结构力学 第六章

ϕC 左右 =？
A m=1
B
m=1
ϕ AB
=?
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
位移计算的一般公式：
∆ k
=
∑∫(Ndu +
Qdυ
+
Mdϕ) −
∑Rc
在只有荷载作用时，位移计算的一般公式：
∆ kP
=
∑∫
(NduP
+
QdυP
+
MdϕP
)
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
duP
=
NPds EA
dυP
本章主要内容：
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 温度变化情况下的位移计算 §6-7 支座移动情况下的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理
§6-1 概述
一、结构的位移
∆CH
C C′
Pl/2
− 1 × l × 3l × Pl 2EI 2 4
= Pl3 ( ↓ )
16EI
C EI B
l
l/2
EI P
Pl/4 A
l
2EI
D
MP图
Pl
l
1 M图
例3.
已知
EI
为常数，求
∆ Cy
。
解：作荷载和单位荷载的内力图
∆ Cy
=
1 EI
[( 1 × 3
ql 2 8
×
l ) × 3l 28
y3
=
l 4
c
a ω1
ω2
b
c
y1 y2
d
∫ MPMdx =ω1y1 +ω2 y2
y1
=
2c + 3
d
y2
=
c
+d 2
(3) 梯-梯异侧组合
A
aω 1
C
y1
c
B
ω 2
b
D
y2
d
y1
=
−
2c + 3
d
y2
=
2d − 3
c
∫ MPMdx =ω1y1 +ω 2 y2
(4) 阶梯形截面杆
ω1
ω2
ω3
I1
I2
I3
y1
y2
12
5
( ∆ Ay ) N
~ 2 (h)2 15 l
,
( ∆ Ay ) Q
~
2 25
E G
( h )2 l
G
=
E 2 (1 +
µ)
0 < µ ≤ 0 .5
2< EG ≤3
取：
h l
=
1 10
， E G = 2.5 ，有：
(∆ Ay )N
~
1 750
,
(∆ Ay )Q
~
1 500
即：
∆ Ay
=
5ql 4 8EI
l
l
l
l
W = ∑ ∫ Ndu + ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ Qdv
l
l
l
几个问题？
（1）质点系的虚功原理？ （2）刚体系的虚功原理？ （3）变形体的虚功原理？
（1）质点系的虚功原理？
具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的 必要和充分条件是： 对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力 所做虚功之和为零。
k P1 du dϕ dv
B t1 K
C
t2 ∆K ds
c3
K′ P2
k
A
c2
R1
c1 位移状态 (实际状态)
根据：虚功原理
PK = 1
NMQ
B
K
C
ds
R3
A
力状态 R2 (虚拟状态)
例. 求图示结构中 K 点沿 k-k 方向的位移
∆
。
K
解：构造虚力状态如图
外力虚功: T = PK ⋅ ∆ K + R1c1 + R2c2 + R3c3
=
kQPds GA
dϕP
=
MPds EI
∆ kP
=
∑
∫
MM Pds EI
+∑
∫
N N Pds EA
+∑
∫
kQ QPds GA
荷载作用下的位移计算公式
例 1：求刚架A点的竖向位移。
（实际状态）
（虚拟状态）
1 ql 2 2
1 qx2 x 2
MP
ql x
qx
QP
ql
NP
注意： 实际状态和虚设状态的内力正负号规定要一致
广义位移
广义力
线位移 角位移 相对线位移 相对角位移
集中力 集中力偶 一对集中力 一对集中力偶
M=1 A
ϕA =?
P=1 d
C
d
A P=1 d
B
ϕ BC
=?
B
A
∆ AB
=
?
1
d1
C
1 d1 A
d1 d2
B
1
1
d2
d2
ϕ = ? AB− AC
4
A
P=1
∆ AB
=?
B
P=1
A m=1
ϕ A
=
?
m=1 C m=1
∆ DH
D′ D
ϕA
P
ϕB
A
B
∆ CH
∆ DH
ϕA
ϕB
线位移 角位移
∆CDH = ∆CH + ∆DH 相对线位移
ϕ AB = ϕ A + ϕB
相对角位移
广义位移
引起结构位移的原因： 荷载、 温度改变 ∆T、 支座移动 ∆c、
制造误差 δ 等。
二、计算位移的目的:
(1) 刚度要求 (2) 超静定、动力和稳定计算
1. 虚位移原理(Principle of Virtual Displacements)
用于虚设的位移状态与实际的力状态之间 的虚功原理——求未知力 。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。
A
(a)
P B
C
a
b
解：构造相应的虚位移状态
外力虚功总和为零，即： (b)
P
T
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
(1) 曲-折组合 ω1
ω2
ω3
y1
y2
y3
∫ ∑ MPMdx = ω1y1 +ω 2 y2 +ω 3y3 = ω j yj
(2) 梯-梯同侧组合
a ω1
ω2 b
c
y1
y2 d
∫ MPMdx =ω1y1 +ω2 y2
y1
=
2c + 3
d
y2
=
2d + 3
∫ ∫ ∆By =
l MPM ds 0 EI
=
π 2
MPM
Rdϑ
0 EI
= π PR3 (↓) 4EI
同理有：
∆ Bx
=
−
PR 3 2 EI
(→)
例 3：求对称桁架D点的竖向位移∆ DY 。
解： 构造虚拟状态并求出实际和虚拟状态中 各杆的内力
∑ E=210GPa ∆ DY =
N N Pl = 8mm ( ↓ ) EA
l xx
M
1 1
x
Q
N
∆ Ay
=
∑
∫
MM Pds EI
+∑
∫
N N P ds EA
+∑
∫
kQ QPds GA
=
5ql 4 8EI
(1 +
8I 5Al 2
+
4kEI 5GAl 2
)
E /G的 取值范围 是什么？
讨论：
设杆件截面为 b×h 的矩形截面杆，有：
A = bh , I = bh 3 , k = 6
为常数
yC M 图 （2）两个M
B
x
图中有一 个是直线
（3）yc 取
自直线图中
常见图形的面积和形心位置
6
注意事项：
∑∫ ∑ ∆kP =
MMPds = ωyC
EI
EI
1. 图乘法的应用条件：
（1）等截面直杆，EI为常数；
（2）两个M图中应有一个是直线；
（3） yc 应取自直线图中。
2. 若 ω 与 yc 在杆件的同侧，ωyc取正值；
一般公式的普遍性表现在：
1. 变形因素：荷载、温度改变、支座移动等； 2. 结构类型：静定和超静定结构； 3. 材料性质：弹性、非弹性； 4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；
5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移和 相对角位移。
单位荷载法—利用虚功原理求结构位移时，在所 求位移地点沿所求位移方向加一个 单位荷载作为虚拟力状态，以使荷 载虚功恰好等于所求位移。这种计 算位移的方法称为单位荷载法。
竖向位移 ∆. A′
c
(a)
A
B
C
∆
a
C′
b
解：构造相应的虚力状态
由 ∑ M B = 0 求得：
A′
RA
=
−
b a
虚功方程为：
c
(a)
A
B
C
∆
a
C′
b
1⋅ ∆ + RA ⋅c = 0
A
(b)
1 B
C
∆ = bc a
RA
单位荷载法(Dummy-Unit Load Method)
几点体会：
(1) 由虚力原理建立的虚功方程，实质上是 实际位移状态的几何方程，即 ∆ 与c 之间 的几何关系。
变形虚功: W = ∑ ∫ (N du + Q dv + M dϕ )
由虚功原理 T = W 有： 位移计算的一般公式
Pk ∆k = ∑∫(Ndu+Qdυ +Mdϕ)−∑Rc
△k “＋
的 “ ＋ ”、“－ ” 问题：
” 表示所求位移方向与假设的单包∆位含K 中力了是方温否向度一致；
“－ ” 表示所求位移方向与假设的单t 位的力影方响向？相反。
（2）刚体系的虚功原理？ 刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外 力所做虚功之和为零。
（3）变形体的虚功原理？
变形体处于平衡的必要和充分条件是：对于任何 可能的虚位移，外力虚功等于变形虚功。即
T= W
外力虚功 T = ∑ P∆ + ∑ Rc
变形虚功 W = ∑ ∫ Ndu + ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ Qdv
故可设
δ x
=1
(3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关 系, 由此得到实际力状态力的静力平衡关系。
特点: 是用几何法来解静力平衡问题。
2. 虚力原理(Principle of Virtual Forces)
用于虚设的力状态与实际的位移状态之间的 虚功原理——求未知位移 。
例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的
(2)虚力状态与实际位移状态无关，故可设 P=1。
(3) 求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡 关系，由此得到实际位移状态的位移关系。
特点: 是用静力平衡法来解几何问题。
3
必须非常清楚的是： 虚功方程
（虚位移原理）
实际受力状态的 平衡方程
虚功方程 （虚力原理）
实际位移状态的 几何方程
7-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
(1 +
1+ 750
1) 500
因此，对受弯杆件，通常略去N，Q的影响。
5
杆对
几点讨论（只有荷载作用）：
同于
∆ kP
=
∑
∫
MM Pds EI
+∑
∫
NN P ds EA
+∑
∫
kQ QPds GA
样小 适曲 用率
1.
对梁和刚架：
∆ kP
=
∑∫
MM Pds EI
2. 对桁架：
∑ ∆kP
=∑∫
NN P ds EA
∑ ∫ ∑ 对于梁和刚架
∫
MM EI
P
ds
∆kP =
=
1 EI
∫
MM Pdx
y
=
1 EI
∫
xtgα
⋅
M
P dx
MM Pds = ω yC
EI
EI
面积 ω
图乘法的
应用条件
MP
C MP图 （1）等截面
A dx B
直 杆，EI
=
tgα EI
∫
xM
P dx
=
tgα EI
⋅ω
⋅
xc
O
= ωyc
EI
α
M
xA
xC
三、计算假定：
(1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), (3) 理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
§6-2 变形体系的虚功原理
外力虚功——作用在结构上的外力所作的虚功。
=
X
⋅∆ X
+
P ⋅ ∆C
=
0
X
X
⋅∆ X
+
P
⋅
b a
∆
X
=0
(c)
HB VB
X =−bP
∆ X
a
∆ c
∆
通常取
∆ X
=1=δx
单位位移法(Unit-Displacement Method)
几点体会： (1) 由虚位移原理建立的虚功方程，实质
上是实际受力状态的平衡方程，即
∑MB =0
(2)
虚位移状态与实际力系无关,
y2
=
l 3
y1
=
3l 8
20KN
20KN
1A0KN-676.10E0
-44.7 -22.420 60
(2) (1)
C
20KN
(20) (10)
G
10KN
(20)
(4)
(4) B
2m
F
D
H
40KN
NP (KN)
A(10-4m2)
4 x 2m
40KN
-1.12
-1.112 0
0 1
1
N (KN) 1
0.5
0.5
§6-5 图乘法
C
B
l
l
2
2
∆
B
Cy
=∆EC2yI
[=(
21× 3EI
2l32××81l q×l812 )q×l(285××4l4l )]
= 5 ql 4 ( ↓ )
384 EI
7
例 2. 已知 EI 为常数，求刚架A点的竖向位移∆ Ay
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
∑ ∆ Ay =
ω yc EI
Pl/2
= 1 × l × l × Pl EI 2 2
q R3
R1
P
ds
c1
R2
c3
c2
ds
力状态
位移状态
T = ∑ P∆ + ∑ Rc
1
虚应变能（内力虚功、变形虚功）：
wenku.baidu.com
力状态的内力在位移状态的变形上所作
的虚功。
M
M+dM
dϕ
N
ds
N+dN
Q Q+dQ
ds du
ds
ds dv
变形虚功：
dW = Ndu + Mdϕ + Qdv
∫dW = ∫ Ndu+ ∫ Mdϕ + ∫Qdv
l
l
l
以上结论与材料物理性质无关。因此，虚功原理
既适用于弹性体系，也适用于非弹性体系；既适
用于线性体系，也适用于非线性体系。
注意：
（1）两种状态属同一体系； （2）两种状态可以完全独立无关； （3）两种状态均为可能状态。
即虚设位移应满足变形协调条件； 虚设力状态应满足平衡条件。
2
虚功原理的两种应用
=
NNPl EA
3.
对组合结构：
∆ kP
=
∑
∫
MM Pds EI
+∑
∫
NN P ds EA
=
∑
∫
MM P EI
ds
+∑
NNPl EA
例 2：求曲梁B点的竖向位移 ∆By 和水平位移 ∆ Bx 。
(EI、EA、GA已知) 解：虚力状态如图示
P=1
ϑ
R
P
P
P=1
B
ϑ
R
MP
ϑ
R
R
A O
M = R(1− cosϑ) M = R sinϑ M P = PR sinϑ
y3
∫ MPM dx = ω 1y1 + ω 2 y2 + ω 3y3
EI
E1I1 E2I2 E3I3
∑ = ω j yj EjI j
例
1.
设
EI
为常数，求
∆ Cy
。
C点左移或右移， 求C点线位移时
解：作荷载内力图和单位荷载内力图如何图乘？
q A
1 ql 2
MP 图 8
P=1 C A
l
M图 4
q
A B