11章作业汇总

0 < r < R, v j v B = µ0 × r 2
2π R µ0I B= 2π r
B=
µ 0 Ir
2
I
R
r
v B
P21-4 如图一根半径为 的无限长载流直导体，其中 如图一根半径为R的无限长载流直导体 的无限长载流直导体， 电流I沿轴向流过 并均匀分布在横截面上。 沿轴向流过， 电流 沿轴向流过，并均匀分布在横截面上。现在导 体上有一半径为R′的圆柱形空腔， 体上有一半径为 ′的圆柱形空腔，其轴与直导体的轴 平行,两轴相距为 两轴相距为d。求空腔中任意一点的磁感强度。 平行 两轴相距为 。求空腔中任意一点的磁感强度。 解：此电流可认为是由半径为R的 此电流可认为是由半径为 的 无限长圆柱电流I 无限长圆柱电流 1和一个电流密度 大小相同方向相反的半径为R′ 大小相同方向相反的半径为 ′的无 限长圆柱电流I 组成。 限长圆柱电流 2组成。 电流密度的大小为： 电流密度的大小为：j=I/[π (R2−R′2)] ′ 它们在空腔内产生的磁感强度分别为 I
m = ∫ πσωr dr =πσωR4/4=ωQR2/4
3 0
R
方向沿轴线， 同向。 方向沿轴线，且与ω同向。
o R r
dr
无限长载流圆柱体的磁场
0 < r < R,
r > R,
v B 的方向与 I 成右螺旋 µ 0 Ir µ 0 jr = 0 < r < R, B = 2 2 2π R µ0I r > R, L B = 2vπ r
(
(
)
)
r＞R3时， B4 ⋅ 2πr = µ0 ( I − I ) = 0 ＞
B4 = 0
v B 的方向与 I 成右螺旋
磁感强度B（ ） 磁感强度 （r）的分布曲线
P25-12 如图所示，一根长直导线载有电流 1＝30 如图所示，一根长直导线载有电流I A，矩形回路载有电流 2＝20A。试计算作用在回路 。 ，矩形回路载有电流I 上的合力。已知d＝ 上的合力。已知 ＝1.0cm，b＝8.0cm，l＝0.12m。 ， ＝ ，＝ 。 分析：矩形上下两段导线所受安培力F 分析：矩形上下两段导线所受安培力 1和F2的大小 相等，方向相反，对不变形的矩形回路来说， 相等，方向相反，对不变形的矩形回路来说，两力 的矢矢量和为零 矢量和为零。 的矢矢量和为零。而矩形的左右两段导线由于载流 导线所在处磁感强度不等，所受安培力F 导线所在处磁感强度不等，所受安培力 3和F4大小 不同，且方向相反， 不同，且方向相反，因此线框所受的力为这两个力 的合力。 的合力。
P22-6 如图所示，半径为 的半圆线圈 如图所示，半径为R的半圆线圈 的半圆线圈ACD通有 通有 电流I 置于电流为I 电流 2，置于电流为 1的无限长直线电流的磁场 直线电流I 恰过半圆的直径， 中，直线电流 1恰过半圆的直径，两导线相互绝 求半圆线圈受到长直线电流I 的磁力。 缘，求半圆线圈受到长直线电流 1的磁力。 A C I1 D I2
µ0 I1 I 2 l
2πd
−
2π(d + b)
µ0 I1 I 2 l
= 1.28 × 10− 3 N
合力的方向朝左，指向直导线。 合力的方向朝左，指向直导线。
O I B1 θ y r1 d
θ 1 2
θ1
θ2 O′ ′
R R′ ′
B2 r2
x
求无限大均匀通电平面的磁场，已知电流密度如图. 例 求无限大均匀通电平面的磁场，已知电流密度如图
v j
L
y
I
dI
O
解：1）对称性分析磁场分布 ） 2）取正方形回路 L 如图， 如图， ） 边长为 . l
v v B ⋅ d l = µ 0 jl ∫
1 B1 ⋅ 2πr = µ 0 πr 2 r＜R1时， ＜ 2 πR1 µ0 Ir B1 = 2 2πR1
R1＜r＜R2时， ＜
B2 ⋅ 2πr = µ 0 I
B2 =
µ0 I
2πr
2 2 π r − R2 R2＜r＜R3时，B3 ⋅ 2πr = µ0 I − ＜ I 2 2 π R3 − R2 2 µ0 I R3 − r 2 B3 = 2 2 2πr R3 − R2
dI
• O
B=
=µ0NI/(4R)
∫ dB = ∫π
π
µ 0 NI sin θ d θ 2 πR
2
θ
dB
x
磁感强度沿x轴正方向 磁感强度沿 轴正方向
P21-3 半径为 的薄圆盘均匀带电，总电量为 . 令此 半径为R的薄圆盘均匀带电 总电量为Q 的薄圆盘均匀带电， 盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线作匀速转动， 盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线作匀速转动，角速度 求轴线上距盘心x处的磁感强度的大小和旋转圆 为ω，求轴线上距盘心 处的磁感强度的大小和旋转圆 盘的磁矩。 盘的磁矩。 在圆盘上取细圆环电荷元dQ=σ2πrdr,σ=Q/(πR2) , 解：在圆盘上取细圆环电荷元 等效电流元为dI=dQ/T=σ2πrdr/(2π/ω)=σωrdr， 等效电流元为 ， (1) 求磁场，电流元在中心轴线上激发磁场的方 求磁场， 向沿轴线， 同向，大小为： 向沿轴线，且与ω同向，大小为： dB=µ0dIr2/[2(x2+r2)3/2]=µ0σωr3dr/[2(x2+r2)3/2]
解：在圆环上取电流元 I2dl= I2Rdθ 该处磁场为 B=µ0I1/(2πRcosθ) v v I 2 dl 与 B 垂直，因此 dF= I2dlBsin(π/2) dF=µ0I1I2dθ /(2πcosθ) dFx=dFcosθ=µ0I1I2dθ /(2π) dFy=dFsinθ=µ0I1I2sinθdθ /(2πcosθ) I1 I2 y R
Idl
dF
θ
x
µ0 I 1 I 2 dθ Fx = ∫ =µ0I1I2/2 2π −π 2
根据圆环的对称性 Fy=0。故F=µ0I1I2/2，方向水平向右 。 ，
π 2
P23-8 如图所示，几种载流导线在平面内分布，电 如图所示，几种载流导线在平面内分布， 流均为I，它们在点O 的磁感强度各为多少？ 流均为 ，它们在点 的磁感强度各为多少？
R O• d B1 θ y r1 d 2R′ ′ •O′ ′
θ 1 2
v v v j v v j v B1 = µ 0 × r1 B2 = − µ 0 × r2 2 2
方向如图。 方向如图。有
O
θ1
θ2 O′ ′
R R′ ′
B2 r2
x
Bx=B2sinθ2−B1sinθ1=(µ0J/2)(r2sinθ2−r1sinθ1)=0 By =B2cosθ2＋B1cosθ1=(µ0J/2)(r2cosθ2＋r1cosθ1) =(µ0J/2)d 所以 B = By= µ0dI/[2π(R2－R′2)] ′ 方向沿y轴正向 方向沿 轴正向
此它在点O 产生的磁场为零，则点O 此它在点 产生的磁场为零，则点 处总的磁感强 度为1/4 圆弧电流所激发，故有 度为 圆弧电流所激发，
B0 =
µ0 I
8R
B0 的方向垂直纸面向外。 的方向垂直纸面向外。
(b) 将载流导线看作圆电流和长直电流，由叠加原理 将载流导线看作圆电流和长直电流， 可得 µ0 I µ0 I B0 = − B0 的方向垂直纸面向里。 的方向垂直纸面向里。
2R
2 πR
(c) 将载流导线看作 将载流导线看作1/2 圆电流和两段半无限长直电 流，由叠加原理可得
B0 =
µ0 I
4 πR
+
µ0 I
4 πR
+
µ0 I
4R
=
µ0 I
2 πR
+
µ0 I
4R
B0 的方向垂直纸面向外。 的方向垂直纸面向外。
P24-9 如图载流长直导线的电流为 I , 试求通过矩形面 积的磁通量. 积的磁通量 v 解 先求 B ，对非均匀 磁场先给出 dΦ 后积分求 Φ v
① ② × × × × × × × • • • • • • • I1 I2
在平面①的上方向右，在平面①的下方向左； 在平面①的上方向右，在平面①的下方向左； 电流② 电流②在空间产生的磁场为 B2=µ0j/2 在平面②的上方向左，在平面②的下方向右。 在平面②的上方向左，在平面②的下方向右。 (1) 两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向 都向左， 都向左，故有 B=B1+B2=µ0j； ； (2) 两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向 相反， 。 相反，故有 B=B1−B2=0。
(
)
dr
µ0σω 2 r + x2 = 2
(2) 求磁距。 求磁距。
R 0
+
x
2
R
r 2 + x2
0
µ 0Qω R 2 + 2 x 2 − 2x = 2πR 2 R2 + x 2
细圆环电流元dI=σωrdr 细圆环电流元
电流元的磁矩： dm=dIS=σωrdrπr2=πσωr3dr 电流元的磁矩：
B
I
d1
d2
o
v v B= B // S 2π x v v µ0 I l dΦ = BdS = ldx 2π x v v µ0 Il d2 dx Φ = ∫S B ⋅ dS = ∫d1 2π x µ 0 Il d 2 x
Φ= 2π ln d1
µ0 I
P24-10 有一同轴电缆，其尺寸如图所示，两导体中 有一同轴电缆，其尺寸如图所示， 的电流均为I，但电流的流向相反， 的电流均为 ，但电流的流向相反，导体的磁性可不 考虑。试计算以下各处的磁感强度：（ ：（1） 考虑。试计算以下各处的磁感强度：（ ） r ＜R1 ； ；（3） ；（4） （2） R1 ＜r ＜R2 ；（ ） R2 ＜r ＜R3 ；（ ） r ＞ ） R3 。画出 －r 图线。 画出B－ 图线。 分析：同轴电缆导体内的电流均匀分布， 分析：同轴电缆导体内的电流均匀分布，其磁场呈 轴对称，取半径为r 的同心圆为积分路径， 轴对称，取半径为 的同心圆为积分路径， ∫ B ⋅ dl = B ⋅ 2πr ，利用安培环路定理 ∫ B ⋅ dl = µ0 ∑ I 可解得各区域的磁感强度。 ，可解得各区域的磁感强度。 解：由上述分析得
应用磁场叠加原理求解． 分析 应用磁场叠加原理求解．将不同形状的载流导 线分解成长直部分和圆弧部分，它们各自在点O 线分解成长直部分和圆弧部分，它们各自在点 处所 激发的磁感强度较容易求得， 激发的磁感强度较容易求得，则总的磁感强度
B0 = ∑ Bi
v v 长直电流对点O 而言， 解： (a) 长直电流对点 而言，有 Idl × r = 0，因
L
v B
r
θ
v dB
I
x
v B
2 Bl = µ0 jl
1 B = µ0 j 2
v B
P dI
P22-5 设有两无限大平行载流平面 它们的电流密度 设有两无限大平行载流平面,它们的电流密度 均为j，电流流向相反。 均为 ，电流流向相反。求：载流平面之间的磁感强 度；两面之外空间的磁感强度。 两面之外空间的磁感强度。 解：两无限大平行载流平面的 截面如图。 截面如图。平面电流在空间产 生的磁场为 B1=µ0j/2
解：由分析可知，线框所受总的安培力F为左、右 由分析可知， 为左、 的矢量和。 两边导线所受安培力F3和F4的矢量和。它们的大小 分别为： 分别为： µ0 I1 I 2 l µ0 I1 I 2 l F4 = F3 = 2π (d + b ) 2 πd 故合力的大小为： 故合力的大小为：
F = F3 − F4 =
B=∫
0 R
2r +x
2
R
(
µ0σωr dr
3 2 3/ 2
2
=
µ 0σω
4
∫
0
(r
)
=
源自文库
µ0σω r 2d r 2 + x 2
R
4
2 32
+ x2 d r 2 + x2
(r
)(
∫ (r 2 + x 2 )3 2
0
(
)
o R r
2
+x
)
) − µ σω
0
R
4
∫ (r 2 + x 2 )3 2 0
x 2d r 2 + x 2
P20-2 如图所示，半径为 的木球上绕有密集的细 如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细 导线，线圈平面彼此平行， 导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半 个球面。设线圈的总匝数为N， 个球面。设线圈的总匝数为 ，通过线圈的电流为 I。求球心 的磁感强度 的磁感强度. 。求球心O的磁感强度 在木球上取弧长为dL的细圆环电流 的细圆环电流, 解：在木球上取弧长为 的细圆环电流 R dI=IdN=I[N/(πR/2)]Rdθ=(2IN/π)dθ dB=µ0dIr2/[2(r2+x2)3/2] r=Rsinθ x=Rcosθ dB=µ0NIsin2θ dθ /(πR)