超静定梁变形计算的有限差分法

合集下载

有限差分法的原理与计算步骤

有限差分法的原理与计算步骤有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。

其基本原理是将连续的偏微分方程转化为差分方程，通过逼近导数，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。

下面将详细介绍有限差分法的原理和计算步骤：一、基本原理：有限差分法基于Taylor级数展开，通过利用函数在其中一点附近的导数信息来逼近函数在该点处的值。

该方法将连续的偏微分方程转化为差分方程，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。

在有限差分法中，常用的差分逼近方式有前向差分、后向差分和中心差分。

二、计算步骤：1.网格划分：将求解区域划分为有限个离散点，并定义网格上的节点和网格尺寸。

通常使用等距离网格，即每个网格点之间的间距相等。

2.离散化：将偏微分方程中的各个导数项进行逼近，利用差分近似来替代和求解。

一般采用中心差分逼近方式，即通过函数值在两侧点的差来逼近导数。

3.代数方程系统：利用离散化的差分方程，将偏微分方程转化为代数方程系统。

根据问题的边界条件和初值条件，构建代数方程系统的系数矩阵和常数向量。

4. 求解代数方程：利用求解线性方程组的方法求解代数方程系统，常用的方法有直接法（如高斯消元法、LU分解法）和迭代法（如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法）。

求解得到各个离散点的解。

5.后处理：根据求解结果进行后处理，包括结果的插值和可视化。

将离散点的解通过插值方法进行平滑处理，并进行可视化展示，以得到连续的函数解。

三、优缺点：1.直观：有限差分法基于网格划分，易于理解和实现。

2.精度可控：可通过调整网格大小和差分逼近方式来控制计算的精度。

3.广泛适用性：可用于求解各种偏微分方程，适用于不同的边界条件和初值条件。

然而，有限差分法也存在一些缺点：1.精度依赖网格：计算结果的精度受到网格划分的影响，因此需要谨慎选择网格大小。

2.限制条件：有限差分法适用于边界对应点处导数有定义的问题，不适用于奇异点和非线性问题。

有限元分析大作业

超静定梁的有限元分析本文分别通过材料力学解法和有限元解法，求出了超静定梁的支反力、最大位移及最大位移出现位置，并对两者进行了比较和误差分析。

一、超静定梁的材料力学解法梁的约束反力数目超过了有效平衡方程数，单纯使用静力平衡不能确定全部未知力的梁称为超静定梁。

超静定梁比静定梁有许多优点，如可用较少材料获得较大的刚度和强度，个别约束破坏后仍可工作等。

因而超静定梁在工程中得到较多的应用。

超静定梁的解法有很多种，本文采用力法的一种——变形比较法求解未知量。

图1图2选取C 点的支座为多余约束，Rc 为多余支座反力，则相应的基本静定梁为一外伸梁，如图2所示，其上受集中载荷P 、均布载荷q 和多余支座反力Rc 的作用。

相应的变形条件为：c cP cq cRc f f f f =++=其中316cP B Pl f l EI θ=⨯= 4724cq ql f EI =-323c cRc R l f EI =则316Pl EI 4724ql EI -+323c R l EI=0 将已知数据带入可求得 6.25c R =- 负号表示c R 的方向与假设的方向相反。

再列出平衡方程：0X =∑AX R =0A M =∑ 232022B C ql Pl R l R l ---=0C M =∑ 232022AY B ql PllR R l +--=带入已知条件求得：AX R = 393.75AY R = 812.5B R =用叠加法求最大位移：最大的向下位移在A 与B 两点中间：334410.7910481632C R l Pl ql f EI EI EI -=-++=-⨯最大的向上位移在B 与C 两点中间：3344213490.22525103248512C R l Pl ql f EI EI -=--=⨯二、超静定梁的有限元解法在ANSYS 平台上，求解超静定梁。

建模、单元划分、加载后结果如图3所示。

图3求解后可以通过图形和列表两种方式查看结果。

结构力学第七章计算超静定梁结构力学讲解

例7-1 用力法计算图7-5(a)所 (a) A
l
示单跨超静定梁的内力。EI为
"原结构"
2
常量。
(b) A
解： (1) n=1。
"基本体系"
(2) 选图7-5(b)为基本结构。 (c) A
(3) 列力法方程。
M1图 l
11 X1 1P 0
(4) 求 11、1P。利用图乘法求 11 、1P ，为此应分别画出基本结构在 X 1 =1及荷载P作用下
重点
荷载作用下的超静定结构计算。
§7-1 超静定结构的概述
1．超静定结构的概述
所谓超静定结构从机动分析来讲,不仅几何形状不变而且还有多余联系,从受力分析来讲,其全部反力及内力单凭静力平衡条件是无法确定的,还必须考虑结构的变形协调条件。
常见的超静定结构有超静定梁、超静定刚架、超静定桁架、
超静定拱，分别见图7-1(a)、(b)、(c)、(d)及超静定组合结构见图
零，并根据位移互等定理有δij = δji。 Δ ip表示基本结构由荷载引起的在Xi作用点沿Xi方向的位移，称为自由项，其值可能为正或负或零。由于式(15-2)在组成上具
有一定的规律，故称它为力法的典型方程。
典型方程中的系数及自由项的计算公式：
对于受弯杆件：
ii
2
M i ds EI
矩图可根据 M M1 X1 M 2 X 2 M n X n M P 叠加而得。
桁架中各杆的轴力可用 FN F N1 X1 F N2 X 2 F Nn X n FNP 而得。
§7-5 力法的计算步骤和示例
1. 力法的计算步骤
(1) 判断超静定次数n。 (2) 去掉原结构的多余联系，代之以多余未知力，得到一个静定结构——基本结构。 (3) 根据变形协调条件，建立力法典型方程。 (4) 绘 M i、MP图(二力杆应求出 F Ni 、FNP值)，按照静定结构求位移的方法，计算典型方程中所有系数及自由项。 (5) 解典型方程，求出多余未知力。 (6) 按静定结构分析方法，用叠加法或平衡条件求出原结构各杆内力。

01-静定梁和超定结构知识点小结

第3章静定梁和静定刚架（知识点小结）一、杆件内力分析方法1、内力分量轴力N F 是横截面上的应力沿截面法线方向的合力，一般以拉力为正，压力为负。

剪力S F 是横截面上的应力沿截面切线方向的合力，以绕截面处微段隔离体顺时针方向转动为正，反之为负。

弯矩M 是横截面上的应力对截面形心取矩的代数和，一般不规定正负号。

有时按习惯也可规定，在水平杆件中弯矩使杆件截面的下侧纤维受拉时为正，上侧受拉时为负。

2、截面法截面法是计算指定截面内力的基本方法，即沿指定截面假想将结构截开，切开后截面内力暴露为外力，取截面左侧（或右侧）作为隔离体，作隔离体受力图，建立平衡方程，从而可确定指定截面的内力。

由截面法可得截面上三个内力分量的运算规则如下：（1）轴力N F 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）沿截面法线方向的投影代数和；（2）剪力S F 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）沿截面切线方向的投影代数和；（3）弯矩M 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）对截面形心取矩的代数和。

3、内力图内力图表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形，包括M 图、S F 图和N F 图。

内力图用平行于杆轴线方向的坐标表示横截面位置（又称基线），用垂直于杆轴线的坐标（又称竖标）表示相应截面的内力值。

轴力图、剪力图中，竖标正、负值分别画在杆件基线的两侧，要标明正负号；弯矩图画在杆件的受拉侧，不标正负。

内力图要画上竖标，标注某些控制截面处的竖标值，并写明图名和单位。

4、内力图的形状特征直杆段上内力图的形状特征归纳如表3-1所示。

熟练掌握内力图的这些形状特征，对于以后正确、迅速地绘制内力图、校核内力图是非常有帮助的。

5、区段叠加法作M图对承受横向荷载作用的任意结构中直杆段，都可采用区段叠加法作其弯矩图：先采用截面法求出该段两个杆端截面弯矩值并将其连以一虚线，然后以此虚线为基线，叠加相应简支梁在跨间相应荷载作用下的弯矩图，如图3-1所示。

有限差分法的原理与计算步骤

一、有限差分法的原理与计算步骤
1.原理
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

2. 计算步骤
在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。

有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：
（1）区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；
（2）近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；
（3）逼近求解。

换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程
二、有限差分法的程序流程图。

超静定问题

2.4m
l ＞
B端必接触
C
40kN 1.2m
静力平衡方程
RA RB 100kN
B
变形协调条件为 l
RB
RA
A
60kN 2.4m 1.2m
轴力图
15kN
85kN
⊕ 25kN
C
40kN 1.2m
B

RA 103 1.2 ( RA 60) 103 2.4 RB 103 1.2 l 9 6 9 6 9 6 210 10 600 10 210 10 600 10 210 10 300 10
3
FC
A
FC
C
L
2
L
B
2
P
例题 6.10
当系统的温度升高时,下列结构中的____不会 A 产生温度应力.
A
B
C
D
例题 6.11
图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用, 梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论中,___是错误的. C
RB
RA 85kN
RB 15kN
三、扭转超静定问题扭转变形计算公式
Tl GI p
T ( x) dx GI p l
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面
C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力
偶矩。
m
A C B
a
b
解：
A
m
ɑ
mA
C
B
b
m
静力平衡方程为： m A mB m 变形协调条件为：
5 ql 8
B
L
q

5 第五章静电场边值问题的解法之有限差分法

⑵超松弛迭代法
φ i(, kj + 1) = φ i(, kj ) + α
4
+ 1) ( k + 1) (k ) (k ) 2 (k ) [φ i(−k1, j + φ i , j − 1 + φ i + 1, j + φ i , j + 1 − Fh − 4φ i , j ]
式中：
α
——加速收敛因子 (1 < α < 2)
边界条件的离散化处理
其中
K = εa εb
1 ϕ0 = (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 − Fh2 ) 3. 差分方程组的求解方法 4
⑴高斯——赛德尔迭代法
φ i(, kj + 1) =
1 ( k + 1) 1) (k ) (k ) 2 [φ i −1, j + φ i(, kj + − 1 + φ i + 1, j + φ i , j + 1 − Fh ] 4
将式（7）、（9）代入式（1），得到泊松方程的五点差分格式
ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 − 4ϕ 0 = Fh
2
1 ϕ0 = (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 − Fh2 ) 4
ϕ0 =
1 (ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 ) 4
当场域中 ρ = 0，得到拉普拉斯方程的五点差分格式
ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 − 4ϕ 0 = 0
差分格式为：若场域离散为矩形网格，

有限差分有限元有限体积

有限差分有限元有限体积有限差分、有限元和有限体积是数值计算方法中常用的三种离散化方法。

它们的核心思想是将微分方程式转化为一系列有限的点上的代数方程式，将连续问题转化为离散问题。

一、有限差分法有限差分法是将微分方程的导数用差商来逼近的方法，用差商来代替微分运算。

用区间的两个端点上的函数值之差来代替区间内函数导数的平均值。

在连续的区间上进行近似，大大减小了计算量。

有限差分法是一种较为简单的数值解法，适用于规则网格的微分方程求解，被广泛应用在流体力学、结构力学、电场问题等领域中。

二、有限元法有限元法是将求解域分成若干个划分元，然后在每个单元内用多项式函数逼近问题的解，最终利用点、线、面元件的连接关系来求解整体问题的一种方法。

该方法可以处理复杂的几何形状和物理变化，适用于非常规的边界条件和材料特性，解决超过几百万自由度的三维大规模问题。

三、有限体积法有限体积法是将求解域分成若干个控制体，对质量、能量、动量等守恒量在各个控制体上进行积分，从而推导出控制体内分布的方程。

该方法以区域的体积分为基础，在各个控制体内求解守恒方程。

该方法适用于复杂的多组分、多相流动的领域以及非稳态或非线性问题。

无论是有限差分、有限元还是有限体积法，其核心思想都是通过把连续的微分方程式离散求解，从而转化为一系列有限的点上的代数方程式，解决了连续问题转化为离散问题的过程，从而通过离散求解代数方程式来得到问题的解。

这三种数值计算方法的应用使科学计算得以更加高效、精确地进行，对现代计算、科学技术的推进起到了巨大的贡献。

超静定梁

MA
3 40×10 20×44 FB = 6×42 − 8×43 = −8.75 kN 2
wB1
FB FB MC
确定A 端约束力
FA
∑F
y
= 0, FA − FB − 4q = 0
wB2
FA = 4q + FB = 4× 20 − 8.75 = 71.25 kN
FC
∑M
A
= 0,
MA + 4q× 2 + 4FB = 0
MA = −4q×2 − 4FB
= −4×20×2 − 4×(− 8.75) = −125 kN⋅ m
5
确定B 端约束力
F = F − FB′ = 40 − (− 8.75) C = 48.75 kN
MA
∑F
y
= 0, FB′ + FC − F = 0
8FBya3 3EI
所以
MA
AFAy A (d) B B
F C C FBy
3 14Fa3 8FBya − + =0 3EI 3EI 7 FBy = F 4
5）由整体平衡条件求其他约束反力
Fa 3 MA = ( ), FAy = − F( ) 2 4
3
处铰接，两端固定，例6 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的 40kN， 20kN/m。剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。解处拆开，从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：wB1 = wB2 变形协调方程为：
8
MA
物理关系
wB1
FB FB

浅谈有限差分法在求梁变形时的应用

｛｝ｙ（ｘ．＿１）＝ｙ（）一Ｙ ’ （）ｈ＋￣Ｔｔ）ｍ（ｘｉ）ｈ２
： ‘
（２）
ｌｙ（ｘｉ＋１）＝ｙ（）【ｉ）一Ｙ ’ （】【ｉ）ｈ＋ — ；１ ‘ ｘ１）ｈ
变形。二、有限差分法
二阶中一ｔｌ，差分 △ ２ｙ＿Ａｙ一 △ｙ。。，Ｔ NhomakorabeaＴ
三、梁变形差分法公式设ｖ＝ｆ（ｘ）代表图１所示光滑连续函数的曲线，同时也可
以将其比拟为梁变形的挠曲线。取横坐标ＸＸｉ－。，，Ｘｉ＋，Ｘｉ也各点，为方便计算取各相邻点间距均等于ｈ。各点对应的函数值依次为Ｙ “，ＹｉＹｉ，Ｙ …Ｙｉ。把函数ｙ＝ｘ）在点ｘｉ附近以泰勒级数的形式展开，忽略三阶以上的高阶微量，其表达式为
将上式ｙ ’ （）与ｙｎ（）【ｉ）视为未知量，解方程组（２）得到（３）
式：
在教学内容上，体现出学校理论与实验与企业需求相
协调统一。充分体现乳制品检验项目真实性与有效性、检验方法的适宜性和时效性、教学内容与工作情况一致性、学生与企业员工相容性。另外，在实际工作中，企业产品检测所用到的仪器以紫外分光光度计、酸度计、高效液相色谱仪、原子吸收分光光度计等大型设备为主。因此课程大幅度提高精密仪器在分析检测中的应用，强化仪器的操作、检测的原理以及结果分析，使学生对乳品分析课程有一个整体的认识，更好地掌握常用的分析方法。对于那些生产实践中很少应用到的方法，不作为授课的重点，甚至有的内容

静定超静定判断及计算

另一种解法
按铰结计算
6个铰结点 12根单链杆
W=2 ×6-12=0
讨论
体系W
有几
等于多少？
个单
可变吗？
铰？
W=0,体系
是否一定
几何不变呢？
W=3 ×9-(2×12+3)=0
因为除去图中任意一根杆，体系都将有一个自由度，所以图中所有的杆都是必要的约束。
除去约束后，体系的自由度将增加，这类约束称为必要约束。
每个单刚结点
能使体系减少
○ 多少个 ○ 自由度呢？
s=3
3.体系的计算自由度：
计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数
m---刚片数（不包括地基） --单刚结点数 --单铰数
b---单链杆数（含支杆）
W = 3m(3g+2h+b)
W=2j-b
铰结链杆体系
○ 的计算自由度： ○ j--结点数 ○ b--链杆数,含
体系几何可变体系几何不变
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组成一个三角形——基本出发点.
三刚片规则：
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连，组成无多余联系的几何不变体系。
例如三铰拱
无多余几何不变
大地、AC、BC 为刚片;A、B、 C为单铰
二元体规则：在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系的几何构造性质。
平面刚体——刚片
n=3 x y B
2. 联系与约束
一根链杆为一个联系
n=2
联系（约束）-减少自由度的装置。
1个单铰 = 2个联系
铰
x
α
β
单铰联后

有限差分法、边界元法和离散元法

有限差分法已经发展的一些近似数值分析方法中，最初常用的是有限差分法，它可以处理一些相当困难的问题。

但对于几何形状复杂的边界条件，其解的精度受到限制，甚至发生困难。

作为60年代最重要的科技成就之一的有单元法。

在理论和工程应用上都_得到迅速发展，几乎所有用经典力学解析方法难以解决的工程力学问题郁可以用有限元方法求解。

它将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，解析地模拟或逼近求解区域。

由于单元能按各种不同的联结方式组合在一起，且单元本身又可有不同的几何形状，因此可以适应几何形状复杂的求解域。

相限元的另一特点是利用每一单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。

单元内的近似函数由未知场函数在各个单元结点上数值以及插值函数表达，这就使未知场函数的结点值成为新的未知量，把一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，只要结点来知量解出，便可以确定单元组合体上的场函数。

随着单元数目的增加，近似解收敛于精确解。

但是有限元方法常常需要很大的存贮容量，甚至大得无法计算；由于相邻界面上只能位移协调，对于奇异性问题(应力出现间断)的处理比较麻烦。

这是有限单元法的不足之处。

边界元法边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。

与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。

降低了问题的维数，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。

边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。

上述两种数值方法的主要区别在于，边界元法是“边界”方法，而有限元法是“区域”方法，但都是针对连续介质而言，只能获得某一荷载或边界条件下的稳定解。

7.5变形比较法解简单超静定梁

变形比较法解简单超静定梁超静定梁：梁的支反力数大于独立平衡方程数。

多余约束：多于维持平衡所必须的约束。

超静定次数：等于多余约束或多余支反力的数目。

静定基：求解超静定梁时的静定基本系统。

二. 求解方法：1、列出独立静力平衡方程，判定超静定次数，建立相当系统；2、比较相当系统与原结构的变形，列变形协调方程；3、由物理关系建立补充方程；4、联立求解未知约束反力。

一. 基本概念：BFAC例9：求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI 。

解：1）判定超静定次数，建立相当系统在梁的A 和B 处各有3个和1个支反力，独立平衡方程数等于3，所以是一次超静定问题。

选取悬臂梁为静定基，在去掉约束处用一未知力代替。

2）进行变形比较，列变形协调方程为了使相当系统的变形与原超静定梁相同，B 处位移必须为0，即=+=y y y B B F B F By ()()0F By B2a3a ACB FACF ByBFACB A CF ByM A F AyF AxF By有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）3）由物理关系列力补充方程根据悬臂梁自由端受集中力作用的已知结果，得所以4）由平衡方程求其它约束反力323(2)(2)14()323B F F a F a Fa y a EI EI EI ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦()3328()33By By By B F F a F a y EIEI==33814033By F aFa EI EI-+=74By F F=30,(),()42Ax Ay A Fa F F F M ==-=B2a3aACB FACF ByM A F A yF Ax例9：梁AB 和BC 在B 处铰接，A 、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI ，F = 40kN ，q = 20kN/m 。

画梁的剪力图和弯矩图。

F BM AF Ay B 1F BM C F Cy B 2解：1、结构为二次超静定。

简单超静定梁的解法

4m
3m
2m
A
B
D
C
30KN
D
C
A
B
30KN
在基本静定系上绘出剪力图（图C）和弯矩图（图d）。
32.05
47.95
18.40
11.64
(c)
31.80
1.603m
(d)
D
C
A
B
30KN
弯曲超静定例题1
弯曲超静定例题2
§6-6 简单超静定梁的解法
一、基本概念
超静定梁
“多余”约束
单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁 , 称为超静定梁
多于维持其静力平衡所必需的约束
Hale Waihona Puke ABCP
P
A
B
超静定梁的“多余”约束的数目就等于其超静定次数。
与“多余”相应的支座反力
超静定次数
“多余”反力
A
B
C
P
P
A
方法二
代以与其相应的多余反力偶
（图6 -12）
得基本静定系
变形相容条件为
请同学们自行完成！
A
B
q
(a)
图 6—11
A
B
q
(a)
A
B
q
图 6 -12
例题 6-9 梁 A C 如图所示, 梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC 铰接, 在梁受荷载作用前, 杆 AD 内没有内力, 已知梁和杆用同样的钢材制成, 材料的弹性模量为 E, 钢梁横截面的惯性矩为 I, 拉杆横截面的面积为 A, 其余尺寸见图 a, 试求钢杆 AD 内的拉力 N。
a
2a
A
B

超静定梁变形计算的积分法

超静定梁变形计算的积分法
超静定梁变形计算的积分法是一种计算结构的力学特性的有效方法，我们知道
超静定梁的变形受外力荷载的影响，其变形往往远大于某些结构的受力特征。

积分法是一种频繁使用的分析技术，其能够清晰而准确地描述一个动态物体在其可能受力情况下的变形参数，而使检验变形差异有效地提高了结构分析结果的准确性。

具体来说，超静定梁变形计算的积分法是指通过分析超静定小梁上的变形参数，以积分形式表达梁变形与受力之间的关系，从而确定梁的变形。

在此基础上，考虑到不同梁变形的有限元模型建模，并利用不同参数进行系统性的参数校准，提高结构变形计算准确性。

由此可见，超静定梁变形计算的积分法可以有效地降低结构设计中存在的参数
校准难度，实现更精确的结构变形计算，甚至可以更准确地模拟复杂的物理结构，及其整体的性能评估，进而有效降低结构分析及设计过程中可能存在的风险。

另外，超静定梁变形积分法的使用可以有效地提高结构设计的可靠性，从而大大提高工程项目的可持续性。

超静定梁变形计算的有限差分法

超静定梁变形计算的有限差分法
叶金铎
【期刊名称】《力学与实践》
【年(卷),期】2007(29)2
【摘要】推导了超静定梁变形计算的有限差分方程,研究了边界条件,编制了计算程序,计算了超静定梁的变形.文中工作扩大了有限差分法的应用范围.
【总页数】2页(P67-68)
【作者】叶金铎
【作者单位】天津理工大学CAE研究中心,天津,300191
【正文语种】中文
【中图分类】O3
【相关文献】
1.超静定梁变形计算的积分法 [J], 王秀华;张春秋;门玉涛;叶金铎;张玮
2.移动载荷作用下多跨超静定梁内力及变形计算的奇异函数法 [J], 卓士创;蔡瑜玮;李顺才
3.有限积分法与有限差分法在弹性波数值模拟中的对比分析 [J], 李明智;熊章强;张大洲
4.有限积分法与有限差分法在弹性波数值模拟中的对比分析 [J], 李明智;熊章强;张大洲;
5.超静定梁的一种计算方法——中心差分法 [J], 于文勤
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

超静定多跨梁的计算

超静定多跨梁的计算吴郁斌力法的原理及二次超静定多跨梁的计算思路力法是计算超静定结构的最基本的方法。

采用力法解决超静定结构问题时，不是孤立地研究超静定问题，而是把超静定问题与静定问题联系起来，加以比较，从而把超静定结构问题转化为静定结构问题来加以解决。

在解决超静定多跨梁结构问题时，首先要确定超静定的次数，如下图所示：图一图一所示的静定多跨梁中，经分析得知，结构中的B 、C 两点的约束为多余约束，所以该结构为二次超静定问题。

其次，在确定超静定次数之后，按力学方法对模型进行转化，将超静定结构转变为静定结构。

在图一所示的结构中，我们先假设B 、C 两点无约束，而作用两个集中力C B F F 、，方向按图一所示，这样我们就把一个超静定多跨梁结构转化成简支梁结构，从而把解决超静定多跨梁结构的问题也转化成解决简支梁的问题。

最后，找出结构转化过程中的限制条件，按照条件列出力法方程。

在图一所示的结构中，当我们把超静定多跨梁结构转化成简支梁的过程中，我们必须限制B 、C 两点的竖向位移为0，因为在原来的超静定多跨梁结构中，B 、C 两点有约束。

然后根据限制条件列出力法方程。

假设作用于多跨梁上的载荷在B 、C 两点产生的竖向位移分别为1∆和2∆，作用于B 点的单位竖向力（即当1=B F 时）在B 、C 两点产生的竖向位移分别为1211δδ和，作用于C 点的单位竖向力（即当1=C F 时）在B 、C 两点产生的竖向位移分别为21δ和22δ。

设作用于B 、C 两点的实际作用力大小分别为倍的单位力、21X X 。

我们都知道梁的位移与载荷的大小成正比，所以根据限制条件以及假设条件，可以列出如下方程：⎩⎨⎧=∆-⋅+⋅=∆-⋅+⋅0022221211212111X X X X δδδδ 通过上述方程就可以计算出B 、C 两点的支座反力C B F F 、,然后通过力平衡方程和弯矩平衡方程就可以解出两外两点（A 、D 两点）的支座反力，即⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑00y A M F ,⇒()⎩⎨⎧=⋅+⋅-+⋅+⋅=+++0a 0211y L F F L L F L F F F F F D C B D C B A 解之，就可以得到各个支座的反力，进而得到梁上各段的剪力图和弯矩图了。

计算流体力学中有限差分法、有限体积法和有限元法的区别

有限元法，有限差分法和有限体积法的区别1. FDM1.1 概念有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。

该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。

有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。

该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

1.2 差分格式（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。

（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。

（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。

目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。

差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

1.3 构造差分的方法构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。

其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。

通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

2. FEM2.1 概述有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

2.2 原理有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学、土力学的数值模拟。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。

超静定梁变形计算的有限差分法

有限差分法的原理与计算步骤

有限元分析大作业

结构力学第七章计算超静定梁结构力学讲解

01-静定梁和超定结构知识点小结

有限差分法的原理与计算步骤

超静定问题

5 第五章 静电场边值问题的解法之有限差分法

有限差分 有限元 有限体积

超静定梁

浅谈有限差分法在求梁变形时的应用

静定超静定判断及计算

有限差分法、边界元法和离散元法

7.5变形比较法解简单超静定梁

简单超静定梁的解法

超静定梁变形计算的积分法

超静定梁变形计算的有限差分法

超静定多跨梁的计算

计算流体力学中有限差分法、有限体积法和有限元法的区别

5 第五章静电场边值问题的解法之有限差分法

有限差分有限元有限体积