微积分起源发展
《数学史》微积分的创立
卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积．然而 他对积分学创立最重要的贡献还在于，他后来(1639)利用平面 上的不可分量原理建立了等价于下列积分
a
0
n 1 a x n dx n 1
费马在信中指出他求函数极大值、极小值的方法还“可以 推广应用于一些优美的问题”，并说他已经获得了求平面与立 体图形的重心等一些其他结果，“关于这些结果，如果时间允 许，我将在另外的场合来论述.”
开普勒
• 1609年，他在《新天文学》和《宇宙和谐》两部著作 中提出了行星运动三大定律，为日后牛顿发现万有引 力定律奠定了基础．
• 开普勒在极度贫苦中去世，在他的墓碑上刻着他自 己写的墓志铭：我曾观测苍穹，今又度量大地． 灵魂遨游太空，身躯化为尘泥．
开普勒行星运动三大定律要意是： I．行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭圆的 一个焦点；
3
(二)卡瓦列里不可分量原理
意大利数学家卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri，1598—1647) 在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)中发 展了系统的不可分量方法． 卡瓦列里认为线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行 线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成．他分别把这些元 素叫做线、面和体的“不可分量”(indivisible)．
f (a e) ~ f (a),
ae
消去公共项后，用 e 除两边，再令 e 消失，即
f (a e) f (a) 0 e e 0
由此方程求得的
a 就是
f ( x) 的极值点．
费马的方法几乎相当于现今微分学中所用的方法，只是 以符号 e (他写作 E )代替了增量△ x ． 记载费马求极大值与极小值方法的这份手稿，实际上是 他写给梅森(M．Mersenne)的一封信。梅森将费马这封信转给 了笛卡儿，从而引起了关于切线问题的热烈争论 。
微积分的发展
微积分的发展微积分是数学中的一门重要分支，它是对极限、导数和积分等基本概念的研究和应用。
微积分起源于17世纪的欧洲，经过几个世纪的发展和完善，现在已成为现代数学以及其他学科领域中不可或缺的工具和基础。
微积分的发展可以追溯到古希腊的数学家阿基米德，他在求解曲线面积和体积的问题中提出了类似于微积分的方法。
此外，中国著名数学家刘徽也曾经在《九章算术》中提到过积分的概念。
然而，微积分的真正发展始于17世纪，那时欧洲许多数学家和科学家开始在这方面研究，尤其是牛顿和莱布尼兹。
1642年，牛顿出生在英国林肯郡的乡村中。
在他年轻时，曾对人说：“如果有什么我所见过的比别人更远，则是因为我站在巨人的肩上。
”他的话虽然简单，却能够很好地说明他对科学的贡献，他成为了数学、物理学中的一个伟大巨人。
在数学上，他所做的巨大贡献之一就是微积分的发展。
牛顿发明了微积分的三大支柱：极限、导数和积分。
在1664年至1666年的牛顿绝学时期，他发明了微积分的原理，并创建了微积分这一分支领域的基本理论和方法。
与牛顿同时代的莱布尼兹也是微积分发展中重要的人物之一。
莱布尼兹出生于1646年，在数学上，他主要创立了微积分的符号形式，这给微积分的研究和应用带来了便利，同时，他还发明了微分学和积分学这两种不同的微积分方法。
18世纪，欧拉、拉格朗日和拉普拉斯等数学家则对微积分的各个方面进行了研究和推广。
欧拉是微积分中的里程碑式人物之一，他在微积分中系统地应用了指数及对数函数，发明了莫比乌斯函数和阿贝尔求和等。
拉格朗日发现了一种新的微积分算法，可以通过代数运算来证明微积分的性质，也就是在证明微积分定理的时候，可以不必再用到极限。
而拉普拉斯在微积分的发展中，对微分和泊松公式的推导和应用做出了重要贡献。
18世纪的欧洲，微积分的各个方面都已经得到了重要的推广和完善。
19世纪，由于清末中西文化交流的推动，西方的微积分也传进了中国。
在中国，李文襄和严步兵等数学家为发展微积分、深入研究数学领域做出了重要的贡献。
微积分的起源与发展
微积分的起源与发展主要内容：一、微积分为什么会产生二、中国古代数学对微积分创立的贡献三、对微积分理论有重要影响的重要科学家四、微积分的现代发展一、微积分为什么会产生微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。
比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。
”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律－－航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。
困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。
例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是0，而0 / 0 是无意义的。
但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。
困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。
古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。
微积分的发展历史
微积分的发展历史1. 古希腊时期：微积分的起源可以追溯到古希腊时期，早在公元前5世纪，数学家祖克里斯特斯（Zeno of Elea）就提出了诸如阿基里斯赛跑等著名的悖论，引发了对无穷小和无穷大的思考。
2. 阿基米德和群测强微积分：在古希腊和古罗马时期，一些数学家如阿基米德和群测强（Archimedes）开始探索几何学和代数学的基本概念，在解决实际问题的过程中也涉及到了微积分的雏形。
3.牛顿和莱布尼兹的发现：17世纪，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼兹几乎同时独立发现了微积分的基本原理。
牛顿将微积分用于机械学和物理学的研究，而莱布尼兹则用它来解决代数和几何方程。
这两位伟大的数学家将微积分作为一门独立的学科加以发展并系统化。
4. 微积分的形式化建立：18世纪，欧拉（Leonhard Euler）将微积分的概念进一步抽象化和形式化，构建了函数和级数的理论，为微积分的应用奠定了坚实的基础。
5. 国际象棋问题的解决：19世纪初，法国数学家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）研究国际象棋中的一个问题，首次利用微积分的方法进行了解决。
这个问题不仅使微积分在数学界引起了重视，也增强了人们对微积分的研究兴趣。
6. 分析学的发展：19世纪，数学分析学迎来了一个又一个的里程碑。
来自法国的布尔巴基（Augustin-Louis Cauchy）和庞加莱（Henri Poincaré）等人对极限、连续性和导数等概念进行了严格的定义和证明，进一步完善了微积分的理论。
7.微积分的应用：20世纪初期，微积分得到了广泛应用，特别是在物理学、工程学和经济学等领域。
爱因斯坦的相对论理论、量子力学的发展以及现代金融学等都离不开微积分的支持。
8.持续发展和改进：自20世纪起，微积分一直在不断发展和改进。
函数论、复分析及它们与微积分的关系等新理论的出现，使微积分的应用更加广泛，对更加复杂的问题提供了更加深入的分析。
第7讲微积分发展史
第7讲微积分发展史微积分是近代自然科学和工程技术中广泛应用的一种基本数学工具，它创立于17世纪后半叶的西欧，是适应当时社会生产发展和理论科学的需要而产生的，同时又深刻地影响着生产技术和自然科学的发展。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
一、微积分产生的背景微分和积分的思想早在古代就已经产生了。
公元前3世纪，古希腊数学家、力学家阿基米德的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲面的体积等问题中就隐含着近代积分的思想。
极限理论作为微积分的基础，也早在我国的古代就有非常详尽的论述，但当时人们习惯于研究常量和有限的对象，遇到无穷时往往束手无策。
生产力和科学技术的不断发展，为微积分的诞生创造了条件。
1492年哥伦布发现了新大陆，由此证实了大地是球形；1543年，哥白尼发表的《天体运行论》确立了“日心说”；开普勒在1609年提出了有关行星绕日运动的第一、第二定律，1618年他又提出了第三定律；1609年，伽利略用自制的望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们的视野引向遥远的地方。
这些科学家拓展了人们对世界的认识，引起了人类思想上的巨变。
16世纪，西欧出现资本主义的萌芽，产生了新的生产关系，社会生产力有了很大的发展。
从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，在航海、天文、矿山建设、军事技术等方面有许多课题需要解决，数学也开始进入了“变量数学”时代。
通过这些向数学提出了如下4个问题：（1）由距离和时间的关系求瞬时速度和瞬时加速度；反之，由速度求距离，由加速度求速度。
（2）确定物体运动方向（切线方向）或光学中曲线的切线问题。
（3）求最大、最小值问题。
（4）一般的求积（面积、体积）问题，曲线长问题，以及物体的质量、重心等问题。
在17世纪30年代创立的解析几何学里，可以用字母表示流动坐标，用代数方程刻画一般平面曲线，用代数演算代替对几何量的逻辑推导，从而把对几何图形性质的研究转化为对解析式的研究，使数与形紧密地结合起来。
微积分发展历程
微积分发展历程微积分的发展历程是数学史上一个充满辉煌成就的章节。
微积分为我们提供了一种强大的工具，用于理解和描述自然界的各种现象，从运动的轨迹到电磁场的行为，从物质的变化到概率的推断，微积分无处不在。
在下面的文章中，我们将探讨微积分的发展历程，包括其起源、关键人物和里程碑事件。
1. 古希腊时期：微积分的历史可以追溯到古希腊时期。
古希腊数学家阿基米德（Archimedes）被认为是微积分的奠基人之一。
他在计算曲线下的面积和体积时使用了无限小的方法，这可以看作微积分的初步尝试。
2. 牛顿和莱布尼兹：微积分的真正发展始于17世纪末。
英国科学家艾萨克·牛顿和德国数学家戈特弗里德·莱布尼兹独立地开发了微积分的基本原理。
牛顿的工作集中在运动和力学方面，而莱布尼兹则更侧重于符号表示法。
他们的成就为微积分的未来发展奠定了坚实的基础。
3. 分析学的建立：18世纪，微积分逐渐成为一门独立的学科，被称为"分析学"。
法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）和卡尔·威尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）等人在微积分中引入了极限概念，从而解决了一些问题的严格性。
4. 黎曼几何和复分析：19世纪中期，德国数学家伯纳尔·黎曼的工作将微积分与几何学相结合，创立了黎曼几何，为曲线和曲面的研究提供了新的工具。
复分析的发展也为微积分的应用领域提供了更多可能性。
5. 泛函分析和分布理论：20世纪，微积分领域进一步扩展，引入了泛函分析和分布理论等新的数学工具，用于研究函数空间和广义函数。
这些理论在数学、物理学、工程学和经济学等领域的应用中发挥了重要作用。
6. 现代微积分的应用：现代微积分广泛应用于科学、工程、计算机科学、经济学和社会科学等各个领域。
它不仅有助于解决实际问题，还推动了数学自身的发展。
微积分的方法和概念也在其他数学分支中找到了应用，如微分方程、积分方程和泛函分析。
微积分的历史发展及其应用
科学技术创新2019.27微积分是一门建立在实数、函数和极限基础上的学科，它主要研究函数的微分、积分以及相关概念和应用。
微积分是微分和积分的总称，微分即“无限细分”，积分即“无限求和”。
微积分的产生起源于极限思想，最早可追溯到我国的战国时期。
魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”，古希腊数学家欧多克斯的“穷竭法”，阿基米德的“平衡法”等都蕴含着微积分的基本思想。
17世纪牛顿莱布尼兹公式的提出标志着微积分理论开始成为一门独立的学科。
微积分推动了人类文明的进步，在数学、物理、天文以及经济学等许多领域都起到了关键的作用。
1微积分的起源与发展微积分思想的起源最早可以追溯到我国战国时期，《庄子·天下篇》中曾提到过“一尺之棰，日取其半，万事不竭”；魏晋时期刘徽在求圆周率时提出了“割圆术”的方法，其中蕴涵着分割、求和、极限等思想。
还有古希腊数学家欧多克斯的“穷竭法”，被认为是微积分的第一步；阿基米德的“平衡法”，运用微元的思想计算面积和体积等。
这些都是微积分思想萌芽的最早体现，为后世微积分的诞生打下了基础。
从15-16世纪欧洲文艺复兴时代开始，培根、韦达、费马、笛卡尔、开普勒等人发展和完善了前人的思想，深入研究了求切线、求面积和体积这两类基本问题，并提出了无穷小的方法，但他们都没有意识到“求切线”和“求面积”这两者之间存在着互逆关系。
直到17世纪，英国数学家巴罗引入了“微分三角形”的概念，以明确形式给出了求切线和求面积之间互逆关系的几何形式，对后来微积分的创立起到了巨大的推动作用，因此被认为是微积分创立的先驱者[1]。
17世纪以来，随着科学和生产力的进一步发展，以下四种类型的问题亟需解决：求变速运动中的即时速度；求曲线的切线；求函数的最值；求曲线长度、曲边梯形面积等。
这些问题的提出是促使微积分产生的重要因素，牛顿对此做出了巨大贡献。
牛顿在其三大著作《论流数》《无穷多项方程的分析》《流数法和无穷级数》中，将求切线和求面积之间的互逆关系从巴罗的纯几何形式推广到了代数形式，第一次以明确形式给出了微积分基本定理，并将其应用到许多动力学和运动学问题中，在经典物理学领域做出了卓越的贡献。
微分学的历史和起源
微分学的历史和起源从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。
公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287—前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。
他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。
圆的面积就是无穷多个三角形面积之和，这些都可视为典型极限思想的佳作。
意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。
这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。
17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系。
到了17世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物理学家艾萨克·牛顿（1642－1727）是从物理学的角度研究微积分的，他为了解决运动问题，创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论。
牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。
这些概念是力学概念的数学反映。
牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，不仅这样，他还把几何图形——线、角、体，都看作力学位移的结果。
微积分发展简史
极限 函数连续性
微分学
级数
积分学
不定积分 定积分
微分方程
二元函数微分学二元函数积分 Nhomakorabea
这些问题大体上可以归纳为四大类：①已知物体移动 的距离是时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加 速度；反过来已知加速度是时间的函数，求速度与距 离；②求曲线的切线；③求函数的最大值、最小值； ④求曲线的长、曲线弧围成的面积、曲面围成的体积 以及两个物体之间的引力等等。当时，许多数学家都 为解决这些问题而努力探索，其中有关微分学方面的 问题解决得比较好，积分学中的一些问题也得到过一 些好的结果。但是由于他们使用的方法多半不具有普 遍性，或者即使有的方法蕴含着普遍性，但由于尚未 有人能充分理解微分与积分这两类问题之间的相互联 系的意义，因而未能创立微积分。
微积分学发展史简述
恩格斯指出：纯数学是以现实世界的空间的形式和 数量的关系为对象的
一、16世纪以前~常量数学时期 数学研究的对象基本上是常量和不变的图形， 如算术、代数主要研究数量关系，几何侧重于研究图形， 大抵相当于现在中学数学课本的内容 16世纪 对运动的研究变成了自然科学的中心问题 二、从17世纪开始 进入了变量数学时期 它以微积分的出现和发展为标志 •变量数学的第一个决定性步骤： 1637年笛卡儿的坐标法——解析几何思想
直到17世纪后半期，英国的牛顿与德国的莱布 尼兹，在前人工作的基础上，各自独立地建立 了微分运算和积分运算。并且建立了二者之间 的内在联系，才奠定了微积分这门学科的基础。 牛顿和莱布尼兹研究的角度不尽相同。在微分 学方面，牛顿主要从力学出发，以速度为模型 建立了微分学；而莱布尼兹主要从几何出发， 从曲线在一点的切线开始，建立了微分学。在 积分学方面，牛顿偏重于求微分的逆运算，即 求不定积分；而莱布尼兹则强调把积分理解为 求微分的“和”，也就是定积分。
数学中的微积分基础知识
数学中的微积分基础知识微积分是数学中非常重要的一个分支，它的应用范围非常广泛，从经济学到自然科学等领域都有应用。
微积分有着深厚的理论基础和实践应用，它不仅能够帮助我们理解事物的本质和规律，还能够为我们提供解决实际问题的有力工具。
本文将对微积分的基础知识进行一定的讲解，帮助读者理解微积分的基本概念和原理。
微积分的起源可以追溯到古希腊时期的求面积问题，如求圆形的面积、三角形的面积等。
在欧洲文艺复兴时期，人们开始将微积分的思想应用于自然科学领域，如物理学、天文学等，从而推动了科学研究的进程。
现在，微积分已经成为当代数学和应用数学的基本组成部分。
微积分的基本概念可以概括为两个方面：导数和积分。
导数是微积分中最重要的内容之一，它是描述函数在某一点的变化率的概念。
导数的定义可以用极限来表达，即函数在某一点的导数等于该点处函数的斜率，也就是函数在该点处的切线的斜率。
假设函数$f(x)$在某一点$x_0$处可导，则$f(x)$在$x_0$处的导数可以表示为：$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$其中，$h$是$x-x_0$的差，也就是函数$f(x)$自变量的微小增量。
函数$f(x)$的导数可以用$f'(x)$或者$\frac{df}{dx}$来表示。
导数的物理意义通常是速度或加速度，而在经济学中常常表示边际效应。
导数还可以用于求解极值问题、曲线的图像等方面。
积分是微积分中的另一个重要部分，它是求解曲线下面积以及计算曲线长度、体积等问题的主要工具。
积分的一个重要特点是它是求导的逆运算。
如果函数$f(x)$是可导的，那么它的导函数$f'(x)$就是$f(x)$在每一个点的局部变化率。
而对于给定的函数$f(x)$，我们可以通过积分来还原出它的原函数。
积分的定义可以通过求极限来实现，具体来说，就是将曲线分割成无数微小的小块，并计算出每一小块的面积，然后将这些面积累加起来，就可以得到曲线下面积的近似值。
浅谈微分方程的起源与发展史
浅谈微分方程的起源与发展史微分方程是数学中重要的研究对象之一，它是描述自然现象和工程问题的基本语言之一、微分方程的起源可以追溯到古代，发展至今已有几千年的历史。
古代的微分方程研究主要集中在几何和物理问题上。
在古希腊时期，欧几里得首次提出了求直线和圆的切线问题，这是微分方程的基本问题之一、古代数学家阿基米德在其《圆中插入圆》一书中，也解决了一些微分方程，如螺旋线和平面曲线的问题。
同时，古代数学家也研究了曲线的长度、曲率等与微分方程相关的几何问题。
随着科学和数学的不断发展，微分方程的研究进入了一个新的阶段。
16世纪，新科学运动的开始，使得微分方程的研究得到了更大的关注。
数学家如卡尔丹、布鲁诺和卡特曾先后研究了微分方程，为微分方程的发展打下了基础。
17世纪，微积分的发展极大地促进了微分方程的研究。
数学大师牛顿和莱布尼兹独立地发展了微积分学，为微分方程的理论奠定了坚实的基础。
牛顿的《自然哲学的数学原理》和莱布尼兹的《微积分学》对微分方程的研究起到了决定性的作用。
他们提出了微分方程的基本概念和解法，为微分方程的理论与方法奠定了基础。
18世纪，数学家欧拉和拉格朗日使微分方程的理论得到了深入发展。
欧拉在其著作《机械学》中首次引入了微分方程的概念，提出了解微分方程的方法。
拉格朗日则研究了一阶微分方程与变分法之间的关系，创立了变分法的基本原理，为微分方程的进一步研究提供了新的思路和方法。
19世纪，微分方程的研究得到了进一步的发展。
在这一时期，微分方程的研究主要包括：初等微分方程的解法、连续性理论、以及偏微分方程的研究等。
大量的重要研究成果相继问世。
瑞典人新科学的父亲拉普拉斯和法国的康德罗基于前人的研究工作，分别研究了稳定性理论和热传导方程，并成为后来偏微分方程理论的基础。
线性微分方程的部分理论也逐渐形成。
德国数学家尔朗-栗斯等在矩解法的基础上，发展了常微分方程的新解法。
20世纪，微分方程的研究迈入了一个新的阶段。
微积分的创立
三、例题与练习
e.g.1 求极限
e.g.2 求导数
e.g.3 求微分
e.g.4 圆柱形工件直径
，长
，
的铜， 现在工件侧面涂上一层厚 0.001cm 的铜，问需 要多少铜（ 要多少铜（铜的密度为 e.g.5 求极值 )？ ？
e.g.6 作出函数
的图形
e.g.7 计算积分
e.g.8 已知曲线在任一点 ，又曲线经过点 的方程。 的方程。
b
3．第二次数学危机与微积分的 发展和完善
N-L的微积分逻辑基础不严密，特别是在无穷 的微积分逻辑基础不严密， 小概念上的混乱，引起不少科学家的批评。 小概念上的混乱，引起不少科学家的批评。 英国哲学家、牧师 G.Berkeley（1685-1753）： G.Berkeley（1685-1753）： 英国哲学家、 分析学家，或致一位不信神的数学家》 《分析学家，或致一位不信神的数学家》矛头直指 牛顿的流数法。 牛顿的流数法。——— Berkeley悖论
这就导致了第二次数学危机 这就导致了第二次数学危机
由于微积分的方法和结论与实际是如此吻合， 由于微积分的方法和结论与实际是如此吻合， 所以即使基础不牢，人们还是乐意去用它，直到19 所以即使基础不牢，人们还是乐意去用它，直到19 世纪，才开始真正解决问题。 世纪，才开始真正解决问题。 第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地 意见的是达朗贝尔（ Alembert）。但他未提供理论 Alembert）。但他未提供理论。 意见的是达朗贝尔（D’Alembert）。但他未提供理论。 达朗贝尔 Lagrange，Bolzano（捷克）， ），Cauchy 后经 Lagrange，Bolzano（捷克），Cauchy 等人的努力， （分析学奠基人），Weirstrass（法）等人的努力， 分析学奠基人），Weirstrass（ ），Weirstrass 奠定了微积分严格的基础，解决了第2次数学危机。 奠定了微积分严格的基础，解决了第2次数学危机。
微积分的发现过程
微积分的发现过程（最新版）目录1.微积分的起源和发展背景2.莱布尼茨的贡献3.牛顿的贡献4.微积分的实际应用正文1.微积分的起源和发展背景微积分是数学的一个重要分支，它的起源可以追溯到古希腊时期。
然而，真正意义上的微积分理论是在 17 世纪才逐渐形成的。
在此期间，科学技术的飞速发展，特别是天文学、力学和航海等领域的突破，对数学提出了新的需求。
因此，微积分应运而生，成为解决这些领域问题的关键工具。
2.莱布尼茨的贡献17 世纪下半叶，德国数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）独立发现了微积分，并建立了莱布尼茨微积分法。
他通过引入微分和积分的概念，建立了微积分的基本原理。
莱布尼茨的微积分法以极限理论为基础，运用导数和积分的观念，解决了许多实际问题。
他的发现和理论为微积分的发展奠定了坚实的基础。
3.牛顿的贡献几乎与莱布尼茨同时，英国科学家牛顿（Isaac Newton）也发现了微积分。
牛顿在研究物体运动规律时，提出了牛顿运动定律和万有引力定律。
在此基础上，他发展了牛顿 - 莱布尼茨公式，为微积分的应用提供了重要工具。
牛顿的贡献在于将微积分与物理学紧密联系起来，进一步推动了微积分理论的发展。
4.微积分的实际应用微积分在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以描述物体的加速度、速度和位移等；在工程学中，它可以用于计算流体力学、电路分析等方面；在经济学中，它可以帮助分析成本、收益等。
总之，微积分的发现和应用极大地推动了人类科技的进步，使我们的生活更加便捷和高效。
综上所述，微积分的发现过程经历了漫长的历史，众多数学家的努力使得微积分理论不断完善。
数学文化—— 微积分发展简史
失矣。”
一、西方的微积分思想萌芽（极限思想）
• 欧多克索斯的穷竭法（古希腊时期） • 一个量如果减去大于其一半的量，再从余下的
量中减去大于该余量一半的量，这样一直下去， 总可使某一余下的量小于已知的任何量。
第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、 行星矢径扫过的面积以及物体重心与引 力等，使面积、体积、曲线长、重心和 引力等微积分基本问题的计算被重新研 究。（积分）
令人惊讶的是，不同领域的问题却归结为相同 模式的数学问题：
求因变量在某一时刻对自变量的变化率 求因变量在自变量一定变化过程中的积累量。
前者导致了微分的概念；后者导致了积分的概念。 更令人惊讶的是，这二者之间竟然有着密切的联系：它 们是互逆的两种运算，这个性质是由微积分学基本定理 所体现的。从而微分学和积分学形成了一门统一的学科： 微积分学。
f(a+e)～f(a)
这里所提到的“e”就是后来微积分学当中
的“ ”x
5、巴罗的“微分三角形”
巴罗是牛顿的老师。 是英国剑桥大学第一任“ 卢卡斯数学教授”，也是 英国皇家学会的首批会员 。当巴罗发现和认识到牛 顿的杰出才能时，便于 1669年辞去了卢卡斯教授 的职位，举荐自己的学生 ——当时才27岁的牛顿来 担任。巴罗让贤，已成为 科学史上的佳话。
• 在求解圆面积时，他提出用圆内接正多边形的面 积穷竭圆面积，从而求出圆面积。之后，阿基米 德借助穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体 积计算问题。
目录 微积分的萌芽 微积分的酝酿 微积分的创立 微积分的发展 牛顿和莱布尼茨之争
微积分的起源与发展.cx
微积分的现代发展
我国的数学泰斗陈省身先生所研究的 微分几何领域，便是利用微积分的理 论来研究几何，这门学科对人类认识 时间和空间的性质发挥的巨大的作用。 并且这门学科至今仍然很活跃。前不 久由我国数学家朱熹平、曹怀东完成 最后封顶的庞加莱猜想便属于这一领 域。
启发与思考
微积分的发展历史表明了人的认识是 从生动的直观开始，进而达到抽象思 维，也就是从感性认识到理性认识的 过程。人类对客观世界的规律性的认 识具有相对性，受到时代的局限。随 着人类认识的深入，认识将一步一步 地由低级到高级、由不全面到比较全 面地发展。人类对自然的探索永远不 会有终点。
积分的起源与发展
应物一班：曹旭
目录
微积分学的概念
微积分学的萌芽
微积分的发展与创立
微积分的应用与新分支的形成
微积分的现代发展
微积分学的概念
微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学 思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是 积分。微积分（Calculus）是高等数学中研究函数 的微分、积分以及有关概念和 应用的数学分 支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、 微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运 算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、 加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行 讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算 面积、体积等提供一套通用的方法。
笛卡儿的代数方法在 推动微积分的早期发展 方面有很大的影响，牛 顿就是以笛卡儿圆法为 起跑点而踏上研究微积 分的道路的。 17世纪上半叶一系列先 驱性的工作，沿着不同 的方向向微积分的大门 逼近，但所有这些努力 还不足以标志微积分作 为一门独立科学的诞生。
十八世纪微积分的发展
从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学家罗尔在其论文《任意次 方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我 们现在所说的罗尔微分中值定理。 伯努利兄弟雅各布和约翰，他们的工作构成了现今初等微积分的 大部分内容。其中，约翰给出了求未定式极限的一个定理，这个 定理后由约翰的学生罗比达编入其微积分著作《无穷小分析》， 现在通称为罗比达法则。 1715年数学家泰勒在著作《正的和反的增量方法》中陈述了他 获得的著名定理，即现在以他的名字命名的泰勒定理。后来麦 克劳林重新得到泰勒公式的特殊情况，现代微积分教材中一直 将这一特殊情形的泰勒级数称为“麦克劳林”级数。 18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元函数而建立了偏导数理 论和多重积分理论。这方面的贡献主要应归功于尼古拉· 伯努利、欧 拉和拉格朗日等数学家。
微积分知识点
微积分知识点微积分知识点概述一、引言微积分是数学的一个分支，主要研究函数的微分和积分，是现代科学和工程学的基础工具。
它起源于17世纪，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼兹独立发展。
微积分的应用范围非常广泛，包括物理学、工程学、经济学和生物学等领域。
二、微分学1. 极限概念- 极限的定义- 极限的性质- 无穷小与无穷大2. 导数基础- 导数的定义- 导数的几何意义- 可导性与连续性的关系3. 常见函数的导数- 幂函数的导数- 三角函数的导数- 指数函数与对数函数的导数4. 高阶导数- 高阶导数的定义- 高阶导数的计算5. 微分法则- 乘积法则- 商法则- 链式法则6. 隐函数与参数方程的微分 - 隐函数的求导- 参数方程的求导7. 微分应用- 相关率- 极值问题- 曲线的切线与法线三、积分学1. 不定积分- 基本积分表- 换元积分法- 分部积分法2. 定积分概念- 定积分的定义- 定积分的几何意义3. 定积分的计算- 计算方法- 特殊技巧4. 积分应用- 面积计算- 体积计算- 平面曲线的弧长5. 无穷级数- 级数的收敛性- 泰勒级数- 傅里叶级数四、多变量微积分1. 偏导数- 偏导数的定义- 高阶偏导数2. 多重积分- 二重积分- 三重积分- 累次积分3. 曲线与曲面积分- 曲线积分- 曲面积分- 格林定理、高斯定理和斯托克斯定理五、微分方程1. 常微分方程- 一阶微分方程- 二阶微分方程- 线性微分方程2. 偏微分方程- 波动方程- 热传导方程- 拉普拉斯方程六、结语微积分作为数学的重要分支，不仅在理论数学中有深刻的意义，而且在应用科学和工程领域中发挥着至关重要的作用。
掌握微积分的基础知识和技能对于理解和解决现实世界中的问题至关重要。
七、附录A. 微积分公式汇总B. 常见微积分习题及解答C. 推荐阅读与学习资源请注意，本文仅为微积分知识点的概述，详细的解释和示例需要在完整的微积分教材或课程中学习。
微分学和积分学的起源
微分学和积分学的起源1. 引言大家好，今天咱们聊聊微分学和积分学的起源。
哦，别一听到“微分”就想打瞌睡，实际上这两个概念可有意思了，简直是数学界的小精灵。
想象一下，微积分就像一杯浓郁的咖啡，苦中带甜，让你在思考的旅途中保持清醒。
那么，它们是从哪里来的呢？这可是个有趣的故事！2. 微积分的历史背景2.1 古代智慧说到微积分，咱们得回到几千年前，古希腊时代。
那时候的数学家们就像是勇敢的探险家，在未知的海洋中寻找答案。
比如，阿基米德就已经在研究圆周和球体的体积了。
他的研究就像是在铺微积分的道路，虽然他当时并不知道这一点。
古人真是了不起，拿着几根木棍就能算出复杂的东西，简直就是古代的数学达人。
2.2 中世纪的探索然后到了中世纪，咱们看到了一些阿拉伯数学家的身影，他们可不是什么省油的灯。
像阿尔·卡瓦里兹米（AlKhwarizmi），就对代数做出了巨大的贡献。
虽然当时的微分和积分还没完全成型，但这些数学家们的探索为后来的发展奠定了基础。
就像是在为微积分的出生做铺垫，大家心里都明白，早晚会有那么一天。
3. 现代微积分的诞生3.1 牛顿和莱布尼茨的争论好戏在后头！到了17世纪，咱们终于迎来了微积分的“父亲”，牛顿和莱布尼茨这两位大神！这俩人一个在英国，一个在德国，简直就是“天南地北”的竞争。
他们几乎在同一时间独立发展了微分和积分的理论，但各自的研究方法可谓截然不同。
牛顿就像是个理科男，热衷于运动和变化；而莱布尼茨则更偏向于符号和形式化，像个文艺青年。
这俩人的争论可是不小的，甚至连“谁才是微积分之父”这个问题都引发了不少火花，后来搞得两国的数学家们都“分成了两派”，简直就是一场“数学界的世纪大战”。
3.2 微积分的应用不过，争论归争论，微积分的应用才是它的真本事。
想象一下，科学、工程、经济学等领域，处处都能看到微积分的身影。
比如，飞行员计算飞行路径的时候，离不开微积分；而建筑师在设计楼房时，也会用到它来确保结构的稳定。
微积分朔源
微积分朔源
微积分朔源是指微积分学科的发源地和起源者。
微积分是现代数学中一个很重要的分支，植根于古老的数学发展史。
然而，微积分学科并不是一夜之间形成的，它的起源可以追溯至若干世纪前的欧洲及东亚地区。
一、欧洲的微积分起源
西方微积分的起源可以追溯到古希腊、古印度时期。
古希腊人将几何学、代数学相结合，形成了古希腊数学。
后来，牛顿和莱布尼兹各自发明了微积分的核心内容。
莱布尼兹采用了较为优美的记法，加速了微积分学科的发展。
二、东亚的微积分起源
东亚数学的代表，是中国数学杰出的一员，明代数学家朱世杰。
他在研究水利工程时，逐步发展出微分和积分的概念。
他还发现了有限增量法，这是差分法的源头，为现代微积分学做出了卓越贡献。
三、微积分的应用
微积分是一门能够直接应用于现实问题的数学学科。
在物理学、天文学、经济学、统计学、工程学等领域，微积分和微积分方法被广泛地应用。
四、微积分的意义
微积分的意义不仅仅在于它出现的时代，而是它一直在持续地增加对人类的价值。
微积分已经成为一种最重要的数学学科之一，它给人们提供了一种更深层次的理解世界的方式。
总之，微积分朔源是微积分学科的证明，也是我们学习微积分的源头。
微积分的起源可以追溯到欧洲和东亚，它起源于多元数学领域的研究，被广泛应用于各种领域。
通过了解微积分的起源以及它对我们的世界产生的影响，可以更深入地理解微积分的重要性。
莱布尼茨微积分的历史和起源
莱布尼茨微积分的历史和起源
莱布尼茨微积分是数学中重要的一个分支，它的历史可以追溯到17世纪。
莱布尼茨是德国数学家、哲学家、物理学家和外交家，他在微积分领域的贡献被认为是与牛顿齐名的。
莱布尼茨微积分的起源和发展是一段扣人心弦的故事。
莱布尼茨在研究数学问题时，意识到微积分的重要性和潜力。
他开始探索导数和积分的概念，并建立了微积分的基本理论。
莱布尼茨在研究微积分时，发现了微分法则和积分法则，这些成果对后世的数学发展产生了深远的影响。
莱布尼茨微积分的历史可以追溯到他于1675年发表的《新科学原理》，这是他首次系统地阐述了微积分的理论。
在这部著作中，莱布尼茨提出了微积分的基本概念和方法，为后来的数学家们提供了重要的启示。
莱布尼茨微积分的起源可以说是在他研究无穷小量和极限概念时。
他认识到微积分可以用来解决各种数学和物理问题，这启发了他不断深入研究微积分的动力。
莱布尼茨的工作为微积分的发展奠定了坚实的基础，也为后人提供了重要的研究方向。
莱布尼茨微积分的历史和起源是数学史上的重要篇章，它展示了人类对数学的探索和创新精神。
莱布尼茨在微积分领域的成就不仅影响了数学的发展，也对其他领域的研究产生了重要的影响。
总的来说，莱布尼茨微积分的历史和起源是一段令人震撼的故事。
通过对莱布尼茨的研究和成就的了解，我们可以更好地理解微积分的重要性和深刻内涵，也可以更好地欣赏数学家们的创新精神和探索精神。
莱布尼茨微积分的历史和起源是数学史上的一座丰碑，它将激励后人不断探索数学的奥秘，推动数学的发展和进步。
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微积分的起源与发展主要内容：一、微积分为什么会产生二、中国古代数学对微积分创立的贡献三、对微积分理论有重要影响的重要科学家四、微积分的现代发展一、微积分为什么会产生微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。
比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。
”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律－－航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。
困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。
例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。
但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。
困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。
古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。
这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以45°角发射炮弹时，射程最大。
研究行星运动也涉及最大最小值问题。
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。
但新的方法尚无眉目。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。
穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。
欧多克斯的穷竭法是一种有限且相当复杂的几何方法。
它的思想虽然古老，但很重要，阿基米德用得相当熟练，我们就用他的一个例子来说明一下这种方法。
二、中国古代数学对微积分创立的贡献微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。
最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。
前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。
对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。
公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。
刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于 3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。
微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。
而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。
北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。
南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年。
特别是13世纪40年代到14世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。
中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。
可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。
三、对微积分理论有重要影响的重要科学家公正的历史评价，是不能把创建微积分归功于一两个人的偶然的或不可思议的灵感的。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上节四类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。
为微积分的创立做出了贡献。
事实上，牛顿的老师巴罗，就曾经几乎充分认识到微分与积分之间的互逆关系。
牛顿和莱布尼茨创建的系统的微积分就是基于这一基本思想。
在牛顿与莱布尼茨作出他们的冲刺之前，微积分的大量知识已经积累起来了。
甚至在巴罗的一本书里就能看到求切线的方法、两个函数的积和商的微分定理、x 的幂的微分、求曲线的长度、定积分中的变量代换、隐函数的微分定理等等。
但最重要的2个人物还是下面两位：1.牛顿：17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系。
到了17世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物理学家艾萨克·牛顿（1642~1727）是从物理学的角度研究微积分的，他为了解决运动问题，创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论。
牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。
这些概念是力不概念的数学反映。
牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，不仅这样，他还把几何图形――线、角、体，都看作力学位移的结果。
因而，一切变量都是流量。
牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。
（1）已知流量之间的关系，求它们的流数的关系，这相当于微分学。
（2）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。
这相当于积分学，牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程。
（3）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值，求曲线的切线和曲率，求曲线长度及计算曲边形面积等。
牛顿已完全清楚上述（1）与（2）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和积分学之间的联系。
牛顿在1665年5月20日的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。
牛顿于 1642 年出生于一个贫穷的农民家庭，艰苦的成长环境造就了人类历史上的一位伟大的科学天才，他对物理问题的洞察力和他用数学方法处理物理问题的能力，都是空前卓越的。
尽管取得无数成就，他仍保持谦逊的美德。
2.莱布尼茨德国数学家莱布尼茨（G.W. Leibniz 1646~1716）是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。
他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
他是从几何方面独立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。
但是他们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。
莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。
莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。
牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一等，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。
莱布尼茨创造的微积分符号，正像印度――阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样，促进了微积分学的发展。
莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。
牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。
莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。
3.优先权的争论从始创微积分的时间说牛顿比莱布尼茨大约早10年，但从正式公开发表的时间说牛顿却比莱布尼茨要晚。
牛顿系统论述“流数术”的重要著作《流数术和无穷极数》是1671年写成的，但因1676年伦敦大火殃及印刷厂，致使该书1736年才发表，这比莱布尼茨的论文要晚半个世纪。
不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。
英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。
其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。
比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。
他们的研究各有长处，也都各有短处。
那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。
应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。
他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。
牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。
这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。
直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。