激光原理例题

qout
=
Aqout Cqout
+B +D
=
0.5 −2qout
m2
qout
=
±i
1 2
m
输出端高斯光束的 q 参数实部为 0，所以相应波面曲率半径为 ∞ ，
qout
= if
= i πw02 λ
（注意此处波长 λ 采用的是大气中的波长，是因为光线往返矩阵起始/终结点定 位在介质右侧表面空气中。）
比较以上二式可得
此往返传输周期的光线矩阵为
T
=
1 0
L ' 1
1
−
2
R
0
1
1 0
L ' 1
=
1 0
0.5m 1 1 −2m−1
0 1 1 0
0.5m 1
=
0 −2m−1
0.5m 0
因为稳定腔内的高斯光束自再现,故有
d
R1
R2
解题提示：
单程损耗因子 δ
≈ 1− r1r2
。τ R
=
L' δc
，Q
=
ωτ R
=
2πν
ηL δc
，Q
=
ω ∆ω1 2
，F
=
∆ν ∆ν1 2
(a) 100MHz、8.3×10-4Å，(b) 9.496×108，(c) 251.9ns，(d)158.2
例 6-1 图为激光通过 F-P 腔的透
125 MHz
过谱，试求：
(1) 激光波长λ；
2.5 MHz
(2) F-P 腔腔长 L；
ν
5 ×1014
Hz
(3) F-P 腔 的 精 细 度 F ；
图 2.6
(4) F-P 腔腔内光子寿命τ R ； (5) 如果 F-P 腔内充满增益系数为 g 的介质，为了得到自激振荡，g 应为多 少？
例 7、圆形镜对称共焦腔 TEM00 模和 TEM01 模在镜面处通过半径 a = w0 的 圆孔光阑后，所损失的能量百分比各为多少？
1<
A+D
1− 3d =F
+1 =1−
3d
<1
2
2
2F
由上式可得谐振腔稳定时，应满足
0< d < 4 F3
(3) 此腔可等效为对称球面镜腔，其光腰应位于该等效腔的中心，因此光腰
位置在上方平面镜表面处。
例 3、在平行平面镜腔中插入一个焦距为 f 的薄透镜，其位置如下图中所示 （1）画出其等效透镜序列； （2）如果光线从平面镜 R1 右侧开始，向右传播，在等效透镜序列图上标出光 线一个往返传输周期；
R = 1m n
(1)判别腔的稳定性；
a
bF
(2)求输出端光斑大小；
(3)若输出端刚好位于焦距 F=0.1m 的薄透镜焦平面上，求经透镜聚焦后的光
腰大小和位置。
解：
(1) 根据例题 2.1，等效腔长
L ' = a + b = 0.44m + 0.1 m = 0.4988m ≈ 0.5m
η
1.7
可以看出 L ' 与介质在谐振腔中的位置无关。 （注意，作这样的腔长等效时，应保证 L ' 的起始和结束端都在同一媒质中）
解题提示： (1) 因为腔内球面反射镜实现对高斯光束的自再现反射，所以反射镜面与高 斯光束波面重合；
(2) 腔的单程损耗因子δ ≈ 1−T 2r1r2 ；
(3) 根据腔内单程相移φmnq = qπ ，有
k (d1 + d2 + d3 ) − (1+ m + n) arctan (d1 / f1 ) + arctan (d2 / f2 ) + arctan (d3 / f2 ) = qπ
R1
=L+
f2 L
R1 ' = L '+
f '2 L'
f = L ( R1 − L) = 0.3(1− 0.3)m = 0.458m f ' = L '( R1 '− L ') = 0.25(0.5 − 0.25)m = 0.25m
分别求左腔平面镜处以及右腔平面镜处的高斯光束 q 参数 q2 和 q '2 。
件1/ qM = ( D − A) / 2B ± i 1− ( D + A)2 4 / B 分别算出 M1 和 M2 处 q 参数，进而求
得镜面上光斑半径。 答案：
(1)
0
<
1 −
d1 F

1 −
d2 F

<
1
：
(2)
w021
=
λ π
1
−
d1 F

F
1 −
d2 F

d1
+
d2
−
d1d2 F
，
w022
=Байду номын сангаас
λ π
1 −
d2 F

1
−
d1 F

F
d1
+
d2
−
d1d2 F
例 4、如图所示激光谐振腔，腔内高斯光束束腰位置如图所示，基模腰斑半径分 别为 w01 和 w02，反射镜 M1 和 M2 的反射率分别为 99.5%和 88%，薄透镜的散射 损耗为 1%。已知此谐振腔为稳定腔。求： （1）高斯光束在球面反射镜 M2 处等相位面的曲率半径？ （2）腔内光子寿命τ R ？ （3）写出 TEMmnq 模频率的表达式 形式（方形镜）。
式中 X = 2r2 / w02s
TEM00 模的功率损耗：
∫ ( ) ∫ ∞
2π
E00
r,ϕ
2
rdr
2π
∞
e−
2r2 w02s
rdr
∫ ( ) ∫ P '
P
=
w0 ∞
2π
E00
r,ϕ
2
rdr
=
w0
2π
∞
−
e
2r2 w02s
rdr
=
1 e2
= 0.135
0
0
TEM01 模功率损耗：
∞
∞
∫ ∫ 2π E01 (r,ϕ ) 2rdr 2π (1− X )2 e−X rdr
共焦腔 TEM01 模镜面处光强分布：
( ) I01 =
E01 r,ϕ 2η0
2
=
C01
1
−
2
r2 w02s
2η0
e−
r2 w02s

2
=
C021 2η0
1
−

2r 2 w02s
2
e−
2r2 w02s
=
C021 (1− X )2 e−X ∝ (1− X )2 e−X
2η0
解：共焦腔 TEM00 模镜面处光强分布：
( ) ( ) I00
r,ϕ
* = E⋅E =
E00
r,ϕ
2η0
2η0
−
r2 w02s
2
= C e = C e ∝ e 2
00
2 00
−
2r2 w02s
−
2r2 w02s
2η0
2η0
式中η0 为自由空间波阻抗，η0 = ( µ0 ε0 )1 2 = 377Ω
2
m2
w '0 = 0.082 ×10−3m=82μm 例 9、两只氦氖激光器的结构如图所示。问：在什么位置？插入一个焦距为多大 的薄透镜才能实现两个腔之间的模匹配？
R1 = 1m
R2 = ∞
R1 ' = 50cm R2 ' = ∞
L = 30cm
L ' = 25cm
d = 50cm
解： 由图中数据可知左右两谐振腔都是稳定腔。设左右谐振腔产生的高斯光束共 焦参数分别为 f 和 f ' ，可得
长度分别为 l1 和 l2 ，则 l1 + l + l2 = L 。设此时的等效腔长为 L ' ，则
1 0
L ' 1
=
1 0
l2 1 1 0
0 1 η 0
l 1 1 0
0 1 1 η 0
l1 1

=
1 0
，以 k = 2πν mnq / c 代入,可得到ν mnq 表达式。
答案：
(1)100cm ；(2) 47.01ns；
(3)
ν mnq
=
2
(
d1
+
c d2
+
d3
)
q
+
1
+
m π
+
n

arctan
d1 f1
+ arctan d2 f2
+ arctan d3 f2

例 5、如下图所示，假设一高斯光束垂直入射到折射率为 η，长度为 l 的介质块 上，若以光腰处为坐标原点，介质两端面 A 和 B 离光腰的距离分别为 l1 和 l2， 已知光腰半径为 w0，在空气中波长为 λ。试问： （1）在下图情况下，远场发散角为多大？由计算结果可得出什么结论？ （2）若将介质块的位置左移，使介质 A 端面移至 z=-l 处。若介质块足够长，使 光腰落在介质内部，求此时光腰的大小及位置。
A
w0
z=0 z=l1
η
B
z=l2
例 6、如图所示平－凹谐振腔，腔长 d = (3 / 4) R2 ，r1 = 0.99 ，r2 = 0.97（ r1 、r2 分
别为两反射镜的反射率）。如果球面镜曲率半径是 2.0m，波长为 5000Å， 求：(a) 腔的自由光谱区，分别用单位 MHz 和 Å 表示；(b) 腔的 Q 值；(c)腔内 光子寿命（用 ns 为单位表示）；(d)腔的精细度。
由以上等效腔长可得
g1g2
=
1 −
L' R1

1
−

L' R2

=
1 −
0.5 1

1 −
0.5 ∞

=
0.5
∴0 < g1g2 < 1
该腔为稳定腔（半共焦腔）。 (2)画出谐振腔的等效透镜波导，并以右侧端面为起始/终结点标出一个往返
周期
图 2.9
πw02 = 1 m λ2
w0 =
λ 2π
m
=
1.06×10−6 m2 2π
= 0.41×10−3 m=0.41mm
(3)根据式（2.83），会聚后的光斑半径 w '0 满足
( ) w '02
=
(
F
−
l
F
)2
2 w02
+

πw02 λ
2
0.12 × =
0.41×10−3 1 2 2
解：
设凸面镜与凹面镜曲率半径分别为 R1 和 R2，当腔内未插入其它透明介质时
1−
L R1

1
−

L R2

=
1 −
1 −2

1 −
1 3

=
1
即 g1g2 = 1，该腔为临界腔。 当腔内插入其它介质时，设该介质的长度为 l ，该介质左右两边剩余的腔内
q = q2 + l = if + l
1 q
=
if
1 +l
=
l l2
− if +f
2
在薄透镜右侧表面，高斯光束的 q 参数
q ' = q2 '− l ' = if '− l '
1 q'
=
if
1 '−
l
'
=
−l '− if ' l '2 + f '2
{ } 因为薄透镜两侧表面上的光斑半径相同，因而 Im{1/ q} = Im 1/ q'
q2 = if = i0.458m q2 ' = if ' = i0.25m 设两腔间插入焦距为 F 的薄透镜，若该透镜与左腔平面镜的距离为 l ，则距离右 腔平面镜为 l ' = d + L '− l = 0.5m + 0.25m − l = 0.75m − l
在薄透镜左侧表面，高斯光束的 q 参数
(3) 指出光腰位置（不用计算）。 解： (1) 该谐振腔的等效透镜序列如图 2.5 所示。
图 2.5
(2) 列出光在该谐振腔中传输一个周期的变换矩阵
T
=
A C
B D
=
1 −1/
F
0 1 1 0
3d 1

=
1 −1/
F
3d −3d / F +1
由稳定性条件可得
l2
+l η
+
l1


1
L'=
l1
+ l2
+l η
=
(
L
−
l
)
+
l η
=
0.5m +
0.5m 2
=
3 4
m
g1g2
=
1
−

L' R1

1 −

L' R2

=
1 −
34 −2

1
−
34 3

=
33 32
>1
此时腔为非稳腔。
d
d
d/2
d/2
F
例 2 如图所示谐振腔： (1) 画出其等效透镜序列。如果光线从薄透镜 右侧开始，反时针传播，标出光线的一个往返传 输周期； (2) 求当 d / F （F 是透镜焦距）满足什么条 件时， 谐振腔为稳定腔；
（3）求出第 2 问中所画的往返传输周期的光线传输矩阵； （4）d1、d2、f 满足什么关系时，此谐振腔为稳定腔？ （5）求基模运转时，镜面 M1 和 M2 上的光斑半径的表达式。
d1
d2
R1=∞
f
解题提示：
R2=∞8
画出腔的等效透镜波导，标出一个等效透镜周期，求出其 ABCD 矩阵，根据
稳定腔条件求出 d1 / F 和 d2 / F 应满足的不等式条件；根据腔内高斯光束自再现条
l2
例 1 由凸面镜和凹面镜组成的球面腔，如果凸面镜曲率半径为 2 米，凹面镜曲 率半径为 3 米，腔长 L 为 1 米，腔内介质折射率为 1，此球面镜腔是何种腔（稳 定腔、临界腔、非稳腔）？。当腔内插入一块长为 0.5 米，折射率η = 2 的其它透
明介质时（介质两端面垂直于腔轴线），此时谐振腔为何种腔（稳定腔、非稳腔、 临界腔）？
∫ ∫ P ' =
P
w0
∞
2π
E01 (r,ϕ ) 2rdr
=
w0 ∞
2π (1− X )2 e−X rdr
=
0
0
∫ 2π
w02s
∞
(1 −
X
)2
e−X dX
4
∫ 2π w02s
2 ∞
(1− X )2 e−X dX
=
5 e2
= 0.676
40
例 8、如图所示，波长为λ=1.06µm 的钕玻璃激光器，全反射镜的曲率半径 R=1m， 距离全反射镜 a=0.44m 处放置长为 b=0.1m 的钕玻璃棒，其折射率为η=1.7。棒的 右端直接镀上半反射膜作为腔的输出端。