凹凸函数的性质

凹凸函数的性质

李联忠1

文丽琼2

1 营山中学 四川营山 637700 2营山骆市中学 四川营山 638150

摘要：若函数f(x)为凹函数，则n

f f f n

f x x x x x

x n n )

()()()(

212

1

+++≤

+++

若

函数f(x)为

凸函

数

，

则

n

f f f n

f x x x x x x n n )

()()()(

212

1

+++≥

+++

从而使一些重要不等式的证明更简明。

中图分类号： 文献标识号： 文章编号：

高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。

凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图（一）

凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图（二）

性质定理 若函数f(x)是凹函数，则

n

f f f n

f x x x x x x n n )

()()()(

212

1

+++≤

+++

若函数f(x)是凸函数，则 n

f f f n

f x x x x x x n n

)

()()()(2121

+++≥

+++

证明：若函数f(x)是凹函数，如下图

点P （

)(

,2

1

2

1

n

f n

x x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上

设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则

b n

a n

f x x

x x x x n n

++++⋅

=+++ 2

1

21

)( （1）

∵f(x) 是凹函数，切线在函数图像下方

∴b a f x x +≥11)(;b a f x x +≥22)(;…;b a f x x n n +≥)( ∴

b n

a n

f f f x x

x x x x n n ++++⋅

≥+++ 2

1

21)

()()( (2)

由（1），（2）得

n

f f f n

f x x x x x x n n )

()()()(

212

1

+++≤

+++

若函数f(x)为凸函数，如下图

点P （

)(

,2

1

2

1

n

f n

x x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上

设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则

b n

a n

f x x

x x x x n n

++++⋅

=+++ 2

1

21

)( （1）

∵f(x) 是凸函数，切线在函数图像上方

∴b a f x x +≤11)(;b a f x x +≤22)(;…;b a f x x n n +≤)(

∴

b n

a n

f f f x x

x x x x n n ++++⋅

≤+++ 2

1

21)

()()( (2)

由（1），（2）得

n

f f f n

f x x x x x x n n

)

()()()(2121

+++≥

+++

定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。下面证明均值不等式和高斯不等式。

均值不等式：

n

n n x x

x x x x n

⋅⋅⋅≥+++ 2

1

2

1

（0,,,21＞x x x n ）

证明：∵ y=lgx 是凸函数 ∴n

n

x x x x x x n n

)

lg()lg()lg()lg(2121

+++≥

+++

∴n

n n x x

x x x x n

⋅⋅⋅≥+++ 2

1

2

1

lg )lg(

即

n

n n x x

x x x

x n

⋅⋅⋅≥+++ 2

1

2

1

（0,,,21＞x x x n ）

高斯不等式：x

x

x x x

x n

n

n

1

1

1

2

1

2

1

2

+

++

≤

+++ （0,,,21＞x x x n ）

证明：∵ x

y 1

=

(x>0)是凹函数 ∴

n

n

x

x

x x x x

n

n 1

1

1

)1

2

1

21

(+++

≤

+++ ／ 即

x

x

x x x x n

n

n

1

1

1

2

1

212

+

++

≤

+++ （0,,,21＞x x x n ）

以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。 例1 A 、B 、C 为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC ≤

2

3

3 证明：∵A 、B 、C 为三角形三内角 ∴A+B+C=π A>0 B>0 C>0 又∵ y=sinx (0

sin

3sin sin sin C

B A

C B A ++≤++