凹凸函数的性质
凹凸函数的性质
凹凸函数的性质（一）李联忠1文丽琼21 营山中学 四川营山 637700 2营山骆市中学 四川营山 638150：若函数f(x)为凹函数，则nf f f nf x x x x x x n n )()()()(2121+++≤+++若函数f(x)为凸函数，则nf f f nf x x x x x x n n)()()()(2121+++≥+++从而使一些重要不等式的证明更简明。
中图：文献标识号：：高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。
学有余力的学生，会去证多个数的情形。
仿照书上去证，几乎不可能。
下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。
凹函数定义若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。
如图（一）凸函数定义若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。
如图（二）性质定理 若函数f(x)是凹函数，则nf f f nf x x x x x x n n )()()()(2121+++≤+++若函数f(x)是凸函数，则nf f f nf x x x x x x n n)()()()(2121+++≥+++证明：若函数f(x)是凹函数，如下图点P （)(,2121nf nx x x x xx nn ++++++ ）在f(x)上设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则bna nf x x x x x x n n ++++⋅=+++ 2121)(（1）∵f(x) 是凹函数，切线在函数图像下方 ∴b a f x x +≥11)(;b a f x x +≥22)(;…;ba f x x n n +≥)(∴bna nf f f x x x x x x n n ++++⋅≥+++ 2121)()()( (2)由（1），（2）得nf f f nf x x x x x x n n )()()()(2121+++≤+++若函数f(x)为凸函数，如下图点P （)(,2121nf nx x x x xx nn ++++++ ）在f(x)上设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则bna nf x x x x x x n n ++++⋅=+++ 2121)(（1）∵f(x) 是凸函数，切线在函数图像上方∴b a f x x +≤11)(;b a f x x +≤22)(;…;ba f x x n n +≤)(∴bna nf f f x xx x x x n n ++++⋅≤+++ 2121)()()( (2)由（1），（2）得nf f f nf x x x x x x n n)()()()(2121+++≥+++定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。
函数凹凸的定义
02 函数凹凸的几何意义
凹函数的几何意义
凹函数图像呈下凹状，即对于函数图 像上的任意两点A和B，如果A、B两 点连线的中点始终位于A、B连线的下 方，则该函数为凹函数。
在几何意义上，凹函数具有一个明显 的特征，即函数图像上任意两点的连 线的斜率始终小于或等于该点处的函 数导数。
凸函数的几何意义
通过分析函数的凹凸性，我们可以确定函数的拐点，从而更好地理解函数 的性质，为求解最优化问题提供指导。
在求解无约束最优化问题时，可以利用函数凹凸性选择合适的算法，如梯 度下降法、牛顿法等，以提高求解效率。
在经济学中的应用
函数凹凸性在经济学中也有 广泛应用，它可以帮助我们 理解经济现象和预测经济行
为。
函数凹凸的定义
目录
• 函数凹凸的基本概念 • 函数凹凸的几何意义 • 函数凹凸的判定方法 • 函数凹凸的应用 • 函数凹凸的反例 • 函数凹凸的扩展知识
01 函数凹凸的基本概念
凹函数
01
凹函数是指函数图形在任意两点 之间总是位于这两点连线的下方， 即对于定义域内的任意x1和x2， 都有 f((x1+x2)/2)≥f(x1)+f(x2)/2。
03
在计算机科学中，函数凹凸性可以帮助我们设计更有效的算法和数据 结构，如动态规划、图算法等。
04
在生物学中，函数凹凸性可以帮助我们理解生物系统的复杂性和行为， 如生态学、生物化学反应等。
05 函数凹凸的反例
凹函数的反例
总结词
凹函数的反例是指函数图像呈现下凹形状的反例。
详细描述
凹函数的反例通常是指那些在一定区间内，函数值随着自变量的增加而减少的函数。例如，二次函数 $f(x) = x^2$在区间$(-infty, 0)$内是一个凹函数的反例，因为在这个区间内，函数值随着$x$的增加 而减少。
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的形态和性质。
下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。
一、凹凸性
在数学中，一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。
几何上，一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方，而向下凸则表明曲线凹向下方。
凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。
如果函数的二阶导数大于零，则函
数在该点处向上凸；反之，如果函数的二阶导数小于零，则函数在该点处向下凸。
函数的图像如果是向上凸的，则可以将其形容为“形如碗状”，反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。
在具体的分析中，凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。
二、拐点
拐点是指函数图像上的一点，该点处曲线的凹凸性发生变化。
在拐点之前，函数图像
呈现一种凹凸性，而在拐点之后，则呈现相反的凹凸性。
因此，拐点也被称为凹凸性变化点。
拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。
如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数，或从负数变成正数的变化，则该点即为拐点。
在实际分析中，拐点
可用于确定函数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的性质和
形态。
凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值，而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
在实际运用中，我们应该结合具体问题进行
分析，寻找函数的凹凸性和拐点，以便更好地解决问题。
函数凸凹性在高考解题中的应用
函数凸凹性在高考解题中的应用
函数凸凹性在高考解题中的应用
函数凸凹性是高等数学研究的函数重要性质之一,虽然在高中数学的课标中没有对凸凹函数做具体要求,但是它的身影在高考试题中却频频出现.充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能.下面仅就函数凸凹性的一个侧面在高考题中的应用做初步论述.
一、凹凸函数的定义及相关定理
引理：
定理：
证明:
二、定理在高考题中的应用
以下就2012年高考试题中出现的若干有关凸凹性的试题来说明定理的解题应用价值.
例一
分析
另一种解法
解后反思
解法一基于题目代数条件、放缩求最值，解法自然，但仅停留在条件到结论的表面计算，部分学生由于计算量大和讨论繁琐而望而却步；解法二简洁明快，直观性较强，且揭示了试题立意的本质即是基于函数凹凸性立意.
例二
评注
例三
2014年长春第二次质量监测
解答。
函数的凹凸性与拐点的判定
函数的凹凸性与拐点的判定在微积分中，函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。
凹凸性描述了函数曲线的弯曲情况，而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。
凹凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。
本文将介绍函数凹凸性和拐点的概念，并讨论如何判定和应用。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。
我们可以通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数，如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上是凹函数；如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上是凸函数。
2. 凹凸点根据函数的凹凸性质，我们可以定义凹凸点。
若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0，存在一个区间(x0-δ,x0+δ)，在该区间内f(x)是凹函数，那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凹点；若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凸点。
二、拐点的判定拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。
我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。
如果在某一点x0∈I处，f''(x0)=0，并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。
2. 拐点的性质拐点具有以下性质：- 在拐点处，函数的凹凸性发生改变，由凸转为凹或由凹转为凸。
- 拐点不一定存在，只有当函数曲线的凹凸性发生改变时，才会有拐点。
- 如果函数曲线有k个拐点，那么至多有k+1个不同的凹凸区间。
三、判定和应用判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。
1. 求导数首先，求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。
函数的凹凸性与导数的增减性
函数的凹凸性与导数的增减性函数的凹凸性与导数的增减性是微积分中的重要概念，它们在函数图像的研究和最值问题的解决中起到了至关重要的作用。
本文将分析函数的凹凸性与导数的增减性之间的关系，并通过数学推导和实例说明它们之间的联系。
一、凹凸性的概念在微积分中，函数的凹凸性指的是函数图像在某一区间上的弯曲程度或曲率的变化情况。
凹函数是指在其定义域上的任意两点连线位于函数图像下方或与函数图像相切，凸函数则相反。
具体来说，若对于函数f(x)的定义域上的任意两点a和b，有f((a+b)/2) ≤ (f(a) + f(b))/2成立，则称函数f(x)为凹函数；若不等式反向成立，则称函数f(x)为凸函数。
二、凹凸性与导数的关系在分析函数的凹凸性时，导数的增减性是一个重要的判断条件。
具体而言，如果函数f(x)在某一区间上连续可导，那么函数凹凸性与导数的增减性满足以下规律：1. 函数凹函数的充要条件是其导函数f'(x)的单调递增性；2. 函数凸函数的充要条件是其导函数f'(x)的单调递减性；3. 导函数f'(x)的零点便是函数f(x)的拐点。
我们可以通过以下推导来论证这些结论。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续可导，如果对于任意的x1, x2 ∈ (a, b)，x1 < x2有f'(x1) < f'(x2)，即导数f'(x)在区间上单调递增，考虑一点x∈ (a, b)，有：f'(x) ≥ f'(x1) (x1 < x < x2)f'(x) ≤ f'(x2) (x1 < x < x2)将不等式积分，得到：f(x) - f(x1) ≥ (x - x1)f'(x1)f(x2) - f(x) ≥ (x2 - x)f'(x2)将两个不等式相加，得到：f(x2) - f(x1) ≥ (x2 - x1)(f'(x1) + f'(x2))/2由于f'（x）的单调性，f'(x1) + f'(x2) ≥ 2f'((x1 + x2)/2)，带入上式：f(x2) - f(x1) ≥ (x2 - x1)f'((x1 + x2)/2)从而证明了凹函数定义中的不等式。
函数的凹凸性怎么判断
函数的凹凸性
函数的凹凸性是函数的重要性质之一，是描述函数图象弯曲方向的一个重要性质，同时也是为了刻画函数单调性中增长率的不同变化情形而引入的。
有了它的加入，对函数的单调性就能描述得更准确。
下文给出了函数凹凸性的几种不同定义，并结合相关题目进行了应用。
1 函数凹凸性的定義
在不同的数学教材中，函数凹凸性的定义不尽相同，本文总结了几种常用的定义，并进行了它们之间的等价证明。
定义1：设在连续，在内具有一阶导数和二阶导数，①若在内，则在上的图象是凹的;②若在内，则在上的图象是凸的。
在上述三个例题中，可以看到用函数凹凸性的等价定义来分析函数题，对得到函数的性质是比较方便的[3]。
并且近几年的考研试题中多次出现此类考题，也说明了它的重要性。
高数课件14凹凸性
凹凸性与光滑性 的应用：在优化 问题、微分方程 等领域有广泛应 用
凹凸性与函数的单调性
凹凸性：函数在某点处的二阶导数符号决定了该点的凹凸性
单调性：函数在某点处的一阶导数符号决定了该点的单调性
凹凸性与单调性的关系：凹凸性与单调性是函数在某点处的二阶导数和一阶导数的符号决定的
凹凸性与单调性的应用：在解决实际问题时，可以利用凹凸性与单调性来判断函数的极值和拐 点
利用极限判断： 如果极限存在且 大于0，则为凹 函数；如果极限 存在且小于0， 则为凸函数。
03
凹凸性的性质
凹凸函数的性质
01 02
03 04
05 06
凸函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) < f(x2) 凹函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) > f(x2) 凸函数的二阶导数大于等于0
正二阶导数：函数在该点处 为凸函数
负二阶导数：函数在该点处 为凹函数
注意事项：凹凸性判定法只 适用于二阶可导的函数
06
凹凸性的扩展知识
凹凸性的连续性和可微性
凹凸性的连续性：凹凸性是函数 在某点附近的局部性质，与函数 的连续性无关
凹凸性的可导性：凹凸性是函数 在某点附近的局部性质，与函数 的可导性无关
凹凸性与函数极值的关系
凹凸性是函数在某点附近的性质，与函数在该点的极值有关 凸函数在极小值点处具有凹性，凹函数在极大值点处具有凸性 凸函数的极小值点处，其导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其导数小于等于0 凸函数的极小值点处，其二阶导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其二阶导数小于等于0
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函数凹凸性的性质判定及应用
函数凹凸性的判定性质及应用曹阳数学计算机科学学院摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。
本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。
在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。
一元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。
本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。
关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用；Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function tore-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;1.引言凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。
导数与函数的凸凹性质归纳
导数与函数的凸凹性质归纳函数的凸凹性质对于数学的研究具有重要的意义，而导数在研究函数的凸凹性质时起着举足轻重的作用。
本文将归纳总结导数与函数凸凹性质的相关知识。
一、导数的定义及计算方法导数是描述函数变化率的重要工具，其定义如下：对于函数 f(x)，如果存在极限lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h，称该极限为函数 f(x) 在点 x 处的导数，记作 f'(x) 或 dy/dx。
导数的计算方法主要有以下几种：1. 基本导数法则：根据常见函数的导数公式进行计算，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 导数的四则运算法则：根据导数的线性性质，可对两个函数进行求导后再进行加减乘除运算。
3. 高阶导数：通过对导数再次求导，可得到函数的高阶导数。
二、函数的凸性与凹性在介绍导数与函数凸凹性质的关系前，先来了解一下函数的凸性与凹性的概念。
1. 凸函数：对于定义域上的函数 f(x)，如果对于任意的 x1、x2 ∈ D，以及任意的 t ∈ [0, 1]，都有 f(tx1 + (1 - t)x2) ≤ tf(x1) + (1 - t)f(x2)，则称函数 f(x) 是凸函数。
2. 凹函数：对于定义域上的函数 f(x)，如果对于任意的 x1、x2 ∈ D，以及任意的 t ∈ [0, 1]，都有 f(tx1 + (1 - t)x2) ≥ tf(x1) + (1 - t)f(x2)，则称函数 f(x) 是凹函数。
三、导数与函数的凸凹性质导数与函数的凸凹性质之间存在着密切的关系。
下面分别介绍导数与函数凸性、凹性的判定方法：1. 函数凸性与导数的关系：（1）若函数 f(x) 在区间 I 上连续，并且在 I 内具有二阶导数，则： - 若 f''(x) > 0，则 f(x) 在 I 上为凸函数；- 若 f''(x) < 0，则 f(x) 在 I 上为凹函数；- 若 f''(x) = 0，则 f(x) 在 I 上可能为凸函数、凹函数，或者是拐点处的非凸非凹函数。
函数凹凸性与拐点在高中数学中的应用
正弦函数 y = sin x 在 [0,ππ]上为上凸函数，在 [ππ,2ππ]上为下凸函数；
余弦函数
y
=
cos
x
在
−
ππ 2
,
ππ 2
上为上凸函数，在
ππ 2
,
3ππ 2
上为下凸函数；
正切函数
y
=
tan
x
在
-
ππ 2
,0
上为上凸函数，在
0,
ππ 2
③对于任意 x1, x2 ∈ G, x1 < x2 介于 x1 与 x2 之间的任意的 x ，都有
ff((xx))−− ff((xx11)) ≤≤≤ ff((xx22))−− ff((xx11))≤≤≤ ff((xx22))−− ff((xx))
xx−−xx11
xx22−−xx11
xx22−−xx
该性质可以由图像直观看出
函数凹凸性与拐点在高中数学中的应用
聂桂明（山西省晋城市第一中学校 048000）
摘要：虽然函数凹凸性在高中的课程中没有给出明确定义，但是集合与函数是高中数学的 重点部分，作为函数的一个重要的性质，了解一些函数凹凸性的知识可以加深学生对函数 题的理解。此外，函数的凹凸性在不等式的证明等方面也有很多应用。此文将结合实例， 从定义、性质到应用对函数的凹凸性进行分析。 关键词：函数 凹凸性 应用
都有
f (a1x1 + + am xm )≤ a1 f (x1) + + am f (xm )
即
70 教学管理( aaiixxii))≤≤≤ aaiiff((xxii))
ii==11
ii==11
(整理)经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸
经济学中函数的凸凹性质问题在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。
一、关于凸函数与凹函数凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。
凸和凹具有如下性质：凸性：f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y) 标准的凸函数是开口向上的。
凹性f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) 凹函数是开口向下的D是f(.)的定义域的一个凸子集。
若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”）在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),设0<λ<1，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凸函数；同理，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凹函数；n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1 ，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)则f(x)在(a,b)内为凸函数。
初中数学 什么是函数的凹凸性 如何通过函数的导函数判断其在某个区间上的凹凸性
初中数学什么是函数的凹凸性如何通过函数的导函数判断其在某个区间上的凹凸性在初中数学中，函数的凹凸性描述了函数图像的弯曲程度。
一个函数可以是凹的、凸的或既不凹也不凸。
通过函数的导函数，我们可以判断函数在某个区间上的凹凸性。
在本文中，我们将详细讨论函数的凹凸性的概念以及如何通过函数的导函数判断其在某个区间上的凹凸性。
首先，让我们回顾一下函数的概念。
函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用符号表示为f(x)，其中 f 是函数的名称，x 是自变量，f(x) 是因变量。
函数的导数可以用以下符号表示：f'(x)，其中f 是函数的名称，x 是自变量，f'(x) 是函数的导数。
函数的导数描述了函数在不同点上的变化率或斜率。
要通过函数的导函数判断其在某个区间上的凹凸性，我们可以按照以下步骤进行：步骤一：计算函数的导函数。
根据前文所述的方法，计算函数的导函数，即计算函数的导数。
步骤二：计算导函数的导数。
计算导函数的导数，即计算导函数的导数的导数，也称为二阶导数。
步骤三：判断凹凸性。
-如果二阶导数f''(x) > 0，那么函数在该区间上是凹的。
-如果二阶导数f''(x) < 0，那么函数在该区间上是凸的。
-如果二阶导数f''(x) = 0，那么函数在该区间上可能存在拐点，即既不凹也不凸。
举例来说，考虑函数f(x) = x^3。
我们将通过其导函数判断其在区间(-∞, ∞) 上的凹凸性。
步骤一：计算函数的导函数。
根据前文所述的方法，计算函数的导函数。
f'(x) = 3x^2步骤二：计算导函数的导数。
f''(x) = 6x步骤三：判断凹凸性。
对于所有的x，f''(x) = 6x > 0，所以函数f(x) 在区间(-∞, ∞) 上是凹的。
通过这个例子，我们可以看到如何通过函数的导函数判断其在某个区间上的凹凸性。
经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸
经济学中函数的凸凹性质问题在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。
一、关于凸函数与凹函数凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。
凸和凹具有如下性质：凸性：f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y) 标准的凸函数是开口向上的。
凹性f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) 凹函数是开口向下的D是f(.)的定义域的一个凸子集。
若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”）在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),设0<λ<1，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凸函数；同理，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1, y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凹函数；n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1 ，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)则f(x)在(a,b)内为凸函数。
12第12讲 函数的凹凸性
第十二讲 函数的凹凸性一、 曲线的凹凸性：1、 定义：()()(,)f x f x a b 在(a,b)任意一点的切线都在曲线的下方，则称在内为凹函数。
()()(,)f x f x a b 在(a,b)任意一点的切线都在曲线的上方，则称在内为凸函数。
2、 凹凸性的判断：(,)''()0,''()0,a b fx f x ><在内，函数是凹的，函数是凸的。
图1 凹函数图2 凸函数注意：【拐点：二阶导数为零的点；驻点：一阶导数为零的点】例1：2x y e-=求的凹凸区间和拐点？解：222'2;''(42),2x x y xe y x ey --=-=-⋅=±1122()(,)()(()(),()22f x fx f x e e ---∞+∞-凹区间：凸区间：的拐点： 例2：2y 求的凹凸区间和拐点？解：253312'(4),''(4),4,''39y x y x x y --=-=--=不存在()()(4,)()(4,2)f x f x f x +∞凸区间：的拐点： 二、曲线的水平与垂直渐近线1、 水平渐近线：lim (),()x f x a f x a →∞==则为函数的水平渐近线2、 垂直渐近线：00lim (),x x f x x x →=∞=则为函数的垂直渐近线3、 定义：00lim (),()()lim (),()x x x f x b f x b f x f x x x f x →∞→===∞=若则是的水平渐近线，若则为的垂直渐近线例1：212(3)y x =+-求的水平和垂直渐近线？ 解：22311lim2=22lim 2,3(3)(3)x x y x x x →∞→+=+=∞=--，为水平渐近线；是垂直渐近线例2：2x y e -=求的水平和垂直渐近线？解：2lim 0,0x x ey -→∞==为水平渐近线；例3：1y x x=+求的水平和垂直渐近线？解：01lim =0x x x x→+∞=，为垂直渐近线 三、 函数的性态研究1、 步骤：（1）、求定义域；（2）、求水平、垂直渐近线；（3）、f ‘(x)、f ‘’(x),求出f ‘ , f ‘’ 为零或不存在的点，从小到大划分定义域为若干小区间； （4）、列表 2、 举例：例1：332yx x =--求的增减区间、极值、凹凸区间，拐点？解：（1）、(,)-∞+∞定义域为；（2）、没有渐近线； （3）、2'33,''6,0(),1,1y x y xy y y =-===-=拐点（驻点）（驻点）； （4）、列表如下：()(,1)(1,+)()(1,0)(0,1)()(,1)(1,0)()(0,1)(1,+)(1)0,(1)4f x f x f x f x f f -∞-∞--∞--∞-==-单增区间：，单减区间：，凸区间：，凹区间：，极大值极小值拐点为(0,-2)函数图像如下：例2：2361(3)xy x =++的单调区间，极值，凹凸区间，拐点？ 解：（1）、定义域3x ≠-；（2）、22-33636lim11,1lim1=-,3(3)(3)x x x x y x x x →∞→+==+∞=-++为水平渐近线；为垂直渐近线（3）、3436(3)72(6)','',3()3(6()(3)(3)x x y y x x x x x ---====-=++驻点，没定义)，拐点（4）、列表如下：()(3,3)()(,3)(3,6),(6,)()(,3)(3,3)(3,6)()(6,+)(3)4113f x f x f x f x f --∞-+∞-∞--∞=单增区间：单减区间：，凸区间：，，凹区间：极大值拐点为(6,)函数图像如下：。
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凹凸函数的性质
李联忠1
文丽琼2
1 营山中学 四川营山 637700 2营山骆市中学 四川营山 638150
摘要：若函数f(x)为凹函数，则n
f f f n
f x x x x x
x n n )
()()()(
212
1
+++≤
+++
若
函数f(x)为
凸函
数
，
则
n
f f f n
f x x x x x x n n )
()()()(
212
1
+++≥
+++
从而使一些重要不等式的证明更简明。
中图分类号： 文献标识号： 文章编号：
高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。
学有余力的学生，会去证多个数的情形。
仿照书上去证，几乎不可能。
下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。
凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。
如图（一）
凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。
如图（二）
性质定理 若函数f(x)是凹函数，则
n
f f f n
f x x x x x x n n )
()()()(
212
1
+++≤
+++
若函数f(x)是凸函数，则 n
f f f n
f x x x x x x n n
)
()()()(2121
+++≥
+++
证明：若函数f(x)是凹函数，如下图
点P （
)(
,2
1
2
1
n
f n
x x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上
设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则
b n
a n
f x x
x x x x n n
++++⋅
=+++ 2
1
21
)( （1）
∵f(x) 是凹函数，切线在函数图像下方
∴b a f x x +≥11)(;b a f x x +≥22)(;…;b a f x x n n +≥)( ∴
b n
a n
f f f x x
x x x x n n ++++⋅
≥+++ 2
1
21)
()()( (2)
由（1），（2）得
n
f f f n
f x x x x x x n n )
()()()(
212
1
+++≤
+++
若函数f(x)为凸函数，如下图
点P （
)(
,2
1
2
1
n
f n
x x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上
设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则
b n
a n
f x x
x x x x n n
++++⋅
=+++ 2
1
21
)( （1）
∵f(x) 是凸函数，切线在函数图像上方
∴b a f x x +≤11)(;b a f x x +≤22)(;…;b a f x x n n +≤)(
∴
b n
a n
f f f x x
x x x x n n ++++⋅
≤+++ 2
1
21)
()()( (2)
由（1），（2）得
n
f f f n
f x x x x x x n n
)
()()()(2121
+++≥
+++
定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。
下面证明均值不等式和高斯不等式。
均值不等式：
n
n n x x
x x x x n
⋅⋅⋅≥+++ 2
1
2
1
（0,,,21＞x x x n ）
证明：∵ y=lgx 是凸函数 ∴n
n
x x x x x x n n
)
lg()lg()lg()lg(2121
+++≥
+++
∴n
n n x x
x x x x n
⋅⋅⋅≥+++ 2
1
2
1
lg )lg(
即
n
n n x x
x x x
x n
⋅⋅⋅≥+++ 2
1
2
1
（0,,,21＞x x x n ）
高斯不等式：x
x
x x x
x n
n
n
1
1
1
2
1
2
1
2
+
++
≤
+++ （0,,,21＞x x x n ）
证明：∵ x
y 1
=
(x>0)是凹函数 ∴
n
n
x
x
x x x x
n
n 1
1
1
)1
2
1
21
(+++
≤
+++ ／ 即
x
x
x x x x n
n
n
1
1
1
2
1
212
+
++
≤
+++ （0,,,21＞x x x n ）
以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。
例1 A 、B 、C 为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC ≤
2
3
3 证明：∵A 、B 、C 为三角形三内角 ∴A+B+C=π A>0 B>0 C>0 又∵ y=sinx (0<x<π)是凸函数 ∴3
sin
3sin sin sin C
B A
C B A ++≤++
∴
3
sin 3sin sin sin π
≤++C B A 即
SinA+sinB+sinC ≤
2
3
3 例2 求证n
n x x x n
x x x n
222
2
1
2
)(21+++≤
+++ 证明：∵ x y 2
= 为凹函数
∴n
n x x x n
x x x n
222
2
1
2
)(21
+++≤+++
例3 求证n
n x x x n
x x x k n
k k
k
222
21
2)(21+++≤
+++ （k ∈N +） 证明：∵ x k
y 2= （k ∈N +）为凹函数
∴n
n x x x n
x x x k n
k k k
222
21
2)(21
+++≤+++
通过以上例子，可以看出，关键在于找到合适的凹函数或凸函数，再用性质定理，问题可得解决。
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