第七章_频响函数的估计
计算频响函数和相干函数
计算频响函数和相干函数频响函数是指一些系统对于输入信号的不同频率成分的增益或衰减情况。
相干函数则是描述两个信号在时间上的相关性。
1.频响函数频响函数是描述系统对信号不同频率成分的响应情况的重要指标。
通过对信号的频谱进行分析，我们可以得到系统对不同频率的增益或衰减情况。
频响函数可以表示为H(f)，其中f表示频率。
频响函数通常用复数表示，具有幅度和相位两个部分。
幅度是指信号在通过系统时的增益或衰减情况。
通常以分贝（dB）为单位进行表示。
若系统的频响函数为H(f)，则幅度响应可以表示为，H(f)。
相位是指信号在通过系统时的相位变化情况。
相位响应可以表示为∠H(f)。
频响函数描述了系统对不同频率成分的影响，对于系统的建模和分析具有重要作用。
利用频响函数，我们可以预测系统对不同频率输入信号的输出情况，从而更好地设计和调节系统。
2.相干函数相干函数是描述两个信号在时间上的相关性的度量指标。
如果两个信号在一些时刻上有相同的变化趋势，我们可以认为它们是相关的；如果两个信号在一些时刻上有相反的变化趋势，我们可以认为它们是不相关的。
相干函数可以表示为C(t)，其中t表示时间延迟。
相干函数通常用复数表示，具有幅度和相位两个部分。
幅度是指两个信号之间的相关程度，通常以0到1之间的值进行表示。
如果两个信号完全相关，幅度为1；如果两个信号完全不相关，幅度为0。
相位是指两个信号之间的相对时间延迟。
如果两个信号在一些时刻上同时达到峰值，则相位为0；如果两个信号在一些时刻上一个达到峰值，另一个达到谷值，则相位为180度。
相干函数可以帮助我们了解两个信号之间的相关性。
在信号处理和通信系统中，相干函数是重要的性能评估指标，对于信号的传输和处理具有指导意义。
总结：频响函数描述了系统对不同频率信号的增益或衰减情况，是系统建模和分析的重要工具。
相干函数描述了两个信号在时间上的相关性，是信号处理和通信系统中的重要性能指标。
通过频响函数和相干函数的分析，我们可以更好地理解和优化系统的性能，提高信号的传输质量和处理效果。
频率响应函数估计方法综述
为了方便计算和操作 ,对公式 ( 12)两边取对数 ,即定义
Hlog ( f) = log[ Hgeom ( f) ] =
n
∑ 1
n
k =1
log[ Hk
( f)
]
( 13 )
对于 Harithm估计 , 当 |M ( f) /X ( f) | < 1 时 , 式 ( 11 )可以
按照 Taylor级数展开 ,并且可以进一步证明 (具体证明
计 ,而且易证明 H3 Ε H4 ,这样可得 H1 ～ H4 估计的关系
为 H1 Φ H4 Φ H3 Φ H2 。
1.
4 Ha rithm 和
估计 Hgeom
[1 - 2]
针对图 1系统输入输出均包含有加性噪声干扰的
情况 ,人们提出了很多平均方案来减小误差 , 包括很多
的非线性平均技术 。在文献 [ 1 ]中作者就针对多次系
基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (编号 50605065 )重庆大学研究生 科技创新基金 ,项目编号 : 200701Y1B01000196 收稿日期 : 2007 - 07 - 27 修改稿收到日期 : 2007 - 09 - 10 第一作者 段虎明 男 ,博士生 , 1979年 1月生
谱 , Z ( f)为系统输入端的测量信号的频谱 , N ( f)为系 统输出端的随机噪声的频谱 , Y ( f)为系统输出端的测 量信号的频谱 。这样系统的频响函数就可以表示为
(2)
然而实测的输入输出信号中总是存在各种干扰噪声信
号 ,因此频响函数一般不能精确计算 。为了减小误差 , 提高频响函数的测量精度 , 学者们提出了一系列的频 响函数估计方法 ,下面对它们作简要介绍 。 111 H1 估计 [1 - 8 ] 对图 1所示的系统 , 按照最小二乘估计原则可定 义 H1 估计为 :
基于改进周期图法的频响函数估计分析研究
Ｃｈ ｅ ｎ Ｄｏ ｎ ｇ
Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｃ Ｑ Ｃ Ｎ ｅ ｗ Ｅ ｎ ｅ ｒ ｇ ｙ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ，Ｎ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ ｇ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ，Ｎ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ ｇ ２ １ ０ ０ ２ ３ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ
摘要 目前常 见大型 复杂结构的模 态参数识别 方法主要 采 用频域 法进行识 别 ，即通 过测得 系统结 构的频响函数来识别模 态参数 ，故频响 函数 估计精度 直接 导致
模 态 参 数 的识 别 结 果 的 好 坏 。 本 文 采 用 改进 周期 图 法对 频 响 函 数 进 行 估 计 ，
信息科技
中 国 科 技 信 息 ２ ０ １ ３ 年 第２ ２ 期’ Ｃ Ｈ Ｉ Ｎ Ａ Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ Ｎ Ｃ Ｅ Ａ Ｎ Ｄ Ｔ Ｅ Ｃ Ｈ Ｎ Ｏ Ｌ Ｏ Ｇ Ｙ Ｉ Ｎ Ｆ Ｏ Ｒ Ｍ Ａ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ Ｎ ｏ ｖ ． ２ ０ １ ３
基于改进周期图法的频响函数估计分析研究
陈栋
南京信息职业技 术 学院中认新 能源技 术学院
ｉ ｄ ｅ ｎ ｔ ｉ ｉ ｆ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ． Ｔｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ａ ｄ ｏ ｐ ｔ ｓ ｍｏ ｄ ｉ ｉｅ ｆ ｄ ｐｅ ｒ ｉ ｏ ｄ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ ｔ ｏ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｅ Ｆ ＲＦ ．
Ｓ ｉ ｍｕ ｌａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｈ ｏ ｗｓ ｔ ｈ ｉ ｓ ｍｅ ｈｏ ｔ ｄ ｃ ａ ｎ ｉ ｍｐ ｒ ｏ ｖ ｅ Ｆ ＲＦ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｅ ｃ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ ．
第七章 频响函数及相干分析
记 H3 ( f )
2015年12月22日星期二
同济大学汽车学院振动噪声研究所
29
二．频响函数的估计精度
a(t)
H ( ) H 0 ( f )
b(t)
n(t)
x(t)
m(t)
y(t)
2015年12月22日星期二
同济大学汽车学院振动噪声研究所
30
当系统输入输出存在干扰时
x(t ) a(t ) n(t ) X ( f ) A( f ) N ( f )
2
2
2015年12月22日星期二
同济大学汽车学院振动噪声研究所
21
如果 rxy 2 ( f ) 很小，即低于0.5时，认为： （1）系统受到的输入不只一个，还有分解的输入； （2）系统本身具有非线性性质； （3）系统的输入（有用信号）太小，为噪声所淹没。
2015年12月22日星期二
同济大学汽车学院振动噪声研究所
2015年12月22日星期二
同济大学汽车学院振动噪声研究所
11
离散形式
R y (l ) Ey(k l ) g (k )
r
h(r ) h(n) R (l r n)
x x
Rxy
r
h(n) R (l n)
2015年12月22日星期二
2015年12月22日星期二 同济大学汽车学院振动噪声研究所 14
或极坐标形式
H ( f ) H r ( f ) e j ( f )
因而一般描述 H ( f ) 有以下几种方式： 1)实频、虚频图。
2)幅频、相频图。（或波德图）
3)乃奎斯特图（或实虚图）
2015年12月22日星期二
频响指标以及测试方法
频响频率响应简称频响，英文名称是Frequency Response，在电子学上用来描述一台仪器对于不同频率的信号的处理能力的差异。
同失真一样，这也是一个非常重要的参数指标。
一个“完美”的交流放大器，应该在频响指标上具有如下的素质：对于任何频率的信号都能够保持稳定的放大率，并且对于相应的负载具有同等的驱动能力。
显然这在目前技术水平下是完全不可能的，那么针对不同的放大器就有了不同的“前缀”，对于音频信号放大器（功率放大器或者小信号放大器）来说，我们还应该加上如此的“前缀”：在人耳可闻频率范围内以及“可能”影响到该范围内的频率的信号。
这个范围显然缩小了很多，我们知道，人耳的可闻频率范围大约在20～20KHz，也就是说只要放大器对这个频率范围内的信号能够达到“标准”即可。
实际上，根据研究表明，高于这个频段以及部分低于这个频段的一些信号虽然“不可闻”，但是仍然会对人的听感产生影响，因此，这个范围还要再扩大，在现代音频领域中，这个范围通常是5～50KHz,某些高要求的放大器甚至会达到0.1~数百KHz。
但是，上述要求表面上好像是比“完美”低了很多，却仍然是“不可能完成的任务”，目前我们连这样的要求也不可能达到。
于是，就有了“频响”这个指标。
（附言：指标本身就代表着“不完美”，如果一切都“完美”了，指标也就没有存在的理由了。
）放大器有两种失真：线性失真和非线性失真。
我们通常把后者叫做“失真”，而把前者用其它方式表达出来。
非线性失真我们已经知道了是一种什么情况了。
而线性失真就是指频率和相位方面的“误差”，即频率失真和相位失真。
频率失真及其产生原因频率失真是一种“线性失真”，意思是说，发生这种失真时放大器的输出信号波形和输入波形仍然是“相似形”，它不会使放大器对要处理的信号产生“形变”。
一个单纯的频率失真可以看成放大器对于不同频率的信号放大倍数不同，例如，1个十倍放大器，对1KHz的信号的放大倍数是10倍，而对于10KHz的交流信号可能放大倍数就变成了9.99倍，于是，我们就可以说这台放大器有频率失真了。
频响函数的测定方法
d y (t ) dy(t ) m c ky(t ) k1 x(t ) 2 dt dt
sin n 1 2
2 1 2 1 t arctg
6
2
n t 当输入为阶跃信号，可求出其响应函 e
y (t ) 1 数
二阶系统对阶跃输 入的响应
dy (t ) y (t ) Sx (t ) dt
频响函数的测定方法－阶跃号激励
令输入x(t )
为t=0时的 阶跃函数，代入下式 dy (t ) y (t ) Sx (t ) dt
求得方程解为 其中
y(t ) S (1 e
t /
表达了系统对 阶跃输入响应快慢。
c dy (t ) y (t ) Sx (t ) k dt
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
c 令 k －称为此系统的时间常数。
则上式变为：
Y ( ) S 求出它的频响函数为 H ( j ) X ( ) j 1 其对数幅频特性曲线如图 1 由图可见 特性转折点 是其特性转折 点，所以 是 6 系统重要参数。
)
6
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
求
值，上式改写为
由试验求出
y (t ) t / 1 e S y (t ) ) 令 Z ln(1 t S
则
Z
Hale Waihona Puke dZ 1 故 dt
由公式 计算
求出
6
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
对于二阶系统：其输入输出关系式为
：
频响函数的测定方法－阶跃信号激励
2 1 这一阶跃响应函数的瞬态响应是以 n 角
第七章频响函数的估计
第七章-频响函数的估计————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ7. 频响函数的估计(相干分析)7.1. ＳISO 系统的频响函数及其估计对于SISO 系统,其频响函数的估计有很多计算方法，主要的有三种估计式。
在没有噪声污染的情况下,它们的估计是等价的。
但是实际上，由于不可避免的存在噪声,三种估计有所差异。
本节讨论在主要的三种噪声污染下，三种传统估计式与真值之间的误差。
7.1.1. 随机激励下的频响函数考虑一个ＳISO 时不变线性系统,其频率响应函数为()ωH 。
设随机输入和响应信号分别为)(t x 和)(t y ,其傅立叶变换分别为)(ωX 和)(ωY ，则有()()()ωωωX H Y =上式两端乘以()ω*X ,取时间平均及集合平均,并注意()ωH 与平均无关,则()()[]()()()[]ωωωωω**1lim 1limX X T H X Y T T T ∞→∞→= 即()()()ωωωx xy S H S =如果()ωx S 不为零,则可得系统的频响函数的第一种计算式()()()ωωωx xy S S H =1同样，如果在系统输入/出频谱式两端乘以()ω*Y ,取时间平均和集合平均，得()()()ωωωyx y S H S =如果()ωyx S 不为零,则可得系统的频响函数的第二种计算式()()()ωωωyx y S S H =2将系统输入／出频谱式两端取共轭，得()()()ωωω***X H Y =乘以原输入／出频谱式,并去时间平均和集合平均，得()()()ωωωx y S H S 2=可得系统的频响函数的幅值计算式()()()ωωωx y a S S H =27.1.2. 频响函数的估计方法考虑一个SI ＳO 时不变线性系统,其频率响应函数为()ωH 。
设系统的实际输入和响应信号分别为)(t u 和)(t v ，其傅立叶变换分别为)(ωU 和)(ωV ,它们的测量信号分别为)(t x 和)(t y ，其傅立叶变换分别为)(ωX 和)(ωY 。
第七章 电路频率响应
第七章 电路频率响应 由 式 (7.2-5) 或 图 7.2-2 可 以 看 出 ： 当 ω=ωc 时 ， |H(jωc)|=0.707|H(j0)|,φ(ωc)=-45°。对于|H(j0)|=1的这类低通网 络，当ω高于低通截止角频率ωc时，|H(jω)|＜0.707，输出信号 的幅值较小，工程实际中常将它们忽略不计， 认为角频率高于 ωc的输入信号不能通过网络，被滤除了。 通常，亦把0≤ω≤ωc 的角频率范围作为这类实际低通滤波器的通频带宽度。 如果用分贝为单位表示网络的幅频特性， 其定义为
第七章 电路频率响应 网络频响特性 7.1.2 网络频响特性 纯阻网络的网络函数是与频率无关的，这类网络的频率特 性是不需要研究的。研究含有动态元件的网络频率特性才是有 意义的。 一般情况下，含动态元件电路的网络函数H(jω)是频率的 复函数，将它写为指数表示形式，有
H ( jω ) =| H ( jω ) | e jϕ (ω )
| H ( jω ) | def 20 lg | H ( jω ) | dB
(7.2-6)
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损 坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x” ，则可能需要 删除该图像，然后重新将其插入。
第七章 电路频率响应 也就是说，对|H(jω)|取以10为底的对数并乘以20，就得到 了网络函数幅值的分贝数。 当ω=ωc时，
第七章 电路频率响应 式中
1+ ω R C ϕ (ω ) = − arctan(ωRC )
2 2
| H ( jω ) |=
1
2
(7.2-2) (7.2-3)
根据式(7.2-2)和(7.2-3)可分别画得网络的幅频特性和相频特 性如图7.2-2(a)、 (b)所示。
《频率估计概率》课件
02
频率估计概率的理论基础
大数定律
大数定律是指在大量重复实验中 ，某一事件发生的频率趋于一个
稳定值。
大数定律是频率估计概率的理论 基础之一，它表明当实验次数足 够多时，某一事件的相对频率趋
近于该事件发生的概率。
02
03
数据清洗
频率估计概率可以用于识 别异常值和离群点，帮助 数据清洗和预处理。
分类和聚类
频率估计概率可以用于分 类和聚类算法中，以确定 数据对象的相似性和差异 性。
可视化分析
频率估计概率可以用于数 据可视化，通过绘制频率 分布图和直方图来分析数 据的分布和特征。
在机器学习中的应用模型选择源自频率估计概率可以用于评 估不同机器学习模型的性 能和适用性，以选择最佳 模型。
大数定律在概率论和统计学中有 广泛应用，例如在计算平均值、 预测未来事件发生的概率等方面
。
贝叶斯定理
贝叶斯定理是概率论中的一个 重要定理，用于计算条件概率 。
它提供了一种在已知某些其他 事件发生的情况下，计算某一 事件发生的概率的方法。
贝叶斯定理在统计学、机器学 习、决策理论等领域有广泛应 用，是频率估计概率的重要理 论基础之一。
可操作性强
频率估计概率的方法在实际应用 中具有较强的可操作性，可以通 过数据分析和统计方法来计算概
率，为决策提供依据。
数据来源广泛
频率估计概率的方法可以利用大 量的历史数据和实时数据，数据 来源广泛，能够提供更全面和准
确的信息。
缺点
数据依赖性强
频率估计概率的方法高度依赖于历史数据和当前数据，如果数据 不准确或数据量不足，会导致估计结果的不准确。
第七章 滤波器设计方法
频率变换的matlab实现 实现 频率变换的
在matlab中，应用lp2lp，lp2hp，lp2bp，lp2bs命令，可以很方便地实现由归一 化低通到低通、高通、带通、带阻的频率转变。 例如，利用下列语句，可以实现将一个归一化三阶Butterworth低通滤波器，转 换为中心频率在4rad/s，带宽等于2rad/s的带通滤波器： w0=4; wb=1; |H| [zlp,plp,klp]=buttap(3); [blp alp]=zp2tf(zlp,plp,klp); wlp=0:0.01:4; Ω [maglp phaselp]=bode(blp,alp,wlp); [bbp abp]=lp2bp(blp,alp,w0,wb); lp2bp wbp=0:0.05:8; |H| [magbp phasebp]=bode(bbp,abp,wbp);
|H|
Ω 计算ChebyshevI型和II型的matlab 命令分别为：cheb1ap和cheb2ap。
• 椭圆 椭圆(Elliptic)低通滤波器 低通滤波器
I型和II型Chebyshev滤波器，分别在通带和阻带内波动。如果通带和阻带内同时 存在波动，则可以进一步优化过渡带特性，这就是椭圆滤波器。 其模方函数的基本形式为：
其与z变换过程相同所以这种方法有叫做常规z变换法?由于z变换本身存在zest的映射关系因此这一离散化过程必然满足两个基本条件sktd的关系映射成z平面的极点但零点一般需要重新计算脉冲响应不变法需要满足采样定理来避免混叠由于技术指标采用的是离散时间频率而参数t改变同时也就改变连续时间滤波器的截止频率因为连续时间频率和离散时间频率是按照t无法控制混叠
s B + Ωu Ω l 由低通滤波器转换带通滤波器的基本转换公式： s L = s B (Ωu − Ωl )
信号与系统王明泉第七章习题解答
第7章离散时间系统的Z域分析7.1 学习要求（1）深刻理解z变换的定义、收敛域及基本性质，会根据z变换的定义和性质求解一些常用序列的z变换，能求解z反变换，深刻理解z变换与拉普拉斯变换得关系；（2）正确理解z变换的应用条件；（3）能用z域分析分析系统，求离散系统的零状态响应、零输入响应、完全响应、单位样值响应；（4）深刻理解系统的单位样值响应与系统函数H(z)之间的关系，并能用系统函数H(z)求解频率响应函数，能用系统函数的分析系统的稳定性、因果性。
7.2 本章重点（1）z变换（定义、收敛域、性质、反变换、应用）；（2）z域分析（求解分析系统）；（3）系统的频率响应函数。
7.3 本章的知识结构7.4 本章的内容摘要7.4.1 Z变换（1）定义∑∞-∞=-=n nzn x z X )()( 表示为：)()]([z X n x Z =。
（2）收敛域 1.有限长序列12(),()0,x n n n n x n n ≤≤⎧=⎨⎩其他 （1）当0,021>>n n 时，n 始终为正，收敛条件为0>z ； （2）当0,021<<n n 时，n 始终为负，收敛条件为∞<z ；（3）当0,021><n n 时，n 既取正值，又取负值，收敛条件为∞<<z 0。
2.右边序列11(),()0,x n n n x n n n ≥⎧=⎨<⎩ （1）当01>n 时，n 始终为正，由阿贝尔定理可知，其收敛域为1x R z >，1x R 为最小收敛半径；（2）当01<n 时，)(z X 分解为两项级数的和，第一项为有限长序列，其收敛域为∞<z ；第二项为z 的负幂次级数，由阿贝尔定理可知，其收敛域为1x R z >；取其交集得到该右边序列的收敛域为∞<<z R x 1。
3．左边序列2(),()0,x n n n x n n ≤⎧=⎨⎩其他（1）当02<n ，n 始终为负，收敛域为2x R z <，2x R 为最大收敛半径； （2）当02>n ，)(z X 可分解为两项级数的和，第一项为z 的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为2x R z <，2x R 为最大收敛半径；第二项为有限长序列，其收敛域为0>z ；取其交集，该左边序列的收敛域为20x R z <<。
python频响函数
python频响函数Python 频响函数频响函数是描述信号在频域上的响应特性的函数。
在信号处理和系统控制中，频响函数是非常重要的工具。
Python 提供了多种库和函数，用于计算和绘制频响函数。
本文将介绍如何使用 Python 来计算频响函数以及如何绘制频响曲线。
一、理论基础在信号处理中，频响函数是描述系统对输入信号频率特性的函数。
它通常以复数形式表示，包括幅度和相位两部分。
频响函数可以用于计算系统对不同频率信号的响应，帮助我们了解系统的频率特性。
Python 提供了一些库和函数来计算频响函数，其中最常用的是 Scipy 库中的信号处理模块（`scipy.signal`）。
这个模块提供了多种函数来计算和绘制频响函数。
二、计算频响函数要计算频响函数，我们首先需要有一个输入信号和一个系统函数。
输入信号可以是时间域信号或频域信号。
系统函数可以是差分方程或差分方程的表达式。
接下来，我们可以使用 Scipy 的 `freqz` 函数来计算频响函数。
以下是一个示例，演示如何使用 `freqz` 函数计算频响函数：```pythonimport numpy as npfrom scipy import signal# 输入信号t = np.linspace(0, 10, 1000)x = np.cos(2 * np.pi * 1 * t)# 系统函数b = [1, 0.5]a = [1, -0.8]# 计算频响函数w, h = signal.freqz(b, a)```在这个示例中，我们使用了一个余弦函数作为输入信号，并定义了一个系统函数用于计算频响函数。
`freqz` 函数返回两个数组，分别是频率和频响函数的幅度响应。
三、绘制频响曲线绘制频响曲线可以帮助我们更直观地了解系统对不同频率的响应。
Python 中的Matplotlib 库提供了丰富的绘图功能，我们可以使用它来绘制频响曲线。
以下是一个示例，演示如何使用 Matplotlib 绘制频响曲线：```pythonimport matplotlib.pyplot as plt# 绘制频响曲线plt.figure()plt.plot(w, 20*np.log10(abs(h)))plt.title('Frequency Response')plt.xlabel('Frequency [rad/sample]')plt.ylabel('Amplitude [dB]')plt.grid()plt.show()```在这个示例中，我们使用了 Matplotlib 的 `plot` 函数来绘制频响曲线，并使用`title`、`xlabel` 和 `ylabel` 函数设置标题和轴标签。
机械振动系统的频响函数估计方法研究
机械振动系统的频响函数估计方法研究
张磊;曹跃云;郭光林
【期刊名称】《武汉理工大学学报（交通科学与工程版）》
【年(卷),期】2014(038)006
【摘要】为提高频率响应函数(FRF)的估计精度,基于主成分和总体最小二乘法的思想,分别提出SISO和MIMO测量条件下的FRF估计模型,模型能考虑输入输出随机噪声影响且理论清晰、简单易行.利用振动传递路径系统模型验证提出方法比传统方法更具有效性.依据不同的测量环境、测量对象、精度和效率等要求,提出FRF 测量、估计等环节的有效策略.研究成果为获取精度高、鲁棒性好的FRF提供了有力支撑.
【总页数】5页(P1286-1290)
【作者】张磊;曹跃云;郭光林
【作者单位】海军工程大学动力工程学院武汉430033;海军工程大学动力工程学院武汉430033;海军工程大学电子工程学院武汉430033;海军工程大学电子工程学院武汉430033
【正文语种】中文
【中图分类】U661.44
【相关文献】
1.主轴－刀柄－刀具系统刀尖频响函数的预测方法研究 [J], 王二化;吴波;胡友民;王军;杨叔子
2.全相位Hv频响函数估计在MIMO随机振动试验控制中的应用 [J], 崔旭利;陈怀海;贺旭东;曹立娟
3.基于频响函数法的路面激励下车轮轴头力的估计 [J], 靳畅;周鋐;慕乐
4.基于改进周期图法的频响函数估计分析研究 [J], 陈栋
5.基于Hv方法的三轴液压振动系统频响函数估计的研究 [J], 杨志东;关广丰;丛大成;韩俊伟;李洪人
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
频域内频响函数
涉及到快速正弦扫描.百度文库“在模态试验时，频率响应函数的估计有三种估算形式，它们分别为： 第一估算式 1()()()fx ff G H G ωωω=第二估算式 2()()()xx xf G H G ωωω=第三估算式 2()()()xx a ff G H G ωωω=上面三个式子中的具体函数分别代表自谱和互谱函数。
还有一种计算方法，就是直接采用傅里叶变换转换到频率后，响应和输出相比。
在没有噪声污染的理想情况下，这三种估算形式是等价的。
实际上试验信号总会伴随噪声的存在，因此三种估算形式一般会有差异。
当只有响应信号受到噪声污染时，第一估算式为频响函数的真估计，第二、第三估算式均为频响函数的过估计；当只有激励信号受到噪声污染时，第二估算式为频响函数的真估计，第一、第三估算式均为频响函数的欠估计；激励和响应信号都受到噪声污染时，第一估算式为频响函数的欠估计，第二估算式为频响函数的过估计，第三估算式接近频响函数的真估计。
由三种情况可以看出，系统的频率响应函数是介于第一估算式和第二估算式之间，即12()()()H H H ωωω≤≤目前，高精度动态信号分析仪能同时给出三种估算式，则它们可以相互校核。
一般来说，在共振频率附近，响应信号强，激励信号弱，而弱信号的信噪比总是偏低，所以第二估算式比第一估算式更接近真值；而在反共振频率附近，响应信号较弱。
激励信号较强，第一估算式比第二估算式更接近真值。
现有一些分析仪一般只给出第一估算式，为了保证频响函数测量的可靠性，应同时测量相干函数。
相干函数()γω无论输入信号还是输出信号受到噪声污染时，它的值均小于1而大于零，即212()0()1()H H ωγωω≤=≤ 相干函数是描述系统输入与输出相关性的一个函数，如果测量的相干函数值偏小，说明我们测量的响应信号不完全是由激励引起的，可能还存在其它的激励或干扰，这时应分析干扰的来源；若测量的相干函数值接近1，则说明系统响应完全是由激励引起的。
频响函数
yx梁受迫振动的基本方程：())()(0x x t F EIu um IV -⋅=+δ 当受恒定力作用时，)(1)(t F t F ⋅-= 当受冲击载荷时，)()(t F t F δ⋅-= 设∑∑==nbn nbn n t q lxn t q x t x u )(sin)()(),(πφ，代入基本方程，两边同乘m φ，在整段梁上积分，得：⎰⎰∑⎰∑--=⋅⋅+⋅⋅lm l nbn IV nm lnbn n mdxx x x F dx t q x x EI dx t qx x m 000)(0)()())()(()())()(()(φδφφφφ考虑到振型的正交性，上式可化简为：)()()(00244402x F dx x q l EI n dx x q m n ln bn l nbn φφπφ⋅-=+⋅⎰⎰ ，即： lx n ml Fdx x x F q q ln n bn bn bn 00202sin2)()(πφφω⋅-==+⎰ 以零初始条件解此微分方程，得到：)1(cos sin 202-=t l x n mlFq bn bn bn ωπω 进行Laplace 变换，)1(sin 2)(2202ss s l x n ml F q L bn bn bn -+=ωπω，而输入力： sFt F L t F L -=⋅-=))(1())((所以)(sin2)()()(22ωωπω-=='bn bn n m l l x n F L q L H l x n m l l x n l x n H H bn n n πωωππωωsin )(sin2sin )()(220⋅-=⋅'= ∑∑∑⋅-=⋅'==n bnn n n n l x n m l l x n l x n H H H πωωππωωωsin )(sin2sin )()()(220或者，直接将化简后的方程两边Laplace 变换：lx n sml Fq q s bn bn bn 022sin 2πω⋅-=+，可直接得到： )(sin2)()()(220ωωπω-=-=='bn bnbn nml l x n sFq F L q L H 当载荷为冲击载荷时，也可直接将化简后的方程两边Laplace 变换：lx n ml Fq q s bn bn bn 022sin 2πω⋅-=+，同样可以得到： )(sin2)()()(220ωωπω-=-=='bn bn bn n m l l x n F q F L q L H 由此可以看出，频响函数仅仅同梁的性质有关，而与激励无关 考虑阻尼，类似单自由度系统：∑∑∑⋅-⋅⋅+=⋅'==n bn bn n n n n l x n j m l l x n l x n H H H πωζωωππωωωsin )2(sin2sin )()()(220下面讨论速度和加速度的频响函数： 由)1(cos sin 202-=t l x n mlF q bn bn bn ωπω，得到：t l x n ml Fq bn bn bn ωπωsin sin 20-= 2202201sin 2sin 2)(bnbn bn bn bn s l x n ml F s l x n ml F qL ωπωωπω+-=+-= )(sin2)()()(22ωωωπω-⋅=-=='bn bnbn nml j l x n sFqF L q L H∑∑∑⋅-⋅=⋅'==nbn nnnn l x n m l jl x n l xn H H H πωωωππωωωsin )(sin2sin )()()(22同理，有阻尼时：∑∑∑⋅-⋅⋅+⋅=⋅'==n bnbn n n n n l x n j m l jl x n l x n H H H πωζωωωππωωωsin )2(sin2sin )()()(220加速度：t lx n m l Fqbn bn ωπcos sin 20-= 220sin 2)(bnbn s sl x n ml F qL ωπ+-= )(sin2)()()(2220ωωωπω--=-=='bn bn bn nml l x n sFqF L q L H ∑∑∑⋅--=⋅'==n bnn n n n l x n m l l x n l x n H H H πωωωππωωωsin )(sin2sin )()()(2220 同理，有阻尼时：∑∑∑⋅-⋅⋅+-=⋅'==n bnbn n n n n l x n j m l l x n l x n H H H πωζωωωππωωωsin )2(sin2sin )()()(2220 加入弹簧质量系统：x对于k 非常大的情况，可以近似认为弹簧质量系统为刚体，基本不影响桥的性质，所以()()()∑∑⋅--==≈n bnn n M l x n m l l x n H t F FT y FT H πωωωπωωsin )(sin2)()(2220 对于k 不是足够大可以认为弹簧质量系统为刚体的时候，由冲量定理，得：()v qM t F ⋅=⋅δ 此后弹簧质量系统和桥耦合振动在某一固定位置0x ，()()Mt F q v δ⋅=0 车桥耦合系统的运动方程为：())()(0x x t f EIu um IV -⋅=+δ ()0x u k kq qM v v ⋅=+ 设∑∑==nbn nbn n t q lxn t q x t x u )(sin)()(),(πφ，代入基本方程，两边同乘m φ，在整段梁上积分，得：()⎰⎰∑⎰∑-=⋅⋅+⋅⋅lm l nbn IV n m lnbn n mdx x x x t f dx t q x x EI dx t qx x m 000)(0)()())()(()())()(()(φδφφφφ考虑到振型的正交性，上式可化简为：())()()(00244402x t f dx x q l EI n dx x q m n ln bn l nbn φφπφ⋅=+⋅⎰⎰ ，即： ()lx n ml t f dx x x F q q ln n bn bn bn 00202sin2)()(πφφω⋅==+⎰ 其中，()Mg qM t f v --= ，所以： ()lx n ml Mg q M q q v bn bn bn 02sin 2πω⋅+-=+又因为g qv << ，所以上式可以改写为 lx n ml Mg q q bn bn bn 02sin 2πω⋅-=+ 以零初始条件解此方程，得到：)1(cos sin 202-=t l x n mlMgq bn bn bn ωπω 于是：()()∑-⋅=⋅=+nbn bn v v v v v t mlMgl x n x u q q1cos 2sin 2022022ωωπωωω 以()00=v q ，()()Mt F qv δ⋅=0 为初始条件，解此方程，得到：()()()()∑∑∑--+--⋅⋅=n bn n bn bnv bn v n v bnv v v v l x n ml Mg t l x n ml Mg t l x n ml Mg t M t F t q 0220222220222sin 2cos sin 2cos sin 2sin πωωπωωωωωπωωωωδx加入激励力，车桥耦合系统的运动方程为：())()(0x x t f EIu um IV -⋅=+δ ()t F x u k kq q M v v ωsin 0⋅-⋅=+ 同上可得：()lx n ml t f dx x x F q q ln n bn bn bn 00202sin2)()(πφφω⋅==+⎰ 其中，()t F qM t f v ωsin --= ，所以： ()lx n ml t F q M q q v bn bn bn 02sin sin 2πωω⋅+-=+当弹簧刚度非常大时，可以认为()t F x u k kq v ωsin 0⋅-≈⋅- 所以上式可以改写为lx n ml t F q q bn bn bn 02sin sin 2πωω⋅-=+ 以零初始条件解此方程：()()()t l x n ml Ft l x n ml F t q bn bn Bn bn bn ωπωωωπωωωωsin sin 2sin sin2022022---=于是：()()()t M F l x n ml F t t l x n ml F t MFx u q qn bn v n bn bn bn v v v v v ωπωωωωωπωωωωωωωωsin sin 2sin sin sin 2sin 0222202222022⋅----=⋅-⋅=+∑∑ 令：()()∑=-=-=nnbn vn bn bn v n B B l x n m l F B l x n m l F A ,sin 2sin 2022222222πωωωπωωωωω则：t M F B t A q qnbn n v v v ωωωsin sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+∑以零初始条件解此方程：()()()()tM F B A t M F B t A q vn v v bnv v n bn v n bn v bn n v ωωωωωωωωωωωωωωωsin sin sin 22222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--+-+--=∑∑板振动的基本方程：()()00224,y y x x t F tm D --⋅=∂∂+∇δωω设()()()()∑∑∑∑==mnmn mnmn mn t q byn a x m t q y x W t y x ππωsin sin,,,，代入基本方程： ()()()()00222224,sin sin sin sin y y x x t F t q b y n a x m m t q b y n a x m b n a m D m n mn m n mn --=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑∑δπππππ 两边同乘byn a x m ππsin sin，积分，得到： ()()t q ab b l a k D dxdy t q b y l b y n a x k a x m b n a m D kl a bm n mn 4sin sin sin sin 22222400222224⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰∑∑ππππππ()()t q abm dxdy t qb y l b y n a x k a x m m kl a bmnmn 4sin sin sin sin00=⎰⎰∑∑ππππ ()()()by l a x k t F dxdy b yl a x k y y x x t F a b000000sin sin sin sin,ππππδ=--⋅⎰⎰ 所以：()()()b y l a x k t F ab t q m t q b l a k D kl kl00222224sin sin 4πππ=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 令2222242⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b l a k m D kl πω得到 ()()()by l a x k t F ab m t q t q kl kl kl 002sin sin 4ππω=+直接对上式进行Laplace 变换，得到：by l a x k ab m s F q q s kl kl kl 0022sin sin 4ππω⋅-=+)(sinsin4)()()(2200ωωππω-=-=='kl bn bn n ab m b y l a x k s F q F L q L H 所以频响函数为：()∑∑-=klkl b y l a x k ab m b y l a x k H ππωωππωsin sin )(sin sin4220 当记入阻尼时()∑∑-⋅⋅+=k l klkl b y l a x k j ab m b y l a x k H ππωζωωππωsin sin )2(sinsin42200 对于速度：()∑∑-⋅⋅+⋅⋅=k l kl kl b y l a x k j ab m b y l a x k j H ππωζωωππωωsin sin )2(sinsin42200 同样，对于加速度：()∑∑-⋅⋅+⋅-=k l kl kl b y l a x k j ab m b y l a x k H ππωζωωππωωsin sin )2(sin sin422002。
频响函数与传递函数
1
2j n
2
系统灵敏度 系统固有角频率
S
将此式作归一化处理
H ( j )
1 n
2j n
2
质量－弹簧－阻尼系统
H ( j ) 1 1 n
X ( s ) 为输入信号的拉氏变换 X ( s) 0 x(t )est dt
s为拉氏变换算子
和 皆为实变量
s j , 0,
6
频响函数与传递函数
传递函数表示了系统的输入信号与输出信号
之间在复数域内的关系。即代表输入信号在 复数域经传递函数的加工而形成复数的输出 信号。是系统数学模型的一种表示方法。
式中
(t ) sin[t ( )] y1
(t ) e y2
nt
[k cosd t k1 sin d t ] 衰减项
6
频响函数与传递函数
由前面系统时域响应两个公式来看，无论一阶
还是二阶系统，其时域响应均可认为是由衰减 (t ) 与不衰减项 y1 (t ) 或 y1 (t ) 组成。衰 项 y 2 ( t )或 y 2 减项称为瞬态过程，不衰减项称为稳态过程
Y1 ( s) Y1 ( )
Y ( s) A( )[Y1 ( ) Y2 ( s)]
稳态过程 瞬态过程
6
频响函数与传递函数
系统的传递函数为：
Y1 ( ) Y2 ( s ) Y ( s) H ( s) A( ) X ( s) X ( s ) Y1 ( ) Y2 ( s ) Y1 ( ) Y2 ( s ) A( ) A( ) X ( s ) X ( s ) X ( ) X ( s ) Y2 ( s ) H ( j ) A( ) X ( s)
第七章频响函数及相干分析
第七章频响函数及相干分析在信号处理领域中，频响函数及相干分析是非常重要的概念和工具。
频响函数是描述信号在频域上响应特性的函数，而相干分析则是用来研究信号之间的相关性和相关性随频率的变化规律。
1.频响函数频响函数是描述信号在频域上的响应特性的函数。
它可以是一个复数函数，表示信号在不同频率上的幅度和相位变化，也可以是一个实数函数，只表示信号的幅度变化。
常见的频响函数包括：-幅度响应函数：表示信号在不同频率上的幅度变化。
常用的表达方式有dB值和增益值。
在实际应用中，我们通常更关注信号的幅度响应，因为它反映了信号在传输过程中是否发生了衰减或放大。
-相位响应函数：表示信号在不同频率上的相位变化。
相位响应通常用角度表示，取值范围为-180°到180°，其表示不同频率上信号的相对延迟。
频响函数是非常重要的，因为它能帮助我们了解信号在不同频率上的响应特性，对信号的传输、放大以及滤波等处理过程有着重要的指导作用。
2.相干分析相干分析是用来研究信号之间的相关性和相关性随频率的变化规律的方法。
在信号处理中，我们经常需要了解不同信号之间的相互关系，相干分析就是用来帮助我们进行相关性的分析和判断。
相干分析可以帮助我们了解信号之间的相干性质，即它们在时间上的相关性以及在频率上的相关性。
通过相干分析，我们可以定量地描述不同信号之间的相关程度，并判断它们之间是否存在一定的关联关系。
相干分析常用的工具包括：-自相关函数：用于衡量信号在不同时间点上的自相关性。
自相关函数的值表示信号在不同时间点上与自身的相关程度。
-互相关函数：用于衡量两个信号之间的相关性。
互相关函数的值表示不同信号之间的相关程度。
-相干函数：用于衡量两个信号之间的相干性。
相干函数是互相关函数的归一化形式，其取值范围为0到1通过相干分析，我们可以深入了解信号之间的相关性，并对信号之间的相关关系进行量化和度量。
这对于信号处理领域的许多应用如通信、信号传输以及信号分析等都有着非常重要的意义。
频率响应函数估计方法综述
为了方便计算和操作 ,对公式 ( 12)两边取对数 ,即定义
Hlog ( f) = log[ Hgeom ( f) ] =
n
∑ 1
n
k =1
log[ Hk
( f)
]
( 13 )
对于 Harithm估计 , 当 |M ( f) /X ( f) | < 1 时 , 式 ( 11 )可以
按照 Taylor级数展开 ,并且可以进一步证明 (具体证明
(4)
其中 : GMM ( f)为实测输入噪声的自谱均值 ; GFF ( f)为系
统输入信号的自谱均值 。可见 H1 估计的误差主要来
自于系统输入端的噪声影响 。
第 5期 段虎明等 : 频率响应函数估计方法综述
49
112 H2 估计 [1 - 8 ] 对图 1所示系统 ,同理可定义 H2 估计为 :
估计不能消除输出噪声的影响因此估计都是有偏估计其中估计比真值h偏小为欠估计估计比真值h偏大为过估计在一般的实际测量中输入输出噪声是同时存在1所示系统模型考虑到估计分别为欠估计和过估计为了减小误差影响自然有人提估计的折衷算法即这里要讲到的估计他们是估计的算术平均值和几何平均值
第 27卷第 5期
振 动 与 冲 击 JOURNAL OF V IBRATION AND SHOCK
=
1 2
H
( f)
{
[1
+ GNN
( f)
/ GX X
( f)
]+
[ 1 + GMM ( f) /GFF ( f) ] - 1 }
(9)
H4 ( f) = H ( f) { [ 1 + GNN ( f) /GXX ( f) ] +
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7. 频响函数的估计（相干分析）7.1. SISO 系统的频响函数及其估计对于SISO 系统，其频响函数的估计有很多计算方法，主要的有三种估计式。
在没有噪声污染的情况下，它们的估计是等价的。
但是实际上，由于不可避免的存在噪声，三种估计有所差异。
本节讨论在主要的三种噪声污染下，三种传统估计式与真值之间的误差。
7.1.1. 随机激励下的频响函数考虑一个SISO 时不变线性系统，其频率响应函数为()ωH 。
设随机输入和响应信号分别为)(t x 和)(t y ，其傅立叶变换分别为)(ωX 和)(ωY ，则有()()()ωωωX H Y =上式两端乘以()ω*X ，取时间平均及集合平均，并注意()ωH 与平均无关，则()()[]()()()[]ωωωωω**1lim 1limX X T H X Y T T T ∞→∞→= 即()()()ωωωx xy S H S =如果()ωx S 不为零，则可得系统的频响函数的第一种计算式()()()ωωωx xy S S H =1同样，如果在系统输入/出频谱式两端乘以()ω*Y ，取时间平均和集合平均，得()()()ωωωyx y S H S =如果()ωyx S 不为零，则可得系统的频响函数的第二种计算式()()()ωωωyx y S S H =2将系统输入/出频谱式两端取共轭，得()()()ωωω***X H Y =乘以原输入/出频谱式，并去时间平均和集合平均，得()()()ωωωx y S H S 2=可得系统的频响函数的幅值计算式()()()ωωωx y a S S H =27.1.2. 频响函数的估计方法考虑一个SISO 时不变线性系统，其频率响应函数为()ωH 。
设系统的实际输入和响应信号分别为)(t u 和)(t v ，其傅立叶变换分别为)(ωU 和)(ωV ，它们的测量信号分别为)(t x 和)(t y ，其傅立叶变换分别为)(ωX 和)(ωY 。
(1)输出端噪声的影响若只有输出端受到噪声信号)(t n 的污染，并设它与系统的)(t u 和)(t v 无关。
则有()()t u t x = ()()ωωU X =()()()t n t v t y += ()()()ωωωN V Y +=A 、第一估计式根据第一估计式的定义，有()()()()()[]()()()[]()()[]()()()()()()()ωωωωωωωωωωωωωωωωωu un uv u xn xv u T x T x xy S S S S S S S X N T X V T S X Y TS S H +=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+===∞→∞→***111lim 1limˆ由于噪声)(t n 与激励)(t u ，亦即)(t x 无关，故根据大数定律，平均次数足够多时()ωun S 为零，则()()()()ωωωω11ˆH S S H u uv == 结果表明：只有输出端响应受到噪声污染时，通过平均，根据第一估计式得到的频响函数估计是实际频响函数的无偏估计。
B 、第二估计式根据第二估计式的定义，有()()()()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωnu vu n nv vn v nx vx n nv vn v T T T T yx y S S S S S S S S S S S S N X T V X T N N T N V T V N T V V T Y X TY Y TS S H ++++=++++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++===∞→∞→∞→∞→********211lim 1111lim 1lim 1limˆ由于噪声)(t n 与响应)(t v ，以及激励)(t u 亦即)(t x 无关，故根据大数定律，平均次数足够多时()ωvn S 、()ωnv S 和()ωun S 都为零，则()()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=ωωωωωωωv n vu n v S S H S S S H 1ˆ22 式中，()()()ωωωvu v S S H =2 可见，只有输出端响应受到噪声污染时，通过平均，根据第二估计式得到的频响函数估计是实际频响函数的有偏估计，是过估计。
C 、第三估计式根据第二估计式的定义，有()()()()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]()()()()()()()()()()ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωu n nv vn v u n nv vn v T T T T x y aS S S S S S S S S S U U T N N T N V T V N T V V T X X TY Y TS S H +++=+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++===∞→∞→∞→∞→*******21lim 1111lim 1lim 1limˆ 由于噪声)(t n 与响应)(t v 无关，故根据大数定律，平均次数足够多时()ωvn S 和()ωnv S 都为零，则()()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=ωωωωωωωv n a u n v aS S H S S S H 1ˆ22式中，()()()ωωωu v a S S H =2可见，只有输出端响应受到噪声污染时，通过平均，根据第三估计式得到的频响函数幅值的估计是实际频响函数幅值的有偏估计，也是过估计。
因此，只有输出响应受到噪声污染时，频响函数的三种估计式有如下关系：()()()()ωωωω21H H H H a <<=(2)输入端噪声的影响若只有输入端受到噪声信号)(t m 的污染，并设它与系统的)(t u 和)(t v 无关。
则有()()()t m t u t x +=()()()ωωωM U X +=()()t v t y =()()ωωV Y =A 、第一估计式根据第一估计式的定义，有()()()()()()()()()ωωωωωωωωωu mm u uv x xy S S H S S S S S H +=+==1ˆ11结果表明：只有输入端激励受到噪声污染时，通过平均，根据第一估计式得到的频响函数估计是实际频响函数的欠估计。
B 、第二估计式根据第二估计式的定义，有()()()()()()ωωωωωω22ˆH S S S S H vu v yx y === 可见，只有输入端激励受到噪声污染时，通过平均，根据第二估计式得到的频响函数估计是实际频响函数的无偏估计。
C 、第三估计式根据第二估计式的定义，有()()()()()()()()()ωωωωωωωωu ma m u v x y aS S H S S S S S H +=+==1ˆ22可见，只有输入端激励受到噪声污染时，通过平均，根据第三估计式得到的频响函数幅值的估计是实际频响函数幅值的有偏估计，也是欠估计。
所以，只有输入激励受到噪声污染时，频响函数的三种估计式有如下关系：()()()()ωωωω21H H H H a =<<(3)输入/输出端复合噪声的影响若系统的输入/输出端分别受到噪声信号)(t m /)(t n 的污染，并设它们与系统的)(t u 和)(t v 无关。
则有()()()t m t u t x += ()()()ωωωM U X +=()()()t n t v t y += ()()()ωωωN V Y +=A 、第一估计式根据第一估计式的定义，可以推得()()()()()()()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==ωωωωωωωωωωu m u m u uv x xy S S H S S S S S S H 11ˆ11可见，在系统输入激励和输出端响应都受到噪声污染时，通过平均，根据第一估计式得到的频响函数估计是实际频响函数的欠估计，并且与响应信号中的噪声无关。
B 、 第二估计式同理，根据第二估计式的定义，可以推导出()()()()()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==ωωωωωωωωωωv n v n vu v yx y S S H S S S S S S H 11ˆ22上式表明，在系统输入激励和输出端响应都受到噪声污染时，通过平均，根据第二估计式得到的频响函数估计是实际频响函数的有偏估计，是过估计，并且与系统的输入噪声无关。
C 、第三估计式根据第二估计式的定义，可以推得()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=++==ωωωωωωωωωωωωωωωωωωu m v n a u m v n u v m u n v x y aS S S S H S S S S S S S S S S S S H 1111ˆ22进一步分析上式，可以得出下述结论：在系统输入激励和输出端响应都受到噪声污染时，通过平均，根据第三估计式得到的频响函数幅值的估计()ωaHˆ是较()ω1ˆH 和()ω2ˆH 都更为接近实际频响函数幅值()ωH 的估计。
因此，在系统输入激励和输出端响应都受到噪声污染的情况下，频响函数的三种估计式有如下关系：()()()()ωωωω21H H H H a <≈<综上所述，根据上述所有分析过程，可以进一步获得以下几点结论：（1） 频响函数的第一估计式可以抑制输出响应噪声，第二估计式则可以抑制系统的输入激励噪声；（2）在各种噪声情况下，第一、第二估计式给出了实际频响函数的围：()()()ωωω21H H H ≤≤；（3）在受到噪声的情况下，第三估计式虽然与实际频响函数最为接近，但是由于它只能给出频响幅值的估计，无法获得相频特性信息，故在实际中很少使用；7.1.3. 常相干函数根据上面的第二点综合结论，可知：()()1021≤≤ωωH H将第一、二无估计式代入上式，可知：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()ωωωωωωωωωωωωωωωωωωω21*221H H S S S S S S S S S S S S S S S H H y x yx xy y x xyxy y x xy y x yx xy =====上式成为相干函数，记为()()()()()()ωωωωωωγ2122H H S S S y x xy xy==根据互谱不等式，显然有，()102≤≤ωγxy如果测试信号不受噪声污染，()ω1H 等于()ω2H ，则()ωγ2xy 等于1。
如果测试信号完全被噪声淹没，()ωγ2xy 将趋于零。