误差理论与数据处理课后答案

《误差理论与数据处理》练习题
参考答案
第一章 绪论
1－1 测得某三角块的三个角度之和为 180 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于：180o 0002 180o 2 相对误差等于：
o
2 2 2 ＝ 0.00000308641 0.000031% o 180 180 60 60 648000
I
I
i 1
5
i
5
5
168.49(mA)

( Ii I )
i 1
5 1
1
0.08

2 3
( Ii I )
i 1
5
5 1

2 0.08 0.05 3
4 5
( Ii I )
i 1
5
5 1

4 0.08 0.06 5
2—5 在立式测长仪上测量某校对量具， 重复测量 5 次， 测得数据(单位为 mm)为 20． 0015， 20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以 99％的置信概率确 定测量结果。 解： n 求算术平均值
D 2 其标准不确定度应为： u r r
2
2 2 r2
4 3.14159 2 0.005 2
＝0.0314cm 确定包含因子。查 t 分布表 t0.01（9）＝3.25，及 K＝3.25 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为： U＝Ku＝3.25×0.0314＝0.102 ②求圆球的体积的测量不确定度 圆球体积为： V
lim x t x 4.60 1.14 104 5.24 104 mm
写出最后测量结果
L x lim x 20.0015 5.24 104 mm
2－8 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm，若要求测量的允许极限 误差为±0.0015mm，而置信概率 P 为 0.95 时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有
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若： 1 2 3 则有： V
(
V 2 2 V 2 2 V 2 2 V 2 V 2 V 2 ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) a1 a 2 a3 a1 a 2 a3
(a2 a3 ) 2 (a1a3 ) 2 (a1a2 ) 2
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。 解： 按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表：
T xi yi T xi yi T xi yi 1.41 1.48
1
0.62
2
0.86
3
0.99
4
1.12
5
1.13
6
1.13
7
1.16
8
1.18
9
1.20
10
1.21
11
1.21
12
1.22
13
1.25
若： 1 2 3 则有： V
2 2 (a2 a3 ) 2 12 (a1a3 ) 2 2 (a1a2 ) 2 3
3—9 按公式 V=πr h 求圆柱体体积，若已知 r 约为 2cm，h 约为 20cm，要使体积的相对 误差等于 1％，试问 r 和 h 测量时误差应为多少? 解： 若不考虑测量误差，圆柱体积为
3
解： 长方体的体积计算公式为： V a1 a2 a3 体积的标准差应为： V
(
V 2 2 V 2 2 V 2 2 ) 1 ( ) 2 ( ) 3 a1 a 2 a3
现可求出：
V V V a 2 a3 ； a1 a3 ； a1 a 2 a1 a 2 a3
0.1 0.00001 0.001% 10000
射手的相对误差为：
1cm 0.01m 0.0002 0.002% 50m 50m
多级火箭的射击精度高。
第二章 误差的基本性质与处理
2－4 测量某电路电流共 5 次， 测得数据(单位为 mA)为 168.41， 168.54， 168.59， 168.40， 168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。 解：
14
1.30
15
1.31
16
1.31
17
1.34
18
1.38
19
1.39
20
1.41
21
22
23
1.57
24
1.59
25
1.60
26
1.60
27
1.84
28
1.95
现 nx＝14，ny＝14，取 xi 的数据计算 T，得 T＝154。由
a(
n1 (n1 n2 1) n n (n n2 1) ) 203 ； ( 1 2 1 ) 474 求出： 2 12
x
求单次测量的标准差
l
i 1
i
n
n i 1
20.0015mm
2 i

求算术平均值的标准差
v

n
n 1

26 10 8 2.55 10 4 mm 4
x
2.55 10 4 ＝ 1.14 10 4 mm 5
确定测量的极限误差 因 n＝5 较小，算术平均值的极限误差应按 t 分布处理。 现自由度为：ν＝n－1＝4； α＝1－0.99＝0.01， 查 t 分布表有：ta＝4.60 极限误差为

3.18 4

3.18 1.59 2
即要达题意要求，必须至少测量 5 次。 2－19 对某量进行两组测量，测得数据如下：
xi yi 0.62 0.99 0.86 1.12 1.13 1.21 1.13 1.25 1.16 1.31 1.18 1.31 1.20 1.38 1.21 1.41 1.22 1.48 1.30 1.59 1.34 1.60 1.39 1.60 1.41 1.84 1.57 1.95
t
T a

0.1
现取概率 2 (t ) 0.95 ， 即 (t ) 0.475 ， 查教材附表 1 有 t 1.96 。 由于 t t ， 因此， 可以认为两组数据间没有系统误差。
第三章 误差的合成与分配
3—3 长方体的边长分别为α1，α2, α3 测量时：①标准差均为σ；②标准差各为σ1、σ2、 σ3 。试求体积的标准差。
5
2
V r 2 h 3.14 2 2 20 251.2cm 3
根据题意，体积测量的相对误差为 1％，即测定体积的相对误差为：

即 V 1% 251.2 1% 2.51 现按等作用原则分配误差，可以求出 测定 r 的误差应为：
V
1%
r
测定 h 的误差应为：
t x t
根据题目给定得已知条件，有

n
0.0015
t n

0.0015 1.5 0.001
2
查教材附录表 3 有 若 n＝5，v＝4，α＝0.05，有 t＝2.78，
t n

2.78 5

2.78 1.24 2.236
若 n＝4，v＝3，α＝0.05，有 t＝3.18，
t n

1 2.51 1 0.007cm 2 V / r 1.41 2hr
h

1 2.51 1 0.142cm 2 2 V / h 1.41 r
4
第四章 测量不确定度
4—1 某圆球的半径为 r，若重复 10 次测量得 r±σr =(3.132±0.005)cm，试求该圆球 最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率 P=99％。 解：①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度 已知圆球的最大截面的圆周为： D 2 r
4 r 3 3
其标准不确定度应为：
V 2 u r r
2
4 r
2 2
2 r
16 3.14159 2 3.132 4 0.005 2 0.616
确定包含因子。查 t 分布表 t0.01（9）＝3.25，及 K＝3.25 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为 U＝Ku＝3.25×0.616＝2.002 4—6 某数字电压表的说明书指出，该表在校准后的两年内，其 2V 量程的测量误差不超 -6 -6 过±(14×10 读数+1×10 ×量程)V，相对标准差为 20％，若按均匀分布，求 1V 测量时 电压表的标准不确定度； 设在该表校准一年后， 对标称值为 1V 的电压进行 16 次重复测量， 得观测值的平均值为 0.92857V，并由此算得单次测量的标准差为 0.000036V，若以平均值 作为测量的估计值，试分析影响测量结果不确定度的主要来源，分别求出不确定度分量， 说明评定方法的类别，求测量结果的合成标准不确定度及其自由度。
1－6 检定 2.5 级（即引用误差为 2.5％）的全量程为 l00V 的电压表，发现 50V 刻度点的 示值误差 2V 为最大误差，问该电表是否合格? 解： 依题意，该电压表的示值误差为 2V 由此求出该电表的引用相对误差为 2/100＝2％ 因为 2％＜2.5％ 所以，该电表合格。 1－9 多级弹导火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过 0.lkm，优秀射手能在 距离 50m 远处准确地射中直径为 2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解： 多级火箭的相对误差为：