1.8 圆柱坐标系和球坐标系

1.8 圆柱坐标系与球坐标系

1.8.1 圆柱坐标系

（1）建立圆柱坐标系

空间任一点P 的位置由坐标（ρ，φ，z ）确定，如图（a ）所示。其中：

① ρ 是P 点到z 轴的距离，即位置矢量r 在xoy 平面上的投影； ② φ 是正x 轴转到半平面o ABC 的方位角(0≤φ ≤2π)； ③ z 是位置矢量r 在z 轴上的投影，即P 点到xoy 平面的距离。 这三个坐标确定之后，就确定了三个坐标面：

① 以z 为轴、ρ为半径的圆柱面；

② 正xoz 半平面绕z 轴逆时钟旋转φ角度所得半平面； ③ 距xoy 平面为z 的平行平面。

这三个坐标面交汇于P 点，且在P 点处相互正交。为反映这一特征，在P 点处分别沿三个坐标增加的方向各取一个单位矢量e ρ、e φ和e z ，三单位矢量有以下特点： ① 三个单位矢量相互正交，且满足右手关系

e ρ ⨯ e φ = e z

e φ ⨯ e z = e ρ （1.8.1） e z ⨯ e ρ = e φ

(b )

y

x

y

e x (平面)

)

ρ =常数

(圆柱面y

② 除e z 是常矢外，e ρ和e φ 的方向都有可能随P 点的不同而变化，它们是坐标函数:

y

x y x e e e e e e φφφφφρcos sin sin cos +-=+=

e ρ、e φ、e z 对坐标ρ、φ、z 求偏导

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎪⎬⎫=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂0000000z z z z

z

z

e ,e ,e e ,

e e ,

e e ,e e ,e φ

ρφ

ρ

φρ

φρφφρ

φρρ

矢量F （ρ、φ、z ）在圆柱坐标系下的表示式

z z A A A e e e A ++=φφρρ (1.8.2)

（2）线元矢量、面元和体积元

当点的位置发生微小变化导致了微分位移，用线元矢量d l 表示

z z e e e l d d d d ++=φρφρρ (1.8.3)

三个坐标微分增量d ρ、d φ、d z 所形成的体积元d V

z V d d d d φρρ= （1.8.4）

两坐标变量的微小变化将形成三个典型面元，它们的正方向分别沿坐标ρ、φ、z 的

正方向

(a )

(b )

d z

d ρ

ρd φ

P

Q d l

d z

d ρ

ρd φ

d z

ρd φ

d ρ

d s z

d s ρ

d s φ

⎪

⎭

⎪

⎬⎫

===φρρρφρφρd d d d d d d d d z S z S z S (1.8.5)

（3）圆柱坐标系中的三度表达式

对于连续、可微的标量场f (ρ、φ、z )，按多元函数的全微分链式法则表示微增量

z z

f f f f d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=φφρρ

作改写

()z z z z f f f z z

f

f f f e e e e e e d d d 1d d d d ++⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=

φρφρφρρφρρφφρρ

对照梯度定义式 l d d ⋅∇=f f ，得圆柱坐标系下梯度和del 算符的表达式

z z

f

f f f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=

∇φρφρρ1 )0(≠ρ （1.8.6） z

z ∂∂

+∂∂+∂∂=∇e e e φρρφρ1 )0(≠ρ （1.8.7） 按∇与z),,(φρF 的运算还可以得出散度和旋度的表达式：

0)(1)(1z),,(≠∂∂+

∂∂+∂∂=⋅∇ρφρρρρφρφρz

F F F z

F （1.8.8）

),,(z φρF ⨯∇

⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂

+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=φρρρρφρρφρφφρF F F z F z F F z z z )(11e e e

z

z

F F F z φ

ρφρρφρρ

ρ

∂∂∂∂

∂∂=e e e 1

1

(1.8.9)

进而可得标量场的拉普拉斯表达式

0)

(11z)

,,(z),,(222

222≠∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇⋅∇=∇ρφρρρρρφρφρz

f

f f f f (1.8.10)

例1-6 已知z z z e e F -=

φρρ),(，试就z =1平面上半径为2的圆形回路及其所围

区域，验证斯托克斯定理。

解： 在给定圆形回路上，若回路循行方向取得与φe 的方向相同，在z =1的平面上有z e e F

-=φ2，φφe l d 2d =，φd 4d =⋅l F

⎰⎰===⋅l πφ

φππ

84d 4d 20

20l F

又因为

z

z z z ρz z z F F F z F z F F e e e e e e e F 20)(1)(0)(z )(1)(112=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂--∂∂=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⨯∇ρρρρρφρφρρρρφρφρρφφρφ

在指定的圆面上，有 z e F 2=⨯∇，z z z S e e S φρρd d d d ==，则

φρρd d 2d )(=⋅⨯∇S F

πρπρρπρφρπ

8)(2d 22d )d (2d )(2

22

20

20====⋅⨯∇⎰

⎰⎰

⎰s S F 得证

1.8.2 球坐标系

（1）建立球坐标系

空间任一点P 的位置由坐标（r ，θ，φ）确定，其中：

① r 是P 点到坐标原点的距离，即位置矢量r 的模；

② θ 表示位置矢量r 与正z 轴之间的夹角； ③ φ 是正x 轴与位置矢量r 在xoy

平面投影

x