调和函数与解析函数
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调和函数、解析函数与调和函数的关系
2
y 2
=
0，
则称 (x, y) 为区域������内的调和函数.
定理1：区域������内的解析函数的实部与虚部，都是������内的调和函数.
证明：设 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是区域������内的解析函数，
那么在区域������内满足柯西-黎曼方程：u = v , u = − v x y y x
由 f (0) = i ，得 C = 1，从而 f (z) = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3 +1).
另外，还可以通过不定积分的方法，由已知调和函数直接求 得解析函数. 解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的导数仍为解析函数，
f ' (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx
=
6x；u y
=
−6xy，2u y2
=
−6x
从而
2u x2
+
2u y 2
= 0，所以：u(x, y) =
x3
− 3xy2 是调和函数.
( ) 由 v = u = 3x2 − 3y2 ，得 v(x, y) = 3x2 − 3y2 dy = 3x2 y − y3 + c(x) y x
定义2：设 u(x, y) 为区域������内的调和函数，称满足柯西-黎曼方程
u = v , u = − v x y y x
的调和函数 v(x, y) 为 u(x, y) 的共轭调和函数.
说明：（1）区域������内的解析函数的实部与虚部为共轭调和函数；
（2）如果已知一个调和函数u(x, y)，则可利用柯西-黎曼方 程求得它的共轭调和函数 v(x, y)，从而构成一个解析函数
第六讲_解析函数与调和函数的关系
2
2
又解 f'(z)uxivx uxiuy
(2xy)i(x2y)
不
2(xiy)i(xiy)
定
(2i)(xiy)
积
2iz
分
f(z)2i z2ic
法
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
第四章 级数
CH4§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
要想 u使 iv在 D内解 ,u及 析 v还必须 C满 R 足 方程v， 必即 须 u的 是共轭调 .由和 此函 ，数
已知一个解析函数 部u的 (x,实 y),利用CR方 (虚 部 v(x, y))
程可求得它的v(虚 x, y部),从而构成解析函数
uiv.
(实 部 u(x, y))
设D一单连通,u(区 x,y域 )是区D域 内的调和
(2)
8in
8n收
敛 ， (8i)n绝
对
收
n0 n! n0n!
n0 n!
(3 ) n 1( n 1 )n 收n 1 敛 2 1 n 收 ， 敛 n 1(( n 1 )， n2 in)收 . 敛
又
(1)n
条
件 收
敛 原 ，级 数 非
绝.
对
n1 n
例3
讨论
zn的 敛 散 性 。
分
22
法
x2
y2
v(x,y) 2x y c
2
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
又解 v2xy v2x yy2(x)
高校工程数学第3节解析函数和调和函数教学课件
共轭调和函数
u( x , y ), v ( x , y ) 在D内调和 u v x y C—R方程成立 v u y x
f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )
在D内解析
注： 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.
[例1]
得：
3 y 2 g( x ) 3 y 2 3 x 2 ,
故 g ( x ) 3 x dx x c ,
2
3
(c 为任意常数)
因此
v(x,y)=x3–3xy2+c
从而得到一个解析函数
w=y3–3x2y+i(x3–3xy2+c)
[例1]
偏积分法也可以是下列形式：
适用于已知实部u 求 f ( z ),
适用于已知虚部 v 求 f ( z ),
4、不定积分法
[例3] 用不定积分法求解[例1]中的解析函数 f ( z )
实部 u( x, y ) y 3 3 x 2 y.
[解] f ( z ) U ( z ) ux iuy
3i ( x 2 2 xyi y 2 ) 3iz 2 ,
[例1]
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
v u 6 xy, （2） 因为 y x
v 6 xydy 3 xy2 g( x ),
v 3 y 2 g( x ), x v u 2 2 3 y 3 x , 又因为 x y
2、共轭调和函数的定义
设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 , 我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数 .
解析函数与调和函数的关系
一、 解析函数与调和函数的关系
定义 若二元实变函数 ϕ ( x , y )在 D内具有二阶连
续偏导数且满足 Laplace 方程 : ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y 即（ ∆ ϕ = 0 )
则称 ϕ ( x , y )为 D内的调和函数 .
ϕ ( x, y ) = x 2 + xy − y 2 ϕ ( x, y ) = ln x 2 + y 2 例：
定理 若f ( z ) = u( x , y ) + iv( x , y )在区域D内解析
内的调和函数。 ⇒ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 内解析，则 证明： 在区域D内解析， 在区域 内解析
内的调和函数。 ∴ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
思考：
若u , v是任意选取的在区域 D内的两个调和函数 , 则u + iv在D内一定解析吗？
答：不一定，
u = x + y , v = x + y.
要想使 u + iv 在 D 内解析 , u 及 v还必须满足 C − R 方程 .
练习：证明 u = −3 xy + x 为调和函数，
2 3
并求其共轭调和函数 v ( x, y )和由他们 构成的解析函数 f ( z )，使 f (0) = i。
例1
证明u ( x, y ) = x 2 + xy − y 2为调和函数，并求其 共轭调和函数v( x, y )和由它们构成的解析函数 f ( z )使f (i ) = −1 + i.43; y ⇒ v = 2 xy + + g ( x) ∂y 2 ∂v ⇒ = 2 y + g ' ( x) = 2 y − x ∂x
定义 若二元实变函数 ϕ ( x , y )在 D内具有二阶连
续偏导数且满足 Laplace 方程 : ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y 即（ ∆ ϕ = 0 )
则称 ϕ ( x , y )为 D内的调和函数 .
ϕ ( x, y ) = x 2 + xy − y 2 ϕ ( x, y ) = ln x 2 + y 2 例：
定理 若f ( z ) = u( x , y ) + iv( x , y )在区域D内解析
内的调和函数。 ⇒ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 内解析，则 证明： 在区域D内解析， 在区域 内解析
内的调和函数。 ∴ u = u( x , y )，v = v ( x , y )是D内的调和函数 。
思考：
若u , v是任意选取的在区域 D内的两个调和函数 , 则u + iv在D内一定解析吗？
答：不一定，
u = x + y , v = x + y.
要想使 u + iv 在 D 内解析 , u 及 v还必须满足 C − R 方程 .
练习：证明 u = −3 xy + x 为调和函数，
2 3
并求其共轭调和函数 v ( x, y )和由他们 构成的解析函数 f ( z )，使 f (0) = i。
例1
证明u ( x, y ) = x 2 + xy − y 2为调和函数，并求其 共轭调和函数v( x, y )和由它们构成的解析函数 f ( z )使f (i ) = −1 + i.43; y ⇒ v = 2 xy + + g ( x) ∂y 2 ∂v ⇒ = 2 y + g ' ( x) = 2 y − x ∂x
解析函数与调和函数的关系
已知实部u，求虚部v(或者已知v，求u)，使 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析.
例：已知 u x y ,可以求得 v 2 xy C
2 2
f ( z) x y i(2xy C) z C'
2 2 2
(1)
则称 H ( x, y)为区域D 内的调和函数(harmonic function).
2 2 注：运算符号 ,称为拉普拉斯算子. 2 2 x y
2 2 H H 方程 0 ,记作 H 0 称为拉普拉斯方程. 2 2 x y
2.解析函数与调和函数的关系
定理2.2 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域D
内的解析函数,则 u(x,y)和v(x,y) 均为区域D 内的
调和函数. 思考 如果 u, v 是任意选取的在区域D 内的两个
调和函数,那么 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在D 内一定解
析吗？
定义2.5 在区域D 内,满足C-R方程
满足C-R方程
v 为u 在区域D内的共轭调和函数
解析函数与调和函数的关系 解析函数
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
调和函数
u(x,y),v(x,y) 为调和函数 v为u的共轭调和函数
注：研究复变量的问题转化为研究实变量的问题.
验证：解析函数的实、虚部的任意阶偏导数 也是调和函数. 应用 构造解析函数
§2.2
解析函数与调和函数的关系
引言
解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v满足C-R方程 解析函数具有无穷可微性 u,v为调和函数
§3.7 解析函数与调和函数的关系
0,0
( x, y )
u u dx dy C y x
0,0
x 0
2 x 1 dx 2 ydy C
y 0
2 x 1 dx 2 ydy C
x2 2 x y 2 C
f z u iv 2 x 1 y x 2 2 x y 2 C i
例2（P103 30题（3））
已知f(z)=u+iv解析，u=2(x-1)y，f(2)=-i,求f(z). 方法1 不定积分法
u u 2 y, 2 x 1 x y u u f z i 2 y 2 x 1 i x y
2i x iy 2i 2iz 2i
得证！
注：解析函数中u与v不独立即是一对矛盾，已知u 求v， 或已知v求u均可.
例1 已知f(z)=u+iv解析，v=2xy，求f(z).
方法1 线积分法 u u du dx dy x y
u
( x, y )
0,0
( x, y )
u u dx dy C x y
§3.7 解析函数与调和函数的关系 一、分析上解析函数是调和函数
若二元实函数u(x,y) 满足Laplace方程
2u 2u 2 0 2 x y
则称u(x,y) 是调和函数。 定理1 若 w f z u iv 是解析函数，则U和V均为调 和函数.
证明： f z 是解析函数
2 iz 2 zi C f z 2iz 2i dz
f 2 C i
f z iz 2 2 zi i
第四讲 解析函数和调和函数讲诉
例1、验证u(x,y)=x3-3xy2是二维平面上的调和函数，并求以它 为实部的解析函数。
解：
2u x2
6x
2u y2 6x
显然：2u 2u 0 ， u(x,y)为调和函数。
x2 y2
若以u(x,y)为实部，则函数解析必须满足C-R条件，所以：
v x
u y
6xy,
(1)
v
u
3x2
3y2,
第二节 解析函数和调和函数
1、共轭调和函数
由复变函数的可微的充要条件，函数可微必须满足C-R条 件，即：u v , u v 。而由C-R条件有：
x y y x
2u x2
2v xy
,
2u y 2
2v yx
显然有：2u
x2
2u y 2
0,
2v x2
2v y 2
0
定义1(调和函数)：如果实函数u(x,y)在区域D中有二阶连续偏
y0 )
v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) 0
y
x
x
y
很显然，两个共轭调和函数的等值曲线在交点处正交。
例2，在复平面上的解析函数f (z) az2 b 解： f (z) az2 b a(x iy)2 b
a x2 y2 b i2axy 所以：u(x, y) a x2 y2 b
定理2：在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部 和虚部为该区域上的共轭调和函数。
2、共轭调和函数的几何意义
在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若f’(z)0，并分 别取u(x,y),v(x,y)的等值线：
第三章第四节 解析函数与调和函数
1 u( z0 Re )d , v( z0 ) 2
②刻划解析函数又一等价条件
f ( z) u iv在区域D内解析
定理3.18
定理 3.19
在区域D内,v是u 的共轭调和函数.
注7 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实 部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知,任 一二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.
虽然在直线x 0上满足Laplace方程, 但直线不是区域,
即在z平面的任一区域, xy 2不能作为解析函数的实部.
y 例2 证明 : u( x, y) x y , v( x, y) 2 都是 2 x y
2 2
调和函数, 但f ( z ) u( x, y) iv( x, y)不是解析函数.
使u iv在D内解析.
u u 2 0, 方法一: 应用曲线积分 由于 2 x y u u 即 - 与 在D内具有连续的一阶偏导数, y x
2 2
u u u u 且 , 记 P , Q , 则Py Qx , y y x x y x
( x, y )
注4
对(3.22)分别对x, y求偏导数, 得
u v u v , x y y x
由定理3.15知, u iv在D内解析.
注5 (3.21)可由下式简便记忆
v v dv( x, y ) dx dy x y
C R方程
u u dx dy y x
第三章 复变函数的积分
第十二讲
第四节 解析函数与调和函数
1. Laplace算子与共轭调和函数 2. 解析函数的等价刻画 3. 调和函数的平均值定理与极值原理
②刻划解析函数又一等价条件
f ( z) u iv在区域D内解析
定理3.18
定理 3.19
在区域D内,v是u 的共轭调和函数.
注7 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实 部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知,任 一二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.
虽然在直线x 0上满足Laplace方程, 但直线不是区域,
即在z平面的任一区域, xy 2不能作为解析函数的实部.
y 例2 证明 : u( x, y) x y , v( x, y) 2 都是 2 x y
2 2
调和函数, 但f ( z ) u( x, y) iv( x, y)不是解析函数.
使u iv在D内解析.
u u 2 0, 方法一: 应用曲线积分 由于 2 x y u u 即 - 与 在D内具有连续的一阶偏导数, y x
2 2
u u u u 且 , 记 P , Q , 则Py Qx , y y x x y x
( x, y )
注4
对(3.22)分别对x, y求偏导数, 得
u v u v , x y y x
由定理3.15知, u iv在D内解析.
注5 (3.21)可由下式简便记忆
v v dv( x, y ) dx dy x y
C R方程
u u dx dy y x
第三章 复变函数的积分
第十二讲
第四节 解析函数与调和函数
1. Laplace算子与共轭调和函数 2. 解析函数的等价刻画 3. 调和函数的平均值定理与极值原理
2.2 解析函数与调和函数的关系
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
§2.2 解析函数与调和函数的关系
一、调和函数 二、共轭调和函数 共轭调和函数 三、构造解析函数
1
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
一、调和函数
引例 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 无旋无源力场 设该力场为 F = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) } . (1) 无旋场 沿闭路做功为零(即做功与路径无关)。 沿闭路做功为零 即做功与路径无关) 保守场或者梯度场或者有势场。 又称为保守场或者梯度场或者有势场 又称为保守场或者梯度场或者有势场。 存在势函数 ϕ ( x , y , z ) , 使得
11
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数 解 (2) 求虚部 v( x, y )。 方法二： 方法二：全微分法
C1
( x, y)
C2
∂v ∂u ∂v ∂u 2 2 =− = 6xy , 由 = = 3x − 3 y , ∂x ∂y ∂y ∂x
⇒ dv = v ′x dx + v ′y dy = 6 xy dx + ( 3 x 2 − 3 y 2 )dy ,
∂ 2 u ∂ 2v , ⇒ = 2 ∂y∂x (?) ∂x
∂ 2v ∂ 2v + 2 = 0. 同理 2 ∂x ∂y
5
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
二、共轭调和函数 共轭调和函数
定义 设函数 u( x , y ) 及 v ( x , y ) 均为区域 D 内的调和函数， 内的调和函数，
§2.2 解析函数与调和函数的关系
一、调和函数 二、共轭调和函数 共轭调和函数 三、构造解析函数
1
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
一、调和函数
引例 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。 无旋无源力场 设该力场为 F = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) } . (1) 无旋场 沿闭路做功为零(即做功与路径无关)。 沿闭路做功为零 即做功与路径无关) 保守场或者梯度场或者有势场。 又称为保守场或者梯度场或者有势场 又称为保守场或者梯度场或者有势场。 存在势函数 ϕ ( x , y , z ) , 使得
11
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数 解 (2) 求虚部 v( x, y )。 方法二： 方法二：全微分法
C1
( x, y)
C2
∂v ∂u ∂v ∂u 2 2 =− = 6xy , 由 = = 3x − 3 y , ∂x ∂y ∂y ∂x
⇒ dv = v ′x dx + v ′y dy = 6 xy dx + ( 3 x 2 − 3 y 2 )dy ,
∂ 2 u ∂ 2v , ⇒ = 2 ∂y∂x (?) ∂x
∂ 2v ∂ 2v + 2 = 0. 同理 2 ∂x ∂y
5
§2.2 解析函数与调和函数的关系 第 二 章 解 析 函 数
二、共轭调和函数 共轭调和函数
定义 设函数 u( x , y ) 及 v ( x , y ) 均为区域 D 内的调和函数， 内的调和函数，
解析函数与调和函数的定义与性质
解析函数与调和函数的定义与性质函数在数学中扮演着重要的角色，不同类型的函数具有不同的性质和定义。
解析函数与调和函数就是其中两种重要的函数类型。
本文将对解析函数和调和函数的定义与性质进行详细解析。
一、解析函数的定义与性质解析函数是复变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在D上的复变函数，其中u(x,y)和v(x,y)是实变函数，如果f(z)在D内是可导的，且f'(z)在D内处处存在，则称f(z)在D内是解析的。
解析函数具有以下几个重要性质：1. 解析函数的实部和虚部均是调和函数。
即u(x,y)和v(x,y)都满足拉普拉斯方程，即∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，以及∇^2v=∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。
2. 解析函数的复共轭也是解析函数。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其复共轭f*(z)=u(x,y)-iv(x,y)也是解析函数。
3. 解析函数满足柯西-黎曼方程。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其满足柯西-黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂y和∂u/∂y=-∂v/∂x。
二、调和函数的定义与性质调和函数是实变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设u(x,y)是定义在二维欧氏空间R^2上的二次连续可微函数，如果u(x,y)满足拉普拉斯方程∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，则称u(x,y)为调和函数。
调和函数具有以下几个重要性质：1. 调和函数的高阶导数也是调和函数。
即如果u(x,y)是调和函数，则其高阶偏导数∂^nu/∂x^n和∂^nu/∂y^n也是调和函数。
2. 调和函数的积分在闭合曲线上的值为0。
即对于调和函数u(x,y)和任意的闭合曲线C有∮C[∂u/∂s(ds/dt)dt]=0，其中∮C表示对曲线C 上点P到点P绕行一周的积分，s为曲线C上的弧长参数，t为弧长参数t与x轴正向的夹角。
第6讲 解析函数与调和函数
g(x) c
v x -shxcosy g(x) u y -shxcosy
故 f(z) u iv shxsiny - i(chxcosy c)
15
2） v x 2 - y 2 2y
v x 2x -u y , v y 2 - 2y u x
16
方法二
定理4-6 设u(x,y)是单连通区域D内的调和函数，(x0,y0) 为D内任意取定的点，则存在由
v( x, y ) ((xx ,,yy) ) u y dx u x dy c
0 0
确定的唯一形式的v(x,y),是f(z)=u+iv是D内的解析函数。
公式不用强记！可如下推出：
已知：u( x , y ), 求其共轭调和函数( x , y ) : v v v C R方程 由dv dx dy u y dx u x dy x y 然后两端积分。
17
v v C R方程 v v 由du dx dy dx dy x y y x
区域D内的两个调和函数则u iv在D内就不 , 一定解析 .
要想使u iv在D内解析, u及v还必须满足 R C 方程，即 必须是u的共轭调和函数 v .由此，
已知一个解析函数的实 u( x , y ), 利用C R方 部 (虚部v( x, y )) 程可求得它的虚部( x , y ), 从而构成解析函数 v u iv.
g ( x） c (c为实常数）
x
对于已知v，求u的情况，可采取同样的方法。
14
例2.22 已知下面的调和函数，求解析函数f(z)=u+iv
1) u=shxsiny
解： u shxsiny 1 ） u v chx sin y y x
v x -shxcosy g(x) u y -shxcosy
故 f(z) u iv shxsiny - i(chxcosy c)
15
2） v x 2 - y 2 2y
v x 2x -u y , v y 2 - 2y u x
16
方法二
定理4-6 设u(x,y)是单连通区域D内的调和函数，(x0,y0) 为D内任意取定的点，则存在由
v( x, y ) ((xx ,,yy) ) u y dx u x dy c
0 0
确定的唯一形式的v(x,y),是f(z)=u+iv是D内的解析函数。
公式不用强记！可如下推出：
已知：u( x , y ), 求其共轭调和函数( x , y ) : v v v C R方程 由dv dx dy u y dx u x dy x y 然后两端积分。
17
v v C R方程 v v 由du dx dy dx dy x y y x
区域D内的两个调和函数则u iv在D内就不 , 一定解析 .
要想使u iv在D内解析, u及v还必须满足 R C 方程，即 必须是u的共轭调和函数 v .由此，
已知一个解析函数的实 u( x , y ), 利用C R方 部 (虚部v( x, y )) 程可求得它的虚部( x , y ), 从而构成解析函数 v u iv.
g ( x） c (c为实常数）
x
对于已知v，求u的情况，可采取同样的方法。
14
例2.22 已知下面的调和函数，求解析函数f(z)=u+iv
1) u=shxsiny
解： u shxsiny 1 ） u v chx sin y y x
解析函数与调和函数的关系
上的调和函数 u 及 v ，函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在 E 上不一定解 析，要使 u iv解析，还需u,v ，满足 C R 条件。 2.共轭调和函数
定义 2：对于给定的调和函数 u(x, y) ，把使 u iv 构成解
析函数的调和函数 v(x, y) 称为 u(x, y) 的共轭调和函数。 注：解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。但是，一
解析函数 f (z) 。 例 5：用不定积分法求例 2 中的 f (z) 。 例 6：已知 u v (x y)(x2 4xy y2 ) 2(x y) ，试
确定解析函数 f (z) u iv 。
般来说，解析函数的实部不是虚部的共轭调和函数。 3.如何求解析函数
问题：如给定实部（或虚部），如何选择虚部（或实部）， 使 f (z) u iv 解析？
1)偏积分法
------如果已知调和函数 u ，可利用条件，求它的共轭调
和函数 v ，以构成解析函数。
例 1：证明： u y3 3x2 y 为调和函数，并求其共轭调和
2.4解析函数与调和函数的关系
设 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 E 上解析，由 C R 条件，
解析函数的高阶导数定理即得在 E 上有
2u x2
2u y 2
0及
2v x2
2v y 2
0
一、调和函数
定义 1：若二元实函数(x, y) 在区域 E 内具有连续的二
f (z) f (z)dz U(z)dz c ---适用于已知 u ，求 v 。 f (z) f (z)dz V (z)dz c ---适用于已知 v ，求 u 。
定义 2：对于给定的调和函数 u(x, y) ，把使 u iv 构成解
析函数的调和函数 v(x, y) 称为 u(x, y) 的共轭调和函数。 注：解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。但是，一
解析函数 f (z) 。 例 5：用不定积分法求例 2 中的 f (z) 。 例 6：已知 u v (x y)(x2 4xy y2 ) 2(x y) ，试
确定解析函数 f (z) u iv 。
般来说，解析函数的实部不是虚部的共轭调和函数。 3.如何求解析函数
问题：如给定实部（或虚部），如何选择虚部（或实部）， 使 f (z) u iv 解析？
1)偏积分法
------如果已知调和函数 u ，可利用条件，求它的共轭调
和函数 v ，以构成解析函数。
例 1：证明： u y3 3x2 y 为调和函数，并求其共轭调和
2.4解析函数与调和函数的关系
设 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 E 上解析，由 C R 条件，
解析函数的高阶导数定理即得在 E 上有
2u x2
2u y 2
0及
2v x2
2v y 2
0
一、调和函数
定义 1：若二元实函数(x, y) 在区域 E 内具有连续的二
f (z) f (z)dz U(z)dz c ---适用于已知 u ，求 v 。 f (z) f (z)dz V (z)dz c ---适用于已知 v ，求 u 。
解析函数和调和函数的定义
解析函数和调和函数的定义
解析函数和调和函数是数学中的两个概念，它们的定义如下：
解析函数（Analytic Function）：
一个函数f(x)在某一点x处是解析的，如果它在该点附近的某个区域内满足柯西-黎曼方程，即f'(x)=[f(x)]^n，其中n为正整数，f(x)在该点处连续。
如果一个函数在整个定义域内都是解析函数，则称它为全解析函数。
常见的解析函数包括多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等等。
调和函数（Harmonic Function）：
一个函数f(x)在某一点x处是调和的，如果它满足拉普拉斯方程，即Δf(x)=0，其中Δ为二阶拉普拉斯方程。
调和函数具有许多优良的性质，如最大值原理、最小值原理、格林公式等等，因此在物理学和工程学中有着广泛的应用。
常见的调和函数包括正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等等。
总的来说，解析函数和调和函数都是数学中非常重要的概念，它们具有不同的性质和应用领域。
解析函数主要用于研究函数的导数和微分
方程，而调和函数主要用于研究波动现象和物理学中的振动问题。
解析函数与调和函数的关系
第六讲解析函数与调和函数的关系§3.7 解析函数与调和函数的关系内容简介在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。
本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。
.),()00:),(2222内的调和函数为则称即（方程续偏导数且满足内具有二阶连在若二元实变函数D y x y x Laplace D y x ϕϕϕϕϕ=∆=∂∂+∂∂定义 内的调和函数。
是，内解析在区域若D y x v v y x u u D y x iv y x u z f ),(),(),(),()( ==⇒+=定理证明：设f (z )=u (x ,y )+i v (x ,y )在区域D 内解析，则x v y u y v xu R C ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂- 方程由yx v y u x y v x u ∂∂∂-=∂∂∂∂∂=∂∂222222从而有xy v y x v y x v y x u ∂∂∂=∂∂∂∴⇒22.),(),,(具有任意阶的连续导数理由解析函数高阶导数定,0 D 2222=∂∂+∂∂y u x u 内有故在0 2222=∂∂+∂∂y v x v 同理有0,0=∆=∆v u 2222y x ∂∂+∂∂≡∆其中即u 及v 在D 内满足拉普拉斯(Laplace )方程: 内的调和函数。
是，D y x v v y x u u ),(),(==∴.),(),(D ,),(的共轭调和函数为函数内构成解析函数的调和在称使得内的调和函数为设y x u y x v iv u D y x u +定义上面定理说明：.部的共轭调和函数内解析函数的虚部是实D .),(),(),(),()(,的共轭调和函数必为内在内解析在即y x u u y x v D D y x iv y x u z f =⇒+=由解析的概念得：.,,,:的共轭调和函数必为调和函数的两个方程内满足在u v v u v u v u R C D x y y x -==-.,, 一定解析内就不在则内的两个调和函数区域是任意选取的在若D iv u D v u +现在研究反过来的问题：.的共轭调和函数不是y x u y x v +=+=如 )11)()()(x y y x v u v u z y x i y x iv u z f -≠===+++=+=处处不解析平面上在（ 由此，的共轭调和函数必须是方程，即还必须满足及内解析在要想使.,u v R C v u D iv u -+.),,(),,(iv u y x v R C y x u +-从而构成解析函数程可求得它的虚部方利用部已知一个解析函数的实)),((y x v 虚部)),((y x u 实部0,),(,2222=∂∂+∂∂yu x u D y x u D 则函数内的调和是区域一单连通区域设内有连续一阶偏导数在、即D xu y u ∂∂∂∂-,dy xu dx y u dy y v dx x v x u x y u y ∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂∂∂∂∂=∂∂-∂∂ )()(且),(y x dv v ∃=)(),(),(),(00*+∂∂+∂∂-=⎰c dy x u dx y u y x v y x y x..内解析在方程满足D iv u R C xu y v y u x v +∴-∂∂=∂∂∂∂-=∂∂ .)(),,()(,),(内解析在使得式所确定的则内调和函数在单连通设D iv u z f y x v D y x u +=*定理公式不用强记！可如下推出：dy x v dx y v dy y v dx x v du R C ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=-方程由然后两端积分。
复变函数(3.5.3)--解析函数与调和函数的关系
1 2p
2p 0
| f (z) |
|
z
-
1 2
|2
dq
ﾢ
1 2p
2p 0
|
|fz(|z=)1- z | + |
(|
z
|
-
1 2
)2
z
|
dq
ﾢ
1 2π
2p 0
2 1
dq
=
8.
4
（）
| z - CDzu0 |= r
7、 如果是区域内的调和函数，为内以为圆心的正向圆周：，它的内部全含于，
试证：
证 （1）由柯西公式：
第三章 复变函数的积分
例题
是实常数，于是
f (z) = C1C(1- i)z + C
由此
（是复常数）
| f| (fz|ﾢ)(zf12-(|<ﾢ=)zz|)1ﾢ|ﾢ8| .z |
6、 设在内解析，在上连续，且在上，证明
ﾢ |
f
ﾢ(12) |=
1 2πi
|z|=1
f (z)
(
z
-
1 2
)2
dz
证
� � � ﾢ
uyy = -uxx = -2 = a ﾢﾢ( y)
第三章 复变函数的积分
例题
a ( y) = - y2 + C1 y + C2
由 C-R 条件，
ux = 2x = vy -uy = 2 y + C1 = vx
而 因此 由得 由得，
v = 2xy + C1x + C3 C2f =(0C) 3==00 fCﾢ(10=) =00
因此 (3).（线积分法）
3-7解析函数与调和函数的关系
首先给出曲线积分法的理论： 因为v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数，所以 v(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数，从而是
可微的，故有全微分
v v u u dv ( x, y ) dx dy dx dy x y y x
设 (x0 ,y0)为D内一个定点，(x,y) 为D内任一点， c为任意常数，可得
2 2
定理： 函数 f ( x, y) u ( x, y) i v ( x, y) 在区域 D 内解析，其实部 u( x, y) 和虚部 v ( x, y) 都是 D 内的调和函数.
2. 共轭调和函数定义： 若两实函数 ( x, y) 及 ( x, y ) 均为区域 D 内的调和函数，且满足柯西－黎曼条件，即
的方法即可.
例 已知 u ( x, y ) x 2 y 2 xy,求解析函数 f ( z ) u ( x, y ) i v ( x, y ),并满足 f (0) 0
1.不定积分法
解: 首先验证 u(x,y) 是否为调和函数, 容易得到:
ux 2 x y , u y x 2 y
v v ∴ dv (x, y ) dx dy (2 y x)dx (2 x y)dy x y
( xdx ydy) (2 ydx 2 xdy)
x2 y 2 x2 y 2 d( ) d(2 xy ) d( 2 xy ) 2 2 2 2
uxx 2 , u yy 2 uxx u yy 0
故 u(x,y) 为调和函数, 因此只需找到它的共轭 调和函数 v(x,y) , 即可构建解析函数.由C- R条件得
v y ux 2 x y
1 2 所以：v (2 x y)dy 2 xy y ( x) 2
可微的，故有全微分
v v u u dv ( x, y ) dx dy dx dy x y y x
设 (x0 ,y0)为D内一个定点，(x,y) 为D内任一点， c为任意常数，可得
2 2
定理： 函数 f ( x, y) u ( x, y) i v ( x, y) 在区域 D 内解析，其实部 u( x, y) 和虚部 v ( x, y) 都是 D 内的调和函数.
2. 共轭调和函数定义： 若两实函数 ( x, y) 及 ( x, y ) 均为区域 D 内的调和函数，且满足柯西－黎曼条件，即
的方法即可.
例 已知 u ( x, y ) x 2 y 2 xy,求解析函数 f ( z ) u ( x, y ) i v ( x, y ),并满足 f (0) 0
1.不定积分法
解: 首先验证 u(x,y) 是否为调和函数, 容易得到:
ux 2 x y , u y x 2 y
v v ∴ dv (x, y ) dx dy (2 y x)dx (2 x y)dy x y
( xdx ydy) (2 ydx 2 xdy)
x2 y 2 x2 y 2 d( ) d(2 xy ) d( 2 xy ) 2 2 2 2
uxx 2 , u yy 2 uxx u yy 0
故 u(x,y) 为调和函数, 因此只需找到它的共轭 调和函数 v(x,y) , 即可构建解析函数.由C- R条件得
v y ux 2 x y
1 2 所以：v (2 x y)dy 2 xy y ( x) 2
解析函数与调和函数的关系
第七节
第三章
解析函数与调和函数的关系
一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系
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一、调和函数的定义
定义 如果二元实变函数 ( x , y ) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0, x y 那末称 ( x , y ) 为区域 D 内的调和函数.
3 w f ( z ) i ( z c ). 即
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内容小结
1.调和函数的概念
2.解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数
的概念.
1. 任意两个调和函数 u与v所构成的函数 u+iv不一定 是解析函数. 2. v称为u的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能 颠倒.
2 u u 因为 6 xy, 6 y , 2 x x 2 u u 2 2 3 y 3x , 6 y, 2 y y
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
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调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
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二、解析函数与调和函数的关系
1. 两者的关系
任何D 内的解析函数,它的实部和虚部都是 D 内
的调和函数. 2. 共轭调和函数的定义
设解析函数u iv的实部u( x, y ) 是一调和函数, 则虚部v( x, y ) 称为 u( x, y ) 的共轭调和函数.
第三章
解析函数与调和函数的关系
一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系
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一、调和函数的定义
定义 如果二元实变函数 ( x , y ) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0, x y 那末称 ( x , y ) 为区域 D 内的调和函数.
3 w f ( z ) i ( z c ). 即
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内容小结
1.调和函数的概念
2.解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数
的概念.
1. 任意两个调和函数 u与v所构成的函数 u+iv不一定 是解析函数. 2. v称为u的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能 颠倒.
2 u u 因为 6 xy, 6 y , 2 x x 2 u u 2 2 3 y 3x , 6 y, 2 y y
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
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调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用.
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二、解析函数与调和函数的关系
1. 两者的关系
任何D 内的解析函数,它的实部和虚部都是 D 内
的调和函数. 2. 共轭调和函数的定义
设解析函数u iv的实部u( x, y ) 是一调和函数, 则虚部v( x, y ) 称为 u( x, y ) 的共轭调和函数.
2-2调和函数与解析函数
本节我们学习了调和函数的概念、解析函数
与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.
应注意的是: 1. 任意两个调和函数u与v所构成的 函数u+iv不一定是解析函数. 2. 满足柯西—黎曼方程ux= vy, vx= –uy,的v称为u 的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒.
放映结束，按Esc退出.
2
2.2.2解析函数与调和函数的关系 设f(z)=u+iv在区域D内解析,则由C.-R.条件
u v u v , , x y y x
得
2v 2v 因 与 在D内连续，它们必定相等，故在D内有 xy yx 2 u 2 u 0 2 2 x y 2v 2v 0 同例,在D内有 2 2 x y
7
例2.7 已知 v( x , y ) e x ( y cos y x sin y ) x y 为调
和函数, 求一解析函数 f ( z ) u iv , 使 f (0) 0.
解
v e x ( y cos y x sin y sin y ) 1, x v e x (cos y y sin y x cos y ) 1, y
x, y
其中 x0 , y0 为D内一定点, C为任意实常数.
10
例2.8求解析函数f (z )=u+iv,u x y xy,
2 2
f (i) 1 i.
解:容易验证是u全平面的调和函数。利用C-R条件， 先求出v的两个偏导数。
v u v u 2 y x, 2x y x y y x
要求f(z)，需先求v(x,y),一般可用以下方法求v(x,y)
v u 偏积分法.由 3 x 2 3 y 2得, y x v 3 x 2 3 y 2 dy 3 x 2 y y 3 x
与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.
应注意的是: 1. 任意两个调和函数u与v所构成的 函数u+iv不一定是解析函数. 2. 满足柯西—黎曼方程ux= vy, vx= –uy,的v称为u 的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒.
放映结束，按Esc退出.
2
2.2.2解析函数与调和函数的关系 设f(z)=u+iv在区域D内解析,则由C.-R.条件
u v u v , , x y y x
得
2v 2v 因 与 在D内连续，它们必定相等，故在D内有 xy yx 2 u 2 u 0 2 2 x y 2v 2v 0 同例,在D内有 2 2 x y
7
例2.7 已知 v( x , y ) e x ( y cos y x sin y ) x y 为调
和函数, 求一解析函数 f ( z ) u iv , 使 f (0) 0.
解
v e x ( y cos y x sin y sin y ) 1, x v e x (cos y y sin y x cos y ) 1, y
x, y
其中 x0 , y0 为D内一定点, C为任意实常数.
10
例2.8求解析函数f (z )=u+iv,u x y xy,
2 2
f (i) 1 i.
解:容易验证是u全平面的调和函数。利用C-R条件， 先求出v的两个偏导数。
v u v u 2 y x, 2x y x y y x
要求f(z)，需先求v(x,y),一般可用以下方法求v(x,y)
v u 偏积分法.由 3 x 2 3 y 2得, y x v 3 x 2 3 y 2 dy 3 x 2 y y 3 x
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f '( z ) ux ivx ux iu y v y ivx
U ( z)
已知实部 u 求 f ( z ) 已知虚部 v 求 f ( z )
V ( z)
f ( z ) U ( z )dz C f ( z ) V ( z )dz C
———— 不定积分法
8
u(x, y)=y3-3x2y
u v u v , x y y x
的两个实值函数 u, v 中，v 称为 u 在区域 D 内的 共轭调和函数.
注 区域 D 内的解析函数的虚部为实部的共轭调 和函数.
5
例1 验证 u(x, y)=y3-3x2y 是调和函数，并求以 u(x, y) 为实部的解析函数 f(z). 例2 已知一调和函数 v e x sin y, 求一解析函数 f(z)=u iv, 使 f(0)=1. 例3 已知一调和函数 v e x ( y cos y x sin y ) x y, 求一解析函数 f(z)= u iv, 使 f(0)=0.
§7 解析函数与调和函数的关系
问题1，解析函数的性质非常好，什么样的函数能构 成解析函数的实部和虚部
问题2. 解析函数的实部和虚部的二阶导数是什么关 系
问题3. 如何根据实部（虚部）求其满足的解析函数
1
•调和函数 若二元实函数 H(x, y) 在区域 D 内具 有二阶连续偏导，且满足 Laplace 方程
6
u(x, y)=y3-3x2y
解：）由 1 ux 6xy，u xx 6 y， u y 3 y 2 3x 2，u yy 6 y，
可得
(偏积分法)
u xx u yy 0.
利用C.-R.方程
从而u 调和. 2 ）由 v y u x 6 xy 可得
2
利用C.-R.方程 的另一等式
(n)
高阶导数公式
n! f ( z) ( z0 ) dz,(n 1,2,) n 1 2 i C ( z z0 )
求I
C
f ( z )dz 型积分的步骤：
一、判断 f ( z )在C内部是否解析； 二、若 f ( z )解析，则I 0;
三、若 f ( z ) 在曲线 C 内只有一个奇点，则直接 利用柯西积分公式或高阶导数公式； 四、若 f ( z ) 在曲线 C内有多个奇点，则利用复 合闭路定理和柯西积分公式或高阶导数公式.
由解析函数高阶导数定理知，u 和 v 具有任 意阶连续偏导，故 v yx vxy ,
从而 同理
uxx u yy 0. vxx vyy 0.
因此 u 和 v 调和.
？
已知u， 能否找到 v， 使得 u iv 解析？
u+iv = f(z)
调和
解析 为 u 的共轭调和函数
•共轭调和函数 区域 D 内满足 C.-R.方程
v v y dy 6 xydy 3xy 2 g ( x),
2 2 u 3 x 3 ห้องสมุดไป่ตู้ , vx 3 y g'( x) y
则g ( x) x3 C， 从而v x3 3xy 2 C 因此 f ( z ) y3 3x 2 y i( x3 3xy 2 C ) 或 i( z 3 C )
I f ( z)dz
i 1 Ci
n
•调和函数 若二元实函数 H(x, y) 在区域 D 内具 有二阶连续偏导，且满足 Laplace 方程
2 H 2 H 2 0, 2 x y
则称 H(x, y) 为 D 内的调和函数. •共轭调和函数 区域 D 内满足 C.-R.方程
解：由u x 6 xy，u y 3 y 2 3x 2，
f '( z) ux iu y
6 xy i(3 y 2 3x 2 )
3i( x y 2 xyi) 3iz 2
2 2
f ( z ) 3iz 2dz iz 3 C
9
x v e sin y, 例2 已知一调和函数 求一解析函数 f(z)= u iv, 使 f(0)=1.
u v u v , x y y x
的两个调和函数 u, v 中，v 称为 u 在区域 D 内的 共轭调和函数.
14
2 H 2 H 2 0, 2 x y
则称 H(x, y) 为 D 内的调和函数.
2
区域D上解析函数的实部与虚部是调和函数。
反之，若D是单连通的，则D上的每个调和函数都是某 个解析函数的实部或虚部.
u,v是实值函数，若u+iv 解析，则v是u的共轭调和.
注：若v是u的共轭调和，则除非u，v都是常数，u不是v 的共轭调和.
10
x v e ( y cos y x sin y ) x y, 例3 已知一调和函数 求一解析函数 f(z)= u iv, 使 f(0)=0.
11
柯西基本定理
C
f ( z )dz 0
柯西积分公式
1 f ( z) f ( z0 ) dz 2 i C z z0 f
解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。
定理 任何在区域 D 内解析的函数，它的实部和 虚部都是 D 内的调和函数. 证：设 D 内的解析函数 f ( z ) u iv
则
ux vy , u y vx , uxx vyx , u yy vxy ,
两等式分别关 于x, y求偏导