2020年上海高考数学试卷

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2020年高考数学第1页（共4页）

2020年普通高等学校招生全国统一考试

上海

数学试卷

考生注意：

1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．

2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名．将核对后的条形码贴在指定位置．

3．所有作答必须涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．

4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．已知集合{1,2,4}A =，{2,4,5}B =，则A B = ．

2．计算：1

lim

31

n n n →∞+=

-．

3．已知复数12i z =-（i 为虚数单位），则||z =．4．已知函数3()f x x =，则()f x 的反函数1

()f

x -=

．

5．已知实数x ，y 满足20

0230x y y x y +-⎧⎪

⎨⎪+-⎩

≥≥≤，则2z y x =-的最大值为

．

6．已知行列式126300

a

c

d

b =，则行列式

a c d

b

=．

7．若等差数列{}n a 的首项10a ≠，且满足1109a a a +=，则

129

10

a a a a +++=

．8．已知四个数1、2、a 、b ，若这四个数的中位数为3，平均数为4，则ab =．

9．从6人中挑选4个人去值班，每人值班1天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，

第三天安排2个人，则共有

种安排情况．

10．已知椭圆C ：22143

x y +=，直线l 经过椭圆的右焦点F ，且交椭圆C 于P 、Q 两点（点

P 在第二象限），若点Q 关于x 轴的对称点为Q'，且满足PQ FQ'⊥，则直线l 的方程为

．

2020年高考数学第2页（共4页）

11．已知a ∈R ，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：

①对任意0x ∈R ，0()f x 的值为0x 或20x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解．则a 的取值范围是．12．若1a ，2a ，1b ，2b ，…，k b （*k ∈N ）是平面内两两互不平等的向量，满足12||1a a -= ，

且||{1,2}i j a b -∈

（其中1,2i =，1,2,,j k = ），则k 的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．下列不等式恒成立的是（

）

(A)222a b ab +≤；(B)222a b ab +-≥；

(C)a b +≥

(D)a b +-≥．

14．已知直线l ：3410x y -+=，则直线l 的一个参数方程可以是（

）

(A)1314x t y t =+⎧⎨=--⎩；

(B)1413x t

y t =-⎧⎨=--⎩；

(C)1314x t y t =-⎧⎨=-+⎩

；

(D)1413x t y t =+⎧⎨=--⎩

．

15．如图，在棱长为10的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为左侧面

11ADD A 上一点．已知点P 到11A D 的距离为3，到1AA 的距离为2，

则与过点P 且与1A C 平行的直线相交的平面是（

）

(A)平面ABCD ；(B)平面11BB C C ；(C)平面11CC D D ；

(D)平面11AA B B ．

16．已知命题p ：存在a ∈R 且0a ≠，使得对任意的x ∈R ，()()()f x a f x f a +<+恒成立；命题1q ：()f x 单调递减，且()0f x >对于任意的x ∈R 恒成立；命题2q ：()f x 单调递增，且存在00x <，使得0()0f x =．则下列说法正确的是（

）

(A)1q 、2q 都是p 的充分条件；(B)只有1q 是p 的充分条件；(C)只有2q 是p 的充分条件；

(D)1q 、2q 都不是p

的充分条件．

2020年高考数学第3页（共4页）

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知边长为1的正方形ABCD ，将正方形沿BC 旋转一周得到圆柱体．(1)求该圆柱体的表面积；

(2)将正方形ABCD 绕BC 逆时针旋转

π

2

得到平面11A BCD ，如图所示，求1AD 与平面ABCD 所成的角．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数()sin f x x ω=（0ω>）．

(1)若()f x 的最小正周期为4π，求ω的值，并求此时方程1

()2

f x =

的解集；(2)若1ω=

，函数2π()()()2g x f x x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（π0,4x ⎡⎤

∈⎢⎣⎦

），求()g x 的值域．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在研究某市交通情况时，道路密度x 是指该路段上一定时间内通过的车辆数与时间的比值，车辆密度q 是指该路段上一定时间内通过的车辆数与该路段长度的比值，定义交通流量为q

v x

=

（其中x 为道路密度，q 为车辆密度）．已知该市某条道路的交通流量满足：80

1100135 0403(40)85 4080

x

x v k x x ⎧

⎛⎫⎪-<< ⎪=⎨⎝⎭⎪

--+⎩≤≤（0k >）．(1)若交通流量95v >，求道路密度x 的取值范围；

(2)当道路密度为80x =时，测得交通流量50v =，求车辆密度q

的最大值．