初三上学期一元二次方程-韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系(含解析)
中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系（含解析）一、单选题1.若、是一元二次方程的两根，则的值是（）A.-2B.2C.3D.12.一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A.﹣2B.2C.4D.﹣33.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（）A.-7B.-3C.7D.34.若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1 ，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（）A.3B.-3C.2D.-25.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.设x1 ，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（）A.6B.8C.1D.127.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()A.－1B.－2C.1D.28.方程x2+2x-4=0的两根为x1 ，x2 ，则x1+x2的值为（）A.2B.－2C.D.－9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（）A.5B.7C.8D.1010.假如a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b 的值为（）A.-8B.8C.-16D.1611.假如是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）A.B.C.D.二、填空题12.设x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=________.13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0的两根为x1 ，x2 ，则x1*x2=________．14.若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为________．15.若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是_____ ___．16.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是________．17.若方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2 ，则代数式x1+x2﹣x 1x2=________．18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程________．三、运算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．四、解答题21.已知关于x的方程x2+x+a﹣1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ，x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．请依照该材料解题：已知x1 ，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求+和x12x2+x1x22的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【分析】∵一元二次方程的两根分别是、，∴==3．故选C．2.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x﹣a=0的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，解得：x1=﹣2．即方程的另一个根是﹣2．故选：A．【分析】依照一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．3.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，代入所求式子中运算即可求出值．【解答】∵x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，∴m+n=5，mn=2，则m+n-mn=5-2=3．故选D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练把握根与系数的关系是解本题的关键．4.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：依照题意得x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，∴m=3．故选A．【分析】依照根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x 1﹣1）（x2﹣1）=﹣1得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，即，则a=c，∴只有②是正确的，③没有实数根．故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，可得出答案。
一元二次方程韦达定理、根与系数的关系练习+答案
韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x的方程2x2-3x，m=0，当_______________ 时，方程有两个正数根；当m ____________ 时，方程有一个正根，一个负根；当m ___________ 时，方程有一个根为0。
2、已知一元二次方程2x2 - 3x -1 = 0的两根为x-i、x2，则x< x2 = __________ .3、如果X i，X2是方程x2-5x ■ 6 = 0的两个根，那么X i・X2 = _______________ .4、已知x i，X2是方程X2+6X+3=0的两实数根，则竺+殂的值为____________ .x1 x25、设x-i、x2是方程2x2，4x-3=0 的两个根，贝U (x-i 1)(x2 1) = _______ .& 若方程 2X2-4X-3=0 的两根为：•、一：，则a2-2ap，/ = ___________ .17、已知x1> x2是关于x的方程(a -1)x2 x a20的两个实数根，且为+ x2= 一，则3% X2 _______ .8、已知关于x的一元二次方程mx2-4x-6=0的两根为x1和x2，且为• x2 - -2，贝U m =____ ，占■ x2 MX?二__________ 。
9、若方程2x2 -5x • k = 0的两根之比是2: 3,则k二_________ .10、如果关于x的方程x2 6x ^0的两根差为2,那么k二________________ 。
11、___________________________________________________________ 已知方程2x2，mx-4=0两根的绝对值相等，则m = __________________________________________ 。
12、__________________________________________________________ 已知方程x2-mx ■ 2=0的两根互为相反数，则m = ________________________________________ 。
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题4(附答案详解)
（2）关于 x 的一元二次方程 kx2+（k﹣1）x﹣3=0 有一个根为 3，求 k 的值及另一个根．
26．己知：负整数 a 是关于 x 的方程 x2 2bx a 0 的一个根． （1）则 a 2b = __________． （ 2 ）当 2a b 3 的值是非负数时，试说明方程 (a b)x2 2(m 1)x m(m 2) 0
28．已知一元二次方程 x2 2x m 1 0 ．
1 若方程有两个实数根，求 m 的范围； 2 若方程的两个实数根为 x1 ， x 2 ，且 x1 3x2 2m 8 ，求 m 的值．
29．已知关于 x 的方程 x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0 有两个不相等的实数根，试判断直线 y ＝(2m－3)x－4m＋7 能否经过点 A(－2，4)，并说明理由．
【分析】
根据根与系数的关系即可得出 α+β 的值．
【详解】
∵一元二次方程 x2﹣3x=1，即 x2﹣3x﹣1=0 的两个实数根为 α，β，
∴α+β=3．
故选 A． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则 x1+x2=
﹣ ，x1•x2= ．
8．定义运算：a⋆ b=2ab．若 a，b 是方程 x2+x-m=0(m＞0)的两个根，则(a+1)⋆ a -(b+1)⋆ b
的值为（ ）
A．0 B．2 C．4m D．-4m
9．若关于 x 的一元二次方程 x2 mx m 4 0 有一根为 0，则 m 的值为
A．4
B． 4
C．2
D． 2
10．若关于 x 的一元二次方程 2x2 4x m 0 有两个相等实数根，则 m 的值是（ ）
初三数学根与系数的关系练习题
初三数学根与系数的关系练习题请根据下列问题，计算方程的根与系数之间的关系，并作出解答。
问题一：已知一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根为 $x_1$ 和 $x_2$，求证：1. $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$2. $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$解答一：1. 设二次方程的根为 $x_1$ 和 $x_2$，根据求根公式可得：\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]将 $x_1$ 和 $x_2$ 相加：\[x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\]\[x_1 + x_2 = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}\]所以，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
2. 将 $x_1$ 和 $x_2$ 相乘：\[x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) \cdot\left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{c}{a}\]所以，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。
因此，已证明了问题一中的两个关系式。
问题二：已知一元三次方程 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 的根为 $x_1, x_2, x_3$，求证：1. $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$2. $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$3. $x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{c}{a}$解答二：1. 设三次方程的根为 $x_1, x_2, x_3$，根据求根公式可得：\[x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a}\]所以，$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$。
根与系数关系例题附答案
根与系数关系专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根，则为x 1、x 2，则α2+β2的值为（ ） A ．﹣7 B ．25 C ．17 D ．1【答案】B 【分析】根据韦达定理可得α＋β＝-3，αβ＝-8，再根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根， ∴α＋β＝-3，αβ＝-8，∴α2+β2=（α＋β）2-2αβ＝9+16=25， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ．2．一元二次方程240x kx +-=的一个根是1x =-，则另一个根是（ ） A ．4 B ．-1 C ．-3 D ．-2【答案】A 【分析】设方程的另一个根为m ，由根与系数的关系即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m ， 则有m ×（-1）=-4， 解得：m =4． 故选：A ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于ca是解题的关键．3．已知,m n 是方程2310x x +-=的两根，则24m m n ++的值为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．4【答案】A 【分析】,m n 是方程2310x x +-=的两根,则有2310m m +-=，3m n +=-，将原式变形代入求解即可． 【详解】解：∵,m n 是方程2310x x +-=的两根 ∴2310m m +-=，3m n +=- ∴231m m +=∴22+4+=3=132m m n m m m n +++-=- 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键．4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则x 12﹣2017x 1﹣2018x 2的值为（ ） A ．2020 B ．2019 C ．2018 D ．2017【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得21110x x +-=，根与系数的关系求得12x x +1=-，代入求解即可． 【详解】x1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，∴21110x x +-=，12x x +1=-，()()2111220181201812019x x x x ∴=+-+=-⨯-=原式．故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 5．已知实数a ，b 满足a ≠b ，且a 2－4a ＝b 2－4b ＝2，则a 2＋b 2的值为（ ） A ．16 B ．20 C ．25 D ．30【答案】B 【分析】根据题意可得则,a b 为2x 4x 2-=的两根，进而根据一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可． 【详解】242a a -=，242b b -=，则,a b 为2x 4x 2-=的两根 2420x x --=， 4,2a b ab ∴+==-，()222216420a b a b ab ∴+=+-=+=，故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，理解,a b 为2x 4x 2-=的两根是解题的关键．6．等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +k +2＝0的两根，则k 的值为（ ） A ．30 B ．34或30C ．36或30D ．34【答案】D 【分析】分三种情况讨论，①当a =4时，②当b =4时，③当a=b 时；结合一元二次方程根与系数的关系即可求解； 【详解】解：当4a =时，440448b -=<<+=时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412b ∴+=， 8b ∴=不符合；当4b =时，440448a -=<<+=，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 1222a b ∴==， 6a b ∴==，236k ab ∴+==，34k ∴=； 故选D ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 7．方程2x 2+（k +1）x －6=0的两根和是－2，则k 的值是（ ） A ．k =3 B ．k =－ 3 C ．k =0 D ．k =1【答案】A 【分析】设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ，则由题意得12122k x x ++=-=-，解方程即可． 【详解】解：设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ， ∵方程22(1)60x k x ++-=的两根之和是-2， ∴12122k x x ++=-=-， ∴3k =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 8．点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，且a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根，则点A 坐标是（ ）A ．（1，9）B ．92,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（3，3）D ．（-3，-3）【答案】C 【分析】根据点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，可得9ab = ，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得ab m =，从而得到9m = ，然后解出方程，即可求解． 【详解】解：∵点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上， ∴9ab = ，∵a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根， ∴ab m =， ∴9m = ，∴方程260x x m -+=为2690x x -+=， 解得：123x x == ， 即3a b == ， ∴点A 坐标是()3,3 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．二、填空题9．设a ，b 是方程x 2＋x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为____． 【答案】2020 【分析】由于a 2＋2a ＋b ＝（a 2＋a ）＋（a ＋b ），故根据方程的解的意义，求得（a 2＋a ）的值，由根与系数的关系得到（a ＋b ）的值，即可求解． 【详解】解：∵a ，b 是方程x 2＋x −2021＝0的两个实数根， ∴a 2＋a −2021＝0，即a 2＋a ＝2021，a ＋b ＝ba-＝−1，∴a 2＋2a ＋b ＝a 2＋a ＋a ＋b ＝2021−1＝2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．10．若方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为___． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝3、x 1x 2＝1，将其代入x 1（1+x 2）+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 1（1+x 2）+x 2＝x 1+x 1x 2+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a、两根之积等于ca 是解题的关键．11．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则（a +1）（b +1）的值为_______． 【答案】-2021 【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出1,2021a b ab +=-=-，然后整体代入求解即可． 【详解】∵a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根， 1,2021a b ab ∴+=-=-，()()()()1112021112021a b ab a b ∴++=+++=-+-+=-，故答案为：-2021． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．12．已知方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2的值为_________． 【答案】23【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，再将它们代入x 1+x 2﹣x 1x 2，计算即可． 【详解】解：∵方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，∴x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝13﹣1()3-＝23．故答案为：23．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝ca ．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．13．设x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根，则4x 12+4x 1﹣2x 2的值为 ______． 【答案】11 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x 12＝﹣3x 1+4，则4x 12+4x 1﹣2x 2化为﹣2（x 1+x 2）+8，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣32，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵x 1是方程2x 2+3x ﹣4＝0的根， ∴2x 12+3x 1﹣4＝0， ∴2x 12＝﹣3x 1+4，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝2（﹣3x 1+4）+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8， ∵x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣32，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8＝﹣2×（﹣32）+8＝11．故答案为:11． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，则12bx x a +=-，12c x x a=．14．设α、β是方程x 2+2x ﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为______． 【答案】2019 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α-2021=0，则α2+2α=2021，于是α2+3α+β可化为2021+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β=-2，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021． 又∵α+β＝﹣2．所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019． 故答案是：2019． 【点睛】此题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，1212,b cx x x x a a+=-=，也考查了一元二次方程的解．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系．三、解答题15．已知关于x 的方程240x x m -+=的一个根为2+ （1）求m 的值及方程的另一个根； （2）设方程的两个根为1x ，2x ，求20212022121x xx +的值．【答案】（1）m =1，（2）4 【分析】（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，求出即可．（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，根据积的乘方把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，解得：a m =1，即m =1，方程的另一个根为 （2）x 1，x 2是方程x 2-4x +1=0的两个根， 则x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，∴x 12021x 22022+x 1=（x 1x 2）2021x 2+x 1=x 2+x 1=4． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=ba -，x 1x 2=c a ，反过来也成立．16．已知关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）不存在；理由见解析． 【分析】（1）由题意根的判别式大于0即可求解；（2）根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，∴Δ=（m -2）2-2144m ⨯ ＞0即：4-4m ＞0 m ＜1（2）由题意，x 1+x 2=()214m ---=4m -8， 若方程两实数根互为相反数，则4m -8=0， 解得，m =2， 因为m ＜1，所以m =2时，原方程没有实数根，所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．（2）易错，只关注求m 的值而忽略m 的范围．17．定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为12,x x （12x x <），分别以12,x x 为横坐标和纵坐标得到点M （12,x x ），则称点M 为该一元二次方程的奇特点． （1）若方程为x 2=3x ，写出该一元二次方程的奇特点M 的坐标；（2）若关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0（m ＜0）的奇特点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值； （3）是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，若存在请算出b ，c 的值，若不存在请说明理由．【答案】（1）()0,3 ；（2）12m =- ；（3）存在，148,33b c ==【分析】（1）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，即可求解；（2）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，可得奇特点M 的坐标为()2,1m ，再由过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，可得到关于m 的方程，解出即可；（3）将直线解析式变形，可得直线过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ，即可求解．【详解】解：（1）23x x = ，整理得： 230x x -=，即()30x x -=，解得：120,3x x == ， ∴奇特点M 的坐标为()0,3 ； （2）x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0， ∴()()210x m x --= ， 解得：122,1x m x == ， ∵m ＜0， ∴21m < ，∴奇特点M 的坐标为()2,1m ，∵过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形， ∴21m -= ，解得：12m =- ；（3）存在，理由如下：∵()()322324y kx k k x =--=-+ ，∴当320x -= ，即23x =时，4y = ， ∴直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭ ，∵一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ， ∴224,433b c +=-⨯= ， 解得：148,33b c == ． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键．18．已知方程2x ﹣（m ﹣3）x ﹣3m ＝0有一个根为4，求它的另一个根．【答案】﹣3【分析】直接把4代入方程即可求得m 的值，然后利用根与系数关系求另一个根即可．【详解】解：把4代入已知方程得：24﹣4（m ﹣3）﹣3m ＝0，解得m ＝4，∴两根之积为﹣3m ＝﹣12，∴另一个根为：﹣12÷4＝﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键．19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）(31)10x x --=； （2）(25)(1)7x x x ++=+．【答案】（1）1213x x +=，1213x x =-；（2）123x x +=-，121x x =-． 【分析】将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系：1212,b c x x x x a a+=-⋅=，求解即可．【详解】解：（1）原式整理为：2310x x --=，∴3,1,1a b c ==-=-， ∴1213b x x a +=-=，1213c x x a ⋅==-； （2）原式整理为：2310x x +-=，∴1,3,1a b c ===-， ∴123b x x a +=-=-，121c x x a⋅==-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．求下列方程两个根的和与积：（1）25100x x --=； （2）22710x x ++=；（3）23125x x -=+； （4）(1)37x x x -=+．【答案】（1）125x x +=，x x ⋅=-1210；（2）1272x x +=-，1212x x ⋅=；（3）1223x x +=，122x x ⋅=-；（4）124x x +=，x x ⋅=-127 【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；（2）直接根据根与系数的关系求解；（3）先把方程化为一般式为23260x x --=，然后根据根与系数的关系求解； （4）先把方程化为一般式为2470x x --=，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：（1）设方程的两根为1x ，2x ，则125x x +=，x x ⋅=-1210 ．（2）设方程的两根为1x ，2x ，则1272x x +=-，1212x x ⋅=． （3）原方程化为23260x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则1223x x +=，122x x ⋅=-． （4）原方程化为2470x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则124x x +=，x x ⋅=-127．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ． 21．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12,x x 的和与积： （1）26150x x --=（2）23790x x +-=（3）2514x x -=【答案】（1）12126,15x x x x +==-；（2）12127,33x x x x +=-=-；（3）121251,44x x x x +== 【分析】（1）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （2）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （3）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵26150x x --=，∴1a =，6b =-，15c =-， ∴126b x x a +=-=，1215c x x a==-； （2）∵23790x x +-=，∴3a =，7b =，9c =-， ∴1273b x x a +=-=-，123c x x a==-； （3）∵2514x x -=，即24510x x -+=∴4a =，5b =-，1c =， ∴1254b x x a +=-=，1214c x x a ==． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．22．已知1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）如果1x ，2x 满足不等式2121246()x x x x +>+，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m；（2）1-或0 【分析】（1）由题意得一元二次方程判别式Δ≥0，进而求解．（2）由根与系数的关系用含m 的代数式表示12x x +与12x x ⋅，进而求解．【详解】解：（1）方程22210x x m -++=有两个实数根，∴Δ0，即2(2)42(1)0m --⨯+， 解得12m ， ∴实数m 的取值范围是12m； （2）1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根，121x x ∴+=，121(1)2x x m ⋅=+，2121246()x x x x +>+，2146(1)12m ∴+⨯+>， 解得2m >-， 12m 且m 为整数， m ∴的值为1-或0．【点睛】本题考查一元二次的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的情况与Δ的关系，掌握12b x x a +=-，12c x x a=． 23．已知关于x 的方程 (k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0．（1）证明：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）是否存在实数k ，使方程两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值，如不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不存在符合条件的实数k ，理由见解析【分析】（1）根据方程各项的系数结合根的判别式即可得出Δ=4k 2+5＞0，由此可得出无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，利用根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，可得出关于k 的方程，解之即可求出k 值，再由（1）中k 的取值范围，即可得出不存在符合条件的k 值．【详解】（1）证明：Δ=(2k 2+1)2-4×(k 2+1)×(k 2-1) =4k 4+4k 2+1-4k 4+4=4k 2+5，∴k 2+1＞0，4k 2+5＞0，∴无论k 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）不存在符合条件的实数k ，理由如下：设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系得：x 1+x 2=-22211k k ++． ∵x 1、x 2互为相反数，∴x 1+x 2=0，即-222101k k +=+， ∵k 2≥0，∴2k 2+1≥1，∴不存在符合条件的k 值．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、相反数以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据非负数的性质得到根的判别式Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，求出k 值．24．关于x 的方程2210x x k -++=的两个实数根是1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为整数，且满足12124x x x x +-<，求k 的值．【答案】（1）0k ≤；（2）2k =-，1-，0【分析】（1）根据“方程2210x x k -++=有两个实数根，”可得0∆≥，即可求解；（2）根据“k 为整数，且满足12124x x x x +-<，”可得3k >-，结合（1）0k ≤，即可求解．【详解】解：（1）∵方程2210x x k -++=有两个实数根，∴0∆≥，即()244410b ac k -=-+≥，解得0k ≤；（2）∵122x x +=，121x x k =+，∴214k --<，由（1）0k ≤，可得30k -<≤，∵k 为整数，∴2k =-，1-，0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式24b ac ∆=-，根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a =是解题的关键．。
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题（附答案详解）1．若一个关于x 的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（ ）A ．x 2﹣7x+12=0B ．x 2+7x+12=0C ．x 2﹣9x+20=0D ．x 2+9x+20=02．关于x 的方程kx 2+2x ﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k≥1B ．k≥﹣1C ．k≥1且k≠0D ．k≥﹣1且k≠03．若m ，n 是方程2250x x --=两根，则()()22m m m n -+的值为( ) A ．5 B ．10 C ．5- D ．10-4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( )A ．-6B ．6C ．-15D ．155．在数轴上用点B 表示实数b ．若关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0有两个相等的实数根，则（ ）A ．2OB = B ．2OB >C ．2OB ≥D ．2OB <6．若方程x 2 +x-1 = 0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( ) .A ．α+β=-1B ．αβ=-1C ．11+αβ=1D ．α2+β2=1 7．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx ﹣3=0的两根，且满足x 1+x 2﹣3x 1x 2=5，那么b 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．3D ．﹣38．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数的是( ).A ．2x +2 =0B ．2x +x-1=0C ．2x +x+3=0D ．42x -4x+1=0. 9．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则m ，n 的值分别为()A ．m ＝－2，n ＝8B ．m ＝－2，n ＝－8C ．m ＝2，n ＝－8D ．m ＝2，n ＝8 10．已知α，β是方程2201610x x ++=的两个根，则()()221201812018ααββ++++的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．已知1x ，2x 分别是一元二次方程260x x --=的两个实数根，则12x x +=________．12．已知,,a b c 是等腰ABC ∆的三条边，其中2b =，如果 ,a c 是关于y 的一元二次方程 260y y n -+=的两个根，则n 的值是__．13．已知a 、b 是一元二次方程2410x x --=的两根，则a +b =_____.14．有一个一元二次方程，它的一个根 x 1＝1，另一个根－2＜x 2＜0． 请你写出一个符合这样条件的方程：_________．15．已知方程 x 2﹣4x+3＝0 的两根分别为 x 1、x 2，则 x 1+x 2＝______．16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两实数根，则1132x ++2132x +的值是_____．17．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2-（2m -2）x +（m 2-2m ）=0的两根，且满足x 1•x 2+2（x 1+x 2）=-1，那么m 的值为（ ）A ．1-或3B ．3-或1C ．3-D ．118．设一元二次方程2230x x --=的两个实数根为x 1，x 2，则x 1＋x 1x 2＋x 2等于( )． A ．1 B ．－1 C ．0 D ．319．已知方程x 2+kx ﹣6＝0有一个根是2，则k ＝_____，另一个根为_____．20．求作一个方程，使它的两个根分别是4-和3，这个方程的一般式是________. 21．关于x 的一元二次方程226250x x p p -+-+=的一个根为2。
(含答案)韦达定理(根与系数的关系)
根与系数的关系（韦达定理）练习题一、填空：1、 如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ；（3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = . 三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0（B ）正数（C ）－8（D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ）(A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C )－2 (D)－5或2 6、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B)－6 (C )21(D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y （C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、 若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．9、设21x x ，是方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：)1)(1()1(21++x x 、 2111)2(x x +、 2112)3(x x x x +、 121212)4(x x x x ++、10、设方程03742=+-x x 的两根为21x x ，，不解方程，求下列各式的值:(1) 2221x x + (2) 21x x - （3）21x x + （4）21x x -11、已知21x x ，是方程01322=-+x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) )32)(32(21--x x ； (2)321231x x x x +12、实数ｓ、ｔ分别满足方程0199192=++s s 和且099192=++t t 求代数式t s st 14++的值。
一元二次方程[韦达定理、根和系数的关系练习+答案]
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WORD 格式 .可编辑韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x的方程2x23x m0 ，当时，方程有两个正数根；当 m时，方程有一个正根，一个负根；当 m时，方程有一个根为 0。
2、已知一元二次方程2x23x 1 0 的两根为 x1、 x2，则 x1x2．3、如果 x1， x2是方程x25x 6 0 的两个根，那么 x1x2．4、已知x1，x2是方程x26x 3 0 的两实数根，则x2x1的值为 ______．x1x25、设x1、x2是方程2x24x 3 0 的两个根，则 ( x1 1)( x2 1)．24x 30 的两根为、，则 a 22．6、若方程2x2aββ7、已知 x1、x2是关于x的方程(a 1) x2x a 2 1 0 的两个实数根，且x1＋x2＝1，则x1x2＝．38、已知关于x的一元二次方程mx24x60 的两根为 x1和 x2，且 x1 x2 2 ，则 m， x1 x2x1 x2。
9、若方程2 x25x k0 的两根之比是2：3，则k．10、如果关于x的方程x26x k0 的两根差为2，那么k。
11、已知方程2x2mx40 两根的绝对值相等，则 m。
12、已知方程x2mx20的两根互为相反数，则 m。
13、已知关于x的一元二次方程(a21)x 2(a 1)x10 两根互为倒数，则 a。
14、已知关于x的一元二次方程x22(m 1)x m20 。
若方程的两根互为倒数，则 m；若方程两根之和与两根积互为相反数，则 m。
15、一元二次方程px 2qx r0(p0) 的两根为和－，则p: q。
116、已知方程3x2x 1 0 ，要使方程两根的平方和为13，那么常数项应改为。
917、已知方程x24x2m0 的一个根比另一个根小4，则；； m。
WORD 格式 .可编辑19、已知关于x的方程x23mx2(m 1)0 的两根为 x1、x2，且113，则 m。
x1x2420、若方程x24x m0 与 x2x2m0 有一个根相同，则 m。
初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题（附答案详解）1．已知关于x 的一元二次方程2210ax x --=有两个不相等的实数根，则二次项系数a 的取值范围是（ ） A ．1a >-B ．2a >-C ．1a >且0a ≠D ．1a >-且0a ≠2．若关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1B ．k≠0C ．k ＞1D ．k ＜03．一元二次方程ax 2+x ﹣2=0有两个不相等实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a 18<B ．a= 18-C ．a 18>-且a≠0 D ．a 18> 且a≠0 4．下列方程中，两根是﹣2和﹣3的方程是（ ） A ．x 2﹣5x+6=0 B ．x 2﹣5x ﹣6=0 C ．x 2+5x ﹣6=0 D ．x 2+5x+6=05．关于x 的一元二次方程260x mx +-=的一个根是3，则另一个根是（ ） A ．-1B ．1C ．-2D ．26．已知方程x 2+2x-1=0，则此方程（ ）A ．无实数根B ．两根之和为2C ．两根之积为-1D ．有一个根为21+7．已知方程x 2﹣4x +k ＝0有一个根是﹣1，则该方程的另一根是( ) A ．1B ．0C ．﹣5D ．58．已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋k ＋1＝0的两个实数根是x 1，x 2，且x ＋x ＝24，则k 的值是()． A ．8B ．－7C ．6D ．59．关于x 的方程的022=+-a ax x 两个根的平方和5是，则a 的值是（ ）A ．－1或5B ． 1C ．5D ．－110．已知一元二次方程2310x x -+=的两根是1x 、2x ，则12x x +的值是（ ） A ．3B ．1C ．3-D ．1-11．若方程25320x x --=的两个实数根为,m n ，则11m n+的值为__________． 12．若方程x 2+（m+1）x ﹣2n=0的两根分别为2和﹣5，则m=_____，n=_____． 13．已知a ，b 是一元二次方程220180x x --=的两个实数根，则22________a a b--=；14．方程2x2+4x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=____．15．若关于x的方程的两根互为倒数，则= .16．如果一元二次方程2x2﹣5x+m=0有两个实数根，那么实数m的取值范围为_____．17．写出一个二次项系数为2，一个根比1大，另一个根比1小的一元二次方程__________．18．若－2是一元二次方程x2―2x―a＝0的一个根，则a的值为____．19．若关于的方程有两个相等的实数根，则k的值为▲ . 20．如果方程x2﹣2x+m=0的两实根为a，b，且a，b，1可以作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是___________________．21．已知关于的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根，（1）求m的取值范围（2）若α，β是方程的两个实数根，且满足11αβ+＝﹣1，求m的值．23．阅读材料：材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣ba，x1x2＝ca．材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求n mm n+的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn ＝﹣1，所以222()2121n m m n m n mn m n mn mn ++-++===-＝﹣3． 根据上述材料解决以下问题：（1）材料理解：一元二次方程5x 2+10x ﹣1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝ ，x 1x 2＝ ．（2）类比探究：已知实数m ，n 满足7m 2﹣7m ﹣1＝0，7n 2﹣7n ﹣1＝0，且m ≠n ，求m 2n +mn 2的值：（3）思维拓展：已知实数s 、t 分别满足19s 2+99s +1＝0，t 2+99t +19＝0，且st ≠1．求41st s t++的值．24．已知关于x 的一元二次方程(k ﹣1)x 2+(2k+1)x+k ＝0. (1)依据k 的取值讨论方程解的情况.(2)若方程有一根为x ＝﹣2，求k 的值及方程的另一根.25．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．26．已知关于的一元二次方程x 2－4x ＋k ＋1＝0（1）若=－1是方程的一个根，求k 值和方程的另一根；（2）设x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立？请说明理由．27．已知关于x 的一元二次方程2104x x m -+=有两个实数根． ()1若m 为正整数，求此方程的根．()2设此方程的两个实数根为a 、b ，若2221y ab b b =-++，求y 的取值范围．28．已知关于x 的一元二次方程x 2+(4m+1)x+2m-1=O ． (1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两根为x 1、x 2，且满足12111+?=2x x ，求m 的值．29．关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）为何整数时，此方程的两个根都为正整数．30．已知关于ｘ的一元二次方程01)1(22=-+++k x k kx 有两个实数根，求k 的取值范围．参考答案1．D【解析】【分析】由关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围．【详解】∵一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根，∴△=（-2）2-4×a×（-1）＞0，且a≠0，解得：a＞-1且a≠0，故选D．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△＞0．2．A【解析】∵关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=(−2)2−4k>0，解得：k<1.故选：A.3．C【解析】【分析】根据已知得出b2-4ac=12-4a•（-2）＞0，求出即可．【详解】∵一元二次方程ax2+x-2=0有两个不相等实数根，∴b2-4ac=12-4a•（-2）＞0，解得：a＞-18且a≠0，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的根的判别式是b 2-4ac ，当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根． 4．D ． 【解析】试题分析：设两根是﹣2和﹣3的方程为：x 2+ax+b=0，根据根与系数的关系，可得（﹣2）+（﹣3）=﹣a=5，（﹣2）×（﹣3）=b=6，故方程为：x 2+5x+6=0．故选D ． 考点：根与系数的关系． 5．C 【解析】 【分析】设该一元二次方程的另一根为t ，则根据根与系数的关系得到36t =-，由此易求t 的值． 【详解】解：设关于x 的一元二次方程260x mx +-=的另一个根为t ，则36t =-， 解得2t =-． 故选：C ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：1x ，2x 是方程20x px q ++=的两根时，12x x p +=-，12x x q =，反过来可得12()p x x =-+，12q x x =，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 6．C ． 【解析】试题解析：A 、△=22-4×1×（-1）=8＞0，则该方程有两个不相等的实数根．故本选项错误； B 、设该方程的两根分别是α、β，则α+β=-2．即两根之和为2，故本选项错误； C 、设该方程的两根分别是α、β，则αβ=-1．即两根之积为-1，故本选项正确；D 、根据求根公式1=-±1-+1-．故本选项错误； 故选C ．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式．【解析】 【分析】利用根与系数的关系，即可求出. 【详解】设该方程的另一根为m ， 利用根与系数的关系：12b x x a+=- 得：m ﹣1＝4， 解得：m ＝5． 故选：D ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义以及根数系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 8．D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理进行作答. 【详解】 由韦达定理，即，x 1·x 2＝.而x ＋x ＝24＝（）2－2 x 1·x 2＝36－2（k ＋1），解出k ＝5.所以，答案选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理的运用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理是本题解题关键. 9．D 【解析】试题分析：设,αβ是方程022=+-a ax x 的两个根，则,2a a αβαβ+==，又225αβ+=，所以22()245a a αβαβ+-=-=，解得a =－1或5，当a=-1时，9=V ＞0，当a=5时，16=-V ＜0，所以a=5不合题意舍去，所以选：D ． 考点：根与系数的关系．【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=3，即可得出答案． 【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2−3x+1=0的两个根， ∴x 1+x 2=3， 故选A.. 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a. 11．32-【解析】 【分析】因为方程25320x x --=的两个实数根为m 、n ，所以32,55m n mn +==-，而11m n +=m nnm +，将所得的式子代入计算即可. 【详解】解：∵方程25320x x --=的两个实数根为m 、n ，∴32,55m n mn +==-， ∴11m n +=m n n m +=3525-=32-.故答案为32-.【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，对于此类题目，一般的思路和方法是先写出两根之和与两根之积，再将所求的式子变形成两根和与积的形式，整体代入求解. 12． 2 5【解析】∵方程x 2+（m+1）x ﹣2n=0的两根分别为2和﹣5，∴由一元二次方程“根与系数的关系”可得：2+（﹣5）=﹣（m+1），2×（﹣5）=﹣2n，解得：m=2，n=5．故答案为2，5．13．2017【解析】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2=a+2018，所以a2-2a-b化简为-（a+b）+2018，再利用根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵a为方程x2-x-2018=0的根，∴a2-a-2018=0，即a2=a+2018，∴a2-2a-b=a+2018-2a-b=-（a+b）+2018，∵a、b是一元二次方程x2-x-2018=0的两个实数根，∴a+b=1，所以原式=-1+2018=2017．故答案是：2017．【点睛】考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．也考查了一元二次方程解的定义．14．﹣2 【解析】试题解析：根据一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=4-=-2 2.15．-1．【解析】试题分析：设已知方程的两根分别为m，n，由题意得：m与n互为倒数，即mn=1，由方程有解，得到，解得：，又mn=，∴=1，解得：=1（舍去）或=-1，则=-1．故应填为：-1.考点：根与系数的关系．点评：此题要求熟练掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac≥0时，方程有解，然后利用韦达定理得出，．16．m≤258【解析】 【分析】此题根据方程有实数根,可得25420,m -⨯≥解这个不等式即可得出答案. 【详解】解:关于x 的一元二次方程2250x x m -+=有两个实数根,由一元二次方程根的判别式,得25420,m -⨯≥解得：25.8m ≤ 故答案为：25.8m ≤ 【点睛】一元二次方程根的判别式:△＞0时,一元二次方程有两个不等实根; △=0时,一元二次方程有两个相等实根; △＜0时,一元二次方程没有实根; △≥0时,方程有实数根.17．2240x x -=（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意可设一根为2，另一根为0，再计算出2+0=2，2×0=0，然后根据根与系数的关系写出新方程，再把二次项系数化为2即可． 【详解】解：设一根为2，另一根为0， ∵2+0=2，2×0=0，∴以2和0为根的一元二次方程可为x 2-2x=0， 当二次项系数为2时，方程变形为2x 2-4x=0． 故答案为2240x x -=． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是方程ax 2+bx+c=0的两根时，12bx x a +=-，12c x x a=. 18．8【解析】解析：把x=-2代入方程得：4+4-a=0， 解得：a=8.考点：一元二次方程的解． 19．8 【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b 2-4ac=0，建立关于k 的等式，求出k 的值．解：由题意知方程有两相等的实根， ∴△=b 2-4ac=36-4k-4=0， 解得k=8． 20．34＜m≤1． 【解析】 【分析】若一元二次方程有两根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．再根据根与系数的关系和三角形中三边的关系来再确定m 的取值范围，最后综合所有情况得出结论． 【详解】∵方程x 2-2x+m=0的两实根为a ，b ， ∴有△=4-4m≥0， 解得：m≤1，由根与系数的关系知：a+b=2，a•b=m ， 若a ，b ，1可以作为一个三角形的三边之长， 则必有a+b ＞1与|a-b|＜1同时成立，故只需（a-b ）2＜1即可， 化简得：（a+b ）2-4ab ＜1，把a+b=2，a•b=m 代入得：4-4m ＜1， 解得：m ＞34， ∴34＜m≤1， 故本题答案为：34＜m≤1． 【点睛】主要考查一元二次方程的根的判别式与根的关系和一元二次方程根与系数的关系、三角形中三边的关系． 21．（1）；（2）的值是，该方程的另一根为．【解析】试题分析：（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.试题解析：（1）∵b 2﹣4ac=22﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0， 解得：a ＜3， ∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：111x 21x 2a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：11x 3a =-⎧⎨=-⎩， 则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．22．（1）m ＞﹣34；（2）m ＝3． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞0，求出m 的取值范围即可； （2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2m +3）x +m 2＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即△＝（2m +3）2﹣4m 2＞0，解得m ＞﹣34； （2）∵α，β是方程的两个实数根， ∴α+β＝﹣（2m +3），αβ＝m 2． ∵211(23)1m mαβαβαβ+-++===-， ∴﹣（2m +3）＝﹣m 2，解得m 1＝3，m 2＝﹣1（舍弃）． ∴m ＝3． 【点睛】考查的是根与系数的关系，熟知x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a ，x 1x 2＝ca是解答此题的关键． 23．（1）-2，-15；（2）﹣17；（3）﹣15．【解析】 【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）把m 、n 可看作方程7x 2﹣7x ﹣1＝0，利用根与系数的关系得到m +n ＝1，mn ＝﹣17，再利用因式分解的方法得到m 2n +mn 2＝mn （m +n ），然后利用整体的方法计算；（3）先把t 2+99t +19＝0变形为19•（1t ）2+99•1t +1＝0，则把实数s 和1t可看作方程19x 2+99x +1＝0的两根，利用根与系数的关系得到s +1t ＝﹣9919，s •1t ＝119，然后41st s t ++变形为s +4•s t +1t，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）x 1+x 2＝﹣105＝﹣2，x 1x 2＝﹣15；故答案为﹣2；﹣15；（2）∵7m 2﹣7m ﹣1＝0，7n 2﹣7n ﹣1＝0，且m ≠n ， ∴m 、n 可看作方程7x 2﹣7x ﹣1＝0， ∴m +n ＝1，mn ＝﹣17，∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣17×1＝﹣17；（3）把t2+99t+19＝0变形为19•（1t）2+99•1t+1＝0，实数s和1t可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，∴s+1t＝﹣9919，s•1t＝119，∴41st st++＝s+4•st+1t＝﹣9919+4×119＝﹣15．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣ba，x1x2＝ca．也考查了解一元二次方程．24．(1)k＞﹣18且k≠1时，原方程有两个不相等的实数根；k＝﹣18时，原方程有两个相等的实数根；k＜﹣18时，原方程没有实数根；(2)k＝6，方程的另一根为﹣35.【解析】【分析】(1)根据方程的系数可得出根的判别式△＝8k+1，进而可得出方程解得情况；(2)将x＝﹣2代入原方程可求出k值，再利用两根之和等于ba-及方程的一根为x＝﹣2，可求出方程的另一根.【详解】解：(1)a＝k﹣1，b＝2k+1，c＝k，∵△＝b2﹣4ac＝(2k+1)2﹣4×(k﹣1)×k＝8k+1，∴当k＞﹣18且k≠1时，原方程有两个不相等的实数根；当k＝﹣18时，原方程有两个相等的实数根；当k＜﹣18时，原方程没有实数根.(2)将x＝﹣2代入原方程，得：(k﹣1)×(﹣2)2+(2k+1)×(﹣2)+k＝0，解得：k＝6，∴原方程为5x2+13x+6＝0，∴方程的另一根为x ＝﹣135﹣(﹣2)＝﹣35. 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根”；（2）代入x=-2求出k 值． 25．0. 【解析】 【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩V＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-.Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义.综上，代数式2216k k k -+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程， 26．（1）k=" -6" ，方程的另一根是5． （2）不存在．理由见解析. 【解析】试题分析：（1）把已知的根代入原方程，求出k ，然后根据根与系数的关系，求得另一根； （2）根据一元二次方程的跟的判别式求出k 的范围，然后再根据根与系数的关系表示出x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝k ＋1，根据已知的不等式求出k 的范围，从判断是否存在. 试题解析：（1）k="-6" ，方程的另一根是5． （ 2 ） 不存在．理由：由题意得Δ＝16－4（k ＋1）≥0，解得k≤3． ∵x 1，x 2是一元二次方程的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝k ＋1， 由x 1x 2＞x 1＋x 2得k ＋1＞4， ∴k ＞3，∴不存在实数k 使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立．考点：一元二次方程根的判别式，根与系数的关系 27．()11m =，1212x x ==．()724y ≤． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出114m 1m 04=-⨯=-≥V ，由此吉可求得m 的取值范围，根据m 为正整数，可得出m 的值，将m 代入原方程求出x 的值即可； （2）根据根与系数的关系以及一元二次方程根的定义可得1ab m 4=，21b b m 04-+=，由此可得3y m 14=+，根据m 的取值范围进行求解即可. 【详解】()1∵一元二次方程21x x m 04-+=有两个实数根，∴114m 1m 04=-⨯=-≥V ， ∴m 1≤．∵m 为正整数， ∴m 1=，当m 1=时，此方程为21x x 04-+=， ∴此方程的根为121x x 2==； ()2∵此方程的两个实数根为a 、b ，∴1ab m 4=，21b b m 04-+=， ∴()22113y ab 2b 2b 1ab 2b b 1m 2m 1m 1444⎛⎫=-++=--+=--+=+ ⎪⎝⎭， ∵()4m y 13=-， 又∵m 1≤， ∴()4m y 113=-≤， ∴y 的取值范围为7y 4≤． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的根等，综合性较强，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键. 28．（1）相交线；（2）m=110-． 【解析】 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可; （2）首先利用根与系数的关系可以得到x 1+x 2，x 1x 2，接着利用根与系数的关系得到关于m 的方程，解方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：因为一元二次方程x 2+(4m+1)x+2m-1=O 的根的判别式 △=(4m+1)2－4（2m-1）=16m 2+8m+1-8m+4=16m 2+5．因为不论m 取何值时，m 2≥0，所以16m 2+5总大于0，即不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为方程两根为x 1、x 2，所以x 1+x 2=－（4m+1），x 1x 2=2m －1， 因为12111+=,2x x 所以121212x x x x +=，所以()411212m m -+=-，所以m=110-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握(1) △>0,方程有两个不相等的实数根；(2) △=0，方程有两个相等的实数根；(3) △<0,方程没有实数根,是解答本题的关键. 29．（1）证明见解析；（2）2或3． 【解析】试题分析：（1）表示出根的判别式，得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；（2）由（1）得到方程有两个不相等的实数根，利用求根公式表示出方程的两根：x 1=，x 2=1，要使原方程的根是整数，必须使得x 1==1+为正整数，则m-1=1或2，进而得出符合条件的m 的值．解：（1）∵△=b 2-4ac=（-2m ）2-4（m-1）（m+1）=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）由求根公式，得x=， ∴x 1==，x 2==1；∵m 为整数，且方程的两个根均为正整数， ∴x 1==1+，必为正整数，∴m-1=1或2， ∴m=2或m=3．考点：根的判别式；一元二次方程的定义． 30．k≥-13且k≠0． 【解析】试题分析：若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 试题解析：∵a=k ，b=2（k+1），c=k-1，∴△=[2（k+1）]2-4×k×（k-1）=12k+4≥0，解得：k≥-13，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．所以：k的取值范围为：k≥-13且k≠0．考点：根的判别式．。
初中数学一元二次方程根与系数的关系练习题含答案
初中数学一元二次方程根与系数的关系练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A.x2+3x+4=0B.x2+4x−3=0C.x2−4x+3=0D.x2+3x−4=02. 一元二次方程x2−2x+b=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2等于( )A.−2B.bC.2D.−b3. 若x1,x2是一元二次方程2x2−7x+5=0的两根，则x1+x2−x1x2的值是（）A.1B.6C.−1D.−64. 若关于x的一元二次方程kx2−3x+1=0的两根之积为4，则这个方程的两根之和为( ）A.3 4B.−34C.12D.−125. 下列方程中两个实数根的和等于2的方程是（）A.2x2−4x+3=0B.2x2−2x−3=0C.2y2+4y−3=0D.2t2−4t−3=06. 王刚同学在解关于x的方程x2−3x+c＝0时，误将−3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝−4，则原方程的解为（）A.x1＝−1，x2＝−4B.x1＝1，x2＝4C.x1＝−1，x2＝4D.x1＝2，x2＝37. 已知x1，x2是方程x2=2x+1的两个根，则1x1+1x2的值为（）A.−12B.2 C.12D.−28. x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，是否存在实数m使1x1+1x2=0成立？则正确的结论是()9. 设方程x2−4x−1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是（）A.−4B.−1C.1D.010. 若2，3是方程x2+px+q=0的两实根，则x2−px+q可以分解为（）A.(x−2)(x−3)B.(x+1)(x−6)C.(x+1)(x+5)D.(x+2)(x+3)11. 设x1，x2是方程5x2−3x−2=0的两个实数根，则1x1+1x2的值为________.12. 若关于x的方程x2+3x+k=0的一个根是1，则另一个根是________.13. 一元二次方程x2−4x+2=0的两根分别为x1，x2，则x12−4x1+2x1x2的值为________.14. 已知α，β是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，则α+β−αβ的值是________.15. 如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2−m=3，n2−n=3，那么代数式2n2−mn+2m+2009=________．16. 一元二次方程x2−4x+2=0的两根为x1，x2，则x12−4x1+2x1x2的值为________．17. 若m，n是方程x2+3x−2019=0的两个实数根，则m2+4m+n的值为________．18. 设方程x2+3x−4=0的两个实数根为x1，x2，求1x1+1x2=________．19. 试写出一个以−1，−3为两根的一元二次方程________．20. 已知，α、β是关于x的一元二次方程x2+4x−1＝0的两个实数根，则α+β的值是________．21. 已知关于x的方程x2+5x−c=0一根为2，求另一根及c的值．x1+x2+12√x1x2．（1）当a≥0时，求y的取值范围；（2）当a<0时，比较y与−a2+3a−9的大小，并说明理由．23. 已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求x2x1+x1x2的值．24. 已知a，b是关于x的方程x2+2x−3=0的两个实数根．求a+b与ab的值．25. 已知实数a，b是方程x2−x−1=0的两根，求ba +ab的值．26. 已知x1，x2是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，不解方程求下列各式的值．(1)x12+x22；(2)1x1+1x2.27. 已知方程x2+4x−2=0的两个实数根分别为x1，x2，试求：(1)x12+x22；(2)1x12+1x22．28. 在一元二次方程x2−2ax+b=0中，若a2−b>0，则称a是该方程的中点值．(1)方程x2−8x+3=0的中点值是________；(2)已知x2−mx+n=0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值．29. 关于r的一元二次方程x2−4x−k−3=0的两个实数根是x1,x2（1）已知k=2（2）若x=3x试求上的值30. 已知关于x的一元二次方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0的两实数根分别为x1，x2.(1)求x1−x2的值；(2)若x12+x22=10，求m的值．31. 阅读材料：已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，求nm +mn的值．解：由题知m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，根据根与系数关系得m+n=1，mn=−1，所以nm +mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=1+2−1=−3.根据上述材料解决以下问题：(1)一元二次方程5x2+10x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=_______，x1x2=_______；(2)类比探究：已知m，n满足7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，求m2n+mn2的值；(3)思维拓展：已知p，q满足p2=9p−6，3q2=9q−2，求p2+9q2的值．32. 已知x1,x2是一元二次方程x2−2x−3=0的两个实数根，则x1+x2=________.33. 阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=−ba ，x1x2=ca．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x2+6x−3=0的两根，求x12+x22的值．解法可以这样：∵x1+x2=−6，x1x2=−3，则x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−6)2−2×(−3)=42．请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2是方程x2−4x+2=0的两根，求：(1)1x1+1x2的值；(2)(x1−x2)2的值．34. 已知关于x的方程x2+x+a−1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．35. 设一元二次方程x2−6x+3=0的两根为x1和x2，求x2x1+x1x2的值．36. 若x1，x2是方程x2+2x−2007=0的两个根，试求下列各式的值：（1）x12+x22；（2）1x1+1x2；(3)(x1−5)(x2−5)；（4）|x1−x2|．37. 先阅读，再回答问题：如果x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2，x1x2与系数a、b、c的关系是：x1+x2=−ba ，x1x2=ca，例如：若x1、x2是方程2x2−x−1=0的两个根，则x1+x2=−ba =−−12=12，x1x2=c a =−12=−12．若x1、x2是方程2x2+x−3=0的两个根．（1）求x1+x2，x1x2；（2）求x2x1+x1x2的值．38. 阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=−ba ，x1x2=ca．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x2+6x−3=0的两根，求x12+x22的值．解法可以这样：∵x1+x2=−6，x1x2=−3，则x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−6)2−2×(−3)= 42．请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2是方程x2+x−1=0的两根，求：(1)1x1+1x2的值；(2)(x1−x2)2的值．(3)试求x22−x12的值．39. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x、x，有如下结论：3x2−x−2019＝0的两根分别为x1、x2，求(x1+2)(x2+2)的值．40. 韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1、x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca，阅读下面应用韦达定理的过程：若一元二次方程−2x2+4x+1=0的两根分别为x1、x2，求x12+x22的值．解：该一元二次方程的△=b2−4ac=42−4×(−2)×1=24>0由韦达定理可得，x1+x2=−ba =−4−2=2，x1⋅x2=ca=1−2=−12x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=22−2×(−1 2 )=5然后解答下列问题：（1）设一元二次方程2x2+3x−1=0的两根分别为x1，x2，不解方程，求x12+x22的值；（2）若关于x的一元二次方程(k−1)x2+(k2−1)x+(k−1)2=0的两根分别为α，β，且α2+β2=4，求k的值．参考答案与试题解析初中数学一元二次方程根与系数的关系练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【答案】 C【考点】根与系数的关系 【解析】由根与系数的关系求得p ，q 的值． 【解答】解：方程两根分别为x 1=3，x 2=1，则x 1+x 2=−p =3+1=4，x 1x 2=q =3 ∴ p =−4，q =3，∴ 原方程为x 2−4x +3=0． 故选C ． 2. 【答案】 C【考点】根与系数的关系 【解析】根据“一元二次方程x 2−2x +b ＝0的两根分别为x 1和x 2”，结合根与系数的关系，即可得到答案． 【解答】解：根据题意得： x 1+x 2=−−21=2.故选C . 3.【答案】 A【考点】根与系数的关系 【解析】首先利用韦达定理计算，再代入求值即可. 【解答】解：由题可知， x 1+x 2=72，x 1x 2=52， 所以x 1+x 2−x 1x 2=72−52=1. 故选A .【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】设出两根，利用根已悉数的关系，构造方程，解出即可. 【解答】解：设两根分别为x1，x2，由根与系数的关系可知，x1+x2=3k ，x1x2=1k=4，∴k=14，∴x1+x2=3k=3×4=12.故选C.5.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】利用判别式对A进行判断；根据根与系数的关系对B、C、D进行判断．【解答】解：A、△=(−4)2−4×2×3<0，方程没有实数解，所以A选项错误；B、两个实数根的和等于1，所以B选项错误；C、两个实数根的和等于−2，所以C选项错误；D、两个实数根的和等于2，所以D选项正确．故选D．6.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】利用根与系数的关系求得c的值；然后利用因式分解法解原方程即可．【解答】依题意得关于x的方程x2+3x+c＝0的两根是：x1＝1，x2＝−4．则c＝1×(−4)＝−4，则原方程为x2−3x−4＝0，整理，得(x+1)(x−4)＝0，解得x1＝−1，x2＝4．7.【答案】D根与系数的关系【解析】先把方程化为一般式得x2−2x−1=0，根据根与系数的关系得到x1+x2=−2，x1⋅x2=−1，再把原式通分得x1+x2x1x2，然后利用整体思想进行计算．【解答】解：方程化为一般式得x2−2x−1=0，根据题意得x1+x2=2，x1⋅x2=−1，∴原式=x1+x2x1x2=2−1=−2．故选D．8.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m−2．假设存在实数m使1x1+1x2=0成立，则x1+x2⋅=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m−2．假设存在实数m使1x1+1x2=0成立，则x1+x2x1x2=0，∴mm−2=0，∴m=0．当m=0时，方程x2−mx+m−2=0即为x2−2=0，此时Δ=8>0，∴m=0符合题意．故选A．9.【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．【解答】解：a=1，c=−1，所以x1⋅x2=ca =−11=−1．【答案】 D【考点】根与系数的关系 【解析】本题考查了根与系数的关系这一知识点． 【解答】解：根据根与系数的关系可得p =−(2+3)=−5，q =2×3=6． 因此x 2+5x +6=(x +2)(x +3)． 故选D ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11. 【答案】−32【考点】根与系数的关系 【解析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2、x 1x 2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可． 【解答】解：∵ 方程x 1,x 2是方程5x 2−3x −2=0的两个实数根， ∴ x 1+x 2=35，x 1x 2=−25， ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=35−25=−32．故答案为：−32. 12.【答案】 −4【考点】根与系数的关系 【解析】设方程的两根分别为x 1，x 2，则由根与系数关系得，x 1+x 2=−3，由x 1=1可得x 2=−4． 【解答】解：根据题意，设方程的两根分别为x 1，x 2，令x 1=1， 则由根与系数关系得，x 1+x 2=−3， ∵ x 1=1， ∴ x 2=−4． 故答案为：−4． 13.【答案】 2【解析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于−b，两根之积a .根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12−4x1=−2，x1x2=2，将等于ca其代入所求式子中即可求出结论．【解答】解：根据题意得，x12−4x1=−2，x1x2=2，x12−4x1+2x1x2=−2+4=2.故答案为：2.14.【答案】1【考点】根与系数的关系【解析】据根与系数的关系α+β=−1，αβ=−2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．【解答】解：∵α，β是方程x2+x−2=0的两个实数根，∴α+β=−1，αβ=−2，∴α+β−αβ=−1+2=1.故答案为：1.15.【答案】2020【考点】根与系数的关系【解析】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2−m=3，n2−n=3，可知m，n是x2−x−3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=−3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2−mn+2m+2015=2(n+3)−mn+2m+2015=2n+6−mn+2m+2015=2(m+n)−mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2−m=3，n2−n=3，所以m，n是x2−x−3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=−3，又n2=n+3，则2n2−mn+2m+2009=2(n+3)−mn+2m+2009=2n+6−mn+2m+2009=2(m+n)−mn+2015=2×1−(−3)+2015=2+3+2015=2020．故答案为：2020．16.【答案】2【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12−4x1=−2、x1x2=2，将其代入x12−4x1+2x1x2中即可求出结论．【解答】∵一元二次方程x2−4x+2=0的两根为x1、x2，∴x12−4x1=−2，x1x2=2，∴x12−4x1+2x1x2=−2+2×2=2．17.【答案】2016【考点】根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵m，n是方程x2+3x−2019=0的两个根，∴m2+3m=2019，m+n=−3，∴m2+4m+n=m2+3m+(m+n)=2019−3=2016．故答案为：2016．18.【答案】34【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2=−3，x1⋅x2=−4，再变形1x1+1x2得到x1+x2x1x2，然后利用代入法计算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+3x−4=0的两根是x1，x2，∴x1+x2=−3，x1⋅x2=−4，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−3−4=34．故答案为：34．19.【答案】x 2+4x +3=0 【考点】根与系数的关系 【解析】根据根与系数的关系：两根之和=−ba，两根之积=ca，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程． 【解答】解：∵ −1+(−3)=−4，(−1)×(−3)=3， ∴ 方程为：x 2+4x +3=0， 故答案为：x 2+4x +3=0． 20.【答案】 −4【考点】根与系数的关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 21.【答案】解：设另一根为x 1，则{x 1+2=−5,2x 1=−c,解得{x 1=−7,c =14,∴ 另一根为−7，c 的值为14． 【考点】根与系数的关系 【解析】 暂无 【解答】解：设另一根为x 1，则{x 1+2=−5,2x 1=−c,解得{x 1=−7,c =14,∴ 另一根为−7，c 的值为14． 22. 【答案】解：(1)14x 2+(a −2)x +a 2=0，∵ △=(a −2)2−4×14×a 2≥0，∴ a ≤1，根据题意得x 1+x 2=−4(a −2)，x 1x 2=4a 2， ∵ 0≤a ≤1，∴ y =−4(a −2)+a =−3a +8∴5≤y≤8；（2）当a<0时，y=−4(a−2)−a=−5a+8，y−(−a2+3a−9)=−5a+8+a2−3a+9=(a−4)2+1，∵(a−4)2+1>0，∴y>−a2+3a−9．【考点】根与系数的关系【解析】（1）先把方程化为一般式得到14x2+(a−2)x+a2=0，再利用判别式得到a≤1，根据根与系数的关系得到y=−4(a−2)+a=−3a+8，然后计算当0≤a≤1时对应的y的范围；（2）当a<0时，y=−4(a−2)−a=−5a+8，然后利用求差法比较大小．【解答】解：(1)14x2+(a−2)x+a2=0，∵△=(a−2)2−4×14×a2≥0，∴a≤1，根据题意得x1+x2=−4(a−2)，x1x2=4a2，∵0≤a≤1，∴y=−4(a−2)+a=−3a+8∴5≤y≤8；（2）当a<0时，y=−4(a−2)−a=−5a+8，y−(−a2+3a−9)=−5a+8+a2−3a+9=(a−4)2+1，∵(a−4)2+1>0，∴y>−a2+3a−9．23.【答案】解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，∴由韦达定理，知x1+x2=−6，x1⋅x2=3，∴x2x1+x1x2=x1⋅x2˙=(−6)2−2×33=10，即x2x1+x1x2的值是10．【考点】根与系数的关系【解析】利用根与系数的关系求得x1+x2=−6，x1⋅x2=3，然后将其代入整理后的所求的代数式求值．【解答】解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，∴由韦达定理，知x1+x2=−6，x1⋅x2=3，∴x2x1+x1x2=x1⋅x2˙=(−6)2−2×33=10，即x2x1+x1x2的值是10．24.【答案】解：a+b=−21=−2，ab=−31=−3.【考点】根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：a+b=−21=−2，ab=−31=−3.25.【答案】解：∵实数a，b是方程x2−x−1=0的两根，∴a+b=1，ab=−1，∴ba +ab=b2+a2ab=(a+b)2−2abab=−3．【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=−1，再利用完全平方公式变形得到ba +ab=b2+a2 ab =(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法进行计算．【解答】解：∵实数a，b是方程x2−x−1=0的两根，∴a+b=1，ab=−1，∴ba +ab=b2+a2ab=(a+b)2−2abab=−3．26.【答案】解：(1)∵x1，x2是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，∴x1+x2=3，x1x2=−1，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−1)=11.(2)1x1+1x2=x1+x2x1x2=3−1=−3．【考点】根与系数的关系【解析】无无【解答】解：(1)∵x1，x2是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，∴x1+x2=3，x1x2=−1，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−1)=11.(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=3−1=−3．27.【答案】解：(1)∵ x 1，x 2是x 2+4x −2=0的两个实数根， ∴ x 1+x 2=−4，x 1x 2=−2， x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2 =(−4)2−2×(−2) =16+4 =20.(2)由(1)得，x 1+x 2=−4，x 1x 2=−2， 1x 12+1x 22 =x 12+x 22x 12x 22=20(−2)2=5.【考点】根与系数的关系 【解析】（1）将原式变形为(x 1+x 2)2−2x 1x 2，然后代入计算即可； （2）将原式变形为含有x 1+x 2和x 1x 2，然后代入计算即可. 【解答】解：(1)∵ x 1，x 2是x 2+4x −2=0的两个实数根， ∴ x 1+x 2=−4，x 1x 2=−2， x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2 =(−4)2−2×(−2) =16+4 =20.(2)由(1)得，x 1+x 2=−4，x 1x 2=−2， 112+122 =x 12+x 22x 12x 22=202=5. 28. 【答案】 4(2)∵ m2=3，∴ m=6，把x=2代入x2−mx+n=0得4−6×2+n=0，解得n=8，∴ mn=6×8=48.【考点】根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在方程x2−8x+3=0中，a=4，b=3，∴a2−b=42−3=13>0，符合题意，∴ a=4是该方程的中点值.故答案为：4.(2)∵m=3，2∴ m=6，把x=2代入x2−mx+n=0得4−6×2+n=0，解得n=8，∴ mn=6×8=48.29.【答案】(1)−1；(2)k=−6.【考点】根与系数的关系【解析】(1)当k=2时，方程为：x2−4x−2−3=0,即x2−4x−5=0,所以可得：x1+x2= 4，x1×x2=−5，代入即可求得代数式的值；(2)先求得x2=1，x1=3，再代入求得答案.【解答】解：(1)当k=2时，方程为：x2−4x−2−3=0,即x2−4x−5=0,所以可得：x1+x2=4，x1×x2=−5，所以x1+x2+x1×x2=4−5=−1；(2)x1+x2=4，x1=3x2，即3x2+x2=4，解得：x2=1，所以x1=3，即：x1x2=−k−3=3，解得：k=−6.30.【答案】解：(1)∵x1，x2是方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0的两实数根，x1+x2=2m−2，x1x2=m2−2m.(x1−x2)2=x12+x22−2x1x2=(x1+x2)2−2x1x2−2x1x2=(x1+x2)2−41x1x2=(2m−2)2−4(m2−2m)=4m2−8m+4−4m2+8m=4.x1−x2=±2,即x1−x2的值为2或−2.(2)∵x12+x22=10，∴(x1+x2)2−2x1x2=10，∴(2m−2)2−2(m2−2m)=10，4m2−8m+4−2m2+4m=10，m2−2m−3=0，∴m1=3, m2=−1即m的值为3或−1.【考点】根与系数的关系【解析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x1+x2=−2，x1⋅x2=2m，再结合完全平方公式可得出x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=−1符合题意，此题得解．【解答】解：(1)∵x1，x2是方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0的两实数根，x1+x2=2m−2，x1x2=m2−2m.(x1−x2)2=x12+x22−2x1x2=(x1+x2)2−2x1x2−2x1x2=(x1+x2)2−41x1x2=(2m−2)2−4(m2−2m)=4m2−8m+4−4m2+8m=4.x1−x2=±2,即x1−x2的值为2或−2.(2)∵x12+x22=10，∴(x1+x2)2−2x1x2=10，∴(2m−2)2−2(m2−2m)=10，4m2−8m+4−2m2+4m=10，m2−2m−3=0，∴m1=3, m2=−1即m的值为3或−1.【答案】−2；−15(2)∵7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，∴m，n可看作方程7x2−7x−1=0的两个根，∴m+n=1，mn=−17，∴m2n+mn2=mn(m+n)=−17×1=−17.(3)∵p，q满足p2=9p−6，3q2=9q−2，∴9q2=27q−6，即(3q)2=9⋅(3q)−6，∴p，3q可看作方程x2−9x+6=0的两个根，∴p+3q=9，p⋅(3q)=6，∴原式=(p+3q)2−6pq=92−6×2=69 .【考点】根与系数的关系【解析】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）把m、n可看作方程7x2−7x−1=0，利用根与系数的关系得到m+n=1，mn=−17，再利用因式分解的方法得到m2n+mn2=mn(m+n)，然后利用整体的方法计算；（3）把p、3q可看作方程x2−9x+6=0的两个根，利用根与系数的关系得到p+3q=9，p⋅(3q)=6，再利用配方法得到p2+9q2=(p+3q)2−6pq，然后利用整体的方法计算；【解答】解：(1)x1+x2=−105=−2，x1x2=−15.故答案为：−2；−15.(2)∵7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，∴m，n可看作方程7x2−7x−1=0的两个根，∴m+n=1，mn=−17，∴m2n+mn2=mn(m+n)=−17×1=−17.(3)∵p，q满足p2=9p−6，3q2=9q−2，∴9q2=27q−6，即(3q)2=9⋅(3q)−6，∴p，3q可看作方程x2−9x+6=0的两个根，∴p+3q=9，p⋅(3q)=6，∴原式=(p+3q)2−6pq=92−6×2=69 .32.【答案】【考点】根与系数的关系【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系.关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）,当方程有两根据x1、x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca.据此求解即可.【解答】解：x1+x2=−ba =−−21=2.故答案为：2.33.【答案】解：(1)∵x1+x2=4，x1x2=2，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=42=2．(2)(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=42−4×2=8．【考点】根与系数的关系【解析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理可得x1+x2−ba=4，x1x2=ca=2，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值．【解答】解：(1)∵x1+x2=4，x1x2=2，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=42=2．(2)(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=42−4×2=8．34.【答案】解：将x=1代入方程x2+x+a−1=0得1+1+a−1=0，解得a=−1，方程为x2+x−2=0，解得x1=−2，x2=1．所以另一个根为−2．【考点】根与系数的关系【解析】将x=1代入方程x2+x+a−1=0可得a的值，再将a的值代回方程，解方程得出另一个根．【解答】解：将x=1代入方程x2+x+a−1=0得1+1+a−1=0，解得a=−1，方程为x2+x−2=0，解得x1=−2，x2=1．所以另一个根为−2．解：根据题意得x 1+x 2=6，x 1x 2=3， 所以x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=62−2×33=10．【考点】根与系数的关系 【解析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=6，x 1x 2=3，再利用通分和完全平方公式把x 2x 1+x 1x 2变形为(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x 1+x 2=6，x 1x 2=3， 所以x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=62−2×33=10．36.【答案】解：∵ x 1，x 2是方程x 2+2x −2007=0的两个根，∴ x 1+x 2=−2，x 1⋅x 2=−2007．（1）x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2=(−2)2−2×(−2007)=4018；（2）1x 1+1x 2=x 1+x 2⋅=−2−2007=22007；(3)(x 1−5)(x 2−5)=x 1⋅x 2−5(x 1+x 2)+25=−2007−5×(−2)+25=−1972； （4）|x 1−x 2|=√(x 1−x 2)2=√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√(−2)2−4×(−2007)=4√502．【考点】根与系数的关系 【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2=−2，x 1⋅x 2=−2007．（1）将x 12+x 22变形为(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2，再代入计算即可求得结果； （2）将1x 1+1x 2变形为x 1+x 2⋅，再代入计算即可求得结果；（3）将(x 1−5)(x 2−5)变形为x 1⋅x 2−5(x 1+x 2)+25，再代入计算即可求得结果； （4）将|x 1−x 2|变形为√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2，再代入计算即可求得结果． 【解答】解：∵ x 1，x 2是方程x 2+2x −2007=0的两个根，∴ x 1+x 2=−2，x 1⋅x 2=−2007．（1）x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2=(−2)2−2×(−2007)=4018；（2）1x 1+1x 2=x 1+x 2⋅=−2−2007=22007；(3)(x 1−5)(x 2−5)=x 1⋅x 2−5(x 1+x 2)+25=−2007−5×(−2)+25=−1972； （4）|x 1−x 2|=√(x 1−x 2)2=√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√(−2)2−4×(−2007)=4√502．解：（1）∵ x 1、x 2是方程2x 2+x −3=0的两个根， ∴ x 1+x 2=−12，x 1⋅x 2=−32； （2）原式=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=(−12)2−2×(−32)−32 =−136．【考点】根与系数的关系 【解析】（1）直接利用根与系数的关系解答即可；（2）通分变形后，整体代入（1）中的数值得出答案即可． 【解答】 解：（1）∵ x 1、x 2是方程2x 2+x −3=0的两个根， ∴ x 1+x 2=−12，x 1⋅x 2=−32； （2）原式=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=(−12)2−2×(−32)−32 =−136．38.【答案】解：(1)∵ x 1，x 2是方程x 2+x −1=0的两根， ∴ x 1+x 2=−1，x 1x 2=−1， 则1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=−1−1=1；(2)(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1+4=5；(3)x 22−x 12=(x 2−x 1)(x 2+x 1)当x 1<x 2时，x 22−x 12=√5×(−1)=−√5， 当x 1>x 2时，x 22−x 12=−√5×(−1)=√5.【考点】根与系数的关系 【解析】(1)由根与系数的关系可得x 1+x 2=−1，x 1x 2=−1，将其代入到1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2即可得；(2)将x 1+x 2=−1，x 1x 2=−1代入到(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2即可得；(3)根据x 22−x 12=−(x 12−x 22)，结合(2)中结果即可得．【解答】解：(1)∵ x 1，x 2是方程x 2+x −1=0的两根， ∴ x 1+x 2=−1，x 1x 2=−1， 则1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=−1−1=1；(2)(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1+4=5；(3)x 22−x 12=(x 2−x 1)(x 2+x 1)当x 1<x 2时，x 22−x 12=√5×(−1)=−√5， 当x 1>x 2时，x 22−x 12=−√5×(−1)=√5.39. 【答案】由一元二次方程的根与系数的关系得到x 1+x 2=13，x 1⋅x 2＝−673， (x 1+2)(x 2+2)＝x 1⋅x 2+2(x 1+x 2)+4 ＝−673+2×13+4 ＝−66813．【考点】根与系数的关系 【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到x 1+x 2=13，x 1⋅x 2＝−673，再将(x 1+2)(x 2+2)变形为x 1⋅x 2+2(x 1+x 2)+4代入计算即可求解． 【解答】由一元二次方程的根与系数的关系得到x 1+x 2=13，x 1⋅x 2＝−673， (x 1+2)(x 2+2)＝x 1⋅x 2+2(x 1+x 2)+4 ＝−673+2×13+4 ＝−66813．40.【答案】 解：（1）∵ 一元二次方程的△=b 2−4ac =32−4×2×(−1)=17>0， 由根与系数的关系得：x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−12，∴ x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(−32)2−2×(−12)=134；（2）由根与系数的关系知：α+β＝k 2−1k−1=−k −1，αβ=(k−1)2k−1=k −1，α2+β2=((α+β)2−2αβ=(k +1)2−2(k −1)=k 2+3 ∴ k 2+3=4， ∴ k =±1， ∵ k −1≠0 ∴ k ≠1， ∴ k =−1，将k =−1代入原方程：−2x 2+4=0， △=32>0，∴ k =−1成立， ∴ k 的值为−1． 【考点】根与系数的关系 【解析】（1）先根据根与系数的关系得到x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−12，再利用完全平方公式变形得到x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算即可；（2）根据一元二次方程(k −1)x 2+(k 2−1)x +(k −1)2=0的两根分别为α，β，求出两根之积和两根之和的关于k 的表达式，再将α2+β2=4变形，将表达式代入变形后的等式，解方程即可．【解答】 解：（1）∵ 一元二次方程的△=b 2−4ac =32−4×2×(−1)=17>0， 由根与系数的关系得：x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−12，∴ x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(−32)2−2×(−12)=134；（2）由根与系数的关系知：α+β＝k 2−1k−1=−k −1，αβ=(k−1)2k−1=k −1，α2+β2=((α+β)2−2αβ=(k +1)2−2(k −1)=k 2+3 ∴ k 2+3=4， ∴ k =±1， ∵ k −1≠0∴ k ≠1， ∴ k =−1，将k =−1代入原方程：−2x 2+4=0， △=32>0，∴ k =−1成立， ∴ k 的值为−1．。
根与系数的关系(韦达定理)练习题
.一元二次方程根与系数的关系练习题一．选择题（共14小题）1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=02．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=03．（2011•锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．124．（2007•泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．35．（2006•贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣16．（1997•天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣27．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（）A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m28．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A．365 B．245 C．210 D．1759．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．810．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A．2008 B．2009 C．2010 D．201111．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8C．6D．012．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（）A．2007 B．2008 C．2009 D．201013．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（）A．0B．4C．﹣1 D．﹣414．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（）A．1006 B．2011 C．2012 D．2013二．填空题（共5小题）15．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为_________．16若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=_________．17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是_________．18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为_________．19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为_________．三．解答题（共11小题）20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m 的值．21．是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．27．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．28．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．29．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．30．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．一元二次方程要与系数的关系练习题参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=0考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣对以下选项进行一一验证并作出正确的选择．解答：解：A、∵x1+x2=1；故本选项错误；B、∵△=4﹣8=﹣4＜0，所以本方程无根；故本选项错误；C、∵x1+x2=1；故本选项错误；D、∵x1+x2=2；故本选项正确；故选D．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解答该题时，需注意，一元二次方程的根与系数的关系是在原方程有实数解的情况下成立的．2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0考点：根与系数的关系．分析：利用根与系数的关系求解即可．解答：解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α•β=﹣6，α+β=﹣3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，故选：B．点评：此题主要考查了根与系数的关系，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，则有x1+x2=﹣，x1x2=．3．（2011•锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．4．（2007•泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则代数式2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．3考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：欲求2x12﹣2x1+x22+3的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根．∴x12﹣2x1=4，x1x2=﹣4，x1+x2=2．∴2x12﹣2x1+x22+3=x12﹣2x1+x12+x22+3=x12﹣2x1+（x1+x2）2﹣2x1x2+3=4+4+8+3=19．故选A．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2006•贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣1考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：由a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，可以得到如下四个等式：a2+4a﹣3=0，b2+4b﹣3=0，a+b=﹣4，ab=﹣3；再根据问题的需要，灵活变形．解答：解：把a代入方程可得a2+4a=3，根据根与系数的关系可得ab=﹣3．∴a2﹣ab+4a=a2+4a﹣ab=3﹣（﹣3）=6．故选A点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要利用解的定义找一个关于a、b的相等关系，再根据根与系数的关系求出ab的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即可．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．6．（1997•天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣2考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：由两根之和的值建立关于a的方程，求出a的值后，再根据一元二次方程根与系数的关系求两根之积．解答：解；由题意知x1+x2=a=4a﹣3，∴a=1，∴x1x2=﹣2a=﹣2．故选B．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，在列方程时要注意各系数的数值与正负，避免出现错误．7．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（）A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m2考点：根与系数的关系．分析：设方程的一个根为a，则另一个根为3a，然后利用根与系数的关系得到两根与m、n之间的关系，整理即可得到正确的答案；解答：解：∵方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍，∴设一根为a，则另一根为3a，由根与系数的关系，得：a•3a=n，a+3a=﹣m，整理得：3m2=16n，故选B．点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练记忆根与系数的关系，难度不大．8．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A．365 B．245 C．210 D．175考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的意义，知a、b满足方程x2+（m﹣5）x+7=0①，又由韦达定理知a•b=7②；所以，根据①②来求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值，并作出选择即可．解答：解：∵a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，∴a、b满足方程x2+（m﹣5）x+7=0，∴a2+ma+7﹣5a=0，即a2+ma+7=5a；b2+mb+7﹣5b=0，即b2+mb+7=5b；又由韦达定理，知a•b=7；∴（a2+ma+7）（b2+mb+7）=25a•b=25×7=175．故选D．点评：本题综合考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值时，采用了根与系数的关系与代数式变形相结合的解题方法．9．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．8考点：根与系数的关系；勾股定理．分析：根据勾股定理求的a2+b2=25，即a2+b2=（a+b）2﹣2ab①，然后根据根与系数的关系求的a+b=m﹣1②ab=m+4③；最后由①②③联立方程组，即可求得m的值．解答：解：∵斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b，∴a2+b2=25，又∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，∴（a+b）2﹣2ab=25，①∵a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，∴a+b=m﹣1，②ab=m+4，③由①②③，解得m=﹣4，或m=8；当m=﹣4时，ab=0，∴a=0或b=0，（不合题意）∴m=8；故选D．点评：本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用．解答此题时，需注意作为三角形的两边a、b均不为零这一条件．10．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A．2008 B．2009 C．2010 D．2011考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：由于m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果解答：解：∵m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，∴m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，∴m2+m=2011，∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2012﹣1=2011．故选D．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8C．6D．0考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先利用根的定义使多项式降次，对代数式进行化简，然后根据根与系数的关系代入计算．解答：解：由题意有x12+x1﹣3=0，x22+x2﹣3=0，即x12=3﹣x1，x22=3﹣x2，所以x13﹣4x22+19=x1（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+19=3x1﹣x12+4x2+7=3x1﹣（3﹣x1）+4x2+7=4（x1+x2）+4，又根据根与系数的关系知道x1+x2=﹣1，所以原式=4×（﹣1）+4=0．故选D．点评：本题考查根与系数的关系和代数式的化简．求出x1、x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如x12=3﹣x1，x22=3﹣x2．12．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则代数式（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（）A．2007 B．2008 C．2009 D．2010考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：首先根据方程的解的定义，得m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，则有m2﹣2007m=m﹣2009，n2﹣2007n=n﹣2009，再根据根与系数的关系，得mn=2009，进行求解．解答：解：∵m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，∴m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，mn=2009．∴（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）=（m﹣2009+2009）（n﹣2009+2009）=mn=2009．故选C．点评：此题综合运用了方程的解的定义和根与系数的关系．13．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（）A．0B．4C．﹣1 D．﹣4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的定义，将x1、x2分别代入原方程，求得x12=﹣x1+1、x22=﹣x2+1；然后根据根与系数的关系求得x1x2=﹣1；最后将其代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，∴x12+x1﹣1=0，即x12=﹣x1+1；x22+x2﹣1=0，即x22=﹣x2+1；又根据韦达定理知x1•x2=﹣1∴（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）=﹣2x1•（﹣2x2）=4x1•x2=﹣4；故选D．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．14．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（）A．1006 B．2011 C．2012 D．2013考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：利用一元二次方程解的定义，将x=m代入已知方程求得m2=m+2012；然后根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、m+n的值代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，∴m2﹣m﹣2012=0，即m2=m+2012；又由韦达定理知，m+n=1，∴m2+n=m+n+2012=1+2012=2013；故选D．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．二．填空题（共5小题）15．（2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，则△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2+3m﹣2）=8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1（x2+x1）+x22=（x2+x1）2﹣x1x2=（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）=3m2﹣3m+2=3（m2﹣m+﹣）+2=3（m﹣）2+；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．16．（2013•江阴市一模）若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=﹣5．考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系列式计算即可求出x1+x2与x1•x2的值，再整体代入即可求解．解答：解：根据根与系数的关系可得，x1•x2=﹣1，x1+x2=﹣23．则2x1+2x2+x1x2=2（x1+x2）+x1x2=﹣2﹣3=﹣5．故答案为：﹣5．点评：本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系等知识，在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是1．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先根据根与系数的关系，根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，即可得到关于a的方程，求出a的值．解答：解：根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2a，x1x2=a2﹣2a+2．x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2a）2﹣2（a2﹣2a+2）=2a2+4a﹣4=2．解a2+2a﹣3=0，得a1=﹣3，a2=1．又方程有两实数根，△≥0即（2a）2﹣4（a2﹣2a+2）≥0．解得a≥1．∴a=﹣3舍去．∴a=1．点评：应用了根与系数的关系得到方程两根的和与两根的积，根据两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可把求a的值的问题转化为方程求解的问题．18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为﹣．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系可知，两根之和等于﹣，两根之积等于，由两个一元二次方程分别找出a，b和c的值，计算出两根之和，然后再把所有的根相加即可求出所求的值．解答：解：由2x2+3x﹣1=0，得到：a=2，b=3，c=﹣1，∵b2﹣4ac=9+8=17＞0，即方程有两个不等的实数根，设两根分别为x1和x2，则x1+x2=﹣；由x2﹣5x+7=0，找出a=1，b=﹣5，c=7，∵b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，∴此方程没有实数根．综上，两方程所有的实数根的和为﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，是一道基础题．学生必须掌握利用根与系数关系的前提是根的判别式大于等于0即方程有实数根．19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为﹣4．考点：根与系数的关系．分析：由m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，得出m+n=3，mn=a，整理（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，整体代入求得a的数值即可．解答：解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，∴m+n=3，mn=a，∵（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，∴mn﹣（m+n）+1=﹣6即a﹣3+1=﹣6解得a=﹣4．故答案为：﹣4．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．三．解答题（共11小题）20．（2004•重庆）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m的值．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．分析：首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将转化为关于m的方程，求出m的值并检验．解答：解：由判别式大于零，得（2m﹣3）2﹣4m2＞0，解得m＜．∵即．∴α+β=αβ．又α+β=﹣（2m﹣3），αβ=m2．代入上式得3﹣2m=m2．解之得m1=﹣3，m2=1．∵m2=1＞，故舍去．∴m=﹣3．点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系的综合运用．21．（1998•内江）是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据根与系数的关系，两实根的平方的倒数和．即可确定m的取值情况．解答：解：设原方程的两根为x1、x2，则有：，∴．又∵，∴m2﹣20=29，解得m=±7，∴△=m2﹣4×2×5=m2﹣40=（±7）2﹣40=9＞0∴存在实数±7，使关于原方程的两实根的平方的倒数和等于．点评：利用根与系数的关系和根的判别式来解决．容易出现的错误是忽视所求的m的值是否满足判别式△．22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？考点：根与系数的关系．分析：利用一元二次方程根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可得x2=3x1，分别代入两个式子，即可求出k的值，再利用一元二次方程根的判别式进行取舍即可．解答：解：由根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可分别代入上面两个式子，消去x1和x2，整理得：4k2﹣k=0，解得k=0或k=，当k=0时，显然不合题意，当k=时，其判别式△=1≥0，所以当k=时，方程两根之比为1：3．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系得到关于k的方程，注意检验是否满足判别式大于0．23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．考点：根与系数的关系；勾股定理．分析：先利用一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面可得关于m的方程，解出m的值，再利用一元二次方程根的判别式满足大于或等于0及实际问题对所求m的值进行取舍即可．解答：解：由一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面两个式子代入可得关于m的方程：（2m﹣1）2﹣8（m﹣1）=25，整理可得：m2﹣3m﹣4=0，解得m=4或m=﹣1，当m=4或m=﹣1一元二次方程的判别式都大于0，但当m=﹣1时，ab=﹣8，不合题意（a，b为三角形的边长，所以不能为负数），所以m=4．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及勾股定理的应用，解题的关键是得出关于m的方程进行求解，容易忽略实际问题所满足的条件而导致错误．24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用一元二次方程根与系数的关系表示出两实根的平方和，得到一个关于k的二次函数，求出取得最小值时k的值，再利用根的判别式进行验证．解答：解：设方程的两根分别为x1和x2，由一元二次方程根与系数的关系可得：，令y=，则y==（2k﹣1）2﹣2（1+k2）=2k2﹣4k﹣1=2（k﹣1）2﹣3，其为开口向上的二次函数，当k=1时，有最小值，但当k=1时，一元二次方程的判别式为△=﹣7＜0，所以没有满足△≥0的k的值，所以该题目无解．点评：本题主要考查地一元二次方程根与系数的关系，解题时容易忽略还需要满足一元二次方程有实数根．25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-配方法；根的判别式．分析：先根据根与系数的关系，可求出x1+x2，x1•x2的值，再结合x1﹣x2=2，可求出k的值，再利用根的判别式，可求出k的取值范围，从而确定k的值．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣=﹣（2k﹣1），x1•x2==﹣2k，又∵x1﹣x2=2，∴（x1﹣x2）2=22，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，∴（2k﹣1）2﹣4（﹣2k）=4，∴（2k+1）2=4，∴k1=，k2=﹣，又∵△=（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣2k）=（2k+1）2，方程有两个不等的实数根，∴（2k+1）2＞0，∴k≠﹣，∴k1=，k2=﹣．点评：一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（x1﹣1）（x2﹣1）=，即x1x2﹣（x1+x2）+1=，根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入x1x2﹣（x1+x2）+1=，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．解答：解：∵x1+x2=k，x1x2=k（k+4），∵（x1﹣1）（x2﹣1）=，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=，∴k（k+4）﹣k+1=，解得k=±3，当k=3时，方程为x2﹣3x+=0，△=9﹣21＜0，不合题意舍去；当k=﹣3时，方程为x2+3x﹣=0，△=9+3＞0，符合题意．故所求k的值为﹣3．点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．注意运用根与系数的关系的前提条件是：一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△≥0．27．（2011•南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组．专题：代数综合题；压轴题．分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．解答：解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，（2分）解得k≤0．故K的取值范（4分）围是k≤0．（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1（5分）x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．（6分）又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0．（7分）∵k为整数，∴k的值为﹣1和0．（8分）点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．28．（2012•怀化）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据根与系数的关系求得x1x2=，x1+x2=﹣；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围；（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即=4+，通过解该关于a的方程即可求得a的值；（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值．解答：解：∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴由根与系数的关系可知，x1x2=，x1+x2=﹣；∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0有两个实数根，∴△=4a2﹣4（a﹣6）•a≥0，且a﹣6≠0，解得，a≥0，且a≠6；（1）∵﹣x1+x1x2=4+x2，∴x1x2=4+（x1+x2），即=4﹣，解得，a=24＞0；∴存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立，a的值是24；（2）∵（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=﹣+1=﹣，∴当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a﹣6＞0，且a﹣6是6的约数，∴a﹣6=6，a﹣6=3，a﹣6=2，a﹣6=1，∴a=12，9，8，7；∴使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7．点评：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式．注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数）的二次项系数a≠0．29．（2010•东莞）已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．解答：解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．30．（2005•福州）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围；（2）利用根与系数的关系，不等式7+4x1x2＞x12+x22，即（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式，即可求得m的值．解答：解：（1）∵a=2，b=﹣2，c=m+1．∴△=（﹣2）2﹣4×2×（m+1）=﹣4﹣8m．当﹣4﹣8m≥0，即m≤﹣时．方程有两个实数根．（2）整理不等式7+4x1x2＞x12+x22，得（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式得1﹣3（m+1）﹣7＜0，解得m＞﹣3．又∵m≤﹣，且m为整数．∴m的值为﹣2，﹣1．点评：一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，且a≠0，b2﹣4ac≥0），根与系数的关系是：x1+x2=，x1x2=．选择是难，更何况是心灵选择。
中学数学 韦达定理 练习题(含答案)
第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．思路点拨 所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2思路点拨 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式．【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．思路点拨 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手．【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值．思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．【例5】 已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由．(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长． (2003年哈尔滨市中考题)思路点拨 对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式．注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．学历训练1．(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 ． (2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．2．已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 ．3．CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ．4．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，35．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )A ．23B ．25 C ．5 D ．2 6．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是( ) A ．1 B ．-l C ．21- D ．21 7．若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?8．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ．(1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值．9．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．10．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ．11．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．12．两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则b a a b +的值是( ) A ．9413 B ．1949413 C ．999413 D ．979413 13．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x14．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43C ．143≤<mD ．43≤m ≤1 15．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根．(1)求rn 的值；（2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的31，请说明理由．16．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2) 求22212111x mx x mx -+-的最大值． 17．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．18．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值．参考答案。
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕一．选择题〔共22小题〕1．〔2021•宜宾〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=02．〔2021•昆明〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕A．﹣4 B．﹣1 C．1D．43．〔2021•玉林〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？那么正确的结论是〔〕A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．〔2021•南昌〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕A．10 B．9C．7D．55．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣16．〔2021•烟台〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣17．〔2021•攀枝花〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣18．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或29．〔2021•长沙模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．010．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A．2021 B．2021 C．2021 D．202111．〔2021•江西模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕A．﹣6 B．6C．3D．﹣312．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．1313．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=114．〔2021•湖北〕α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，那么α2+αβ+β2的值为〔〕A．﹣1 B．9C．23 D．2715．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，那么a的值是〔〕A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=216．〔2021•天河区二模〕一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，那么x1+x2=〔〕A．4B．3C．﹣4 D．﹣317．〔2021•青神县一模〕m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，那么的值等于〔〕A．B．C．D．18．〔2021•莱芜〕m、n是方程x2+2x+1=0的两根，那么代数式的值为〔〕A．9B．±3 C．3D．519．〔2021•天门〕如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为〔〕A．3B．﹣3 C．13 D．﹣1320．〔2021•锦江区模拟〕假设方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，那么〔x1+2〕〔x2+2〕的值为〔〕A．﹣4 B．6C．8D．1221．〔2021•鄂州模拟〕p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，那么的值为〔〕A．1B．2C．D．22．〔2021•滨湖区一模〕假设△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么△ABC 的周长为〔〕A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10二．填空题〔共4小题〕23．〔2021•莱芜〕假设关于x的方程x2+〔k﹣2〕x+k2=0的两根互为倒数，那么k=_________．24．〔2021•呼和浩特〕m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，那么m2﹣mn+3m+n=_________．25．〔2021•广州〕假设关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，那么x1〔x2+x1〕+x22的最小值为_________．26．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，那么k的值是_________．三．解答题〔共4小题〕27．〔2021•泸州〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根．〔1〕假设〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=28，求m的值；〔2〕等腰△ABC的一边长为7，假设x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．〔2021•日照二模〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80．求实数a的所有可能值．29．〔2021•孝感〕关于x的一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．〔1〕求实数k的取值范围；〔2〕是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？假设存在，请求出k的值；假设不存在，请说明理由．30．〔2001•苏州〕关于x的一元二次方程，〔1〕求证：不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕参考答案与试题解析一．选择题〔共22小题〕1．〔2021•宜宾〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x1=1，x2=2那么两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，应选：B．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．2．〔2021•昆明〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x1•x2=1．应选：C．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．3．〔2021•玉林〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？那么正确的结论是〔〕A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在考点：根与系数的关系．分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，那么=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，那么=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．应选：A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．4．〔2021•南昌〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕A．10 B．9C．7D．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，那么将所求的代数式变形为〔α+β〕2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=〔α+β〕2﹣2αβ=22﹣2×〔﹣3〕=10．应选：A．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．应选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．6．〔2021•烟台〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到〔x1+x2〕2﹣2x1•x2=5，那么a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴〔x1+x2〕2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．应选：D．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．〔2021•攀枝花〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到〔α+β〕2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=〔α+β〕2﹣2αβ=〔﹣1〕2﹣2×〔﹣1〕=3；+===1．应选：D．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．8．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2﹣〔m+6〕+m2=0有两个相等的实数根得出b2﹣4ac=0，求得m的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=〔m+6〕2﹣4m2=﹣3m2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．应选：C．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．9．〔2021•长沙模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．应选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A．2021 B．2021 C．2021 D．2021考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2021=0，即a2+a=2021，那么a2+2a+b变形为a+b+2021，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2021=0的根，∴a2+a﹣2021=0，即a2+a=2021，∴a2+2a+b=a+b+2021，∵a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2021=﹣1+2021=2021．应选C．点评：此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．〔2021•江西模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕A．﹣6 B．6C．3D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0和3x2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x1x2=﹣3，由一元二次方程3x2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x1x2=2∴﹣3×2=﹣6应选A．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．12．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+〔k2+3k+5〕=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即〔k﹣2〕2﹣4〔k2+3k+5〕≥0所以3k2+16k+16≤0，所以〔3k+4〕〔k+4〕≤0解得﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2=k﹣2，x1•x2=k2+3k+5，得x12+x22=〔x1+x2〕2﹣2x1x2=〔k﹣2〕2﹣2〔k2+3k+5〕=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣〔k+5〕2，当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．应选：B．点评：此题考查了根与系数的关系，属于根底题，关键是根据△≥0先求出k的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．应选D．点评：此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．〔2021•湖北〕α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，那么α2+αβ+β2的值为〔〕A．﹣1 B．9C．23 D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=〔α+β〕2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；应选D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1x2=．15．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，那么a的值是〔〕A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入方程，得a﹣1=0，解得：a=1；②当x1=x2时，△=4﹣4〔a﹣1〕=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．应选：D．点评：此题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a的另一值．16．〔2021•天河区二模〕一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，那么x1+x2=〔〕A．4B．3C．﹣4 D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，直接利用x1+x2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，∴x1+x2=﹣=4．应选A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．17．〔2021•青神县一模〕m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，那么的值等于〔〕A．B．C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．应选D．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．18．〔2021•莱芜〕m、n是方程x2+2x+1=0的两根，那么代数式的值为〔〕A．9B．±3 C．3D．5考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．应选C．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两根分别为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了二次根式的化简求值．19．〔2021•天门〕如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为〔〕A．3B．﹣3 C．13 D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x1x2=a，x1+x2=﹣4，然后将其代入x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2〔x1+x2〕﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x1x2=a，x1+x2=﹣4，∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2〔x1+x2〕﹣5=a﹣2×〔﹣4〕﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；应选B．点评：此题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．〔2021•锦江区模拟〕假设方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，那么〔x1+2〕〔x2+2〕的值为〔〕A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4=〔﹣2〕+2×3+4=8．应选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．〔2021•鄂州模拟〕p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，那么的值为〔〕A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．应选A．点评：此题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．〔2021•滨湖区一模〕假设△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么△ABC 的周长为〔〕A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①假设b=c，那么b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②假设b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．应选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题〔共4小题〕23．〔2021•莱芜〕假设关于x的方程x2+〔k﹣2〕x+k2=0的两根互为倒数，那么k=﹣1．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的两个实数根，那么x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．〔2021•呼和浩特〕m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，那么m2﹣mn+3m+n=8．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m2+2m﹣5=0∴m2=5﹣2mm2﹣mn+3m+n=〔5﹣2m〕﹣〔﹣5〕+3m+n=10+m+n=10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．25．〔2021•广州〕假设关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，那么x1〔x2+x1〕+x22的最小值为．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，那么△=b2﹣4ac=4m2﹣4〔m2+3m﹣2〕=8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1〔x2+x1〕+x22=〔x2+x1〕2﹣x1x2=〔﹣2m〕2﹣〔m2+3m﹣2〕=3m2﹣3m+2=3〔m2﹣m+﹣〕+2=3〔m﹣〕2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：此题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．26．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，那么k的值是﹣2或﹣．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0，得4+2〔2k+1〕+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣〔2k+1〕，x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0，得4+2〔2k+1〕+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么〔x1﹣x2〕2=〔x1+x2〕2﹣4x1x2=[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2﹣2〕=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=〔2k+1〕2﹣4〔k2﹣2〕≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题〔共4小题〕27．〔2021•泸州〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根．〔1〕假设〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=28，求m的值；〔2〕等腰△ABC的一边长为7，假设x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：〔1〕利用〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=x1•x2﹣〔x1+x2〕+1=m2+5﹣2〔m+1〕+1=28，求得m的值即可；〔2〕分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：〔1〕∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2〔m+1〕，x1•x2=m2+5，∴〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=x1•x2﹣〔x1+x2〕+1=m2+5﹣2〔m+1〕+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；〔2〕①当7为底边时，此时方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4〔m+1〕2﹣4〔m2+5〕=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14〔m+1〕+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：此题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．〔2021•日照二模〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80．求实数a的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即〔3a﹣1〕2﹣4〔2a2﹣1〕=a2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣〔3a﹣1〕，x1•x2=2a2﹣1，由〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80变形得到3〔x1+x2〕2﹣16x1x2=﹣80，于是有3〔3a﹣1〕2﹣16〔2a2﹣1〕=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即〔3a﹣1〕2﹣4〔2a2﹣1〕=a2﹣6a+5≥0所以a≥5或a≤1．…〔3分〕∴x1+x2=﹣〔3a﹣1〕，x1•x2=2a2﹣1，∵〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80，即3〔x12+x22〕﹣10x1x2=﹣80，∴3〔x1+x2〕2﹣16x1x2=﹣80，∴3〔3a﹣1〕2﹣16〔2a2﹣1〕=﹣80，整理得，5a2+18a﹣99=0，∴〔5a+33〕〔a﹣3〕=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=〔﹣〕2﹣6×〔﹣〕+6=〔〕2+6×+6＞0，∴实数a的值为﹣点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：如果方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．〔2021•孝感〕关于x的一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．〔1〕求实数k的取值范围；〔2〕是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？假设存在，请求出k的值；假设不存在，请说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：〔1〕根据一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2+2k〕≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；〔2〕假设存在实数k使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k的值．解答：解：〔1〕∵原方程有两个实数根，∴[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2+2k〕≥0，∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0∴1﹣4k≥0，∴k≤．∴当k≤时，原方程有两个实数根．〔2〕假设存在实数k使得≥0成立．∵x1，x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3〔k2+2k〕﹣〔2k+1〕2≥0，整理得：﹣〔k﹣1〕2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由〔1〕知k≤，∴不存在实数k使得≥0成立．点评：此题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．〔2001•苏州〕关于x的一元二次方程，〔1〕求证：不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：〔1〕要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；〔2〕欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：〔1〕关于x的一元二次方程，∴△=〔﹣2k〕2﹣4×〔k2﹣2〕=2k2+8，∵2k2+8＞0恒成立，∴不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根．〔2〕∵x1、x2是方程的两个根，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣2，∴x12﹣2kx1+2x1x2=x12﹣〔x1+x2〕x1+2x1x2=x1x2=k2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
韦达定理练习题(含答案)
韦达定理练习题一．填空题（共16小题）1．方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为．2．已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝．3．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则ab﹣2022a﹣2022b的值是．4．设x1、x2是方程x2﹣mx＝0的两个根，且x1+x2＝﹣3，则m的值是．5．若m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为．6．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α、β，则αβ﹣α﹣β的值为．7．已知α，β是一元二次方程x2﹣x﹣9＝0的两个实数根，则代数式α2﹣2α﹣β+3的值为．8．设a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2024b＝．9．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的根，则的值是．10．α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为．11．关于x的一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两个根分别为x1和x2，则＝．12．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+（m+3）x﹣2＝0的两个不相等的实数根，且满足＝﹣1，则m的值是．13．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则mn+m+n＝．14．已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子的值是．15．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为．16．关于x的一元二次方程x2﹣kx+4＝0的两个实数根分别是x1、x2，且满足x12+x22﹣2x1﹣2x2﹣7＝0，则k的值为．二．解答题（共4小题）17．已知关于x的方程2x2+2kx+k﹣1＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求方程的另一个根．18．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．（1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根．（2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC 是等腰三角形？19．已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝3x2，求m的值．20．阅读材料并解决下列问题：材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求+的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，∴+＝＝＝＝﹣3．根据上述材料解决下面的问题：（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．参考答案与试题解析一．填空题（共16小题）1．方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为﹣1．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接可得答案．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．2．已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝﹣1．【分析】根据根与系数的关系解答．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0中的a＝b＝1，c＝﹣1，∴x1x2＝＝﹣1．故答案是：﹣1．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．3．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则ab﹣2022a﹣2022b的值是2019．【分析】由a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系即可求出两根之和和两根之积，代入代数式即可求解．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣3．∴ab﹣2022a﹣2022b＝ab﹣2022（a+b）＝﹣3﹣2022×（﹣1）＝2019，故答案为：2019．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．4．设x1、x2是方程x2﹣mx＝0的两个根，且x1+x2＝﹣3，则m的值是﹣3．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝m，而x1+x2＝﹣3，所以m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．5．若m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为1．【分析】利用根与系数的关系可得出m+n＝﹣2021，mn＝﹣2022，再将其代入m+n﹣mn 中即可求出结论．【解答】解：∵m，n是方程x2+2021x﹣2022＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2021，mn＝﹣2022，∴m+n﹣mn＝﹣2021﹣（﹣2022）＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．6．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α、β，则αβ﹣α﹣β的值为﹣2．【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝3，αβ＝1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据根与系数的关系得到α+β＝3，αβ＝1，所以αβ﹣α﹣β＝αβ﹣（α+β）＝1﹣3＝﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．7．已知α，β是一元二次方程x2﹣x﹣9＝0的两个实数根，则代数式α2﹣2α﹣β+3的值为11．【分析】利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出α2﹣α＝9，α+β＝1，再将其代入α2﹣2α﹣β+3＝α2﹣α﹣（α+β）+3中即可求出结论．【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣9＝0的两个实数根，∴α2﹣α﹣9＝0，α+β＝1，∴α2﹣α＝9，所以α2﹣2α﹣β+3＝α2﹣α﹣（α+β）+3＝9﹣1+3故答案为：11．【点评】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系，找出α2﹣α＝9，α+β＝1是解题的关键．8．设a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2024b＝﹣2024．【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2＝﹣a+2021，再用a表示a3得到a3＝2022a ﹣2021，所以原式变形为2024（a+b），接着根据根与现实的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a为x2+x﹣2021＝0的根，∴a2+a﹣2021＝0，即a2＝﹣a+2021，∴a3＝a（﹣a+2021）＝﹣a2+2021a＝a﹣2021+2021a＝2022a﹣2021，∴a3+a2+3a+2024b＝2022a﹣2021﹣a+2021+3a+2024b＝2024（a+b），∵a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，∴a3+a2+3a+2024b＝2024×（﹣1）＝﹣2024．故答案为：﹣2024．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．9．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的根，则的值是﹣1．【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，把求出的两根之和与两根之积代入计算，即可求出值．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣1，∴＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题10．α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为﹣4．【分析】α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝4，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x+k﹣1＝0的根，∴α2﹣α+k﹣1＝0，α+β＝1，∴α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝﹣k+1﹣1＝﹣k＝4，∴k＝﹣4，故答案是：﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．11．关于x的一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两个根分别为x1和x2，则＝．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再由进行求解即可．【解答】解：∵一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两根是x1，x2，∴，，∴．故答案是：．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．12．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+（m+3）x﹣2＝0的两个不相等的实数根，且满足＝﹣1，则m的值是﹣5．【分析】根据根与系数的关系结合＝﹣1，即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，再由根的判别式Δ＞0，即可确定m的值．【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2+（m+3）x﹣2＝0的两个不相等的实数根，∴a+b＝﹣（m+3），ab＝﹣2，∵＝﹣1，即＝＝﹣1，解得：m＝﹣5．∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝（m+3）2﹣4×（﹣2）＝（m+3）2+8＞0，∴m＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合＝﹣1，找出关于m的方程是解题的关键．13．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则mn+m+n＝﹣7．【分析】根据根与系数的关系得到m+n＝﹣2，mn＝﹣5，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：根据题意得：m+n＝﹣2，mn＝﹣5，所以mn+m+n＝﹣5+（﹣2）＝﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．14．已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子的值是27．【分析】利用一元二次方程解的定义和根与系数的关系，采用整体代入求解．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，∴m2＝3m+2，n2﹣2＝3n，m+n＝3，∴m3﹣10m+n＝m（3m+2）﹣10m+n＝3m2﹣8m+n＝3（3m+2）﹣8m+n＝m+n+6＝3+6＝9，n﹣＝＝＝3，原式＝9×3＝27．故答案为：27．【点评】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，利用整体思想代入求值是解题的关键．15．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为4．【分析】利用一元二次方程解的定义得到x12＝2x1+2，x22＝2x2+2；然后由根与系数的关系求得x1+x2＝2；最后代入所求的代数式求值即可．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，∴x12＝2x1+2，x22＝2x2+2，x1+x2＝2．∴x12﹣x22+4x2＝（2x1+2）﹣（2x2+2）+4x2＝2（x1+x2）＝2×2＝4．故答案是：4．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．16．关于x的一元二次方程x2﹣kx+4＝0的两个实数根分别是x1、x2，且满足x12+x22﹣2x1﹣2x2﹣7＝0，则k的值为5．【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝k，x1x2＝4，再把已知的条件进行整理，整体代入运算即可求解．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2＝k，x1x2＝4，∵x12+x22﹣2x1﹣2x2﹣7＝0，∴（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）﹣7＝0，∴k2﹣2×4﹣2k﹣7＝0，整理得：k2﹣2k﹣15＝0，解得：k＝5或k＝﹣3，当k＝﹣3时，Δ＝32﹣4×1×4＝9﹣16＝﹣7＜0，则原方程无实数解，故k＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系并灵活运用．二．解答题（共4小题）17．已知关于x的方程2x2+2kx+k﹣1＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求方程的另一个根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ4（k﹣1）2+4＞0，由此可证出方程有两个不相等的实数根；（2）把x＝﹣1代入方程，求得k＝1，即可得出2x2+2x＝0，然后解方程即可求出方程的另一个根．【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝（2k）2﹣4×2×（k﹣1）＝4k2﹣8k+8＝4（k﹣1）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x＝﹣1是该方程的一个根，∴2﹣2k+k﹣1＝0，解得k＝1，∴方程为2x2+2x＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝0，∴方程的另一个根为x＝0．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”．18．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．（1）证明无论k取何值时方程总有两个实数根．（2）△ABC中，BC＝5，AB、AC的长是这个方程的两个实数根，求k为何值时，△ABC 是等腰三角形？【分析】（1）表示出方程根的判别式，根据根的判别式的正负即可确定出方程根的情况；（2）由（1）得到AB≠AC，分AC＝BC与AB＝BC两种情况求出k的值即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，∴无论k取何值时方程总有两个实数根．（2）解：∵方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的解为：x＝＝，即x1＝k+2，x2＝k+1，∵AB、AC是方程的两个实数根，∴AB≠AC，∵BC＝5，∴当k+2＝5，或k+1＝5时，△ABC是等腰三角形，∴k＝3或4，故当k为3或4时，△ABC是等腰三角形．【点评】此题考查了根与系数的关系，涉及的知识有：一元二次方程根与系数的关系，根的情况判断，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝3x2，求m的值．【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，判断Δ与0的关系．（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，再利用x1＝3x2形成关于m 的方程，然后求解即可．【解答】（1）证明：关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣4m，c＝4m2﹣4．∴Δ＝（﹣4m）2﹣4×1×（4m2﹣4）＝16＞0．∴此方程有两个不相等的实数根；（2）解：若此方程的两个根分别为x1，x2，由题意得，x1+x2＝4m，x1x2＝4m2﹣4．∵x1＝3x2，∴3x2+x2＝4m，即x2＝m，∴x1＝3m，∴3m•m＝4m2﹣4，即m2＝4，解得m＝±2．当m＝﹣2时，x1＝﹣6，x2＝﹣2．此时x1＜x2，不符合题意．∴m＝﹣2舍去故m的值为2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，及根与系数的关系，根据根与系数的关系及两个根的关系得到方程中有关参数的方程是解题的关键．20．阅读材料并解决下列问题：材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求+的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，∴+＝＝＝＝﹣3．根据上述材料解决下面的问题：（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣．（2）已知实数m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p，q满足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．【分析】（1）5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，则x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．（2）由题意m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，由此可得结论；（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，由此可得结论．【解答】解：（1）在5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．故答案为：﹣2，﹣；（2）∵m，n满足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，m≠n，∴m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的两个不等的实数根，∴m+n＝1，mn＝﹣，∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣×1＝﹣；（3）由题意知p与2q即为方程x2﹣7x+2＝0的两个不等的实数根，∴p+2q＝7，2pq＝2，∴p2+4q2＝（p+2q）2﹣4pq＝72﹣2×2＝45．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．。
韦达定理全面练习题及答案
1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ）(A )－31 (B) 31(C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B) －6 (C ) 21 (D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。
九年级数学(根与系数的关系)练习题 试题
轧东卡州北占业市传业学校宁阳实验九年级数学<根与系数的关系>北师大假设一元二次方程2ax ＋b x ＋c ＝0〔a ≠0〕有两个实数根a2ac4b b x 221-±-=，那么有1222b bx x a a-+===-；221222(4)444b b ac ac cx x a a a--====。
所以，一元二次方程的根与系数之间存在以下关系：如果2ax ＋b x ＋c ＝0〔a ≠0〕的两根分别是1x ,2x ，那么1x +2x ＝b a -， 21x x ⋅＝ca。
这一关系也被称为韦达定理。
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋p x ＋q ＝0，假设1x ,2x 是其两根，由韦达定理可知，1x +2x ＝－p ，21x x ⋅＝q ，即p ＝－(1x +2x )，q ＝21x x ⋅，所以，方程2x ＋p x ＋q ＝0可化为2x －(1x +2x )x ＋21x x ⋅＝0，由于1x ,2x 是一元二次方程x2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程2x －(1x +2x )x ＋21x x ⋅＝0。
因此有以两个数1x ,2x 为根的一元二次方程〔二次项系数为1〕是2x －(1x +2x )x ＋21x x ⋅＝0。
例1、方程2560xkx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值。
分析：由于了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根。
但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值。
解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7。
所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得1x ＝2，2x ＝－35。
所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7。
一元二次方程根与系数的关系专项练习题 答案
一元二次方程根与系数的关系专项练习题参考答案：1、第一个方程022=-++a a x x ，即有0)1)((=-++a x a x .1,21-==a x a x故122)1(2222221+-=-+=+a a a a x x 由第二方0)2)(12()13(2=-++--a a x a x ，得0)]2()][12([=--+-a x a x 2,1243-=+=a x a x若x 3为整数，则121222+=+-a a a ，解得0=a 或2，此时13=x 或5若x 4为整数，则21222-=+-a a a ，即03322=--a a ，此方程无有理根 综上可知，当0=a 或2时，第一个方程的两个实数根的平方和等于第二个方程的一个整数根。
2、设)(x f 在10≤≤x 的最小值为M ，原问题等价于21,12≥≥M M 二次函数122+-=mx x y 的图像是一条开口向上的抛的线①当对称轴0≤=m x 时，由图像可知，0=x 时，1=最小y ，这时211≥成立。
②当对称轴m x =，10<<m 时，由图像可知m x =时，最小y 且21m y -=最小，这时有21,21122≤≥-m m ，故有220≤<m ③当对称轴m x =，1≥m 时，由图像可知，1=x 时，最小y 且m y 22-=最小，这时有43,2122≤≥-m m 与1≥m 矛盾。
综上可知，满足条件的m 存在，且m 的取值范围是22≤m3．解：由条件可得222c b a ++，ab 2为方程0412=+-x x 的二根， ∴212222==++ab c b a 由ab c b a 2222=++得()022=+-c b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧===021c b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-==021c b a ∴方程0)()2()(2=+-+-+b a x c a xb a 可化为012=--x x∴βαβα++33＝()αββααββα3222-+=-+＝44、（1）方程有两个实数根，则012≠-m ，解方程得161+=m x ，132-=m x ．由题意，得11,2,3,6,11,3,m m +=⎧⎨-=⎩ 即⎩⎨⎧==.4,2,5,2,1,0m m 故2=m ．（2）把2=m 代入两等式，化简得0242=+-a a ，0242=+-b b ， 当b a =时，22±==b a ．当b a≠时，a 、b 是方程0242=+-x x 的两根，而△＞0，由韦达定理得，4=+b a ＞0，2=ab ＞0，则a ＞0、b ＞0．①b a≠，32=c 时，由于2222124162)(c ab b a b a ==-=-+=+故△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°，S △ABC ＝121=ab ． ②22-==b a ，32=c 时，因)22(2-<32，故不能构成三角形，不合题意，舍去． ③22+==b a ，32=c 时，因)22(2+＞32，故能构成三角形．S △ABC＝12⨯=综上，△ABC 的面积为1或2129+6、（1）由题意知0<a ．因为图像过点)1,0(,所以1=c ,又图像过点)0,1(,所以01=++b a ,即1--=a b ,由图像知,当1-=x 时, 0>y ,所以01>+-b a ,所以1->a ，故a 的取值范围为01<<-a ．（2）由（1）得，1)1(2++-=x a ax y ，令0=y ，得1,121==x ax ， ∴C （a 1，0）， ∴aAC 11-=，OA ＝OB ＝1． 由231)11(2121=⨯-=⨯=∆a OB AC S ABC ，解得21-=a ．于是，89)21(211212122++-=+--=x x x y ，∴M（21-，89）．所以，AOM BOM AOB ABM S S S S ∆∆∆∆-+=16389121411211121=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=．。
(完整word版)一元二次方程-韦达定理的应用及答案
一元二次方程韦达定理的应用知识点:一元二次方程根的判别式 ：当△>0 时________方程_____________，当△=0 时_________方程有_______________ ， 当△〈0 时_________方程___________ .韦达定理的应用：1.已知方程的一个根,求另一个根和未知系数2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值3.已知方程两根满足某种关系， 确定方程中字母系数的值4.已知两数的和与积， 求这两个数例 1。
关于 x 的一元二次方程 2223840x mx m m --+-=.求证: 当 m>2 时,原方程永远有两个实数根.例 2。
已知关于 x 的方程22(1)10kx x x k -++-=有两个不相等的实数根.(1）求 k 的取值范围;(2）是否存在实数 k, 使此方程的两个实数根的倒数和等于 0？若存在， 求出 k 的值;若不存在， 说明理由。
例 3.已知关于 x 的方程222(3)410x k x k k --+--=（1)若这个方程有实数根， 求 k 的取值范围；（2)若这个方程有一个根为 1， 求 k 的值；例 4.已知关于 x 的一元二次方程21(2)302x m x m +-+-=（1）求证: 无论m 取什么实数值, 这个方程总有两个不相等的实数根。
（2)若这个方程的两个实数根12,x x 满足1221x x m +=+， 求 m 的值。
例 5。
当 m 为何值时， 方程28(1)70x m x m --+-=的两根：(1) 均为正数； (2）均为负数； (3）一个正数, 一个负数； （4）一根为零； (5）互为倒数； （6)都大于 2。
例 6.已知 a ，b ，c ，是△ ABC 的三边长， 且关于 x 的方程 22(1)2(1)0b x ax c x --+-=有两个相等的实根，求证: 这个三角形是直角三角形。
例 7。
若 n>0 ，关于 x 的方程21(2)04x m n x mn ---=有两个相等的正的实数根， 求mn的值。
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韦达定理（根与系数的关系)
韦达定理:对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,如果方程有两个实数根12,x x ,那么
1212,b c x x x x a a
+=-= 说明:定理成立的条件0∆≥
练习题
一、填空：
1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ,2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = ．
2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x ＋2x = ，1x 2x = .
3、方程01322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x ＝ ,1x 2x ＝ ．
4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m ＝ ;如果两根互为倒数，那么n ＝ .
5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和-４,那么m = ，n = .
6、以1x ，2x 为根的一元二次方程(二次项系数为1）是 .
7、以13+,13-为根的一元二次方程是 .
8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . ９、以23+和23-为根的一元二次方程是 .
１0、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为 .
１1、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ,2x ,那么2212x x += ．
12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ,m 的值是 .
13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数,则k ＝ ,若两根互为倒数，则k = .
14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3,那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .
二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:
(1)2212x x += ； ﻩ(2）2
111x x += ; （3）=-221)(x x ＝ ;
(4))1)(1(21++x x = .
三、选择题: 1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是( )
(A ）0 (B ）正数 (C ）-8 （Ｄ)－４
2、已知方程122-+x x ＝０的两根是1x ,2x ,那么=++12
21221x x x x ( )
(A )-７ （Ｂ) 3 (C ) ７ (D ） -3
３、已知方程0322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么2111x x +=（ ） (A )-31 (B) 3
1 （C ）3 (D ） －3 ４、下列方程中,两个实数根之和为2的一元二次方程是( ）
(A)0322=-+x x (B ） 0322=+-x x
（Ｃ）0322=--x x (D)0322=++x x
5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）
(A ）5或－2 (B) ５ (C ) －2 （Ｄ) -5或2
6、若方程04322=--x x 的两根是1x ,2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是( ）
(Ａ )-21 (B ） -6 (C ） 21 (Ｄ) －2
5 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）
（Ａ)0162=++y y (B) 0162=+-y y
（Ｃ）0162=--y y (D)0162=-+y y
四、解答题:
1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5,求另一个根及m 的值．
2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根,且这两根平方和比两根积大２1. 求m 的值.
3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9． 求m 的值.
4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.
5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数,求m 的值.
６、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和,求m 的值.
7、已知方程m x x 322+-=0,若两根之差为-4,求m 的值.
8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．
(1) 是否存在实数k ,使12123(2)(2)2
x x x x --=-成立?若存在,求出k 的值；若不存在,请您说明理由．
（２) 求使
1221
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.
ﻬ
答案:
ﻬ
ﻬ。