误差理论与数据处理课后答案

若： 1 2 3 则有： V
2 2 (a2 a3 ) 2 12 (a1a3 ) 2 2 (a1a2 ) 2 3
3—9 按公式 V=πr h 求圆柱体体积，若已知 r 约为 2cm，h 约为 20cm，要使体积的相对 误差等于 1％，试问 r 和 h 测量时误差应为多少? 解： 若不考虑测量误差，圆柱体积为
2
V r 2 h 3.14 2 2 20 251.2cm 3
根据题意，体积测量的相对误差为.2 1% 2.51 现按等作用原则分配误差，可以求出 测定 r 的误差应为：
V
1%
r
测定 h 的误差应为：
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。 解： 按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表：
T xi yi T xi yi T xi yi 1.41 1.48
1
0.62
2
0.86
3
0.99
4
1.12
5
1.13
6
1.13
7
1.16
8
1.18
9
1.20
10
1.21
11
1.21
12
1.22
13
1.25
lim x t x 4.60 1.14 104 5.24 104 mm
写出最后测量结果
L x lim x 20.0015 5.24 104 mm
2－8 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm，若要求测量的允许极限 误差为±0.0015mm，而置信概率 P 为 0.95 时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有

3.18 4

3.18 1.59 2
即要达题意要求，必须至少测量 5 次。 2－19 对某量进行两组测量，测得数据如下：
xi yi 0.62 0.99 0.86 1.12 1.13 1.21 1.13 1.25 1.16 1.31 1.18 1.31 1.20 1.38 1.21 1.41 1.22 1.48 1.30 1.59 1.34 1.60 1.39 1.60 1.41 1.84 1.57 1.95
t
T a

0.1
现取概率 2 (t ) 0.95 ， 即 (t ) 0.475 ， 查教材附表 1 有 t 1.96 。 由于 t t ， 因此， 可以认为两组数据间没有系统误差。
第三章 误差的合成与分配
3—3 长方体的边长分别为α1，α2, α3 测量时：①标准差均为σ；②标准差各为σ1、σ2、 σ3 。试求体积的标准差。
4 r 3 3
其标准不确定度应为：
V 2 u r r
2
4 r
2 2
2 r
16 3.14159 2 3.132 4 0.005 2 0.616
确定包含因子。查 t 分布表 t0.01（9）＝3.25，及 K＝3.25 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为 U＝Ku＝3.25×0.616＝2.002 4—6 某数字电压表的说明书指出，该表在校准后的两年内，其 2V 量程的测量误差不超 -6 -6 过±(14×10 读数+1×10 ×量程)V，相对标准差为 20％，若按均匀分布，求 1V 测量时 电压表的标准不确定度； 设在该表校准一年后， 对标称值为 1V 的电压进行 16 次重复测量， 得观测值的平均值为 0.92857V，并由此算得单次测量的标准差为 0.000036V，若以平均值 作为测量的估计值，试分析影响测量结果不确定度的主要来源，分别求出不确定度分量， 说明评定方法的类别，求测量结果的合成标准不确定度及其自由度。
D 2 其标准不确定度应为： u r r
2
2 2 r2
4 3.14159 2 0.005 2
＝0.0314cm 确定包含因子。查 t 分布表 t0.01（9）＝3.25，及 K＝3.25 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为： U＝Ku＝3.25×0.0314＝0.102 ②求圆球的体积的测量不确定度 圆球体积为： V
3
解： 长方体的体积计算公式为： V a1 a2 a3 体积的标准差应为： V
(
V 2 2 V 2 2 V 2 2 ) 1 ( ) 2 ( ) 3 a1 a 2 a3
现可求出：
V V V a 2 a3 ； a1 a3 ； a1 a 2 a1 a 2 a3
《误差理论与数据处理》练习题
参考答案
第一章 绪论
1－1 测得某三角块的三个角度之和为 180 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于：180o 0002 180o 2 相对误差等于：
o
2 2 2 ＝ 0.00000308641 0.000031% o 180 180 60 60 648000
x
求单次测量的标准差
l
i 1
i
n
n i 1
20.0015mm
2 i

求算术平均值的标准差
v

n
n 1

26 10 8 2.55 10 4 mm 4
x
2.55 10 4 ＝ 1.14 10 4 mm 5
确定测量的极限误差 因 n＝5 较小，算术平均值的极限误差应按 t 分布处理。 现自由度为：ν＝n－1＝4； α＝1－0.99＝0.01， 查 t 分布表有：ta＝4.60 极限误差为
14
1.30
15
1.31
16
1.31
17
1.34
18
1.38
19
1.39
20
1.41
21
22
23
1.57
24
1.59
25
1.60
26
1.60
27
1.84
28
1.95
现 nx＝14，ny＝14，取 xi 的数据计算 T，得 T＝154。由
a(
n1 (n1 n2 1) n n (n n2 1) ) 203 ； ( 1 2 1 ) 474 求出： 2 12

1 2.51 1 0.007cm 2 V / r 1.41 2hr
h

1 2.51 1 0.142cm 2 2 V / h 1.41 r
4
第四章 测量不确定度
4—1 某圆球的半径为 r，若重复 10 次测量得 r±σr =(3.132±0.005)cm，试求该圆球 最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率 P=99％。 解：①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度 已知圆球的最大截面的圆周为： D 2 r
t x t
根据题目给定得已知条件，有

n
0.0015
t n

0.0015 1.5 0.001
2
查教材附录表 3 有 若 n＝5，v＝4，α＝0.05，有 t＝2.78，
t n

2.78 5

2.78 1.24 2.236
若 n＝4，v＝3，α＝0.05，有 t＝3.18，
t n
若： 1 2 3 则有： V
(
V 2 2 V 2 2 V 2 2 V 2 V 2 V 2 ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) a1 a 2 a3 a1 a 2 a3
(a2 a3 ) 2 (a1a3 ) 2 (a1a2 ) 2
1－6 检定 2.5 级（即引用误差为 2.5％）的全量程为 l00V 的电压表，发现 50V 刻度点的 示值误差 2V 为最大误差，问该电表是否合格? 解： 依题意，该电压表的示值误差为 2V 由此求出该电表的引用相对误差为 2/100＝2％ 因为 2％＜2.5％ 所以，该电表合格。 1－9 多级弹导火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过 0.lkm，优秀射手能在 距离 50m 远处准确地射中直径为 2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解： 多级火箭的相对误差为：
0.1 0.00001 0.001% 10000
射手的相对误差为：
1cm 0.01m 0.0002 0.002% 50m 50m
多级火箭的射击精度高。
第二章 误差的基本性质与处理
2－4 测量某电路电流共 5 次， 测得数据(单位为 mA)为 168.41， 168.54， 168.59， 168.40， 168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。 解：
5
I
I
i 1
5
i
5
5
168.49(mA)

( Ii I )
i 1
5 1
1
0.08

2 3
( Ii I )
i 1
5
5 1

2 0.08 0.05 3
4 5
( Ii I )
i 1
5
5 1

4 0.08 0.06 5
2—5 在立式测长仪上测量某校对量具， 重复测量 5 次， 测得数据(单位为 mm)为 20． 0015， 20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以 99％的置信概率确 定测量结果。 解： n 求算术平均值