【材料力学期末考试】必考计算题
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3、图示杆系结构中AB杆为刚性杆，①、②杆刚度为EA，外加载荷为P，求①、②杆的轴力
解：受力分析。一次超静定问题。
（1）静力平衡方程
=
∑A M：Pa
aF
a
F
N
N
3
2
2
1
=
+
P
F
F
N
N
3
2
2
1
=
+（a）
（2）变形协调方程
（b）
（3）物理方程
EA
l
F
l N1
1
=
∆，
EA
l
F
l N2
2
=
∆（c）
由（b）（c）得补充方程
1
2
2
N
N
F
F=（d）
（4）由（a）和（d）式得
P
F
N5
3
1
=，（拉力）P
F
N5
6
2
=，（拉力）
F N1
F N2
F y
F x
13、一矩形截面外伸木梁，截面尺寸及荷载如图所示，q =1.3kN/m 。已知木梁许用正应力
MPa 10][=σ，许用切应力MPa 2][=τ，校核梁的正应力和切应力强度
解：支反力 kN 91.3 ,kN 61.1==B A F F
剪力图和弯矩图
危险截面在位置B m kN 02.1 kN,29.2max max ⋅==M Q
所以 ][MPa 08.710
120606
1002.16
26max σσ<=⨯⨯⨯⨯==-z W M ][MPa 477.0106012021029.23236
3
max ττ<=⨯⨯⨯⨯⨯==-A Q
故梁的正应力和切应力均满足强度要求。
14、梁AB 尺寸a =1m ，b =0.1m ，h =0.2m ；材料的弹性模量E =210GPa ，泊松比ν=0.28；在C 截面中间层处测得45度方向应变为1×10-5。试计算梁上集中力F
解：测量点截面剪力 3
2S F
F -= 测量点处单元处于纯剪切状态
bh
F A F S -==5
.1τ 于是测量点处τστσ=-= 13545 , 代入广义胡克定律
[]bh F E E E ντννσσε+=+-=-=
︒︒111
1354545 集中力 kN 81.32145=+=
ν
εbhE
F
16、T形截面梁受力如图所示，已知[σt]=40MPa，[σc]=60MPa，F1=12kN，F2=4.5kN，I z = 765×10-8m4，y1=52mm，y2=88mm。不考虑切应力，试校核梁的强度
解：先求支反力
kN
75
.
12
kN,
75
.3=
=
By
Ay
F
F
作弯矩图，截面C、B为危险截面，其弯矩大小为
m
kN
5.4
m,
kN
75
.3
B
C
⋅
=
⋅
=M
M
截面C弯矩为正，应力方向上压下拉
]
[
MPa
14
.
43
]
[
MPa
49
.
25
t
2
C
max
t
c
1
c
max
c
σ
σ
σ
σ
>
=
=
<
=
=
y
I
M
y
I
M
z
z
截面B弯矩为负，应力方向上拉下压
]
[
MPa
76
.
51
]
[
MPa
59
.
30
c
2
B
max
c
t
1
B
max
t
σ
σ
σ
σ
<
=
=
<
=
=
y
I
M
y
I
M
z
z
梁在截面C处不安全。
19、如图在一体积较大的钢块上开一个贯穿的槽，其深度和宽度都是10mm ，在槽内紧密无隙地嵌入一铝质立方块，它的尺寸为10mm×10mm×10mm ，当铝块受到压力P =6kN 的作用时，假设钢块不变形，铝的弹性模量E =70GPa ，μ=0.33。试求铝块的三个主应力及相应的变形
解：铝块的应力状态图如图所示
MPa 60Pa 1010101066
3-=⨯⨯⨯=-=-A P y σ
0=z σ，0=x ε
由广义胡克定律
0)]([1
=+-=z y x x E
σσμσε，所以
MPa 8.19MPa 6033.0-=⨯-==y x μσσ
则对应的三个主应力为
01==z σσ，MPa 8.192-==x σσ，MPa 603-==z σσ
相应的主应变为
4
69
32111076.310)]608.19(33.00[10701)]([1-⨯=⨯--⨯-⨯=+-=
σσμσεE 010)]600(33.08.19[10701)]([16
9
3122=⨯-⨯--⨯=+-=σσμσεE 469
12331064.710)]8.190(33.060[10
701)]([1-⨯-=⨯-⨯--⨯=+-=σσμσεE 相应的变形为
m m 1076.3101076.334111--⨯=⨯⨯==∆l l ε
0222==∆l l ε
m m 1064.7101064.734333--⨯-=⨯⨯-==∆l l ε
z
y
x σ
x
y
σ