偏微分数值解

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偏微分方程数值解法及其在机械工程中的应用

偏微分方程数值解法及其在机械工程中的应用偏微分方程是描述自然界许多现象的重要数学工具，广泛应用于物理学、工程学等领域。

现代科技的发展，需要对偏微分方程进行数值求解，以获得实用的有效解答。

本文将介绍一些常用的偏微分方程数值解法，并探讨这些方法在机械工程中的应用。

一、偏微分方程的基本概念偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是描述函数的变化率与它的各个自变量之间关系的方程。

常见的偏微分方程包括波动方程、扩散方程和泊松方程等。

例如，波动方程可以写作：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u是波动的位移，t是时间，c是波速，∇²u是拉普拉斯算子，表示u各方向二阶偏导数的和。

二、偏微分方程数值求解方法由于偏微分方程通常难以解析求解，因此需要采用数值求解方法。

下面分别介绍有限差分法、有限元法和谱方法三种常用的数值解法。

1. 有限差分法有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）将偏微分方程中的微分算子用差分算子代替，将求解区域离散化为网格点，并在这些点上逐一求解。

基本思想是用中心差分公式近似求得函数在某点处的导数，然后用差分公式得到下一时刻的函数值。

有限差分法简单易行，计算效率高，但需要使用较大的网格才能保证精度。

2. 有限元法有限差分法只能适用于规则网格，而有限元法（Finite Element Method，简称FEM）即使在不规则网格上求解也很有优势。

有限元法将求解区域分成若干个小区域，每个小区域内的函数值近似为一些基函数在该区域内的系数之和。

给定问题的初始边界条件和偏微分方程，可以得到解方程所需的线性方程组，进而求出各个区域内的系数。

有限元法需要选择一组适当的基函数及其系数，计算量较大，但对不规则边界问题的求解有较好的适用性。

3. 谱方法谱方法（Spectral Method）是一种基于傅里叶变换思想的数值解法，将函数在某个特定的函数空间内展开为傅里叶级数，即用一些特定的基函数展开求和。

偏微分方程的数值解法

第十六章偏微分方程的数值解法科学研究和工程技术中的许多问题可建立偏微分方程的数学模型。

包含多个自变量的微分方程称为偏微分方程(partial differential equation)，简称PDE 。

偏微分方程问题，其求解是十分困难的。

除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。

因此，近似解法就显得更为重要。

本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。

16.1 几类偏微分方程的定解问题一个偏微分方程的表示通常如下：(,,,,)x x x y y y x y A B C f x y Φ+Φ+Φ=ΦΦΦ (16.1.1) 式中，,,A B C 是常数，称为拟线性(quasilinear)数。

通常，存在3种拟线性方程：双曲型(hyperbolic)方程：240B AC ->；抛物线型(parabolic)方程：240B AC -=；椭圆型(ellliptic)方程：240B AC -<。

16.1.2 双曲型方程最简单形式为一阶双曲型方程：0u ua t x∂∂+=∂∂ (16.1.2) 物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程：22222u u a t x∂∂=∂∂ (16.1.3) 描述，它是双曲型方程的典型形式。

方程的初值问题为：2222200,(,0)()()t u uat x tx u x x u x x t ϕψ=⎧∂∂=>-∞<<+∞⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪∂⎪=-∞<<+∞⎪∂⎩ (16.1.4)边界条件一般有三类，最简单的初边值问题为：2222212000,0(,0)(0,)(),(,)()0()t u ua t T x l t x u x lu t g t u l t g t t T ux x t ϕψ=⎧∂∂==<<<<⎪∂∂⎪⎪=≤⎪⎨==≤≤⎪⎪∂=-∞<<+∞⎪∂⎪⎩ (16.1.5)16.1.3 抛物型方程其最简单的形式为一维热传导方程：220(0)u ua a t x∂∂-=>∂∂ (16.1.8) 方程可以有两种不同类型的定解问题：(1) 初值问题：2200,(,0)()u ua t x t xu x x x ϕ⎧∂∂-=>-∞<<+∞⎪∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩(16.1.6)(2) 初边值问题：221200,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u ua t T x l t x u x x x l u t g t u l t g t t Tϕ⎧∂∂-=<<<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩(16.1.7) 其中()x ϕ，1()g t ，2()g t 为已知函数，且满足连接条件：12(0)(0),()(0)g l g ϕϕ== (16.1.8)边界条件12(0,)(),(,)()u t g t u l t g t ==为第一类边界条件。

偏微分方程组数值解法

偏微分方程组数值解法
偏微分方程组是描述自然、科学和工程问题的重要数学工具。

由于解析解通常难以获得，因此需要使用数值方法来解决这些方程组。

本文将介绍偏微分方程组的一些数值解法，包括有限差分法、有限元法、谱方法和边界元法等。

有限差分法是一种基本的数值方法，将偏微分方程转化为差分方程，然后使用迭代算法求解。

该方法易于理解和实现，但对网格的选择和精度的控制要求较高。

有限元法是目前广泛使用的数值方法之一，它将偏微分方程转化为变分问题，并通过对函数空间的逼近来求解。

该方法对复杂几何形状和非线性问题有很好的适应性，但需要对网格进行精细的划分，计算量较大。

谱方法是一种高精度的数值方法，它将偏微分方程转化为特征值问题，并使用级数逼近来求解。

该方法在高精度求解、解析性质研究和数值计算效率方面具有优势，但需要对函数的光滑性和周期性有较高的要求。

边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，它将偏微分方程转化为边界积分方程，并使用离散化方法求解。

该方法适用于求解边界问题和无穷域问题，但对边界的光滑性和边界积分算子的性质有较高的要求。

总之，在实际问题中选择合适的数值方法需要综合考虑问题的性质、计算资源、精度要求等因素。

偏微分方程数值解

通过数值计算，偏微分方程近似在计算机上求解。

科学和工程学中的大多数实际问题都归因于偏微分方程的定解。

因为很难获得这些定解的解析解（即使在经典意义上也没有解），所以人们转向求解其数值近似解。

通过数值计算，偏微分方程近似在计算机上求解。

科学和工程学中的大多数实际问题都归因于偏微分方程的定解。

因为很难获得这些定解的解析解（即使在经典意义上也没有解），所以人们转向求解其数值近似解。

通常，首先将问题的求解区域划分为网格，然后根据有限元法，有限差分法和有限体积法等数值方法离散化原始求解问题或其等效形式，然后将其简化为线性代数系统方程，最后在计算机上获得离散网格点上精确解的近似值。

解决涉及一系列问题，例如数值方法及其理论分析（稳定性，收敛性，误差估计）以及计算机实现。

一方面，求解的效率取决于计算机的运行速度，另一方面也取决于数值方法或算法，这一点更为重要。

自从1946年第一台电子计算机问世（每秒运行500次）以来，自当前的千万亿次超级计算机以来，计算速度得到了飞速发展。

但是，对于N阶线性代数方程组，如果使用Cramer规则求解（计算量为（n-1）（n + 1）！），则当n = 50时，至少需要几秒钟来计算用每秒1万亿次的计算机，超过了宇宙的年龄（秒）；如果通过消除高斯来解决，则可以在不到1秒的时间内完成。

因此，研究高性能的数值理论方法和算法（例如并行算法）是非常重要的，这是发展趋势。

而且，如何更快，更准确地解决问题并适应更复杂，更大规模的问题，始终是一个值得研究的课题。

数值近似解的研究历史悠久，但直到20世纪后期电子计算机出现后才得到广泛的发展和应用（例如，有限元理论始于1960年代）。

目前，数值解的规模越来越大。

例如，在诸如航天器设计，湍流模拟，气候预测，油田开发等各种实际问题中，经常遇到大规模问题（网格数至少为一百万以上）。

偏微分方程的数值解已经渗透到现代科学和工程的各个领域，例如物理，化学和生物学，并在科学技术和国民经济的发展中发挥了重要作用。

偏微分方程数值解

, 是给定的常数.
2.1 直接差分法
(1) 取 N+1 个节点将 I =[a, b] 分成 N 个小区间:
a x0 x1 L xi L xN b
I i : xi 1 x xi , i 1, 2, L , N
hi xi xi 1 , h max hi .
i
于是，得到 I 的一个网格剖分.
(2) 对 I = [a, b] 进行对偶剖分取 xi 1 , xi 的中点
x
1 i 2
1 xi 1 xi , 2
i 1, 2,
,N
称为半整数点，则
a x0 x1 x3
2 2
x
1 N 2
xN b
构成 I 的一个对偶剖分. (3) 将方程 (2.1) 在内点 xi 处离散化.
d2 du hi 1 hi dx 2 ( p dx ) 12 i
d 3u 2 p O ( h ) dx3 i
于是得逼近方程 (2.1)~(2.2) 的差分方程：
ui 1 ui ui ui 1 2 p 1 Lhui pi 1 i h h h h i i 1 i 1 i 2 2 i i 1, 2, ui 1 ui qiui fi , hi hi 1 u0 , uN
1 i 2
) W (x
1 i 2
)
x
i
x
1 2
i
1 2
qudx
x
f dx
i
1 2
du W ( x) , dx p ( x)
沿 [ xi 1 , xi ] 积分，得

数学建模第八讲：偏微分方程数值解

2 (t )
其中：u
t
0
(
x
),
u t
t0
(x)
为初值条件
u x0 1 (t ), u xt 2 (t ) 为边值条件
当该波动方程只提供初值条件时，称此方程为波动方程的初值问题，二
。者均提供时称为波动方程的混合问题
5.3.1 波动方程求解
t
t
x 0 a)初值问题
x
0
l
b)混合问题
对于初值问题，是已知t=0时，u与u 依赖于x的函数形式，求解不同位置， t
un1 i , j,k
t 2 t nt , xix , y jy,zkz
( t )2
2u x 2
t nt , xix , y jy,zkz
un i1, j,k
2uin, j,k (x)2
un i1, j ,k
2u y2
t nt , xix , y jy,zkz
un i , j1,k
2uin, j,k (y)2
21
A11 I
A
I
A22 I
I AN 2 ,N 2 I
I
R( N 1)2 ( N 1)2
AN 1,N 1
其中
4 1
f ( x, t)
u
t
0
(
x
),
u t
t0
( x)
u
x0
1(t), u xl
2(t)
uin
un1 i
τn
xi
x
un1 i
方程离散化
un1 i
2uin
un1 i
(t )2
a2
un i1
2uin

偏微分方程数值解教学大纲

《偏微分方程数值解》教学大纲
一．课程的性质、教育目标及任务：
偏微分方程数值解法在数值分析中占有重要地位，在各个科技领域的应用日渐广泛。

通过本课程的学习，使学生能了解偏微分方程数值解的最基础的知识和方法，确切地理解基本概念，掌握和正确使用两类主要方法。

二．教学内容及基本要求：
（1）弄清有限差分法的基本概念和各种差分格式。

（2）掌握双曲型，抛物型、椭圆型方程的差分方法。

（3）理解数理方程的变分原理，掌握变分问题的近似计算法。

（4）掌握有限元离散方法的原理及应用。

三．作业、辅导答疑等教学环节要求：
1．作业量：每章5--6大题，共30--40题。

2．辅导答疑：1/3总课时。

四．学时分配及说明：。

偏微分方程的数值解法

偏微分⽅程的数值解法偏微分⽅程的数值解法
主要总结常见椭圆形、双曲型、抛物型偏微分⽅程的数值解法
椭圆偏微分⽅程
拉普拉斯⽅程是最简单的椭圆微分⽅程
∂2u ∂x2+∂2u
∂y2=0
确定偏微分⽅程的边界条件主要采⽤固定边界条件：u|Γ=U1(x,y) 即在边界Γ上给定u的值U1(x,y)五点差分格式
五点差分格式的形式为：
u i+1,j+u i−1,j+u i,j+1+u i,j−1=4u i,j
以u i,j为中⼼向其上下左右做差分，并⽤这些近似的代替u i,j
运⽤五点差分法可以求出下列边值问题
∂2u ∂x2+∂2u
∂x2=0
u(x1,y)=g1(x),u(x2,y)=g2(x)
u(x,y1)=f1(y),u(x,y2)=f2(y)
x1≤x≤x2,y1≤y≤y2
求解过程如下：
对求解区域进⾏分割：将x min≤x≤x max范围内的的x轴等分成NX段，同理将y轴等分成NY段
将边界条件离散到格点上
⽤五点差分格式建⽴求解⽅程，求出各个格点的函数值
程序设计：
实现函数格式为u = peEllip5(nx, minx, maxx, ny, miny, maxy)
变量名变量作⽤
nx x⽅向上的节点数
minx求解区间x的左端
maxx求解区间x的右端
ny y⽅向的节点数
miny求解区间y的左端
maxy求解区间y的右端
u求解区间上的数值解
建⽴边界条件函数
``
{
Processing math: 100%。

偏微分方程数值解

02
常用的数值解法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
03
数值解法的精度和稳定性是衡量其好坏的重要指标。
非线性偏微分方程的有限差分法
有限差分法是一种将偏微分方程转化为差分方程的方法，通过在离散点上逼近偏导数，得到离散化的数值解。
有限差分法的优点是简单直观，易于实现，适用于规则区域。
有限差分法的缺点是对不规则区域适应性较差，且精度较低。
波动问题
谱方法在求解波动问题中也有广泛应用，如 Helmholtz方程、Wave equation等。
固体力学问题
谱方法在求解固体力学问题中也有应用，如 Elasticity equations等。
05
非线性偏微分方程的数值解法
非线性偏微分方程的解析解法难度
01
非线性偏微分方程的解析解法通常非常复杂，需要深
02
有限差分法的基本思想是将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，通过求解差分方程得到偏微分方程的近似解。
03
有限差分法的精度取决于离散点之间的间距，间距越小，精度越高。
一阶偏微分方程的有限差分法
一阶偏微分方程的有限差分法有多种形式，如向前差分法、向后差分法和中心差分法等。
中心差分法是向前差分法和向后差分法的平均值，具有二阶精度。
通过将微分转化为差分，将原方程转化为离散的差分方程，然后求解差分方程得到近似解。
有限元法
将连续问题离散化，将微分方程转化为线性方程组，通过求解线性方程组得到近似解。
谱方法
利用函数的谱展开来求解偏微分方程，具有高精度和低数值弥散性的优点。
02
有限差分法
有限差分法的原理
01
有限差分法是一种将偏微分方程转化为差分方程的方法，通过在离散点上逼近偏微分方程的解，得到数值解。

偏微分方程的数值解(差分法)

20世纪初期,英国科学家L.F. Richardson首先进行了
数值天气预报尝试。1922年,他在《Weather Prediction
by Numerical Process 》中,论述了数值预报的原理和可
能性,并且应用原始方程组,对欧洲地面气压场进行
了6小时预报。但结果很不理想：他预报气压在 6小
ijkvxyzuvwwuuwvu????????????????????????????????????????????wuuwvuijkyzzxxx????????????????????????????????????????????????????????????????21uvwvwudfuvwfvtxyzxyxzyzdypppxyyx????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????一
y f ( x x) f ( x) x x
y f ( x) f ( x x) 一阶向后差商为： x x
一阶中心差商为： y f ( x x) f ( x x)
x
2x
二阶差商多取中心式，即
2 y f ( x x) 2 f ( x) f ( x x) 2 x (x) 2
§2 差分原理
一.基本概念: 1.将连续求解域划分成差分网格（最简单的
差分网格是矩形网格），用有限个节点代
替原连续求解域；
2.用差商代替控制微分方程中的导数；
3.建立含有限个未知数的节点差分方程组； 4.代入初始和边界条件后求解差分方程组。

化工应用数学-偏微分方程数值解

;uxx
2u x 2
;uyy
2u y 2
;uxy
2u xy
F (x, y,u,ux ,uy ,uxx,uyy,uxy ) 0
2020/6/19
化工应用数学
10
F (x, y,u,ux ,uy ,uxx,uyy,uxy ) 0
Auxx 2Buxy Cu yy Du x Eu y Gu f 0
2020/6/19
化工应用数学
24
1 2
1 2
u2, j1
u3, j1
u2, j1 u1, j1
u3, j1
1 2
u
N
2,
j
1
uN 2, j1
1 2 uN 1, j1 uN 1, j1 uN , j1
可采用追赶法求解
2020/6/19
化工应用数学
u2, j
t h2
Du1, j1
t
2t
t
h2 Du2, j1 (1 h2 D)u3, j1 h2 Du4, j1 u3, j
t
2t
t
h2 Du3, j1 (1 h2 D)u4, j1 h2 Du5, j1 u4, j
t h2
DuN-2, j1
(1
2t h2
D)uN-1, j1
uN-1,
考察的区域： a＜x＜b,t＞0,一条带状区域
t
求划分的网格的任一节点处的u值
ua
ub
目标是求出：方程域内任意(x,t)处的u值
x x=a u0 x=b
2020/6/19
化工应用数学
16
最简单的抛物方程是一维扩散方程
考察的区域： a＜x＜b,t＞0,一条带状区域

第8章偏微分方程数值解

u ( x j,t k 1 ) u ( x j,t k ) a u ( x j 1 t k ) 2 u ( h x 2 j,t k ) u ( x j 1 ,t k )
[ U]kj o( h2)
(5)
最新课件
35
令
fjk f(xj,tk)
，u
k j
视为 u (xj, tk) 的近似值。
U
u t
a
2u x2
f(x,t)
a 为正常数
（3）
u(x,0)(x)
u(0,t)u(1,t)0
0x1 0tT
(4)
最新课件
34
于结点（j, k）处偏导数与差商之间有如下近似的关系：
u(xj,tk1)u(xj,tk)u tkj o()
u (xj 1tk) 2 u (h x 2j,tk)u (xj 1,tk) x 2 u 2 k j o (h 2) 利用上述表达式得到 LU 在 (j, k) 处的关系式：
在结点上采用离散化方法（数值微分、数值积分、泰勒展开等）将微分方程的初边值问题化成关于离散变量的相应问题，这个相应问题的解就是方程在点xi上的数值解f(x)，或在点（xi , ti）上的数值解U( xi , ti)。
一般来说，不同的离散化导致不同的方法。
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10
例：取一边长为1的正方形均匀薄板，上下侧面绝热，四周保持恒温，求板内各点的稳定温定分布。
u 2u 2u 0 x2 y2
泊松方程
u2u2uf(x,y) x2 y2
最新课件
19
考虑泊松方程第一边值问题：
ux2u2 y2u2 f(x,y), (x,y)
u(x,y), (x,y)面上一有界区域，为其边界，

偏微分方程数值解的计算方法

偏微分方程数值解的计算方法偏微分方程是研究自然和社会现象的重要工具。

然而，大多数偏微分方程很难用解析方法求解，需要用数值方法求解。

本文将介绍偏微分方程数值解的计算方法，其中包括有限差分方法、有限体积法、谱方法和有限元方法。

一、有限差分方法有限差分法是偏微分方程数值解的常用方法，它将偏微分方程中的空间变量转换为网格点上的差分近似。

例如，对于一个二阶偏微分方程：$$\frac{\partial^{2}u}{\partialx^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=f(x,y,u)$$可以使用中心差分方法进行近似：$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\approx \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^{2}}$$$$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\approx \frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Delta y)^{2}}$$其中，$u_{i,j}$表示在第$i$行第$j$列的网格点上的函数值，$\Delta x$和$\Delta y$表示网格步长。

将差分近似代入原方程中，得到如下的差分方程：$$\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Deltax)^{2}}+\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{(\Deltay)^{2}}=f_{i,j,u_{i,j}}$$该方程可以用迭代法求解。

有限差分方法的优点是易于实现，但在均匀网格下准确性不高。

二、有限体积法有限体积法是将偏微分方程中的积分形式转换为求解网格单元中心值的方法。

例如，对于如下的扩散方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partialx}\left(D(u)\frac{\partial u}{\partial x}\right)$$可以使用有限体积法进行近似。

偏微分方程数值解实验报告

偏微分方程数值解上机实验报告（一）实验一一、上机题目：用线性元求解下列边值问题的数值解：-y′′+π24y=π22sinπ2x，0<x<1y(0)=0，y′(1)=0二、实验程序：function S=bzx=fzero(@zfun,1);[t y]=ode45(@odefun,[0 1],[0 x]);S.t=t;S.y=y;plot(t,y)xlabel('x:´从0一直到1')ylabel('y')title('线性元求解边值问题的数值解')function dy=odefun(x,y)dy=[0 0]';dy(1)=y(2);dy(2)=(pi^2)/4*y(1)-((pi^2)/2)*sin(x*pi/2);function z=zfun(x);[t y]=ode45(@odefun,[0 1],[0 x]);z=y(end)-0;三、实验结果：1．以步长h=0.05进行逐步运算，运行上面matlab程序结果如下：2．在0<x<1区间上，随着x 的不断变化，x ，y 之间关系如下图所示：（二）实验二四、上机题目：求解Helmholtz 方程的边值问题：21u k u -∆-=，于(0,1)*(0,1)Ω=0u =，于1{0,01}{01,1}x y x y Γ==≤≤≤≤= 12{0,01}{01,1}0,{01,0}{1,01}x y x y u x y x y n Γ==≤≤≤≤=∂=Γ=≤≤==≤≤∂于其中k=1,5,10,15,20五、实验程序：（采用有限元方法，这里对[0,1]*[0,1]采用n*n的划分，n为偶数）n=10;a=zeros(n);f=zeros(n);b=zeros(1,n);U=zeros(n,1);u=zeros(n,1);for i=2:na(i-1,i-1)=pi^2/(12*n)+n;a(i-1,i)= pi^2/(24*n)-n;a(i,i-1)= pi^2/(24*n)-n;for j=1:nif j==i-1a(i,j)=a(i,i-1);else if j==ia(i-1,j-1)=2*a(i-1,i-1);else if j==i+1a(i,j)=a(i,i+1);elsea(i,j)=0;endendendendenda(n,n)=pi^2/(12*n)+n;for i=2:nf(i-1,i)=4/pi*cos((i-1)*pi/2/n)-8*n/(pi^2)*sin(i*pi/2/n)+8*n/(pi^2)*s in((i-1)*pi/2/n);endfor i=1:nf(i,i)=-4/pi*cos(i*pi/2/n)+8*n/(pi^2)*sin(i*pi/2/n)-8*n/(pi^2)*sin((i -1)*pi/2/n);end%b(j)=f(i-1,j)+f(i,j)for i=1:(n-1)b(i)=f(i,i)+f(i,i+1);endb(n)=f(n,n);tic;n=20;can=20;s=zeros(n^2,10);h=1/n;st=1/(2*n^2);A=zeros((n+1)^2,(n+1)^2);syms x y;for k=1:1:2*n^2s(k,1)=k;q=fix(k/(2*n));r=mod(k,(2*n));if (r~=0)r=r;else r=2*n;q=q-1;endif (r<=n)s(k,2)=q*(n+1)+r;s(k,3)=q*(n+1)+r+1;s(k,4)=(q+1)*(n+1)+r+1;s(k,5)=(r-1)*h;s(k,6)=q*h;s(k,7)=r*h;s(k,8)=q*h;s(k,9)=r*h;s(k,10)=(q+1)*h;elses(k,2)=q*(n+1)+r-n;s(k,3)=(q+1)*(n+1)+r-n+1;s(k,4)=(q+1)*(n+1)+r-n;s(k,5)=(r-n-1)*h;s(k,6)=q*h;s(k,7)=(r-n)*h;s(k,8)=(q+1)*h;s(k,9)=(r-n-1)*h;s(k,10)=(q+1)*h;endendd=zeros(3,3);B=zeros((n+1)^2,1);b=zeros(3,1);for k=1:1:2*n^2L(1)=(1/(2*st))*((s(k,7)*s(k,10)-s(k,9)*s(k,8))+(s(k,8)-s(k,10))*x+(s(k,9)-s(k,7))*y);L(2)=(1/(2*st))*((s(k,9)*s(k,6)-s(k,5)*s(k,10))+(s(k,10)-s(k,6))*x+(s (k,5)-s(k,9))*y);L(3)=(1/(2*st))*((s(k,5)*s(k,8)-s(k,7)*s(k,6))+(s(k,6)-s(k,8))*x+(s(k ,7)-s(k,5))*y);for i=1:1:3for j=i:3d(i,j)=int(int(((((diff(L(i),x))*(diff(L(j),x)))+((diff(L(i),y))*(dif f(L(j),y))))-((can^2)*L(i)*L(j))),x,0,1),y,0,1);d(j,i)=d(i,j);endendfor i=1:1:3for j=1:1:3A(s(k,(i+1)),s(k,(j+1)))=A(s(k,(i+1)),s(k,(j+1)))+d(i,j);endendfor i=1:1:3b(i)=int(int((L(i)),x,0,1),y,0,1);B(s(k,(i+1)),1)=B(s(k,(i+1)),1)+b(i);endendM=zeros((n+1)^2,n^2);j=n^2;for i=(n^2+n):-1:1if ((mod(i,(n+1)))~=1)M(:,j)=A(:,i);j=j-1;else continueendendpreanswer=M\B;answer=zeros((n+1)^2,1);j=1;for i=1:1:(n^2+n)if ((mod(i,(n+1)))~=1)answer(i)=preanswer(j);j=j+1;else answer(i)=0;endendZ=zeros((n+1),(n+1));for i=1:1:(n+1)^2s=fix(i/(n+1))+1;r=mod(i,(n+1));if(r==0)r=n+1;s=s-1;elseendZ(r,s)=answer(i);end[X,Y]=meshgrid(1:-h:0,0:h:1);surf(X,Y,Z);toc;t=toc;K=a ;B=b';U=inv(K)*Bfor i=1:nu(i,1)=4/(pi^2)*sin(pi*i/n/2);endue=U-u六、实验结果：程序中的变量can为问题中的k，为了方便比较，采用了画图的方式。

偏微分方程数值解

偏微分方程数值解常微分方程数值解法(numerical methods for ordinary differential equations)计算数学的一个分支。

是解常微分方程各类定解问题的数值方法。

现有的解析方法只能用于求解一些特殊类型的定解问题，实用上许多很有价值的常微分方程的解不能用初等函数来表示。

简介常常须要建议其数值求解。

所谓数值求解，就是所指在解区间内一系列线性点处得出真解的近似值。

这就催生了数值方法的产生与发展。

定义做为数值分析的基础内容，常微分方程数值数学分析的研究已发展得相当明朗，理论上也十分健全，各类存有实用价值的算法已经创建，并已构成计算机软件。

它处置问题的思路与方法常可以用作略偏微分方程的数值解。

主要研究以下三类定解问题的数值数学分析：初值问题、两点边值问题与特征值问题。

初值问题的数值数学分析应用领域广为，就是常微分方程数值数学分析的主要内容。

在这方面存有突出贡献的学者当发推达赫奎斯特（dahlquist，g.）、巴特赫尔（butcher，j.c.）及吉尔（gear，c.w.）等人。

两点边值问题及特征值问题的研究相对较为脆弱，其中凯勒尔（keller，h.b.）的工作影响很大。

基本途径结构常微分方程数值算法的基本途径存有：1、用差商替代导数。

将微分问题中未知函数及其导数分别用在某些离散点处函数值的组合与差商近似替代。

2、数值积分法。

将微分问题转变为等价的分数方程问题，用各种数值积分公式近似计算未明函数的分数。

3、待定系数法。

把欲构造的计算公式写成在离散点函数值之线性组合的待定系数形式，利用函数的泰勒展开式与对公式的精度要求，确定公式的系数。

4、平均值余量法。

根据微分方程余量极小化后的建议，确认计算公式。

基本问题常微分方程数值数学分析研究的基本问题存有：1、构造计算公式；2、研究算法的相容性、精度阶与收敛性，估算局部与整体截断误差；3、研究在计算过程中舍入误差传播与积累的规律，即方法的稳定性问题；4、算法的数值同时实现问题，力图以较小的排序工作量与可信的软件系统，在计算机上得出满足用户精度建议的计算结果。

偏微分方程数值解

(k 0,1,或k 0,1,,n)
u0, j u(0,t j ) gij un, j u(l,t j ) g2 j
( j 0,1,,m 1)
对第二、三类边界条件则需用差商近似。通常有两种方法（i）在左边界处用向前差商近似偏导数，在右边界处用向后差商近似偏导数，即
菱形格式可化为
1 h2
(uk 1, j
uk 1, j
uk , j1 uk , j1
4uk, j )
fk, j
b、抛物型方程的差分解法
u t

a
2u t 2

0
(a 0)
剖分，分别取h,为x方向与y方向的步长，用平行直线x xk kh(k 0,1,2,)
随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。
Poisson方程
u

2u x 2

2u y 2

f
(x, y)，特别别地，f
(x, y) 0时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又
称为调和方程
u

2u x 2

2u y 2

0,比如稳定的温度场的分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等。
t t j j ( j 0,1,2,)分xt平面为矩形网格，节点为(xk ,t j )(k 0,1,2,, j 0,1,2,)，
记(k, j) (xk , y j )，u(k, j) u(xk , y j )，k (xk )，g1 j g1(t j )，g2 j g2 (t j )，1 j 1(t j )，2 j 2 (t j )。
变分近似方法 1、Ritz方法 2、Galerkin方法

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第8章 偏微分方程数值解

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第8章偏微分方程数值解