第2讲苹果与抽屉(一)

合集下载

六年级奥数备课(3)

第一课：巧算求和题教学内容：巧算求和题教学要求：能运用一些公式将复杂的计算变的简便。

教学过程：一、导语：很高兴有机会和同学们一起学习奥数，希望在今后的学习过程中合作愉快，共同进步。

虽然同学们没有接触过奥数，但只要同学们认真听讲，及时练习，你的思维能力一定会在原有的基础上得到较快的提高。

让我们为自己鼓劲加油吧！二、新授：1、出示例1：计算：1/1997×1998+1/1998×1999+1/1999×2000+1/2000×2001+1/2001×2002+1/2002×2003+1/2003×2004+1/2004分析：这道题若按照常规方法，先通分后再求和，计算起来很复杂。

但是我们把这道题目中的每一个加数相互对比一下，就会发现，除1/2004以外，其余的每一个加数的分母是相邻两个自然数的积，而分子正好是1。

如果把上面的算式中的七个分数分成两个分数差的形式，就得到下面的形式：1/1997×1998=1/1997-1/1998；1/1998×1999=1/1998-1/1999；……1/2003×2004=1/2003-1/2004。

上面七个分数相加，很容易看出许多项因为一加一减而消掉，这一来便把一个比较复杂的问题一下子变得十分简便。

这样的方法叫裂项法。

2、出示例2：1/1×2+1/2×3+1/3×4+……+1/97×98+1/98×99+1/99×100 分析：跟例1有相似之处，可用同样的方法解答。

学生练习：练习一的1-3。

集体评讲，了解学生的掌握情况。

3、出示例3：计算：1/2×4+1/4×6+1/6×8+……+1/48×50分析：因为2/2×4=1/2-1/4，2/4×6=1/4-1/6，所以，将算式中的每一项先扩大2倍后，再分裂成两个数的差求和，最后把求得的和再乘1/2即可。

抽屉原理(高一数学讲座)

抽屉原理（高一数学讲座）抽屉原理(高一数学讲座主讲:江志杰)桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,有的抽屉可以放一个,有的可以放两个,有的可以放五个,但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果.这一现象就是我们所说的抽屉原理.抽屉原理的一般含义为:〝如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一个集合里至少有两个元素.〞抽屉原理有时也被称为鸽巢原理(〝如果有五个鸽子笼,养鸽人养了6只鸽子,那么当鸽子飞回笼中后,至少有一个笼子中装有2只鸽子〞).它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题,因此,也称为狄利克雷原理.它是组合数学中一个重要的原理.一．抽屉原理最常见的形式原理1 :如果把n+k(k≥1)个物体放进n只抽屉里,则至少有一只抽屉要放进两个或更多个物体.[证明](反证法):如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n,而不是题设的n+k(k≥1),这不可能.原理2 :如果把mn+k(k≥1)个物体放进n个抽屉,则至少有一个抽屉至多放进m+1个物体.[证明](反证法):若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符,故不可能.二．应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用.许多有关存在性的证明都可用它来解决.例１:400人中至少有两个人的生日相同.解:将一年中的366天视为366个抽屉,400个人看作400个物体,由抽屉原理1可以得知:至少有两人的生日相同.又如:我们从街上随便找来13人,就可断定他们中至少有两个人属相相同.〝从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套.〞〝从数1,2,...,10中任取6个数,其中至少有2个数为奇偶性不同.〞例2: 幼儿园买来了不少白兔.熊猫.长颈鹿塑料玩具,每个小朋友任意选择两件,那么不管怎样挑选,在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同,试说明道理.解 :从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种:(兔.兔),(兔.熊猫),(兔.长颈鹿),(熊猫.熊猫),(熊猫.长颈鹿),(长颈鹿.长颈鹿).把每种搭配方式看作一个抽屉,把7个小朋友看作物体,那么根据原理1,至少有两个物体要放进同一个抽屉里,也就是说,至少两人挑选玩具采用同一搭配方式,选的玩具相同.上面数例论证的似乎都是〝存在〞.〝总有〞.〝至少有〞的问题,不错,这正是抽屉原则的主要作用.(需要说明的是,运用抽屉原则只是肯定了〝存在〞.〝总有〞.〝至少有〞,却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.)抽屉原理虽然简单,但应用却很广泛,它可以解答很多有趣的问题,其中有些问题还具有相当的难度.下面我们来研究有关的一些问题.(一)整除问题把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类,叫做m的剩余类或同余类,用[0],[1],[2],…,[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数,例如[1]中含有1,m+1,2m＋1,3m＋1,….在研究与整除有关的问题时,常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理,可以证明:任意n+1个自然数中,总有两个自然数的差是n的倍数.例1 证明:任取8个自然数,必有两个数的差是7的倍数.分析与解答在与整除有关的问题中有这样的性质,如果两个整数a.b,它们除以自然数m的余数相同,那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质,本题只需证明这8个自然数中有2个自然数,它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0.1.2.3.4.5.6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数,根据抽屉原理,必有两个数在同一个抽屉中,也就是它们除以7的余数相同,因此这两个数的差一定是7的倍数.例2:对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和能被3整除.证明∵任何数除以3所得余数只能是0,1,2,不妨分别构造为3个抽屉:[0],[1],[2]①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中,我们从这三个抽屉中各取1个,其和必能被3整除.②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中,则其中必有一个抽屉,包含有3个余数(抽屉原理),而这三个余数之和或为0,或为3,或为6,故所对应的3个自然数之和是3的倍数.③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中,很显然,必有3个自然数之和能被3整除.例2′:对于任意的11个整数,证明其中一定有6个数,它们的和能被6整除.证明:设这11个整数为:a1,a2,a3……a11又6=2_3①先考虑被3整除的情形由例2知,在11个任意整数中,必存在:3a1+a2+a3,不妨设a1+a2+a3=b1;同理,剩下的8个任意整数中,由例2,必存在:3 a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2;同理,其余的5个任意整数中,有:3a7+a8+a9,设:a7+a8+a9=b3②再考虑b1.b2.b3被2整除.依据抽屉原理,b1.b2.b3这三个整数中,至少有两个是同奇或同偶,这两个同奇(或同偶)的整数之和必为偶数.不妨设2b1+b2则:6b1+b2,即:6a1+a2+a3+a4+a5+a6∴任意11个整数,其中必有6个数的和是6的倍数.例3: 任意给定7个不同的自然数,求证其中必有两个整数,其和或差是10的倍数.分析:注意到这些数队以10的余数即个位数字,以0,1,…,9为标准制造10个抽屉,标以[0],[1],…,[9].若有两数落入同一抽屉,其差是10的倍数,只是仅有7个自然数,似不便运用抽屉原则,再作调整:[6],[7],[8],[9]四个抽屉分别与[4],[3],[2],[1]合并,则可保证至少有一个抽屉里有两个数,它们的和或差是10的倍数.(二)面积问题例1 在边长为1的正方形内,任意给定13个点,试证:其中必有4个点,以此4点为顶点的四边开面积不超过(假定四点在一直线上构成面积为零的四边形)证明(如图)把正方形分成四个相同的小正方形.因13=3_4+1,根据原理2,总有4点落在同一个小正方形内(或边界上),以此4点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积,也就不超过整个正方形面积的例1′:边长为1的正方形中,任意放入9个点,求证这9个点中任取3个点组成的三角形中,至少有一个的面积不超过.解:将边长为1的正方形等分成边长为的四个小正方形,视这四个正方形为抽屉,9个点任意放入这四个正方形中,据原理2,必有三点落入同一个正方形内.现把落在这个正方形中的三点记为D.E.F.通过这三点中的任意一点(如E)作平行线,如图可知:例2:九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为2:3的梯形,证明:这九条直线中至少有三条经过同一点.证明:如图,设直线EF将正方形分成两个梯形,作中位线MN.由于这两个梯形的高相等, 故它们的面积之比等于中位线长的比,即MH:NH .于是点H有确定的位置(它在正方形一对对边中点的连线上,且MH:NH＝２:３). 由几何上的对称性,这种点共有四个(即图中的H.J.I.K).已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须经过H.J.I.K这四点中的一点.把H.J.I.K看成四个抽屉,九条直线当成９个物体,即可得出必定有３条分割线经过同一点.(三)染色问题例1正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色),证明正方体一定有三个面颜色相同.证明:把两种颜色当作两个抽屉,把正方体六个面当作物体,那么6=2_2+2,根据原理二,至少有三个面涂上相同的颜色.例2 有5个小朋友,每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明,这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的.分析与解答首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况,可以有:3黑,2黑1白,1黑2白,3白共4种配组情况,看作4个抽屉.根据抽屉原理,至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色在同一个抽屉里,也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的.例3:假设在一个平面上有任意六个点,无三点共线,每两点用红色或蓝色的线段连起来,都连好后,问你能不能找到一个由这些线构成的三角形,使三角形的三边同色?解:首先可以从这六个点中任意选择一点,然后把这一点到其他五点间连五条线段,如图,在这五条线段中,至少有三条线段是同一种颜色,假定是红色,现在我们再单独来研究这三条红色的线.这三条线段的另一端或许是不同颜色,假设这三条线段(虚线)中其中一条是红色的,那么这条红色的线段和其他两条红色的线段便组成了我们所需要的同色三角形,如果这三条线段都是蓝色的,那么这三条线段也组成我们所需要的同色三角形.因而无论怎样着色,在这六点之间的所有线段中至少能找到一个同色三角形.例3′(六人集会问题)证明在任意6个人的集会上,或者有3个人以前彼此相识,或者有三个人以前彼此不相识.〞例3〞:17个科学家中每个人与其余16个人通信,他们通信所讨论的仅有三个问题,而任两个科学家之间通信讨论的是同一个问题.证明:至少有三个科学家通信时讨论的是同一个问题.解:不妨设A是某科学家,他与其余16位讨论仅三个问题,由鸽笼原理知,他至少与其中的6位讨论同一问题.设这6位科学家为B,C,D,E,F,G,讨论的是甲问题.若这6位中有两位之间也讨论甲问题,则结论成立.否则他们6位只讨论乙.丙两问题.这样又由鸽笼原理知B至少与另三位讨论同一问题,不妨设这三位是C,D,E,且讨论的是乙问题.若C,D,E中有两人也讨论乙问题,则结论也就成立了.否则,他们间只讨论丙问题,这样结论也成立.三．制造抽屉是运用原则的一大关键例1 从2.4.6.….30这15个偶数中,任取9个数,证明其中一定有两个数之和是34.分析与解答我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉:凡是抽屉中有两个数的,都具有一个共同的特点:这两个数的和是34.现从题目中的15个偶数中任取9个数,由抽屉原理(因为抽屉只有8个),必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点,这两个数的和是34.例2:从1.2.3.4.….19.20这20个自然数中,至少任选几个数,就可以保证其中一定包括两个数,它们的差是12.分析与解答在这20个自然数中,差是12的有以下8对:｛20,8｝,｛19,7｝,｛18,6｝,｛17,5｝,｛16,4｝,｛15,3｝,｛14,2｝,｛13,1｝.另外还有4个不能配对的数｛9｝,｛10｝,｛11｝,｛12｝,共制成12个抽屉(每个括号看成一个抽屉).只要有两个数取自同一个抽屉,那么它们的差就等于12,根据抽屉原理至少任选13个数,即可办到(取12个数:从12个抽屉中各取一个数(例如取1,2,3,…,12),那么这12个数中任意两个数的差必不等于12).例3: 从1到20这20个数中,任取11个数,必有两个数,其中一个数是另一个数的倍数.分析与解答根据题目所要求证的问题,应考虑按照同一抽屉中,任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组,看成10个抽屉(显然,它们具有上述性质):｛1,2,4,8,16｝,｛3,6,12｝,｛5,10,20｝,｛7,14｝,｛9,18｝,｛11｝,｛13｝,｛15｝,｛17｝,｛19｝.从这10个数组的20个数中任取11个数,根据抽屉原理,至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系,所以这两个数中,其中一个数一定是另一个数的倍数.例4:某校校庆,来了n位校友,彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况,在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多.分析与解答共有n位校友,每个人握手的次数最少是0次,即这个人与其他校友都没有握过手;最多有n-1次,即这个人与每位到会校友都握了手.然而,如果有一个校友握手的次数是0次,那么握手次数最多的不能多于n-2次;如果有一个校友握手的次数是n-1次,那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0.1.2.….n-2,还是后一种状态1.2.3.….n-1,握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉,到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的〝抽屉〞,根据抽屉原理,至少有两个人属于同一抽屉,则这两个人握手的次数一样多.在有些问题中,〝抽屉〞和〝物体〞不是很明显的,需要精心制造〝抽屉〞和〝物体〞.如何制造〝抽屉〞和〝物体〞可能是很困难的,一方面需要认真地分析题目中的条件和问题,另一方面需要多做一些题积累经验.。

第八章第二讲：抽屉原理.课后练习

教学目标抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。

本讲的主要教学目标是：1．理解抽屉原理的基本概念、基本用法；2．掌握用抽屉原理解题的基本过程；3. 能够构造抽屉进行解题；4. 利用最不利原则进行解题；5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。

知识点拨一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．二、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

（2）定义一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。

我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（2）余数＝x ()()11xn -，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数＝0，结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．模块一、利用抽屉原理公式解题（一）、直接利用公式进行解题（1）求结论【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？【例 2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？【例 3】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．【例 4】 “六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．【例 5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？【例 6】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数．【例 7】任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数．【例 8】任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数(单独一个数也当做和)．【例 9】求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．【例 10】求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a ，b ，c ，d ，e ，f ，使得()()()a b c d e f ---是105的倍数．【例 11】把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17．【例 12】证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识．【例 13】上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例．知识精讲【例 14】 8个学生解8道题目．(1)若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出．(2)如果每道题只有4个学生解出，那么(1)的结论一般不成立．试构造一个例子说明这点.（2）求抽屉【例 15】把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？【例 16】把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？【例 17】某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?（3）求苹果【例 18】班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？【例 19】海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在140厘米到150厘米之间（包括140厘米到150厘米），那么，至少从多少个学生中保证能找到4个人的身高相同？【例 20】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1分，不答不得分。

抽屉原理例题解析

抽屉原理1：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果概念解析1、把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.2、如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个〔也就是至多有1个〕，那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.3、我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相〔指鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。

等十二种生肖〕一样.怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数〔13〕比属相数〔12〕多，因此至少有两个人属相一样〔在这里，把13人看成13个“苹果〞，把12种属相看成12个“抽屉〞〕。

应用抽屉原理要注意识别“抽屉〞和“苹果〞，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。

例题讲解例1 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

例2 一副扑克牌〔去掉两王牌〕，每人随意摸两牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两牌的花况是一样的？解析〔扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2牌的花色可以有：2方块，2梅花，2红桃，2黑桃，1方块1梅花，1方块1黑桃，1方块1红桃，1梅花1黑桃，1梅花1红桃，1黑桃1红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人。

〕例3 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。

抽屉原理

抽屉原理（又名鸽笼原理）什么是“抽屉原理”？举个简单例子来说明：把3个苹果分放在2个抽屉里，必定有1个抽屉里放了2个或2个以上苹果。

这就是“抽屉原理”。

道理很简单，谁都能理解，很容易用反证法证明。

用数学语言表达如下：抽屉原理一：把多于n个物体(n为正整数），放到n个抽屉里，必定有1个抽屉里放2个或2个以上的物体。

抽屉原理二：把多于m×n个物体（m、n为正整数），放到n个抽屉里，必定有1个抽屉里放m+1个或m+1个以上的物体。

以上原理是德国数学家狄利克雷首先发现的，所以也叫狄利克雷原理。

它是一个重要而又基本的数学原理。

应用它可以解决一些有趣的看起来相当复杂的问题。

举两个简单的例子：1．第四次人口普查表明，我国50岁以下的人口已经超过8亿。

试证明：在我国至少有2人的出生时间相差不超过2秒钟。

解：50年的秒数约等于15.8亿秒，设2秒为1个抽屉，抽屉总数小于8亿个，所以至少有2人的出生时间相差不超过2秒钟。

2．某工厂生产一种天平托盘1000付，要求每付两个托盘的重量相差≤1毫克，而该厂的冲床设备生产的产品重量误差是±5毫克，问该厂用这种冲床设备，至少要生产多少个托盘才能配出1000付符合要求的托盘？解：设10个重量相差为1毫克以内的抽屉：（－5＜－4），（－4＜－3），（－3＜－2）……（+3＜+4），（+4≤+5）。

最差的情况是每一个抽屉都是奇数，那么有10个托盘不能配对，所以只要生产2010个合格托盘，就能配出1000付符合要求的托盘。

以下几道题，请读者自己解：1．证明：在25人中，至少有3人属相相同。

2．6个小朋友，每人至少有1本书，一共有20本书，试证明：至少有2个小朋友有相同数量的书。

（提示：如果每人的书数量都不相同，至少要21本书。

）3．在2行5列的2×5的方格子中，随意用红、绿两种颜色染上，证明：不管怎样染，至少有两列着色完全相同.关于抽屉原理关于整除问题a.任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数例1：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。

奥赛起跑线

第1讲抽屉原理（一）1.数学兴趣小组有38人，老师至少拿多少本书，随意分给大家，才能保证至少有1名学生能拿到2本书？2.某小学学生的年龄最大的为13岁，最小的为6岁，至少需要从中挑选多少名同学，就一定能使挑出的同学中有两位同学岁数相同？3.在100米的路段上植树，那么至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？4.任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？5.从1到50的自然数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于52。

这是为什么？6.从1，2，3，4，…，10这10个数中，任取多少个数，可以保证在这些数中一定能找到两个数，使其中一个数是另一个数的倍数？7.从1，2，3，4，…，12这12个数中，任意取出7个数，其中差等于6的数至少有多少对？8.有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各两枝，让一位小朋友任意抓两枝，这位小朋友至少抓多少次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同（每抓一次后又放回，再抓另一次）？9.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每名同学从中任意借两本。

那么，至少多少名同学中一定有两人所借图书的种类相同？10.将一大筐苹果和梨子，分成若干堆。

如果要确保找到这样两堆，其中梨子的总数和苹果的总数都是偶数，那么，最少要把这些苹果和梨分成多少堆？第2讲抽屉原理（二）1.参加数学竞赛的210名同学中，至少有多少名同学是同一个月出生的？2. 一副扑克牌除大、小王之外，还有52张牌，共分4种花色，每种花色有13张，从这52张中任意抽牌，至少从中取出多少张牌，才能保证其中必有4张牌是同一花色？3. 六年级（1）班的40名学生中，年龄最大的是13岁。

最小的11岁，其中必有多少名学生是同年同月出生的？4. 有红、黄、蓝、白4色小球各10个，混合放在一个暗盒里。

一次至少摸出多少个，才能保证有6个小球是同色的？5. 数学爱好者俱乐部有37名同学，他们都订阅了《小学生数学报》、《数学奥林匹克》、《智力》中的一种或几种，那么其中至少有多少名同学所订阅的报刊种类完全相同？6. 5名同学在一起练习投篮，共投进了41个球，那么至少有一个人投进了多少球？7. 李老师从图书馆借来一批图书分给三（1）班48名同学。

判断推理系统课讲义-第二章-类比推理

判断推理系统课讲义第二章类比推理给出一组相关的词，要求通过观察分析，在备选答案中找出一组与之在逻辑关系上最为贴近或相似的词。

常见题型：1.两词型——A∶B2.三词型——A∶B∶C3.填空型——A对于（）相当于（）对于B【注意】类比推理有三大关系：语义关系、逻辑关系、语法关系。

（共10道，需在5-8min内做完，正确率需保证在90%以上。

）第一节语义关系一、近义关系、反义关系近义关系：理想∶梦想锲而不舍∶坚持不懈（成语不会太难）反义关系：勇敢∶懦弱言而有信∶言而无信如果一级关系，即看意思（近反义关系）选不出唯一答案时，需进行二级辨析常见二级辨析：1.感情色彩（褒义、贬义、中性）2.词语结构大同小异【例1】（2017江西）精致∶粗糙【反义词】A.河水∶海水B.山峰∶深渊C.违背∶遵循D.怀疑∶守信【例2】（2016吉林）大义凛然∶卑躬屈膝【反义词；褒贬】A.安分守己∶好高骛远B.穷奢极欲∶节衣缩食C.得心应手∶百无一能D.持之以恒∶虎头蛇尾【例3】（2017国考）生死∶存亡【同义词】A.轻重∶缓急B.亲疏∶长幼C.真伪∶对错D.好坏∶优劣【例4】（2016厦门）成败∶呼吸【内部反义】A.拉扯∶拖拽B.好歹∶始终C.匆忙∶潇洒D.推荐∶录用二：比喻义、象征义比喻义、象征义：把一种事物比喻成另外的事物，或者词语本身的含义同时是另外一种事物的象征。

（无需刻意区分）月亮∶玉盘（比喻）松鹤∶长寿（象征）【例1】（2015联考）沧桑∶白发A.清纯∶酒窝（王宝强）B.稚嫩∶乳牙C.鲁莽∶健壮D.博学∶眼镜（戴眼镜的小学生）【例2】（2015年国考）七寸对于（）相当于（）对于头绪A.尺度线索B.要害眉目C.七步头脑D.关键脉络练习【练1】（2016年春季多省联考）指鹿为马：颠倒黑白【近义词】A．师心自用：固执己见B．目无全牛：鼠目寸光C．不以为然：不屑一顾D．不孚众望：众望所归（师心自用、固执己见、刚愎自用均表示自以为是）【练2】（2015年云南事业单位）邯郸学步：东施效颦【近义词；都是贬义】A．如法炮制：依样葫芦B．循规蹈矩：步人后尘C．滥竽充数：鱼目混珠D．兔死狐悲：狗仗人势【练3】（2016年广东）陈词滥调：老生常谈【近义词；贬义、中性】A．按部就班：循序渐进B．博闻强识：见多识广C．见义勇为：助人为乐D．八面玲珑：面面俱到【练4】（2014年春季多省联考）荆棘：困难【象征；前者为名词】A．布衣：学生B．折柳：惜别C．心腹：信任D．桎梏：束缚【练5】（2015陕西）古为今用∶天罗地网A.阴晴圆缺∶里应外合B.左顾右盼∶深入浅出C.好逸恶劳∶旗开得胜D.刻舟求剑∶叶公好龙第二节逻辑关系一：全同关系【例1】（2015国考）春夏秋冬∶四季【全同】A.喜怒哀乐∶情绪 B.赤橙黄绿∶颜色C.早中晚∶一天D.东南西北∶四方练习【练1】（2015春季多省联考）五行：木火土金水A ．五经：诗书礼易大学B ．五音：宫商韵征羽C ．五色：青黄赤白绿D ．五味：酸苦甘辛咸【练2】（2013年浙江）岳父：丈人【全同】A ．舅舅：外甥B ．姨妈：婶婶C ．伯父：侄子D．祖母：奶奶浪漫∶罗曼蒂克老鼠∶耗子二：并列关系【例1】（2015河南）开∶关【矛盾】A.小麦∶水稻 B.痛苦∶快乐（反对）C.盈利∶非盈利D.工作∶休息【例2】（2014江苏）（）之于钢琴相当于乒乓球之于（）A.舞台∶球台 B.手风琴∶足球C.音乐家∶运动员D.琴声∶喝彩【例3】（2015江苏）人民币∶美元∶欧元A.海鲜∶海鸥∶海滩 B.贵州∶杭州∶常州C.兰花∶牡丹∶菊花D.宽恕∶品性∶诚信练习【练1】（2016年吉林）动：静【矛盾】A.东∶西B.贫：富（小康、中产）1.矛盾关系：例：生∶死对称∶不对称2.反对关系：例：苹果∶香蕉红色∶白色C.黑∶白D.曲∶直【练2】（2017年春季多省联考）番茄之于（）相当于（）之于蹴鞠A.美洲∶中国 B.炒饭：健身C.植物∶人类D.白菜∶篮球【练3】（2016年政法干警）（）之于钢琴相当于马褂之于（）A.羌笛∶长袍 B.胡琴：西服C.京剧∶长裙D.琴键∶唐装三、包容关系1.种属关系：A是B的一种苹果∶水果2.组成关系：A是B的一个组成部分轮胎∶汽车【例1】（2017吉林）快餐∶中式快餐∶日式快餐A.团队∶队长∶队员B.行为∶合法行为∶非法行为C.颜色∶黑色∶白色D.体育课∶音乐课∶英语课【例2】（2015天津）衣服∶衣领∶衣袖A.鱼∶鱼头∶鱼尾B.警察∶刑警∶交警C.音乐∶古典音乐∶流行音乐D.人民币∶美元∶韩币【例3】（2015政法干警）针筒∶注射器∶医疗器械A.飞机∶螺旋桨∶推进装置B.潜艇∶核潜艇∶核反应堆C.齿条∶千斤顶∶起重设备D.泳衣∶比基尼∶游泳服饰练习【练1】（2015年国考）音符：乐谱：五线谱A.笔画∶汉字∶金文B.树木∶森林∶自然C.稻穗∶稻谷∶香米D.卫星∶星云∶宇宙【练2】（2015年国考）八卦：乾坤A.九族∶师生 B.七情∶情志C.五音∶宫商D.四书∶五经【练3】（2017年春季多省联考）麻雀：动物：生物链A.豆浆∶早餐∶豆制品 B.开水∶纸杯∶便利品C.发卡∶首饰∶妆扮品D.钢笔∶电脑∶办公品【练4】（2017年春季多省联考）进士：状元A.河水∶海水 B.银河∶天文C.学位∶博士D.宪法∶民法四、交叉关系【例1】（2017四川）花瓶∶瓷器A.电视机∶电器 B.中药∶植物C.画作∶诗篇D.桌子∶八仙桌练习【练1】（2017年江苏）文物：建筑A.烹饪∶佐料 B.故宫∶楼房C.诗人∶教授D.皮鞋∶布鞋【练2】（2014年河北，2015年北京事业单位）大学校长：教授【交叉】A.编剧∶诗人B.白洋淀∶衡水湖女士∶公务员C.市长∶市政府D.刑警∶消防队员五、对应关系【例1】（2015国考）小麦∶馒头【原材料】A.麋鹿∶麝香 B.叶绿体∶细胞C.乌贼∶墨汁D.棉花∶布鞋【例2】（2015河北）烧∶泥∶陶瓷A.砸∶玉∶手镯 B.水∶鱼∶鸬鹚C.淬∶铁∶剑D.土∶树∶树化石【例3】（2016广东）玉石∶雕琢∶玉器【原材料；加工工艺；物理变化】A.蚕丝∶织造∶丝绸 B.粮食∶酿造∶美酒C.生铁∶冶炼∶钢材D.蚊香∶点燃∶烟雾【例4】（2014国考）木材∶抽屉∶收纳【原料；主要功能】A.钢铁∶剪刀∶切割 B.棉花∶毛线∶保暖C.城墙∶石头∶防御D.橡胶∶气垫∶缓冲【例5】（2017国考）白醋∶消毒【次要功能】A.热水器∶加热B.汽油∶去渍例：白酒∶发酵例：银行卡∶支付例：盐∶咸例：学习∶考试例：航行∶航线例：炎热∶中暑例：老师∶上课例：小麦∶馒头1.材料2.工艺3.功能4.属性5.时间顺序6.依据7.因果8.职业高频对应关系：C.白糖∶调味D.人参∶滋补【例6】（2016联考）黄连∶苦涩【必然属性】A.班级∶团结B.钻石∶坚硬C.花朵∶鲜红D.城市∶繁华【例7】（2016国考）素描∶单色∶绘画【特点】A.色素∶食品∶添加剂B.书签∶阅读∶工具C.变脸∶表演∶艺术D.新闻∶纪实∶文体【例8】（2016江苏）规划∶实施∶验收【时间顺序】A.诉讼∶审判∶取证 B.销售∶宣传∶生产C.投标∶开标∶招标D.播种∶管理∶收获【例9】（2014河南）报警∶救援【先后；主体】A.违章∶罚款B.毕业∶就业C.消费∶生产D.手术∶住院【例10】（2014国考）抽样调查∶抽样原则【依据】A.调查问卷∶征求意见 B.人物访谈∶访谈内容C.数学模型∶建模软件D.设备操作∶操作规程【例11】（2017国考）教案对于（）相当于（）对于分类A.课件信息 B.教学归类C.提纲商品D.授课标准【例12】（2017江西）失之毫厘∶谬以千里【因果】A.三十六计∶走为上计 B.召之即来∶挥之即去C.种瓜得瓜∶种豆得豆D.前人栽树∶后人乘凉练习【练1】（2016年春季多省联考）鱼饵∶鱼竿【配套使用】A.笔∶书籍B.写诗∶笔C.锅铲∶炒锅D.电脑∶无线路由器【练2】（2015年国考）铁匠∶火炉∶镰刀【中间为工具】A.医学家∶试管∶药剂B.记者∶摄像机∶新闻稿C.科学家∶科技文献∶新产品D.网民∶互联网∶营销【练3】（2017年春季多省联考）面粉∶面包∶充饥A.芦苇∶纸∶书写B.黄金∶戒指∶婚戒C.轮胎∶汽车∶运输D.琉璃∶屏风∶装饰【练4】（2016年国考）重力对于（）相当于（）对于昼夜交替A.物体质量月圆月缺 B.潮汐地球公转C.地球月球D.自由落体地球自转【练5】（2017年春季多省联考）盲动∶一败涂地∶重起炉灶【因果；先后】A．超速∶风驰电掣∶按部就班B．跟风∶鹦鹉学舌∶真知灼见【练6】（2016年河南）报名∶培训∶结业【先后】A．高考∶招生∶毕业B．设计∶产品∶使用C．驾驶∶公路∶旅行D．挂号∶看病∶痊愈【练7】（2017年国考）故人西辞黄鹤楼对于（）相当于（）对于怀古A.出游越王勾践破吴归 B.场所千古兴亡多少事C.送别折戟沉沙铁未销D.离别西出阳关无故人【练8】（2017年春季多省联考）爸爸∶叔父∶兄弟A．哥哥∶婶婶∶夫妻B．妈妈∶嫂子∶婆媳C．姨妈∶伯伯∶兄妹D．奶奶∶姑姑∶子女（母女）【练9】（2016年山东）春雨∶杏花∶江南A．夏荷∶烈日∶江北B．秋风∶腊梅∶华北C．秋霜∶枯草∶塞外D．冬雪∶牡丹∶边疆【练10】（2017年春季多省联考）水对于（）相当于（）对于光合作用A.生命二氧化碳 B.水蒸气阳光C.空气氧气D.灌溉土壤【练11】（2016四川）面粉∶鸡蛋∶蛋糕【原材料】A.香蕉∶西瓜∶水果B.纸张∶打印机∶文件C.菊花∶茱萸∶重阳D水泥∶钢筋∶房屋【练12】（2017联考）储存∶光盘∶硬盘【主要功能】A.晾晒∶绳索∶衣架B.吃饭∶钢叉∶锅铲C.书写∶签字笔∶毛笔D.游泳∶泳圈∶泳衣第三节语法关系1.主谓关系例：学生∶学习学生是主语，学习是谓语。

第八章第二讲：抽屉原理.课后练习

第⼋章第⼆讲：抽屉原理.课后练习抽屉原理是⼀种特殊的思维⽅法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。

本讲的主要教学⽬标是：1．理解抽屉原理的基本概念、基本⽤法； 2．掌握⽤抽屉原理解题的基本过程； 3. 能够构造抽屉进⾏解题； 4. 利⽤最不利原则进⾏解题；5.利⽤抽屉原理与最不利原则解释并证明⼀些结论及⽣活中的⼀些问题。

⼀、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷⾸先明确提出来并⽤来证明⼀些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中⼀个重要⽽⼜基本的数学原理，利⽤它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令⼈惊奇的作⽤．许多看起来相当复杂，甚⾄⽆从下⼿的问题，在利⽤抽屉原则后，能很快使问题得到解决．⼆、抽屉原理的定义（1）举例桌上有⼗个苹果，要把这⼗个苹果放到九个抽屉⾥，⽆论怎样放，有的抽屉可以放⼀个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现⾄少我们可以找到⼀个抽屉⾥⾯⾄少放两个苹果。

（2）定义⼀般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉⾥，其中必定⾄少有⼀个抽屉⾥⾄少有两个苹果。

我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题⽅案（⼀）、利⽤公式进⾏解题苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1，结论：⾄少有（商＋1）个苹果在同⼀个抽屉⾥（2）余数＝x ()()11x n - ，结论：⾄少有（商＋1）个苹果在同⼀个抽屉⾥（3）余数＝0，结论：⾄少有“商”个苹果在同⼀个抽屉⾥（⼆）、利⽤最值原理解题将题⽬中没有阐明的量进⾏极限讨论，将复杂的题⽬变得⾮常简单，也就是常说的极限思想“任我意”⽅法、特殊值⽅法．模块⼀、利⽤抽屉原理公式解题（⼀）、直接利⽤公式进⾏解题（1）求结论知识精讲知识点拨教学⽬标【例 2】向阳⼩学有730个学⽣，问：⾄少有⼏个学⽣的⽣⽇是同⼀天？【例 3】三个⼩朋友在⼀起玩，其中必有两个⼩朋友都是男孩或者都是⼥孩．【例 4】“六⼀”⼉童节，很多⼩朋友到公园游玩，在公园⾥他们各⾃遇到了许多熟⼈．试说明：在游园的⼩朋友中，⾄少有两个⼩朋友遇到的熟⼈数⽬相等．【例 5】在任意的四个⾃然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？【例 6】证明：任取8个⾃然数，必有两个数的差是7的倍数．【例 7】任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数．【例 8】任意给定2008个⾃然数，证明：其中必有若⼲个⾃然数，和是2008的倍数(单独⼀个数也当做和)．【例 9】求证：可以找到⼀个各位数字都是4的⾃然数，它是1996的倍数．【例 10】求证：对于任意的8个⾃然数，⼀定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得()()()---a b c d e f是105的倍数．【例 11】把1、2、3、…、10这⼗个数按任意顺序排成⼀圈，求证在这⼀圈数中⼀定有相邻的三个数之和不⼩于17．【例 12】证明：在任意的6个⼈中必有3个⼈，他们或者相互认识，或者相互不认识．【例 13】上体育课时，21名男、⼥学⽣排成3⾏7列的队形做操．⽼师是否总能从队形中划出⼀个长⽅形，使得站在这个长⽅形4个⾓上的学⽣或者都是男⽣，或者都是⼥⽣?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例．【例 14】8个学⽣解8道题⽬．(1)若每道题⾄少被5⼈解出，请说明可以找到两个学⽣，每道题⾄少被过两个学⽣中的⼀个解出．(2)如果每道题只有4个学⽣解出，那么(1)的结论⼀般不成⽴．试构造⼀个例⼦说明这点.（2）求抽屉【例 15】把⼗只⼩兔放进⾄多⼏个笼⼦⾥，才能保证⾄少有⼀个笼⾥有两只或两只以上的⼩兔？【例 16】把125本书分给五⑵班的学⽣，如果其中⾄少有⼀个⼈分到⾄少4本书，那么，这个班最多有多少⼈？【例 17】某班有16名学⽣，每个⽉教师把学⽣分成两个⼩组．问最少要经过⼏个⽉，才能使该班的任意两个学⽣总有某个⽉份是分在不同的⼩组⾥?（3）求苹果【例 18】班上有50名⼩朋友，⽼师⾄少拿⼏本书，随意分给⼩朋友，才能保证⾄少有⼀个⼩朋友能得到不少于两本书？【例 19】海天⼩学五年级学⽣⾝⾼的厘⽶数都是整数，并且在140厘⽶到150厘⽶之间（包括140厘⽶到150厘⽶），那么，⾄少从多少个学⽣中保证能找到4个⼈的⾝⾼相同？【例 20】⼀次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1分，不答不得分。

抽屉原理

抽屉原理一、抽屉原理的定义（1）举例桌上有10个苹果，要把这10个苹果放到9个抽展里，无论怎样放，有的抽屉可以放1个，有的可以放2个，有的可以放5个，但最终我们会发规至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

（2）定义一般情况下，把n+1或多于n+1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。

我们称这种现象为抽屉原理。

二、抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题苹果÷抽屉=商……余数余数：（1）余数=1，结论：至少有（商+1）个苹果在同一个抽屉里（2）余数=x至少有（商+1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数=0，结论至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（ニ）、利用最值原理解题（最不利原则：一切最不利情况+1=成功）将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法。

类型：“必有2个”原理；必有m+1个”原理要点：最不利原则；保证与至少精讲例题一：某校六年级有367名学生，请问有没有2名学生的生日是在同一天?为什么?【思路导航】把一年的天数看成是抽屉，把学生数看成是元素即至少有2名学生的生日是在同一天。

把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，至少在一个抽屉里有2名学生，因此肯定有2名学生的生日是在同一天。

试一试：1.某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2名学生的生日是在同一天，为什么?2.某校有30名学生是2月份出生的。

能否至少有2名学生的生日是在同一天?3.15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生?精讲例题二：某班学生去买语文书、数学书、英语书。

买书的情况是:有买一本的、两本的，也有买三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有2名学生买到相同的书?(每种书最多买一本)试一试：1.某班学生去买数学书、语文书、美术书、自然书。

买书的情况是：有买一本的，有买两本的，有买三本、四本的。

问至少去几名学生才能保证一定有2名学生买到相同的书?(每种书最多买一本)2学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。

抽屉原理

抽屉原理一．什么是抽屉原理？实例1：把3个苹果放在两个抽屉里，不论怎样放，“必有一个抽屉里至少放了2个苹果”。

实例2：把七只山雀,任意装入3只鸟笼内，则其中必有一只鸟笼至少装有3只山雀。

上述问题共同点都是在“任意放入”的条件下，得出“必然的结论”，这就是抽屉原理的基本思想二．抽屉原理的几种常见形式原理1。

把m 件物体，任意放在)(m n n <个抽屉里，则其中必有一个抽屉里至少放有两件物体。

原理2。

把)1(≥+k k mn 个物体放进n 个抽屉，则至少有一个抽屉里要放进1+m 个或更多个物体原理3。

把)1(321≥++++k k m m m m n 个物体放入n 个抽屉里，那么或在第一个抽屉里至少放入11+m 个物体，或在第二个抽屉里至少放入12+m 个物体，……，或在第n 个抽屉里至少放入1+n m 个物体。

原理4。

把m 个物体任意放在n 只抽屉里，那么总有一只抽屉里，至多有⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m 个物体。

三．构造抽屉的几种常用方法在运用抽屉原理解题时，怎样才能构造出符合条件的抽屉呢？关键要合理地进行分类，无论怎样分类，都应当先确定分类的对象，再确定分类的标准，下面就常见的的设计抽屉的方法介绍如下1．分割图形构造抽屉例1．在边长为1的正三角形中任意放置五个点，则必有两点，它们之间的距离不超过21。

分析：在正三角形内（包括边界）任意两点间的距都不超过其边长（其它多边形无此性质），根据这个性质，如果能把原来正三角形划分为四个边长为21的正三角形即可解：设正三角形ABC 边长为1，连接三边中点DE 、EF 、FD ，则构成四个边长为21的小正三角形，任意放置五个点，依据抽屉原理，至少在一个小正三角形内（包括边界）不少于两点，它们之间的距离不大于小正三角形的边长。

即证。

例2．在一个边长为1的正方形内任意给定9点，求证：在以这些点为顶点的各个三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于81。

分析：首先要考虑这个正方形需要分割几块，才能保证在某一块里至少有3个点，根据抽屉原理319=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k ，可知,4=k 这就是说，把正方形分割成4块，证明：将正方形分成四个面积为41的小正方形，根据抽屉原理2，至少有一个小正方形EFGH 所含（在内部或周界上）的给定点不少于3149=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡个，设为A 、B 、C ，显然，若A 、B 、C共线，则命题成立，如果它们不共线，总可以用如图的方法将ABC ∆部分，那么212121==+≤+=∆∆∆EFGH MFGN EMNH CBD ABD ABC S S S S S S例3．把93⨯的矩形分成27个单位小方格，将每个小方格任意涂上红色或蓝色。

第2讲抽屉原理2

190 人。这些新生中，例1 今年入学的一年级新生有 181 至少有多少人是同一个月出生的？
去年有12个月，把这12个月看做12个抽屉，把181个新生出生的月份看做 181个苹果。
解：由于181＝15×12＋1，根据抽屉原理（原则Ⅱ），这些新生中，至少有15＋ 1=16（人）是同一个月出生的。
抽屉原理：
抽屉原理二
——常熟国际学校马思影
现在，我们很容易做出这样的判断：在13名同学中至少有2人是同一个月出生的。如果有49名同学，那么他们当中至少有几名是同一个月出生的呢？
要回答这个问题，需要运用抽屉原理的另一条原则。
原则Ⅱ 如果把m×n＋k（k≥1）件东西放入n个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有m＋1件东西。
解:因为要求10次所摸的结果相同，根据原则，至少要摸 9x10＋1＝9览甲、乙、丙三地。至少有多少人游览的地方完全相同？
思路点拨：随意游览，可以去某地，也可以不去某地。可以假设某人去某地记作1，不去某地记作0。那么，某人游览甲、乙、内三地的方式可以有几种情况呢？有2x2x2＝8（种）。把这8种情况看做8个抽屉，把50个人看做50个苹果。
思考与练习（每题10分，共100分） 1．参加数学竞赛的210名同学中，至少有多少名同学是同一个月出生的？ 2．一副扑克牌除大、小王之外，还有52张牌，共分4种花色，每种花色有 13张，从这52张中任意抽牌，至少要抽多少张牌，才能保证有4张牌是同一花色的？ 3．六年级（1）班的40名学生中，年龄最大的13岁，最小的11岁，其中必有多少名学生是同年同月出生的？
总结与提示
运用抽屉原理的原则Ⅱ，关键仍然是“制造抽屉”和确定抽屉的个数。
“制造抽屉”＂的基本思路是分类，确定抽屉的个数有时需要应用计数的基本方法与原理。

小学数学奥数基础教程(四年级)目30讲全[1]

小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

求这10名同学的总分。

分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。

观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。

我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。

于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。

实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。

为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。

备用

（2）求抽屉
把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？【解析】本题需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最“坏”情况的结合。子页１最坏的情况是只有1个人分到4本书，而其他同学都只分到3本书，则（125-4）/3=40…1，子页３因此这个班最多有： 40+1=41(人）
2
从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张扑克牌任意抽牌。（1）从中抽出18张牌，至少有几张是同花色？ 18÷4=4（张）… …2 （张） 4+1=5（张）答：至少有5张是同花色。（2）从中抽出20张牌，至少有几张数字相同？ 20÷13=1（张）… …7（张） 1+1=2（张）答：至少有2张数字相同。
第二讲抽屉原理
例1：某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？
为什么？
分析解答：
把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。把 367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。平年一年有365天，闰年一年有366天。把天数看做抽屉，共 366个抽屉。把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。
（3）求苹果
班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？【解析】把50名小朋友当作50个“抽屉”，子页１把书放在50个抽屉中，要想保证至少有一个抽屉中有两本书，根据抽屉原理，书的数目必须大于 50，而大于50的最小整数是50+1=51，子页３所以至少要拿51本书．
第五讲追及问题
第五讲追及问题

华杯赛知识

1、华杯赛的考试时间及如何报考？时间：初赛在每年3月的第二个星期六；复赛在每年4月的第二个礼拜六。

总决赛在7月进行（今年因H1N1推迟）报考：市奥校可以全部进入初赛，每个学校会依据上一届的获奖情况有少量名额（比如上一届有3位获奖，今年可能有3到5个名额）；进入总决赛的另一途径：报名参加华杯赛冬令营（在每年1月份进行，一等奖可以直接进入华杯赛全国个人总决赛）2、华杯赛到底有多难？国内的所有杯赛都来自于民间组织。

一个杯赛的价值取决于试题的含金量和举办形式的正规程度，从这两方面来看，华杯赛可以说是行业内的标杆。

在国内风行的几大赛事有：希望杯、华杯赛、迎春杯。

其中希望杯是一种普及型比赛，考试难度低、按地区评奖使得更多的人能参与，更多的人能获奖；迎春杯在2003年左右初势头正旺，一奖在手，红遍京城；现在的华杯有一样的势头，其试题和迎春杯类型相仿，知识点覆盖全，非常经典。

其试题不完全是难，而是巧妙，真正能学懂的人不但能开阔思路，对中学的理科学习也有极大帮助。

与之形成对比的是，日本算术奥林匹克竞赛（绝大多数试题由中国提供）则让很多华杯选手郁闷，因为很多试题无处下手，与复习方向有关，不再一一赘述。

3、如何准备华杯赛？首先从时间上来看，最迟的准备时间是五升六的暑假。

这个意思是说，在9月之前之前已经有一些奥数基础，对和差、和倍、差倍、年龄、植树、鸡兔、盈亏、行程工程、百分比、数论、几何、抽屉等知识点有个基本的了解。

那么对2010年小升初的学生而言，在华杯考试之前的复习思路如何呢？暑假是一个节点，首先在暑假的时候要对五年级和之前的知识点进行系统复习，查找漏洞。

比如：数字迷、数论里的同余、抽屉原理的多个类型等（涉及华杯赛初赛的难度）；秋季进行专题复习：结合华杯赛考察的知识点和华杯复赛的考察难度进行讲解，寒假进行真题演练，这样下来，如果把前面的题目搞清楚，华杯赛得奖是情理之中的事情。

4、揭开黑马的学习方法有人不解：我家的娃学奥数都快4年了，为什么奥数题目还是一塌糊涂，而邻居家的那谁为什么才学了一年，就得了华杯赛一等奖？这其中一定有偶然性。

小学奥数- 抽屉原理

抽屉原理教学目标抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。

本讲的主要教学目标是：1．理解抽屉原理的基本概念、基本用法；2．掌握用抽屉原理解题的基本过程；3.能够构造抽屉进行解题；4.利用最不利原则进行解题；5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。

（2）定义一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。

我们称这种现象为抽屉原理。

小学数学奥数基础教程(五年级)目30讲全

小学奥数基础教程(五年级)第1讲数字迷（一）第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第2讲数字谜（二）这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。

例1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相分析与解：这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个（100000+x）×3=10x+1，300000+3x=10x+1，7x=299999，x=42857。

这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。

我们再看几个例子。

例2 在□内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。

求竖式。

例3 左下方的除法竖式中只有一个8，请在□内填入适当的数字，使除法竖式成立。

解：竖式中除数与8的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位数，所以x=112，被除数为989×112=110768。

右上式为所求竖式。

代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。

例4 在□内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。

分析与解：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）。

可以看出，除数与商的后三位数的乘积是1000=23×53的倍数，即除数和商的后三位数一个是23=8的倍数，另一个是53=125的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是8的倍数。

第2讲苹果与抽屉(一)

熊大在圣诞节的第二天打开放在床头上的袜子发现里面有一些一样大小的亮晶晶的玻璃小球其中白色球有5个绿色球有4个橙色球有6个熊大闭着眼睛从袜子里摸球至少要摸出多少个球才能保证摸到3个同样颜色的球
第二讲
四年级春季北师大版课件
苹果与抽屉（一）
数学教研组编写
01
小热身
1． 3 个小朋友一起玩游戏，这 3 个人中至少有______个人性别相同．
※ “哈佛班”组织全班 45 人进行体育比赛，项目有跳高、跳远、铅球三项，规定每人至少参加一项，最多参加两项，那么至少有几个人参加的项目完全相同？
【答案】8 个【解析】参加一项：3 种，参加两项：3 种，共 6 种参加方式；
45÷6＝7（个）……3（个），7＋1＝8（个）．
2．把几个苹果放在 3 个抽屉里，至少需要_______个苹果，才能保证至少有一个抽屉里有 2 个苹果．
3．在一个口袋中有 3 个黑球，2 个白球，问：至少要取出_____个球才能保证其中一定有白球. 【答案】2；4；4
02
典型例题
在任意的 27 人中，至少有多少人的属相相同？
【答案】3 人【解析】27÷12＝2（人）……3（人），2＋1＝3（人）．
如图，将一个 3×5 的方格纸的每一个方格染成黑色或红色，不管怎样染，至少有多少格的颜色是一样的？
【答案】8 格【解析】3×5÷2＝7（格）……1（格），7＋1＝8（格）．
在四年级的所有学员中，至少选出多少名学员，才能保证有两名学员的属相相同？
【答案】13 名【解析】1×12＋1＝13（名）．
乐宝至少要拿出多少个苹果，才能保证至少有一个小朋友能吃到两个苹果？（不包括乐宝）
【答案】15 个【解析】1×14＋1＝放在床头上的袜子，发现里面有一些一样大小的亮晶晶的玻璃小球，其中白色球有 5 个，绿色球有 4 个，橙色球有 6 个，熊大闭着眼睛从袜子里摸球，至少要摸出多少个球才能保证摸到 3 个同样颜色的球？

第2讲 苹果与抽屉(一)

六年级奥数备课(3)

抽屉原理(高一数学讲座)

第八章第二讲：抽屉原理.课后练习

抽屉原理例题解析

抽屉原理

奥赛起跑线

判断推理系统课讲义-第二章-类比推理

第八章第二讲：抽屉原理.课后练习

抽屉原理

抽屉原理

第2讲抽屉原理2

小学数学奥数基础教程(四年级)目30讲全[1]

备用

华杯赛知识

小学奥数- 抽屉原理

小学数学奥数基础教程(五年级)目30讲全

第2讲 苹果与抽屉(一)

第2讲苹果与抽屉(一)

第2讲苹果与抽屉(一)