调和函数与解析函数

u v u v , x y y x
的两个实值函数 u, v 中，v 称为 u 在区域 D 内的 共轭调和函数.
注 区域 D 内的解析函数的虚部为实部的共轭调 和函数.
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例1 验证 u(x, y)=y3-3x2y 是调和函数，并求以 u(x, y) 为实部的解析函数 f(z). 例2 已知一调和函数 v e x sin y, 求一解析函数 f(z)=u iv, 使 f(0)=1. 例3 已知一调和函数 v e x ( y cos y x sin y ) x y, 求一解析函数 f(z)= u iv, 使 f(0)=0.
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u(x, y)=y3-3x2y
解：）由 1 ux 6xy，u xx 6 y， u y 3 y 2 3x 2，u yy 6 y，
可得
(偏积分法)
u xx u yy 0.
利用C.-R.方程
从而u 调和. 2 ）由 v y u x 6 xy 可得
2
利用C.-R.方程 的另一等式
I f ( z)dz
i 1 Ci
n
•调和函数 若二元实函数 H(x, y) 在区域 D 内具 有二阶连续偏导，且满足 Laplace 方程
2 H 2 H 2 0, 2 x y
则称 H(x, y) 为 D 内的调和函数. •共轭调和函数 区域 D 内满足 C.-R.方程
(n)
高阶导数公式
n! f ( z) ( z0 ) dz,(n 1,2,) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 2 i C ( z z0 )
求I

C
f ( z )dz 型积分的步骤：
一、判断 f ( z )在C内部是否解析； 二、若 f ( z )解析，则I 0;
三、若 f ( z ) 在曲线 C 内只有一个奇点，则直接 利用柯西积分公式或高阶导数公式； 四、若 f ( z ) 在曲线 C内有多个奇点，则利用复 合闭路定理和柯西积分公式或高阶导数公式.
解：由u x 6 xy，u y 3 y 2 3x 2，
f '( z) ux iu y
6 xy i(3 y 2 3x 2 )
3i( x y 2 xyi) 3iz 2
2 2
f ( z ) 3iz 2dz iz 3 C
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x v e sin y, 例2 已知一调和函数 求一解析函数 f(z)= u iv, 使 f(0)=1.
解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。
定理 任何在区域 D 内解析的函数，它的实部和 虚部都是 D 内的调和函数. 证：设 D 内的解析函数 f ( z ) u iv
则
ux vy , u y vx , uxx vyx , u yy vxy ,
两等式分别关 于x, y求偏导
f '( z ) ux ivx ux iu y v y ivx
U ( z)
已知实部 u 求 f ( z ) 已知虚部 v 求 f ( z )
V ( z)
f ( z ) U ( z )dz C f ( z ) V ( z )dz C
———— 不定积分法
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u(x, y)=y3-3x2y
u v u v , x y y x
的两个调和函数 u, v 中，v 称为 u 在区域 D 内的 共轭调和函数.
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§7 解析函数与调和函数的关系
问题1，解析函数的性质非常好，什么样的函数能构 成解析函数的实部和虚部
问题2. 解析函数的实部和虚部的二阶导数是什么关 系
问题3. 如何根据实部（虚部）求其满足的解析函数
1
•调和函数 若二元实函数 H(x, y) 在区域 D 内具 有二阶连续偏导，且满足 Laplace 方程
由解析函数高阶导数定理知，u 和 v 具有任 意阶连续偏导，故 v yx vxy ,
从而 同理
uxx u yy 0. vxx vyy 0.
因此 u 和 v 调和.
？
已知u， 能否找到 v， 使得 u iv 解析？
u+iv = f(z)
调和
解析 为 u 的共轭调和函数
•共轭调和函数 区域 D 内满足 C.-R.方程
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x v e ( y cos y x sin y ) x y, 例3 已知一调和函数 求一解析函数 f(z)= u iv, 使 f(0)=0.
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柯西基本定理

C
f ( z )dz 0
柯西积分公式
1 f ( z) f ( z0 ) dz 2 i C z z0 f
2 H 2 H 2 0, 2 x y
则称 H(x, y) 为 D 内的调和函数.
2
区域D上解析函数的实部与虚部是调和函数。
反之，若D是单连通的，则D上的每个调和函数都是某 个解析函数的实部或虚部.
u,v是实值函数，若u+iv 解析，则v是u的共轭调和.
注：若v是u的共轭调和，则除非u，v都是常数，u不是v 的共轭调和.
v v y dy 6 xydy 3xy 2 g ( x),
2 2 u 3 x 3 y , vx 3 y g'( x) y
则g ( x) x3 C， 从而v x3 3xy 2 C 因此 f ( z ) y3 3x 2 y i( x3 3xy 2 C ) 或 i( z 3 C )