余角与补角
六年级余角和补角知识点
六年级余角和补角知识点在学习角度计算的过程中，我们常常会涉及到余角和补角的概念。
理解和掌握余角和补角的知识点，对我们正确计算角度大小，解决与角度相关的问题具有重要意义。
本文将为大家详细介绍六年级余角和补角的概念、计算方法及实际运用。
一、余角的概念与计算方法余角是指一个角的补角与原角之间的角度关系。
具体计算方法如下：设角A的补角为角B，角A和角B的和为90度，则角B就是角A的余角。
例如，若角A的度数为40度，那么角A的补角角B的度数可以通过以下步骤计算得出：步骤1：计算角A和角B的和：40度 + 角B = 90度步骤2：解方程得出角B的度数：角B = 90度 - 40度 = 50度所以，角A的余角为50度。
二、补角的概念与计算方法补角是指一个角与其余角之间的角度关系。
具体计算方法如下：设角A的余角为角B，角A和角B的和为90度，则角A就是角B的补角。
以刚才的例子为例，角A的余角为50度，我们可以通过以下步骤计算角A的补角角度：步骤1：计算角A和角B的和：角A + 50度 = 90度步骤2：解方程得出角A的度数：角A = 90度 - 50度 = 40度所以，角A的补角为40度。
三、余角和补角的实际运用余角和补角的概念和计算方法在解决与角度相关的实际问题时扮演着重要角色。
例如，对于一个完全直角的角度问题，我们可以通过求解余角或补角来计算角度大小。
举个例子，一根绳子从地面往上拔起，形成了一个与地面垂直的直角，假设这个角度为角A。
我们可以通过求解角A的余角或补角来计算与地面平行的物体与绳子之间的角度关系。
如果角A的度数为60度，我们可以计算出角A的余角和补角分别为30度和150度。
那么与地面平行的物体与绳子之间的角度就确定下来了。
通过掌握余角和补角的知识点，我们能够更加准确地计算和解决与角度相关的问题，为我们的学习和实际生活带来便利。
总结：本文详细介绍了六年级余角和补角的概念、计算方法及实际运用。
通过了解余角和补角的概念和计算方法，我们能够准确计算角度大小，并在实际问题中灵活运用。
余角与补角
问题1：余角与补角的概念 问题2：余角与补角的性质
问题3：余角与补角的应用
2
1
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为 余角(complementary angle) 其中一个角是另一个角的余角。
2
1
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50
o
60o
40
o
80
o
4
3
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为 补角(supplementary angle) 其中一个角是另一个角的补角。 互余与互补是指两个
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互 余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相 等吗？为什么？
1
2
3
4
1
2
3
4
解：∠2与∠4相等。 因为∠1与∠2互余；∠3与∠4互余， 所以∠2=90°-∠1；∠4=90°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
这里，我们 用到了“等 量减等量， 差相等”。
C
(∠1+∠B=90°, ∠1+∠2=90°)
1 B
2 A D
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
(∠B=∠2) （同角的余角相等） (∠A=∠1) （同角的余角相等）
判断下列说法是否正确
（1）30°，70°与80°的和为平角，所以这三个 角互补（× ） （2）一个角的余角必为锐角。 （√ ） （3）一个角的补角必为钝角。 （× ） （4）90°的角为余角。 （ × ） （5）两角是否互补既与其大小有关又与其位置有 关（× ）
角之间的数量关系，与 它们的位置关系无关。
余角和补角课件(共23张PPT)
6.3.3
余角和补角
符号语言：
因为∠3 +∠4 = 180°，
所以∠3 与∠4 互为补角.
3
注意：(1) 补角是指两个角的关系；
(2) 补角只考虑两个角的数量关系，与位置无关.
4
6.3.3
余角和补角
思考
∠1 与∠2 、∠3 都互为补角，那么∠2 与∠3 的大小有什么关系？
∠1 与∠2 、∠3 都互为补角，那么∠2 = 180° -∠1，∠3 = 180° -∠1.
6.3.3
余角和补角
七年级上
6.3.3
余角和补角
学习目标
1. 了解余角、补角的概念.
重点
2. 掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的性质解决相关问题.
重点
6.3.3
余角和补角
新课引入
问题1：下图中的∠A 和∠B 有怎样的数量关系？
A
A
30°
45°
90° 45°
C
B
∠A +∠B = 90°
90° 60°
6.3.3
余角和补角
例3 如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分
∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解:因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC 和∠BOC
互为补角.
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC= (∠AOC+∠BOC )
6.3.3
余角和补角
3.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB 的度数，但人不能进入围墙
，如何测量？
同角的余角和补角的关系
同角的余角和补角的关系
在高中数学中，我们学习了很多关于三角函数的知识，其中，余角和补角也是非常重要的一个概念。
在这篇文章中，我们将介绍同角的余角和补角的关系。
一、什么是余角和补角？
首先，我们来了解一下余角和补角的概念。
余角是指一个角的补角与它本身的差值，也就是说，如果一个角的度数为x，它的补角的度数为90-x，那么这个角的余角就是90-x。
例如，如果一个角的度数为30度，那么它的补角的度数为60度，它的余角的度数则为60度。
在三角函数中，我们经常需要求一个角的正弦、余弦、正切等值。
有时候，我们发现要求的角的值非常复杂，但是它的余角或者补角的值却非常简单，这时候就可以利用同角的余角和补角的关系来简化求解过程。
具体来说，对于一个角A，其余角B和补角C都是相对它而言的。
因此，我们可以通过求角A的余角或者补角来简化求解角A的三角函数值。
1. 正弦函数
假设角A的正弦值为sinA，那么它的余角的正弦值为cosA，而它的补角的正弦值为sin(90-A)。
因为sin(90-A)=cosA，所以sinA=sin(90-B)=cosC。
三、结论
sinA=cos(90-A)
tanA=1/tan(90-A)。
数学课件余角和补角
余角的性质包括角度和为90度、余角之间的角度差为90度等。余角的定理包括同 角或等角的余角相等、互补角的余角互为补角等。这些性质和定理是数学中关于 角度的基本规则，对于理解几何图形和解决几何问题具有重要意义。
补角的性质和定理
总结词
补角的性质和定理是数学中关于角度的基本概念，对于理解几何图形和解决几何问题具有重要意义。
计算公式
如果角A和角B互为补角，则它们 的度数之和为180度，即A + B = 180度。
实例
如果一个角是60度，那么它的补角 就是120度；如果一个角是90度， 那么它的补角就是90度。
余角和补角的综合计算
综合计算公式
如果一个角的余角和补角之和等于 180度，则这个角的度数为90度。
实例
如果一个角的余角是30度，它的补角 是150度，那么这个角的度数就是90 度。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
互补性和互余性是余角和补角的基本性质。如果两个角互为 余角或补角，则它们的角度互补或相等。此外，同角或等角 的余角或补角也相等。这些性质在几何学中非常重要，可用 于解决各种几何问题。
02
余角和补角的性质和定理
余角的性质和定理
总结词
余角的性质和定理是数学中关于角度的基本概念，对于理解几何图形和解决几何 问题具有重要意义。
解析
设这个角为x度，根据补角和余角的定义， 我们可以列出方程：180° - x = 2(90° - x)。 解这个方程可以得到x的值为60°。
余角和补角的综合练习题及解析
题目
已知一个角的余角是这个角的补角的 1/3，求这个角的度数。
解析
设这个角为x度，根据余角和补角的定 义，我们可以列出方程：90° - x = 1/3(180° - x)。解这个方程可以得到x 的值为45°。
4.3.3余角和补角
所以∠1 = ∠2 （等角的余角相等)
互余
数量 关系
∠1+∠2=90°
互补
∠1+∠2=180°
对
应
图
形
21
21
性
等角的余角相等 等角的补角相等．
质
探索研究
如图，已知AOB是一直线，C是
∠ AOB的平分线， ∠ DOE是直角，图
中哪些角互余？哪些角互补？哪些角
相等？
C
D
E
1
3
4
2
A
O
B
A
B
C
DE
FG
如图，E、F是直线DG上两点 ∠BEF = ∠BFE ∠AED = ∠CFG = 90 °
找出图中相等的角并说明理由。
互为余角
互为补角
对应图形
1 2
21
数量关系 ∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
性
质
同角或等角的 余角相等。
同角或等角 的补角相等。
检测
D E
C
A
OB
1. ∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则 ∠3= 30 °.
4 倍，求这个角的度数。 解： 设这个角是x °，则它的补角是 （ 180°-x°）,余角是(90°-x°) 。
根据题意得：
（180°-x°）= 4 (90°-x°) 解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
余角和补角课件
探究:补角的性质
等角的补角相等
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如 果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
2
1
4
3
解：∵ ∠1 +∠2=180°， ∠3 +∠4=180° ∴ ∠2=180°－∠1 ， ∠4=180°－ ∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴ 180°－∠1 =180°－ ∠3 即：∠2 =∠4
答：相等的角有： ∠AOC= ∠BOC= ∠DOE = 90° ； ∠ 1= ∠ 4； ∠ 2= ∠ 3； 互余的角有： ∠ 1 + ∠ 2= 90° ； ∠ 3 + ∠ 4= 90° ； ∠ 1 + ∠ 3= 90° ； ∠ 2 + ∠ 4= 90° ； 互补的角有： ∠AOC +∠BOC = 180°； ∠ 4+ ∠ EOB= 180°； ∠ 1+ ∠ EOB= 180°； ∠ 2+ ∠ AOD= 180°； ∠ 3+ ∠ AOD= 180°； 等等
C 3
D
E
1
2
4
A
O
B
请认真观察下图，回答下列问题： （1）图中有哪几对互余的角？
C
∠A+∠B=90° ∠A+∠2=90° ∠1+∠B=90° ∠1+∠2=90° A
2
D
B
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？ 为什么？ ∠B=∠2 （同角的余角相等） ∠A=∠1 （同角的余角相等）
互余的角 数量 关系
对应 图形
1＋ 2＝90°
互补的角
1＋ 2＝180°
C
D
N E A O
M
B
性质 同角(等角)的余角相等
《余角与补角》课件
什么是补角？
补角也是角度的一种重要概念。它指的是两角相交时，其中一个角与另一个 角相加等于90°的角。 举例说明：角C和角D相交，角C的补角是90°减去角D的度数。
余角与补角的性质和关系
性质
余角与原角相加等于180° 补角与原角相加等于90°
关系
一个角的余角与补角的差是90° 一个角的余角与另一个角的补角互为对角
《余角与补角》PPT课件
欢迎来到《余角与补角》PPT课件！在本课程中，我们将探讨余角与补角的概 念、性质和应用，并深入探究它们之间的关系。
什么是余角？
余角是角度的一种重要概念。它指的是两角相交时，其中一个角与另一个角相加等于180°的角。 举例说明：角A和角B相交，角A的余角是180°减去角B的度数。
余角与补角的应用
在解题中，我们可以利用余角与补角的概念和性质来简化问题并找到解题的思路。 举例说明：通过确定角的余角或补角，我们可以推导出其他角度的关系，从而解决复杂的几何问题。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总结
1 概念和性质
余角与补角的定义和计算 方法
2 关系
余角与补角的关系及其重 要性
3 应用
在解题中如何利用余角与 补角简化问题
七年级下册数学余角和补角知识点
七年级下册数学余角和补角知识点在数学的学习中，余角和补角是一些重要而实用的概念。
今天我们就来详细了解七年级下册数学余角和补角知识点。
一、余角的定义和基本概念余角是指一个角的补角与它本身的差，通常用符号“cot”来表示。
在直角三角形中，余角的概念常被用来求出缺少的角度值。
例如，对于一个直角三角形，已知其中一角度为30度，则其余角为60度，这可以通过求其补角30度与90度的差得出。
二、余角的计算方法若一个角度为x度，则其余角为(90-x)度。
举个例子，在一个直角三角形中，已知其中一角度为60度，代入计算公式可得余角为(90-60)度=30度。
但是，在实际应用中，75度和15度的余角都是15度，因此，计算余角还需考虑所在象限。
虽然余角的定义与补角类似，但余角不一定在第一象限内。
三、补角的定义和基本概念补角是指两个角的度数之和等于90度的两个角。
一般用符号“com”表示。
在解决问题时，可以通过此概念来求解缺少的角度。
例如，在等腰直角三角形中，已知其中一角度为45度，则另一个角度也为45度，这可以通过求两个角度之和为90度得出。
四、补角的计算方法若一个角度为x度，则其补角为(90-x)度。
同样，求补角时也需考虑所在象限。
五、余角和补角的应用余角和补角的概念与计算方法在实际应用中非常广泛。
具体应用场景包括但不限于以下几个方面：1. 确定缺少的角度，帮助解决各类几何问题，如三角函数；2. 对于无法直接计算的角度，可以通过求其余角或补角来进行求解；3. 利用余角和补角的特性，可以在科学计算、试验设计等方面发挥作用。
总之，余角和补角在数学的学习中是一个非常重要的基础概念，通过对其定义、计算方法和应用场景的深入了解，可以为我们在解决几何问题时提供更大的帮助和便利。
余角和补角(57张PPT)数学
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9.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是________.
24°28′
解析 设这个角为x°，则它的余角为90°－x°，补角为180°－x°，根据题意，得180°－x°＋10°＝3×(90°－x°)，解得x＝40，40°－15°32′＝24°28′.
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解析 ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
1
2
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4
5
6
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∴∠MOC与∠NOC互余，∠MOA与∠NOC互余，∠MOC与∠NOB互余，∠MOA与∠NOB互余，故选A.
14.如图，∠AOB与∠COD都是直角，∠AOD＝140°21′，则∠COB＝________°.若∠AOD＝α，则∠COB＝__________.
解 如图所示，∠BOC与∠BOC′即为所求；
(2)在(1)的条件下，若OP是∠AOC的角平分线，直接写出∠AOP的度数(不需要计算过程).
解 ∵∠AON＝45°，∠BON＝30°，∴∠AOB＝75°，∵∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC＝15°，∴∠AOC＝90°或60°，∵OP是∠AOC的角平分线，∴∠AOP＝45°或30°.
解 当∠AOD＝α时，∠DOE＝90°.
解
归纳总结 本题考查了余角和补角以及角平分线的定义；熟练掌握两个角的互余和互补关系是解决问题的关键.
例2 (教材例2变式训练)一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少120°，则这个角的度数为________.
初中数学知识点精讲精析 余角和补角
6.8 余角和补角学习目标1. 了解补角和余角的概念。
2. 理解等角的余角相等，等角的补角相等。
知识详解1.余角和补角如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角注意：（1）互余与互补是指两个角之间的关系，说单独的一个角是余角或补角没有意义，但可以说成一个角是某一个角的余角或补角。
（2）两个角是否互余或互补只跟这两个角的大小有关，与它们的位置无关，不要误认为互余或互补的角必须相邻。
（3）强调两个角互余或互补的数量关系：互余：∠α＋∠β＝90°；互补：∠α＋∠β＝180°。
因此互余或互补的两个角中，已知一个角的度数，就可以求出另一个角的度数。
2.余角和补角的性质同角或等角的余角相等。
同角或等角的补角相等。
【典型例题】例1：已知∠a=32°，则∠a的补角为（）A. 58°B. 68°C. 148°D. 168°【答案】C【解析】∵∠a=32°，∴∠a的补角为180°﹣32°=148°例2：已知∠α=35°，则∠α的余角是（）A. 35°B. 55°C. 65°D. 145°【答案】B【解析】根据定义∠α的余角度数是90°﹣35°=55°例3：一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角为（）A. 60°B. 45°C. 30°D. 15°【答案】B【解析】根据题意：设这个角为x，则有180﹣x=3（90﹣x），解可得x=45°【误区警示】易错点1：余角和补角关系1. 两个角大小的比为7：3，它们的差是72°，则这两个角的数量关系是（）A. 相等B. 互补C. 互余D. 无法确定【答案】B【解析】设这两个角分别是7x，3x，根据题意，得7x﹣3x=72°，∴x=18°，∴7x+3x=126°+54°=180°，∴这两个角的数量关系是互补．易错点2：余角和补角的性质2.如图，CO⊥AB于点O，OD⊥OE，则图中相等的角有（）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对【答案】C【解析】∵CO⊥AB于点O，OD⊥OE，∴∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°，∴∠AOC=∠BOC，∠AOC=∠DOE，∠BOC=∠DOE，共3对，∵∠BOD+∠BOE=90°，∠BOD+∠COD=90°，∴∠BOE=∠COD，又∵∠AOD=∠COD+90°，∠COE=∠BOE+90°，∴∠AOD=∠COE，综上所述，共有3+1+1=5对．【综合提升】针对训练1. 茗茗总结的下列结论中，不正确的是（）A. 等角的补角相等B. 等角的余角相等C. 过两点有且只有两条直线D. 两点之间线段最短2. 如图，点O在直线AB上，∠AOD=22°30′，∠BOC=45°，OE平分∠BOC，则∠EOC 的补角是（）A. ∠AOCB. ∠AOE或∠DOBC. ∠AOE或∠DOB或∠AOC+∠DOED. 以上都不对3. 如图，AOB是直线，OE⊥AB于O，OC⊥OD于O，则与∠EOD互为补角的是（）A. ∠AOCB. ∠BOEC. ∠AODD. 非上述答案1.【答案】C【解析】A、当∠A和∠B都是∠C的补角时，∠A=∠B=180°﹣∠C，正确，故本选项错误；B、当∠A和∠B都是∠C的余角时，∠A=∠B=90°﹣∠C，正确，故本选项错误；C、过两点有且只有一条直线，错误，故本选项正确，D、线段的性质之一是两点之间线段最短，正确，故本选项错误。
余角与补角
个角的余角(1)互为余角是对两个角而言的.(2)互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle).小结:同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.. 这样的两个角叫对顶角(1)对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线.(2)对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个.要在图形中准确地找出对顶角，需两看：(1)看是不是两条直线相交所得的角;(2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角.12、如图 .如果∠1与∠ 2互余，∠1与∠3互余，那么∠2与∠3相等吗？为什么？同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等3、阅读理解：两直线交于O。
如图示。
因为∠1+∠3=180o，∠2+∠3=180o①所以∠1=∠2。
② 1 O 2（1）步骤①的理解是____平角的定义_________。
3 步骤②的理解是____等量代换(或同角的补角相等)_______。
（2）由此可以得出一个重要的结论是____对顶角相等_______。
对顶角相等．4、练一练1. 如图1，点A 、O 、B 在一条直线上，1,=∠∠=∠BOC AOC 则图中互余的角共有____4____对.2. 若1∠与2∠互为余角，且︒=∠371 ，则2∠=____530___3. 如果∠A ＝35°18′，那么∠A 的余角等于＿＿54°42′＿＿＿；4. 若1∠与2∠互为补角，︒=∠1201 ，则2∠=___600________5. 如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ 600 ）6. 锐角的补角是__钝___角，直角的补角是___直____角，钝角的补角是_锐_角.7. 已知α∠与β∠互补，且α∠与β∠是对顶角，则α∠=__900_8. 如图2直线L 1与L 2 相交于点O ，1L OM ⊥,若︒=∠44α，则____46____0=∠β9. 如图3,直线AB 与CD 相交于点O, E 是AOD ∠内一点，已知,AB OE ⊥,45︒=∠BOD 则___135___0=∠COE8、已知,24︒=∠α且α∠与β∠互补，β∠与γ∠互补，则γ∠的余角和补角的度数分别为_____240____.9、如图4，已知直线AB 、CD 相交与点O ，OA 平分︒=∠∠70,EOC EOC ,则A BCD 45oOE图3图2MO L 1L 2α β○1角的静态定义具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角（angle）。
余角和补角
B ∠BＯ ＡＯＤ的补角是∠BＯ 的补角是_____ １）∠ＡＯＤ的补角是_____D __ ∠CＯＤ 2）∠ＡＯＤ的余角是__ ＯＤ ＡＯＤ的余角是__ ____ 的余角是 ∠C ＢＯＤ的补角是∠AＯＤ 的补角是______ 3）∠ＢＯＤ的补角是∠AＯＤ ______
牛刀小试
１、若∠１＋∠２＝ 90 °，∠１＋∠３＝90°， ∠2= ∠3 则_____________。 ２、若∠１＋∠２＝９０°，∠３＋∠４＝９０° ∠2= ∠4 且∠１＝∠３，则___________。 ３、若∠Ａ＝∠Ｂ，且∠Ａ＋∠１＝１８０°， ∠1= ∠2 ∠Ｂ＋∠２＝１８０°，则____________。 ４、∵∠１＋∠２＝１８０°，∠１ ＋∠３＝ １８０° ∴____________。 ∠2= ∠3
北
● ●
B B
40° 40° 40° 40° 70° 70°
B
西
●
●
A
65° 65°
●B
东
●
B
南
如图.货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60 60° 例4:如图.货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方 向上,同时,在它北偏东40 40° 南偏西10 10° 西北(即北偏西45 45° 向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°) 方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D B,货轮 方向上又分别发现了客轮 B, 货轮 C 和海岛 D. 仿照表示灯塔方位 的方法,画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线. B,货轮 的方法,画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线. 所以: 射线OA OA的方向就是南偏 所以 : 射线 OA 的方向就是南偏 东 60° ， 即灯塔A 所在的方向。 60° 即灯塔 A 所在的方向 。 射线OB的方向就是北偏东40° 射线OB的方向就是北偏东40°， OB的方向就是北偏东40 即客轮B所在的方向。 即客轮B所在的方向。
6.3.3 余角和补角
85° 58°
45° 13° 27°37′ (90–x)°
∠α的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ (180–x)°
观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_9_0_°__.
探究新知
学生活动二 【一起探究】余角和补角的性质
思考： ∠1 与∠2， ∠1 与∠3都互为补角， ∠2 与∠3 的大小有什么关系？
探究新知
学生活动一 【一起探究】余角和补角的概念
2 1
如如果图两，个可角的以和说等∠于19是0°∠( 直2 角的余)，角就，说这两个角 或互∠为2余是角∠( 简1的称为余两角个，角或互∠余1)和. ∠2互余.
探究新知
图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o
46.2o
75o
66o
43.8o
探究新知
A．30° B．45° C．60° 2.下列说法正确的是（ D ）
D．75°
A．一个角的补角一定大于它本身 B．一个角的余角一定小于它本身 C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角
当堂训练
3.如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式 中∠α与∠β互余的是 （ A ）
例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍， 求这个角的度数.
探究新知
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180 –x )°， 余角是 ( 90 –x )° . 根据题意，得180 –x = 4 ( 90 –x ) . 解得 x = 60.
答：这个角的度数是 60 °.
巩固练习
已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数. 解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为 (3x+30)°. 根据题意得：
余角和补角
4.已知互为补角的两个角的差为60度， 求较小的角的度数。 解：设较小的角的度数为a度，较大的 度数为（a+60）度。 （a+60）+a=180 2a+60=180 2a=180-60 2a=120 a=60
答：较大的度数为60度。
Happy ！
See you! 再见
同学们，家好
今天我们来上本学期的最后 一课
余角的定义：
一般地，如果两个角的等 于90度（直角），就是说这两 个角互为余角(complementary angle)，即其中每一个角是另 一个角的余角。
补角的定义：
类似地，如果两个角的和 等于90度（平角），就是说这 两个角互为补角 （supplementary angle）, 即其中一个角是另一个角是补 角。
1.一个角60度，它的余角是多少度？
90度-60度=30度 答：它的余角是30度。 2.一个角60度，它的补角是多少度？ 180度-60度=120度 答：它的补角是120度。
3.已知一个角的补角是这个角的 余角的3倍，求这个角的度数。
解：设这个角的度数是X度， 则这个角的余角是（90-X）度， 补角是（180-Ｘ）度。 ３（９０－Ｘ）＝１８０－Ｘ ２７０－３Ｘ＝１８０－Ｘ －３Ｘ＋Ｘ＝１８０－１２０ －２Ｘ＝－９０ Ｘ＝４５ 答：这个角的度数是４５度。
七年级数学余角和补角
x° 90°- ∠
180°- ∠
90° 同一个锐角的补角比它的余角大
互余和互补是两个角的数量关系，与它
们的位置无关。
练习
一、填空 1、70°的余角是 20° ，补角是 110 ° 。 2、 ∠ （ ∠ <90 ° ）的余角是 90°- ∠ ，它的补 角是 180°- ∠ 。
21
43
猜想： 等角的补角相等
想一想:1、钝角有余角吗？ 没有
2、同一个角的补角比它的 余角大多少度？ 90°
试一试：
1.∠A与∠B互补，∠B与∠C互补，∠C=80°，则∠A的度数是
__8_0_°____.
【解析】因为同角的补角相等，所以∠A=∠C=80°. 答案:80°
2、下列说法正确的是（ C ）
4、若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数。
解：设这个角是 x °，则它的补角是 (180°－ x°), 余角是(90°－x°) , 根据题意得： （180－x）= 4 (90－x)
解得： x = 60
答：这个角的度数是60 °。
活学活用 加深理解
1、已知 的补角是105°,则 的余角
如图，你能画出∠1的补角的吗？能画出 几个？若有多个它们之间有什么关系？为什 么？
21 3
解：∵∠1+∠2=180º，∠1+∠3=180º ∴∠2=180º-∠1，∠3=180º-∠1 又∵∠1=∠1，∴∠2=∠3
探究:补角的性质（二）
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ， ∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
DA
B
2
3 4
1
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补角和余角
数科院 曾淑娜
一、 教学目标
1、知识目标
（1）、在具体的现实情境中，认识一个角的余角与补角。
（2）、掌握余角和补角的性质，并能用它解决相关问题。
（3）、初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化。
2、技能目标
进一步提高学生的抽象概括能力，认图能力，发展空间观念。
并且学会简单的逻辑推理，以及能对问题的结论进行较合理的猜想。
3、情感目标
体会观察、推理、归纳对数学知识获取的重要作用，感受数学与现实生活的密切关系及其应用价值。
（三）、教学重、难点
重点：认识互余、互补关系及其性质。
难点：通过简单推理，归纳出余角补角的性质，并用规范语言描述。
二、 教学过程
（一）、创设情境
1、余角和补角
如左图所示，打台球时，择当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，然后把左图简单地表为图1。
其中∠EDC=900，提问：各个角与∠1有什么关系？
学生观察得出：有与∠1的和等于900的角，有与∠1和等于1800的角。
（二）探究新课
1、教师归纳：如果两角的和是900，称这两个角互为余角，如果两个角的和为1800，那么称这两个角互为补角。
问：图中∠1的余角是______，补角是________。
设计意图：以上教学过程是从学生身边出发，比较自然地引出余角、补角的概念，图1 A C B
D F
E 2 1 1 2
引起学生兴趣，可使学生认识到数学存在于生活之中。
2、提出问题，加强理解
（1）
图2
（2）、定义中的“互为”是什么意思？
（3）、你能举出生活中有哪些角是互为余角的例子吗？
（4）、若∠1与∠2互余，如何用∠2表示∠1？∠1与∠2互补呢？
设计意图：为加深对定义的理解，提出几个问题很关键，避免学生认为互为余角或补角只有公共顶点与公共边的角，加深学生对定义的理解。
3、链接练习
（1）、若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=_____0，∠2=______。
若∠3与∠4互余，则∠3+∠4=_____0，∠3=______。
（2）、一个角是70039`，则它的余角为______0，补角为_________0。
（3）、如图3：O是直线AB上点，OC是∠AOB平分线，
①∠AOD的补角是___________。
余角是__________。
②∠DOB的补角是_______。
（4）、一个角的补角是它的3倍，这个角是多少度？
设计意图：（1）、（2）题主要是熟悉定义，第（3）培养学生的识图能力，第（4）题体现了用代数的方程思想解决几何问题。
（三）、例题讲解
1 、范例讲解
例1 ∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，若∠1 =∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？
图4
若学生对说理感到困难，可引导：∠1与∠2互补，∠2可怎样表示？∠3与∠4互补，∠4可怎样表示？
2、补角和余角的性质
引导学生由例1纳补角性质，并用符号语言表示，类比得出补角的性质。
图3
设计意图：此题主要让学生自己讨论，着重引导学生用数学语言表达思考过程，并归纳性质，培养学生由具体问题抽象出几何命题的能力和语言表达能力。
3、链接练习
（1）、如图5，若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，
则_____=______，根据是______。
图5
如图6，若∠3与∠4互补，∠4与∠5互补，
则_____=______，根据是_______。
图6
(2)、如图7，O是直线AB上的一点，∠AOE=∠FOD=90。
OB平分∠COD，图中与∠DOE相等的角有哪些？
与∠DOB相等的角有哪些？为什么？
4、讨论探索：图7
（1）、若两个角互为补角，则一个是锐角，一个是钝角，对吗？
（2）、一个角是钝角，它的一半是什么角？
（3）、互余的两个角，一定是锐角吗？互补的两角呢？
（4）、一个角的补角一定比这个角大吗？
（5）、相等且互补的两个角各是多少度？相等且互余的呢？
设计意图：通过一系列问题，加深学生对互余、互补内涵与外延的理解。
体现“自主学习，交互讨论，合作探究”的学习方式，凸显“学生是学习的主人”，同时也培养学生全面分析考虑问题的能力。
（四）、巩固练习
练习（1）、图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
练习（2）、如果要测量两堵围墙所形成的角AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？
练习（3）、已知：如图，点A，O，B在同一直线上，∠1与∠2互余，OE，OF分别是∠AOC，∠AOD的角平分线，，求EOF的度数？
练习（4）、一个角的补角和这个角的余角的2倍互为补角，求这个角的度数？
设计意图：此部分练习对学生的要求进一步提高，其中综合运用了前面的知识，有融会贯通的效果。
四、课堂小结与作业
（1）谈谈你在这节课的收获。
（2）布置作业。