1.8 圆柱坐标系和球坐标系

1.8 圆柱坐标系与球坐标系1.8.1 圆柱坐标系（1）建立圆柱坐标系空间任一点P 的位置由坐标（ρ，φ，z ）确定，如图（a ）所示。

其中：① ρ 是P 点到z 轴的距离，即位置矢量r 在xoy 平面上的投影； ② φ 是正x 轴转到半平面o ABC 的方位角(0≤φ ≤2π)； ③ z 是位置矢量r 在z 轴上的投影，即P 点到xoy 平面的距离。

这三个坐标确定之后，就确定了三个坐标面：① 以z 为轴、ρ为半径的圆柱面；② 正xoz 半平面绕z 轴逆时钟旋转φ角度所得半平面； ③ 距xoy 平面为z 的平行平面。

这三个坐标面交汇于P 点，且在P 点处相互正交。

为反映这一特征，在P 点处分别沿三个坐标增加的方向各取一个单位矢量e ρ、e φ和e z ，三单位矢量有以下特点： ① 三个单位矢量相互正交，且满足右手关系e ρ ⨯ e φ = e ze φ ⨯ e z = e ρ （1.8.1） e z ⨯ e ρ = e φ(b )yxye x (平面))ρ =常数(圆柱面y② 除e z 是常矢外，e ρ和e φ 的方向都有可能随P 点的不同而变化，它们是坐标函数:yx y x e e e e e e φφφφφρcos sin sin cos +-=+=e ρ、e φ、e z 对坐标ρ、φ、z 求偏导⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂0000000z z z zzze ,e ,e e ,e e ,e e ,e e ,e φρφρφρφρφφρφρρ矢量F （ρ、φ、z ）在圆柱坐标系下的表示式z z A A A e e e A ++=φφρρ (1.8.2)（2）线元矢量、面元和体积元当点的位置发生微小变化导致了微分位移，用线元矢量d l 表示z z e e e l d d d d ++=φρφρρ (1.8.3)三个坐标微分增量d ρ、d φ、d z 所形成的体积元d Vz V d d d d φρρ= （1.8.4）两坐标变量的微小变化将形成三个典型面元，它们的正方向分别沿坐标ρ、φ、z 的正方向(a )(b )d zd ρρd φPQ d ld zd ρρd φd zρd φd ρd s zd s ρd s φ⎪⎭⎪⎬⎫===φρρρφρφρd d d d d d d d d z S z S z S (1.8.5)（3）圆柱坐标系中的三度表达式对于连续、可微的标量场f (ρ、φ、z )，按多元函数的全微分链式法则表示微增量z zf f f f d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=φφρρ作改写()z z z z f f f z zff f f e e e e e e d d d 1d d d d ++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=φρφρφρρφρρφφρρ对照梯度定义式 l d d ⋅∇=f f ，得圆柱坐标系下梯度和del 算符的表达式z zff f f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇φρφρρ1 )0(≠ρ （1.8.6） zz ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e φρρφρ1 )0(≠ρ （1.8.7） 按∇与z),,(φρF 的运算还可以得出散度和旋度的表达式：0)(1)(1z),,(≠∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ρφρρρρφρφρzF F F zF （1.8.8）),,(z φρF ⨯∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=φρρρρφρρφρφφρF F F z F z F F z z z )(11e e ezzF F F z φρφρρφρρρ∂∂∂∂∂∂=e e e 11(1.8.9)进而可得标量场的拉普拉斯表达式0)(11z),,(z),,(222222≠∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇⋅∇=∇ρφρρρρρφρφρzff f f f (1.8.10)例1-6 已知z z z e e F -=φρρ),(，试就z =1平面上半径为2的圆形回路及其所围区域，验证斯托克斯定理。

解： 在给定圆形回路上，若回路循行方向取得与φe 的方向相同，在z =1的平面上有z e e F-=φ2，φφe l d 2d =，φd 4d =⋅l F⎰⎰===⋅l πφφππ84d 4d 2020l F又因为zz z z ρz z z F F F z F z F F e e e e e e e F 20)(1)(0)(z )(1)(112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂--∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⨯∇ρρρρρφρφρρρρφρφρρφφρφ在指定的圆面上，有 z e F 2=⨯∇，z z z S e e S φρρd d d d ==，则φρρd d 2d )(=⋅⨯∇S Fπρπρρπρφρπ8)(2d 22d )d (2d )(2222020====⋅⨯∇⎰⎰⎰⎰s S F 得证1.8.2 球坐标系（1）建立球坐标系空间任一点P 的位置由坐标（r ，θ，φ）确定，其中：① r 是P 点到坐标原点的距离，即位置矢量r 的模；② θ 表示位置矢量r 与正z 轴之间的夹角； ③ φ 是正x 轴与位置矢量r 在xoy平面投影x之间的夹角 (0≤φ ≤2π)。

这三个坐标确定之后，就确定了三个坐标面： ① 以o 为球心、r 为半径的球面； ② 以o 为顶点、θ 为半顶角的正圆锥面；③ 正xoz 半平面绕z 轴逆时钟旋转 φ 角度所得半平面。

这三个坐标面交汇于P 点，且相互正交。

为反映这一特征，在P 点处分别沿三个坐标增加的方向各取一单位矢量e r 、e θ和e φ。

三单位矢量有以下特点：① 三个单位矢量相互正交，且满足右手关系，即e r ⨯ e θ= e φ； e θ⨯ e φ = e r ； e φ ⨯ e r = e θ （1.8.11）② e r 、e θ和e φ的方向都有可能随P 点的不同而变化，即它们是球坐标函数。

在球坐标系下，矢量A （r ，θ，φ）可表示为φφθθe e e A A A A r r ++= (1.8.12)式中的A r 、A θ、A φ分别是A 在其所在点的各单位矢量方向上的分量。

（2）线元矢量、面元和体积元由于坐标变量取微增量d r 、d θ、d φ 所形成的线元矢量d l 、体积元d V 及三个面元d S r 、d S θ、d S φ ，具体表达式如下φθφθθe e e l d sin d d d r r r r ++= (1.8.13)φθθd d d sin d 2r r V = (1.8.14)d rr d θr sin θd φ1 23d l(a )(b )d s θr sin θd φd r2d s rr sin θd φr d θd rr d θd s φ1⎪⎭⎪⎬⎫===θφθφθθφθd d d d d sin d d d sin d 2r r S r r S r S r (1.8.15)（3）球坐标系中的三度表达式设标量场f (r,θ,φ)是连续、可微的，根据多元函数的全微分链式法则，有()φθφθφθθφθθφθφθθθφφθθe e e e e e d sin d d )sin 11()d sin (sin 1)d (f 1d d d d d r r r f r f r r f r f r r r r r f ff r r f f r r ++⋅∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂= 对照梯度定义式 l d d ⋅∇=f f 和d l 表达式，得0)(sin 11≠∂∂+∂∂+∂∂=∇r fr f r r f f r φθφθθe e e (1.8.16)且φθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11r r r re e e (1.8.17) 用∇算符分别对F （r,θ,φ）进行点乘、叉乘运算以及对∇f 进行点乘运算，得0)(sin 1)(sin sin 1)(122≠∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇r F r F r F r r r r φθθθθφθF (1.8.18)0)(sin 1sin 1sin 21)(1)(sin 11)(sin sin 1≠∂∂∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=⨯∇r F r rF F r r r r F rF r r rF r F r F F r r r r r rφθφθθφφθθφθφθθθθφθφθθθe e e e e e F(1.8.19)0)(sin 1)(sin sin 1)(122222222≠∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇r fr f r r f r rr f φθθθθθ （1.8.20）作业： 27、31本章小节1. 场的概念标量场和矢量场的概念，矢量场的分类以及每类矢量场的基本特征。

2. 场的三度计算标量场的梯度f ∇、矢量场的散度F ⋅∇和旋度F ⨯∇； 要求牢记∇算符的矢量特性和微分特性；牢固掌握在直角坐标系下的三度计算式，实施正确计算； 在其它坐标系下，当给你三度的计算式后，你要会计算。

3. 要会进行场的高阶计算要做到此项，必须牢记矢量的点积、叉积，重要的矢量恒等式。

4. 正确理解高斯散度定理和斯托克斯定理、正确认识赫姆霍兹定理。