电动力学讲义2
电动力学 第2章 2-6
v 当电荷分布区域的线度远小于R时，可以把 x′ 各分量
r r f (x − x')
看 作小参量。设 2 则在 3 3 1 ∂ ∂ r r r r r f ( x − x ' ) = f ( x ) − ∑ xi ' f ( x ) + ∑ xi ' x j ' f (x) + L 附近的泰勒展开式为 i =1 ∂x 2! i , j =1 ∂x ∂x
1 ∇ =0 R
2
由于
，此时φ(2)形式不变，仍为
2 i, j ij
1 1 ∂ 1 ϕ = ∑D ∂x ∂x R 4πε 6
(2) 0 i j
但是电四极矩满足 D11 + D22 + D33 = 0 ，对 只有5个独立分量。以后我们也将沿用此定义形式。 可以验证：球对称电荷分布没有电四极矩；反过来， 电荷分布偏离球对称性，电四极矩不为零。 因此电四极矩反映了电荷分布是否具有球对称性。
二、 电多极矩的概念
下面讨论展开式中各项的物理意义： （1） ϕ
(0)
=
Q 4πε 0 R
代表原点处点电荷Q激发的电势，即整个体系在远 点产生的势相当于把整个体系的电荷都集中于原点 处的贡献。
(1) ϕ （2）
v v v 1 1 P⋅R =− P ⋅∇ = 4πε 0 R 4πε 0 R 3
代表放于原点处的电偶极矩P在远处产生的电势，即 体系产生的电偶极矩P放在原点处时产生的势。
l 0
当l为偶数 当l为奇数
同理可以得到
§2.6 矩 一、电势的多极展开
v ϕ (x) =
电 多 极
v
' ρ ( x ) 真空中给定电荷分布
电动力学第2章郭硕鸿版ppt
第二章静电场本章我们把电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况本章研究的主要问题是：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场本章内容：1.静电场的标势及其微分方程2. 唯一性定理3. 分离变量法4. 镜像法5. 格林函数法6. 电多级矩⎩⎨⎧=⋅∇=×∇ρD E 0麦克斯韦方程组的电场部分为：（1.1）（1.2）这两个方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础●静电场的无旋性是它的一个重要特性●由于无旋性，电场强度E 可以用一个标量场的梯度来表示，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样讨论：(a) 只有两点的电势差才有物理意义(b) 在实际计算中，常常选取某个点为参考点，规定其上的电势为零，这样全空间的电势就完全确定了(d) 一个具体问题中只能选一个零势点∫∞⋅=PP l E d )(ϕ(c) 零势点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选取无穷远的电势为零0)(=∞ϕ（2）给定电荷分布所激发的电势根据电势和电场强度的关系:●当已知电场强度时,可以由积分公式求出电势●已知电势时，通过求梯度就可以求出电场强度由以上讨论可知:①若空间中所有电荷分布都给定，则电场强度和电势均可求出②但实际情况往往并不是所有电荷都能预先给定，因此，必须找出电荷与电场相互作用的微分方程P 2，由于电场强度时，将电荷从P 1 移到P 2，电场σ−§2.2 唯一性定理一、静电问题的唯一性定理下面研究可以均匀分区的区域V :iV iε电容率2314L)(x ρ自由电荷分布2 1342 134二、有导体存在时的唯一性定理当有导体存在时，为了确定电场，所需条件有两种类型：①一类是给定每个导体上的电势ϕi②另一类是给定每个导体上的总电荷Qi给定时，即给出了V’所有值，因而由唯一性定理可设区域V 内有一些导体，给定导体之外的电荷分布，给定各导体上的总电荷Q i 以及V 的边界S 上的ϕ或∂ϕ/∂n 值，则V 内的电场唯一地确定.对于第二种类型的问题，唯一性定理表述如下：)∫′∇+V V V d d 2ϕϕ例：两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为ε1，右半部电容率为ε2，设内球壳带总电荷Q ，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布.解：设两介质内的电势、电场强度和电位移矢量分别为由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解，，，，，，222111D E D E ϕϕ§2.3 拉普拉斯方程分离变量法静电学的基本问题是求满足给定边界条件的泊松方程只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法一、拉普拉斯方程在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的例如：①电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的②电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的这些问题的特点是：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布二、分离变量法①将场量的函数表达式中不同坐标相互分离，即将场量分解为单一坐标函数的乘积的形式，求出通解不同坐标系中拉普拉斯方程的通解不同分离变量法就是:②然后再根据给定的边界条件求出实际问题的解)()()(y x y x,υψu =。
电动力学专题知识讲座
将B图旳电偶极子移到原点，对场点P 产生一种电四极子分布旳误差D
= (A) + (C)
(D) z
(C) z
+ (D)
-a/2 Q
a/2 -Q a -Q
Q
+
y
a/2
Q
-Q y
总之，移动一
z
种点电荷到原
点，对场点产
o
生一种电偶极
a
子分布旳误差； x Q
零级近似
(O)
z
(A)
y
o
y
Q
x
移动一种电偶极子 到原点，对场点产 生一种电四极子分 布旳误差；……
r x x R
R2
R
3）小区域电荷体系旳电势旳多极矩展开：
f ( x , x ) 1 1 1 (x ) 1 1 (xx:) 1
r x x R
R2
R
将上式代入右式得： (x)= (x) dV
V 40r
(x)
1
4 0
V
(x)
1 R
(x )
1 R
1 2
(xx: )
1 R
P
最大线度l 远不大于该区域到场点
旳距离r ——
1. 粗略近似：
(x)= 1 (x)dV
V 40r
r
x
x l
O ( x)
1 (x)dV
40 R V
Q
40 R
x R, x l r r x x x R
2. 精确近似——电多级矩展开
1）幂级数展开与麦克劳林级数：
f (x)在 x = x0 处旳泰勒级数—
第6节 电多极矩
前面所学旳处理静电问题旳措施（分离变量法、镜象法），着 眼点都是为求解泊松方程或拉普拉斯方程；本节旳着眼点在于求 电势旳直接体现式——库仑定律旳近似解。所涉及旳问题是：在 真空中，若激发电场旳电荷全集中在一种很小区域（如原子、原 子核内），而要求旳又是距场源较远旳场，这时可采用多极矩近 似法来处理问题。
电动力学课件.
0
电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如 均匀场中，E E0ez , E0 R cos
导体的边界面上
|s 常数
n s Q dS
S
n
（2）边值关系：介质分界面上
1 S 2
S
1 2 1 2 n S n
bd Q 4 0
（ 4）
联立（2）、（3）和（4）得
Q Q1 Q1 Q1 b , c , d 4 0 4 0 R1 4 0
1 QR3 其中 Q1 1 1 R2 R11 R3
（ 5）
所以
Q Q1 Q1 1 1 1 , 2 4 0 R 4 0 R R1
R 0, 2 有限，可以得到
a1 E0 , an 0 n 1 , dn 0
由边值关系： 1 R R 2 R R 0 0 介质球面上
1 2 0 R R R0 R
R R0
可以解出： b 0 E R 3 , b 0 n 1 1 0 0 n 2 0
导体球上的感应电荷为
2 0 dS Q1 R R1 R
例2. 电容率为的介质球置于均匀外电场E0中，求电 势. E0 解：讨论区域：球外 （I）和球内（II）. R0 选择球坐标系，原点 在球心，z轴沿E0方向。 考虑电荷分布在无限 区域，选择坐标原点 为电势零点。
II I
但注意，边值关系还要用 S 而不能用 S
二、拉普拉斯方程在球坐标系中解的形式
1. 一般情况
bnm ( R, , ) (anm R n 1 ) Pnm (cos ) cos m R nm d nm n (cnm R n 1 ) Pnm (cos ) sin m R nm
电动力学讲义
电动力学讲义一、电动力学概述电动力学是物理学中一门重要的基础学科，主要研究电荷运动与电磁场相互作用的规律。
它涉及到电磁学、量子力学、相对论等多个领域，是现代物理学和技术科学的基础。
二、基本概念和理论1. 电荷：电荷是物质的基本属性，分为正电荷和负电荷。
2. 库仑定律：描述两个点电荷之间相互作用力的定律。
3. 电磁场：由电场和磁场组成的空间。
4. 麦克斯韦方程组：描述电磁场的基本规律。
5. 波动方程：描述电磁波在不同介质中传播的规律。
6. 相对论：描述物体在高速运动下与低速运动下物理规律的方程。
三、基本原理和应用1. 电荷守恒原理：在电动力学中，电荷是守恒的，即不能创造也不能消失，只能从一个体系转移到另一个体系。
2. 洛伦兹力：带电粒子在磁场或电场中受到的力。
3. 电磁波的应用：电磁波在现代通讯、雷达、医疗等领域有着广泛的应用。
4. 相对论在宇宙学和粒子物理学中的应用：相对论在解释宇宙和基本粒子的行为时具有重要地位。
四、实验基础和实践实验是电动力学的基础，通过对实验数据的分析和归纳，可以验证和理解电磁学的规律。
实践方面，可以借助实验设备如线圈、电偶极子等，进行电磁场和电磁波的实验研究。
五、总结电动力学是一门理论性和实践性都很强的学科，通过对电荷、电磁场、相对论等基本概念和原理的学习，我们可以更好地理解物理世界。
在实际应用中，电动力学对于现代科技的发展具有重要意义，如电磁波在现代通讯技术中的应用，以及相对论在宇宙学和粒子物理学中的地位。
总之，电动力学是物理学和技术科学的重要基础，对于深入理解和应用物理规律具有不可或缺的作用。
电动力学-第2.2节-38页文档资料
静电学的基本问题： 求满足边界条件（或给定边界条件）的泊松方程
（拉普拉斯方程）的解。 求解微分方程的一种重要方法：尝试解。 （试探解，拼凑解－连猜带蒙！）
尝试解是否唯一正确的解（物理问题的结果只有一 个）：唯一性定理来保证。
因此对于许多具有对称性的问题，我们可以不必用 繁杂的数学去求解泊松方程，而是提出尝试解，只要 满足方程和边界条件即为所求的解，若不满足，可以 加以修改后再进行尝试，直到满足泊松方程（拉普拉 斯方程）和边界条件。
四、应用举例
[例1] 带电Q的导体球（半径为a ）产生的电势。 解题依据：电荷分布在有限区，参考点选在无穷远。
但是实际情况并非如此。由于无论在介质1还是介 质2，
导 体外表面电场均与表面垂直，因此在P点 E2与重合，所以介E1质n 分E 界2n面上0E1t E2t，而
必E然1
在介质分界面上：
Pn (E 2E 1)E 2nE 1n
0
0 P 0
所以没有束缚电荷分布，束缚电荷只分布在导体与介
质分界面上。
在上节中我们说明静电学的基本问题是求出所有边 界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程（拉普 拉斯方程）的解。
本节我们把这问题确切地表述出来，即需要给出哪 一些条件，静电场的解才能唯一地被确定。
静电场的唯一性定理对于解决实际问题的重要意义。
(1)它告诉我们，哪些因素可以完全确定静电场，这样 在解决实际问题时就有所依据。
每一个( 区x ) 域,给x 定 电V 荷分布
设V i内所求电势为，它们
1 V1
V i
Vi
满足泊松方程
在 两2 区 域Vi i、V
电动力学-清华大学讲义(王青)
思考题:
i. 迭加原理对麦克斯韦方程组起什么影响? ii. 积分形式与微分形式的麦克斯韦方程组,哪个更普遍,为什么?
4. 介质中电磁相互作用的场方程. (书第一章第4节) 物质的电磁性质,极化电荷与磁化电流,物质中的电磁场方程与电磁性质方程 作业:书1.7, 1.8, 1.9, 1.11 思考题:介质中的麦克斯韦方程组中哪些方程依赖于物质的具体电磁性质,哪些不依赖, 为什么?
{Jii1···in
[
∂
xi1
∂n ···
∂
xin
Bi
(r)]
−
Jiii1···in [ ∂xi1
∂n ···
∂
xin
B
(r)]
L0 = m × B
第三章
电磁波的传播
1. 理想绝缘介质中的波动方程及平面电磁波解. (书第四章第1节) 波动方程,平面波解 作业:
(a) 书4.4
(b) 试证,对ρ = 0, j = 0 的麦克斯韦方程组,四个方程中只有两个是独立的.
ii. 问:这时高斯定理 E · dS = Q/ 0是否还成立?
(d)
假定实验上发现比萨定律对平方反比有一微小偏离δ,
d2F21
=
k2J2dl2×来自( ) J1dl1×R
R3+δ
i. 求证,关系B = ∇ × A仍成立,并请对给定的电流密度分布, 给出A的计算公式.
ii. 问:这时安培环路定理 B · dl = µ0J是否还成立?
2. 电磁相互作用的场与真空中的基本实验定律. (书第一章1,2,3节) 电荷守恒定律,叠加原理,库仑定律,比萨定律,场,法拉第电磁感应定律 作业: 书1.5,1.10
3. 真空中电磁相互作用的场方程. (书第一章第3节) 麦克斯韦方程组的积分形式与微分形式 作业:
《芝加哥大学物理学讲义：电动力学讲义》笔记
《芝加哥大学物理学讲义：电动力学讲义》阅读札记1. 电动力学概述在电动力学的世界中，物理现象既神秘又充满魅力。
从电荷的运动到电磁波的传播，电动力学为我们揭示了自然界中电与磁的奇妙联系。
本次阅读《芝加哥大学物理学讲义：电动力学讲义》，我深入了解了电动力学的核心概念和原理，对这一领域有了更为深刻的认识。
电动力学作为物理学的一个重要分支，主要研究电荷、电流以及它们产生的电场和磁场之间的关系。
它不仅描述了电场的产生、传播和变化，还涉及了磁场的性质以及电流产生磁场的原因。
在这个过程中，我们探讨了电磁感应、电磁辐射等问题，并学习了麦克斯韦方程组这一电动力学的基石，它统一了电场和磁场的关系，为我们理解电磁现象提供了基本框架。
电动力学还与许多现代技术紧密相关，如无线通信、电磁铁、电动机等。
这些应用不仅展示了电动力学的实用价值，也激发了我们对于探索未知领域的兴趣。
通过学习电动力学，我更加明白理论知识的重要性，以及它在解决实际问题中的巨大作用。
我期待着将所学应用于实践，为科学的发展贡献自己的力量。
1.1 电荷与电场在阅读《芝加哥大学物理学讲义：电动力学讲义》的第一章中，我首先被引导理解电荷这一基础概念。
电荷是物理学中描述物质带电性质的物理量，其载体可以是电子、质子等带电粒子。
理解电荷的关键在于理解其在电动力学中所起的作用以及其带电量的大小。
当电荷聚集在某一空间时，它们会产生电场，这是电动力学研究的核心内容之一。
电场是由于电荷的存在而产生的，每个电荷周围都存在一个电场，它会对放入其中的其他电荷施加力。
电场具有空间性和物质性，电场是存在于一定空间的，并且可以对其他物体产生影响。
电场的强度取决于源电荷的电量和距离，电场还表现出一些独特的性质，如叠加性、保守性等。
这些性质对于理解电动力学中的许多现象至关重要。
电荷是电场的源头，电场的存在和传播是由于电荷的作用。
当电荷产生时，它会在其周围形成电场，这个电场会向周围空间传播。
电场的强度和方向取决于源电荷的电量、距离和方向。
电动力学讲义周磊(复旦大学)
7.3
金属的等效介电常数–Drude模型 . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.3.1 7.3.2 7.3.3 色散介质的本构关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 金属的有效电导率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 金属有效介电函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3 静电学I –导体静电学 3.1 静电问题 3.1.1 3.1.2 3.2 3.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
静电基本方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 静电条件下导体的边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.6
麦克斯韦方程组的边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 47
2 电磁场的守恒定律和对称性 2.1 2.2 2.3
真空中电磁场的能量守恒定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 电磁场的动量守恒定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 介质中的电磁能量和动量守恒定律 . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3.1 2.3.2 电磁能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 电磁动量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 69
电动力学II
09-2,4,10-1,3,5 电动II 10 11 第二电动力学II 16 2 32 博尔汗．沙来一2012.2.23绪论、数学补充:矢量分析1—指标法通用理论－矢量空间，梯度、散度、旋度及有关定理；并矢与张量，普遍的Gauss 定理和Stokes定理；梯度、散度、旋度及 算符的公式再证明:P275 (A.8)-(A17)加习题二2012.3.1 Ch6补充：一般Lorentz变换及其四维形式；相对论力学；四维时空及四维公式P222 6.21三2012.3.08四动量守恒定律及其在核物理中的应用—高能粒子反应的运动学P223 6.23四2012.3.15§6.7电磁场中运动的带电粒子的Lagrange量和Hamilton量；光子的静止质量问题P224 6.28五2012.3.22* 补充：4维δ函数与多粒子体系的相对论力学狭义相对论习题加习题，P223 6.26六2012.3.29Ch7带电粒子和电磁场的相互作用§7.1,§7.2.任意运动带电粒子的电磁势和辐射电磁场P2577.1七2012.4.5 §7.3,§7.4.高速运动带电粒子的辐射1.高速运动带电粒子的辐射功率和角分布 2.a//v情形3.a ⊥ v情形P2577.2八2012.4.12§7.5,同步辐射与同步辐射光源P2577.4新疆大学教务科九2012.4. 19§7.6.自由电子激光、§7.7.切论柯夫(Cerenkov )辐射 P 257 7.8十2012.4. 26§7.8.带电粒子的电磁场对粒子本身的反作用: 电磁质量、辐射阻尼、经典电动力学的局限 习题练习P 257 7.7十一 2012.5.3 §8.1. 电磁波的散射和吸收 §8.2.介质的色散，§8.3 P 273 8.1、8.3十二2012.5.10§8.4 Aharanov-Bohm 效应 、 超导体电动力学(I) P 273 8.5？十三 2012.5. 17 超导体电动力学(II) 十四 2012.5. 24 §4.11等离子体电动力学 十五 2012.5. 31太阳内的磁流体波及其传播规律十六 2012.6.7 复习、习题课十七2012.6.14考试最终成绩 考勤 10% 作业 20% 期末 70%。
电动力学第二章ppt课件
x2 y2 b2
注意到上式对任意x、y都成立，所以 b a， QQ
导体板上方的电势为：
4 Q 0 x2y2 1 (z a )2x2y2 1 (z a )2
例2 真空中有一半径为R0的接地导体球，距球心为a （a>R0）处有一点电荷Q，求空间各点的电势 （如图）。
的梯度、散度、旋度公式
§4 镜象法
一、研究的问题 在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷， 区域边界是导体或介质界面
二、镜象法的基本思想 在所求场空间中，使用场空间以外的区域某个 或某几个假想的电荷来代替导体的感应电荷或 介质的极化电荷
§4 镜象法
三、理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在 所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在 的“镜象电荷”来代替真实的导体感应电荷或 者介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时 候必须保证原有的场方程，边界条件不变
小于外电场
4
§3拉普拉斯方程——分离变量法
例3：球半径为 接地金属 球置于匀强外场 中， 求电势和导体表面的电荷 面密度
解：设球半径为 ，球外为真空，该问题具有轴对称 性，对称轴为通过球心沿外场 方向的轴线。取此线 为轴线球心为原点建立球坐标系。 为球外势,金属球 为等势体，坐标原点电势为0
由于选择了轴对称，所以关于 对称，通解中没有 同时处理总边界条件
§1静电场的标势及微分方程 1。静电场的标势
静电场不随时间变化为无旋场
或 库仑场 无旋有势，定义:
积分
电势差
与路径无关
当电荷分布在有限区域的情况下，取无穷远点为 参考点，规定其上电势为0
静电场标势
已知电荷分布求电势 点电荷
叠加原理 连续分布
电动力学chapter1-2
的总电荷在单位时间内的减少量
SJ
dS
d dt
V
dV
如果所选取的曲面不随时间而变化，则上式可写成：
SJ dS
d dt
V
dV
V
t
dV
由高斯定理得：
SJ
dS
V
JdV
V
t
dV
或者
V
J
t
dV
0
J
0
t
此为电荷守恒定律的数学表达式，也称为电流的连续性方程。
再注意几点：
a)
这里的
x,
t 为电荷密度，而
本节关于静磁场的讨论，我们将和静电场做比较，简要的 给出静磁场的基本特征
1. 电流、电荷守恒定律
1）电流密度矢量
J
的定义：
a) 空间某处电流密度矢量的方向就是该处正电荷漂移的
方向；
b) 大小等于单位时间垂直通过单
位面积的电量；
c) 设空间某位置处的电荷密度为
，电荷运动的平均速度为 v ，则有
J
0
这是电动力学的基本方程之一。
6、 磁场的旋度
B
A
A
2
A
——（2.16）
首先分析第一项：
A
0 4
J
(
x ' )dV
'
r
由于 只对观察点 x 微商，则有
J
x,
t
为电（荷）流密度，
那么守恒定律的形式是：流密度的散度＋电荷量密度变
化率＝0。这是关于粒子流守恒的一般形式。
b) 类似的还有在介质的极化部分我们会见到类似的连续
性方程：
极化电荷密度与极化电流也满足电流的连续性方程：
电动力学-第2.3节
1
比较 P (cos ) 的系数，得 n b1 E0 R 2 c1 R R n 1 2b1 E0 3 c1 0 R bn cn R n n1 R n 1 bn ( n 1) n 2 ncn R n1 0 R 由(13)、(14)式给出 0 3 0 3 b1 E0 R c1 E0 2 0 2 0 由(15)、(16)式给出 bn 0 ,
n
S
及导体的总电荷
dS Q S n
三、举例说明定特解的方法
[例1]一个内径和外径分别为R2 和R3 的导体球壳，带电 荷为Q。同心地包围着一个半径为R1 的导体球（R1<R2)， 使半径R1 的导体球接地，求空间各点的电势和这个导体 球的感应电荷。 [解]： Q R2 R1 第一步：分析题意，找出定解条件 R3 根据题意，具有球对称性，电 势不依赖于极角 和方位角 ， 只与半径r有关。 (r , , ) (r ) 即 故定解条件为：
2 2 0
21 0
r R3
R1 r R2
2
边界条件： (i)因为导体球接地，有 2 1
r R1
r
0
(3)
(ii)因整个导体球壳为等势体，有 2 1
r R2 r R3
(4)
(iii)球壳带电量为Q，根据Gauss theorem
2 0
2
0
产生这个电场的电荷都是分布于区域V的边界上，它 们的作用通过边界条件反映出来： ① 给定 S ② 给定 或导体总电量 ds Q n S n 所以，讨论的问题归结为： ①怎样求解（通解）Laplace's equation. ②怎样利用边界条件及边值关系求出积分常数。 Laplace's equation可以用分离变量法求通解，其求解 条件是： ① 方程是齐次的。 ② 边界应该是简单的几何面。 （能用分离变量法条件：求区无电荷，边界规则）
电动力学课件 第2章 静电场
2
∫
S
ϕ ∇ ψ ⋅ dS
令
Φ = ϕ =ψ
则
∫
∇ Φ = 0 ⇒ ∫V (∇ Φ ) 2 dV = 0
2
∂Φ Φ S = 0或 =0 ∂n S
V
( Φ ∇ 2 Φ + ( ∇ Φ ) 2 ) dV =
εj
∂ϕ ∂n
j S ij
∂ϕ i = εi ∂n
S ij
二、唯一性定理
1．均匀单一介质
区域内 ρ 分布已知， ϕ
ϕ S 已知，或V边界上
电场）唯一确定。
∂ϕ ∂n
ρ 若V边界上 满足 ∇ ϕ = − ε
2
已知，则 V 内场（ 静
S
证明： 假定泊松方程有两个解ϕ1 ≠ ϕ2 ，有
ρ ∇ ϕ1 = − ε
R02 τ τ R = ln 2 = − ln 4πε 0 R 2πε 0 R0
若选P0点为参考点，规定（ ϕ R 0）=0，则
τ R ϕ （R） =− ln 2πε 0 R0
4．带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。 电荷分布在有限区，参 考点选在无穷远。根据 对称性，导体产生的场 具有球对称性，电势也 应具有球对称性。当考 虑较远处场时，导体球 可视为点电荷。
2、电势差
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z = ∇ϕ ⋅ dl = − E ⋅ dl
空间某点电势无物 理意义，两点间电 势差才有意义 电势差为电场力将 单位正电荷从P移 到Q点所作功负值
ϕ Q − ϕ P = −∫ E ⋅ dl
P
Q
① 电场力作正功，电势下降 (ϕ Q < ϕ P ) 电场力作负功，电势上升 (ϕ Q > ϕ P ) ② 两点电势差与作功的路径无关 (∵ ∫LE ⋅ dl ≡ 0)
电动力学 第六章(2)
2 4 p 2 c 2 m0 c , 则这就是相对论能量动量关系式。
根据以上引进的有关定义和解释，可得如下几个重 要结论： （i）物体的质量与运动速度有关，当 u c时物体 质量趋于无限大，当 u c 时，牛顿力学中把质量当 为常量才近似成立。
（ii）运动物体的能量与它的质量成正比，其比例系 2 数 c 是普适常量，这就是质能关系式所表明的质量与 能量的普遍联系，它把质量守恒与能量守恒统一起来。 （iii）当物体运动速度增加时，它的质量、能量、 动量也都相应的增加。
（6.7.26）
（6.7.27）
（6.7.28）
m p 动心系中总能量 m m 2m
2 2 12 1 2
1 m2
.
（6.7.29）
1
2
2 1
2 2
12
2 1
. （6.7.30）
, 2 及p1 都可以很容易得到。以 其余的动心系中的量 1 上所有变换公式，当取非相对论近似时（即 v 1, v 为入射粒子的速度，以 c 为单位），与经典力学计算 结果相一致。
1
1
1
1
2
2
3
2
2
2
3
3
3
2
3
2
2
3
源自2由上面的电磁场变换公式可以看出，电场与磁场不 是彼此独立的，而是互相联系不可分割的。当不同 惯性系之间变换时，电场与磁场不是独立地、而是 混合地进行变换。若在一个惯性系中是纯粹的电场 或磁场，则变换到另一惯性系中就出现电场与磁场 的混合，即既有电场又有磁场。因此，不可能将某 一惯性系中纯粹的静电场变换成为另一惯性系中纯 粹的静磁场。
电动力学 郭硕鸿 第三版 第2次课(附录2)
f T fl el Tij ei e j ij flTij e j il fiTij e j
ijl ij
A1 B1e1e1 A1 B2 e1e2 A1 B3e1e3 A2 B1e2 e1 A2 B2 e2 e2 A2 B3e2 e3 A Be e A B e e A B e e 3 2 3 2 3 3 3 3 3 1 31 A1 B1 f1e1 A1 B2 f 2 e1 A1 B3 f 3e1 A2 B1 f1e2 A2 B2 f 2 e2 A2 B3 f 3e2 AB fe AB f e AB f e 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3 3 A1 B1 f1 A1 B2 f 2 A1 B3 f 3 e1 A2 B1 f1 A2 B2 f 2 A2 B3 f 3 e2 A3 B1 f1 A3 B2 f 2 A3 B3 f3 e3
(6) ( f g ) f ( g ) ( f ) g g ( f ) ( g ) f
a (b c ) (a c )b (a b )c f ( g ) f ( g g ) g ( f g ) ( f g ) g g ( f ) g ( f f ) f ( g f ) ( g f ) f
复习:
grad e e e x x y y z z
f x f y f z divf f x y z
rotf f e e e f x ex f y e y f z ez x x y y z z f f f f f y f z y e x z e x e y z x z x y x y z
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矢量代数与张量初步
§1
矢量定义 直角坐标系中
矢量代数与张量初步
ˆ, A = A, A = A ˆ A = AA A
A = Ai + Ay j + Ak x z
A = A = (A + A + A ) =
2 1 2 2 1 2 2 3
A = ∑Aei i
i= 1
3
∑A
i=1Biblioteka 32 i矢量的基本运算
A⋅ B = ∑ABi = ABcosθ i
i=1
3
e1 e2 e3 A×B = ABsinθen = A A A 1 2 3 B B2 B3 1
矢量代数中的两个重要公式 混合积 双重矢量积 矢量微分
a⋅ (b ×c) = b ⋅ (c ×a) = c ⋅ (a×b)
a×(b ×c) = (a ⋅ c)b −(a⋅b)c
AB⋅ C = A B⋅C = A C⋅ B = AC⋅ B
( ) = ( B⋅ C) A = B⋅CA
(
)
(
)
= C⋅ B A = C⋅ BA
C⋅ AB = C⋅ A B = B C⋅ A = B A⋅C = BA⋅C
AB×C = A B×C C× AB = C× A B 两并矢的一次点乘
(
)
(
(
(
)
)
)
(
)
并 矢 并 矢
AB⋅ CD = A B⋅C D = B⋅C AD ≠ CD⋅ AB
两并矢的二次点乘 单位张量与矢量、 单位张量与矢量、 张量的点乘
( )
(
)
(
)
AB: CD = B⋅C A⋅ D
(
)(
)
I ⋅C = C⋅ I = C
I ⋅ AB = AB⋅ I = AB
I : AB = A⋅ B
∑
T = AB
T T 11 12 T 13 T = T21 T22 T23 T T T33 31 32
张量的运算
ℓ = ∑eej i
i=1
3
1 0 0 ℓ = 0 1 0 0 0 1
T +V = ∑(T +V )ei ej ij ij
i, j
作业一
1.试求： （1）圆柱坐标系的局域基矢与直角坐标系的基矢之间的关系。 （2）一矢量 在圆柱坐标系中的分量与在直角坐标系中的分量之间的关 系。 2.证明：
郭硕鸿《电动力学》第一章习题 1、2、3
T = AB =
∑A B e e =∑T e e
eej i
为单位并矢，张量的基（ 个分量） 为单位并矢，张量的基（9个分量）
矢量与张量的矩阵表示 A 1 A = ∑Aei , A = A i 2 A 3
A = (A , A , A ) 1 2 3
B 3 1 A⋅ B = (A , A2 , A3 ) B2 = A B + A2B2 + A3B3 = Ai Bi 1 1 1 B i=1 3
ˆ dA ˆ dA dA = A +A dt dt dt
d(A⋅ B) dB dA = A⋅ + ⋅ B dt dt dt d(A×B) dB dA = A× + ×B dt dt dt
注意顺序 不能颠倒
并矢与张量
AB
3 i i, j = 1
（一般 一般
j i j
AB ≠ BA ）
3 ij i j i, j = 1