1微分方程及差分方程稳定性理论
差分与微分方程
差分方程理论：1.一阶差分方程k k k x x x -=∆+1….刻画该变量形如)(k k x f x =∆或)(1k k x F x =+称为一阶差分方程；2.二阶差分方程k k k k k k x x x x x x +-=∆-∆=∆+++12122形如),(12k k k x x f x +=∆称为二阶差分方程3.平衡点和稳定性如果*lim x x k k =+∞→即平衡点 渐近稳定：存在*x 的某个邻域U ，对任意的U x ∈0,虽然*0x x ≠，但*lim x x k k =+∞→ 4.应用及软件实现：一阶线性常系数差分方程，)1.1(,......2,1,0,)1(1=+=+k x r x k k 其中r 为常数，有3种方式计算k 时段的增长率前差公式：kkk x x x -+1 中点公式：kk k x x x 211-+- 后差公式：k k k x x x 1--其中中点公式的精度最高)1.1(的解为等比数列,......2,1,0,)1(0=+=k r x x k k若0≠r ，则仅有平衡点0=x 。
稳定当且仅当1|1|<+r下面选取参数r 和初始值0x ，按)1.1(迭代，绘图观察其解的长期行为 详见程序r=[0.09;0.09;-0.1;-0.1;-1.9;-1.9;-2.09;-2.09];x=[15;-15;85;-85;85;-85;15;-15];一阶线性常系数非齐次差分方程)2.1(,......2,1,0,)1(1=++=+k b x r x k k若0=r 则为等差数列0,0,1,2,......k x x kb k =+=；若0≠r ，则rb r r b x x k k -++=)1)((0 引入 rb x y k k +=则.0,1,2.....k )1()1(01=+=+=+k k k r y y r y 可得此时平衡点rb x -=稳定当且仅当02-<<r 实例：Florida 沙丘鹤属于濒危物种，生态学家估计它在较好的自然环境下，年平均增长率仅为 1.94%，而在中等及较差自然环境下年平均增长率仅为-3.24%和-3.82%，即它逐渐减少，假设在某自然保护区内开始时有100只沙丘鹤，请建立数学模型，描述其数量变化规律，并作数值计算。
1微分方程与差分方程稳定性理论
如果 tlim x(t ) x0 , 则称平衡点P0是稳定的.
t
lim y(t ) y0 ,
下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别 准则. 设 f ( P0 ) f ( P0 ) f ( P0 ) g ( P0 ) x y p , q g ( P0 ) g ( P0 ) y x x y
微分方程定性分析
一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根 据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整 个区域内的分布状态. 基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状， 或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态. 研究对象：驻定系统 若微分方程组
dxi fi ( x1 , x2 , , xn ), i 1, 2,, n dt
2 2
微分方程的定性分析
随着科学技术的发展，常微分方程定性分析 在各个学科领域已成为必不可少的数学工具， 也是数学建模的必备基础理论. 一. 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法 极少情况下，能够用初等函数或初等函 数的积分表示微分方程的解. 解 求微分方程的数值解 决 方 对微分方程进行定性分析 法
二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, b, r为常数.
当r = 0时, 它有一特解 x* = 0； 当r ≠ 0, 且a + b + 1≠ 0时, 它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形, x*是其平衡点. 设其特征方
程
2 + a + b = 0 的两个根分别为 =1, =2.
来代替.
dx f ( x0 )( x x0 ) dt
偏微分方程数值解 有限差分法的基本知识2
u( x j
,
tn
)
o(
),(向前差商）(1.2)
u( x j1 ,
tn) h
u( x j
,
tn )
x
u( x j
,
tn
)
o(h),(向前差商）(1.3)
u( x j
,
tn
)
u(xj1, h
tn
)
x
u(
xj
,
tn
)
o(h),(向后差商）(1.4)
u( x j1 ,
tn) u(xj1, 2h
(1.1)在D上积分，得 D（ 到 ut cux）dxdt 0
t
H
L3
G
L4
L2
E
L1
F
o
x
利用 Gree公 n 式，得
（ucu）dxdt
D t x
（ L unt cunx)ds0
(1.14)
其中 nx与nt分别L是 的外法向单位 n沿向 x方量 向
与沿 t方向的两个分量。
把(1.14)左端分成在L1，L2，L3，L4，上的四个积分，
得近似方程
~ u1h
cu2~
~ u3h
cu4~
0
既
u3
u1
c~
h~
(u2
u4 )
(1.15)
这里h~是L1与L3的长度，~是L2与L4的长度，
ui是可按不同方式确定u的在Li上的近似函数值。
在 网 格E中 ,F,G， ,H依 点次 (n为 1,j1), 22
(n1,j1)(,n1,j1)(,n1,j1), 22 22 22
写作风格过于简洁导致许多工作未获更高声誉。
微分方程与差分方程
N， ，
N (t )
Nm Nm r ( t t 0 ) 1 N 1 e 0
.
下面,我们对模型作一简要分析. （1）当 t , N (t ) N m ,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值 N m ； （2）当 0 N N m 时, 数； （3） 由于
这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为
N (t ) N 0 e r (t t0 ) ,
此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计 1961 年地球上的人口总数为 3.06 10 ,而在以后 7 年中,人口总数
9
9 以每年 2%的速度增长,这样 t 0 1961 , N 0 3.06 10 , r 0.02 ,于是
dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt
定义 3：代数方程组
（5）
f ( x, y) 0 的实数根 x x0 , y y0 ，称它为（5）的一个平衡点 g ( x, y) 0
（或奇点） ，记为 P0 ( x0 , y0 ) . 定义 4：如果从所有可能的初始条件出发，方程（5）的解 x (t ) ， y (t ) 都满足
2 T D 0
特征根为 1,2
T T 2 4D . 2
下面就分别特征根为相异实根、重根及复根三种情况加以研究： 1） T 4 D 0
2
3
华南农业大学数学建模培训
ⅰD0 ⅱD0
2
T 0 T 0
二根异号
二根同正 二根同负
O 是不稳定结点 O 是稳定结点
O 是鞍点
显然 O(0, 0) 为系统的奇点，记系统系数矩阵 A
微分方程差分方程
微分方程差分方程（原创实用版）目录1.微分方程和差分方程的定义2.微分方程和差分方程的联系与区别3.微分方程和差分方程的应用领域正文微分方程和差分方程都是数学领域中重要的方程式，它们各自具有独特的性质和应用，但在某些方面也存在相似之处。
本文将从定义、联系与区别以及应用领域三个方面对微分方程和差分方程进行介绍。
一、微分方程和差分方程的定义微分方程是一种包含未知函数及其导数的方程，描述了物理量在时间、空间上的变化规律。
微分方程中的未知函数通常表示某一物理量的瞬时变化率，如速度、加速度等。
差分方程是一种离散形式的微分方程，它描述了离散系统中各变量之间的变化关系。
差分方程中的未知函数通常表示某一离散系统中各个时刻的变量值，如数列、矩阵等。
二、微分方程和差分方程的联系与区别1.联系微分方程和差分方程都是描述系统变化的数学模型，它们之间存在一定的联系。
微分方程是差分方程的连续形式，而差分方程是微分方程的离散形式。
这意味着，当微分方程中的自变量离散化时，可以得到相应的差分方程；反之，当差分方程中的自变量连续化时，可以得到相应的微分方程。
2.区别微分方程中的未知函数通常表示物理量的瞬时变化率，而差分方程中的未知函数表示离散系统中各个时刻的变量值。
这意味着，微分方程描述的是连续系统中的变化规律，而差分方程描述的是离散系统中的变化规律。
此外，微分方程和差分方程的求解方法也有所不同。
微分方程通常采用积分方法求解，而差分方程则采用代数方法求解。
三、微分方程和差分方程的应用领域微分方程广泛应用于物理、工程、生物学等领域，描述了各种连续现象的变化规律。
例如，牛顿运动定律、电磁场方程、生态系统模型等都包含微分方程。
差分方程在计算机科学、信息处理、控制论等领域具有重要应用。
例如，数值方法中的欧拉法、龙格 - 库塔法等用于求解常微分方程；离散系统中的状态转移方程、输入输出关系等都可以用差分方程来描述。
微分方程与差分方程简介
差分方程的分类
一阶差分方程
只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
高阶差分方程
包含多个差分的方程，如 (y(n+2) - 2y(n+1) + y(n) = 0)。
线性差分方程
差分项之间线性关系的方程，如 (y(n+1) - y(n) = a + by(n))。
非线性差分方程
05
微分方程与差分方程的 稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析是一种判断动 态系统稳定性的方法，通过分析系统 状态的变化趋势，判断系统是否具有 稳定性。
李雅普诺夫第二方法通过构造一个正 定的李雅普诺夫函数，来研究非线性 系统的稳定性，这种方法适用于非线 性系统的稳定性分析。
线性稳定性分析
经济问题
描述市场供需关系、价格变动、经 济增长等。
03
02
工程问题
控制工程、航空航天、机械工程等 领域。
生物医学问题
描述生理过程、药物动力学、流行 病传播等。
04
02
差分方程简介
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量变化规律的数学模型，通常表示为离散变量的函数及其差分之间的关系式。
它与微分方程类似，但时间或空间变量是离散的，而不是连续的。
微分方程与差分方程 简介
目 录
• 微分方程简介 • 差分方程简介 • 微分方程与差分方程的联系与区别 • 微分方程与差分方程的数值解法 • 微分方程与差分方程的稳定性分析
01
微分方程简介
微分方程的定义
1
微分方程是包含一个或多个未知函数的导数的方 程。
2
它描述了某一函数随时间或其他变量的变化规律。
差分方程与微分方程的一致性研究
差分方程与微分方程的一致性研究差分方程和微分方程是数学中两个重要的概念，它们分别研究了离散和连续变量之间的关系。
尽管它们在形式上有所不同，但在某些情况下，差分方程和微分方程之间存在着一致性。
本文将探讨差分方程和微分方程的一致性研究，并介绍一些相关的理论和应用。
差分方程是研究离散变量的数学方程，它描述了变量之间的差异和变化规律。
差分方程的一般形式可以表示为：\[x_{n+1}=f(x_n)\]其中，\(x_n\)表示第n个离散变量的值，\(f(x_n)\)表示变量之间的关系函数。
差分方程可以用于模拟离散系统的行为，例如人口增长、物种演化等。
微分方程则是研究连续变量的数学方程，它描述了变量之间的变化率和变化规律。
微分方程的一般形式可以表示为：\[\frac{dx}{dt}=f(x,t)\]其中，\(x\)表示连续变量的值，\(t\)表示时间，\(\frac{dx}{dt}\)表示变量的变化率，\(f(x,t)\)表示变量之间的关系函数。
微分方程可以用于描述连续系统的行为，例如物理系统的运动、化学反应等。
差分方程和微分方程在形式上有所不同，但它们在某些情况下可以相互转化，这就是差分方程与微分方程的一致性。
具体而言，当离散变量的变化趋势与连续变量的变化趋势相似时，差分方程可以近似地转化为微分方程，反之亦然。
一种常见的差分方程与微分方程的一致性研究是欧拉方法。
欧拉方法是一种用差分方程近似解微分方程的方法，它基于泰勒级数展开，将微分方程中的变化率近似为差分方程中的差商。
通过逐步迭代，欧拉方法可以得到微分方程的近似解。
欧拉方法在数值计算和模拟中有广泛的应用，例如天体力学、流体力学等领域。
除了欧拉方法，还有其他一些方法可以用于差分方程与微分方程的一致性研究。
例如，拉普拉斯变换可以将微分方程转化为差分方程，而Z变换则可以将差分方程转化为微分方程。
这些变换方法在信号处理和控制系统中有重要的应用，例如滤波器设计、系统辨识等。
微分方程稳定性
微分方程稳定性微分方程是描述自然界或社会现象数学模型的重要工具，在许多领域都得到了广泛应用。
稳定性是微分方程中一个重要的性质，它决定了系统的长期行为。
本文将从微分方程的稳定性入手，探讨其原理及应用。
稳定性概述在微分方程中，稳定性描述了系统在扰动下的表现。
一个系统若具有稳定性，即在初始条件稍微改变时系统也不会产生很大的变化，保持在某种稳定的状态。
相反，若系统不稳定，则初始条件的微小变化可能引起系统行为的剧烈变化。
线性系统的稳定性对于线性微分方程，我们可以通过线性稳定性定理来判断系统的稳定性。
简言之，线性系统的稳定性与其特征根的实部有关。
如果所有特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果存在实部大于零的特征根，则系统是不稳定的。
非线性系统的稳定性相比线性系统，非线性系统的稳定性分析更加复杂。
通常我们需要通过 Lyapunov 函数、相平面分析等方法来研究非线性系统的稳定性。
Lyapunov 函数是一种标量函数，通过分析 Lyapunov 函数的正负号可以确定系统的渐近稳定性、不稳定性或者随机稳定性。
应用案例分析举一个简单的应用案例，考虑如下的非线性微分方程：$$\frac{dx}{dt} = -x^3$$可以通过 Lyapunov 函数的方法来判断系统的稳定性。
定义Lyapunov 函数为 $V(x) = \frac{1}{2}x^2$，对 $V(x)$ 求导得：$$\dot{V}(x) = x \dot{x} = -x^4$$当 $x \neq 0$ 时，有 $\dot{V}(x) < 0$，因此系统是渐近稳定的。
这个简单的例子展示了Lyapunov 函数在非线性系统稳定性分析中的应用。
结论微分方程的稳定性是微分方程理论中的一个核心问题，它关乎系统的长期行为和稳定性。
通过线性稳定性定理和 Lyapunov 函数等方法，我们可以判断系统的稳定性，并进一步研究系统的动力学特性。
在实际应用中，对微分方程稳定性的研究有助于我们更好地理解系统的演化规律，为问题的求解提供重要参考。
差分方程模型的稳定性分析
摘要I
AbstractII
目录III
引言1
1、差分方程的定义及其分类1
（1）差分算子：1
2.差分方程的求解与稳定性判断方法:2
（1）差分方程的求解：2
摘 要
微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。
（2)差分方程：
定义2：含有未知函数及未知函数差分的等式，我们称为差分方程，它的一般表达形式为：
由（1）与（2）的关系，可以将阶数为 的差分方程写为
或者
我们称 不显含 时的方程为自治差分方程。形如 表示一阶差分方程； 表示n阶差分方程。
（2）差分方程的分类：
差分方程可以分为两大类：其一为线性差分方程，它是指当 是 的线性函数时，称 为线性差分方程；也就是说 的次数都为 ，其二为非线性差分方程，它是指当 是 的非线性函数时，称 为非线性差分方程。显而易见，非线性差分方程求解比线性差分方程求解复杂，因此它的解的性态也比较难分析，本文我们只研究线性差分方程解的性态。
微分方程的数值解法与稳定性分析
微分方程的数值解法与稳定性分析微分方程是研究自然现象和物理问题的重要数学工具。
在实际问题中，许多微分方程往往难以解析求解，因此需要借助计算机进行数值求解。
本文将介绍微分方程的数值解法以及稳定性分析。
一、欧拉法欧拉法是最简单、最基础的数值解法之一。
基本思想是将微分方程中的导数用差商逼近，得到差分方程，再求解差分方程以获得离散的数值解。
考虑一阶常微分方程 dy/dx = f(x, y)，将自变量 x 分割为若干小区间，步长为 h。
欧拉法的迭代公式为 y_{i+1} = y_i + h * f(x_i, y_i)，其中 y_i 和 x_i 是第 i 个点的数值解和自变量值。
欧拉法的简单易懂，但存在局限性。
当步长过大时，数值解的稳定性较差，可能出现数值误差增大、解发散等问题。
二、改进的欧拉法（改进欧拉法）为克服欧拉法的局限性，改进的欧拉法在迭代过程中增加了更高阶的差商项，提高了数值解的精度和稳定性。
举例说明，考虑一阶常微分方程 dy/dx = f(x, y)，改进的欧拉法的迭代公式为 y_{i+1} = y_i + h * (f(x_i, y_i) + f(x_{i+1}, y_i + h * f(x_i, y_i))) / 2。
改进的欧拉法相比于欧拉法具有更好的数值稳定性和精度，但复杂度略高。
三、龙格-库塔法（RK方法）龙格-库塔法是一类常用的高精度数值解法，其思想是通过多个对函数 f(x, y) 的估计来提高数值解的准确性。
最常见的四阶龙格-库塔法（RK4）是利用四个不同的斜率估计来计算数值解。
其迭代公式为：k_1 = h * f(x_i, y_i)k_2 = h * f(x_i + h/2, y_i + k_1/2)k_3 = h * f(x_i + h/2, y_i + k_2/2)k_4 = h * f(x_i + h, y_i + k_3)y_{i+1} = y_i + (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) / 6龙格-库塔法具有较高的精度和数值稳定性，适用于各种类型的微分方程。
微分方程中的数值解法稳定性分析
微分方程中的数值解法稳定性分析微分方程作为一种描述自然界各种现象的重要数学工具，在实际应用中经常需要求解。
然而，有些微分方程很难通过解析方法求解，这时就需要利用数值方法进行求解。
而数值解法的稳定性对于解的准确性和可靠性至关重要。
在数值解微分方程时，我们常用的方法包括欧拉方法、改进欧拉方法、龙格-库塔方法等。
这些方法都是基于离散化的思想，通过将连续的微分方程转化为差分方程，然后逐步求解得到数值解。
其中，稳定性是一个关键的指标，用来评价数值方法在逼近真实解时是否会出现不稳定性，即解的误差是否会不断积累导致数值解失效。
一般来说，数值方法的稳定性可以通过稳定性分析进行评估。
稳定性分析主要包括绝对稳定性和相对稳定性两个方面。
绝对稳定性是指数值解法采用的离散格式是否能在给定步长下收敛到真实解，而相对稳定性则是指数值解法对输入参数的变化是否具有稳定性。
在实际应用中，我们常常需要对不同的数值解法进行稳定性分析，以选择最适合问题求解的方法。
例如，对于一阶常微分方程，欧拉方法是最简单的数值解法之一。
然而，欧拉方法的绝对稳定区域很小，只有在步长足够小的情况下才能保证数值解的稳定性，否则可能产生爆炸性增长的误差。
相比之下，改进欧拉方法和龙格-库塔方法具有更好的稳定性和收敛性。
改进欧拉方法通过考虑进一步的变量来提高计算准确性，而龙格-库塔方法则通过多步迭代来逼近真实解，从而提高了数值解的稳定性和准确性。
总之，稳定性分析在微分方程数值解法中具有重要意义，可以帮助我们选择合适的数值方法并保证数值解的准确性和可靠性。
通过理解和掌握各种数值方法的稳定性特点，我们可以更好地解决实际问题，并在科学计算领域取得更好的成果。
差分分方程稳定性
若 lim x k x ,
* k
则称平衡点 x 是稳定的（渐进稳定);否则称
*
x 是不稳定的（不渐进稳定）。
*
(1)的平衡点的稳定性可转化为
x k 1 a x k 0, k 0,1, (2)
(2)的平衡点 ( x * = 0 ) 的稳定性问题。
方程(2)的解为
xk ( a ) x0 ,
A的 特 征 根 i ( i 1, 2, , n ) 均 有
(6 )
即均在复平面的单位圆内。这个结果可将A转化为对角阵得到。
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二阶线性常系数差分方程的平衡点及稳定性
考察
x k 2 a1 x k 1 a 2 x k 0,
*
k 0,1,
(7 )
* f ( x ) 1
(1 3)
时，对于非线性方程(11) x * 是稳定的。当
* f ( x ) 1
(1 4 )
*
时，对于非线性方程(11) x 是不稳定的。
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1 1, 2 1,
ห้องสมุดไป่ตู้
(9 )
(7)的平衡点才是稳定性的。
与一阶线性方程一样，非齐次方程
x k 2 a1 x k 1 a 2 x k b , k 0,1, (1 0 )
的平衡点的稳定性与(7)相同。
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n阶线性方程稳定性的相关结论可由二阶方程的上述结 果推广得到： n阶线性方程稳定平衡点的条件是特征根 （n次代数方程的根） i ( i 1, 2, n ) 均 有 i 1。
差分方程稳定性
（10）
二阶方程的上述结果可以找到n阶线 形方程，即稳定平衡的条件是特征 方程—— n 次代数方程的根 λ i ( i = 1, 2 ,..., n ) 均有 | λ i |< 1 考虑到高阶方程和方程组的相互转化， 这个条件与（5）、（6）给出的结论是 一致的。
最后讨论一阶非线形差分方程
容易看出，可以用变量代换方法将方程 （1）的平衡点的稳定性问题转换为：
x k +1 + ax k = 0
（2）
的平衡点 x * = 0的稳定性问题。
而对于方程（2），因为其解显然可表为
x k = ( a ) k x 0 , k = 1, 2 ,...
所以立即可知当且仅当
（3）
| a |< 1
（4）
时方程（2）的平衡点（从而方程（1）的平衡点） 才是稳定的
顺便指出， 顺便指出，
对于 n 维向量 x ( k ) 和 n × n 常数 矩陈 A 构成的方程组
x(k + 1) + Ax(k ) = 0
λi , (i = 1,2,..., n )均有
（5）
其平衡点稳定的< 1
（12）
（12）是（11）的近似线形方程
x*也是（ ）的平衡点。 12
关于线形方程（12）的稳定平衡点 的讨论已由（1）——（4）给出
而当 | f / ( x * ) |≠ 1时方程（11）与（12） 平衡点的稳定性相同， 于是得到当
（13） x 时，对于非线形方程（11）， * 是稳定的；
| f / ( x * ) |< 1
差分方程的稳定性
本节主要是介绍差分方程稳定性的知识 差分方程的平衡点及其稳定性的慨念与微分方程 的有关概念是一致的 ，例如一阶线形常系数差 分方程： （1） x k +1 + ax k = b , k = 0 ,1,... 的平衡点由 解得：
差分方程的相容性收敛性和稳定性课件
相容性的判定方法
通过分析差分方程的形式和系数，可以判断其是否具有相容 性。
判断差分方程是否具有相容性的方法通常包括检查该方程是 否满足一定的数学性质，例如，是否具有一致的形式和系数 。此外，还可以通过求解该差分方程的初始值问题来验证其 相容性。
近似解。
有限元法的优势
有限元法能够处理复杂的几何形 状和边界条件，且能够处理非线 性问题，因此在工程领域应用广
泛。
06
差分方程的实际应用案例
在物理中的应用
1 2
量子力学
差分方程在量子力学中用于描述粒子在势能场中 的行为，例如在求解薛定谔方程时，差分法是一 种常用的数值解法。
热传导方程
在求解一维或二维的热传导方程时，可以使用差 分法将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
3
波动方程
在处理波动问题时，如声波、电磁波等，差分法 可以用来模拟波的传播和干涉现象。
在金融中的应用
股票价格模型
差分方程可以用于描述股 票价格的变动规律，例如 著名的几何布朗运动模型 就是一种差分方程。
期货价格模型
在期货定价理论中，差分 方程被用来描述未来价格 的变化趋势，为投资者提 供决策依据。
图形法
通过绘制差分方程的解的 图像，观察其随时间的演 化趋势。
比较法
通过比较差分方程与已知 稳定或不稳定方程的性质 ，判断其稳定性。
稳定性的应用
控制工程
稳定性是控制系统的重要性能指 标，决定了系统的动态行为。
差分格式的稳定性与收敛性
差分格式的稳定性与收敛性1 基本概念所谓稳定性问题是指在数值计算过程中产生的误差的积累和传播是否受到控制.在应用差分格式求近似解的过程中，由于我们是按节点逐次递推进行，所以误差的传播是不可避免的，如果差分格式能有效的控制误差的传播，使它对于计算结果不会产生严重的影响，或者说差分方程的解对于边值和右端具有某种连续相依的性质，就叫做差分格式的稳定性.差分格式的收敛性是指在步长h 足够小的情况下，由它所确定的差分解m u 能够以任意指定的精度逼近微分方程边值问题的精确解()m u x .下面给出收敛性的精确定义：设{}m u 是差分格式定义的差分解，如果当0h → 并且m u x →时，有()0m u u x -→，则称此格式是收敛的.2 差分方程的建立对于二阶边值问题'''()(),,(),(),Lu u q x u f x a x b u a u b αβ⎧≡-+=<<⎨==⎩ (1) 其中()q x 、[](),,()0.f x C a b q x ∈≥将区间[],a b 分成N 等份，记分点为,0,1,,,m x a mh m N =+=⋅⋅⋅ 这里步长b a h N-=.利用泰勒公式，得''1121[(()2()()]()m m m m m u x u x u x u x R h+--+=- (2) 其中 2(4)11(),(,)12m m m m m h R u x x ξξ-+=-∈(3) 把式(2)代入式(1)中的微分方程，有1121()[(()2()()]()()h m m m m m m L u x u x u x u x q x u x h+-≡--++ ()m m f x R =+ (4) 略去余项m R ，便得到(1)式中的微分方程在内部节点m x 的差分方程；再考虑到式(1)中的边界条件，就得到边值问题(1)的差分方程11201(2)()(),,,,h m m m m m m m N L u u u u q x u f x a x b h u u αβ+-⎧≡--++=<<⎪⎨⎪==⎩(5) 解线性代数方程组(5)，得()m u x 的近似值m u .01,,,N u u u ⋅⋅⋅称为边值问题(1)的差分解.从上面的推导过程可以看出，在节点m x 建立差分方程的关键是在该点用函数()u x 的二阶中心差商代替二阶导数，最后用差分算子h L 代替微分算子L 就产生差分方程(5).记 ()()()m m h m R u Lu x L u x =-，称()m R u 是用差分算子h L 代替微分算子L 所产生的截断误差.由式(2)，二阶中心差商代替二阶导数所产生的截断误差m R ，从式(4)和式(5)可以得出(())m h m m R L u x u =-，m R 称为差分方程（5）的截断误差.3 讨论差分方程组(5)的解的稳定性与收敛性引理3.1(极值原理) 设01,,,N u u u ⋅⋅⋅是一组不全相等的数，记01{,,,}N S u u u =⋅⋅⋅，11(),1,2,,1,h m m m m m m m L u a u b u c u m N -+=++=⋅⋅⋅- (6) 其中0,0,0,.m m m m m m b a c b a c ><<≥+(1) 若0(1,2,,1)h m L u m N ≤=⋅⋅⋅-，则不能在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中正的最大值；(2) 若0(1,2,,1)h m L u m N ≥=⋅⋅⋅-，则不能在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中负的最小值.证 首先用反证法证明(1).假设在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中正的最大值，记为M ,那么{}0max 0m m NM u ≤≤=>，由于S 中的数不全相等，一定存在某个(11)i i N ≤≤-,使得i u M =,并且1i u -与1i u +中至少有一个小于M .于是11()h i i i i i i i L u a u bu c u -+=++11i i i i i b M a u c u -+=++()0i i i b M a c M >++≥这与0h i L u ≤矛盾，从而（1）得证.同理可证明(2).现在运用极值原理论证差分方法的稳定性及收敛性.定理3.2 差分方程组(5)的解m u 满足{}111max ,()()max ,1,2,,1,2m m m m m N u x a b x f m N αβ≤≤-≤+--=⋅⋅⋅- (7) 证 把方程组 00,1,2,,1,,h m N L u m N u u αβ==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩和 0,1,2,,1,0h m m N L u f m N u u ==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩的解分别记为(1)m u 和(2)m u ，其中差分算子h L 由式(5)定义，则方程组(5)的解m u 为(1)(2)m m m u u u =+ (8)由极值原理可知 {}(1)max ,,1,2,,1m u m N αβ≤=⋅⋅⋅-. (9)接下来再估计(2)m u ，考虑差分方程11201(2),1,2,,1,0m m m N v v v M m N h u u +-⎧--+==⋅⋅⋅-⎪⎨⎪==⎩(10)其中 {}0max m m NM f ≤≤= 容易验证该微分方程是从边值问题'',()()0v M v a v b ⎧-=⎨==⎩ (11) 得到的，而在此边值问题的解是 ()()()2M v x x a b x =--. 因为()v x 是x 的二次函数，它的四阶导数为零，从式(2)、(3)看到()v x 在点m x 的二阶中心差商与''()m v x 相等，因此差分方程(10)的解等于边值问题(11)的解，即()()()02m m m m M v v x x a b x ==--≥. 另一方面，(2)(2)(2)(2)00()0,0,h m m h m h m m m m N N L v u L v L u q v M f v u v u ±=±=+±≥±=±=由极值原理可知 (2)0,m mv u ±≥ 即 (2)()(),1,2,, 1.2m m m m M u v x a b x m N ≤=--=⋅⋅⋅-(12) 综合式(8)、(9)、(12)就得到式(7).定理3.2表明差分方程(5)的解关于边值问题(1)的右端项和边值问题是稳定的，亦即当f 、α、β有一个小的改变时，所引起的差分解的改变也是小的.定理3.3 设()u x 是边值问题(1)的解，m u 是差分方程(5)的解，则22(4)()()max (),1,2,, 1.96m m a x b b a u x u h u x m N ≤≤--≤=⋅⋅⋅-(13) 证 记 ()m m m u x u ε=-，由式(3)、(4)、(5)可知0,1,2,,1,0,h m m N L R m N εεε==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩ 其中m R 由式(3)定义.从定理3.2得111()()max 2m m m m m N x a b x R ε≤≤-≤-- 22(4)()max ().96a xb b a h u x ≤≤-≤ 式(13)给出了差分方程(5)的解的误差估计，而且表明当0h →差分解收敛到原边值问题的解，收敛速度为2h .4 小结收敛性和稳定性是从不同角度讨论差分法的精确情况，稳定性主要是讨论初值的误差和计算中的舍入误差对计算结果的影响，收敛性则主要讨论推算公式引入的截断误差对计算结果的影响.使用既收敛有稳定的差分格式才有比较可靠的计算结果，这也是讨论收敛性和稳定性的重要意义.参考文献[1] 李瑞遐、何志东.微分方程数值方法,上海：华东理工大学出版社[2] 黄明游、冯果忱.数值分析（下册）北京：高等教育出版社，2008[3] 杨大地、王开荣.数值分析.北京：科学出版社，2006[4] 袁东锦.计算方法——数值分析.南京：南京师范大学出版社.2007[5] 李清扬等.数值分析(第4版).武汉：华中科技大学出版社.2006。
微分方程3——稳定性分析
使得离散自治系统
x1 f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0
x
2
f 2 ( x1 , x2 ,...,
xn ) 0
......
xn f n ( x1 , x2 ,..., xn ) 0
成立的点x0=(x10, x20, ... ,xn0)称为其平衡点。
如果 lim x(n) x0，则称其为稳定平衡点，否则称为 n
,
N2 (1 2 1 1 2
)
,
P4(0,0)
仅当1, 2 < 1或1, 2 > 1时，P3才有意义
x1 (t)
r1x11
x1 N1
1
x2 N2
x2 (t)
r2 x2 1 2
x1 N1
x2 N2
模型分析
平衡点及其稳定性
由
A
f x1 g x1
fx2 gx2
r1
1
2 x1 N1
更一般的，对线性离散自治系统
x ( n 1) Ax ( n ) b A x ( n ) A 1b
若A的所有特征值λ都有|λ|<1,那么A-1b是它稳定的平衡点。
对线性自治系统
x Ax b
若A的所有特征值λ都有λ<0, 那么A-1b是它稳定的平衡点。 反之，不是稳定平衡点。
2
微分方程的稳定性
1x2
N2
r2 2 x2
N1
r11x1
N2
r2
1
2 x1
N1
2x2 N2
和
p ( f x1 g x2 )
,pi
q det A
,
pi
i 1,2,3,4
得
平衡点 Pi 稳定条件： p > 0 且 q > 0
第三章 微分方程及差分方程方法
2、 y = f ( x, y) 型的微分方程
这种方程的特点是不显含未知函数 y ，求解的方法是：
令 y p(x) ，则 y p(x) ，原方程化为以 p(x) 为未知函数的一阶微分方程
p f (x, p) ．
用 y 除以方程的两边得 y y p(x) y1 q(x) ，令 z y1 ，则有
3
1 z p(x)z q(x) ， 1 即 z (1 ) p(x)z (1 )q(x) ． 此为关于 z 的线性方程，求得解 z z(x,C) 后，用 y1 代替 z，即得伯努利方程的 通解．
4
y dp dp dy p dp ． dx dy dx dy
这样就将原方程化为 p dp f ( y, p) ，这是一个关于变量 y, p 的一阶微分方程．设 dy
它的通解为 y p ( y,C1) ．这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的
通解
(
dy y, C1 )
x
C2
．
四、常系数齐次线性微分方程
1、二阶常系数齐次线性微分方程
称方程 y py qy 0 为二阶常系数齐次线性微分方程，其中 p 、q 是常数，
求其通解的步骤归纳如下：
a.写出与方程相应的特征方程 r2 pr q 0 ；
b.求出特征方程的两个特征根 r1 与 r2 ； c.如果两个实根 r1 r2 ，则通解为 y C1 er1x C2 er2x ；如果两个实根 r1 r2 ，则通
u( x) e p(x)dx q( x)
解之得 u(x) q(x) e p(x)dxdx C ，代入 y u(x) e p(x)dx ，得
差分方程的相容性 收敛性和稳定性
粗看起来，差分方程相容性要求时，差分方程逼近于微分 方程，似乎差分方程数值解也应该收敛于微分方程精确 解。事实上，当我们在证明相容性时，已经假定了差分 方程数值解就是微分方程精确解，在对微分方程进行展 开时，截断误差中已经忽略了离散化误差的存在。因此， 差分方程相容性并不能保证其收敛性。
(3) 差分方程同样也有两种不同形式的收敛性：有条件收敛 和无条件收敛。
由此可知，在n时刻的计算误差
n j
是不会大于
0 j
，因此，
当a＞0，a t 1 时，FTBS差分格式是稳定的（见图a）。这
x 是有条件的稳定，稳定的条件是a＞0，a
t
1 。但是，对于
x
不同的a，Δt，Δx，FTBS差分格式的稳定条件是不同的（见
图b）。
n j 1 n j rn j n j 1 1 rn j r n j 1
其中 r
t x
。设在n时刻计算误差为
n j
，n+1时刻计算误差
为
n 1 j
，则计算误差传播方程为：
n j 1r1 n j rn j 1
(a)
可以采用直观的数值试验法来分析误差传播规律。
在（a）式中设在tn时刻xj的计算误差为
n j
，而计算到n+100时
刻，（xj，tn+100）点的计算误差将发展到 r1100n j r100n j1，
(c)
1a xtmajxenj a xtmajxenj O(x,t)
式中 max
e
n j
表示在n层的所有节点上离散化误差
e nj绝对值最
j
大值，对于所有节点j有：
en1 j
majxen j
微分方程和差分方程简介
常用的解法：分离变量法
形如
dy f (x)g( y) dx
P (x)P ( y)dx Q (x)Q (x) 0
1
2
1
2
的方程均为可分离变量的微分方程。
对（2）式两端分别积分，便可得到微分方程的通解
g( y)dy f (x)dx C
其中C为任意常数。
例1 求微分方程 y 3x2 y的通解。
特征方程 r2 pr q 0的根 两个相异实根 r1 r2 两个相等实根 r r1 r2 一对共扼复根 r1,2 i
齐次方程y py qy 0的通解
y C1er1x C2er2 x y (C1 C2 x )erx
y (C1 cos x C2 sin x)ex
二阶非齐次常系数微分方程
微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程.
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态
求微分方程（组）的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等
表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指
定或由系统规则选定为确省.
例如，微分方程
1、用差商代替导数
若步长h较小，则有
y'(x) y(x h) y(x) h
动力学系统的稳定性分析
动力学系统的稳定性分析动力学系统是描述运动和变化的数学模型，它们在科学、工程和社会等各个领域都有重要的应用。
分析系统的稳定性是重要的研究方向之一，因为稳定性决定了系统的长期演化和行为。
在本文中，我们将介绍动力学系统的稳定性分析及其应用。
一、基本概念在理解动力学系统的稳定性分析之前，我们需要了解一些基本概念。
动力学系统可以用微分方程或差分方程来描述。
其中微分方程在实际应用中更为常见，因为它们可以更精确地模拟系统的连续变化。
一般来说，微分方程可以表示为：dy/dt = f(y)其中y表示系统的状态变量，t表示时间，f(y)表示状态变量的导数，或者说是状态变量的变化速率。
这种方程通常称为一阶微分方程，因为它只涉及一阶导数。
我们还需要知道一个重要的概念：稳态。
当一个系统的状态变量不再发生变化时，我们称其达到了稳态。
通常情况下，我们希望系统能够稳定地达到某个特定的稳态，这样系统才能够正常工作。
稳态分析的目的就是确定系统能够达到何种稳态，并且这种稳态是否稳定。
二、线性稳定性分析最常见的稳定性分析方法之一是线性稳定性分析。
这种方法适用于几乎所有的动力学系统，但前提是这些系统必须满足线性性。
具体来说，如果系统满足以下形式的微分方程：dy/dt = Ay其中A是一个固定的矩阵，y是一个向量，那么我们就可以使用线性稳定性分析方法来分析系统的长期行为。
线性稳定性分析的基本原理是，在系统达到稳定状态之后，随机扰动对系统的影响可以大致近似为一个线性的微小扰动。
我们可以通过计算这个微小扰动对系统的影响，来判断系统的稳定性。
具体来说，我们可以假设系统的初始状态是y0，它达到了某个稳态y1。
我们现在引入一个微小扰动δy，使得系统的状态变为y1 + δy。
通过计算一些偏导数，我们可以得到一个形如以下的方程：d(δy)/dt = Bδy其中B是一个矩阵，与A相关。
这个方程可以理解为，微小扰动δy的变化速率由B决定。
如果B的所有特征值的实部都为负，则微小扰动将随着时间的推移而衰减，系统就是稳定的。
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称为积分曲线。
基本思想 将积分曲线投影到平面上进行分析.
t (x,y,t)
解曲线
t0
o
y
投影曲线
x
定义：称平面 (x, y)为相平面，称解曲线 在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为 相位图.
如何得到相轨线？方法：把时间t当作参数，只要 P(x,y)和Q(x,y)不同时为零，驻定方程
dx dt
dt
进而
x2
y2
1 ,(c 2t c
x(0)2
1
y(0)2 )
对该微分方程组的任一解 (x(t), y(t))
lim ( x2 y2 ) lim 1 0
t
t 2t c
故也有
微分方程的定性分析
随着科学技术的发展，常微分方程定性分析 在各个学科领域已成为必不可少的数学工具， 也是数学建模的必备基础理论.
其中a, b, r为常数.
当r = 0时, 它有一特解 x* = 0；
当r ≠ 0, 且a + b + 1≠ 0时, 它有一特解
x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形, x*是其平衡点. 设其特征方 程
2 + a + b = 0 的两个根分别为 =1, =2.
则
① 当1, 2是两个不同实根时,二阶常系数线
xn→a (n→∞), 则称这个平衡点a是稳定的.
一阶常系数线性差分方程
xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠ 0)的通解为
xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当 |a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r,
微分方程稳定性 与定性分析
在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量之 间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系式, 这就是微分方程.
在现实社会中,又有许多变量是离散变化的,如人口 数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有可操 作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁.
不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到 其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既使得 到其解析解,尚有未知参数需要估计(这里可利用参数估 计方法).
x0
则称平衡点x0是稳定的.
稳定性判别方法
由于 f (x) f (x0 )(x x0 ),在讨论方程(4-1)的
稳定性时，可用
来代替.
dx dt
f (x0 )(x x0 )
(4 2)
易知 x0也是方程(4-2)的平衡点. (4-2)的通解为
x(t) Ce f (x0 )t x0 ,
关于x0是否稳定有以下结论：
时, 平衡点x*是稳定的.
对于一阶非线性差分方程
xn+1 = f (xn ) 其平衡点x*由代数方程
x = f (x) 解给出.
为分析平衡点x*的稳定性, 将上述差分方程近 似为一阶常系数线性差分方程
xn1 f (x*)(xn x*) f (x*),
当 | f (x*) | 1时,上述近似线性差分方程与原 非线性差分方程的稳定性相同. 因此
这个结论对 于(4-1)也是
① 若 f (x0 ) 0, 则x0是稳定的； 成立的.
② 若 f (x0 ) 0, 则x0是不稳定的.
关于常微分方程组的平衡点及其稳定
性, 设
dx dt
f (x, y),
dy dt
g(x,
y).
(4 3)
代数方程组
f (x, y) 0,
g
(
x,
y)
若x0, x1, … , xk-1已知, 则形如
xn+k = g(n; xn, xn+1, … , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现.
若有常数a是差分方程(4-6)的解, 即 F (n; a, a, … , a ) = 0,
则称 a是差分方程(4-6)的平衡点.
又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的 解 xn= x(n)都有
若有xn = x (n), 满足
(4-6)
F(n; x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0,
k 则称xn = x (n)是差分方程(4-6)的解, 包含k个任意 常数的解称为(4-6)的通解, x0, x1, … , xk-1为已知时 称为(4-6)的初始条件,通解中的任意常数都由初始 条件确定后的解称为(4-6)的特解.
研究对象：驻定系统
若微分方程组
dxi dt
fi (x1, x2 ,
, xn ),
i 1, 2,
,n
其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶n维 驻定系统(自治系统、动力系统).
例5.2.1 单一质点非受迫直线运动满足下方程
d2x dt 2
a1 ( x)
dx dt
a2
(x)
0
令 dx v, 得一个二维驻定系统
性差分方程的通解为
xn= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; ② 当1, 2=是两个相同实根时,二阶常系数线
性差分方程的通解为
xn= x* + (C1 + C2 n)n; ③ 当1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根
时,二阶常系数线性差分方程的通解为
xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知,当且仅当特征方程的任一特征根 |i |＜1
dt
dx dt
v,
dv
dt
a1(x)v
a2 ( x).
一般二维驻定系统形式为
dx dt
P( x,
y),
dy
Q( x,
y).
(2)
dt
它的解
x y
x(t) y(t)
或者
x y
x(t,t0, x0, y(t,t0, x0,
y0 )（3） y0 )
在以t,x,y为坐标的空间中一条曲线，这条曲线
0.
的实根x = x0, y = y0称为方程(4-3)的平衡点,
记作P0 (x0, y0). 它也是方程(4-3)的解.
如果
lim x(t)
t
x0 ,
lim
t
y(t)
y0 ,
则称平衡点P0是稳定的.
下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别 准则. 设
f (P0 )
p
f
(P0 x
)
g ( P0 y
一. 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法
极少情况下，能够用初等函数或初等函 数的积分表示微分方程的解.
解
求微分方程的数值解
决
方
对微分方程进行定性分析
法
微分方程定性分析
一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根 据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整 个区域内的分布状态.
基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状， 或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态.
)
,
q
x g(P0 )
x
f (P0 ) y
g(P0 ) y
则当p＞0且q＞0时, 平衡点P0是稳定的； 当p＜0或q＜0时, 平衡点P0是不稳定的.
例：求解微分方程组
Hale Waihona Puke dxdt dydt
x(x2 y2 ) y( x 2 y2 )
的平衡点， 并讨论其稳定性。 解：很容易求得该微分方程组的唯一平衡点； 由已知微分方程组可以得到 d( x2 y2 ) 2( x2 y2 )2
而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要， 因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.
微分方程平衡点与稳定点
设
dx f (x) dt
(4 1)
称代数方程 f (x)=0 的实根x = x0为方程(4-1) 的平衡点(或奇点). 它也是方程(4-1)的解.
如果方程的解 x(t)
lim
t
x(t)
当 | f (x*) | 1 时, x*是稳定的； 当 | f (x*) | 1 时, x*是不稳定的.
P( x,
y),
dy
Q( x,
y).
(2)
dt
就可以变为dy
dx
=
Q(x,y)或者 P(x,y)
dx dx
=
P(x,y) Q(x,y)(4)
方程(4) 的积分曲线就可以看成是方程（2）在 在相平面上的轨线。
4.2 差分方程模型
对于k阶差分方程 F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0