第2章3_单元刚度方程和单元刚度矩阵

vj
w
j
T
T
K ( e)
(6) 空间刚架单元

空间刚架单元每个节点具有应有6个自由度，即沿三个坐 标轴方向的线位移及分别绕三个坐标轴的转角 。杆端位 移和杆端力向量均为12阶。 单元的杆端力向量可表示为:
(e)

F FNi FQiy FQiz Mix Miy Miz FN j FQ jy FQ jz M jx M jy M jz
EA 0 EA 0 0 l l 3 EI 3 EI 3 EI 0 0 3 2 3 l l l (e) EA 0 0 0 K EA l l 3 EI 3 EI 3 EI 0 3 0 3 2 l l l 3EI 3EI 0 3EI 0 2 2 l l l
uj=1
x
EA l
y
6EI l2
l l
l
l
y
6EI l2
2EI EI l 6EI l x l2 EI uj 1 6EI l l2 uj 1 EA l
Mi
x
2EI l
y
12EI l3
0j 1
j
12EI l3
6EI l2
6EI l2
x 4 EI
0 0
EA l
6EI 12EI l2 l3
2EI l
N N
FNi EA 0 l 0 EA FNj l 0 0
0 EA 0 u i l 0 0 0 v i EA 0 u j 0 l v 0 0 0 j
y
6EI l2
6EI 2 4EI l6EI l 0 1
l2
4EI l
x
l
6 EI l2
2 EI l
Nj
EA l
6EI l2
l
l
0
6EI l2
0
6 EI l2
0
12EI l3
0
6 EI l2
x
u l
12EI l3
j
1
y
vj
6EI l2
Qj
1
0 0
12EI l3ห้องสมุดไป่ตู้
0 0
vj=1
x
6EI 12EI l2 3 l 12EI l3
第三节 单元刚度方程和单元 刚度矩阵
单元的杆端力和杆端位移之间的关系是通过单元刚
度方程反映出来的，本节重点掌握单元刚度矩阵中 每个刚度系数的物理意义，由此求得不同杆单元的 刚度矩阵。
（1）单元刚度方程

单元的刚度方程：


F (e) K (e)δ(e) 单元的刚度方程给出了单元的杆端位移δ(e)与杆端力F(e) 之间的关系. 其中矩阵K(e) 称为单元刚度矩阵。 单元刚度矩阵是一 个方阵 . 它的阶数和内容视单元而定。如杆端位移 δ(e) 和杆端力F(e)为6阶向量，则K(e)为6X6方阵。
1 1
l l
3EI 3EI l2 l2 3EI 3EI l3 l3
3EI l2
3EI l
3EI l2
0
3EI l3
0
3EI l2
0
3EI l3
vj=1
l l
3EI 3EI l3 l3
Qj
0
0
分别填写在ui=1 ，vi =1 ，θi=1， uj=1，vj=1， 作用下，杆左右端 截面的轴力、剪力、弯矩及右端截面的轴力、剪力。由此可得单 元的刚度方程：



ui=1
x x
vi =1
θi=1
uj=1
vj=1
vi=1
Ni
EA l
0
3EI l3
0
3EI l2
EA l
0
3EI l3
l l y y
3EI 3EI l l
Qi
x x
3EI 3EI l2 l2
0 0
EA l
0 0
EA l
θi=1
3EI 3EI l2 l2
0 0ii
1 1
Mi
Nj
v vjj
y 6EI vi l 21
vi=1
6EI 12EI 2 l l3
x
Ni
y
EA l
0
l
12EI l3
vj
0x
x
1
EA l
0
0
6EI l2
12EI l3
l
12EI l3
l
Qi
x x
0 0
l
EI l
θi=1
x
4EI l EI 4EI ll
y yy
0i 6EI l2 1
2EI l
EI l
x
EI l
y
0i 1


如：单元刚度矩阵中第i列的元素表示第i号位移为一单位 值(ui=1，其它为0) 时引起的六个杆端力。单元刚度矩阵 中的每一个元素称为刚度系数， 刚度系数表示一个力。 矩阵中第r行s列的元素krs，表示第s号位移为一单位值时 引起沿第r个杆端力。由反力互等定理可知 krs=ksr。 所以 单元刚度矩阵是一个对称矩阵。它的每一个元素的值都可 由结构力学中位移法的刚度方程中获得。
y u (2) 平面桁架单元 l
i
FNi
i
FNj
x
j

平面桁架单元只有轴向变形, 杆端力也只有轴力；
y
y
FNj
FNi
i ui l j
x
FN i
j i l
FNj
x
uj

单元的杆端力向量可表示为: F(e)={FNi 0 FNj 0 } T y 单元杆端位移向量可表示为 ：δ(e)={ui vi uj vj } T x Fi j Fj 根据单元刚度矩阵的物理意义, 由 u FNl FN EA u 得单 EA l uj i 元的刚度方程为 : l
则刚度矩阵：
1 0 (e) K 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 EA 0 l 0
（3）平面两端刚结点梁单元

平面两端刚节点梁单元在一般情况下单元上作用着杆端力： 轴力、剪力和弯矩，单元的刚度方程为：
F
(e)
K δ
(e)
(e)
Mj
x
FN j FQj
K
(e)

单元刚度矩阵常用子块形式表示:
K (e )
(e ) K ii (e ) K ji (e ) K ij (e ) K jj

其中每个都是3×3的方阵，子块 K(e)ij表示杆端j 作用一单 位位移时, 杆i 端引起的杆端力。
（4）一端刚结点另一端铰结点 的梁单元
若单元 i 端为铰结点， j 端 为刚结点, 同样可建立起单 元刚度矩阵:
(5) 空间桁架单元

空间桁架单元每个节点具有x、y、z方向的三个位移分量。 单元的杆端力向量可表示为:
F
(e)

FN i
i
单元杆端位移向量可表示为 ： (e) (e) (e) 单元的刚度方程为： F K 根据单元刚度矩阵的物理意义得:
单元刚度矩阵物理意义
利用矩阵乘法,展开可得：
F1 k11u1 k12u 2 k13u3 k14u 4 k15u5 k16u6 F2 k 21u1 k 22u2 k 23u3 k 24 u4 k 25u5 k 26u6 F3 k31u1 k32u2 k33u3 k34u4 k35u5 k36u6 F4 k 41u1 k 42u2 k 43u3 k 44 u4 k 45u5 k 46u6 F5 k51u1 k52u2 k53u3 k54u 4 k55u5 k56u6 F6 k 61u1 k 62u 2 k 63u3 k 64u 4 k 65u5 k 66u6
y
Mi
则：
δ
(e)
j
FQi
ui vi i u j v j j
FQi Mi FNj FQj
i
T
FNi
T
F FNi
(e)
M j
或：F
(e)
Ni Qi
Mi
N j Qj
M j
T
注意：杆端力与内力的符号规定不尽相同。

根据单元的刚度矩阵的物理意义,由梁单元受力和变形及前 面等截面直杆的刚度方程可以列出平面两端刚节点梁单元 的单元刚度矩阵为:
(e)
FQj
T
F3 F1 C F2
F4 F5
或： F(e) N Q M N Q i i i j j


T
根据单元的刚度矩阵的物理意义,由梁单元受力和变形可以 列出该单元的单元刚度矩阵为:
平面一端刚结点另一端铰结点梁单元的单元刚度矩阵
v vii y y
1 1 3EI 3EI l2 l2 3EI 3EI l3 l3 3EI 3EI l3 l3
平面两端刚节点梁单元的单元刚度矩阵为:
EA l 0 0 EA l 0 0 0 12EI 3 l 6EI 2 l 0 12EI 3 l 6EI 2 l 0 6EI 2 l 4EI l 0 6EI 2 l 2EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12EI 3 l 6EI 2 l 0 12EI 3 l 6EI 2 l 0 6EI 2 l 2EI l 0 6EI 2 l 4EI l
vj
x
1
l
12EI l3
6EI l2
x
Mj
6EI l2
2 EI l
6 EI l2
4 EI l
l
x θ =1
j
2EI l
y
EI
2
x
2EI l
y
0j 1 6EI l2
4EI l
x
0j
4EI 6EIl 1 l2 6EI l2
x
EI
2
6EI l2
l
分别填写在ui=1 ，vi =1 ，θi=1， uj=1，vj=1， θj=1 作用下，杆左右端截面的轴力、剪力、弯 矩及右端截面的轴力、剪力、弯矩。由此可得 单元的刚度方程：
EA l 0 0 EA l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EA l 0 0 EA l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(e)
u
0 0
FN j
0 0
vi
wi
uj
l
平面梁单元的单元的刚度方程为:
EA 0 l 12EI N i 0 Q l3 i 6 EI 0 M i l2 EA N j 0 Qj l 12EI 0 M j l3 6 EI 0 l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12EI l3 6 EI l2 0 12EI l3 6 EI l2 6 EI u 2 i l v 2 EI i i l u 0 j v j 6 EI l 2 j 4 EI l 0
EI l
EA l
y ui
ui
1
ui
1
l
1
EI l
x
EI l
ui=1
y vi
1
l
EA l
x
y x
6EI l2
u 平面梁单元的单元刚度矩阵 l
j
l
EI uj l
1
x
1
l
12EI l3
6EI l2
ui=1
6EI 12EI l2 3 l 12EI l3
vi =1
θi=1
vj
6EI l2
uj=1
1
vj=1
θj=1
F1 k11 F k 2 21 F3 k31 F4 k 41 F5 k51 F6 k61 k12 k 22 k32 k 42 k52 k62 k13 k 23 k33 k 43 k53 k63 k14 k 24 k34 k 44 k54 k64 k15 k 25 k35 k 45 k55 k65 k16 u1 u k 26 2 k36 u3 k 46 u4 k56 u5 k66 u6

铰支端一般只有两个位移需计算. 铰结点的转角位移可认为 它是不独立的而不予考虑. 这样单元的杆端位移向量及杆端 力向量都只有五阶. 单元刚度矩阵为5×5:
E
F (e) K (e)δ(e)
如梁右端为铰结点，则：
δ
(e)
C

{ui
vi i u j
FQi Mi
v j}
FNj
T
A
B E
F FNi
若单元 i 端为刚结点， j 端为铰结点, 则单元刚度 矩阵为:
K (e)
EA 0 l 0 3EI l3 3EI 0 2 l EA 0 l 0 3EI l3
0 3EI l2 3EI l 0 3EI l2
EA 0 l 0 3EI l3 3EI 0 l2 EA 0 l 3 EI 0 3 l