超静定梁变形计算的有限差分法
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系 ，建 立 差 分 方 程 为
ｌ ｙ ＋Ｙ＋ ＝ ｈ 面 －２ ｉ ｉ ｌ ２ Ｍｉ
，
１２．－ｎ－１ ，，．， －
（） １
式中， Ｙ（ ＝ ｉ ，，＋１ 是待求的截面位移 ， ｎ是分段 ＪＪ 一１ｉ ｉ ）
数， ｈ是段长， ＥＩ是梁 的抗弯 刚度， 是截面弯矩 ，对 于超静定梁
１ － ａｌ ｊｎ ｕ ｙ ￣ｔｕ ． ｕｃ 、Ｅ ｍ ｉ ｉｄ ｏ ｅ ｊ ｔ ｄ ．ｎ ： ｅ
固定端截 面和支座处的边界条件为式 （） 式 （） 考 ４和 ５． 虑到 两点公式转 角为零 的条件过 于严格，式 （） ４ 中采用 了三
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力 点公式 的零转角条件 ［ ， ２ 即 １
Ｙ ， Ｊ＝ ０ １ … ， ， ＋ １ Ｊ＝ ，， ｍ ｍ
（） ２ 设连续梁如 图 ２所示，试求梁 的支座反力和梁 的变
∑ ∑ ０ ㈣ ＋ ＝ Ｊ ）
ＭｏＦ） （ ＭｏＰ） （ ：。
。
形， 与 精 确 解 比较 ．
（． ＝ ；
式 中∑ ＲＥ ， Ｍ（ 和∑ Ｍ（ 分 是 动 ， Ｐ ∑ ｏ） ｊ Ｆ ｏ） 别 主 Ｐ
选取基本 系的原则： （） １ 选取 的基本系应一般 为静定 的．此处可拓展一下思 维的空间，简单 介绍一下结构 力学 中选取超静定结构作为基 本系的情况．以此来激发学生学习力学 的兴趣．
（）问题式、探 索式教学； （） １ ２ 启发式教学； （） 时 ３适 地展开讨论． （） ４ 运用多媒体教学手段； （） ５ 将力学 系列课
（ ２ ）
定梁 的变 形．本文推 导了超静 定梁的有 限差分方程，研究 了
边 界 条 件 ，编 制 了在 ＶＢ 环 境 下 运 行 的计 算 程 序 ，将 有 限差
式 中第 １项为主动力对 ｉ 截面 的力矩，第 ２项为截面右侧未
分法用 于超静定梁 的变 形计算，扩大 了有 限差分法 的应用范
程教育研究， ２０ （） ８￣８ ０ １２： ５ ７
２徐道远，黄孟 生等．材料 力学，南京：河海 大学 出版社， ２ ０ ０４
超静 定梁变形计算 的有 限差分法
叶金 铎 ）
（ 天津理工大 Ｃ Ｅ研究中 学 Ａ 心，天 ３ ０９ ） 津 ０ １１
摘 要 推 导 了 超静 定 梁变 形计 算 的 有 限 差 分方 程 ，研 究 了 边 界 条 件 ，编 制 了计 算 程 序 ， 计 算 了 超静 定 梁 的变 形 ． 文 中 工 作 扩 大 了有 限 差 分 法 的 应 用 范 围． 关 键 词 超 静 定 梁 ， 变 形 ，有 限差 分 法
建 立 补 充 方 程
图 ４
３ 讨论 、总结 与创 新提 高
比较图 １ ） 图 １ｂ， ｌｄ 三种基本体系，选择图 （， ａ （） 图 （） １ａ， ｌｂ 基本系， （）图 （） 求解简单方便、 选择图 ｌｄ 基本系求 （）
解不方 便，当然若进 入结构力学 的学 习过程 中，其变形求解
程 相 关 内容 融 会 贯 通 ．
（） ２ 要求变形协调条件 易寻找， 补充方程易建立且简单．
即基本系在荷载及未知力作用 下，其变形可 以通过材料力学 教材中给 出的简单荷载作用下 梁的挠度和转角表查 出． 回顾讲授 内容，对变形 比较法解题思路如 图 ４所示．
参
考
文 献
１陈建康，刘成 云等．力学课程贯通式教学的探 索与实践．高等工
围．
∑ Ｍ ） ∑（ 一 （ ＝ ｚ ｚ ）
对于静定 梁式 （）中的第 ２项等于零． ２
（ ３ ）
１ 梁 的有 限差 分方程 和边 界条 件
按照数值计算 Ｓ－ 点公 式 ［ 和小变形 的弯矩 ．曲率关 ｊ ２ １
２ ０ ＿ 一 ４收到第 １稿， ２ ０ － ２ ２ ０ ６旬４ ｌ ０ ７ ０ － ２收到修改稿
身独立，通用性强，易于编程 的优 点，当分段数增加时计算 精 度较 高．用于变截面梁的变形计 算时不增加计算量．
参 考 文 献
ｌ 范 钦 珊 ．材 料 力学 计 算 机 分 析 ．北 京： 高 等 教 育 出版 社 ， １ ８ ９８ ２ 杨 大 地 ，涂 光裕 ． 数 值 分 析 ．重 庆 ： 重 庆 大 学 出 版 社 ， ２ ０ ０３ ３ 叶 金 铎 ．求 解 梁 变 形 的 一种 新方 法 一 固定 端 法 ．力 学 与 实 践 ，
是 没 有 问题 的． 而 选 择 图 ２作 为 基 本 系 则 是 错 误 的 ．
最后，留给学生一个课后思考题如下： 若解除跨 中截面 限制转动的约束，建立如图 ３所示的基
本系，其变 形协调条件如何寻找，补充方程 怎样建立． （ 跨
中截面 的弯矩也在第 ３步中给 出） 在本次教学活动中，主要体现 以下几个特 点：
用 有 限差 分 法 求 解 梁 的变 形 ，因 为要 预 先求 出梁 截 面 的
弯矩，只能用 于静 定梁 的变形计 算，范钦珊 Ｌ ｌ 用有 限差 分
法 求 解 了简 支 梁 和 外 伸 梁 的变 形 ，用 矩 阵 位 移 法 求 解 了超 静
尬＝ 尬（） ∑ 尬（ ） ∑ ＋
知 支 座 反 力 对 ｉ 面 的力 矩 截
Ａｘ ＝ Ｂ
（） ９
图 ２ 支 座 高 度 不 同 的 连 续 粱
求解式 （） 以求 出截面位移 和未知的约束反力．由式 （） ９可 ６
解：将梁 分成 ８段 ，结果见表 ２ ．由计算结果可见计算
误 差 已经 小 于 ５ ％．
表 ２ 连续 梁 的 计 算 结 果
３ 结 论
（） １ 有限差分法能够用于超静定梁 的变 形计 算，具有 自
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第 ２ 期
叶 金铎 ： 静 定 梁 变 形 计 算 的 有 限 差 分 法 超
解除 多余约束 代 之 以多余 约束力作用
６ ７
第 ３步， 根据平衡条件求其它支座反力或 内力， 并作 Ｍ ，
图．如根据平衡方程可求得
１
＝ ， ＝ ＝
ｌ
原超静 定粱 二 ＝＝＝
厂 荷载作用
静 定粱
ｌ
变 形协调条件
Ｉ
Ｌ 多余约束力作用
基 本 系
至此 ，用 变形 比较法求 解简单 超静 定梁 的步骤 已介绍 完， 但一个完整的教学 过程并未结束， 还应注意讨论、 总结， 留给学 生一 定的思维 空间与创新思路．
பைடு நூலகம்
Ｊ ，
表 １ 悬 臂 超 静 定梁 的计 算结 果
设梁 的超 静定次数 为 ｍ ，分段数 为 ｎ，未知数 的个数 包括 ｎ＋ １个位移和 ｍ ＋ ２个约束反力，未知数的总数 为
礼＋ ｍ ＋３个 ．需 要 补 充 方 程 的总 数 为 ｍ ＋ ４个 ，补 充 方程 与 梁 的形 式 有 关 ， 以连 续 梁 为 例 ， 边 界 条 件 为
１８ ， １２： ７￣９ ９９ １（） ７ ，７ ＇
（）由文中 的计算公式可见，静定梁是超静定梁 的特殊 ２
情况．
４ 叶金铎． 梁变形的通用计算方法与程序设计． 天津冶金，１ ９（） ９ １４：
ｌ ５一 】 ８
学
与
实
践
２ ０ 年 第 ２ 卷 ０７ ９
２ 算例
（） １ 设超静定梁 如图 １ 示， 所 求梁 中点 的位移和 Ｂ 处的
约束反力．
４ ｙｌ
一） Ｊ ＝
Ｙ２ ： ０
（） ５ 将式 （） ３ 代入式 （） ２ ，再一并代入式 （） １ 得
式中
是 ｉ 面右侧未知的支座反力．
ｌ ｙ ＋Ｙ＋ ＝ ｈ 面 －２ ｉ ｉ ｌ ２ Ｍｉ
，
１２．－ｎ－１ ，，．， －
（） １
式中， Ｙ（ ＝ ｉ ，，＋１ 是待求的截面位移 ， ｎ是分段 ＪＪ 一１ｉ ｉ ）
数， ｈ是段长， ＥＩ是梁 的抗弯 刚度， 是截面弯矩 ，对 于超静定梁
１ － ａｌ ｊｎ ｕ ｙ ￣ｔｕ ． ｕｃ 、Ｅ ｍ ｉ ｉｄ ｏ ｅ ｊ ｔ ｄ ．ｎ ： ｅ
固定端截 面和支座处的边界条件为式 （） 式 （） 考 ４和 ５． 虑到 两点公式转 角为零 的条件过 于严格，式 （） ４ 中采用 了三
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力 点公式 的零转角条件 ［ ， ２ 即 １
Ｙ ， Ｊ＝ ０ １ … ， ， ＋ １ Ｊ＝ ，， ｍ ｍ
（） ２ 设连续梁如 图 ２所示，试求梁 的支座反力和梁 的变
∑ ∑ ０ ㈣ ＋ ＝ Ｊ ）
ＭｏＦ） （ ＭｏＰ） （ ：。
。
形， 与 精 确 解 比较 ．
（． ＝ ；
式 中∑ ＲＥ ， Ｍ（ 和∑ Ｍ（ 分 是 动 ， Ｐ ∑ ｏ） ｊ Ｆ ｏ） 别 主 Ｐ
选取基本 系的原则： （） １ 选取 的基本系应一般 为静定 的．此处可拓展一下思 维的空间，简单 介绍一下结构 力学 中选取超静定结构作为基 本系的情况．以此来激发学生学习力学 的兴趣．
（）问题式、探 索式教学； （） １ ２ 启发式教学； （） 时 ３适 地展开讨论． （） ４ 运用多媒体教学手段； （） ５ 将力学 系列课
（ ２ ）
定梁 的变 形．本文推 导了超静 定梁的有 限差分方程，研究 了
边 界 条 件 ，编 制 了在 ＶＢ 环 境 下 运 行 的计 算 程 序 ，将 有 限差
式 中第 １项为主动力对 ｉ 截面 的力矩，第 ２项为截面右侧未
分法用 于超静定梁 的变 形计算，扩大 了有 限差分法 的应用范
程教育研究， ２０ （） ８￣８ ０ １２： ５ ７
２徐道远，黄孟 生等．材料 力学，南京：河海 大学 出版社， ２ ０ ０４
超静 定梁变形计算 的有 限差分法
叶金 铎 ）
（ 天津理工大 Ｃ Ｅ研究中 学 Ａ 心，天 ３ ０９ ） 津 ０ １１
摘 要 推 导 了 超静 定 梁变 形计 算 的 有 限 差 分方 程 ，研 究 了 边 界 条 件 ，编 制 了计 算 程 序 ， 计 算 了 超静 定 梁 的变 形 ． 文 中 工 作 扩 大 了有 限 差 分 法 的 应 用 范 围． 关 键 词 超 静 定 梁 ， 变 形 ，有 限差 分 法
建 立 补 充 方 程
图 ４
３ 讨论 、总结 与创 新提 高
比较图 １ ） 图 １ｂ， ｌｄ 三种基本体系，选择图 （， ａ （） 图 （） １ａ， ｌｂ 基本系， （）图 （） 求解简单方便、 选择图 ｌｄ 基本系求 （）
解不方 便，当然若进 入结构力学 的学 习过程 中，其变形求解
程 相 关 内容 融 会 贯 通 ．
（） ２ 要求变形协调条件 易寻找， 补充方程易建立且简单．
即基本系在荷载及未知力作用 下，其变形可 以通过材料力学 教材中给 出的简单荷载作用下 梁的挠度和转角表查 出． 回顾讲授 内容，对变形 比较法解题思路如 图 ４所示．
参
考
文 献
１陈建康，刘成 云等．力学课程贯通式教学的探 索与实践．高等工
围．
∑ Ｍ ） ∑（ 一 （ ＝ ｚ ｚ ）
对于静定 梁式 （）中的第 ２项等于零． ２
（ ３ ）
１ 梁 的有 限差 分方程 和边 界条 件
按照数值计算 Ｓ－ 点公 式 ［ 和小变形 的弯矩 ．曲率关 ｊ ２ １
２ ０ ＿ 一 ４收到第 １稿， ２ ０ － ２ ２ ０ ６旬４ ｌ ０ ７ ０ － ２收到修改稿
身独立，通用性强，易于编程 的优 点，当分段数增加时计算 精 度较 高．用于变截面梁的变形计 算时不增加计算量．
参 考 文 献
ｌ 范 钦 珊 ．材 料 力学 计 算 机 分 析 ．北 京： 高 等 教 育 出版 社 ， １ ８ ９８ ２ 杨 大 地 ，涂 光裕 ． 数 值 分 析 ．重 庆 ： 重 庆 大 学 出 版 社 ， ２ ０ ０３ ３ 叶 金 铎 ．求 解 梁 变 形 的 一种 新方 法 一 固定 端 法 ．力 学 与 实 践 ，
是 没 有 问题 的． 而 选 择 图 ２作 为 基 本 系 则 是 错 误 的 ．
最后，留给学生一个课后思考题如下： 若解除跨 中截面 限制转动的约束，建立如图 ３所示的基
本系，其变 形协调条件如何寻找，补充方程 怎样建立． （ 跨
中截面 的弯矩也在第 ３步中给 出） 在本次教学活动中，主要体现 以下几个特 点：
用 有 限差 分 法 求 解 梁 的变 形 ，因 为要 预 先求 出梁 截 面 的
弯矩，只能用 于静 定梁 的变形计 算，范钦珊 Ｌ ｌ 用有 限差 分
法 求 解 了简 支 梁 和 外 伸 梁 的变 形 ，用 矩 阵 位 移 法 求 解 了超 静
尬＝ 尬（） ∑ 尬（ ） ∑ ＋
知 支 座 反 力 对 ｉ 面 的力 矩 截
Ａｘ ＝ Ｂ
（） ９
图 ２ 支 座 高 度 不 同 的 连 续 粱
求解式 （） 以求 出截面位移 和未知的约束反力．由式 （） ９可 ６
解：将梁 分成 ８段 ，结果见表 ２ ．由计算结果可见计算
误 差 已经 小 于 ５ ％．
表 ２ 连续 梁 的 计 算 结 果
３ 结 论
（） １ 有限差分法能够用于超静定梁 的变 形计 算，具有 自
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第 ２ 期
叶 金铎 ： 静 定 梁 变 形 计 算 的 有 限 差 分 法 超
解除 多余约束 代 之 以多余 约束力作用
６ ７
第 ３步， 根据平衡条件求其它支座反力或 内力， 并作 Ｍ ，
图．如根据平衡方程可求得
１
＝ ， ＝ ＝
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原超静 定粱 二 ＝＝＝
厂 荷载作用
静 定粱
ｌ
变 形协调条件
Ｉ
Ｌ 多余约束力作用
基 本 系
至此 ，用 变形 比较法求 解简单 超静 定梁 的步骤 已介绍 完， 但一个完整的教学 过程并未结束， 还应注意讨论、 总结， 留给学 生一 定的思维 空间与创新思路．
பைடு நூலகம்
Ｊ ，
表 １ 悬 臂 超 静 定梁 的计 算结 果
设梁 的超 静定次数 为 ｍ ，分段数 为 ｎ，未知数 的个数 包括 ｎ＋ １个位移和 ｍ ＋ ２个约束反力，未知数的总数 为
礼＋ ｍ ＋３个 ．需 要 补 充 方 程 的总 数 为 ｍ ＋ ４个 ，补 充 方程 与 梁 的形 式 有 关 ， 以连 续 梁 为 例 ， 边 界 条 件 为
１８ ， １２： ７￣９ ９９ １（） ７ ，７ ＇
（）由文中 的计算公式可见，静定梁是超静定梁 的特殊 ２
情况．
４ 叶金铎． 梁变形的通用计算方法与程序设计． 天津冶金，１ ９（） ９ １４：
ｌ ５一 】 ８
学
与
实
践
２ ０ 年 第 ２ 卷 ０７ ９
２ 算例
（） １ 设超静定梁 如图 １ 示， 所 求梁 中点 的位移和 Ｂ 处的
约束反力．
４ ｙｌ
一） Ｊ ＝
Ｙ２ ： ０
（） ５ 将式 （） ３ 代入式 （） ２ ，再一并代入式 （） １ 得
式中
是 ｉ 面右侧未知的支座反力．