π]C．[0，）∪[π，π）D．[0，）∪[π，π）11．已知倾斜角为的直线与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，M（4，2）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．2 D．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上的恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜+的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知四边形ABCD满足|AB|=|AD|，|CD|=且∠BAD=60°，﹣=，那么四边形ABCD的面积为．14．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．15．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．16．已知函数f（x）=asinx+bcosx（其中ab≠0）且对任意的x∈R，有f（x）≤f（），给出以下命题：①a=b；②f（x+）为偶函数；③函数y=f（x）的图象关于点（，0）对称；④函数y=f′（x）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移得到；⑤函数f（x）在y轴右侧的图象与直线y=的交点按横坐标从小到大依次为P1，P2，P3，P4，…，则|P2P4|=2π．其中正确命题的序号是．（将所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求△ABC的面积S．18．已知数列{a n}满足a1=3，且对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，若数列{b n}满足b n=n﹣1+log3a n，{b n}的前n项和为B n．（Ⅰ）求a n和B n；（Ⅱ）令c n=a n•b n，d n=，数列{c n}的前n项和为S n，数列{d n}的前n项和为T n，分别求S n和T n．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直．（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）线段PC上是否存在点M，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．已知函数（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若恒成立，求实数ab的最大值．21．已知椭圆Γ的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点．（1）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）Q为椭圆Γ的左顶点，直线l经过点（﹣，0）与椭圆Γ交于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；（2）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．22．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x2﹣4x．（Ⅰ）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；（Ⅱ）若函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=（a﹣2）x，若存在x0∈[，e]，使得f（x0）≤g（x0）成立，求实数a 的取值范围．湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z，从而求出即可．【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，∴z===﹣1﹣i，故=﹣1+i，故选：C．2．若A={x|x2+2x﹣8＜0}，B={x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．（﹣4，1]B．（1，2）C．[1，2）D．（﹣4，1）【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】先观察Venn图，由图可知阴影部分表示的集合为（C R B）∩A，根据集合的运算求解即可．【解答】解：A={x|x2+2x﹣8＜0}=（﹣4，2），∵B={x|x＜1}，∴C R B=[1，+∞），∴（C R B）∩A=[1，2）．故选：C．3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B． C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n=8时，不再运行循环体，直接输出S值．【解答】解：模拟程序图框的运行过程，得；该程序运行后输出的是计算S=++=．故选：D．4．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）A．55人，80人，45人B．40人，100人，40人C．60人，60人，60人D．50人，100人，30人【考点】分层抽样方法．【分析】先根据总体数和抽取的样本，求出每个个体被抽到的概率，用每一个层次的数量乘以每个个体被抽到的概率就等于每一个层次的值．【解答】解：每个个体被抽到的概率为=，∴专科生被抽的人数是×1500=50，本科生要抽取×3000=100，研究生要抽取×900=30，故选：D．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n ⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A 错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．6．直线与圆O：x2+y2=4交于A、B两点，则=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆相交的性质．【分析】先求圆心到直线的距离，再求弦心距所在直线与AO的夹角，然后求数量积．【解答】解：圆O：x2+y2=4的圆心是（0，0），由此知圆心到直线的距离是=＜2所以直线与圆相交故AB=2=2=r，所以∠AOB=所以=2×2×cos=2故选A7．某班5位同学分别选择参加数学、物理、化学这3个学科的兴趣小组，每人限选一门学科，则每个兴趣小组都至少有1人参加的不同选择方法种数为（）A．150 B．180 C．240 D．540【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析有将5位同学分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案．【解答】解：将5位同学分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33=60种，分成2、2、1时，有=90种，所以共有60+90=150种，故选：A．8．如图，椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，短轴端点分别为B1，B2，现沿B1B2将椭圆折成120°角（图二），则异面直线F1B2与B1F2所成角的余弦值为（）A．0 B．C．D．﹣【考点】椭圆的简单性质．【分析】由OF1⊥B1B2，OF2⊥B1B2，可得∠F1OF2为二面角F1﹣B1B2﹣F2的平面角，即为120°，求得椭圆的a，b，c，运用向量的夹角公式可得cos＜，＞=，计算即可得到所求异面直线所成的角的余弦值．【解答】解：由OF1⊥B1B2，OF2⊥B1B2，可得∠F1OF2为二面角F1﹣B1B2﹣F2的平面角，即为120°，椭圆+y2=1中a=，b=1．c=，可得B1F2=B2F1==，=+， =+，•=•+•+•+•=﹣1+0+0+••（﹣）=﹣2，即有cos＜，＞===﹣，可得异面直线F1B2与B1F2所成角的余弦值为．故选：C．9．在区间[﹣1，1]上任取两数m和n，则关于x的方程x2+mx+n=0的两根都是负数的概率（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式，利用积分求出对应区域的面积进行求解即可．【解答】解：∵区间[﹣1，1]上任取两数m和n，∴，对应的区域为正方形，面积S=2×2=4，若方程x2+mx+n=0的两根都是负数，则，即，作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的面积S=∫dm=m3|=，则对应的概率P==，故选：A．10．设点P是曲线C：y=x3﹣x+上的任意一点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[π，π）B．（，π]C．[0，）∪[π，π）D．[0，）∪[π，π）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率的取值范围，结合正切函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=3x2﹣，则f′（x）=3x2﹣≥﹣，即tanα≥﹣，则0≤α＜或π≤α＜π，故角α的取值范围是[0，）∪[π，π），故选：D11．已知倾斜角为的直线与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，M（4，2）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．【解答】解：∵倾斜角为的直线与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，∴直线的斜率k=tan=，设A（x1，y1），B（x2，y2），则﹣=1，①；﹣=1，②，①﹣②得=，则k==•∵M（4，2）是AB的中点，∴x1+x2=8，y1+y2=4，∵直线l的斜率为，∴=•，即=，则b2=a2，c2=a2+b2=（1+）a2，∴e2=1+==（）2．则e=故选：D．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上的恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜+的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，）【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的综合．【分析】由f′（x）＜，构造辅助函数g（x）=f（x）﹣x，求导，利用导数判断函数单调递减，根据f（2）=1，求得g（2）=，根据f（x2）＜+，将其转换成g（x2）＜g （2），根据函数单调性即可求得不等的解集．【解答】解：f′（x）＜（x∈R），f′（x）﹣＜0，设g（x）=f（x）﹣x，g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）是R上的减函数，g（2）=g（2）﹣=，∴f（x2）＜+，g（x2）=f（x2）﹣＜=g（2），∴x2＞2，解得：x＞或x＜﹣，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．故答案选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知四边形ABCD满足|AB|=|AD|，|CD|=且∠BAD=60°，﹣=，那么四边形ABCD的面积为．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由题意作图辅助，从而可判断四边形为直角梯形，从而求其面积．【解答】解：由题意作图如右图，∵﹣==，∴BC∥AD且|BC|=|AD|，又∵|AB|=|AD|，且∠BAD=60°，∴|AE|=|AB|=|AD|，∴|BC|=|DE|，∴BCDE是平行四边形，∴CD∥BE，∴DC⊥AD，∵|CD|=，∴|AB|=|AD|=2，∴S==，故答案为：．14．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[，4]．【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]15．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是16π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO就是外接球的半径，∵△ABC是边长为3的等边三角形，MN=2，∴AM=，OM=1，∴这个球的半径r==2，∴这个球的表面积S=4π×22=16π，故答案为：16π．16．已知函数f（x）=asinx+bcosx（其中ab≠0）且对任意的x∈R，有f（x）≤f（），给出以下命题：①a=b；②f（x+）为偶函数；③函数y=f（x）的图象关于点（，0）对称；④函数y=f′（x）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移得到；⑤函数f（x）在y轴右侧的图象与直线y=的交点按横坐标从小到大依次为P1，P2，P3，P4，…，则|P2P4|=2π．其中正确命题的序号是①②④⑤．（将所有正确命题的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由三角函数的最大值相等列式判断①；利用辅助角公式化简代值判断②；求出得值判断③；求导后利用函数的图象平移判断④；由函数图象平移周期不变判断⑤【解答】解：①f（x）=asinx+bcosx=，∵对任意的x∈R，有f（x）≤f（），∴，则2a2+2b2=（a+b）2，∴（a﹣b）2=0，则a=b，故①正确；②∵f（x）=asinx+bcosx=a（sinx+cosx）=，∴f（x+）=，∴f（x+）为偶函数，故②正确；③∵=≠0，故③错误；④y=f′（x）=acosx﹣asinx==，而f（x+）==，故④正确；⑤由f（x）的周期为2π，而f（x）=是把向左平移个单位得到的，∴|P2P4|=2π，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求△ABC的面积S．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由周期公式可求最小正周期，由2k，k∈Z 可解得单调递增区间．（2）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，可得sin（2C﹣）=1，解得C的范围利用正弦函数的图象和性质即可求得C的值，由sinB=2sinA，利用正弦定理，余弦定理即可解得a，b，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣=sin（2x﹣）﹣1，…∴最小正周期T=，．由2k，k∈Z 得k，k∈Z，∴f（x）的最小正周期为π，单调递增区间为[k，k]（k∈Z）．…（2）f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，则sin（2C﹣）=1，∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴﹣，∴2C﹣=，∴C=，…∵sinB=2sinA，由正弦定理，得，①由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab=3，②由①②解得a=1，b=2．∴S△ABC==．…18．已知数列{a n}满足a1=3，且对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，若数列{b n}满足b n=n﹣1+log3a n，{b n}的前n项和为B n．（Ⅰ）求a n和B n；（Ⅱ）令c n=a n•b n，d n=，数列{c n}的前n项和为S n，数列{d n}的前n项和为T n，分别求S n和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，可得a n+1=a n•a1=3a n，利用等比数列的通项公式可得a n．可得b n，即可得出{b n}的前n项和为B n．（II）c n=（2n﹣1）•3n．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得S n．d n===，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）∵对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，∴a n+1=a n•a1=3a n，∴数列{a n}是等比数列，公比为3，首项为3，∴a n=3n．∴b n=n﹣1+log3a n=n﹣1+n=2n﹣1，∴{b n}的前n项和为B n==n2．（II）c n=a n•b n，=（2n﹣1）•3n．∴数列{c n}的前n项和为S n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，∴3S n=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2S n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=（2﹣2n）•3n+1﹣6，∴S n=（n﹣1）•3n+1+3．d n===，当n=1时，d1=；当n≥2时，T n=+++…++=﹣﹣．当n=1时也成立，∴T n=﹣﹣．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直．（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）线段PC上是否存在点M，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OC，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥PC．（Ⅱ）设M（a，b，c），由=λ可得点M的坐标为M（λ，0，﹣λ），求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量，由此利用向量法能求出结果．【解答】（Ⅰ）证明：取AD中点O，连结OP，OC，∵侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，∴△ADC是等边三角形，PO、AD、CO两两垂直，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得P（0，0，），C（，0，0），B（，﹣2，0），=（0，﹣2，0），=（﹣，0，），∴=0，∴CB⊥CP．（Ⅱ）解：假设存在符合要求的点M，令=λ（0≤λ≤1），则=λ=λ（，0，﹣），可得M（λ，0，﹣λ），∴=（λ，1，﹣λ），=（λ，﹣1，﹣λ），设平面MAD的法向量为=（x，y，z），则，令z=λ，得=（λ﹣1，0，λ），显然平面PAD的一个法向量为=（，0，0），∵二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为，∴|=，∴λ=或λ=﹣1（舍去）∴线段PC上存在点M， =时，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为．20．已知函数（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若恒成立，求实数ab的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）求导数，利用x=1是函数f（x）的极大值点，确定a的范围，即可得到函数f（x）的单调递减区间；（2）构造函数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论．【解答】解：（1）求导数可得，f′（x）=∵x=1是函数f（x）的极大值点，∴0＜a＜1∴函数f（x）的单调递减区间为（0，a），（1，+∞）；（2）∵恒成立，∴alnx﹣x+b≤0恒成立，令g（x）=alnx﹣x+b，则g′（x）=∴g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减∴g（x）max=g（a）=alna﹣a+b≤0∴b≤a﹣lna，∴ab≤a2﹣a2lna令h（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则h′（x）=x（1﹣2lnx）∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减∴h（x）max=h（）=，∴ab≤即ab的最大值为．21．已知椭圆Γ的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点．（1）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）Q为椭圆Γ的左顶点，直线l经过点（﹣，0）与椭圆Γ交于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；（2）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设椭圆的标准方程为：，根据条件列方程组解出a，b即可；（II）（1）把x=﹣代入椭圆方程解出A，B坐标，根据三角形的边长即可求出∠AQB；（2）设AB斜率为k，联立方程组求出A，B坐标的关系，通过计算=0得出，则当△QAB为等腰直角三角形时，取AB中点N，则QN⊥AB，计算QN的斜率判断是否为﹣即可得出结论．【解答】解：（I）设椭圆的标准方程为：，（a＞b＞0）．抛物线y=x2的焦点为（0，1），∴，解得a2=4，∴椭圆Γ的标准方程为+y2=1．（II）Q（﹣2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），（1）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=﹣．则直线l与x轴交于M（﹣，0）．联立方程组，解得或．不妨设A在第二象限，则A（﹣，），B（﹣，﹣）．∴|QM|=|AM|=．∴∠AQM=45°，∴∠AQB=2∠AQM=90°．（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为y=k（x+）（k≠0）．联立方程组，消元得（25+100k2）x2+240k2x+144k2﹣100=0．∴x1+x2=，x1x2=．y1y2=k2（x1+）（x2+）=﹣•+．∵=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），∴=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=﹣+4+﹣•+=0．∴QA⊥QB，即△QAB是直角三角形．假设存在直线l使得△QAB是等腰直角三角形，则|QA|=|QB|．取AB的中点N，连结QN，则QN⊥AB．又x N=（x1+x2）=﹣=﹣，y N=k（x N+）=．∴k QN=，∴k QN•k AB=≠﹣1．∴QN与AB不垂直，矛盾．∴直线l与x轴不垂直，不存在直线l使得△QAB为等腰三角形．22．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x2﹣4x．（Ⅰ）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；（Ⅱ）若函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=（a﹣2）x，若存在x0∈[，e]，使得f（x0）≤g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得函数的定义域，求导，假设存在实数a，使f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，解出a的值，根据x=1的左右单调性是否相同，即可判断x=1是不是极值点；（Ⅱ）先求出f（x）的导数，将问题转化成，a≥2﹣2（x﹣1）2，在x∈[2，3]有解，构造辅助函数，利用函数的求得φ（x）=2﹣2（x﹣1）2的最小值，即可求得a的取值范围．（Ⅲ）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[，e]，上存在一点x0，使得G（x0）＜0，即函数G（x）在[，e]，上的最小值小于零．对G（x）求导．求出G（x）的最小值，即可a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣4=，假设存在实数a，使得f（x）下x=1处取极值，则f′（1）=0，∴a=2，此时，f（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴x=1不是f（x）的极值点，故不存在实数a，使得f（x）=1处取极值．（Ⅱ）f′（x）==（x＞0），问题等价于，存在x∈[2，3]，使得f′（x）≥0，即a≥2﹣2（x﹣1）2，在x∈[2，3]有解，∴φ（x）=2﹣2（x﹣1）2，在[2，3]上递减，∴φmin=φ（3）=﹣6，∴a＞﹣6；（Ⅲ）记F（x）=x﹣lnx，∴F′（x）=（x＞0），∴当0＜x＜1，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；∴F（x）≥F（1）=1＞0，即x＞lnx，（x＞0），由f（x0）≤g（x0）得：（x0﹣lnx0）a≥x02﹣2x0，∴a≥，记G（x）=，x∈[，e]，G′（x）==，x∈[，e]，∴2﹣2lnx=2（1﹣lnx）≥0，∴x﹣2lnx+2＞0，∴x∈（，e）时，G′（x）＜0，G（x）递减，x∈（1，e）时，G′（x）＞0，G（x）递增，∴a≥G（x）min=G（1）=﹣1，故实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．8月1日。

高考数学二模试卷 理(含解析)

高考数学二模试卷 理(含解析)

北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A={x|x2＞1}，集合B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤1，或x≥2}2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）A．7 B．10 C．66 D．1663．设i为虚数单位，m∈R，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．已知平面上三点A，B，C，满足||=6，||=8，||=10，则•+•+•=（）A．48 B．﹣48 C．100 D．﹣1005．已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意的实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是（）A．2 B．4 C．πD．2π6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|=，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x7．已知函数f（x）=，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（sinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本小题共6小题，每小题5分，共30分．9．（1﹣）4展开式中含x﹣3项的系数是．10．已知圆C的圆心在直线x﹣y=0上，且圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，则圆C的标准方程是．11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，∠CBD=60°，则AD= ．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为．13．已知点A1（a1，1），A2（a2，2），…，A n（a n，n）（n∈N*）在函数y=log x的图象上，则数列{a n}的通项公式为；设O为坐标原点，点M n（a n，0）（n∈N*），则△OA1M1，△OA2M2，…，△OA n M n中，面积的最大值是．14．设集合A={（m1，m2，m3）|m2∈{﹣2，0，2}，m i=1，2，3}}，集合A中所有元素的个数为；集合A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠ADC=120°，cos∠CAD=．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．16．某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如表：题 A B C答卷数180 300 120（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．17．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=DC=AB=1．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面ABEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：FA⊥BC；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线FD⊥平面MNH，求MH的长．18．已知点M为椭圆C：3x2+4y2=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．19．已知函数f（x）=（x2﹣a）e x，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．20．已知数列，A n：a1，a2，…，a n（n≥2，n∈N*）是正整数1，2，3，…，n的一个全排列．若对每个k∈{2，3，…，n}都有|a k﹣a k﹣1|=2或3，则称A n为H数列．（Ⅰ）写出满足a5=5的所有H数列A5；（Ⅱ）写出一个满足a5k（k=1，2，…，403）的H数列A2015的通项公式；（Ⅲ）在H数列A2015中，记b k=a5k（k=1，2，…，403）．若数列{b k}是公差为d的等差数列，求证：d=5或﹣5．2015年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合A={x|x2＞1}，集合B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤1，或x≥2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：x＞1或x＜﹣1，即A={x|x＜﹣1或x＞1}，由B中不等式解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}，则A∩B={x|1＜x＜2}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）A．7 B．10 C．66 D．166【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=166时满足条件S ＞100，退出循环，输出n的值为10．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1n=4，S=17，不满足条件S＞100，n=7，S=66不满足条件S＞100，n=10，S=166满足条件S＞100，退出循环，输出n的值为10．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．3．设i为虚数单位，m∈R，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【专题】简易逻辑；数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的基本概念以及充要条件判断即可．【解答】解：复数m（m﹣1）+i是纯虚数，则m=0或m=1，显然m=1，复数是纯虚数，所以，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，基本知识的考查．4．已知平面上三点A，B，C，满足||=6，||=8，||=10，则•+•+•=（）A．48 B．﹣48 C．100 D．﹣100【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后进行向量的数量积运算，注意向量的夹角．【解答】解：由题意||2+||2=||2=100，所以△ABC是直角三角形，∠A=90°，所以•+•+•=6×10×（﹣）+8×10×（﹣）+0=﹣100；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理运用以及向量的数量积运算；关键是明确向量的夹角，利用公式解答．5．已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意的实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是（）A．2 B．4 C．πD．2π【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得|x1﹣x2|的最小值为半个周期，再利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，得出结论．【解答】解：由题意可得|x1﹣x2|的最小值为半个周期，即===2，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|=，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2，解得a，b，得到渐近线方程．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点坐标F（1，0），p=2，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，即c=1，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+1=，∴m=．∴P点的坐标为（，±）∴解得：，则渐近线方程为y=±x，故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．7．已知函数f（x）=，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（sinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】求函数f（x）定义域，及f（﹣x）便得到f（x）为奇函数，并能够通过求f′（x）判断f（x）在R上单调递增，从而得到sinθ＞m﹣1，也就是对任意的都有sinθ＞m﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m的取值范围．【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=﹣f（x）；f′（x）=e x+e﹣x＞0；∴f（x）在R上单调递增；由f（sinθ）+f（1﹣m）＞0得，f（sinθ）＞f（m﹣1）；∴sinθ＞m﹣1；即对任意θ∈都有m﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1；∴m﹣1≤0；∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．故选D．【点评】考查奇函数的定义，根据函数导数判断函数单调性的方法，复合函数的求导公式，以及函数单调性定义的运用，正弦函数的值域．8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的性质．【专题】选作题；推理和证明．【分析】先证明△MQB∽△B′AB，再利用相似三角形的性质得出C'N的长，再表示出求出梯形MNC′B′面积，进而求出最小值．【解答】解：如图，过N作NR⊥AB与R，则RN=BC=1，连BB′，交MN于Q．则由折叠知，△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，即△MBQ≌△MB′Q，有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．∵∠A=∠MQB，∠ABQ=∠ABB′，∴△MQB∽△B′AB，∴．设AB′=x，则BB′=，BQ=，代入上式得：BM=B'M=（1+x2）．∵∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，∴∠MNR=∠ABB′，在Rt△MRN和Rt△B′AB中，∵，∴Rt△MRN≌Rt△B′AB（ASA），∴MR=AB′=x．故C'N=CN=BR=MB﹣MR=（1+x2）﹣x=（x﹣1）2．∴S梯形MNC′B′= [（x﹣1）2+（x2+1）]×1=（x2﹣x+1）=（x﹣）2+，得当x=时，梯形面积最小，其最小值．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质及翻转变换，是一道综合题，有一定的难度，这要求学生要熟练掌握各部分知识，才能顺利解答这类题目．二、填空题：本小题共6小题，每小题5分，共30分．9．（1﹣）4展开式中含x﹣3项的系数是．【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x得指数为3求得r值，代入通项中求得答案．【解答】解：由，令﹣r=﹣3，得r=3．∴（1﹣）4展开式中含x﹣3项的系数是．故答案为：．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．10．已知圆C的圆心在直线x﹣y=0上，且圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，则圆C的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣3）2=18 ．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】圆心在直线x﹣y=0上，设出圆心，利用圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，就是圆心到直线等距离，求解即可．【解答】解：圆心在x﹣y=0上，圆心为（a，a），因为圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，所以=，解得a=3，圆c的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=18．故答案为：（x﹣3）2+（y﹣3）2=18．【点评】考查圆的方程的求法，一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，∠CBD=60°，则AD= 3 ．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】利用△CDB是等边三角形，求出CD，再利用割线定理，即可求出AD．【解答】解：由题意，CD=DB=BC=5，AN=12，∵直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，∴AD×（AD+5）=2×12，∴AD2+5AD﹣24=0，∴AD=3，故答案为：3．【点评】本题考查割线定理，考查学生的计算能力，比较基础．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为2．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为菱形的四棱锥，画出几何体的直观图，求出它的侧面积即可．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为菱形的四棱锥，且菱形的边长为=2，三棱锥的高为3，且侧面四个三角形的面积相等，如图所示；∴该四棱锥的侧面积为4S△PAB=4×AB•PE=4××2×=2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的侧面积的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的直观图，是基础题目．13．已知点A1（a1，1），A2（a2，2），…，A n（a n，n）（n∈N*）在函数y=log x的图象上，则数列{a n}的通项公式为a n=（）n；设O为坐标原点，点M n（a n，0）（n∈N*），则△OA1M1，△OA2M2，…，△OA n M n中，面积的最大值是．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由对数函数可得通项公式，又可得△OA n M n的面积S n的表达式，由函数的单调性可得．【解答】解：由题意可得n=log a n，∴a n=（）n，又可得△OA n M n的面积S n=×a n×n=n（）n，构造函数y=x（）x，可判函数单调递减，∴当n=1时，S n取最大值故答案为：a n=（）n；【点评】本题考查对数函数的性质，涉及函数的单调性，属基础题．14．设集合A={（m1，m2，m3）|m2∈{﹣2，0，2}，m i=1，2，3}}，集合A中所有元素的个数为27 ；集合A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为18 ．【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断．【专题】集合；排列组合．【分析】根据集合A知道m1，m2，m3各有3种取值方法，从而构成集合A的元素个数为27个，而对于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5可分为这样几种情况：|m1|+|m2|+|m3|=2，或|m1|+|m2|+|m3|=4，求出每种情况下构成集合A的元素个数再相加即可．【解答】解：m1从集合{﹣2，0，2）中任选一个，有3种选法，m2，m3都有3种选法；∴构成集合A的元素有3×3×3=27种情况；即集合A元素个数为27；对于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5分以下几种情况：①|m1|+|m2|+|m3|=2，即此时集合A的元素含有一个2，或﹣2，两个0，2或﹣2从三个位置选一个有3种选法，剩下的位置都填0，这种情况有3×2=6种；②|m1|+|m2|+|m3|=4，即此时集合A含有两个2，或﹣2，一个0；或者一个2，一个﹣2，一个0；当是两个2或﹣2，一个0时，从三个位置任选一个填0，剩下的两个位置都填2或﹣2，这种情况有3×2=6种；当是一个2，一个﹣2，一个0时，对这三个数全排列即得到3×2×1=6种；∴集合A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为6+6+6=18．故答案为：27，18．【点评】考查描述法表示集合，分步计数原理及排列内容的应用，以及分类讨论思想的应用．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠ADC=120°，cos∠CAD=．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）在△ACD中，由正弦定理得：，解出即可；（Ⅱ）在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos120°，解得AD，过点D作DE⊥AB 于E，则DE为梯形ABCD的高．在直角△ADE中，DE=AD•sin60°，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）在△ACD中，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD=．由正弦定理得：，即==2．（Ⅱ）在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos120°，整理得AD2+2AD﹣24=0，解得AD=4．过点D作DE⊥AB于E，则DE为梯形ABCD的高．∵AB∥CD，∠ADC=120°，∴∠BAD=60°．在直角△ADE中，DE=AD•sin60°=2．即梯形ABCD的高为．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式、直角三角形的边角关系、梯形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如表：题 A B C答卷数180 300 120（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（I）由=60可知：每60份试卷抽一份，即可得出；（II）记事件M：被抽出的A、B、C三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只能C题答案为优，利用相互独立试卷的概率计算公式即可得出；（Ⅲ）由题意可知，B题答案得优的概率为，显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B．利用P（X=k）=（k=0，1，2，3，4，5），及其E（X）=np即可得出分布列及其数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：题 A B C答卷数180 300 230抽出的答卷数 3 5 2应分别从B、C题的答卷中抽出5份，2份．（Ⅱ）记事件M：被抽出的A、B、C三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只能C题答案为优，依题意P（M）==．（Ⅲ）由题意可知，B题答案得优的概率为，显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B．P（X=k）=（k=0，1，2，3，4，5），可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=0）=，随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3 4 5P∴E（X）=np==．【点评】本题考查了随机变量的二项分布列及其数学期望、分层抽样、相互独立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=DC=AB=1．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面ABEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：FA⊥BC；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线FD⊥平面MNH，求MH的长．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）利用平面与平面垂直的性质证明：FA⊥平面ABCD，即可证明FA⊥BC；（Ⅱ）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面BCE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设=k（0＜k≤1），则M（1﹣k，0，k），利用FD⊥平面MNH，求出M的坐标，即可求MH的长．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得∠FAB=90°，所以FA⊥AB．因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以FA⊥平面ABCD，由于BC⊂平面ABCD，所以FA⊥BC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知FA⊥平面ABCD，所以FA⊥AB，FA⊥AD．由已知DA⊥AB，所以AD，AB，AF两两垂直．以A为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为AD=DC=AB=1，则B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），E（0，1，1），所以=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，1），设平面BCE的一个法向量=（x，y，z）．所以．令x=1，则=（1，1，1）．设直线BD与平面BCE所成角为θ，因为=（1，﹣2，0），所以sinθ=||=．所以直线BD和平面BCE所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：A（0，0，0），D（1，0，0），F（0，0，1），B（0，2，0），H（，1，0）．设=k（0＜k≤1），则M（1﹣k，0，k），∴=（k﹣，1，﹣k），=（1，0，﹣1）．若FD⊥平面MNH，则FD⊥MH．即=0．∴k﹣+k=0．解得k=．则=（，1，﹣），||=．【点评】本题考查线面垂直的判定、平面与平面垂直的性质，考查线面角，正确运用向量法是关键．18．已知点M为椭圆C：3x2+4y2=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）椭圆C的方程可化为，则a=2，b=，c=1．即可得出离心率与焦点坐标；（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立可得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△＞0．由于直线MA与直线MB 斜率之积为，可得=，把根与系数的关系代入可得：m2﹣2km﹣8k2=0，解得m=4k或m=﹣2k．分别讨论解出即可．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C的方程可化为，则a=2，b=，c=1．故离心率e==，焦点坐标为（﹣1，0），（1，0）．（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（4k2﹣m2+3）＞0．∴x1+x2=，x1x2=，∵直线MA与直线MB斜率之积为．∴=，∴4（kx1+m）（kx2+m）=（x1﹣2）（x2﹣2）．化简得（4k2﹣1）x1x2+（4km+2）（x1+x2）+4m2﹣4=0，∴++4m2﹣4=0，化简得m2﹣2km﹣8k2=0，解得m=4k或m=﹣2k．当m=4k时，直线AB方程为y=k（x+4），过定点（﹣4，0）．m=4k代入判别式大于零中，解得．当m=﹣2k时，直线AB的方程为y=k（x﹣2），过定点（2，0），不符合题意．故直线AB过定点（﹣4，0）．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、斜率计算公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．19．已知函数f（x）=（x2﹣a）e x，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）将a=0代入函数的表达式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为求使函数f（x）=e x（x2﹣a）在（1，2）上不为单调函数的a的取值范围，通过讨论x的范围，得到函数的单调性，进而求出a的范围；（Ⅲ）先求出函数的导数，找到函数的极值点，从而证明出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x2e x，f′（x）=e x（x2+2x），由e x（2x2+2x）=0，解得：x=0，x=﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；（Ⅱ）依题意即求使函数f（x）=e x（x2﹣a）在（1，2）上不为单调函数的a的取值范围，而f′（x）=e x（x2+2x﹣a），设g（x）=x2+2x﹣a，则g（1）=3﹣a，g（2）=8﹣a，因为g（x）在（1，2）上为增函数．当，即当3＜a＜8时，函数g（x）在（1，2）上有且只有一个零点，设为x0，当x∈（1，x0）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（x0，2）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）为增函数，满足在（1，2）上不为单调函数．当a≤3时，g（1）≥0，g（2）≥0，所以在（1，2）上g（x）＞0成立（因g（x）在（1，2）上为增函数），所以在（1，2）上f′（x）＞0成立，即f（x）在（1，2）上为增函数，不合题意．同理a≥8时，可判断f（x）在（1，2）为减函数，不合题意．综上：3＜a＜8．（Ⅲ）f′（x）=e x（x2+2x﹣a）．因为函数f（x）有两个不同的零点，即f′（x）有两个不同的零点，即方程x2+2x﹣a=0的判别式△=4+4a＞0，解得：a＞﹣1，由x2+2x﹣a=0，解得x1=﹣1﹣，x2=﹣1+．此时x1+x2=﹣2，x1•x2=﹣a，随着x变化，f（x）和f′（x）的变化情况如下：x （﹣∞，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）递增极大值递减极小值递增所以x1是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点，所以f（x1）是极大值，f（x2）是极小值，∴f（x1）f（x2）=（﹣a）•（﹣a）==e﹣2[a2﹣a（4+2a）+a2]=﹣4ae﹣2，因为a＞﹣1，所以﹣4ae﹣2＜4e﹣2，所以f（x1）f（x2）＜4e﹣2．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，考查转化思想，分类讨论思想，熟练掌握基础知识并对其灵活应用是解题的关键，本题是一道难题．20．已知数列，A n：a1，a2，…，a n（n≥2，n∈N*）是正整数1，2，3，…，n的一个全排列．若对每个k∈{2，3，…，n}都有|a k﹣a k﹣1|=2或3，则称A n为H数列．（Ⅰ）写出满足a5=5的所有H数列A5；（Ⅱ）写出一个满足a5k（k=1，2，…，403）的H数列A2015的通项公式；（Ⅲ）在H数列A2015中，记b k=a5k（k=1，2，…，403）．若数列{b k}是公差为d的等差数列，求证：d=5或﹣5．【考点】数列的应用；数列与函数的综合；数列与解析几何的综合．【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件直接写出数列即可．（Ⅱ）数列A5，推出a5=5，把数列各项分别加5后，所得各数依次排在后，利用|a6﹣a5|=2，得到a10=10．推出a5K=5k，（k=1，2，…，403）的H数列A2015即可．（Ⅲ）利用已知条件推出d=2x+3y，x，y∈Z，且|x|+|y|=5．转化为（|x|，|y|）=（0，5），（1，4），（2，3），（4，1），（5，0）．分别讨论推出结果即可．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：3，1，4，2，5；2，4，1，3，5．（Ⅱ）由（1）知数列A5：2，4，1，3，5满足a5=5，把各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为|a6﹣a5|=2，所得数列A10显然满足|a k﹣a k﹣1|=2或3，k∈{2，3，4，…，10}，即得H数列A10：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中a5=5，a10=10．如此下去即可得到一个满足a5K=5K（k=1，2，…，403）的H数列A2015为：a n=（其中k=1，2， (403)（Ⅲ）由题意知d=2x+3y，x，y∈Z，且|x|+|y|=5．|x|+|y|=5有解：（|x|，|y|）=（0，5），（1，4），（2，3），（4，1），（5，0）．①（|x|，|y|）=（0，5），y=±5，d=±15，则b403=b1+402d=b1±6030，这与1≤b1，b403≤2015 是矛盾的．②（|x|，|y|）=（5，0）时，与①类似可得不成立．③（|x|，|y|）=（1，4）时，|d|≥3×4﹣2=1，则b403=b1+402d不可能成立．④（|x|，|y|）=（4，1）时，若（|x|，|y|）=（4，﹣1）或（﹣4，1），则d=5或﹣5．若（|x|，|y|）=（4，1）或（﹣4，﹣1），则|d|=11，类似于③可知不成立．④（|x|，|y|）=（2，3）时，若x，y同号，则d|=13，由上面的讨论可知不可能；若（x，y）=（2，﹣3）或（x，y）=（﹣2，3），则d=﹣5或5；⑤（|x|，|y|）=（3，2）时，若x，y异号，则d=0，不行；若x，y同号，则|d|=12，同样由前面的讨论可知与1≤b1，b403≤2015 矛盾．综上，d只能为5或﹣5，且（2）中的数列是d=5的情形，将（2）中的数列倒过来就是d=﹣5，所以d为5或﹣5．【点评】本题考查数列与函数的综合应用，考查分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．。

2022年山西省高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年山西省高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年山西省高考数学二模试卷（理科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.( )A. B. C. D.2.若，则( )A. B. C. D.3.已知集合，，若有2个元素，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.4.2022年北京冬奥会开幕式各个代表团所身着的运动鞋服品牌一度成为热议话题，运动鞋服是近年来新消费市场中规模相当庞大的品类，如图为2021年中国消费者运动鞋服购置品牌偏好调查，根据该图，下列说法错误的是( )A. 2021年中国运动鞋服消费者为父母长辈购买运动鞋服时选择国产品牌的占比超过B. 2021年中国运动鞋服消费者没有为孩子购买运动鞋服的占比低于C. 2021年中国运动鞋服消费者在为自己购买运动鞋服时选择国外品牌的占比不超过D. 2021年中国运动鞋服消费者在为朋友购买运动鞋服时选择国产品牌的人数超过选择国外品牌人数的2倍5.的展开式中的常数项为( )A. 13B. 17C.D.6.已知圆柱的高，圆，都在球O 的表面上，且球O 的表面积是圆柱侧面积的2倍，则球O 的半径为( )A. 4B. 32C.D.7.已知，若对任意，关于x 的方程无实根，则实数a 的范围是( )A.B.C. D.8.我们把短边与长边之比为的矩形称为黄金分割矩形，黄金分割矩形看起来比较“和谐”，日常生活中的矩形用品如书本、课桌、衣柜和建筑物中的一些矩形结构如窗户、房间等，都常设计成黄金分割的样式，若一面积为的黄金分割矩形一条短边的两个顶点在抛物线C ：的准线上，另一条短边的中点为抛物线C 的焦点F ，则该黄金分割矩形与抛物线C 的一个交点到F 的距离为( )A.B.C.D.9.若存在实数x ，y ，使得成立，且对任意a ，，，则实数t的取值范围是( )A.B.C. D.10.下面关于函数的结论，其中错误的是( )A. 的值域是B. 是周期函数C.的图象关于直线对称 D. 当时，11.在菱形ABCD 中，，点P 在菱形ABCD 所在平面内，则的最小值为( )A.B.C.D.12.已知a 是的一个零点，b 是的一个零点，，则( )A. B.C.D.或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

陕西省宝鸡市2023届高三下学期二模理科数学试题含解析

陕西省宝鸡市2023届高三下学期二模理科数学试题含解析

2023年宝鸡市高考模拟检测（二）数学（理科）（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选考题两部分，选考题为二选一.考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.3.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设集合{}40M x x =-<<，{}24N x x =<，则M N =（）A.{}20x x -<<B.{}22x x -<<C.{}44x x -<<D.{}42x x -<<2.设1z ，2z 为复数，则下列说法正确的为（）A.若22120z z +=，则120z z ==B.若12z z =，则1z ，2z 互为共轭复数C.若a ∈R ，i 为虚数单位，则()1i a +⋅为纯虚数D.若20z ≠，则1122z z z z = 3.直线l ：cos sin 1()x y ααα+=∈R 与曲线C ：221x y +=的交点个数为（） A.0B. 1C.2D.无法确定4.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），记大正方形和小正方形的面积分别为1S 和2S ，若125S S =，则直角三角形的勾（较短的直角边）与股（较长的直角边）的比值为（）A.12B.13C.23D.255.设a ，b ∈R ，则“2a b +≥”是“222a b +≥”的（） A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.ABC △中，5AB =，7AC =，D 为BC 的中点，5AD =，则BC =（） A.3 B.3 C.22 D.427.已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，(),M x y 为C 上一动点，曲线C 在点M 处的切线交y 轴于N 点，若30FMN ∠=︒，则FNM ∠=（） A.60︒B.45︒C.30︒D.15︒8.已知函数()()lg lg 2f x x x =+-，则（） A.()f x 在()0,1单调递减，在()1,2单调递增 B.()f x 在()0,2单调递减 C.()f x 的图像关于直线1x =对称D.()f x 有最小值，但无最大值9.设m ，{}2,1,0,1,2,3n ∈--，曲线C ：221mx ny +=，则下列说法正确的为（） A.曲线C 表示双曲线的概率为15B.曲线C 表示椭圆的概率为16C.曲线C 表示圆的概率为110D.曲线C 表示两条直线的概率为1510.点(),P x y 在不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域上，则xy 的最大值为（）A.94B. 2C.83D. 311.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为4的正方形，PBA PBC ∠=∠，PD AD ⊥，Q 为正方形ABCD 内一动点且满足QA QP ⊥，若2PD =，则三棱锥Q PBC -的体积的最小值为（）A.3B.83C.43D. 212.已知正实数x ，y ，z 满足235log log log 0x y z ==≠，给出下列4个命题： ①x y z <<②x ，y ，z 的方程x y z +=有且只有一组解 ③x ，y ，z 可能构成等差数列④x ，y ，z 不可能构成等比数列 其中所有真命题的个数为（） A. 1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分. 13.若a ，b ，c ，d 为实数，且a c ad bcb d=-，定义函数sin 3()2cos 2cos x xf x x x=，现将()f x 的图像先向左平移512π3()g x 的图像，则()g x 的解析式为______. 14.已知非零向量a ，b ，c 满足1a b a b ==-=且1c a b --=，则c 的取值范围是______.15.若函数31()3xxf x e ex ax -=-+-无极值点，则实数a 的取值范围是______. 16.如图，已知正四面体EFGH 和正四棱锥P ABCD -的所有棱长都相等，现将正四面体EFGH 的侧面EGH 与正四棱锥P ABCD -的侧面P AB 重合（P ，E 重合；A ，H 重合；B ，G 重合）后拼接成一个新的几何体，对于新几何体，下列说法正确的有______ ①PF CD ⊥ ②PF 与BC 异面 ③新几何体为三棱柱④新几何体的6个顶点不可能在同一个球面上三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（本小题12分）某市作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小时.2022年6月，该市22个市级部门联合启动了2022年市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践、社区治理与邻里守望、环境保护等13大领域.已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍选行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成6组：[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中m 的值；（2）从评分不低于80分的队伍中随机选取3支队伍，该3支队伍中评分不低于90分的队伍数为X ，求随机变量X 的分布列和期望. 18.（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，222CD AB AD ===，4PD =，AD CD ⊥，E 为棱PD 上一点.（1）求证：无论点E 在棱PD 的任何位置，都有CD AE ⊥成立； （2）若E 为PD 中点，求二面角A EC P --的余弦值. 19.（本小题12分）已知函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -，数列{}()0n n b b >的首项为c ，且前n 项和nS 满足11(2)n n n n S S S S n ---=≥.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ，求使10102023n T >的最小正整数n . 20.（本小题12分）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>，F 为左焦点，A 为上顶点，()2,0B 72AF AB=，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F . （1）求1C 的标准方程；（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得12OPQ OMN S S =△△？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由（OPQ S △为OPQ △面积）. 21.（本小题12分） 已知函数2()ln ()2a f x x x x x a =+-∈R ，且()f x 在()0,+∞内有两个极值点1x ，2x （12x x <）. （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：1220a x x +<+.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 22.（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为126126x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）已知点()2,0M ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求PM QM -. 23.（选修4-5：不等式选讲）（10分） 已知函数()11f x x x =-++. （1）求不等式()3f x <的解集；（2）若二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.2023年宝鸡市高考模拟检测（二）数学（理科）答案一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DDBACBCCBABC二、填空题：13.()2cos2g x x = 14.331⎡⎤⎣⎦15.{}2a a ≤ 16.①③④解答题答案17.解：（Ⅰ）由(0.00420.0220.0300.028)101m ⨯++++⨯=，解得0.012m =. （Ⅱ）由题意知不低于80分的队伍有()500.120.048⨯+=支， 不低于90分的队伍有500.042⨯=支. 随机变量X 的可能取值为0，1，2.∵36385(0)14C P X C ===，21623815(1)28C C P X C ===，1262383(2)28C C P X C ===， ∴X 的分布列为X 012P514 1528 32851533()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=. 18.（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PD CD ⊥， 因为AD CD ⊥，AD PD D =，AD ，PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥平面P AD ， 因为E 为棱PD 上一点， 所以AE ⊂平面P AD ， 所以CD AE ⊥.（2）解：因为PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，所以DA ，DC ，DP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，因为222CD AB AD ===，4PD =，所以()1,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,2E ，()0,0,4P ， 所以()1,0,2EA =-，()0,2,2EC =-， 设平面AEC 的一个法向量为(),,n x y z =，则00EA n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2x z y z =⎧⎨=⎩，令1z =得()2,1,1n =，因为PD AD ⊥，AD CD ⊥，PD CD D =，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD .所以平面PCE 的一个法向量为()1,0,0m DA ==， 所以26cos ,36n m n m n m⋅===， 因为二面角A EC P --为钝二面角， 所以二面角A EC P --的余弦值为：6. 19.解：（Ⅰ）∵1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，等比数列{}n a 的前n 项和为1()3nf n c c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴11(1)3a f c c =-=-，[][]22(2)(1)9a f c f c =---=-， [][]32(3)(2)27a f c f c =---=-， 数列{}n a 是等比数列，应有3212a a q a a ==，解得1c =，13q =. ∴首项112(1)33a f c c =-=-=-， ∴等比数列{}n a 的通项公式为12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∵1111(2)n n n n n n n n S S S S S S S S n -----==≥，又0n b >0n S >11n n S S -=； ∴数列{}nS 构成一个首项为1，公差为1的等差数列，1(1)1n S n n =+-⨯=，∴2n S n =，当1n =时，111b S ==，当2n ≥时，221(1)21n n n b S S n n n -=-=--=-，又1n =时也适合上式， ∴{}n b 的通项公式21n b n =-. （Ⅱ）111111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴1111111112335572121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 由10102023n T >，得1010212023n n >+，得336.6n >，故满足10102023n T >的最小正整数为337. 20.解：（172AF AB =，即2272a a b =+ 由右顶点为()2,0B ，得2a =，解得23b =，所以1C 的标准方程为22143x y +=. （2）依题意可知2C 的方程为24y x =-，假设存在符合题意的直线， 设直线方程为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，联立方程组221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690k y ky +--=，由韦达定理得122634k y y k +=+，122934y y k -=+， 则212121k y y +-= 联立方程组214x ky y x=-⎧⎨=-⎩，得2440y ky +-=， 由韦达定理得344y y k +=-，344y y =-， 所以23441y y k -=+，若12OPQ OMN S S =△△， 则123412y y y y -=-221211k k +=+63k =±，所以存在符合题意的直线方程为610x y ++=或610x y +=. 21.解：（1）()ln f x x ax '=+，因为()f x 在()0,+∞内有两个极值点， 所以()f x '在()0,+∞内有两个零点，即方程ln 0x ax +=有两个正实根， 即ln xa x=-有两个正实根， 令ln ()x g x x =-，2ln 1()x g x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递减， 当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在(),e +∞上单调递增， 又()1g e e=-，画出函数()g x 的图象如图所示，由方程ln x a x =-有两个根，得10a e-<<. （2）证明：()f x 在()0,+∞内有两个极值点1x ，2x ，由（1）可知，1122ln 0ln 0x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，则1221ln ln x x a x x -=-， 要证1220a x x +<+，只需122112ln ln 20x x x x x x -+<-+， 进一步化为122112ln ln 2x x x x x x -<--+， 从而得()1212122ln ln x x x x x x --<+，所以12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，设12x t x =，可知t 的取值范围是()0,1，则只需证2(1)ln 1t t t -<+， 令2(1)()ln 1t h t t t -=-+，则22(1)()0(1)t h t t t -'=>+， 所以()h t 在()0,1上单调递增，从而()()10h t h <=， 因此1220a x x +<+.22.解：（1）因为126126x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），所以222222124363124363x t t y t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，所以曲线C 的普通方程为2243y x -=， 因为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 3sin 2ρθρθ=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以直线l 的直角坐标方程为320x -=.（2）由（1）可得直线l 的参数方程3212x y s ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数）， 所以22134223s ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得23123320s s ++=， 设1PM s =-，2QM s =-， 则1243s s +=-，12323s s =， 所以()21212128163448333PM Q s s M s s =+--=-==. 23.解：（1）由题设知：113x x ++-<；①当1x >时，得()112f x x x x =++-=，23x <，解得312x <<； ②当11x -≤≤时，得()112f x x x =++-=，23<，恒成立；③当1x <-时，得()112f x x x x =---+=-，23x -<，解得312x -<<-； 所以不等式的解集为：33,22⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）由二次函数222(1)1y x x m x m =--+=-+++，该函数在1x =-取得最大值1m +，因为2(1)()2(11)2(1)x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，所以在1x =-处取得最小值2，所以要使二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点， 只需12m +≥，即1m ≥.。

高三数学第二次模拟考试试卷 理含解析 试题

高三数学第二次模拟考试试卷 理含解析 试题

2021年宁夏平罗中学高考数学二模试卷〔理科〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、选择题1.全集，集合2，，那么A. B. 5， C. 3， D. 3，5，【答案】B【解析】【分析】可求出集合U，然后进展补集的运算即可．【详解】2，3，4，5，，2，；5，．应选：B．【点睛】此题考察集合的运算，描绘法、列举法的定义，二次不等式解集，准确计算是关键，注意2.复数 (i为虚数单位)的一共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i 【答案】B【解析】分析：化简复数z，由一共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=∴z的一共轭复数为1﹣i.应选：B．点睛：此题考察复数的代数形式的运算，涉及一共轭复数，属根底题．3.平面向量，均为单位向量，假设向量，的夹角为，那么A. 25B. 7C. 5D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，据此确定的模即可.【详解】因为，且向量，的夹角为，所以，所以．此题选择D选项.【点睛】此题主要考察向量的运算法那么，向量的模的计算公式等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.4.正项等差数列的前项和为()，，那么的值是( ).A. 11B. 12C. 20D. 22 【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，结合，代入，即可。

【详解】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得，所以结合，可得，应选D。

【点睛】本道题考察了等差数列的性质，关键抓住，即可，难度中等。

5.将一长为4，宽为2的矩形沿、的中点、连线折成如下图的几何体，假设折叠后，那么该几何体的正视图面积为〔〕A. 4B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】先确定折叠后形状，再确定正视图形状，最后根据矩形面积公式求结果.【详解】由题意知，折叠后为正三角形，该几何体的正视图是一长为4，宽为的矩形，所以矩形的面积为，应选B．【点睛】由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的局部用实线表示，不能看到的局部用虚线表示．6.假设函数的最小正周期为，假设将其图象向左平移个单位，得到函数的图象，那么函数的解析式为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的最小正周期求出的值，再根据函数图象平移写出函数的解析式．【详解】函数的最小正周期为，，将函数图象向左平移个单位，得函数的图象，那么函数．应选：D．【点睛】此题考察了三角函数的图象与性质的应用问题，考察三角平移变换，熟记公式，及变换原那么是关键，是根底题．7.执行如下图的程序框图，输出的结果为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量的值，由于．应选：C．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．8.函数的局部图象大致是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数值的变化趋势，取特殊值即可判断．【详解】当时，，故排除C，当时，，故排除D，当时，，故排除B，应选：A．【点睛】此题考察了函数图象的识别，考察了函数值的特点，属于根底题．9.“勾股定理〞在西方被称为“毕达哥拉斯定理〞，国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图〞，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如下图的“勾股圆方图〞中，四个一样的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形假设直角三角形中较小的锐角，如今向该大止方形区域内随机地投掷一枚飞镖，那么飞镖落在阴影局部的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由解三角形得：直角三角形中较小的直角边长为1，由，得此直角三角形另外两直角边长为，进而得小正方形的边长和大正方形的边长，由几何概型中的面积型得解．【详解】设直角三角形中较小的直角边长为1，那么由直角三角形中较小的锐角，得此直角三角形另外直角边长为，斜边长，那么小正方形的边长为，大正方形的边长为，设“飞镖落在阴影局部〞为事件A，由几何概型中的面积型可得：，应选：A．【点睛】此题考察几何概型中的面积型，解三角形、正方形面积公式属中档题．10.，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，那么双曲线E的离心率为A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进展求解即可．【详解】与x轴垂直，，设，那么，由双曲线的定义得，即，得，在直角三角形中，，即，即，即，那么，那么，应选：A．【点睛】此题主要考察双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理，结合双曲线离心率的定义是解决此题的关键．11.假设二项式的展开式中第项为常数项，那么，应满足〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据二项展开式得，以及，解得，关系.【详解】由题意，的通项为，当即时，所得项为常数项，其中，所以，应满足，应选A.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可根据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.12.函数，要使函数恒成立，那么正实数应满足〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求导数，根据导函数零点分类讨论函数单调性，根据单调性确定最小值取法，最后根据最小值大于零得结果.【详解】由题意，得〔〕，令，由，得.当时，，此时函数在上单调递增，且时，，，，故，不合题意，舍去；当时，，此时函数在上单调递减，在上单调递增，所以，要使函数恒成立，只需，即.应选C.【点睛】不等式有解问题，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔.二、填空题13.某中学为调查在校学生的视力情况，拟采用分层抽样的方法，从该校三个年级中抽取一个容量为30的样本进展调查，该校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：5：6，那么应从高三年级学生中抽取______名学生．【答案】12【解析】【分析】由分层抽样方法，按比例抽样确定高三年级所占比例即可求解．【详解】由分层抽样可得：应从高三年级学生中抽取名学生，故答案为：12【点睛】此题考察了分层抽样方法，确定抽样比例是关键，属简单题．满足条件，那么的最大值为【答案】1【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【详解】先根据约束条件画出可行域，当直线过点时，z最大是1，故答案为：1．【点睛】此题主要考察了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于根底题．15.函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，，那么__．【答案】【解析】【分析】先由题意，是定义域为的偶函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性推出的周期，可得，然后带入求得结果.【详解】因为为奇函数，所以又因为是定义域为的偶函数，所以即所以的周期因为所以故答案为【点睛】此题主要考察了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题.16.四面体中，底面，，，那么四面体的外接球的外表积为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，证明出CD平面ABC，从而证明出CD AC，然后取AD的中点O，可得OC=OA=OB=OD，求出O为外接球的球心，然后求得外表积即可.【详解】由题意，可得BC CD，又因为底面，所以AB CD，即CD平面ABC，所以CD AC取AD的中点O，那么OC=OA=OB=OD故点O为四面体外接球的球心，因为所以球半径故外接球的外表积故答案为【点睛】此题主要考察了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.三、解答题17.在中，内角的对边分别为，，．求边；求的值．【答案】〔1〕6；〔2〕.【解析】【分析】运用诱导公式和正弦定理可得，求得，再由余弦定理计算可得,由余弦定理计算，再由同角的平方关系可得，运用两角差的正弦公式，计算即可得到所求值．【详解】，，，即为，可得，，，解得；，，可得．【点睛】此题考察正弦定理和余弦定理的运用，考察两角和差的正弦公式，以及同角的平方关系，考察运算才能，属于中档题．18.网约车的兴起丰富了民众出行的选择，为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题，据某著名网约车公司“滴滴打车〞官网显示，截止目前，该公司已经累计解决退伍HY人转业为兼职或者专职司机三百多万人次，梁某即为此类网约车司机，据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、，它们出现的概率依次是、、、、t、．〔1〕求这一天中梁某一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；〔2〕网约车计费细那么如下：起步价为5元，行驶路程不超过时，租车费为5元，假设行驶路程超过，那么按每超出〔缺乏也按计程〕收费3元计费．根据以上条件，计算梁某一天中出车一次收入的均值和方差．【答案】〔1〕分布列见解析，；〔2〕设梁某一天出车一次的收入为Y元，。

山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）含答案解析
12．已知函数f（x）=cos（2x+φ）的图象关于点（ π，0）对称，若将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位得到一个偶函数的图象，则实数m的最小值为________．
13．给定两个单位向量 ， ，它们的夹角为60°．点C在以O为圆弧 上运动，若 =x +y ，其中x，y∈R，则xy的最大值为________．
对于C，根据平面与平面平行的判定定理，可知不正确；
对于D，根据平面与平面垂直的判定定理，可知正确．
故选：D．
7．看函数f（x）在定义域内满足条件：①f（x）+f（﹣x）=0；②f（x）﹣f（x+t）＜0（其中t＞0），则函数f（x）的解析式可以是（ ）
A．y=x+ B．y=tanx C．y= D．y=x3
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】根据已知条件即可判断出f（x）满足定义域为R，为奇函数，增函数，判断每个选项中的函数是否满足f（x）的上面几个条件即可找出正确选项．
【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）=0；
∴ห้องสมุดไป่ตู้（x）为奇函数；
f（x）﹣f（x+t）＜0，即f（x+t）＞f（x），t＞0；
∴f（x）在R上为增函数；
山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．
1．已知i是虚数单位，若复数z满足 =i，则|z|（ ）
A．2 B． C． D．
2．设全集U=R，若集合A={x|y=log2（4﹣x2）}，集合B={y|y=2x﹣1，x∈R}，则集合∁U（A∩B）=（ ）
14．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，（0，3）且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，且 • = ，则实数k的值为________．

内蒙古包头市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

内蒙古包头市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

内蒙古包头市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={﹣3，﹣1，1，3，5}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3}B．{﹣3，﹣1，1}C．{﹣3，5} D．{3，5}2．若复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数（b∈R），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．43．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=，则=（）A．2 B．C．3 D．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（）个．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．46．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．30cm37．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.02，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知函数f（x）=x3﹣3ax+，若x轴为曲线y=f（x）的切线，则a的值为（）A．B．﹣C．﹣D．9．实数x，y满足，若3x﹣2y≤m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[9，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣，+∞）D．[﹣，9]10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞e x，则使得f（x）＞xe x+2e x成立的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是______．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为f（x）=______．15．一条斜率为1的直线与曲线：y=e x和曲线：y2=4x分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于______．16．已知椭圆E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（2，﹣1），则E的离心率e=______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n≠0，a n a n+1=pS n+2，其中p为常数．（1）证明：a n+2﹣a n=p；（2）是否存在p，使得|a n|为等差数列？并说明理由．18．如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：（1）求证：BO⊥DO；（2）求平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．19．如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分）学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 1415数学成绩114 106 115 77 86 90 95 86 97 79 100 78 77 113 60物理成绩72 49 51 29574962 226329422137 46 21学号16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30数学成绩89 74 82 95 64 87 56 65 43 64 64 85 66 5651物理成绩65 4533 28 29 28 39 34 45 35 35 34 20 29 39 将数学成绩分为两个层次：数学Ⅰ（大于等于80分）与数学Ⅱ（低于80分），物理也分为两个层次：物理Ⅰ（大于等于59分）与物理Ⅱ（低于59分）．（1）根据这次考试的成绩完成下面2×2列联表，并运用性检验的知识进行探究，可否有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”？物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4数学Ⅱ15合计30（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记ξ为数学与物理成绩都达到Ⅰ层次的人数，求ξ的分布列与数学期望．可能用到的公式和参考数据：K2=性检验临界值表（部分）P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为H，与C的交点为Q，且|QF|=|HQ|．（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，分别过A，B且与C相切的直线l1，l2相交于点R，求S△RAB的最小值．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B是圆O上两点，延长AB至点C，满足AB=2BC=2，过C作直线CD与圆O相切于点D，∠ADB的平分线交AB于点E．（1）证明：CD=CE；（2）求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设a≥b＞0，证明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2；（2）已知|a|＜1，|b|＜1，证明|1﹣ab|＞|a﹣b|．内蒙古包头市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={﹣3，﹣1，1，3，5}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3}B．{﹣3，﹣1，1}C．{﹣3，5} D．{3，5}【考点】交集及其运算．【分析】通过不等式的解法求出集合A，然后求解交集即可．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0，得到（x﹣4）（x+2）＞0，解得x＞4或x＜﹣2，∴A=（﹣∞，2）∪（4，+∞），又B={﹣3，﹣1，1，3，5}，∴A∩B={﹣3，5}．故选C．2．若复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数（b∈R），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复数求模．【分析】用纯虚数的定义：实部为0，虚部不为0，求出a；利用复数模的公式求出复数的模．【解答】解：z=（3+bi）（1+i）﹣2=1﹣b+（3+b）i，∵复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数，∴1﹣b=0，即b=1，∴z=4i，∴|z|=4，故选：D．3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=，则=（）A．2 B．C．3 D．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理将sin2B=2sinAsinC，转换成b2=2ac，根据余弦定理化简得：，同除以c2，设c2=t，解得t的值，根据条件判断的值．【解答】解：三角形ABC中，sin2B=2sinAsinC，由正弦定理：，得：b2=2ac，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，即：，等号两端同除以c2，得：，令=t，∴2t2﹣5t+2=0，解得：t=2，t=，a＞c，∴t=2，则=2，故答案选：A．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（）个．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】根据折线图分别判断①②③④的正误即可．【解答】解：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分是130分，故而平均成绩小于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中的最高分大于130分，最低分小于90分，差超过40分，故④正确；故选：C．6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．30cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图可知该几何体就是以俯视图为底面的四棱柱，四棱柱的体积为V=底面积×高，即可求得V．【解答】解：三视图可知令该几何体就是以俯视图为底面的四棱柱，则四棱柱的体积为V=底面积×高=（3×3+×1×3×2）×2=24（cm3）故答案选：C7．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.02，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的s，m，n的值，可知当s=时，不满足条件s＞0.02，退出循环，输出n的值为6．【解答】解：模拟执行程序，可得t=0.02，s=1，n=0，m=，执行循环体，s=，m=，n=1满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=2满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=3满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=4满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=5满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=6不满足条件s＞0.02，退出循环，输出n的值为6．故选：A．8．已知函数f（x）=x3﹣3ax+，若x轴为曲线y=f（x）的切线，则a的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，0），代入函数的解析式，求出函数的导数，可得切线的斜率，解方程即可得到m，a的值．【解答】解：设切点为（m，0），则m3﹣3am+=0，①f（x）=x3﹣3ax+的导数为f′（x）=3x2﹣3a，由题意可得3m2﹣3a=0，②由①②解得m=，a=．故选：D．9．实数x，y满足，若3x﹣2y≤m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[9，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣，+∞）D．[﹣，9]【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而利用线性规划求3x﹣2y的最大值，从而求恒成立问题．【解答】解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，当过点A（3，0）时，3x﹣2y有最大值9，故m≥9，故选：A．10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得a、b间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得a、b间的另一个等式，联立即可解得a、b的值，从而确定双曲线方程【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2∴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，①∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∴C到渐近线的距离等于半径，即=2 ②由①②解得：a2=5，b2=4∴该双曲线的方程为故选A11．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴V=πR3=36π．故选：C．12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞e x，则使得f（x）＞xe x+2e x成立的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据f′（x）﹣f（x）＞e x，构造g（x）=e﹣x f（x）﹣x，求导，求出函数的单调增函数，只需将求g（x）的最小值大于2，即可求得x的取值范围．【解答】解：构造辅助函数g（x）=e﹣x f（x）﹣x，g′（x）=﹣e﹣x f（x）+f′（x）e﹣x﹣1=e﹣x[f′（x）﹣f（x）]﹣1，由f′（x）﹣f（x）＞e x，g′（x）＞0恒成立．∴g（x）在定义域上是单调递增函数，要使f（x）＞xe x+2e x，即：e﹣x f（x）﹣x＞2，只需将g（x）的最小值大于2，∵g（0）=2，g（x）在定义域上是单调递增函数；故x＞0，即x的取值范围是（0，+∞）．故答案选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是18．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开即可得出．【解答】解：∵（1+x）3（1+y）4=（1+3x+3x2+x3）（1+4y+6y2+4y3+y4），∴3×6=18，故答案为：18．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为f（x）=2sin（2x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象可得周期T=π，利用周期公式可求ω，利用将点（，A）代入y=Asin （2x+φ）及φ的范围可求φ的值，将（0，），y=Asin（2x+）即可求得A的值，即可确定函数解析式．【解答】解：根据图象可得，=，T==π，则ω=2，将点（，A）坐标代入y=Asin（2x+φ），sin（+φ）=1，|φ|＜，∴φ=，将点（0，）代入得=Asin，∴A=2，∴f（x）=2sin（2x+），故答案为：2sin（2x+）．15．一条斜率为1的直线与曲线：y=e x和曲线：y2=4x分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用导数求出切点的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：∵y=e x，∴y′=e x=1，∴x=0，y=1，即切点坐标为（0，1），∵y=2，∴y′==1，∴x=1，y=2，即切点坐标为（1，2），∴两点间的距离等于．故答案为：．16．已知椭圆E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（2，﹣1），则E的离心率e=．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆E的标准方程为： +=1（a＞b＞0）．A（x1，y1），B（x2，y2），利用斜率公式可得：k l=1，利用中点坐标公式可得：x1+x2=4，y1+y2=﹣2，由于=1，+=1，相减可得a，b的关系式，再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：设椭圆E的标准方程为： +=1（a＞b＞0）．A（x1，y1），B（x2，y2），k l===1，x1+x2=4，y1+y2=﹣2，∵=1， +=1，相减可得： +=0，∴﹣=0，解得=．∴椭圆的离心率e===．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n≠0，a n a n+1=pS n+2，其中p为常数．（1）证明：a n+2﹣a n=p；（2）是否存在p，使得|a n|为等差数列？并说明理由．【考点】等差数列的性质；数列递推式．【分析】（1）a n a n+1=pS n+2，a n+1a n+2=pS n+1+2，相减可得：a n+1（a n+2﹣a n）=pa n+1，利用a n+1≠0，可得a n+2﹣a n=p．（2）由a n a n+1=pS n+2，令n=1时，a1a2=pa1+2，a1=2，可得：a2=p+1，同理可知：a3=p+2，令2a2=a1+a3，解得p=2．因此a n+2﹣a n=2，数列{a2n﹣1}，数列{a2n}都是公差为2的等差数列，即可得出．【解答】（1）证明：∵a n a n+1=pS n+2，a n+1a n+2=pS n+1+2，∴a n+1（a n+2﹣a n）=pa n+1，∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=p．（2）解：由a n a n+1=pS n+2，令n=1时，a1a2=pa1+2，a1=2，可得：a2=p+1，同理可知：a3=p+2，令2a2=a1+a3，解得p=2．∴a n+2﹣a n=2，∴数列{a2n﹣1}是首项为2，公差为2的等差数列，且a2n﹣1=2+2（n﹣1）=2n．数列{a2n}是首项为3，公差为2的等差数列，且a2n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴a n=n+1．∴a n+1﹣a n=1．因此存在p=2，使得数列|a n|为等差数列．18．如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：（1）求证：BO⊥DO；（2）求平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）先求出OD=，OB=，连结BD，求出BD=，由勾股定理逆定理得OD ⊥OB．（2）以F这原点，在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴，FC为y轴，FE作z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知OD==，OB==，连结BD，在Rt△BCD中，BD===，∴OD2+OB2=BD2=6，由勾股定理逆定理得OD⊥OB．解：（2）以F这原点，在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴，FC为y轴，FE作z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，1），B（），D（0，，2），F（0，0，0），∴=（，﹣1），=（0，，1），=（0，0，1），设平面OBD的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣，得=（，﹣，2），平面FBC的法向量=（0，0，1），cos＜＞===，∴平面DOB与平面BFC所成角的余弦值为．19．如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分）学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1413 15 数学成绩114 106 115 77 86 90 95 86 97 79 100 78 77 113 60物理成绩72 49 51 29574962 226329422137 46 21学号16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30数学成绩89 74 82 95 64 87 56 65 43 64 64 85 66 5651物理成绩65 4533 28 29 28 39 34 45 35 35 34 20 29 39 将数学成绩分为两个层次：数学Ⅰ（大于等于80分）与数学Ⅱ（低于80分），物理也分为两个层次：物理Ⅰ（大于等于59分）与物理Ⅱ（低于59分）．（1）根据这次考试的成绩完成下面2×2列联表，并运用性检验的知识进行探究，可否有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”？物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4数学Ⅱ15合计30（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记ξ为数学与物理成绩都达到Ⅰ层次的人数，求ξ的分布列与数学期望．可能用到的公式和参考数据：K2=性检验临界值表（部分）P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【考点】性检验的应用．【分析】（1）根据考试成绩填写列联表，利用公式计算K2，根据所给参数即可得出结论；（2）由题意知ξ满足超几何分布，计算对应的概率，写出ξ的分布列与数学期望值．【解答】解：（1）根据这次考试的成绩填写2×2列联表，如下；物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4 11 15数学Ⅱ0 15 15合计 4 26 30假设数学成绩与物理成绩无关，由公式得K2===≈4.61＞3.841，根据所给参数可知数学成绩与物理成绩无关的概率小于5%，即有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”；（2）由题意知ξ满足超几何分布，从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩共有=435种可能，抽取的两人均达到Ⅰ层次的概率是==，抽取的两人仅有1人同时达到Ⅰ层次的概率是=，抽取的两人同时到达层次Ⅰ的概率是1﹣﹣==，所以ξ的分布列为：ξ0 1 2P（ξ）ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为H，与C的交点为Q，且|QF|=|HQ|．（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，分别过A，B且与C相切的直线l1，l2相交于点R，求S△RAB的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得H，Q的坐标，运用抛物线的定义和解方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率和方程，求得交点R的坐标，再求R 到直线l的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，即可得到所求最小值．【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，），准线方程为y=﹣由题意可得H（4，0），Q（4，），则|HQ|=，|QF|=+，由|QF|=|HQ|，可得+=•，解得p=2，则抛物线的方程为x2=4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+，代入抛物线x2=4y，消去y，可得x2﹣4kx﹣8=0，则x1+x2=4k，x1x2=﹣8，由y=x2的导数为y′=x，即有l1：y﹣y1=x1（x﹣x1），由x12=4y1，可得l1：y=x1x﹣x12，同理可得l2：y=x2x﹣x22，解得交点R（，x1x2），即为R（2k，﹣），即有R到l的距离为d==2，又|AB|=•=•=4（1+k2），则S△RAB=|AB|•d=•4（1+k2）•2=8（1+k2），当k=0时，S△RAB取得最小值8．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，构造函数u（x）=xe x﹣2m，求出M，N的表达式，构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，根据函数的单调性证出结论．【解答】解：（1）由题意x＞0，f′（x）=，m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，m＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（2）证明：g′（x）=，m≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，无最小值，由（1）得f（x）无最大值，故m＞0，令u（x）=xe x﹣2m，u′（x）=e x+xe x＞0，u（0）=﹣2m＜0，u（2m）=2m（e2m﹣1）＞0，故唯一存在x0∈（0，2m），使得u（x0）=0，即m=，列表如下：x （0，x0）x0（x0，+∞）u（x）﹣0 +g′（x）﹣0 +g（x）递减最小值递增由（1）得：M=f（）=mlnm﹣m，且N=g（x0）=﹣2mlnx0，由题设M≥N，即mlnm﹣m≥﹣2mlnx0，将m=代入上式有：ln﹣≥﹣2（）lnx0，化简得：x0lnx0+﹣（ln2+1）﹣1≥0，（*），构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，h′（x）=（lnx+1）+x﹣（ln2+1），而h′（x）递增，h′（1）=（4﹣ln2）＞0，当x＞0，h′（）=﹣5ln2＜0，则唯一存在t∈（0，1），使得h′（t）=0，则当x∈（0，t），h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（t，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，又h（1）=﹣ln2﹣1＜0，故h（x）≥0只会在（t，+∞）有解，而h（2）=3ln2+2﹣（ln2+1）﹣1=2ln2＞0，故（*）的解是x0＞1，则m=＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B是圆O上两点，延长AB至点C，满足AB=2BC=2，过C作直线CD与圆O相切于点D，∠ADB的平分线交AB于点E．（1）证明：CD=CE；（2）求的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用弦切角定理，角平分线的性质，即可证明：CD=CE；（2）证明△CDB∽△CAD，即可求的值．【解答】（1）证明：∵CD是圆O的切线，∴∠CDB=∠DAB，∵∠ADB的平分线交AB于点E，∴∠EDA=∠EDB，∵∠CED=∠DAE+∠EDA，∠EDC=∠EDB+∠BDC，∴∠CED=∠EDC，∴CD=CE；（2）解：∵CD是圆O的切线，∴CD2=CB•CA=3，∴CD=，∵∠CDB=∠DAC，∴△CDB∽△CAD，∴==．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程（t为参数），利用cos2t+sin2t=1消去参数t化为普通方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1．联立可得交点坐标，再化为极坐标即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程（t为参数），消去参数t化为普通方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，展开为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣1=0．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣1=0．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1．联立，j解得，或，化为极坐标，．∴C1与C2交点的极坐标分别为：，．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设a≥b＞0，证明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2；（2）已知|a|＜1，|b|＜1，证明|1﹣ab|＞|a﹣b|．【考点】绝对值三角不等式；不等式的证明．【分析】（1）直接利用作差法，再进行因式分解，分析证明即可．（2）直接利用作差法，结合平方、开方，然后分析证明即可．【解答】证明：（1）3a3+2b3﹣（3a2b+2ab2）=3a3﹣3a2b+2b3﹣2ab2=3a2（a﹣b）+2b2（b﹣a）=（3a2﹣2b2）（a﹣b）．因为a≥b＞0，所以a﹣b≥0，3a2﹣2b2≥0，从而（3a2﹣2b2）（a﹣b）≥0，即3a3+2b3≥3a2b+2ab2．（2）∵|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2=1+a2b2﹣a2﹣b2=（a2﹣1）（b2﹣1）．∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2﹣1＜0，b2﹣1＜0．∴|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2＞0，故有|1﹣ab|＞|a﹣b|．9月22日21 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高三第二次模拟考试数学试题(理)解析版

高三第二次模拟考试数学试题(理)解析版

试卷类型：A高三第二轮复习质量检测数学试题（理科） .5第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数的共轭复数对应的点在复平面内位于 A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 2.已知集合，则A. B. C. D.3.设是非零向量，已知命题若则；命题若则，则下列命题中真命题是A. B. C. D.的值为A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为A. B. C. D.6.在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为A. B. C. D.7.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是 A.B. 平面C.与平面所成的角等于与平面所成的角D.与所成的角等于与所成的角21iz i-=+{}{}2|y 2,|x 2x 0A x x B x ==-=-<AB =∅A B R =B A ⊆A B ⊆,,m n t :p //,//,m t n t //m n :q 0,0,m t n t ==0m n =p q ∨p q ∧()()p q ⌝∧⌝p q ⌝∨2sin 473sin17cos17-3-1-31i 45655213nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭32-0321S ABCD -SD ⊥ABCD AC SB ⊥//AB SCD SA SBD SC SBD AB SC DC SA8.已知满足条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为A.B. C.D. 10.将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若对于满足的有的最小值为，则的值为 A.B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题25分.11. 四边形为长方形，为的中点，在长方形内随机取一点P ，取得的P 点到O 的距离大于1的概率为 .12已知直线被圆截得的弦长为的最大值为 .13.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 .14.已知函数，若存在，当时，，则的最大值是 .,x y 110,22,22x y x y x y ⎧-+≥⎪⎪+≤⎨⎪-≤⎪⎩z mx y =+m 112-12-1-2-2-12-22221(0,0)x y a b a b-=>>:210l y x =+l 221520x y -=221205x y -=2233125100x y -=2233110025x y -=()sin 2f x x =02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭()g x ()()122f x g x -=12,x x 12x x -3πϕ12π6π4π3πABCD 2,1,AB BC O ==AB ABCD ()600,0ax by a b +-=>>22240x y x y +--=5ab ()()224,04log 4,412x x x f x x x ⎧-+≤<⎪=⎨+≤≤⎪⎩12,x x R ∈120412x x ≤<≤≤()()12f x f x =()12x f x15.给出下列命题：①已知服从正态分布，且，则;②函数是偶函数，且在上单调递增，则③已知直线，则的充要条件是，其中正确命题的序号是 （把你认为正确的序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知分别为 （1）求的大小；（2）若，求的值.17.(本小题满分12分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成六组，并作出频率分布直方图（如图）. 将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据直方图中的数据填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01 课外体育不达标课外体育达标合计 男 60 女 110 合计（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取12人，再从这12名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标”的人数为，求得分布列和数学期望. 附参考公式与数据：3.84110.828ξ()20,N δ()220.4P ξ-≤≤=()20.3P ξ>=()1f x -()0,+∞2182112log 88f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦12:310,:10l ax y l x by +-=++=12l l ⊥3ab=-,,a b c ABC 33sin .a C C b+=B ∠7,7a c b +==AB BC [)[)[)[)[)[)0,10,10,20,20,30,30,40,40,50,50,6022⨯ξξ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.100.050.0100.0050.0010k 2.706 6.6357.87918.(本小题满分12分)已知正项等差数列的首项为，前项和为，若成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记证明.19.(本小题满分12分)如图，三棱柱个，分别为的中点，是边长为的正三角形， （1）证明：平面 （2）证明：平面 （3）求二面角的余弦值.20.(本小题满分12分) 已知函数 （1）求的单调区间； （2）令，试问过点存在多少条直线与曲线相切？并说明理由.21.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的上、下焦点，过点作直线与椭圆交于不同的两点，若的周长为 （1）求椭圆的标准方程；（2）是轴上一点，以为邻边作平行四边形，若点的坐标为，求平行四边形对角线的长度的取值范围. {}n a 12a =n n S 1263,22,8a a a +++{}n a 1n 124123211111111,Q ,n n nP a a a a S S S S -=+++=++++n Q n P ≥111ABC A B C -,D M 11,CC A B 111,A D CC AA B ⊥212, 1.A D BC ==//MD ;ABC BC ⊥11;ABB A 1B AC A --()21ln 2f x x m x x =++()f x ()()212g x f x x =-()1,3P ()y g x =2222:1(0)x y C a b a b+=>>2212,F F 2F l C ,A B 1ABF 4 2.C P y ,PA PB PAQB P ()2210,2,12F AF B-≤≤PAQB PQ。

2023届陕西省咸阳市高考模拟检测(二模)理科数学试题及答案

2023届陕西省咸阳市高考模拟检测(二模)理科数学试题及答案

注意事项z 威阳市2023年高考模拟检测〈二）数学〈理科〉试题l.本试题共4页，满分150分，时间120分钟2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．3.回答选择题时，逃出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第I卷〈选择题共60分〉一、选择题z本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I.己知复数z满足iz+l =i，那么lz l=人l B ..Ji C.Ji2已失u综合M=lx l v=.J x-U, N={x l主主＜0�，那么M N=l 1· J I I x'+ l IA.{xll运x�2}B.{xix注1} c. {xll白＜2}D.2D.{xll<x<2}3.某商场要将单价分别为36元／kg,48元／kg,72元／kg的3种糖果按3:2: l的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等．那么该商场对混合糖果比较合理的定价应为A.52元／kgB.50元／kg c.48元／kg D.46元／kg4.已知I'll,n是两条不同的直线，α，p是两个不同的平面，有以下四个命题：①若ml/n, nl>α，则，n／／α＠若m..lα，m..lβ，则αIIβ其中正确的命题是A.②③B.②④5. 函数J(x）＝丘：的大致图像为lx lxA. B.x②若ml>α，m..lβ，则αiβ④若αiβ，ml>α，nl>β，则m..lnc.①③ D.①②1’c. D.π6.已失11函数f(x)=4sin（缸’－ψ），当x＝一时，f(x）取得最小值，则｜叫的最小值是3 x1πSπ丁πB. -C .- D.-63667.数列｛α，，）的前，1项和为S ，，，对一切正整数n ，点（n ，乱）在函数f(x)=x 2+2x 的图像上，b =2( n εN ＊且应1），则数列队｝的前，1项和为已＝F,＋在二A.在Ml －石；；＝－IB.在Z三－1c.在二－石�A.JrD.d古3-./38.已知直角三角形ABC ，ζC=90°,AC=4, BC =3，现将该三角形沿斜边AB 旋转一周，则旋转形成的儿何体的体积为48万24万A 12πB 16πc －一－D.－一一539.巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先白皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂II合德·账；J11π24立在1735年解诀．欧位通过推导得出：l+-+-+＋一＋＝一．某同学为了验证15，役的结论，设计4 9n26J II 了如阁的第法，计算1+-+-+＋一一一的值来估算，则判断框槟入的是4 9 20232 A.n>2023B.n 注2023c.n运2023D.n<202310.2022年卡珞尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球，从叩开始传球，甲等可能地把球传给乙，两，丁中的任何－个人，以此类推，贝I］经过三次传球后己只接到－次球的概率为A .-27l－QJnpc 立27D.162711.己叫线C：兰卡（α＞0,b>O).c 叫线的半焦距则当取得最大酬，双曲线2α＋3bc的离心$为、/13A.－一一2.J3D.___:____223e=2.718 ...，对任意xe(-1，叫，不等式扩注ae[2+ln （创刊）］恒成立，Y！瞧B亟c主12.己知实数a>O,数。

山西省太原市2022届高三二模数学(理)试题

山西省太原市2022届高三二模数学(理)试题

一、单选题二、多选题1. 某圆锥的正视图是腰长为2的等腰三角形，且母线与底面所成的角为，则其侧面积为A．B．C．D．2. 下列关于实数a ､b 的不等式中，不恒成立的是（ ）A．B．C．D．3.已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．4. 2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（ ）A．B．C．D．5. 某公司计划招收600名新员工，共报名了2000人，远超计划，故该公司采用笔试的方法进行选拔，并按照笔试成绩择优录取．现采用随机抽样的方法抽取200名报名者的笔试成绩，绘制频率分布直方图如下：则录取分数线可估计为（ ）A ．70B ．73C ．75D ．776. 某特种冰箱的食物保鲜时间y （单位：小时）与设置储存温度x（单位：）近似满足函数关系（k ，b 为常数），若设置储存温度的保鲜时间是288小时，设置储存温度的保鲜时间是144小时，则设置储存温度的保鲜时间近似是（ ）A ．36小时B ．48小时C ．60小时D ．72小时7. 定义：当时，等价于，如等价于．若角，且，，则的值为（ ）A．B．C．D．8. 已知，则等于（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．29.已知三个平面向量两两的夹角相等，且，则（ ）A ．2B ．4C．D．10. 已知曲线为焦点在x 轴上的椭圆，则（ ）山西省太原市2022届高三二模数学（理）试题山西省太原市2022届高三二模数学（理）试题三、填空题四、解答题A．B ．的离心率为C ．m 的值越小，C 的焦距越大D ．的短轴长的取值范围是11. 已知函数的图象过点（3，27），下列说法正确的是（ ）A．函数的图象过原点B ．函数是奇函数C．函数是单调减函数D ．函数的值域为12. 已知数列的首项为1，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）A ．数列是等比数列B ．数列为单调递增数列C．D．13. 在复平面内，复数和对应的点间的距离为________．14. 已知实数､､成等差数列，则点到直线的最大距离是___________.15. 有五只笔编号1-5，现将其放入编号1-5的笔筒中，且恰有两只笔没有放入与其编号相同的笔筒中，这样的情况有__________种.16. 已知，函数．(1)讨论的单调性；(2)设表示不超过x 的最大整数，证明：，．17. 父母买回5个玩具，兄妹两人决定用做游戏的方法确定玩具的归属，方法如下：第一步，先做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时比划出上述三种手势中的任意一种，若两人手势不同，则石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若两人手势相同，则判定妹妹胜；第二步，游戏获胜方用塑料圈去套玩具，若套中，则拿走相应玩具，游戏获胜方在本轮游戏中只有一次套玩具的机会，无论是否套中，继续第一步操作，开始下一轮游戏，直至5个玩具分完为止已知哥哥一次套中玩具的概率为，妹妹一次套中玩具的概率为，一次套圈最多套中一个玩具，且各次套圈互不影响．(1)求三轮游戏后，妹妹拿走两个玩具的概率；(2)设在前四轮游戏中，哥哥拿走玩具的个数为，求的分布列与数学期望．18.如图，在梯形中，，，，（Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）若，求数量积的值19. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面为的中点，且．(1)证明：平面平面；(2)若，求四棱锥的表面积．20. 共享单车入住泉州一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段，使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放份调查问卷，回收到有效问卷份，现从中随机抽取份，分别对使用者的年龄段、~岁使用者的使用频率、~岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：(1)依据上述表格完成下列三个统计图形：(2)某城区现有常住人口万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在岁~岁之间，每月使用共享单车在~次的人数.21. 求函数的最小值，并写出使函数取最小值的的集合.。

青海省西宁市2023届高三二模理科数学试题

青海省西宁市2023届高三二模理科数学试题

青海省西宁市2023届高三二模理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、解答题17．针对我国老龄化问题日益突出，人社部将推出延迟退休方案.某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示.11．C【分析】令()0f x=两个解为零点，将零点问题数的交点问题，作图即可求出零点，且1=，即可求出所有零点之和()0f x=π【详解】（1）取AB 的中点为K ，连接MK ，NK ，由三棱柱111ABC A B C -得：四边形11ABB A 为平行四边形，因为M 是11B A 中点，则1//MK BB ，又MK Ë平面11BCC B ，1BB Ì平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ，同理得//NK 平面11BCC B ，又NK ∩MK ＝K ，NK Ì平面MKN ，MK Ì平面MKN ，故平面//MKN 平面11BCC B ，MN Ì平面MKN ，故//MN 平面11BCC B ；（2）因为侧面11BCC B 为正方形，故1CB BB ^，而CB Ì平面11BCC B ，平面11CBB C ^平面11ABB A ，又平面11CBB C Ç平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ，AB Ì平面11ABB A ，所以CB ⊥AB ，又//NK BC ，所以NK ⊥AB ，若选①：AB ⊥MN ，已证NK ⊥AB ，又NK ∩MN ＝N ，NK Ì平面MNK ，MN Ì平面MNK ，故AB ⊥平面MNK ，MK Ì平面MNK ，故AB ⊥MK ，又1//MK BB ，所以1AB BB ^，所以BC ，BA ，1BB 两两垂直．故可建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，。

2019-2020年高考数学二模试卷(理科) 含解析

2019-2020年高考数学二模试卷(理科) 含解析

2019-2020年高考数学二模试卷（理科）含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若￢p∨q是假命题，则（）A．p∧q是假命题B．p∨q是假命题C．p是假命题D．￢q是假命题2．下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3D．y=log2x3．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，过点B的切线与DC的延长线交于点E．若∠BCD=110°，则∠DBE=（）A．75°B．70°C．60°D．55°4．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则|2﹣|等于（）A．4 B．5 C．D．5．已知M，N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值是（）A．B．C．D．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2S n=a n+1，则S n=（）A．2n﹣1B．2n﹣1 C．3n﹣1D．7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．98．定义运算，称为将点（x，y）映到点（x′，y′）的一次变换．若=把直线y=kx上的各点映到这点本身，而把直线y=mx上的各点映到这点关于原点对称的点．则k，m，p，q的值依次是（）A．k=1，m=﹣2，p=3，q=3 B．k=1，m=3，p=3，q=﹣2C．k=﹣2，m=3，p=3，q=1 D．k=﹣2，m=1，p=3，q=3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点的坐标为．10．直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.，则tanB=．12．若展开式中的二项式系数和为64，则n等于，该展开式中的常数项为．13．抛物线C：y2=2px的焦点坐标为，则抛物线C的方程为，若点P在抛物线C上运动，点Q在直线x+y+5=0上运动，则|PQ|的最小值等于．14．在数列{a n}中，如果对任意的n∈N*，都有﹣=λ（λ为常数），则称数列{a n}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题：①若数列{F n}满足F1=1，F2=1，F n=F n﹣1+F n﹣2（n≥3），则该数列不是比等差数列；②若数列{a n}满足，则数列{a n}是比等差数列，且比公差λ=0；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，则数列{a n b n}是比等差数列．其中所有真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）设，求函数g（x）的单调递增区间．16．如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF．（Ⅰ）求证：AC⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，证明你的结论．17．小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为．（Ⅰ）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数X的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．18．已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x=﹣5时，f（x）取得极值．①若m≥﹣5，求函数f（x）在上的最小值；②求证：对任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2．19．已知椭圆C：的离心率为，且过点．直线交椭圆C于B，D（不与点A重合）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．20．设m＞3，对于项数为m的有穷数列{a n}，令b k为a1，a2，a3…a k（k≤m）中的最大值，称数列{b n}为{a n}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数1、2…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c n}．（Ⅰ）若m=5，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{c n}；（Ⅱ）是否存在数列{c n}的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）是否存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{c n}的个数；若不存在，请说明理由．xx北京市房山区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若￢p∨q是假命题，则（）A．p∧q是假命题B．p∨q是假命题C．p是假命题D．￢q是假命题考点：复合命题的真假．专题：常规题型．分析：由题意，可得￢p，q的真假性，进而得到正确选项．解答：由于￢p∨q是假命题，则￢p是假命题，q是假命题，所以p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q是真命题，￢q是真命题，故选A．点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．2．下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3D．y=log2x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．解答：解：y=x﹣1非奇非偶函数，故排除A；y=tanx为奇函数，但在定义域内不单调，故排除B；y=log2x单调递增，但为非奇非偶函数，故排除D；令f（x）=x3，定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，又f（x）在定义域R上递增，故选C．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法，应熟练掌握．3．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，过点B的切线与DC的延长线交于点E．若∠BCD=110°，则∠DBE=（）A．75°B．70°C．60°D．55°考点：与圆有关的比例线段．分析：利用四点共圆的性质可得∠A，再利用弦切角定理即可得出∠DBE=∠A．解答：解：∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD=110°，∴∠A=70°．∵BE与⊙O相切于点B，∴∠DBE=∠A=70°．故选B．点评：熟练掌握四点共圆的性质、弦切角定理是解题的关键．4．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则|2﹣|等于（）A．4 B．5 C．D．考点：平行向量与共线向量；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出y，从而计算出的坐标，利用向量模的计算公式即可得出．解答：解：∵∥，∴﹣2×2﹣y=0，解得y=﹣4．∴=2（1，2）﹣（﹣2，﹣4）=（4，8），∴|2﹣|==．故选D．点评：熟练掌握向量共线定理、向量模的计算公式是解题的关键．5．已知M，N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划；两点间的距离公式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD．因为四边形ABCD的对角线BD是区域中最长的线段，所以当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，|MN|取得最大值，由此结合两点间的距离公式可得本题答案．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD，其中A（1，1），B（5，1），C（，），D（1，2）∵M、N是区域内的两个不同的点∴运动点M、N，可得当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，距离最远因此|MN|的最大值是|BD|==故选：B点评：题给出二元一次不等式组表示的平面区域内动点M、N，求|MN|的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和平面内两点间的距离公式等知识，属于基础题．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2S n=a n+1，则S n=（）A．2n﹣1B．2n﹣1 C．3n﹣1D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用当n≥2时，2S n=a n+1，2S n﹣1=a n，两式相减得3a n=a n+1，再利用等比数列的前n项和公式即可得出，n=1时单独考虑．解答：解：当n=1时，∵a1=1，2S1=a2，∴a2=2．当n≥2时，由2S n=a n+1，2S n﹣1=a n，两式相减得2a n=a n+1﹣a n，∴a n+1=3a n，∴数列{a n}是以a2=2，3为公比的等比数列，∴=3n﹣1，当n=1时，上式也成立．故选C．点评：熟练掌握a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）及等比数列的前n项和公式是解题的关键．7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．9考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．解答：解：三视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长：3，，3．其中斜侧面的高为：3．几何体的表面积是：=．故选A．点评：本题考查三视图与几何体的关系，判断几何体的形状是解题的关键．8．定义运算，称为将点（x，y）映到点（x′，y′）的一次变换．若=把直线y=kx上的各点映到这点本身，而把直线y=mx上的各点映到这点关于原点对称的点．则k，m，p，q的值依次是（）A．k=1，m=﹣2，p=3，q=3 B．k=1，m=3，p=3，q=﹣2C．k=﹣2，m=3，p=3，q=1 D．k=﹣2，m=1，p=3，q=3考点：几种特殊的矩阵变换．专题：新定义．分析：设（1，k）是曲线y=kx上的点，在矩阵的作用下的点为（1，k），再设（1，m）是曲线y=mx上的点，在矩阵的作用下的点为（﹣1，﹣m），得出关于k，m，p，q的方程组，从而解决问题．解答：解：设（1，k）是曲线y=kx上的点，在矩阵的作用下的点为（1，k），即①设（1，m）是曲线y=mx上的点，在矩阵的作用下的点为（﹣1，﹣m），∴②．由①②得k=1，m=3，p=3，q=﹣2故选B．点评：本小题主要考查几种特殊的矩阵变换、曲线与方程等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用待定系数法求解，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点的坐标为（1，2）．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则化为1+2i，再利用复数的几何意义可得到复数i（2﹣i）对应的点的坐标．解答：解：∵复数i（2﹣i）=1+2i．∴复数i（2﹣i）对应的点的坐标为（1，2）．故答案为（1，2）．点评：熟练掌握复数的运算法则、复数的几何意义是解题的关键．10．直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题．分析：先将利用消参法将直线的参数方程化成直线的普通方程，再将直线写出斜截式，求出斜率即可．解答：解：∵直线l的参数方程为（t为参数）∴消去参数t得y﹣1=（x﹣1）则直线l的斜率为，故答案为：．点评：本题主要考查了直线的参数方程，以及直线的斜率等基础知识，属于基础题．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.，则tanB=．考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理，算出sinB==，由b＜a得B是锐角，利用同角三角函数的平方关系算出cosB=，再用商数关系算出tanB=，即可得到本题答案．解答：解：∵∴由正弦定理，得sinB==∵b＜a可得B是锐角，∴cosB==，因此，tanB===故答案为：点评：本题给出三角形ABC的两边和其中一边的对角，求另一个角的正切之值，着重考查了利用正弦定理解三角形和同角三角函数基本关系等知识，属于基础题．12．若展开式中的二项式系数和为64，则n等于6，该展开式中的常数项为15．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：由题意可得得2n=64，求得n=6．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．解答：解：由展开式中的二项式系数和为64，可得2n=64，∴n=6．由于=，展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣2r•x﹣r=•x12﹣3r，令12﹣3r=0，r=4，故该展开式中的常数项为==15，故答案为6，15．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．13．抛物线C：y2=2px的焦点坐标为，则抛物线C的方程为y2=2x，若点P在抛物线C上运动，点Q在直线x+y+5=0上运动，则|PQ|的最小值等于．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由y2=2px的焦点坐标为，得，从而求得p值，设与直线x+y+5=0平行的抛物线的切线方程为x+y+m=0，直线x+y+5=0与切线距离即为|PQ|的最小值，联立切线方程与抛物线方程消掉x得y的二次方程，令△=0可求得m值，从而得切线方程，根据两点间距离公式即可求得答案．解答：解：因为y2=2px的焦点坐标为，所以p＞0，且，解得p=1，所以抛物线方程为y2=2x，设与直线x+y+5=0平行的抛物线的切线方程为x+y+m=0，由得y2+2y+2m=0，令△=0，即22﹣4×2m=0，解得m=，则切线方程为x+y+=0，两平行线间的距离d==，即为|PQ|的最小值．故答案分别为：y2=2x，．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、抛物线的性质，考查转化思想，解决本题的关键把|PQ|的最小值转化为直线与抛物线切线间的距离求解．14．在数列{a n}中，如果对任意的n∈N*，都有﹣=λ（λ为常数），则称数列{a n}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题：①若数列{F n}满足F1=1，F2=1，F n=F n﹣1+F n﹣2（n≥3），则该数列不是比等差数列；②若数列{a n}满足，则数列{a n}是比等差数列，且比公差λ=0；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，则数列{a n b n}是比等差数列．其中所有真命题的序号是①②．考点：命题的真假判断与应用；等比关系的确定．专题：阅读型；新定义．分析：①斐波那契数列{F n}，根据斐波那契数列的性质进行化简变形，看其是否满足比等差数列的定义；②若a n=3•2n﹣1，代入﹣进行求解看是否是常数，可得答案；③根据等比数列的定义可知=，满足比等差数列的定义，若等差数列为a n=n，看其是否满足﹣=λ（λ为常数）；④如果{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，设a n=n，b n=2n，看其是否满足比等差数列的定义．解答：解：①由题意知，数列{F n}为斐波那契数列{F n}，﹣=≠常数，不满足比等差数列的定义，故①正确；②若a n=3•2n﹣1，则﹣==0，满足比等差数列的定义，故②正确；③等比数列都有﹣=0，满足比等差数列的定义，若等差数列为a n=1，则有﹣=0，故③不正确；④如果{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，设a n=n，b n=2n，则﹣=﹣==﹣≠常数，不满足比等差数列的定义，故④不正确；故答案为：①②点评：本题考查新定义，解题时应正确理解新定义，同时注意利用列举法判断命题为假，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）设，求函数g（x）的单调递增区间．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用函数的周期公式求出ω，通过函数图象经过的点直接求解φ的值；（Ⅱ）化简的表达式，通过正弦函数的单调增区间，直接求函数g（x）的单调递增区间．解答：解：（Ⅰ）因为函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，所以T=，ω=2，图象过点．所以，0＜φ＜π，所以φ=．（Ⅱ）因为=sin（2x+）sin（2x﹣）=cos2xsin2x=sin4x，由2kπ，k∈Z得，所以函数的单调增区间为点评：本题考查三角函数的化简，函数的周期的求法，二倍角的正弦函数，函数的单调性的应用，考查计算能力．16．如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF．（Ⅰ）求证：AC⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，证明你的结论．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间角；空间向量及应用．分析：（I）在正方形ABCD中，可得AC⊥BD．根据DE⊥平面ABCD，得DE⊥AC，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE，从而可得AC⊥BE；（II）分别以DADCDE为x轴、y轴、z轴，建立如图所求空间直角坐标系．设AD=3，则可得DE=3，AF=1，可得D、A、B、C、E和F各点的坐标，进而得到向量、的坐标，再利用垂直向量数量积为零建立方程组，解出平面BEF的一个法向量为=（2，1，3），而=（﹣3，3，0）是平面BDE的一个法向量，根据空间向量的夹角公式算出、所成的角余弦值，即可得到二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（III）设M（t，t，0）（）．可得关于t的坐标形式，根据AM∥平面BEF，得⊥=0，由数量积为零建立关于t的方程，解之得t=1，从而得到当BM=BD时，AM∥平面BEF．解答：解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又∵BD、DE是平面BDE内的相交直线，∴AC⊥平面BDE，结合BE⊂平面BDE，得AC⊥BE；…（4分）（II）因为直线BD、BC、BE两两垂直，所以分别以DADCDE为x轴、y轴、z轴，建立如图所求空间直角坐标系设AD=3，则可得DE=3，AF=1因此，D（0，0，0），A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，3），F（3，0，1）∴=（0，﹣3，1），=（3，0，﹣2）…（5分）设平面BEF的法向量为=（x，y，z），得，令z=3，得x=2且y=1，可得=（2，1，3），…（7分）∵AC⊥平面BDE，得=（﹣3，3，0）是平面BDE的一个法向量∴二面角F﹣BE﹣D的大小即为向量、所成角的大小（或其补角）∵cos===﹣∴结合图形加以观察，可得二面角F﹣BE﹣D的余弦值为|cos|=；…（10分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，根据（II）的结论，设M（t，t，0）（）．则=（t﹣3，t，0）．∵AM∥平面BEF，∴•=0，即2（t﹣3）+t=0，解之得t=2．…（12分）此时，点M坐标为（2，2，0），即当BM=BD时，AM∥平面BEF．…（14分）点评：本题给出四棱锥的一条侧棱与底面垂直且底面是正方形，求证线面垂直并求二面角的余弦值大小，着重考查了线面垂直、平行的判定与性质和利用空间向量研究平面与平面所成角的求法等知识，属于中档题．17．小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为．（Ⅰ）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数X的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）走路线1最多遇到1次红灯为事件A，分为两种情况，一种是3次都没有遇到红灯，一种是只有一次遇到红灯，可知A～B，计算出即可；（Ⅱ）由题意可得，X可能取值为0，1，2．利用独立事件的概率计算公式和互斥事件的概率计算公式即可得出概率，再利用数学期望计算公式即可；（Ⅲ）设选择路线1遇到红灯次数为ξ，则ξ～B（3，），利用公式计算出Eξ与EX比较即可．解答：解：（Ⅰ）设走路线1最多遇到1次红灯为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）由题意可得，X可能取值为0，1，2．∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=．∴随机变量X的分布列为遇到红灯次数X的数学期望EX==．（Ⅲ）设选择路线1遇到红灯次数为ξ，则ξ～B（3，），∴Eξ=．∵Eξ＜EX，∴选择路线1上学最好．点评：熟练掌握独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、数学期望计算公式、分类讨论思想方法、二项分布概率计算公式是解题的关键．18．已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x=﹣5时，f（x）取得极值．①若m≥﹣5，求函数f（x）在上的最小值；②求证：对任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数f′（x），当a=1时，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（Ⅱ）①当x=﹣5时f（x）取得极值可得f′（﹣5）=0，由此求得a值，从而利用导数可求得f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间内、外讨论f（x）的单调性，由单调性即可求得f（x）的最小值；②对任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x），利用导数易求得函数在内的最大值、最小值；解答：解：（Ⅰ）f′（x）=+（2x+1）=，当a=1时，f′（x）=x（x+3）e x，解f′（x）＞0得x＞0或x＜﹣3，解f′（x）＜0得﹣3＜x＜0，所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣3）和（0，+∞），单调减区间为（﹣3，0）．（Ⅱ）①当x=﹣5时，f（x）取得极值，所以f′（﹣5）=，解得a=2（经检验a=2符合题意），f′（x）=，当x＜﹣5或x＞0时f′（x）＞0，当﹣5＜x＜0时f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，﹣5）和（0，+∞）上递增，在（﹣5，0）上递减，当﹣5≤m≤﹣1时，f（x）在上单调递减，f min（x）=f（m+1）=m（m+3），当﹣1＜m＜0时，m＜0＜m+1，f（x）在上单调递减，在上单调递增，f min（x）=f（0）=﹣2，当m≥0时，f（x）在上单调递增，f min（x）=f（m）=（m+2）（m﹣1），综上，f（x）在上的最小值为；②令f′（x）=0得x=0或x=﹣5（舍），因为f（﹣2）=0，f（0）=﹣2，f（1）=0，所以f max（x）=0，f min（x）=﹣2，所以对任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x）=2．点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度较大．19．已知椭圆C：的离心率为，且过点．直线交椭圆C于B，D（不与点A重合）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用椭圆的标准方程、离心率及a2=b2+c2即可得出；（2）把直线BD的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|BD|，利用点到直线的距离公式即可得到点A到直线BD的距离，利用三角形的面积公式得到△ABD 的面积，再利用基本不等式的性质即可得出其最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意可得，解得，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）设B（x1，y1），D（x2，y2）．由消去y得到，∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴△=8﹣2m2＞0，解得﹣2＜m＜2．∴，．∴==．点A到直线BD的距离d==．∴===．当且仅当m=∈（﹣2，2）时取等号．∴当时，△ABD的面积取得最大值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题的解题模式、根与系数的关系、判别式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、基本不等式的性质是解题的关键．20．设m＞3，对于项数为m的有穷数列{a n}，令b k为a1，a2，a3…a k（k≤m）中的最大值，称数列{b n}为{a n}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数1、2…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c n}．（Ⅰ）若m=5，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{c n}；（Ⅱ）是否存在数列{c n}的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）是否存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{c n}的个数；若不存在，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：新定义；等差数列与等比数列．分析：（I）由题意可得，创新数列为3，4，4，4的所有数列{c n}有两，即3，4，1，2和3，4，2，1．（II）设数列{c n}的创新数列为{e n}，因为e m为前m个自然数中最大的一个，所以e m=m，经检验，只有公比q=1时，数列{c n}才有唯一的一个创新数列．（III）设存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列，当d=0时，{e m}为常数列，满足条件；数列{c n}是首项为m的任意一个排列，共有个数列．当d=1时，符合条件的数列{e m}只能是1，2，3…m，此时数列{c n}是1，2，3…m，有1个．d≥2时，{e m} 不存在．由此得出结论．解答：解：（I）根据“创新数列”的定义，可得创新数列为3，5，5，5，5的数列{c n}有：3，5，1，2，4．3，5，1，4，2．3，5，2，1，4．3，5，2，4，1．3，5，4，1，2．3，5，4，2，1．…（4分）（II）存在数列{c n}的创新数列为等比数列．…（5分）设数列{c n}的创新数列为{e n}，因为e m为前m个自然数中最大的一个，所以e m=m．…（6分）若{e m}为等比数列，设公比为q，因为e k+1≥e k（k=1，2，3…m﹣1），所以q≥1．…（7分）当q=1时，{e m}为常数列满足条件，即为数列为常数数列，每一项都等于m．…（9分）当q＞1时，{e m}为增数列，符合条件的数列只能是1，2，3…m，又1，2，3…m不满足等比数列，综上符合条件的创新数列只有一个．…（10分）（3）设存在数列{c n}，使它的创新数列为等差数列，…（11分）设数列{c n}的创新数列为{e m}，因为e m为前m个自然数中最大的一个，所以e m=m．若{e m}为等差数列，设公差为d，因为e k+1≥e k（k=1，2，3…m﹣1），所以d≥0．且d∈N*．…（12分）当d=0时，{e m}为常数列，满足条件，即为数列e m=m，此时数列{c n}是首项为m的任意一个排列，共有个数列；…（14分）当d=1时，符合条件的数列{e m}只能是1，2，3…m，此时数列{c n}是1，2，3…m，有1个；…（15分）当d≥2时，∵e m=e1+（m﹣1）d≥e1+2（m﹣1）=e1+m+m﹣2 又m＞3，∴m﹣2＞0．∴e m＞m 这与e m=m矛盾，所以此时{e m} 不存在．…（17分）综上满足条件的数列{c n}的个数为（m﹣1）!+1个．…（18分）点评：本题主要考查等差关系的确定，等比关系的确定，创新数列的定义，属于中档题．。

2024年高考数学(理科)第二次模拟考试卷及答案解析(全国卷)

2024年高考数学(理科)第二次模拟考试卷及答案解析(全国卷)

2024年高考数学（理科）第二次模拟考试卷及答案解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}5log 1A xy x ==-∣，集合{}Z03B y y =∈≤≤∣，则()R A B ⋂=ð（）A ．()0,1B ．[]0,1C ．∅D ．{}0,1【答案】D【分析】先表示出集合,A B ，再由交集和补集的运算得出结果即可.【详解】集合(){}{}5log 11A xy x x x ==-=>∣∣，集合{}{}Z030,1,2,3B y y =∈≤≤=∣，集合{}R |1A x x =≤ð，所以()R A B ⋂=ð{}0,1.故选：D2．设i 为虚数单位，且()1i 2z +=，则z =（）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i+【答案】D【分析】根据复数的除法运算求z ，进而可得共轭复数.【详解】由题意可得：()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，所以z =1i +.故选：D.3．若向量,a b 满足||4,||3a b == ，且(23)(2)61a b a b -⋅+= ，则a 在b上的投影向量为（）A ．12b- B ．13b - C ．23bD ．23b - 【答案】D【分析】由向量数量积的运算律可得6a b ⋅=- ，再由投影向量的定义求a 在b上的投影向量.【详解】由22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，则6a b ⋅=-，由a 在b 上的投影向量612333||||a b b b b b b ⋅-⋅=⨯=-.故选：D4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为12,12n S a a +=且123,6,a a a +成等差数列，则105S S 为（）A ．244B ．243C ．242D ．241【答案】A【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前n 项和公式，即可求解.【详解】由题意可知，1212a a +=且()13226a a a +=+，设等比数列的公比为q ，则2111112a a q a q a a q +=++，得3q =，()()10110510555113131313244131313a S S a ---===+=---.故选：A5．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆,,A B C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为（）A ．35B ．2150C ．611D ．34【答案】B【分析】首先得甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，进一步由组合数排列数即可得所求概率.【详解】不考虑甲是否去场馆A ，所有志愿者分配方案总数为2233535322C C C A 150A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，甲去场馆,,A B C 的概率相等，所以甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，甲不去场馆A ，分两种情况讨论，情形一，甲去场馆B ，场馆B 有两名志愿者共有11243224C C A =种；情形二，甲去场馆C ，场馆B 场馆C 均有两人共有1243C C 12=种，场馆B 场馆A 均有两人共有24C 6=种，所以甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为24126422110010050++==.故选：B ．6．已知函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--，则()f x 是（）A ．奇函数，且在(0,e)上是增函数B ．奇函数，且在(0,e)上是减函数C ．偶函数，且在(0,e)上是增函数D ．偶函数，且在(0,e)上是减函数【答案】A【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义及复合函数的单调性法则判断即可.【详解】若函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--有意义，则e 0e 0x x ->⎧⎨+>⎩，解得e e x -<<，即函数()f x 的定义域为(e,e)-，因为()()()()()ln e ln e ln e ln e ()f x x x x x f x ⎡⎤-=--+=-+--=-⎣⎦，所以函数()f x 是奇函数，函数e 2e ()ln(e )ln(e )ln ln 1e e x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫=+--==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，因为函数2e1e u x=-+-在(0,e)上递增，函数ln y u =在定义域上递增，所以函数()f x 在(0,e)上是增函数.故选：A 7．“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可．【详解】若直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，易得:sin 0,cos 0θθ≠≠，故：1sin 121cos 1θθ-=≠，则111ππsin cos ,sin 2,sin 21,22π(),π()22224k k k k θθθθθθ====+∈=+∈Z Z 得不到π4θ=，故不是充分条件；反之，当π4θ=时1sin 121cos 1θθ-=≠成立，故直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，是必要条件；故“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：B ．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．3【答案】C【分析】联立圆与渐近线方程，得到()(),,,P a b Q a b --，进而得到π4OAQ ∠=，利用直线斜率得到方程，求出2b a =，得到离心率.【详解】由题意得，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，(),0A a ，渐近线方程为b y x a=±，联立222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x a =±，不妨令()(),,,P a b Q a b --，故π2OAP ∠=，因为3π4PAQ ∠=，所以3πππ424OAQ ∠=-=，所以0tan 1π4AQ b k a a --===--，解得2b a =，故离心率c e a ==.故选：C9．4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（）.A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B 【分析】将21x x+看成一个整体，得到41421()(1)rr r r T C x x -+=+-，再展开421()r x x -+得到430r m --=，分别取值得到答案.【详解】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421((1)rrr r T C x x-+=+-421()rx x -+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x-----+--=⋅=取430r m --=当0m =时，4r =系数为：40440(1)1C C ⨯⨯-=当1m =时，1r =系数为：11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=-故答案选B【点睛】本题考查了二项式定理，将21x x +看成整体展开，再用一次二项式展开是解题的关键，计算较为复杂.10．若函数()()π3cos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒有()()2πf x f ≤，且()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减，则ω的值为（）A ．16-B ．56C ．116D ．56或116【答案】D【分析】由题意可得当2πx =时，()f x 取得最大值，所以π2π2π3k ω+=，可求出16k ω=-，再由ππ1362T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，求出ω的范围，即可得出答案.【详解】由题意可得当2πx =时，()f x 取得最大值，所以π2π2π3k ω+=，16k ω=-，k ∈Z ．由()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减，得ππ1362T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，所以02ω<≤．所以56ω=或116．经检验，56ω=或116均满足条件．故选：D ．11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则下列说法不正确的是（）A ．当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为3π2B ．异面直线1DD 与1B FC ．点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP D ．过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+【答案】D【分析】对于A ：转化为长方体的外接球分析运算；对于B ：根据异面直线夹角分析运算；对于C ：根据面面平行分析判断；对于D ：根据平行关系求截面，进而可得周长.【详解】对于A ：三棱锥1B BEF -的外接球即为以1BB 、BE 、BF 为邻边的长方体的外接球，因为11BB =，12BE BF ==，可得外接球的半径4R =，所以外接球的表面积23π4π2S R ==，故A 正确；对于B ：因为11//DD BB ，则异面直线1DD 与1B F 所成角为1∠BB F ，且11BB =，12BF =，可得12B F =，所以111cos BB BB F B F ∠==所以，异面直线1DD 与1B FB正确；对于C ：取11A B 、11A D 、11C D 的中点M 、Q 、N ，连接AM 、MN 、QN 、DN ，，由题意可得：1//AE B M ，1AE B M =，则1AEB M 为平行四边形，所以1//B E AM ，因为四边形1111D C B A 为正方形，M 、N 分别为11A B 、11C D 的中点，则11//A M D N ，11A M D N =，所以，四边形11A D NM 为平行四边形，所以，11//MN A D ，11MN A D =，又因为11//AD A D ，11AD A D =，可得//MN AD ，MN AD =，则AMND 为平行四边形，所以//AM DN ，可得1//B E DN ，因为1B E ⊂平面1B EF ，DN ⊄平面1B EF ，则//DN 平面1B EF ，因为11//AA CC ，11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，则11//AC AC ，因为E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则//EF AC ，同理可得11//QN A C ，则11//EF AC ，可得//QN EF ，因为EF ⊂平面1B EF ，QN ⊄平面1B EF ，则//QN 平面1B EF ，因为DN QN N =I ，DN 、QN ⊂平面DNQ ，所以平面//DNQ 平面1B EF ，则点P 在线段QN 上，可得11122QN A C ==，2DQ QN ==，所以当点P 为线段QN 的中点时，DP QN ⊥，DP 4=，故C 正确；对于D ：连接AC 、11A C ，因为E 、F 为AB 、BC 的中点，则//EF AC ，又因为11//AA CC ，11AA CC =，则11AAC C 为平行四边形，可得11//AC A C ，则11//EF AC ，过1D 作11//KL AC ，设11KL AB K = ，11KL BC L = ，则//KL EF ，可得111KA AB =，111LCBC =，连接KE 、LF ，设1KE AA G = ，1LF CC H = ，连接1D G 、1D H ，可得过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形1EFHDG ，因为12KA AE =，12LC CF =则1223GA AG ==，1223HC CH ==，可得113D G D H ==，6GE HF ==，EF所以截面周长为22+D 错误；故选：D.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.12．若点P 既在直线20l x y -+=:上，又在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，C 的左、右焦点分别为12,F F ，122F F =，且12F PF ∠的平分线与l 垂直，则C 的长轴长为（）AB C D 【答案】B【分析】过点1F 、2F 分别作1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，由12F PF ∠的平分线与l 垂直可得12F PN F PM ∠=∠，即可得1F N P 与2F PM 相似，结合点到直线的距离可得相似比，从而可求出1PF 、2PF ，结合椭圆定义即可得长轴长.【详解】过点1F 、2F 分别作1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，作12F PF ∠的平分线PH 与x 轴交于H ，由122F F =，故()11,0F -、()21,0F ，则1F N =，2F M =，由PH l ⊥且PH 为12F PF ∠的平分线，故12F PH F PH ∠=∠，故12F PN F PM ∠=∠，又1F N l ⊥、2F M l ⊥，故1F N P 与2F PM 相似，故1122132F N NP PF F M MP PF ===，由20l x y -+=:，令0y =，则2x =-，故直线l 与x 轴交于点()2,0G -，故NG ==2MG ==，故22MN =-=由112213F N NP PF F MMPPF ===，故144NP MN ==，344MP MN ==，故14PF ==，24PF ==，由椭圆定义可知，122PF PF a +=，故2a =即C故选：B.【点睛】关键点睛：本题关键在于作出1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，再将12F PF ∠的平分线与l 垂直这个条件转化为12F PN F PM ∠=∠，从而得到相似三角形，结合点到直线距离公式及122F F =得到1PF 、2PF 的值.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知()()5cos 2,tan tan 46αβαββ+=+=-，写出符合条件的一个角α的值为.【答案】2π3（答案不唯一）【分析】根据题目条件得到()1cos cos 6αββ+=和()2sin sin 3αββ+=-，从而求出()121cos cos 632ααββ⎡⎤=+-=-=-⎣⎦，进而求出角α的值.【详解】()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβαββαββαββ⎡⎤+=++=+-+⎣⎦，故()()5cos cos sin sin 6αββαββ+-+=，()tan tan 4αββ+=-，即()()sin sin 4cos cos αββαββ+=-+，故()()sin sin 4cos cos αββαββ+=-+，故()55cos cos 6αββ+=，即()1cos cos 6αββ+=，则()()2sin sin 4cos cos 3αββαββ+=-+=-，则()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ⎡⎤=+-=+++⎣⎦121632=-=-，可取2π3α=.故答案为：2π314．在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11AB A B >，侧棱1AA 与底面ABC 若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为．【分析】取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，根据题意求出侧棱长以及2O P ，1O Q ，再根据切线的性质及等腰梯形11BB C C 和梯形1AA QP的几何特点列方程组求出半径即可.【详解】如图，取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，因为12tan A AO ∠=2r ，所以111AA BB CC ===，2113323O P AP ==⨯=，同理16O Q x =．因为内切球与平面11BCC B 相切，切点在PQ 上，所以)212PQ O P O Q x =+=+①，在等腰梯形11BB C C 中，)22222x PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，由①②得()222226212x x r +-⎛⎫-= ⎪⎝⎭．在梯形1AA QP 中，()222236PQ r ⎫=+⎪⎪⎝⎭③，由②③得2x -=，代入得1x =，则棱台的高23h r ==，所以棱台的体积为143V =+=⎝⎭．故答案为：12.15．已知函数()32f x x ax b =++满足对任意的实数m ，n 都有()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++，则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为．【答案】30x y -=【分析】构造函数()()2g x f x =+，将已知等式转化为()()()g mn g m g n =，再利用赋值法求得()0g 与()1g ，进而求得,a b ，再利用利用导数的几何意义即可得解．【详解】因为()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++，所以()()()()()222+=++f mn f m f n ，设()()3222g x f x x b x a +++=+=，则()()()g mn g m g n =，令0m n ==，则()()200g g =，则()00g =，或()01g =，若()01g =，则由()()()00g g m g =，得()1g m =，显然不成立，所以()00g =，即20b +=，则2b =-令1m =，则()()()1g n g g n =，由于()g n 不恒为0，故()11g =，即121a b +++=，则0a =，此时()32f x x =-，经检验，满足要求，则()13f -=-，()23f x x '=，所以()13f '-=，所以曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为()331+=+y x ，即30x y -=．故答案为：30x y -=16．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则22b c bc+的取值范围为.【答案】342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得sin 2cos 2A A +=，再根据同角关系式可得sin A ，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+，结合条件可得tan C 取值范围，进而求得bc 的取值范围，令b t c =，则221b c t bc t +=+，然后由对勾函数的单调性即可求出．【详解】在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，且ABC 的面积1sin 2S bc A =，由()222S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，化简得sin 2cos 2A A +=，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos 1A A +=，联立得25sin 4sin 0A A -=，解得4sin 5A =或sin 0A =（舍去），所以()sin sin sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5A C bB AC A C c C C C C ++====+，因为ABC 为锐角三角形，所以02C π<<，2B A C ππ=--<，所以22A C ππ-<<，所以13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-== ⎪⎝⎭，所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设b t c =，其中35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221b c b c t bc c b t+=+=+，由对勾函数单调性知1y t t =+在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当1t =时，2y =；当35t =时，3415y =；当53t =时，3415y =，所以342,15y ∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭，即22b c bc+的取值范围是342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+，进而可以求解.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且125,,a a a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若114(1)n n n n n b a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】(1)21n a n =-(2)101220242025T =【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-....................................................6分（2）由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.....................................................12分18．（12分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC，22BC AD AB ===90ABC ∠=︒，如图（1）．把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．(1)求证：CD AB ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BN BC的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，14=BN BC 【分析】（1）利用勾股定理证明CD BD ⊥，再根据面面垂直的性质可得CD ⊥平面ABD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；....................................................6分（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =-- ．....................................................7分设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =- ，....................................................9分假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，设BN BC λ=uuu r uu u r ，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 602n AN n AN ⋅︒== ，整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．....................................................12分19．（12分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X ，定义其累积分布函数为()()F x P X x =≤．已知某系统由一个电源和并联的A ，B ，C 三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．(1)已知电源电压X （单位：V ）服从正态分布(40,4)N ，且X 的累积分布函数为()F x ，求(44)(38)F F -；(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T （单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为()0,011,04tt G t t <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.（ⅰ）设120t t >>，证明：1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-；（ⅱ）若第n 天元件A 发生故障，求第1n +天系统正常运行的概率．附：若随机变量Y 服从正态分布2(,)N μσ，则(||)0.6827P Y μσ-<=，(||2)0.9545P Y μσ-<=，(||3)0.9973P Y μσ-<=．【答案】(1)0.8186(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）716．【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合()()F x P X x =≤的定义求解，（2）（ⅰ）根据条件概率的计算公式集合()()F x P X x =≤的定义以及()G t 的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）由题设得(3842)0.6827P X <<=，(3644)0.9545P X <<=，所以(44)(38)(44)((4044)(3840)F F P X P X P X P X -=-=+≤≤≤≤≤≤1(0.68270.9545)0.81862=⨯+=...................................................3分（2）（ⅰ）由题设得：[]12111122222()()()1()1()(|)()()1()1()P T t T t P T t P T t G t P T t T t P T t P T t P T t G t >⋂>>-≤->>===>>-≤-=1121221111444111144t t t t t t -⎛⎫-- ⎪⎝⎭===⎛⎫-- ⎪⎝⎭，21121212()1()1()4t t P T t t P T t t G t t ->--≤-=--==,所以1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-．...................................................8分（ⅱ）由（ⅰ）得1(1|)(1)1(1)1(1)4P T n T n P T P T G >+>=>=-=-=≤，所以第1n +天元件B ，C 正常工作的概率均为14．为使第1n +天系统仍正常工作，元件B ，C 必须至少有一个正常工作，因此所求概率为2171(1)416--=．....................................................12分20．（12分）已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，若ABC 的三个顶点都在抛物线E 上，且满足0FA FB FC ++= ，则称该三角形为“核心三角形”．(1)设“核心三角形ABC ”的一边AB 所在直线的斜率为2，求直线AB 的方程；(2)已知ABC 是“核心三角形”，证明：ABC 三个顶点的横坐标都小于2．【答案】(1)210x y --=(2)证明见解析【分析】（1）设AB 的方程为2y x t =+，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据(1,0)F 及0FA FB FC ++= 得到点C 的坐标为(2,2)t +-，代入抛物线方程，求出1t =-，得到直线方程；（2）设直线BC 的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出点A 的坐标为()2342,4m n m ---，代入抛物线方程，得到2342n m =-，由根的判别式得到2n m >-，所以212m <，所以点A 的横坐标242m <，同理可证另两个顶点横坐标也小于2.【详解】（1）设直线AB 的方程为2y x t =+，与24y x =联立得2220y y t -+=，由480t ∆=->得12t <，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则12122,2+==y y y y t ，所以()12121212x x y y t t +=+-=-，由题意知(1,0)F ，因为()()()1122330,1,,1,,1,FA FB FC FA x y FB x y FC x y ++==-=-=- ，所以()1231233,(0,0)x x x y y y ++-++=，所以12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，故()333122x t t y ⎧=--=+⎨=-⎩即点C 的坐标为(2,2)t +-，代入抛物线E 的方程得：44(2)t =+，解得1t =-，满足条件12t <，所以直线AB 的方程为210x y --=．....................................................6分（2）证明：设直线BC 的方程为x my n =+，与24y x =联立得2440y my n --=，()2Δ160m n =+>，所以22323,4,4n m y y m y y n >-+==-，所以()22323242x x m y y n m n +=++=+．由（1）知12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，所以2113424x m n y m ⎧=--⎨=-⎩，即点A 的坐标为()2342,4m n m ---．又点A 在抛物线24y x =上，所以()22164342m m n =--，所以2342n m =-，又2n m >-，所以212m <，所以点A 的横坐标2234242m n m --=<，同理可证，B ，C 两点的横坐标也小于2．所以ABC 三个顶点的横坐标均小于2．....................................................12分【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21．（12分）已知函数1()ln 1f x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0a >．(1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值集合；(2)证明：()111sin sin sin ln 2122n n n n++++<∈++N ．【答案】(1){}1(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求函数()f x 的最小值，转化恒成立条件列不等式可求a 的取值集合；（2）利用小问（1）构造不等式，赋值结合累加法证明1111ln 21232n n n n>+++++++ ，再结合正弦函数性质和不等式性质即可证明结论.【详解】（1）由题可知函数()f x 的定义域为{}0x x >，221()a x a f x x x x -'=-= ，令()0f x '=，得x a =，由x ，()f x ，()f x '列表如下()()min ln 1f x f a a a ==-+，因为()0f x ≥恒成立，所以ln 10a a -+³，(0,)a ∈+∞．令()ln 1g x x x =-+，则11()1x g x x x -'=-=，由x ，()g x ，()g x '列表如下x ()0,11()1,∞+()g x +0-()g x '递增极大值递减()()max 10g x g ∴==．又()0,1a ∈ ，()ln 1(1)0g a a a g =-+<=，(1,)∈+∞a ，()ln 1(1)0g a a a g =-+<=，1a ∴=，故a 的取值集合为{}1．....................................................5分（2）由（1）可知，当1a =时，()0f x ≥，即1ln 10x x+-≥，11ln 1x x x x -≥-=，ln(1)1x x x ∴+≥+（当0x =时，“=”成立），令1()x n n+=∈N ，111ln 1111n n n n⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+，则11ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭，()1ln 1ln 1n n n +->+，由累加法可知()()()()()()()1ln 1ln 11ln 2ln 121ln 3ln 231ln 2ln 212n n n n n n n n n n n n ⎫+->⎪+⎪⎪+-+>⎪+⎪⎬+-+>⎪+⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-->⎪⎭累加可得1111ln(2)ln 1232n n n n n n ->+++⋅⋅⋅++++，即1111ln 21232n n n n>+++++++ ，令()sin h x x x =-，,()0x ∈+∞，()cos 10h x x '=-≤ 恒成立，()h x ∴在区间(0,)+∞上单调递减，()(0)0h x h <=∴，sin x x ∴<，11111111sin sin sin sin 12321232n n n n n n n n∴++++>++++++++++ ，1111ln 2sinsin sin sin ()1232n n n n n +∴>++++∈+++N ....................................................12分【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知曲线C 的参数方程为2cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()0,1P ．(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1132PA PB +=，求直线l 的倾斜角．【答案】(1)22143x y +=.(2)π4或3π4.【分析】（1）利用参数方程转普通方程即可求解.（2）写出直线l 的参数方程，参数方程代入22143x y +=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，利用韦达定理代入1132PA PB +=中，化简即可求解.【详解】（1）由曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），得cos 2sin xαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22sin cos 1θθ+=，2212x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即22143x y +=（为焦点在x 轴上的椭圆）....................................................4分（2）设直线l 的倾斜角为θ，直线l 过点()0,1P ∴直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入22143x y +=，可得()()22i 14cos 13s n t t θθ+=+，()2222222234123484120cos 12sin sin cos sin sin t t t t t t θθθθθθ⇒++=⇒++++-=()22sin s 8n 30i 8t t θθ∴++-=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，221221883sin sin s 3in t t t t θθθ∴+=-⋅=-++，曲线C 与y轴交于((0,，两点，()0,1P ∴在曲线C 的内部，12,t t ∴一正一负，1212t t t t ∴+=-，而1132PA PB +=，121232t t t t +∴=⋅，121232t t t t -∴=⋅，2211222212294t t t t t t -⋅+∴=⋅，()222121212944t t t t t t ∴+-⋅=⋅，22222sin sin si 88984334si 3n n θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得21sin 2θ=，θ为直线l 的倾斜角，[)0πθ∈，，[]1sin 0,θ∈∴，sin θ∴π4θ∴=或3π4θ=，直线l 的倾斜角为π4或3π4.....................................................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数()223f x x x =--．(1)求不等式()5f x ≥的解集；(2)设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．【答案】(1)][(),24,-∞-⋃+∞(2)证明见解析【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论()g x 的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定m 的值，利用基本不等式即可证明.【详解】（1）不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-，由2235x x --≥，可得2280x x --≥，解得4x ≥或2x ≤-；由2235x x --≤-，可得2220x x -+≤，解得x ∈∅，所以不等式()5f x ≥的解集为][()4,∞∞-⋃+．....................................................4分（2）由题意，知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++，当1x ≤-时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317()24x =--，因()g x 在(,1]-∞-上单调递减，则min ()(1)2g x g =-=；当13x -<<时，()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因()g x 在3(1,2-上单调递增，在3(,3)2上单调递减，故()g x 在(1,3)-无最小值，但是()2g x >；当3x ≥时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211(24x =--，因()g x 在[3,)+∞上单调递增，则min ()(3)6g x g ==.综上，当=1x -时，函数()g x 取得最小值2，即2m =，所以22a b +=，因0,0a b >>，所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=，当且仅当1,12a b ==时等号成立，故2242a b +≥．..................................................10分。

2022年河南省安阳市高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年河南省安阳市高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年河南省安阳市高考数学二模试卷（理科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合，，则( )A. B. C. D.3.已知，则x的值可以是( )A. 0B.C.D.4.某市一次高三模拟考试一共有万名考生参加，他们的总分服从正态分布，若，则总分高于530分的考生人数为( )A. 2400B. 3520C. 8520D. 124805.在边长为2的正六边形ABCDEF中，( )A. B. C. D. 66.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 18B. 24C. 48D. 607.已知x，y满足约束条件，则的最大值为( )A. 1B. 4C. 7D. 118.某班计划在下周一至周三中的某一天去参观党史博物馆，若选择周一、周二、周三的概率分别为，，，根据天气预报，这三天下雨的概率分别为，，，且这三天是否下雨相互独立，则他们参观党史博物馆的当天不下雨的概率为( )A. B.C. D.9.已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是( )A.B.C.D.10.已知双曲线的右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线的右支、渐近线分别交于点A ，B ，且为坐标原点，，则双曲线的离心率( )A.B.C.D. 411.在正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为，若该正四棱锥的外接球的体积为，则的面积为( )A.B.C.D. 12.已知函数为奇函数，且的图象和函数的图象交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点M 在直线上，则的值域为( )A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一组数据1，a ，4，5，8的平均数是4，则这组数据的方差为______.14.过抛物线C ：的焦点F 作斜率为k 的直线l ，l 与C 交于A ，B 两点，若，则______.15.在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且，，则b 的最小值为______.16.函数在上有两个零点，则实数a 的取值范围是______.三、解答题：本题共7小题，共82分。

高中数学 2023年河南省焦作市高考数学二模试卷(理科)

高中数学 2023年河南省焦作市高考数学二模试卷(理科)

2023年河南省焦作市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．[-1，2）B ．[0，2）C ．[1，2）D ．[0，3）1．（5分）已知集合A ={x |x 2+x −6<0}，B ={y |y =x +1}，则A ∩B =（ ）√A ．5B ．7C ．3D ．102．（5分）设（1+i ）z =3+i ,则|z |=（ ）√√√A ．c <a <b B ．b <a <c C ．c <b <a D ．b <c <a3．（5分）设a =log 53，b =e -1，c =log 169⋅log 278，则a ,b ,c 的大小关系为（ ）A ．π2B ．22πC ．2πD ．22π4．（5分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（ ）√√√A ．5B ．6C ．7D ．85．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）6．（5分）已知函数f (x )=cos (2x −π6)，则f （x ）在[-2，0]上（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）已知等比数列{a n }的公比的平方不为1，b n ∈N *，则“{a b n }是等比数列”是“{b n }是等差数列”的（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足xf '（x ）-f （x ）=1，则y =f （x ）的图象可能为（ ）A ．AD =32DFB ．AD =2DFC ．AD =3DF D ．AD =4DF9．（5分）如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，AD 上的点，3AE =2BE ，∠ECF =π4，则（ ）A ．12πB ．6πC ．16πD ．8π10．（5分）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，若三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为33，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）√A ．①③B ．①②C ．①③④D ．①②④11．（5分）存在函数f （x ）满足对任意x ∈R ，都有f （g （x ））=x ,给出下列四个函数：①g （x ）=cosx ,②g （x ）=V Y W Y X −x 2，x ≥0x 2，x <0，③g （x ）=x 3-x ,④g （x ）=e x -e -x ．所以函数g （x ）不可能为（ ）A ．(133，3)∪(3，+∞)B ．(2139，3)∪(3，+∞)12．（5分）设双曲线E ：x2a 2−y2b 2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，M （0，3b ），若直线l 与E 的右支交于A ，B 两点，且F 为△MAB 的重心，则直线l 斜率的取值范围为（ ）√√√√√√二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．C ．(−∞，−6)∪(−6，−2139)D ．(−∞，−6)∪(−6，−2133)√√√√√√13．（5分）已知单位向量a ，b ，c 满足a +b +2c =0，则a •b = ．→→→→→→→→→14．（5分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ,且acos （B -C ）+acosA =23csinBcosA ，b 2+c 2-a 2=2，则△ABC 的面积为 ．√15．（5分）现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有一个班没有分到三好学生名额的概率为 ．16．（5分）在正四棱锥S -ABCD 中，M 为SC 的中点，过AM 作截面将该四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 2V 1的最大值是 ．17．（12分）已知数列{a n }满足a 1+3a 2+⋯+（2n -1）a n =n .（1）求{a n }的通项公式；（2）已知c n =V Y Y W Y Y X 119a n ，n 为奇数a n a n +2，n 为偶数，求数列{c n }的前20项和．18．（12分）某学校食堂中午和晚上都会提供A ，B 两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择A 类套餐的概率为23，选择B 类套餐的概率为13；在中午选择A 类套餐的前提下，晚上还选择A 类套餐的概率为14，选择B 类套餐的概率为34；在中午选择B 类套餐的前提下，晚上选择A 类套餐的概率为12，选择B 类套餐的概率为12．（1）若同学甲晚上选择A 类套餐，求同学甲中午也选择A 类套餐的概率；（2）记某宿舍的4名同学在晚上选择B 类套餐的人数为X ，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求X 的分布列及数学期望．19．（12分）如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =2π3，E 为BC 的中点，F 为AB 上一点，且EF ⊥AB ．现将△BEF 沿EF 翻折到△B 'EF ，如图2．（1）证明：EF ⊥AB '．（2）已知二面角B '-EF -A 为π3，在棱AC 上是否存在点M ，使得直线BC 与平面B 'MF 所成角的正弦值为55若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由．√四、选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．20．（12分）已知F 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，且P (1，32)在椭圆C 上，PF 垂直于x 轴．（1）求椭圆C 的方程．（2）过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B （异于点P ）两点，D 为直线l 上一点．设直线PA ，PD ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，若k 1+k 3=2k 2，证明：点D 的横坐标为定值．21．（12分）已知函数f （x ）=ae x -bx -c （0<a <1，b >0）．（1）若a =b ,求f （x ）的极值；（2）若x 1，x 2是f （x ）的两个零点，且x 1>x 2，证明：e x 1a +e x 21−a>4b a ．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为V Y W Y X x =2cosθ+2y =2sinθ（θ为参数），直线l 过原点，且倾斜角为α．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程；（2）已知曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若|OA |+|OB |=3，求直线l 的直角坐标方程．√√23．（10分）已知函数f （x ）=|x |．（1）求不等式f （x ）<2x -1的解集；（2）已知函数g （x ）=2f （x ）+|2x -1|的最小值为m ,且a 、b 、c 都是正数，a +2b +c =m ,证明：1a +b +1b +c ≥4．。

陕西省渭南市2023届高三二模理科数学试题(含解析)

陕西省渭南市2023届高三二模理科数学试题(含解析)

陕西省渭南市2023届高三二模理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中正确的是（A．15,66⎛⎫⎪⎝⎭B．13⎛⎝二、填空题④方程()0f x x +=无实数根：⑤函数()y f x =的图像是轴对称图形.三、解答题(1)求 BC的长度；(2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A D C --（B D 、在AC 两侧）AD C --的路程最多可比原有健康步道18．在数字通信中，信号是由数字（1）求证：111AC B C ⊥；（2）求二面角111B A C C --的正弦值20．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆参考答案：故选：A.10．D【分析】设出直线l 的方程并与双曲线方程联立，来求得直线l 的斜率.【详解】对于双曲线2:C x -易知11ABC D 为平行四边形，则所以异面直线DP 与1AD 所成的角即为直线点）上运动，可知1BC D 是等边三角形，当点于π3，展开平面11C CBB ，使平面1C BC 于点Q ，此时,,G P Q 三点共线，满足易知11//A B CD ，1CD ⊂平面ACD 同理可得1//C B 平面1ACD ，又A 所以平面11//A C B 平面1ACD ，又所以1A P ∥平面1ACD ，即D 正确故选：B【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，故将两相关函数画在同一坐标系下，利用图像解决问题.13．83【分析】利用定积分求得,a b 的关系式，结合基本不等式求得【详解】()1231333d |101a b x x x +===-=⎰，15．288【分析】根据组合的知识求得正确答案【详解】A菜恰有2人选用的情形共有故答案为：28816．①④⑤【分析】首先通过分类讨论得到函数y对①，观察图象得函数()y f x =是减函数，故对②，根据图象易知第一象限的图象在第三象限无对称部分，故函数故②错误，对③，显然根据图象易知值域不是[-对④，()0f x x +=，即()f x x =-，（2）记AD a,CD b ==，则在22π2cos163a b ab +-=，即从而()216316a b ab +=+≤1（2）解法一：如上图，过点D 作∵侧面11AA C C ⊥底面ABC ，∴侧面11AA C C ⊥平面111A B C ，又B【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，理能力，属于中档题.20．(1)223；。

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高三第二次模拟 数学（理）
一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分） 1．函数)3
2sin()(π
+
=x x f 的最小正周期是__________．
2．若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，则实数=m _________． 3．（理）已知集合{}{}
331,,0,1<<=-=x x B a A ，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围
是 ． 4．已知复数z 满足
1
i
z -＝3，则复数z 的实部与虚部之和为__________． 5．求值：12
20132013
201320132013124(2)C C C -+-
+-=___________．
6．已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过
7．设1,0≠>a a ，行列式3
4210
2
3
1D -=x
a
中第3第2列的代数余子式记作y ，函数()x f y =数图像经过点()1,2，则a = ．
8．（理）如图是一个算法框图，则输出的k 的值
是 _______．
9．（理）已知135sin ,53)cos(-==
-ββα，且)0,2
(),2,0(π
βπα-∈∈，则 ______sin =α．
10．（理）设函数⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=]
1,0[,1)
0,1[,1)(2x x x x x f ，则将)(x f y =的曲线绕x 轴旋转一周所得
几何体的体积为____________．
11．（理）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A ，向上的点数大于2
且小于或等于5的事件为B ，则事件B A 的概率=)(B A P ____________．
12．（理）设定义域为R 的函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-=)
1(1)1(|1|1
)(x x x x f ，若关于x 的方程
理第
8题，
0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则2
3
2221x x x ++=____________．
13.（理）函数1
sin )1()(2
2+++=x x
x x f 的最大值和最小值分别为m M ,，则=+m M ______． 14．（理）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式2
1222ma n
S a n n ≥+对任意等差数列{}n a 及
任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为._______
二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）
15. 已知),(11b a A ，),(22b a B 是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OA OB ⊥的充要
条件是 （ ）
A ．
12211-=⋅a b a b B.02121=+b b a a C.2
121b b a a = D.1221b a b a = 16.（理）关于直线，m 及平面α，β，下列命题中正确的是
（ ）
A ．若,,//m l =⋂βαα则m l //
B ．若,//,βαl l ⊥则βα⊥
C ．若,//,//ααm l 则m l //
D ．若l m l ⊥,//α，则α⊥m
17. 过点(1,1)P 作直线与双曲线2
2
12
y x -=交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，则这样
的直线 （ ） A ．存在一条，且方程为210x y --= B ．存在无数条 C ．存在两条，方程为()210x y ±+= D ．不存在 18. （理）已知0>a 且1≠a ，函数)(log )(2b x x x f a ++
=在区间),(+∞-∞上既是奇
函数又是增函数，则函数b x x g a -=||log )(的图象是 ( )
三．解答题（本大题满分74分，共5小题）
19. （理）（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图：已知⊥AB 平面BCD ，CD BC ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，且2==BC AB ． （1）求AD 与平面ABC 所成角的大小； （2）求点B 到平面ACD 的距离．
20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列． （1）求证：03B π
<≤
；
（2）求1sin 2sin cos B
y B B
+=+的取值范围．
21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）
设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f x
x
且是定义域为R 的奇函数．
（1）求k 的值； （2）（理）若2
3)1(=
f ，且)(2)(22x f m a a x
g x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-，求m 的值．
22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）
如图，已知点)1,0(F ，直线m ：1-=y ，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且
QP QF FP FQ ⋅=⋅．
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）（理）过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作直线m '与轨迹C 交于不同两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为),0(0y D ，求0y 的取值范围；
（3）（理）对于（2）中的点A 、B ，在y 轴上是否存在一点D ，使得△ABD
为等
A
B C
D
边三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）
（理）已知三个互不相等的正数a ，b ，c 成等比数列，公比为q ．在a ，b 之间和b ，
c 之间共插入n 个数，使这3+n 个数构成等差数列．
（1）若1=a ，在b ，c 之间插入一个数，求q 的值；
（2）设c b a <<，4=n ，问在a ，b 之间和b ，c 之间各插入几个数，请说明理由； （3）若插入的n 个数中，有s 个位于a ，b 之间，个位于b ，c 之间，试比较s 与的大小．。

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