一次函数与方程、不等式、方程组的关系
一次函数与方程(组)、不等式及二次函数与二元一次方程、不等式的关系
一次函数与方程（组）、不等式及二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系1、一次函数与一元一次方程从“数”的角度看，解方程kx+b=0相当于一次函数y=kx+b 的函数值为0时，求自变量的取值；从“形”的角度看，解方程kx+b=0，相当于确定直线y=kx+b 与x 轴交点横坐标的值 一次函数与一元一次不等式从“数”的角度看，解不等于式kx+b 〉0（<0）相当于一次函数y=kx+b 的函数值>0(<0)时，求自变量x 的取值范围；从“形”的角度看，求不等于式kx+b>0(<0）的解集，相当于确定直线y=kx+b 在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 从“数”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +相当于一次函数111b x k y +=与222b x k y +=函数值y 1>y 2时，求自变量的取值范围；从“形”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +，相当于确定直线111b x k y +=在直线222b x k y +=上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 一次函数与二元一次方程组从“数”的角度看，解二元一次方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2相当于求自变量x 为何值时相应的两个函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的函数值相等，从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2交点的坐标类比可得出二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系：1、从数的角度看，解方程02＝c bx ax ++相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y=0时自变量x 的值，从形的角度看，解方程02=++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点模坐标的值2、从数的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y>0(<0)时自变量x 的取值范围，从形的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围。
人教版 八年级下册数学 同步复习 第14讲 一次函数与方程(组)、不等式 讲义
课程标准1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系.2．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 3．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．知识点01 一次函数与一元一次方程的关系一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数），当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值. 注意：（1）求一次函数与x 轴的交点，令y=0，解出x 即为与x 轴交点的横坐标；（2）一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）是一个关于x 和y 的二元一次方程，这个方程有无数组解，但若已知x 的值（或y 的值），即可求出y 的值（或x 的值）；（3）若一次函数y kx b =+，满足等式mk b n += 或0mk b n +-=，则函数必过点（m,n ）;同理，若一次函数图像上有个点（m ，n ），则二元一次方程有一组解为x my n =⎧⎨=⎩；知识点02 一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 注意：（1）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数学生/课程 年级 8年级 学科 数学 授课教师日期时段核心内容一次函数与方程（组）、不等式 （第14讲）24y x =-+与31322y x =-图象的交点为(3，－2)，则32x y =⎧⎨=-⎩就是二元一次方程组2431322y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩的解.（2）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组3531x y x y -=⎧⎨-=-⎩无解，则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.（3）当二元一次方程组有无数组解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.知识点03 方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．知识点04 一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 注意：（1）求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0.从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （2）常见的解集：0(0)y kx b >+>或0(0)y kx b ≥+≥或0(0)y kx b <+<或0(0)y kx b ≤+≤或x m >x m ≥x m <x m ≤2x >2x ≥ 2x < 2x ≤2x <-2x ≤- 2x >- 2x ≥-4x <4x ≤ 4x > 4x ≥无论求0(0)y kx b >+>或还是0(0)y kx b <+<或，都应首先求出一次函数与x 轴交点的横坐标（即令y=0），再根据题目要求，确定x 的取值范围： ①y ＞0时，取x 轴上方图像自变量的范围； ②y ＜0时，取x 轴下方图像自变量的范围；知识点05 一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 注意：（1）不等式的解集中，端点无论取到取不到，该值都是对应方程的解；例如：一次函数y kx b =+，若0y >时，x 的取值范围是2x >，则方程0kx b +=的解为2x =，且一次函数y kx b =+过点(2,0)；（2）一次函数y kx b =+，若当a x m << 时，y 的取值范围是b y n <<，则可得出一次函数过点(,),(,)(,),(,)a b m n a n m b 或；知识点06 如何确定两个不等式的大小关系ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．两个一次函数比较大小，求自变量x 的取值范围，首先要求出两一次函数的交点横坐标（列二元一次方程组），再根据图像判断。
函数与方程不等式之间的关系
函数与方程不等式之间的关系
函数、方程和不等式是数学中的基本概念，它们之间存在密切的联系。
函数是描述两个变量之间关系的数学模型，通常表示为 y = f(x)，其中 x 和
y 是变量，f 是函数关系。
函数有多种类型，其中一次函数是最简单的一种，表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，a ≠ 0。
方程是含有未知数的等式，用来表示未知数和已知数之间的关系。
一元一次方程是最简单的一类方程，形如 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。
解这个方程可以得到未知数的值。
不等式是用不等号连结的两个解析式，表示两个量之间的大小关系。
一元一次不等式是最简单的一类不等式，形如 ax + b > 0 或 ax + b < 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。
解这个不等式可以得到满足不等式的值的范围。
函数、方程和不等式之间存在密切的联系。
一次函数和一元一次方程、一元一次不等式之间的关系特别重要。
对于一次函数 y = ax + b，当函数的值等于 0 时，自变量 x 的值就是一元一次方程 ax + b = 0 的解。
如果一次函数的值大于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b > 0；如果一次函数的值小于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b < 0。
因此，函数、方程和不等式是相互联系的，可以通过它们之间的关系来理解和解决数学问题。
考点08 一次函数的图象与性质【无答案】
考点08 一次函数的图象和性质一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。
各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面。
也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础。
故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
一、一次函数的图象与平移二、一次函数的性质三、待定系数法求解一次函数的表达式四、一次函数与方程、不等式的关系五、一次函数与三角形面积考向一：一次函数的图象与平移一．一次函数的图象1．下列函数：①y＝4x；②y＝﹣；③y＝；④y＝﹣4x+1，其中一次函数的个数是（）A．1B．2C．3D．42．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）（k＞0）的图象大致是（）A．B．C．D．3．如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（）A．B．C．D．4．在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（）A．将1向右平移4个单位长度B．将1向左平移4个单位长度C．将1向上平移4个单位长度D．将1向下平移4个单位长度5．直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是．6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（）A．k1k2＜0B．k1+k2＜0C．b1﹣b2＞0D．b1b2＞0考向二：一次函数的性质对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上1．一次函数y＝﹣3x+1的图象经过（）A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第一、二、三象限D．第二、三、四象限2．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝（m2+1）x+m上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．大小不确定3．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是关于x的函数y＝（m﹣1）x图象上的两点，当x1＜x2时，y1＜y2，则m 的取值范围是（）A．m＞0B．m＜0C．m＞1D．m＜14．对于一次函数y＝﹣2x+1的相关性质，下列描述错误的是（）A．函数图象经过第一、二、四象限B．图象与y轴的交点坐标为（1，0）C．y随x的增大而减小D．图象与坐标轴调成三角形的面积为5．已知点（﹣2，y1），（2，y2）都在直线y＝2x﹣3上，则y1y2．（填“＜”或“＞”或“＝”）考向三：待定系数法求一次函数的解析式1．一个正比例函数的图象过点（﹣2，3），它的表达式为（）A．B．C．D．2．已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（）A．2B．﹣2 C．2或﹣2D．m的值不存在3．已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣3．则当x＝﹣时，y＝．4．已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．（1）求此一次函数表达式；（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．求n的值及直线AD的解析式．考向四：一次函数与方程不等式间的关系1．已知方程2x﹣1＝﹣3x+4的解是x＝1，则直线y＝2x﹣1和y＝﹣3x+4的交点坐标为（）A．（1，0）B．（1，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，1）2．如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为．3．如图，一次函数y＝2x+1的图象与y＝kx+b的图象相交于点A，则方程组的解是（）A．B．C．D．4．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则x+y＝．5．若定义一种新运算：，例如：2@4＝2+4﹣3＝3，2@1＝2﹣1+3＝4，下列说法：①（﹣1）@（﹣2）＝4；②若x@（x+2）＝5，则x＝3；③x@2x＝3的解为x＝2；④函数y＝（x2+1）@1与x轴交于（﹣1，0）和（1，0）．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．16．如图，已知一次函数y1＝kx﹣b与y2＝nx函数图象相交于点M，当kx﹣b＝nx时，x的值是，当y1＞y2时，x的取值范围是，当y1＜y2时，x的取值范围是．7．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图象与性质的方法，对新函数y＝2﹣|x﹣1|及其图象进行如下探究．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣2﹣1m1210n﹣2…其中m＝，n＝．（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：．（3）当时，x的取值范围为．考向五：一次函数与三角形面积一．一次函数与坐标轴围成三角形面积的规律方法归纳3.求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高；二．一次函数图象与几何图形动点面积1.此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息2.对函数图象的分析重点抓住以下两点：①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点3.动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。
一次函数与一次方程、一次不等式的关系.docx
《一次函数与一次方程、一次不等式》教学设计授课教师：西滨中学林珊娜班级：C二6时间:2017年3月30日课标通过具体实例体会一次函数图像上的每一个点的坐标与一次方程的解、一次不等要求式的解集之间的关系。
教学知识技能： 1、经历一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探索过程，体目标会方程、不等式与函数之间的关系。
2、能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集。
数学思考：通过观察、探索、实践等数学活动中，建立空间观念，培养识图能力，体会数形结合、转化等数学思想。
问题解决：在探索一次函数与一次方程、一次不等式的关系过程中，获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。
情感态度：通过观察一次函数图象与X 轴的交点坐标与一元一次方程的解的联系，一次函数图象与一元一次不等式解集的联系，进一步体会数学的严谨性及数学结论的确定性。
通过主动探究，体验在探究中发现，从而获得成功的喜悦。
教材函数、方程、不等式是人们刻画现实世界的重要数学模型。
前面的学习，学生已分析经从数的角度认识一次方程和一次不等式，从形的角度认识了一次函数和数轴表示不等式的解集。
本课通过探究一次函数图像和一元一次方程、一元一次不等式之间的关系，学会利用一次函数的图象求一元一次方程的解和一次不等式的解集，这对发展学生“数形结合”思想、“转化”思想和识图能力具有重要的意义，同时也为今后二次函数与一元二次方程的关系的学习奠定基础。
教学重点：利用一次函数的图象求一次方程、一次不等式的解。
重、难点：通过一次函数图象求一元一次不等式的解集。
难点学情1、学生已经会解一次方程和一次不等式，并从形的角度认识一次函数的图象和在数分析轴上表示不等式的解集，学生具备知识基础。
2、八年级学生的思维主要停留在直观的形象思维上，要把“数”和“形”巧妙地结合，并进行灵活地转换存在一定的困难。
因此，如何创设问题，引导学生用联系的观点进行探究是本课的关键。
一次函数、方程及一次不等式的关系
文峰说：
满200,再购的商品9折
金鹰的优惠方案的起点是购物满
300 元．
文峰的优惠方案的起点是购物满 200 元．
一样 ⑴如果累计购物不超过200元,则两家商场的花费____ ．
文峰 ⑵如果累计购物超过200元而不超过300元,则在____ 花费少. ⑶如果累计购物超过300元. 解:设累计购物 x元 ( x 300) ,如果在文峰花费少则
随堂演练
1、在一次函数y=2x-3中，已知x=0 则y= ；若已知y=2则x= ；
2、当自变量x 时，函数 y=3x+2的值大于0；当x 时， 函数y=3x+2的值小于0。 3、已知函数y=-3x+6，当x y>0.当x 时，y≤-2。 时，
5、已知函数y1 = 2 x – 4与y2 = - 2 x + 8的图象， 观察图象并回答问题： (1)x取何值时，2x-4>0? (2)x取何值时，-2x+8>0? (3)x取何值时，2x-4>0与-2x+8>0同时成立？ (4)你能求出函数y1 = 2 x – 4与y2 = - 2 x + 8的 图象与X轴所围成的三角形的面积吗？
收获和体会
实际问题与一元一次不等式
重客隆和新世纪两商店以同 问题1： 样价格出售同样的商品，并且又各自 推出不同的优惠方案：
新世纪
我店累计购买100元商品 后，再购买的商品按原 价的90%收费。
我店累计购买50元商品后，再购 买的商品按原价的95%收费。
重客隆
讨论开始
分析：若新世纪收费＜重客隆收费
系数化为1，得
∴累计购物超过150元时在新世纪购物花费小。
答：
当 0 x 50或 x 150 时，在两家 商店购物没有区别； 当 50 x 150 时，在重客隆购物花 费小； 当 时，在新世纪购物花费小
一元一次方程一元一次不等式一次函数之间的关系
一元一次方程一元一次不等式一次函数之间的关系随着数学的学习深入，我们会发现一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间有着紧密的联系。
在本文中，我将对这三者之间的关系进行探讨。
一元一次方程一元一次方程是数学中非常基础的概念，它表达的是一个未知数的值需要满足的条件。
一元一次方程的一般形式为ax+b=0（其中a和b为已知数，x为未知数）。
它有且只有一个解，解为x=-b/a。
我们可以通过将未知数表示出来，来解决各种各样的问题。
比如：“丽丽现在的年龄是小明的三倍，而小明现在的年龄是5岁，那么请问丽丽现在的年龄是多少岁？”这个问题可以表示成x=3*5，即x=15岁。
一元一次不等式一元一次不等式也可以表示为类似于ax+b≥0或者ax+b＜0的形式，它要求未知数满足一定的条件。
比如：“一个小卖部卖饮料，每一瓶饮料的成本是1元，销售价格是3元，如果要利润不少于4元，那么至少需要卖出几瓶饮料？”这个问题可以表示成x*2≥4，即x≥2瓶。
一次函数一次函数是以一次方程（即y=kx+b）为基础，表示为y=f(x)的函数。
事实上，一次函数可以通过一元一次方程的解析式来表示出来。
（y-y1）=k(x-x1)对应解析式为y=kx+(y1-kx1)。
因为一次函数中的k的值表示的是斜率，所以通过一次函数可以得到许多信息。
比如：两点之间的距离公式（d=√(x1-x2)²+(y1-y2)²）就可以表示为一次函数的形式。
如果我们要获得两个点的连线的斜率，那么只需要除以偏移量（即两个点在x轴上的距离）即可。
三者之间的关系可以看到，这三个数学概念之间有着紧密的联系。
具体而言，一元一次不等式可以看成在直线上面的点构成的区域，这个区域里面的点都是满足不等式的，而不在这个区域内的点则不满足这个不等式。
一元一次方程和一次函数则可以在二维坐标系上表示。
其中，一元一次方程对应的是一条直线，而一次函数则对应的是一条斜率为k，截距为b的直线。
方程函数不等式之间关系
◆知识讲解1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax +b （a≠0，a ，b 为常数）中，函数的值等于0时自变量x 的值就是一元一次方程ax +b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－ba，0）是直线y=ax+ b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；直线y=ax +b 在x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+ b>0（a≠0）的解；在x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax +b<0（a≠0）的解．2．坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式y=0表示．3．一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．4．两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（1）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2⇔k 1≠k 2．（2）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1=k 2，b 1≠b 2．（3）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合⇔k 1=k 2，b 1=b 2．◆例题解析例1 （2006，长河市）我市某乡A ，B 两村盛产柑橘，A•村有柑橘200t ，•B•村有柑橘300t ．现将这些柑橘运到C ，D 两个冷藏仓库，•已知C•仓库可储存240t ，•D•仓库可储存260t ；从A 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨15元和18元，设从A村运往C仓库的柑橘重量为xt，A，B•两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为y A元和y B元．（1）请填写下表，并求出y B，y A与x之间的函数关系式；（2）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过480元．在这种情况下，•请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．【分析】（1）根据运输的吨数及运费单价可写出y，y与x之间的函数关系．（2）欲比较y A与y B的大小，应先讨论y A=y B的大小，应先讨论y A=y B或y A>y B或y A<y B 时求出x的取值范围．（3）根据已知条件求出x的取值范围．根据一次函数的性质可知在此范围内，两村运费之和是如何变化的，进而可求出相应的值．【解答】（1）y A=－5x+5000（0≤x≤200），y B=3x+4680（0≤x≤200）．（2）当y A=y B时，－5x+5000=3x+4680，x=40；当y A>y B时，－5x+5000>3x+4680，x<40；当y A<y B时，－5x+5000<3x+4680，x>40．∴当x=40时，y A=y B即两村运费相等；当0≤x<40时，y A>y B即B村运费较少；当40<x≤200时，y A<y B即A村费用较少．（3）由y B≤4830得3x+4580≤4830．∴x≤50．设两村运费之和为y，∴y=y A+y B，即：y=－2x+9680．又∵0≤x≤50时，y随x增大而减小，∴当x=50时，y有最小值，y最小值=9580（元）．答：当A村调往C仓库的柑橘重为50t，调运D仓库为150t，B村调往C仓库为190t，调往D仓库110t的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元．例2 某家庭今年3个月的煤气量和支付费用见下表：该市的煤气收费方法是：基本费+超额费+•保险费，•若每月用气量不超过最低量am3，则只付3元基本费和每户的定额保险费c元；若用气量超过acm3，则超过的部分每立方米支付b元，并知c≤5元，求a，b，c．【分析】数学能帮助我们解决许多生活中的实际问题，本题要求a，b，c的值，•不妨设每月用气量为x（m2），支付费用为y（元），再根据题意列出x，y的关系表达式，即y=3(0) 3()()c x ab x ac x a+≤≤⎧⎨+-+>⎩由此可推断出a，b，c的值．【解答】设每月用气量为xm3，支付费用为y元，根据题意得y=3(0) 3()()c x ab x ac x a+≤≤⎧⎨+-+>⎩∵c≤5，∴c+3≤8因2月份和3月份的费用均大于8，故用气量大于最低限度am3，将x=25，y=14；x=35，y=19分别代入②得143(25) 193(35)b a cb a c=+-+⎧⎨=+-+⎩④－③得：10b=5 ∴b=0.5把b=0.5代入③得a=3+2c又因1月份的用气量是否超过最低限度尚不明确，故当a<4时，将x=4•代入②得4=3+0.5[4－（3+2c）]+c，即4=3.5－c+c不成立则a≥4，此时的付款分式选①，有3+c=4∴c=1把x=1代入a=3+2c得a=5∴a=5，．b=0.5，c=1．【点评】本题要求a，b，c的值，表面看与一次函数无关，•但实际上题中不仅包含函数关系，而且是一个分段函数，求分段函数解析式的关键是分清各段的取值范围，其条件分别在各自的取值范围内使用，若有不确定的情形，须进行分类讨论．1．（2008，武汉）如图1所示，直线y=kx+b经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组12x<kx+b<0的解集为_______．图1 图2 图32．（2006，江苏南通）如图2，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．3．如图3所示，L甲，L乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s与时间t的关系，观察图像并回答下列问题：（1）乙出发时，与甲相距______km；（2）走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为_____h；（3）乙从出发起，经过_____h与甲相遇；（4）甲行走的路程s与时间t之间的函数关系式_______；（5）如果乙自行车不出现故障，那么乙出发后经过______h与甲相遇，相遇处离乙的出发点____km．并在图中标出其相遇点．4．（2006，山西太原）如图所示的图形都是二次函数y=ax2+bx+a2－1的图像，若b>0，则a 的值等于（）A．152-B．－1 C．152--D．15．如图，一次函数y=kx+6的图像经过A，B两点，则kx+b>0的解集是（）A．x>0 B．x<2C．x>－3 D．－3<x<26．（2004，安徽省）购某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，已知y=kx，•则这种国债的年利率为（ ） A ．k B ．3k C ．k －1 D ．13k - 7．（2006，浙江舟山）近阶段国际石油迅速猛涨，中国也受期影响，为了降低运行成本，部分出租车进行了改装，改装后的出租车可以用液化气来代替汽油．•假设一辆出租车日平均行程为300km ．（1）使用汽油的出租车，假设每升汽油能行驶12km ，当前的汽油价格为4.6元/L ，•当行驶时间为t 天时，所耗的汽油费用为p 元，试写出p 关于t 的函数关系式；（2）使用液化气的出租车，假设每千克液化气能行驶15～16km ，•当前的液化气价格为4.95元/kg ，当行驶时间为t 天时，所耗的液化气费用为w 元，试求w 的取值范围（用t 表示）；（3）若出租车要改装为使用液化气，每辆需配置成本为8000元的设备，•根据近阶段汽油和液化气的价位，请在（1）（2）的基础上，计算出最多几天就能收回改装设备的成本？•并利用你所学的知识简单说明使用哪种燃料的出租车对城市的健康发展更有益．（用20字左右谈谈感想）．8．（2006，枣庄）已知关于x 的二次函数y=x 2－m x+222m +与y=x 2－m x －222m +，这两个二次函数的图像中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．（1）试判断哪个二次函数的图像经过A ，B 两点； （2）若点A 坐标为（－1，0），试求点B 坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x•值的增大而减小？。
一次函数与方程、不等式、方程组关系PPT课件
05
CHAPTER
总结与展望
总结一次函数与方程、不等式、方程组的关系
一次函数与方程的关系
一次函数与方程组的关系
一次函数是线性方程的几何表示，通 过将方程中的x替换为函数表达式，可 以得到相应的方程。
一次函数可以用于解决线性方程组问 题，通过消元法或代入法将方程组转 化为一次函数的交点问题。
一次函数与不等式的关系
斜率
一次函数图像的倾斜程度 由斜率k决定，k>0时，图 像为增函数；k<0时，图 像为减函数。
截距
b为y轴上的截距，表示函 数与y轴交点的纵坐标。
一次函数的图像
绘制方法
通过代入一组x值计算对应的y值 ，得到一系列点，将这些点连接 成线即可得到一次函数的图像。
图像特点
一次函数图像是一条直线，斜率为 k，截距为b。
一次函数与方程、不等式、方 程组关系ppt课件
目录
CONTENTS
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程的关系 • 一次函数与不等式的关系 • 一次函数的应用 • 总结与展望
01
CHAPTER
一次函数的基本概念
一次函数的定义
01
02
03
一次函数
形如y=kx+b（k≠0）的 函数，其中x是自变量，y 是因变量。
一次函数与一元一次不等式组
一元一次不等式组
由两个或两个以上一元一次不等式组成的集合。
关系
对于一元一次不等式组，可以通过将其转化为一次函数的形式，利用函数的交点来求解。例如，解不等式组 $begin{cases} x + 2 > 0 x - 1 < 0 end{cases}$，可以将其转化为两个一次函数的形式，然后找到两个函数的 交点，即解集。
浅议一次函数与方程(不等式)的关系
浅议一次函数与方程（不等式）的关系发表时间：2018-09-11T10:57:13.667Z 来源：《教学与研究》2018年11期作者：董检容[导读] 从初中数学教材来看，七年级学习了一元一次方程和一元一次不等式，八年级学习了一次函数知识，学生一般对于这三方面知识了解得比较透彻董检容（湖南省耒阳市实验中学湖南耒阳 421800）摘要：从初中数学教材来看，七年级学习了一元一次方程和一元一次不等式，八年级学习了一次函数知识，学生一般对于这三方面知识了解得比较透彻，但对于三者之间的联系却知之甚少，因而教师应该贯穿着三方面的知识，使学生体会到一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的密切联系，感受到“数形结合”在数学研究的作用。
关键词：一元一次方程，一元一次不等式，关系。
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：ISSN0257-2826 （2018）11-014-02一、一次函数形如y=kx+b（k.b是常数，k≠0），用自变量的一次整式表示的函数叫一次函数.特别地，当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）叫做正比例函数。
通过该公式更能清楚的看到x和y的一一对应关系，只要确定了x（y），就能确定唯一的y（x）与之对应。
通过列表、描点、连线得到了一次函数的图像是一条直线。
那么学生知道了找直线与坐标轴的交点并连线就可以得到y=kx+b（k≠0）的图像.其中正比例函数象是经过原点的直线.在此基础上，还学习一次函数的图像与性质.例如.当k>0时，图象一定经过第一.三象限，当k<0时图像一定经过第二，四象限.而b>0时图像与y轴交于正半轴，b<0时图象与y轴交于负半轴.初学时学生感到枯燥，难懂，所以教师得借助多媒体课件进行授课.应用多媒体课件直观，明了，激发学生学习积极性。
二、一次函数与一元一次方程和一元一次不等式之间的关系从数学表达式上看，一次函数的表达式是y=kx+b，一元一次方程的表达式是kx+b=0，一元一次不等式的表达式是kx+b>（<）0.由此可见，一元一次方程式表达的是函数y=0时x的数值，而一元一次不等式表达的是y>0或者y<0时x的取值范围.以下举例说明：问：画出函数的图像，根据图像指出：(1)x取何值时，函数值y等于零？（2）x取何值时，函数值y大于零？【分析】：教师利用多媒体演示画出的图象.由图象可知当x=-2时，函数值等于零；当x>-2时函数值大于零归纳：从数的角度来看，一次函数y=kx+b（k≠0）的函数值是0时.对应的x的值就是一元一次方程kx+b=0的解；当一次函数y=kx+b的值大于0时，对应的x的值就是一元一次方程kx+b=0的解；当一次函数y=kx+b的值大于0时对应部分x取值的集合，就是不等式kx+b>0的解集；当一次函数y=kx+b的值小于0时，对应部分x的取值的集合，就不等式kx+b<0的解集. 从形的角度来看，直线y=kx+b（k≠0 ）与 x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解；直线y=kx+b位于x轴上方部分对应的x的值的集合，就是不等式kx+b>0的解集；直线y=kx+b位于x轴下方部分对应的x值的集合，就是不等式kx+b<0的解集【例】. 某零件制造车间有工人20名，已知每人每天可以制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20人中，车间每天安排x人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件。
第1课时一次函数与方程和一元一次不等式的关系
17.5 实践与探索第1课时 一次函数与方程组和一元一次不等式的关系学习目标：1.认识一次函数与方程组、一元一次不等式之间的联系．2.会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.自主学习一、知识链接y =2x +1与x 轴的交点坐标为 .2.直线y ＝3x ＋1与直线y ＝3x ＋2的位置关系是________.2368x y x y ，，的解为 .二、新知预习1．认识一次函数与二元一次方程的关系把二元一次方程2x ＋y ＝3写成一次函数y ＝kx ＋b 的形式，结果是____________．如果该方程的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝ ，那么该一次函数的图象经过点(2，________)；如果该一次函数的图象经过点(________，3)，那么该方程的一组解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝3. 【要点归纳】在一次函数y ＝kx ＋b 中，给定了一个变量的值，求另一个变量的值，就是解关于另一个变量的一元一次方程．体现在函数图象上，就是知道了一次函数图象上一个点的横坐标或纵坐标，求另一个坐标．特别地，当y ＝0时，一元一次方程kx ＋b ＝0中x 的解，就是一次函数图象与x 轴交点的横坐标；当x ＝0时，y ＝b 就是一次函数图象与y 轴交点的纵坐标．2．认识用图象法解二元一次方程组(1)在平面直角坐标系中画出函数y ＝x ＋2及y ＝－x ＋4的图象，根据图象写出这两个函数图象交点的坐标是________，由此知方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋4的解是________； (2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝－x ＋6的解是________，由此知直线y ＝2x ＋3与直线y ＝－x ＋6的交点坐标是________．【要点归纳】根据一次函数与二元一次方程的关系，二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2 (可以化成⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2的形式)的解，就对应着两个一次函数y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2图象的交点坐标．所以求两条直线交点的坐标，就转化为解二元一次方程组的解．合作探究一、探究过程探究点1：一次函数与二元一次方程组的关系问题：学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示,若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如下图所示．根据图象回答：(1)乙复印社的每月承包费是多少？(2)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？(3)如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社？问 ：“乙复印社的每月承包费”在图象上怎样反映出来？答 :“乙复印社的每月承包费”指当x ＝0时，y 的值，从图中可以看出乙复印社的每月承包费是200元．问 :“收费相同”在图象上怎样反映出来？答 :“收费相同”是指当x 取相同的值时，y 相等，即两条射线的交点．我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解．利用图象解方程组25, 1.yx y x【针对训练】小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l 1，l 2，如图所示，他解的这个方程组是( )．A. ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋2，y ＝12x －1B. ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋2，y ＝－xC. ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －8，y ＝12x －3D. ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝－12x －1探究点2：一次函数与一元一次方程、不等式的关系画出函数323+=x y 的图象，观察图象回答下列问题： (1)x 取何值时,0323=+x ？ (2)x 取哪些值时,0323>+x ？ (3)x 取哪些值时,0323<+x (4)x 取哪些值时,3323>+x【方法总结】从函数值看：求kx +b ＞0(或<0)(k ≠0)的解集⇄y =kx +b 的函数值大于(或小于)0时，x 的取值范围；从函数图象看：求kx +b ＞0(或<0)(k ≠0)的解集⇄确定直线y =kx +b 在x 轴上方(或下方)的图象所对应的横坐标的范围.利用函数图象解不等式：(1)251x x ->-+；(2)251x x -<-+.【方法总结】一次函数与一元一次不等式的关系：以不等式左右两边的整式为函数作两条直线，以交点分为左右两部分，在同一区域同一自变量下观察图象：上大下小.【针对训练】画出函数22y x =-+的图象,观察图象并回答问题.(1)确定当20<<y 时,对应的自变量的取值范围;(2)确定当11x -≤<时,对应的函数值的取值范围.二、课堂小结当堂检测1．如图，已知函数y ＝ax ﹣3和y ＝kx 的图象交于点P （2，﹣1），则关于x ，y 的方程组3,y ax y kx =-⎧⎨=⎩的解是（ ）A ．21x y =⎧⎨=-⎩B ．12x y =-⎧⎨=⎩C ．21x y =⎧⎨=⎩D ．21x y =-⎧⎨=⎩第1题图 第2题图 2．如图，若一次函数y ＝﹣2x +b 的图象与两坐标轴分别交于A 、B 两点，点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（2，0），则不等式﹣2x +b ＜0的解集为（ ）A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ＜4D ．x ＞4 3．若方程组21,31x yx y 的解为2,5x y ，则一次函数y =2x +1与y =3x -1的图象交点坐标为______.4．函数y ＝2x 和y ＝ax ＋4的图象相交于点A (m ，3)，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝ax ＋4的解为__________． y ＝kx ＋b 与y ＝mx ＋n 的图象如图所示．(1)写出关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝mx ＋n 的解； (2)若0＜kx ＋b ＜mx ＋n ，根据图象写出x 的取值范围．参考答案自主学习一、知识链接1. (-12，0) 2. 平行 3.6,2xy二、新知预习1. y=-2x+3 -1 -1 0 02.(1) (1,3)1,3xy(2)1,5xy(1,5)合作探究一、探究过程探究点1：一次函数与二元一次方程组的关系问题：解：（1）从图中可以看出乙复印社的每月承包费是200元.（2）由题意得0.4,2000.15,y xy x解得800,320.xy即当每月复印800页时，两复印社实际收费相同.（3）由图象可知，应该选择乙复印社.例1 解：在直角坐标系中画出两条直线，如下图所示．由图象观察可得:两条直线的交点坐标是(2,-1).两条直线的交点坐标是(2,-1)，所以方程组的解为⎩⎨⎧-==.1,2y x 【针对训练】 D 探究点2：一次函数与一元一次方程、不等式的关系 例2 解：图象如图所示.（1）当x =-2时，0323=+x . (2)当x >-2时,0323>+x . (3)当x <-2时,0323<+x . (4)当x >0时,3323>+x .例3 解：（1）由图象可知，251x x ->-+的解集为x >2.（1）由图象可知，152+-<-x x 的解集为x <2.【针对训练】解：图象如图所示. （1）0<x<1.（2）0<y≤4.当堂检测1. A2. A3. (2，5)4.5. 解：（1）由图象可知，方程组的解为3,4. xy（2）由图象可知，3<x<5.3,23 xy。
中考数学总复习一次函数与方程、不等式的关系
一次函数与方程、不等式的关系考点·方法·破译 1． 一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx ＋b ＝0(k 、b 为常数，k ≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y ＝kx ＋b 中，当y ＝0时则为一元一次方程．2． 一次函数与二元一次方程(组)的关系：⑴任何二元一次方程ax ＋by ＝c (a 、b 、c 为常数，且a ≠0，b ≠0)都可以化为y ＝a c x b b-+的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．3． 一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0(a 、b 为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．经典·考题·赏析【例1】直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为( )A ．x ＞－1B ．x ＜－1C ．x ＜－2D ．无法确定 【解法指导】由图象可知l 1与l 2的交点坐标为(－1，－2)，即当x ＝－1时，两函数的函数值相等；当x ＞－1时，l 2的位置比l 1高，因而k 2x ＞k 1x ＋b ；当当x ＜－1时，l 1的位置比l 2高，因而k 2x ＜k 1x ＋b ．因此选A ．【变式题组】01．(浙江金华)一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③当x ＜3时，y 1＜y 2中，正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．302．如图，已知一次函数y ＝2x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P (－2，－5)，则根据图像可得不等式2x ＋b ＞ax －3的解集是________． 03． (武汉)如图，直线y ＝kx ＋b 经过A (2，1)，B (－1，－2)两点，则不等式12x ＞kx ＋b ＞－2的解集为_________．第1题图 第2题图 第3题图【例2】若直线l 1：y ＝x －2与直线l 2：y ＝3－mx 在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m 的取值范围． 【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足00x y >⎧⎨>⎩，从而求出m 的取值范围．解：23y x y mn =-⎧⎨=-⎩，∴51321x mm y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴00x y >⎧⎨>⎩，∴5013201m m m⎧>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，即10320m m +>⎧⎨->⎩，∴－1＜m ＜32．【变式题组】01． 如果直线y ＝kx ＋3与y ＝3x －2b 的交点在x 轴上，当k ＝2时，b 等于( )A ．9B ．－3C ．32-D ．94-02． 若直线122y x =-与直线14y x a =-+相较于x 轴上一点，则直线14y x a =-+不经过( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限03． 两条直线y 1＝ax ＋b ，y 2＝cx ＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c 而解出它们的交点坐标为(34，14)，则这两条直线的解析式为____________．04． 已知直线y ＝3x 和y ＝2x ＋k 的交点在第三象限，则k 的取值范围是________．【例3】已知直线l 1经过点(2，5)和(－1，－1)两点，与x 轴的交点是点A ，将直线y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得到l 2，l 2与l 1的交点是点C ，l 2与x 轴的交点是点B ，求∴ABC 的面积．【解法指导】设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ，∴l 1经过(2，5)，(－1，－1)两点， ∴251k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩，∴y ＝2x ＋1，∴当y ＝0时，2x ＋1＝0，x ＝12-，∴A (12-，0)．又∴y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得l 2，∴l 2的解析式为y ＝－6x ＋9， ∴当y ＝0时，－6x ＋9＝0，x ＝32，∴B (32，0)． ∴2169y x y x =+⎧⎨=-+⎩，∴13x y =⎧⎨=⎩，∴C (1，3)，∴AB ＝32－(12-)＝2，∴S ∴ABC ＝12×2×3＝3．【变式题组】01． 已知一次函数y ＝ax ＋b 与y ＝bx ＋a 的图象相交于A (m ，4)，且这两个函数的图象分别与y 轴交于B 、C 两点(B 上C 下)，∴ABC 的面积为1，求这两个一次函数的解析式． 02． 如图，直线OC 、BC 的函数关系式为y ＝x 与y ＝－2x ＋6．点P (t ，0)是线段OB 上一动点，过P 作直线l 与x 轴垂直．⑴求点C 坐标； ⑵设∴BOC 中位于直线l 左侧部分面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；⑶当t 为何值时，直线l 平分∴COB 面积． 演练巩固·反馈提高 01． 已知一次函数y ＝32x ＋m ，和y ＝12-x ＋n 的图象交点A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，那么∴ABC 的面积是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．602． 已知关于x 的不等式ax ＋1＞0(a ≠0)的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(1，0)第3题图 第6题图03． 如图，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A (－4，0)，则y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＞－4B ．x ＞0C ．x ＜－4D ．x ＜0 04． 直线kx －3y ＝8，2x ＋5y ＝－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－205． 直线y ＝kx ＋b 与坐标轴的两个交点分别为A (2，0)和B (0，－3)．则不等式kx ＋b ＋3≥0的解集为( ) A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ≥2 D ．x ≤206． 如图是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象l 1、l 2，设y 1＝k 1x ＋b 1，y 2＝k 2x ＋b 2，则方程组111222y k x b y k x b ⎧⎨⎩＝＋，＝＋的解是( )A ．22x y =-⎧⎨=⎩B ．23x y =-⎧⎨=⎩C ．33x y =-⎧⎨=⎩D ．34x y =-⎧⎨=⎩07． 若直线y ＝ax ＋7经过一次函数y ＝4－3x 和y ＝2x －1的交点，则a ＝_________．08． 已知一次函数y ＝2x ＋a 与y ＝－x ＋b 的图象都经过A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，则S ∴ABC ＝_________．09． 已知直线y ＝2x ＋b 和y ＝3bx －4相交于点(5，a )，则a ＝___________．10．已知函数y ＝－x ＋m 与y ＝mx －4的图象交点在x 轴的负半轴上，则m 的值为__________． 11．直线y ＝－2x －1与直线y ＝3x ＋m 相交于第三象限内一点，则m 的取值范围是___________． 12．若直线122a y x =-+与直线31544y x =-+的交点在第一象限，且a 为整数，则a ＝_________． 13．直线l 1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l 2与l 1交于点(－2，a )，且与y 轴的交点的纵坐标为7．⑴求直线l 2、l 1的解析式；⑵求l 2、l 1与x 轴围成的三角形的面积； ⑶x 取何值时l 1的函数值大于l 2的函数值？14．(河北)如图，直线l 1的解析式为y ＝－3x ＋3，l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A (4，0)，B (3，32-)． ⑴求直线l 2的解析式； ⑵求S ∴ADC ；⑶在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得S ∴ADP ＝S ∴ADC ，求P 点坐标．第14题图15．已知一次函数图象过点(4，1)和点(－2，4)．求函数的关系式并画出图象．⑴当x 为何值时，y ＜0，y ＝0，y ＞0？ ⑵当－1＜x ≤4时，求y 的取值范围； ⑶当－1≤y ＜4时，求x 的取值范围．16．某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2h时血液中含药量最高，达每毫升6μg (1μg ＝10－3mg )，接着就逐步衰减，10h 后血液中含药量为每毫升3μg ，每毫升血液中含药量y (μg )随时间x (h )的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后， ⑴分别求x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；⑵如果每毫升血液中含药量在4μg 或4μg 以上时，治疗疾病才是有效的，那么这个有效时间是多长？第16题图l 2。
一次函数与方程和不等式关系PPT课件
生产计划
在生产计划中，一次函数、 方程和不等式可以一起使 用，优化生产流程和提高 生产效率。
数据分析
在数据分析中，一次函数、 方程和不等式可以一起使 用，处理数据、建立数学 模型并解释结果。
05
总结与展望
一次函数、方程和不等式的重要性和意义
一次函数、方程和不等式是数学中的基础概念，对 于培养学生的逻辑思维、问题解决能力和数学素养 具有重要意义。
一次函数与方程和不等式关系 ppt课件
目
CONTENCT
录
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程的关系 • 一次函数与不等式的关系 • 实际应用中的一次函数、方程和不
等式 • 总结与展望
01
一次函数的基本概念
一次函数的定义
一次函数
一般形式为y=kx+b（k≠0），其 中x是自变量，y是因变量，b是截 距，k是斜率。
随着数学与其他学科的交叉融 合，对于一次函数、方程和不 等式的研究也在不断深入，需 要加强与其他学科的合作与交 流，推动数学在各领域的应用 和发展。
随着信息技术的发展，数学教 育正面临着新的挑战和机遇， 需要加强信息技术与数学教育 的融合，利用信息技术手段提 高教学效果和学生的学习体验 。
THANK YOU
单调性
当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减 。
有界性
一次函数的值域为全体实数R。
02
一次函数与方程的关系
一次函数与一元一次方程
一次函数与一元一次方程具有密切的联系。一元一次方程可以看 作是y为常数的一次函数，其解即为函数的交点。通过对方程进行 求解，可以得到与一次函数交点的x坐标。
一次函数是代数函数中的基础，其图像为直线，通 过研究其性质可以帮助学生理解函数的增减性、单 调性等概念。
2023人教版一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题19.4 一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】【人教版】【题型1 一次函数与一元一次方程的解】 (1)【题型2 两个一次函数与一元一次方程】 (2)【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 (3)【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】 (3)【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】 (4)【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】 (4)【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】 (5)【题型8 绝对值函数与不等式】 (6)【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】 (8)【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 (10)【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时， 即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.【题型1 一次函数与一元一次方程的解】【例1】（2022秋•白塔区校级月考）直线y＝3x﹣m﹣4经过点A（m，0），则关于x的方程3x﹣m﹣4＝0的解是．【变式1-1】（2022春•安阳县期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为．【变式1-2】（2022春•雷州市校级期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝4的解是（）A．x＝3B．x＝4C．x＝0D．x＝b【变式1-3】（2022秋•招远市期末）已知关于x的一次函数y＝3x+n的图象如图，则关于x的一次方程3x+n ＝0的解是（）A．x＝﹣2B．x＝﹣3C．D．【题型2 两个一次函数与一元一次方程】【例2】（2022秋•双流区期末）已知一次函数y＝5x+m的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点（﹣2，4）（k，m是常数），则关于x的方程5x＝kx﹣m的解是．【变式2-1】（2022秋•龙岗区期末）如图，函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣1的图象交于点P，则关于x的方程kx﹣1＝2x+b的解是．【变式2-2】（2022秋•苏州期末）已知一次函数y＝kx+1与的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx +b ＝0的解．【变式2-3】（2022秋•包河区期末）已知直线y ＝x +b 和y ＝ax +2交于点P （3，﹣1），则关于x 的方程（a ﹣1）x ＝b ﹣2的解为 ．【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】【例3】（2022春•江都区校级月考）若一次函数y ＝kx +b （k 为常数且k ≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x 的方程k （x ﹣5）+b ＝0的解为 ．【变式3-1】（2022•姜堰区一模）若一次函数y ＝ax +b （a 、b 为常数，且a ≠0）的图象过点（2，0），则关于x 的方程a （x +1）+b ＝0的解是 ．【变式3-2】（2022秋•庐阳区校级期中）若关于x 的一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （﹣1，0），则方程k （x +2）+b ＝0的解为 ．【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）将直线y ＝kx ﹣2向下平移4个单位长度得直线y ＝kx +m ，已知方程kx +m ＝0的解为x ＝3，则k ＝ ，m ＝ ． 【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】【例4】（2022春•夏津县期末）如图，根据函数图象回答问题：方程组{y =kx +3y =ax +b的解为 ．【变式4-1】（2022•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y ＝k 1x +b 1与y ＝k 2x +b 2的图象如图所示，则关于x ，y 的方程组{y −k 1x =b 1y −k 2x =b2的解是 ．【变式4-2】（2022秋•西乡县期末）已知二元一次方程组{x −y =−5x +2y =−2的解为{x =−4y =1，则在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝x +5与直线l 2：y =−12x ﹣1的交点坐标为（ ）A ．（4，1）B ．（1，﹣4）C ．（﹣1，﹣4）D ．（﹣4，1）【变式4-3】（2022•德城区二模）若以关于x 、y 的二元一次方程x +2y ﹣b ＝0的解为坐标的点（x ，y ）都在直线y =−12x +b ﹣1上，则常数b 的值为（ ）A ．12B ．1C ．﹣1D ．2【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】【例5】（2022秋•泰兴市校级期末）已知关于x ，y 的方程组{y =kx +by =(3k −1)x +2（1）当k ，b 为何值时，方程组有唯一一组解； （2）当k ，b 为何值时，方程组有无数组解； （3）当k ，b 为何值时，方程组无解．【变式5-1】（2022秋•苏州期末）若二元一次方程组{3x +y =−12x +my =−8有唯一的一组解，那么应满足的条件是（ ） A ．m =23B ．m ≠23C ．m =−23D ．m ≠−23【变式5-2】（2022春•覃塘区期中）如果关于x ，y 的方程组{x +y =1ax +by =c 有唯一的一组解，那么a ，b ，c的值应满足的条件是（ ） A ．a ≠bB ．b ≠cC ．a ≠cD ．a ≠c 且c ≠1【变式5-3】（2022春•高明区期末）k 为何值时，方程组{kx −y =−133y =1−6x 有唯一一组解；无解；无穷多解？【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】【例6】（2022•海淀区校级自主招生）已知一次函数y ＝kx +b 中x 取不同值时，y 对应的值列表如下：x … ﹣m 2﹣1 1 2 … y…﹣2n 2+1…则不等式kx +b ＞0（其中k ，b ，m ，n 为常数）的解集为（ ） A ．x ＞1B ．x ＞2C ．x ＜1D ．无法确定【变式6-1】（2022春•龙岗区期末）如图，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （﹣3，2），B （1，0），则关于x 的不等式kx +b ＜2解集为 ．【变式6-2】（2022春•湖南期中）已知关于x 的不等式ax +1＞0（a ≠0）的解集是x ＜1，则直线y ＝ax +1与x 轴的交点是（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，0）C ．（0，﹣1）D ．（1，0）【变式6-3】（2022春•高明区校级期末）如图，直线y ＝kx +b 与直线y =−12x +52交于点A （m ，2），则关于x 的不等式kx +b ≤−12x +52的解集是（ ）A ．x ≤2B ．x ≥1C ．x ≤1D ．x ≥2【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】【例7】（2022•钟山县校级模拟）直线l 1：y ＝k 1x +b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 2x ＞k 1x +b 的解集为（ ）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞﹣1D ．x ＜﹣1【变式7-1】（2022•烟台）如图，直线y ＝x +2与直线y ＝ax +c 相交于点P （m ，3），则关于x 的不等式x +2≤ax +c 的解集为 ．【变式7-2】（2022春•楚雄州期末）已知关于x的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，4）、B（0，3）．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）若关于x的一次函数y＝mx+n（m＜0）的图象也经过点A，则关于x的不等式mx+n≥kx+b的解集为．【变式7-3】（2022春•潮安区期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；（3）求△ADC的面积．【题型8 绝对值函数与不等式】【例8】（2022秋•临海市校级月考）小敏学习了一次函数后，尝试着用相同的方法研究函数y＝a|x﹣b|+c 的图象和性质．（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|和y＝|x﹣2|+1的图象；（2）猜想函数y＝﹣|x+1|和y＝﹣|x+1|﹣3的图象关系；（3）尝试归纳函数y＝a|x﹣b|+c的图象和性质；（4）当﹣2≤x≤5时，求y＝﹣2|x﹣3|+4的函数值范围．【变式8-1】（2022秋•玄武区期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y ＝|x |的图象和性质，并解决问题．（1）完成下列步骤，画出函数y ＝|x |的图象； ①列表、填空；x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y …31123…②描点； ③连线．（2）观察图象，当x 时，y 随x 的增大而增大； （3）根据图象，不等式|x |＜12x +32的解集为 ．【变式8-2】（2022春•确山县期末）画出函数y ＝|x |﹣2的图象，利用图象回答下列问题： （1）写出函数图象上最低点的坐标，并求出函数y 的最小值； （2）利用图象直接写出不等式|x |﹣2＞0的解集；（3）若直线y ＝kx +b （k ，b 为常数，且k ≠0）与y ＝|x |﹣2的图象有两个交点A （m ，1），B （12，−32），直接写出关于x 的方程|x |﹣2＝kx +b 的解．【变式8-3】（2022春•重庆期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝|2x+4|+x+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）如表是部分x，y的对应值：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…0n﹣2﹣3﹣4﹣1258…根据表中的数据可以求得m＝，n＝；（2）请在给出的平面直角坐标系中，描出以如表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点画出该函数的图象；（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质；（4）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣4，﹣2）和点（1，5），结合你所画的函数图象，直接写出不等式kx+b＜|2x+4|+x+m的解集．【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】【例9】（2022秋•青田县月考）如图，可以得出不等式组{ax+b＜0cx+d＞0的解集是（）A ．x ＜﹣1B ．﹣1＜x ＜0C ．﹣1＜x ＜4D ．x ＞4【变式9-1】（2022春•南康区期末）如图，直线y ＝﹣x +m 与直线y =12x +3交点的横坐标为﹣2．则关于x 的不等式组{−x +m ＞12x +312x +3＞0的解集为 ．【变式9-2】（2022•富阳区二模）如图，直线y ＝kx +b 经过点A （﹣1，3），B （−52，0）两点，则不等式组0＜kx +b ＜﹣3x 的解集为 ．【变式9-3】（2022•青羊区校级自主招生）如图，直线y 1＝ax +2与y 2＝bx +4交于点N （1，a +2），将直线y 1＝ax +2向下平移后得到y 3＝ax ﹣5，则能使得y 3＜y 2＜y 1的x 的所有整数值分别为（ ）A ．1，2，3B ．2，3C ．2，3，4D ．3，4，5【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】【例10】（2022•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）A ．{2x +y ≥53x +4y ≥9y ≥0B ．{2x +y ≤53x +4y ≤9y ≥0C ．{2x +y ≥53x +4y ≥9x ≥0D ．{2x +y ≤53x +4y ≥9x ≥0【变式10-1】（2022秋•包河区期中）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集（ ）A ．x ﹣y ≤﹣5B ．x +y ≥﹣5C ．x +y ≤5D ．x ﹣y ≤5【变式10-2】（2012春•南岸区期末）如图，用不等式表示阴影区域为（ ）A ．x +y ≤0，且x ﹣y ≥0B ．x +y ≥0，且x ﹣y ≥0C ．x +y ≥0，且x ﹣y ≤0D ．x +y ≤0，且x ﹣y ≤0【变式10-3】（2022春•广水市期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程x ﹣y ＝0的一个解{x =1y =1可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程x ﹣y ＝0的解为坐标的点的全体叫作方程x ﹣y ＝0的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程x ﹣y ＝0的图象称为直线x ﹣y ＝0．直线x ﹣y ＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M （x 0，y 0）的坐标满足不等式x ﹣y ≤0，那么点M （x 0，y 0）就在直线x ﹣y ＝0的上方区域内．特别地，x ＝k （k 常数）表示横坐标为k 的点的全体组成的一条直线，y ＝m （m 为常数）表示纵坐标为m 的点的全体组成的一条直线．请根据以上材料，探索完成以下问题：（1）已知点A （2，1）、B （83，32）、C （136，54）、D （4，92），其中在直线3x ﹣2y ＝4上的点有 （只填字母）；请再写出直线3x ﹣2y ＝4上一个点的坐标 ；（2）已知点P （x ，y ）的坐标满足不等式组{0≤x ≤40≤y ≤3则所有的点P 组成的图形的面积是 ； （3）已知点P （x ，y ）的坐标满足不等式组{0≤x ≤10≤y ≤2x −y ≥0，请在平面直角坐标系中画出所有的点P 组成的图形（涂上阴影），并求出上述图形的面积．。
2025年中考数学总复习 第十四讲 函数与方程、不等式的关系++++课件
则不等式-kx-5> 的解集是
( B )
A.x<0
C.x≠0
B.x>0
D.x<1
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考点3
二次函数与方程、不等式
【例3】(2024·遂宁中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的对称轴
为直线x=-1,且该抛物线与x轴交于点A(1,0),与y轴的交点B在(0,-2),(0,-3)之间(不含
解得b=-1.
(2)∵当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=x-1的值,也大
于函数y=-x+3的值,
∴m≥1.∴m的取值范围是m≥1.
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【方法技巧】
一次函数与方程、不等式的两类综合问题
1.一次函数与方程:
(1)已知一次函数的函数值的问题,对应方程kx+b=0或kx+b=m;
12
知识要点
5.二次函数与含a、b、c不等式的关系
(1)不等式ax2+bx+c>0的解集⇔抛物线位于_________上方对应的点的横坐标的
x轴
取值范围.
(2)不等式ax2+bx+c<0的解集⇔抛物线位于_________下方对应的点的横坐标的
x轴
取值范围.
(3)二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=kx+m相交
第十四讲
函数与方程、
不等式的关系
必备知识·夯根基
高频考点·释疑难
山东3年真题
必备知识·夯根基
3
知识要点
1.一次函数与方程(组)的关系
(1)一次函数y=kx+b的表达式是一个______________方程.
一次函数与方程组、不等式的关系
一次函数与方程组、不等式的关系
一次函数与方程组、不等式的关系
一、概述
一次函数，又称一元函数，是利用一个变量由常数、指数、对数、三
角函数和其他的混合动态变量构成的函数。
它可以以简单的一次曲线
定义某一参数变化情况，也可以定义涉及多个变量的复杂方程组，对
曲线参数进行函数式分析和证明。
一次函数可以看做是方程组和不等
式的特例，与方程组、不等式关系密切。
二、一次函数与方程组的关系
一次函数可以看做方程组的特殊情况，当某一方程只有一个未知数时，它就可以转换成一次函数，并有着一定的图形表示，简化了对其进行
分析的过程，极大的提高了效率。
如当一组方程组均为一个未知数冚
构成时，若满足一次函数的性质，那么这组方程组就可以看做是一次
函数的特殊情况。
例如，若我们有一组以y=2x+1构成的一次函数，那么它就可以表示为
形如y-2x-1=0的方程，也就是图形上红色一次函数曲线对应着满足蓝
色方程线的点。
三、一次函数与不等式的关系
与方程组类似，不等式也可以通过一次函数转换，当某一不等式只有一个未知数构成时，就可以用一次函数进行表示，并且由于不等式的加减性，不同类型的不等式有着不同的图形表示。
例如，当y<2x+1的不等式表达式转换为一次函数时，我们可以得到一条红色的上限函数曲线，它就可以表示不等式表达式所给出的结果，也就是解空间位于红色曲线之下的点才符合不等式表达式。
四、总结
一次函数与方程组、不等式的关系密切，它们各自都可以通过对另一个的转换来进行数学分析和求解，而一次函数的表示也简化了数学求解的难度，可以有效的提高效率。
一次函数与一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组
一、一次函数与一元一次方程的关系直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。
求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x bk=-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，bk -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。
二、一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
三、一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式y bk 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。
一、一次函数与一元一次方程综合【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．0【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______． 【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______．二、一次函数与一元一次不等式综合【例4】 已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当32x =时，y 的值； （3）求出当3y =-时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y <【例5】 当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：（1）x 轴上方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限．【例6】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．5x >B ．12x < C ．6x <- D ．6x >-【例7】 已知一次函数23y x =-+（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化?（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?【例8】 直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______．【例9】 若解方程232x x +=-得2x =，则当x _________时直线2y x =+上的点在直线32y x =-上相应点的上方．【例10】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为______．【例11】 已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：（1）当2x =时，y 的值； （2）x 为何值时，0y <？（3）当21x -≤≤时，y 的值范围； （4）当21y -<<时，x 的值范围．三、一次函数与二元一次方程（组）综合【例12】 已知直线3y x =-与22y x =+的交点为（-5，-8），则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________．【例13】 已知方程组y ax c y kx b -=⎧⎨-=⎩（a b c k ，，，为常数，0ak ≠）的解为23x y =-⎧⎨=⎩，则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为________．【例14】 已知24x y =⎧⎨=⎩，是方程组73228x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，那么一次函数y =________和y =________的交点是________．【例15】 一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例16】 已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A（2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．【例17】 阅读：我们知道，在数轴上，1x =表示一个点，而在平面直角坐标系中，1x =表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程210x y -+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21y x =+的图象，它也是一条直线，如图①． 观察图①可以得出：直线1x =与直线21y x =+的交点P 的坐标(1，3)就是方程组1210x x y =⎧⎨-+=⎩的解，所以这个方程组的解为13x y =⎧⎨=⎩； 在直角坐标系中，1x ≤表示一个平面区域，即直线1x =以及它左侧的部分，如图②；21y x ≤+也表示一个平面区域，即直线21y x =+以及它下方的部分，如图③．(1)y=2x+1x=1x=1(2)(3)回答下列问题．⑴在下面的直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组122x y x =-⎧⎨=-+⎩的解；2y 1=2x+1(4)⑵在上面的直角坐标系中，用阴影表示2220x y x y ≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩所围成的区域．⑶如图⑷，表示阴影区域的不等式组为： .【例18】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0【例19】 如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，，则0y >时，x 的取值范围是（ ） A.4x >-B ．0x >C.4x <-D ．0x <【例20】 当自变量x 满足什么条件时，函数23y x =-+的图象在：（1）x 轴下方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限．【例21】 一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <【例22】 已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值范围是（ ）A ．20y -<<B ．40y -<<C ．2y <-D ．4y <-【例23】 线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限？【例24】 如图所示的是函数y kx b =+与y mx n =+的图象，求方程组kx b ymx n y +=⎧⎨+=⎩的解关于原点对称的点的坐标是________．【例25】 一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>C ．2x <-D ．0x <【例26】 如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是________．【例27】 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（ ）A.无解B.有唯一解C.有无数个解D.以上都有可能【例28】 b 取什么整数值时，直直线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限？练习1．直线y=kx+3与x 轴的交点是（1，0），则k 的值是 。
函数、方程、不等式之间的关系
函数、方程、不等式之间的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示：该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示：很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制对应的函数图象呢函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
8年级一次函数与不等式方程的关系.doc
一次函数与方程及一元一次不等式一、核心纲要1. 一次函数与一元一次方程的关系直线y = hc + b(k 丰0)与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx + b = 0仗丰0)的解。
求直线y = kx + bb hb 与天轴交点时•，可令尸0,得到方程kx + b = 0,解方程得x = -Y ，直线y = kx + b 交％轴于点(-？, 0), 一?k kk就是直线y = kx + b 与兀轴交点的横坐标。
注：(I)从“数”看：kx + b = 0(k 0)的解O 在一次函数y = kx + b(k 0)中，令y=0时，兀的值。
(2)从“形”看：d + b = 0仗工0)的解o —次函数y = la + b(k^0)的图像与x 轴交点的横坐标。
2. 一次函数与一元一次不等式的关系(1) 任何一元一次不等式都可以转化为ax + b>0或ax + b<0 (a,b 为常数，QH O)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量相应的取值范馬。
(2) 函数图像的位置决定两个函数值的大小关系：哪一个函数图像处于上方，则哪一个比较大。
特别说明：函数y 的图像在无轴上方oy>0；函数y 的图像在兀轴下方oyVO 。
3. 一次函数与二元一次方程(组)的关系(1) 一次函数的解析式y = kx + b(k^Q)^身就是一个二元一次方程，直线y = +上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程$ =总+ /?伙工0),因此二元一次方程的解也就有无数个。
(2) 一次函数y = kx + b(k^0)① 从“数”看：它是一个二元一次方程;② 从“形”看：它是一条直线。
二—直线y=kx-b(k=0)上的每一个点的横、纵坐标 廿:声T 的解<^=^>直线比与门的交点的横纵坐标 y ?=k ?x-rb ?4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解V =化无+也〜1'有唯一解O •百线V 二心兀+勺不平行于玄线V = + H 怎y = k 1x^b 1二兀一次方程y=kx-b(k= 0)的每一组解 方程组(1)二元一次方程组I y = k.x^b.亠，一亠，（2）二兀一次方程组{ 无解O直线y =斤[无+也平行于直线y = k^x + b^ o k{ = k2.b} b2I y = k2x + b2 y = k.x + b}（3）二元一次方程组{ 有无数多个解o直线y = 3 + ®与y = k^x + b^重合o k}= k»b、=[y = k2x^b25.比较两个函数值人小的方法（1）画图像，求交点；（2）过交点作平行于y轴的氏线：（3）谁高谁大。
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从图中看出： x < 2
∴ 不等式 5x+4 < 2 x +10 的解集是x < 2
=1 当y1= y2时，x___ <1 >1 当y1> y2时，x___ >1 <1 当y1< y2时，x___
y1在y2的下方
看两直线的交点 y1在y2的上方
y1 2
y2 1
基础练习，提高能力
（4，0） x>4
y
y = -x+6
6
A P
y= 1 2 x
2 O 4
B
6
x
直线y k 1 x b 1与直线y k 2 x b 2(k 1 k 2 )的交点坐标（m，n ） y k 1 x b 1 x m 等价于： 的解是 方程组 b2 y k 2 x y n
x<2
所以不等式的解集为:x<2
用函数观点看不等式
一次函数与一元一次不等式
解法二：画出函数 y = 2x+10和y = 5x+4图象 思路：不等式5x+4＜2x+10可以看成 是两个函数值 y之间的大小比较，具 体在图象上是两条直线间的位置关系。 不等式5x+4 < 2x +10 即直线 y = 5x +4 在 y = 2x +10 下 的___方
y = ２x －２
解：作出函数 y =２x－２的图象
及直线y = ４ （如图）
从图中可知：
y= ４
（1）当 x = ３ 时，函数值 y 为４。 （2）当x > ３ 时，函数值 y ＞４。 （3）当x <３ 时，函数值 y ＜４。
用函数观点看不等式
一次函数与一元一次不等式
例题:用画函数图象的方法 解不等式5x+4＜2x+10 解法1:原不等式化为:3x -6<0, 画出直线 y = 3x -6 (如图) 即这时y = 3x -6 <0
作直线ｙ＝ｘ＋３ ｘ ０ －３ ｙ３ ０
ｙ＝ｘ＋３
ｘ＿＿时，ｙ＝３ ＝０ ＞０ ｘ＿＿时，ｙ＞３ ｘ＿＿时，ｙ＜３ ＜０
作直线ｙ＝ｘ＋３ ｘ ０ －３ ｙ３ ０
ｙ＝ｘ＋３ ＝－１ ｘ＿＿时，ｙ＝２ ＞－１ ｘ＿＿时，ｙ＞２
作直线y = ２
ｘ＿＿时，ｙ＜２ ＜－１
用函数观点看不等式
一次函数与一元一次不等式 已知一次函数 y = ２x－２,根据它的图象回答下列问题. (1) x 取什么值时,函数值 y 为4? (2) x 取什么值是,函数值 y 大于4? (3) x 取什么值时,函数值 y 小于4?
两个函数图象的交点就是原方程组的解.
y
0 1 2 -2
x
如图:两函数图象的交点是(3,0)
所以原方程组的解是
x3 y0
1 y x x 4 3 若 方程 组 2 的 解是 , y 2 y x 6 1 则 直线y x 、 直 线y x 6 与 y轴 2 ( no ) 围 成的 三角 形面 积为. 6
即：方程组的解
两条直线的______ 交点
2.实践题
小明和小慧在长为50m的游泳池内练习游泳,小明每 分游50m,小慧每分游20m,他们同时从一边出发游向对 面,并且到达对面后立即转身返回(转身时间不计)。 问：小慧游完一个来回与小明在途中共相遇几次?
y(m) 小明 小慧
50
o
2 2.5 3 5 4 由图象得小慧与小明在途中共相遇4次
x<4
4<x<6
x>6
y=2 y=-1
基础练习，提高能力
x<-2 X>-2
X>-2
求三角形面积
令y1=y2,先求x, 再把x代入求y
令x=0,求y
令y2=0,求x
令x=0,求y
令y1=0,求x
7.5
y2
(小明)
∵过（2.5，7.5），（4，0） (2)试求出A,B两地之间的距离. k=－5 ∴ 7.5=2.5k+b ∴ 4 x(h) 2.5 0=4k+b b=20 o 1 解：（1）小东和小明出发2.5小时相遇，并且离B地7.5千米 ∴ y1=－5x+20 当x=0时，y1=20
∴A，B两地的距离为20千米
一次函数
二元一次 方程
直
线
二元一次方程的一般式: ax+by+c=0 (a ≠ 0,b ≠0)
一次函数的解析式: 图像是 直线
转化
a c y x b b
过(0, b ),( 点的直线。
b k ,0)
.
y=kx+b (k ≠0)
注意1: 求x轴交点（ ，0）令y=0 求 y轴交点（ 0 ， ）令x=0 . (2) 在直角坐标系中的直线都是一次函数. (no ) 注意2: “形”的角度看问题.
-2 -1
1 ( ,0) (1)直线y=2x－1与x轴的交点坐标为 2
( yes)
y
y=1
1
O -1
1
2
x
2x y 5 图象法 x2 解得： 解方程组： x y 1 y 1
(1)转化 转化为y ax b的形式 y 5 2x 即: y x 1 (2)画图
画出两个函数图象 (3)找交点
把方程组化为:
y 2x 1 5 y 2x 2
x
在直角坐标系中画出 这两条直线的图像 由图得，两直线平行 即：两直线无交点
∴方程组无解
巩固练习: 用图象法解:
x 2y 3 2x y 6
3 x y 2 2 y 2x 6
解:原方程组可转化为两个函数:
图象法解方程组 的步骤:
y
1 0 1 2
(2,1)
x
交点坐标为（2，1）即x=2,ｙ＝１
二元一次方程组 解 对应关系: 两个一次函数图象 交点坐标
y 2x 1 用图象法解方程组: 4 x 2 y 5
y
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 0 1 2 3 4
x(分)
“数形结合”思想
3.综合题
小东从A地出发以某一速度向B地前进，同时小 明从B地出发以另一速度向A地前进(见下图)，图中 的线段y1,y2分别表示小东、小明离B地的距离(km) 与所用时间(h)的关系. y(km)
(1)试用文字说明：
y1
(小东)
P
交点P所表示的实际意义. 解：（2）设直线y1=kx+b (k≠0）
y
用函数观点看方程 y=2x−12
一次函数与一元一次方程
解kx+b=0 等价于哪两个问题?
O −12
6
x
(1)可以转化为求一 次函数 0 =kx+b y
(2)从图象上看， 这相当于求已知直线 变式:方程3x−10=x+2的解 y=kx+b与___轴交点的 x 横 ___坐标的值．
方程2x−12=0的解