思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法

思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法
◆类型一 相交线与平行线中利用方程思想求角度
1．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝60°，OE 把∠BOD 分成两部分，若∠BOE ∶∠EOD ＝1∶2，则∠AOE 的度数为( )
A ．180°
B ．160°
C ．140°
D ．120°
2．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，过点O 作两条射线OM ，ON ，且∠AOM ＝∠CON ＝90°.
(1)若OC 平分∠AOM ，求∠AOD 的度数；
(2)若∠1＝14
∠BOC ，求∠AOC 和∠MOD 的度数．【方法14②】
◆类型二 相交线与平行线中的分类讨论思想
3．在同一平面内，三条直线的交点个数是__________．
4．已知∠α和∠β两边分别平行，且∠α＝x ，∠β＝4x －30°，则∠α＝________．
5．★如图，点D 为射线CB 上一点，且不与点B ，C 重合，DE ∥AB 交直线AC 于点E ，
DF∥AC交直线AB于点F.画出符合题意的图形，猜想∠EDF与∠BAC的数量关系，并说明理由．
◆类型三平移中利用转化思想求周长或面积
6．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是【方法16】B
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
7．如图，在长为50m，宽为30m的长方形土地上，有纵横交错的几条小路，宽均为1m，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是________．
8．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，若AE＝8cm，DB＝2cm.
(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长；
(2)求四边形AEFC的周长．
9．(湘潭县期末)如图，已知三角形ABC的面积为16，BC的长为8，现将三角形ABC 沿BC向右平移m个单位到三角形A′B′C′的位置．若四边形ABB′A′的面积为32，求m的值．
◆类型四建立平行线的模型解决实际问题
10．如图是一架婴儿车的示意图，其中AB∥CD，∠1＝110°，∠3＝40°，那么∠2的度数为()
A．80°B．90°C．100°D．70°
第10题图第11题图
11．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过．如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是________度．
12．小芳给自己家的小狗乐乐做了一个小木屋，其侧面如图所示．若她已测出∠A＝135°，∠C＝125°，由于受条件影响，屋顶的∠B的度数无法测出．哥哥看到后说，不用测量，他也能算出∠B的度数，你知道小芳的哥哥是怎样做的吗？试着说出他的方法，并计算出∠B 的度数．
◆类型五平行线中利用从特殊到一般的思想进行探究
13．★如图①：MA1∥NA2，如图②：MA1∥NA3，如图③：MA1∥NA4，如图④：MA1∥NA5，…，则第n个图中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠A n＋1＝________°(用含n的代数式表示)．
14．★如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED.
(1)探究猜想：
①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并说明你的理由；
(2)拓展应用：如图②，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，
①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界)其中区域③，④位于直线AB上方，P 是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系(不要求写出过程)．
解：AB∥EF.
理由：在∠BCD和∠CDE内分别作∠BCM＝∠B＝25°，∠EDN＝∠E＝10°，则CM∥AB，DN∥EF，又∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∴∠MCD＝20°，∠CDN＝20°，∴∠MCD＝∠CDN，∴CM∥DN，∴AB∥EF.
参考答案与解析
1．B
2．解：(1)∵∠AOM＝∠CON＝90°，OC平分∠AOM，∴∠1＝∠AOC＝45°，∴∠AOD
＝180°－∠AOC ＝180°－45°＝135°.
(2)设∠1＝x ，则∠BOC ＝4x ，∴∠BOM ＝3x .∵∠AOM ＝90°，∴∠BOM ＝180°－90°＝90°，∴x ＝30°，∴∠1＝30°，∴∠AOC ＝90°－∠1＝60°，∠MOD ＝180°－∠1＝150°.
3．0或1或2或3 解析：有四种情况：①三条直线互相平行；②只有两条直线平行；③三条直线互不平行(交于一点)；④三条直线互不平行(两两相交，不交于一点)，如图所示．
4．10°或42° 解析：∵∠α和∠β两边分别平行，∴∠α＝∠β或∠α＋∠β＝180°.∵∠α＝x ，∠β＝4x －30°，∴x ＝4x －30°或x ＋4x －30°＝180°，解得x ＝10°或x ＝42°，∴∠α＝10°或42°.
5．解：有两种情况：(1)如图①，当点D 在BC 上时，∠EDF ＝∠BAC .理由如下：连接AD ，∵DF ∥AC ，∴∠FDA ＝∠EAD .∵DE ∥AB ，∴∠ADE ＝∠F AD .∴∠EDF ＝∠EDA ＋∠FDA ＝∠F AD ＋∠EAD ＝∠BAC ；(2)如图②，当点D 在CB 的延长线上时，∠EDF ＋∠BAC ＝180°.理由如下：连接AD ，同(1)可得∠EDF ＝∠EAF ，∵∠EAF ＋∠BAC ＝180°，∴∠EDF ＋∠BAC ＝180°.
6．D
7．1421m 2
8．解：(1)∵三角形ABC 沿AB 方向向右平移得到三角形DEF ，∴AD ＝BE ＝CF ，BC
＝EF ＝3cm.∵AE ＝8cm ，DB ＝2cm ，∴AD ＝BE ＝CF ＝8－22
＝3(cm)． (2)四边形AEFC 的周长为AE ＋EF ＋CF ＋AC ＝8＋3＋3＋4＝18(cm)．
9．解：过点A 向BC 作垂线，垂足为H ，如图所示．∵S 三角形ABC ＝16，BC ＝8，∴12
·BC ·AH ＝16，∴12
×8·AH ＝16，解得AH ＝4.又∵S 四边形ABB ′A ′＝32，∴BB ′×4＝32，∴BB ′＝8，∴m ＝BB ′＝8，即m 的值是8.
10．D
11．150 解析：如图，过点B 作BD ∥AE ，∵AE ∥CF ，∴AE ∥BD ∥CF ，∴∠ABD ＝∠A ＝120°.∵∠ABC ＝150°，∴∠CBD ＝∠CBA －∠ABD ＝150°－120°＝30°.∵CF ∥BD ，∴∠CBD ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝180°－∠CBD ＝180°－30°＝150°.
12．解：过点B作BD∥AE交EF于点D，则AE∥BD∥CF.∵∠A＝135°，∠C＝125°，∴∠ABD＝180°－∠A＝45°，∠CBD＝180°－∠C＝55°，∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝45°＋55°＝100°.即∠B的度数为100°.
13．n·180解析：∵MA1与NA n平行，∴在图①可得∠A1＋∠A2＝180°；在②中可过A2作A2B∥MA1，如图所示，∵MA1∥NA3，∴A2B∥NA3，∴∠MA1A2＋∠BA2A1＝∠BA2A3＋∠NA3A2＝180°，∴∠A1＋∠A1A2A3＋∠A3＝360°.同理可得∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝540°，∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝720°，∴∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠A n＋1＝n·180°.
14．解：(1)①∠AED＝70°；
②∠AED＝80°；
③∠AED＝∠EAB＋∠EDC.理由如下：过点E向左作射线EF∥AB，∴∠EAB＝
∠AEF.∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠EDC＝∠DEF.∴∠AED＝∠AEF＋∠DEF＝∠EAB＋∠EDC.
(2)当点P在区域①时，∠PEB＋∠PFC＋∠EPF＝360°；当点P在区域②时，∠EPF＝∠PEB＋∠PFC；当点P在区域③时，∠PEB＝∠PFC＋∠EPF；当点P在区域④时，∠PFC ＝∠EPF＋∠PEB.。