凸函数

凸函数是定义在向量空间的凸子集C (interval)上的实值函数f，对于任意两个向量x1, X2, f ((x1 + X2) / 2)≤(f (x1) + f (X2)) / 2。

因此，很容易得到，对于(0,1)中的任意有理数P, f (PX1 + (1- P) x2)≤PF (x1) + (1- P) f (x2)。如果f是连续的，那么p可以变成(0,1)中的任意实数。

如果凸集C是某个区间I，则为:设f是定义在区间I上的函数。如果对于任意两点x1, X2和任意在I上的实数映射∈(0,1)，总存在

f(λx1 +(1 -λ)x2)≤λf (x1) +(1 -λ)f (x2),

那么f被称为I上的凸函数。

可以用定义方法、已知结论和函数的二阶导数来判断

对于实数集合上的凸函数，一般的判别准则是求其二阶导数。如果二阶导数在区间内非负，则称为凸函数。(凸向下)

如果二阶导数在区间内总是大于0，则称为严格凸函数。

折叠编辑此部分的函数属性

折叠的财产

定义在开区间C上的凸函数f在C上连续，在除可数点外的所有点上均可微。如果C是一个闭区间，那么f在C的末端可能是不连续的。

单变量可微函数在一定区间内是凸函数，当且仅当其导数在该区间内是单调的。

一个变量的一个连续可微函数是凸间隔当且仅当函数是最重要的是它的切线:所有x和Y间隔,有(Y)≥f (x) + f”(x) x (Y−)。特别是,如果

f (c) = 0,那么c f (x)的最小值。

当且仅当它的二阶导数非负时，它可以用来判断一个函数是否为凸函数。如果它的二阶导数是正的，那么函数是严格凸的，但反过来就不成立。例如，F (x) = X4的二阶导数为F "(x) = 12 X2，当x = 0时，F "(x) = 0，但X4是严格凸的。

更一般地说，一个多元二次可微连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集内是正定的。

凸函数的任何最小值也是最小值。严格凸函数最多有一个最小值。对于凸函数f，水平子集{x | f (x) <a}和{x | f (x)≤a} (a∈R)为凸集。但是，层次子集为凸的函数不一定是凸函数;这种函数称为拟iconvex 函数。

Jensen不等式对每个凸函数F都成立，如果x是一个值在F定义域内的随机变量，则(这里e是数学期望)。