一笔画问题(欧拉图)

2010-10-18 17:32 by EricZhang(T2噬菌体), 3556 visits, 网摘, 收藏, 编辑

关于一笔画问题的数学分析（对一道面试题的总结与扩展思考）

摘要

前几天参加了一个公司的面试，其中被问到了一个题。面试官在纸上画了一个图形（具体图形见下文），问我能不能一笔画出这个图形，要求每条边必须只走一次，并且画的过程中笔不能离开纸。当时我没有试着去画，而是凭着自己图论方面的知识在几秒钟之内告诉面试官不可能做到，然后简单说了一下理由。面试结束后我翻阅了图论相关的资料，发现当时自己虽然给出了正确答案，但理由并不完全正确。昨天我花了几个小时仔细研究了一下相关的理论，总结了一下这类问题的类型和解法，写成此文，分享给大家。

问题的提出

当时面试官给我出的问题是这样的：对于下面这个图形，让我一笔画出，要求每条边必须只走一次，并且画的过程中笔不能离开纸。

面试时我给出的回答是不可能做到，面试结束后我也从数学上证明了这个这个回答。当然有兴趣的朋友可以试着画画看。

这个问题其实就是我们小时候会玩到的一笔画游戏。这类问题看似简单直观，但是仔细研究下来却蕴含了很多东西，而且涉及了图论中一个非常重要的研究课题——欧拉迹。而且这类问题可以扩展出很多东西，例如任意给一个图可不可以完成一笔画且最后回到起始点？再如到底什么样的图可以一笔画出来？什么样的图一笔画不出来？如果一个图可以一笔画出来，那么应该如何画？有没有对一切可一笔画图形的通用解法？

下面我们将这个问题抽象成一般问题，然后从图论角度寻找上述疑问的答案。

图论中的一些概念

因为在下文论述过程中需要用到一些图论的基本概念，为了照顾在这方面不熟悉的朋友，我先将要用到的定义和概念列出来，如果您对图论的基本内容已经了然于胸，可以跳过这一节。另外如不做特殊说明，下文所有的“图”都默认指“无向图”，本文的讨论不涉及“有向图”。

简单图——一个简单图可表示为G=(V, E)，其中V是顶点集合，其中每个元素是图的一个顶点；E是边集合，其中每一个的元素是一个顶点对(a, b)，其中a和b均属于V，这个顶点对表示顶点a和b 间有一条边相连。

多重图——简单图不允许同一组顶点对在E中出现两次，即一对顶点间最多只有一条边。如果在简单图的基础上允许任一组顶点对间有任意条边，则简单图变为多重图。

一般图——如果在多重图的基础上允许自关联边，即允许(a, a)这样的顶点对出现在E中，则这种图叫一般图。（我们后续所有讨论的对象都是一般图，如不做特殊说明，下文所有的“图”均指一般图）顶点的度——一个顶点的度是这个顶点所连接的边的条数。

连通图——如果一个图任意两个顶点之间都存在由边组成的通路，则这种图叫连通图。（我们后续所有讨论的对象都是连通图，如不做特殊说明，下文所有的“图”均指无向一般连通图）

途径——在一个图G中，{x1, x2}, {x2, x3}, …, {xm-1, xm}叫做G的一个途径，如果x1和xm为同一顶点，则说这个途径是闭的，否则说这个途径是开的。

迹——如果一个途径中没有重复的边，则这个途径叫做“迹”。

欧拉迹——如果图G的一个迹包含了G所有的边，则这个迹叫做“欧拉迹”。

一笔画问题的抽象

有了上面的定义，我们就可以用数学语言描述一笔画问题了：

所谓一笔画问题，就是给定一个无向一般连通图，这个图存在欧拉迹的充分必要条件是什么？如果存在欧拉迹，如何求欧拉迹？

这个问题很庞大，我们化整为零，分几步去讨论。另外，为了避免枯燥无味，我将不会从绝对严格的数理层面去做推理和证明，而是用一些直观的启发式方法，尽量让每位朋友都能读懂。

问题一：图G存在欧拉迹的必要条件是什么？

首先，我们来推导G存在欧拉迹的必要条件。虽然满足必要条件不能充分证明G一定存在欧拉迹，但是不满足必要条件就一定不存在欧拉迹。所以搞清这个问题，可以用来帮助我们判断出显然不能一笔画出的图。

欧拉迹分为开欧拉迹和闭欧拉迹，我们先讨论开欧拉迹的情况。

现已知图G存在开欧拉迹（等价于存在一笔画画法，并且这种画法在完成时不会回到起始顶点），那么可以推导出什么？

现在我们这样想：设{x1, x2}, {x2, x3}, …, {xm-1, xm}是G的一条开欧拉迹，那么{x1, x2, …, xm}是这条欧拉迹所经过的顶点的序列。需要注意，这里除了x1和xm一定不是同一顶点，其它很多顶点可能是相同的。因为欧拉迹只要求每个边出现且仅出现一次，但不限制同一顶点出现几次。例如下图：

其中{a, b}, {b, c}, {c, a}, {a, d}, {d, e}, {e, c}是一个开欧拉迹，顶点序列为{a, b, c, a,d, e, c}。

现在我们这么考虑这个问题，对于某一顶点x，I(x)表示欧拉迹中进入x的次数，即走整个欧拉迹过程中从x以外的顶点进入x顶点的次数，O(x)，表示离开x的次数，即当前在x顶点，然后离开x到其它顶点的次数。

我们顺着开欧拉迹走，对于所有顶点此时I(x)和O(x)均为0，当前笔触在x1处。

当从x1走到x2，O(x1)变为1，而I(x2)变为1。我们可以想象，除起始顶点和终止顶点外，其它顶点当走完这个欧拉迹时，I(x)一定等于O(x)，因为对于这些顶点，一次进入必然对应着一次离开。而起始顶点的不同在于，它多一次离开（第一步），所以I(x1)+1=O(x1)，同理，终止顶点多一次进入（最后一步），I(xm)=O(xm)+1。

我们还体会到这样一个事实：对于任意顶点，每一个进入和每一个离开都消耗此顶点的一个度。因为欧拉迹不允许重复边，所以每一次进入和离开一定是走以前没有走过的边，因此顶点x的度为

I(x)+O(x)。这样可以得出结论：如果G存在一个开欧拉迹，那么起始顶点和终止顶点的度数为奇数，而其它顶点的度数为偶数。

再来考虑G存在闭欧拉迹的情况。根据上述思路，如果欧拉迹时闭的，则起始顶点和终止顶点为一个顶点，而这个顶点刚好多一个进入（最后），多一个离开（开始），这么一加，这个顶点的度也一定为偶数，其它顶点的度的推理与开欧拉迹相同。所以可以得出结论：如果G存在一个闭欧拉迹，那么G所有顶点的度均为偶数。