第四章 振动学基础§4.2简谐振动的图示法.

振幅
角频率 初相 振动周期
A
A
角速度
t=0时，A 与ox夹角

0
T=2/
ox
0
t
x
旋转周期 t时刻，A 与ox夹角
A 在 ox 上的投影
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相位
位移
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t+ 0
x =Acos(t+ 0)
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简谐振动的描述方法小结： 1. 解析法 x=Acos( t+ ) 已知振动表达式 A、 (或 T 或 )、 已知A、 (或 T 或 ) 、 振动表达式 2. 曲线法 已知振动曲线 A、 (或 T 或 )、 已知 A、 (或 T 或 )、 振动曲线 3. 旋转矢量法 A
A

A
由旋转矢量图可知
v A sin t
π t 3
1
o
A 2
x
0.26m s
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（负号表示速度沿 Ox 轴负方向）
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（3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零，而是具有 1 向右的初速度 v0 0.30m s，求其运动方程.
A
A
2
a
x
π 2
称两振动反相 称两振动同相
Δ π 0
8、 在谐振动的合成中，用旋转矢量非常方便。
2016/9/18 15 重庆邮电大学理学院 总之，旋转矢量法在大学物理，电路分析，等学科中有广泛应用
例4.2.4 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度 系数 k 0.72N m1，物体的质量 . m 20g
0
a
v
x

2
(t )
an r A a an i
2
2
(t )
an i cos
2
x A cos(t )
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a A cos( t )
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（6）、

所在的象限：
0 60
0
x
x(cm)
x A cos( t

3
)
t=0
t T 12 T t 6
A
T T T T 5T T 12 6 4 3 12 2
O
t
T O 2
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T
t(s)
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3600 300 12
12
（5）、确定振动的速度和加速度
vm r A v vmx vm i y v m π t vm i cos 2 v cos( t ) A a m n t 2 v A sin(t )
t 0 时， A sin 0 < <2
②用旋转矢量法： 如图，对“1”向正方向运动，对 “2”向负方向运动。
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=
4 3
"1"
A o 2 60
4 3
A
A
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"2"
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⑵、 求时间方便。
对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.
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x A cos(t )
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（7）、 比较两个振动，哪一个超前，哪一个落后。
x A cos t

A
π A cos t 2 a A 2 cos t π
由图看出：速度超前位移 加速度超前速度 位移与加速度 若
矢量 A 的端点M 在x 轴上的投影点P 的坐标为： x Acos( t )
所以，P点的运动为简谐振动。
P点的速度和加速度分别代表着简谐振动的速度和加速度。
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旋转矢量
A与谐振动的对应关系
旋转矢量 A
模
A A
简谐振动
符号或表达式

v0 tan x0
x0 v0
0
tan 0 : 在一、三象限
x0 0；v0 0 x0 0；v0 0
一象限 三象限
y
x0 v0 vm
tan 0 : 在二、四象限
v

x
x0 0；v0 0
二象限
四象限
x0 v0
x0 v0
x0 0；v0 0
x0

o
t0
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x
x0
2 2 2 A2 2 x0 v0
A
v0
A x
2 0
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v

2 0 2
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A
例4.2.3：一个质点沿x轴作简谐运动，振幅A=0.06m，周期T=2s， 初始时刻质点位于x0=0.03m处且向x轴正方向运动。求：（1）初 相位；（2）在x=-0.03m处且向x轴负方向运动时物体回到平衡位 置所需要的最短时间。 解：（1）用旋转矢量法，则初相位在第四象限
2 2 ( B) x 2 cos( t ) 3 3 4 2 ( D) x 2 cos( t ) 3 3
3
v0 0
A x0 1 2
2 3 3

t 1 4 t 0 ~ 1s : 3 3 2016/9/18 重庆邮电大学理学院
v 某时刻质点 其方向参看下一时刻状况
二、简谐振动的旋转矢量图示法
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规定： A 在x（振动方向）轴上的投影
旋转矢量 A ： 逆时针转动，匀速转动
谐振动方程.
x A cos(t )
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1、简谐振动的旋转矢量图示法


3
（2）从x=-0.03m处且向向x轴负方向运动到平衡位置，意味着 旋转矢量从M1点转到M2点，因而所需要的最短时间满足
3 2 5 t 2 3 6
5 5 6 2016/9/18 t 0.83 s 重庆邮电大学理学院 6
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（4）、利用 旋转矢量法作 谐振动的 x-t 图，反之也然。
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05 m 处停下后再释放， 求简谐运动方程；
x/m
解（1） F m a kx m d x 2
dt
2
o

k m
2 0
0.72N m 1 6.0s 1 0.02kg
2 v0
0.05 2 d x k 2 x0 m dt
A x 2 x0 0.05m v0 t an 0 0 或 π x0 0 由旋转矢量图可知
t

t+
t=0
0
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x x0
A o X -A
x
= /2
t
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2、应用： ⑴. 求初相位。（它就是矢量与x轴的夹角） 例4.2.1：t = 0 时谐振子在-A/2处沿正向运动，求初相。 解： ①函数法： x A cos(t )
A t 0 时，x A cos 2 1 2 4 cos 或 2 3 3
t 1s
y
0.02

5 rad s 1 5 x 0.02cos( t ) ( m) 6 则振动方程为： 6 3
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2
O

0.01
x
例4.2.6：一质点沿x 轴作简谐振动，振幅 A = 0.12 m，周期T = 2 s，当 t = 0 时，质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06m ，此时向x 轴正向运动。求：(1)此振动的表达式。 (2)从初始时刻开始第 一次通过平衡位置的时间。
t 1, x A
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例4.2.8：有两个同方向、同频率的谐振动，其合振动的振幅为 20cm，合振动的相位与第一个振动的相位之差为300若第一个振 动的振幅为17.3cm，求第二个振动的振幅, 第一、第二两振动的 相位差. 解：不妨设第一个振动的振幅。根据题意可作出旋转矢量关系图：

A2
A
o
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例4.2.2：质点在x轴上作简谐振动，求其从平衡位置先运动到+A/2 再到-A/2的最短时间是多少。 不合题意，舍去
3 解： 平衡位置： , 2 2 7 6 t ( s) 6


A o 2 60
A 2
A
A
⑶、用旋转矢量根据初始条件很直观求出振幅 由图中几何关系可知
由旋转矢量关系图可知：
1 2 0
2
300
A1
x
2


2
,
A2 A sin 30 0

2
A 10cm 2
作业P172：4.1 ；4.3 ；4.4 ；4.7；4.8；4.9 ；4.10
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解 A＇
2 x0

2 v0 2
0.0707 m
v0 tan＇ 1 x0
π 3π ＇ 或 4 4
因为
o
π 4
x
A＇
v0 0
，由旋转矢量图可知
＇ π 4
1
π x A cos(t ) (0.0707 m) cos[( 6.0s )t ] 4 2016/9/18 18 重庆邮电大学理学院
x A cos(t1 ) x A cos(t2 )
(t2 ) (t1 )
t t2 t1
x
A
A2
a
b
π 3
tb

o
A
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v
t
A
0
A ta A
2
x
π 3 1 t T T 2π 6
解 (1)取平衡位置为坐标原点。
O
t ) 设振动方程为： x Acos(
利用旋转矢量法求解，根据初始条件就可画 出振幅矢量的初始位置，从而得到：
A x0 2
v0

x


3
2 T
x 0.12cos ( t



3
)
(2) 由旋转矢量图可知，从起始时刻到第 A 一次质点通过原点，旋转矢量转过的角度为： 5 t 3 2 2 6 5 2016/9/18 重庆邮电大学理学院 0.83s t / 6
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例4.2.7 、已知某简谐运动的运动曲线如图所示，则此简谐 运动的运动方程（x的单位为cm，t的单位为s）为（ ） D
x A cos(t )
2 2 ( A) x 2 cos( t ) 3 3 4 2 (C ) x 2 cos( t ) 3 3
简谐运动标准方程
例4.2.5、一作简谐振动的物体，其振动曲 线如图所示。试写出该振动的表达式。 解：振动方程为
x/m
0.01
x A cos( t )
由振动曲线可知，振幅为 A 0.02 m t = 0 时，
A x0 0.01m 2
O
0.02
1
t /s
且其初始速度 v0 0 作旋转矢量图，如右图。 可得其振动初相位为 3 又 t =1s 时， x 0， v 0 由旋转矢量图可知： ( t )
o
A
x
16
x (0.05m) cos[(6.0s )t ]
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1 重庆邮电大学理学院
A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度； 2
解
t ) x A cos(t ) A cos(
π 5π t 或 3 3
x 1 cos(t ) A 2

A
p
t
作坐标轴 O x , 自O 点作一矢量 OM ，用 A 表示 。
M
A A — 振幅A

t0 A
o
x
A 在t = 0 时与x 轴的夹角— 初相 A 以恒定角速度ω 绕O 点作逆时针转动 — 角频率ω t 时刻 A 与x 轴的夹角— 相位 ω t +
§4.2简谐振动的图示法
一、简谐振动的振动曲线图示法
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1
x
A1 A2
x
x1 x2
T
同相
A1 A2
x1
反相
T
0
- A2
-A1
t
0wk.baidu.com
- A2 -A1
t x2
意义：反映某质点位移随时间变化规律 由振动曲线可知 周期T. 振幅A
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初相 0
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